Solusyon ng mga homogenous na trigonometric equation. Mga homogenous na trigonometriko equation: pangkalahatang solusyon scheme

Propesyonal sa badyet ng estado institusyong pang-edukasyon Nayon ng Teeli ng Republika ng Tuva

Pagbuo ng isang aralin sa matematika

Paksa ng aralin:

"Homogeneous trigonometric equation"

Guro: Oorzhak

Ailana Mikhailovna

Paksa ng aralin : "Mga homogenous na trigonometric equation"(ayon sa aklat-aralin ni A.G. Mordkovich)

Grupo : Master ng paglaki ng halaman, 1 kurso

uri ng aralin: Isang aral sa pag-aaral ng bagong materyal.

Layunin ng Aralin:

2. Paunlarin lohikal na pag-iisip, ang kakayahang gumawa ng mga konklusyon, ang kakayahang suriin ang mga resulta ng mga aksyon na ginawa

3. Upang itanim sa mga mag-aaral ang kawastuhan, isang pakiramdam ng responsibilidad, ang pagpapalaki ng mga positibong motibo para sa pag-aaral

Mga kagamitan sa aralin: laptop, projector, screen, card, trigonometrya poster: mga kahulugan trigonometriko function, ang mga pangunahing pormula ng trigonometrya.

Tagal ng aralin: 45 minuto.

Istraktura ng aralin:

Sa panahon ng mga klase.

1. sandali ng organisasyon (1 min)

Suriin ang kahandaan ng mga mag-aaral para sa aralin, pakinggan ang pangkat na nasa tungkulin.

2. Aktwalisasyon ng pangunahing kaalaman (3 min)

2.1. Sinusuri ang takdang-aralin.

Tatlong estudyante ang nagpasya sa pisara No. 18.8 (c, d); Hindi. 18.19. Ang iba pang mga mag-aaral ay gumagawa ng peer review.

3. Pag-aaral ng bagong materyal (13 min)

3.1. Pagganyak ng mga mag-aaral.

Inaanyayahan ang mga mag-aaral na pangalanan ang mga equation na alam nila at kayang lutasin (slide number 1)

1) 3 cos 2 x - 3 cos x \u003d 0;

2) cos (x - 1) =;

3) 2 kasalanan 2 x + 3 kasalanan x \u003d 0;

4) 6 sin 2 x - 5 cos x + 5 = 0; 12

5) sin x cos x + cos² x = 0;

6) tg + 3ctg = 4.

7) 2sin x - 3cos x = 0;

8) kasalanan 2 x + cos 2 x \u003d 0;

9) sin²x - 3sinx cos x + 2cos²x \u003d 0.

Hindi mapapangalanan ng mga mag-aaral ang solusyon sa Equation 7-9.

3.2. Pagpapaliwanag ng bagong paksa.

Guro: Ang mga equation na hindi mo malutas ay karaniwan sa pagsasanay. Ang mga ito ay tinatawag na homogenous na trigonometric equation. Isulat ang paksa ng aralin: "Homogeneous trigonometric equation." (slide number 2)

Depinisyon ng Screen ng Projector homogenous equation. (slide number 3)

Isaalang-alang ang isang paraan para sa paglutas ng mga homogenous na trigonometric equation (slide No. 4, 5)

I-parse ang mga halimbawa ng solusyon

Halimbawa 1 Lutasin ang equation 2sin x – 3cos x = 0; (slide number 6)

Ito ay isang homogenous na equation ng unang degree. Hinahati namin ang magkabilang panig ng termino ng equation sa pamamagitan ng termino sa pamamagitan ng cos x , nakukuha namin:

2tg x - 3 = 0

tg x =

x = arctg + πn , n Z.

Sagot: x \u003d arctg + π n, n Z.

Halimbawa 2 . Lutasin ang equation sin 2 x + cos 2 x = 0; (slide number 7)

Ito ay isang homogenous na equation ng unang degree. Hinahati namin ang magkabilang panig ng term ng equation sa pamamagitan ng term sa cos 2 x , nakukuha namin:

tg2 x + 1 = 0

tg2 x = - 1

2x = arctg (-1) + πn, nZ.

2x = - + πn, nZ.

x = - + , n Z.

Sagot: x = - + , n Z.

Halimbawa 3 . Lutasin ang equation na sin²x - 3sinx cos x + 2cos²x \u003d 0. (slide No. 8)

Ang bawat termino sa equation ay may parehong antas. Ito ay isang homogenous na equation ng pangalawang degree. Hinahati namin ang magkabilang panig ng termino ng equation sa pamamagitan ng termino sa cos 2 x ≠ 0, nakukuha namin ang:

tg 2 x-3tg x+2 = 0. Magpakilala tayo ng bagong variable z = tg x, nakukuha natin

z 2 – 3z + 2 =0

z 1 = 1, z 2 = 2

kaya tg x = 1 o tg x = 2

4. Pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal (10 min)

Pinag-aaralan ng guro ang mga detalye ng mga halimbawa na may mahihinang mga mag-aaral sa pisara, ang mga malalakas na mag-aaral ay nakapag-iisa na nag-solve sa mga notebook.

5. Differentiated independent work (15 min)

Ang guro ay nagbibigay ng mga card na may mga gawain ng tatlong antas: basic (A), intermediate (B), advanced (C). Ang mga mag-aaral mismo ang pumili kung aling mga antas ng halimbawa ang kanilang malulutas.

6. Pagbubuod. Pagninilay ng aktibidad na pang-edukasyon sa aralin (2 min)

Sagutin ang mga tanong:

Anong mga uri ng trigonometric equation ang napag-aralan natin?

Paano nalulutas ang isang homogenous na equation ng unang degree?

Paano nalulutas ang isang homogenous na equation ng pangalawang degree?

Nalaman ko …

Natuto ako …

marka Magaling sa aralin ng mga indibidwal na mag-aaral, magtakda ng mga marka.

7. Takdang-Aralin. (1 min)

Ipaalam sa mga mag-aaral ang takdang-aralin, magbigay ng maikling briefing sa pagpapatupad nito.

18.12 (c, d), No. 18.24 (c, d), No. 18.27 (a)

Mga sanggunian:

slide 2

"Homogeneous trigonometric equation"

1. Isang equation ng form na a sin x + b cos x = 0, kung saan ang a ≠ 0, b ≠ 0 ay tinatawag na homogenous trigonometriko equation unang degree. 2. Ang isang equation ng form a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x \u003d 0, kung saan ang isang ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 ay tinatawag na homogenous trigonometric equation ng pangalawang degree. Kahulugan:

I degree a sinx + b cosx = 0, (a, b ≠ 0). Hatiin ang parehong bahagi ng term ng equation sa pamamagitan ng term sa pamamagitan ng cosx ≠ 0. Nakukuha natin ang: a tgx + b = 0 tgx = -b /a ang pinakasimpleng trigonometric equation Kapag hinahati ang homogeneous equation a sinx + b cosx = 0 sa cos x ≠ 0 , ang mga ugat ng equation na ito ay hindi nawala. Paraan para sa paglutas ng mga homogenous na trigonometric equation

a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0. 1) kung a ≠ 0, hatiin ang parehong bahagi ng equation term sa pamamagitan ng term sa cos ² x ≠0 Nakukuha namin ang: a tg ² x + b tgx + c = 0, we malutas sa pamamagitan ng pagpapakilala ng isang bagong variable z \u003d tgx 2) kung a \u003d 0, kung gayon Nakukuha namin ang: b sinx cosx + c cos ² x \u003d 0, nalulutas namin sa pamamagitan ng factoring / Kapag hinahati ang homogeneous equation isang kasalanan ² x + b sinx cosx + c cos ² x \u003d 0 by cos 2 x ≠ 0 ang mga ugat ng equation na ito ay hindi nawala. II degree

Ito ay isang homogenous na equation ng unang degree. Hinahati namin ang parehong bahagi ng term ng equation sa pamamagitan ng term sa cos x, nakukuha namin ang: Halimbawa 1. Lutasin ang equation 2 sin x - 3 cos x \u003d 0

Ito ay isang homogenous na equation ng unang degree. Hatiin ang parehong bahagi ng term ng equation sa pamamagitan ng term sa pamamagitan ng cos 2 x , makuha natin ang: Halimbawa 2 . Lutasin ang equation na sin 2 x + cos 2 x = 0

Ang bawat termino sa equation ay may parehong antas. Ito ay isang homogenous na equation ng pangalawang degree. Hatiin natin ang magkabilang panig ng termino ng equation sa pamamagitan ng termino sa os 2 x ≠ 0, makuha natin ang: Halimbawa 3 . Lutasin ang equation sin ² x - 3 sin x cos x + 2 cos ² x = 0

Sagutin ang mga tanong: - Anong mga uri ng trigonometric equation ang napag-aralan natin? Paano mo malulutas ang isang homogenous na equation ng unang degree? Paano mo malulutas ang isang homogenous na equation ng pangalawang degree? Pagbubuod

Natutunan ko ... - Natutunan ko ... Reflection

18.12 (c, d), No. 18.24 (c, d), No. 18.27 (a) Takdang-Aralin.

Salamat sa aralin! MAGANDANG MGA KAPWA!

Preview:

Pagsusuri sa sarili ng aralin sa matematika ng guro Oorzhak A.M.

Grupo : Master ng paglaki ng halaman, 1 kurso.

Paksa ng aralin : Mga homogenous na trigonometric equation.

Uri ng aralin : Aralin sa pag-aaral ng bagong materyal.

Layunin ng Aralin:

1. Upang mabuo ang mga kasanayan ng mga mag-aaral sa paglutas ng mga homogenous na trigonometric equation, isaalang-alang ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga homogenous na equation ng basic at advanced na antas kahirapan.

2. Bumuo ng lohikal na pag-iisip, ang kakayahang gumawa ng mga konklusyon, ang kakayahang suriin ang mga resulta ng mga aksyon na ginawa.

3. Upang itanim sa mga mag-aaral ang kawastuhan, isang pakiramdam ng responsibilidad, ang pagpapalaki ng mga positibong motibo para sa pag-aaral.

Itinuro ang aralin ayon sa pampakay na pagpaplano. Ang paksa ng aralin ay sumasalamin sa teoretikal at praktikal na bahagi ng aralin at naiintindihan ng mga mag-aaral. Ang lahat ng mga yugto ng aralin ay naglalayong matupad ang mga layuning ito, na isinasaalang-alang ang mga katangian ng pangkat.

Istraktura ng aralin.

1. Kasama sa sandali ng organisasyon ang paunang organisasyon ng grupo, ang pagpapakilos ng simula ng aralin, ang paglikha ng sikolohikal na kaginhawahan at ang paghahanda ng mga mag-aaral para sa aktibo at mulat na asimilasyon ng bagong materyal. Ang paghahanda ng grupo at ng bawat mag-aaral ay sinuri ko sa paningin. Didactic na gawain yugto: Ppositibong saloobin sa aralin.

2. Ang susunod na yugto ay ang aktuwalisasyon ng mga batayang kaalaman ng mga mag-aaral. Ang pangunahing gawain ng yugtong ito ay upang maibalik sa memorya ng mga mag-aaral ang kaalaman na kinakailangan upang mag-aral ng bagong materyal. Ang aktuwalisasyon ay isinagawa sa anyo ng pagsuri ng takdang-aralin sa pisara.

3. (Pangunahing yugto ng aralin) Pagbuo ng bagong kaalaman. Sa yugtong ito, ipinatupad ang mga sumusunod na gawaing didaktiko: Pagbibigay ng pang-unawa, pag-unawa at pangunahing pagsasaulo ng kaalaman at pamamaraan ng pagkilos, mga koneksyon at mga relasyon sa bagay ng pag-aaral.

Ito ay pinadali ng: ang paglikha ng isang sitwasyon ng problema, ang paraan ng mga pag-uusap kasama ang paggamit ng ICT. Ang isang tagapagpahiwatig ng pagiging epektibo ng pag-aaral ng bagong kaalaman ng mga mag-aaral ay ang kawastuhan ng mga sagot, independiyenteng gawain, aktibong pakikilahok ng mga mag-aaral sa gawain.

4. Ang susunod na yugto ay ang paunang pag-aayos ng materyal. Ang layunin nito ay upang magtatag ng feedback upang makakuha ng impormasyon tungkol sa antas ng pag-unawa sa bagong materyal, pagkakumpleto, kawastuhan ng asimilasyon nito at para sa napapanahong pagwawasto ng mga nakitang pagkakamali. Para dito ginamit ko: ang solusyon ng simpleng homogenous na trigonometriko equation. Dito, ginamit ang mga gawain mula sa aklat-aralin, na tumutugma sa mga kinakailangang resulta ng pag-aaral. Ang pangunahing pagsasama-sama ng materyal ay isinagawa sa isang kapaligiran ng mabuting kalooban at pakikipagtulungan. Sa yugtong ito, nagtrabaho ako sa mahihinang mga mag-aaral, ang iba ay nagpasya sa kanilang sarili, na sinusundan ng pagsusuri sa sarili mula sa board.

5. susunod na sandali Ang aralin ay ang pangunahing kontrol ng kaalaman. Didactic na gawain ng entablado: Pagbubunyag ng kalidad at antas ng karunungan ng kaalaman at mga pamamaraan ng pagkilos, tinitiyak ang kanilang pagwawasto. Dito ko ipinatupad ang isang naiibang diskarte sa pag-aaral, nag-alok sa mga bata ng pagpili ng mga gawain ng tatlong antas: basic (A), intermediate (B), advanced (C). Lumiko ako at minarkahan ang mga estudyanteng pumili ng basic level. Ginawa ng mga mag-aaral na ito ang gawain sa ilalim ng pangangasiwa ng guro.

6. Sa susunod na yugto - pagbubuod, nalutas ang mga gawain ng pagsusuri at pagsusuri sa tagumpay ng pagkamit ng layunin. Sa pagbubuod ng aralin, sabay-sabay kong isinagawa ang repleksyon ng mga aktibidad na pang-edukasyon. Natutunan ng mga mag-aaral kung paano lutasin ang mga homogenous na trigonometric equation. Ang mga rating ay ibinigay.

7. Ang huling yugto ay isang takdang-aralin. Didactic na gawain: Pagbibigay sa mga mag-aaral ng pag-unawa sa nilalaman at pamamaraan ng paggawa ng takdang-aralin. Nagbigay ng maikling tagubilin sa takdang-aralin.

Sa panahon ng aralin, nagkaroon ako ng pagkakataong matanto ang mga layunin sa pagtuturo, pag-unlad at pang-edukasyon. Sa palagay ko ito ay pinadali ng katotohanan na mula sa mga unang minuto ng aralin ang mga lalaki ay nagpakita ng aktibidad. Sila ay handa na para sa pang-unawa ng isang bagong paksa. Sikolohikal na paborable ang kapaligiran sa grupo.




Sa tulong ng araling video na ito, mapag-aaralan ng mga mag-aaral ang paksa ng homogenous trigonometric equation.

Bigyan natin ng mga kahulugan:

1) ang isang homogenous na trigonometric equation ng unang degree ay mukhang isang sin x + b cos x = 0;

2) ang isang homogenous na trigonometric equation ng pangalawang degree ay mukhang isang sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0.

Isaalang-alang ang equation na a sin x + b cos x = 0. Kung ang a ay zero, ang equation ay magmumukhang b cos x = 0; kung ang b ay zero, kung gayon ang equation ay magmumukhang sin x = 0. Ito ang mga equation na tinawag nating pinakasimple at nalutas nang mas maaga sa mga nakaraang paksa.

Ngayon isaalang-alang ang opsyon kapag ang a at b ay hindi katumbas ng zero. Sa pamamagitan ng paghahati ng mga bahagi ng equation sa pamamagitan ng cosine x at isasagawa natin ang pagbabagong-anyo. Nakukuha namin ang tg x + b = 0, pagkatapos ang tg x ay magiging katumbas ng - b/a.

Mula sa itaas ay sumusunod na ang equation na a sin mx + b cos mx = 0 ay isang homogenous na trigonometric equation ng unang degree. Upang malutas ang isang equation, hatiin ang mga bahagi nito sa cos mx.

Suriin natin ang halimbawa 1. Lutasin ang 7 sin (x / 2) - 5 cos (x / 2) = 0. Una, hatiin ang mga bahagi ng equation sa cosine (x / 2). Ang pag-alam na ang sine na hinati ng cosine ay ang padaplis, nakakakuha tayo ng 7 tg (x / 2) - 5 = 0. Pagbabago ng expression, nakita natin na ang halaga ng tangent (x / 2) ay 5/7. Ang solusyon sa equation na ito ay x = arctan a + πn, sa aming kaso x = 2 arctan (5/7) + 2πn.

Isaalang-alang ang equation a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0:

1) na may katumbas sa zero, ang equation ay magmumukhang b sin x cos x + c cos 2 x = 0. Pagbabago, nakuha namin ang expression cos x (b sin x + c cos x) = 0 at magpatuloy sa solusyon ng dalawang equation. Matapos hatiin ang mga bahagi ng equation sa pamamagitan ng cosine x, nakukuha natin ang b tg x + c = 0, na nangangahulugang tg x = - c/b. Alam na x \u003d arctan a + πn, kung gayon ang solusyon sa kasong ito ay magiging x \u003d arctg (- c / b) + πn.

2) kung ang a ay hindi katumbas ng zero, kung gayon, sa pamamagitan ng paghahati ng mga bahagi ng equation sa cosine squared, makakakuha tayo ng equation na naglalaman ng tangent, na magiging square. Ang equation na ito ay maaaring malutas sa pamamagitan ng pagpapakilala ng isang bagong variable.

3) kapag ang c ay katumbas ng zero, ang equation ay magkakaroon ng anyong sin 2 x + b sin x cos x = 0. Ang equation na ito ay maaaring malutas sa pamamagitan ng pagkuha ng sine ng x mula sa bracket.

1. tingnan kung may kasalanan 2 x sa equation;

2. kung ang terminong a sin 2 x ay nakapaloob sa equation, ang equation ay maaaring lutasin sa pamamagitan ng paghahati sa parehong bahagi ng cosine squared at pagkatapos ay pagpapasok ng bagong variable.

3. kung ang equation na a sin 2 x ay hindi naglalaman, kung gayon ang equation ay maaaring malutas sa pamamagitan ng pagkuha ng mga bracket cosx.

Isaalang-alang ang halimbawa 2. Kinuha namin ang cosine at kumuha ng dalawang equation. Ang ugat ng unang equation ay x = π/2 + πn. Upang malutas ang pangalawang equation, hinati namin ang mga bahagi ng equation na ito sa pamamagitan ng cosine x, sa pamamagitan ng mga pagbabagong nakuha namin x = π/3 + πn. Sagot: x = π/2 + πn at x = π/3 + πn.

Lutasin natin ang halimbawa 3, isang equation ng form 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 at hanapin ang mga ugat nito na kabilang sa segment mula - π hanggang π. kasi Dahil ang equation na ito ay hindi homogenous, kinakailangan upang bawasan ito sa isang homogenous na anyo. Gamit ang formula na sin 2 x + cos 2 x = 1, nakukuha natin ang equation sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0. Hinahati ang lahat ng bahagi ng equation sa cos 2 x, nakukuha natin ang tg 2 2x + 2tg 2x + 1 = 0 Gamit ang pagpapakilala ng bagong variable z = tg 2x, nilulutas natin ang equation na ang ugat ay z = 1. Pagkatapos ang tg 2x = 1, na nagpapahiwatig na x = π/8 + (πn)/2. kasi ayon sa kondisyon ng problema, kailangan mong hanapin ang mga ugat na kabilang sa segment mula - π hanggang π, ang solusyon ay magmumukhang - π< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.

INTERPRETASYON NG TEKSTO:

Mga homogenous na trigonometric equation

Ngayon ay susuriin natin kung paano nalutas ang "Homogeneous Trigonometric Equation". Ito ay mga equation ng isang espesyal na uri.

Kilalanin natin ang kahulugan.

Uri ng equation at sinx+bcosx = 0 (at ang sine x plus maging cosine x ay zero) ay tinatawag na homogenous na trigonometric equation ng unang degree;

equation ng form isang kasalanan 2 x+bkasalanan xcosx+ccos 2 x= 0 (at sine square x plus be sine x cosine x plus se cosine square x equals zero) ay tinatawag na homogenous na trigonometric equation ng pangalawang degree.

Kung a=0, pagkatapos ang equation ay kukuha ng anyo bcosx = 0.

Kung b = 0 , pagkatapos makuha namin at sin x = 0.

Ang mga equation na ito ay elementarya na trigonometric, at isinasaalang-alang namin ang kanilang solusyon sa aming mga nakaraang paksa

Isipin mo ang kaso kapag ang parehong coefficient ay hindi zero. Hatiin ang magkabilang panig ng equation Akasalananx+ bcosx = 0 termino sa pamamagitan ng termino sa cosx.

Magagawa natin ito, dahil ang cosine x ay hindi zero. Pagkatapos ng lahat, kung cosx = 0 , pagkatapos ay ang equation Akasalananx+ bcosx = 0 kukuha ng form Akasalananx = 0 , A≠ 0, samakatuwid kasalananx = 0 . Alin ang imposible, dahil ayon sa pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometriko kasalanan 2x+cos 2 x=1 .

Paghahati sa magkabilang panig ng equation Akasalananx+ bcosx = 0 termino sa pamamagitan ng termino sa cosx, nakukuha natin ang: + =0

Gawin natin ang mga pagbabago:

1. Dahil = tg x, pagkatapos =at tg x

2 bawasan ng cosx, Pagkatapos

Kaya nakuha namin ang sumusunod na expression at tg x + b =0.



Gawin natin ang pagbabago:

1. Ilipat ang b sa kanang bahagi ng expression na may kabaligtaran na tanda

at tg x \u003d - b

2. Alisin ang multiplier at paghahati sa magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng a

tg x= -.

Konklusyon: Isang equation ng form at kasalananmx+bcosmx = 0 (at ang sine em x kasama ang cosine em x ay zero) ay tinatawag ding homogenous na trigonometric equation ng unang degree. Upang malutas ito, hatiin ang magkabilang panig cosmx.

HALIMBAWA 1. Lutasin ang equation 7 sin - 5 cos \u003d 0 (pitong sine x ng dalawa minus limang cosine x ng dalawa ay zero)

Solusyon. Hinahati namin ang parehong bahagi ng term ng equation sa pamamagitan ng term sa cos, nakukuha namin

1. \u003d 7 tg (dahil ang ratio ng sine sa cosine ay tangent, pagkatapos pitong sine x ng dalawa na hinati ng cosine x ng dalawa ay katumbas ng 7 tangent x ng dalawa)

2. -5 = -5 (kapag dinaglat na cos)

Kaya nakuha namin ang equation

7tg - 5 = 0, Ibahin natin ang ekspresyon, ilipat ang minus lima sa kanang bahagi, palitan ang tanda.

Binawasan namin ang equation sa anyong tg t = a, kung saan t=, a =. At dahil ang equation na ito ay may solusyon para sa anumang halaga A at mukhang ang mga solusyong ito

x \u003d arctg a + πn, kung gayon ang solusyon sa aming equation ay magiging ganito:

Arctg + πn, hanapin ang x

x \u003d 2 arctan + 2πn.

Sagot: x \u003d 2 arctg + 2πn.

Lumipat tayo sa isang homogenous na trigonometric equation ng pangalawang degree

Akasalanan 2 x+b kasalanan x cos x +Sacos2 x= 0.

Isaalang-alang natin ang ilang mga kaso.

I. Kung a=0, pagkatapos ang equation ay kukuha ng anyo bkasalananxcosx+ccos 2 x= 0.

Kapag nagsosolve e pagkatapos ay ginagamit namin ang paraan ng factorization ng mga equation. Ilabas natin cosx mga bracket at makuha namin ang: cosx(bkasalananx+ccosx)= 0 . saan cosx= 0 o

b kasalanan x +Sacos x= 0. At alam na natin kung paano lutasin ang mga equation na ito.



Hinahati namin ang parehong bahagi ng term ng equation sa pamamagitan ng term sa cosx, nakukuha namin

1 (dahil ang ratio ng sine sa cosine ay ang tangent).

Kaya nakuha namin ang equation: b tg x+c=0

Binawasan namin ang equation sa anyong tg t = a, kung saan t= x, a =. At dahil ang equation na ito ay may solusyon para sa anumang halaga A at mukhang ang mga solusyong ito

x \u003d arctg a + πn, kung gayon ang solusyon sa aming equation ay:

x \u003d arctg + πn, .

II. Kung a≠0, pagkatapos ay hinahati namin ang parehong bahagi ng term ng equation ayon sa termino sa cos 2 x.

(Katulad na pagtatalo, tulad ng sa kaso ng isang homogenous na trigonometric equation ng unang degree, ang cosine x ay hindi maaaring mawala).

III. Kung c=0, pagkatapos ang equation ay kukuha ng anyo Akasalanan 2 x+ bkasalananxcosx= 0. Ang equation na ito ay nalulutas sa pamamagitan ng paraan ng factorization (take out kasalananx para sa mga bracket).

Kaya, kapag nilulutas ang equation Akasalanan 2 x+ bkasalananxcosx+ccos 2 x= 0 maaari mong sundin ang algorithm:

HALIMBAWA 2. Lutasin ang equation na sinxcosx - cos 2 x= 0 (sine x times cosine x minus the root of three times cosine squared x equals zero).

Solusyon. I-factorize natin (bracket cosx). Kunin

cos x(sin x - cos x)= 0, i.e. cos x=0 o sin x - cos x= 0.

Sagot: x \u003d + πn, x \u003d + πn.

HALIMBAWA 3. Lutasin ang equation 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 (tatlong sine square ng dalawa x minus dalawang beses ang produkto ng sine ng dalawang x at ang cosine ng dalawang x plus tatlong cosine square ng dalawang x) at hanapin ang mga ugat nito na kabilang sa pagitan (- π; π).

Solusyon. Ang equation na ito ay hindi homogenous, kaya magsasagawa kami ng mga pagbabagong-anyo. Ang numero 2 na nasa kanang bahagi ng equation ay pinapalitan ng produkto 2 1

Dahil, ayon sa pangunahing trigonometric identity, sin 2 x + cos 2 x \u003d 1, kung gayon

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = pagbubukas ng mga bracket na nakukuha natin: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) =2 sin 2 x + 2 cos 2 x

Kaya ang equation na 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 ay kukuha ng anyo:

3sin 2 2x - 2sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x=0,

kasalanan 2 2x - 2 kasalanan 2x cos2 x + cos 2 2x =0.

Nakuha namin ang isang homogenous na trigonometric equation ng pangalawang degree. Ilapat natin ang term-by-term division sa pamamagitan ng cos 2 2x:

tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.

Magpakilala tayo ng bagong variable z= tg2x.

Mayroon kaming z 2 - 2 z + 1 = 0. Ito ay isang quadratic equation. Napansin ang pinaikling formula ng multiplikasyon sa kaliwang bahagi - ang parisukat ng pagkakaiba (), nakukuha natin (z - 1) 2 = 0, i.e. z = 1. Bumalik tayo sa reverse substitution:



Binawasan namin ang equation sa form na tg t \u003d a, kung saan t \u003d 2x, a \u003d 1. At dahil ang equation na ito ay may solusyon para sa anumang halaga A at mukhang ang mga solusyong ito

x \u003d arctg x a + πn, kung gayon ang solusyon sa aming equation ay:

2x \u003d arctg1 + πn,

x \u003d + , (ang x ay katumbas ng kabuuan ng pi times eight at pi en times two).

Ito ay nananatili para sa amin upang mahanap ang mga naturang halaga ng x na nakapaloob sa pagitan

(- π; π), ibig sabihin. masiyahan ang dobleng hindi pagkakapantay-pantay - π x π. kasi

x= + , pagkatapos - π + π. Hatiin ang lahat ng bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay na ito sa pamamagitan ng π at i-multiply sa 8, nakukuha natin

ilipat ang unit sa kanan at sa kaliwa, binabago ang sign sa minus one

hatiin sa apat ang makukuha natin

para sa kaginhawahan, sa mga fraction, pumili kami ng mga bahagi ng integer

-

Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay natutugunan ng sumusunod na integer n: -2, -1, 0, 1

Nonlinear equation sa dalawang hindi alam

Kahulugan 1 . Hayaan si A set ng mga pares ng mga numero (x; y). Ibinigay daw ang set A numeric function z mula sa dalawang variable x at y , kung ang isang panuntunan ay tinukoy, sa tulong kung saan ang isang tiyak na numero ay itinalaga sa bawat pares ng mga numero mula sa set A.

Ang pagtukoy ng numerical function na z ng dalawang variable na x at y ay madalas italaga Kaya:

saan f (x , y) - anumang function maliban sa function

f (x , y) = palakol+ni+c ,

kung saan ang a, b, c ay binibigyan ng mga numero.

Kahulugan 3 . Equation (2) solusyon pangalanan ang isang pares ng mga numero x; y), kung saan ang formula (2) ay isang tunay na pagkakapantay-pantay.

Halimbawa 1. lutasin ang equation

Dahil ang parisukat ng anumang numero ay di-negatibo, sumusunod ito mula sa formula (4) na ang hindi alam na x at y ay nakakatugon sa sistema ng mga equation.



ang solusyon nito ay isang pares ng mga numero (6 ; 3) .

Sagot: (6; 3)

Halimbawa 2 . lutasin ang equation

Samakatuwid, ang solusyon sa equation (6) ay isang walang katapusang bilang ng mga pares ng mga numero mabait

(1 + y ; y) ,

kung saan ang y ay anumang numero.

linear

Kahulugan 4 . Paglutas ng sistema ng mga equation



pangalanan ang isang pares ng mga numero x; y), na pinapalitan ang mga ito sa bawat isa sa mga equation ng sistemang ito, nakukuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay.

Ang mga sistema ng dalawang equation, ang isa ay linear, ay may anyo



g(x , y)

Halimbawa 4 . Lutasin ang isang sistema ng mga equation

Solusyon . Ipahayag natin ang hindi kilalang y mula sa unang equation ng system (7) sa mga tuntunin ng hindi kilalang x at palitan ang resultang expression sa pangalawang equation ng system:





Paglutas ng Equation

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

Kaya naman,

y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .





Mga sistema ng dalawang equation, ang isa ay homogenous

Ang mga sistema ng dalawang equation, na ang isa ay homogenous, ay may anyo



kung saan ang a , b , c ay binibigyan ng mga numero, at g(x , y) ay isang function ng dalawang variable na x at y .

Halimbawa 6 . Lutasin ang isang sistema ng mga equation

Solusyon . Lutasin natin ang homogenous equation

3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

tinatrato ito bilang isang quadratic equation na may paggalang sa hindi kilalang x:

.

Kung kailan x = - 5y, mula sa pangalawang equation ng system (11) makuha natin ang equation

5y 2 = - 20 ,

na walang ugat.

Kung kailan

mula sa pangalawang equation ng system (11) makuha natin ang equation

,

na ang mga ugat ay mga numero y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Sa paghahanap para sa bawat isa sa mga halagang ito y ang katumbas na halaga x , nakakakuha tayo ng dalawang solusyon sa system: (- 2 ; 3), (2 ; - 3) .

Sagot: (- 2 ; 3), (2 ; - 3)

Mga halimbawa ng paglutas ng mga sistema ng mga equation ng iba pang mga uri

Halimbawa 8 . Lutasin ang system of equation (MIPT)

Solusyon . Ipinakilala namin ang mga bagong hindi kilalang u at v , na ipinahayag sa mga tuntunin ng x at y ng mga formula:

Upang muling isulat ang system (12) sa mga tuntunin ng mga bagong hindi alam, ipinapahayag muna namin ang hindi alam na x at y sa mga tuntunin ng u at v. Ito ay sumusunod mula sa sistema (13) na

Nilulutas namin ang linear system (14) sa pamamagitan ng pagbubukod ng variable x mula sa pangalawang equation ng system na ito. Sa layuning ito, ginagawa namin ang mga sumusunod na pagbabago sa system (14):

• iniiwan namin ang unang equation ng system na hindi nagbabago;
• ibawas ang unang equation mula sa pangalawang equation at palitan ang pangalawang equation ng system ng resultang pagkakaiba.

Bilang isang resulta, ang sistema (14) ay binago sa isang katumbas na sistema



mula sa kung saan namin mahanap

Gamit ang mga formula (13) at (15), muling isinusulat namin ang orihinal na sistema (12) bilang

Ang unang equation ng system (16) ay linear, kaya maaari nating ipahayag ang hindi kilalang u mula dito sa mga tuntunin ng hindi kilalang v at palitan ang expression na ito sa pangalawang equation ng system.

"Ang kadakilaan ng isang tao ay nasa kanyang kakayahang mag-isip."
Blaise Pascal.

Layunin ng Aralin:

1) Pang-edukasyon- upang ipakilala ang mga mag-aaral sa mga homogenous na equation, upang isaalang-alang ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito, upang mag-ambag sa pagbuo ng mga kasanayan para sa paglutas ng mga naunang pinag-aralan na mga uri ng trigonometric equation.

2) Pang-edukasyon- upang mabuo ang malikhaing aktibidad ng mga mag-aaral, ang kanilang aktibidad na nagbibigay-malay, lohikal na pag-iisip, memorya, ang kakayahang magtrabaho sa isang sitwasyon ng problema, upang makamit ang kakayahang tama, pare-pareho, makatwirang ipahayag ang kanilang mga iniisip, upang palawakin ang mga abot-tanaw ng mga mag-aaral, upang itaas ang antas ng kanilang kultura sa matematika.

3) Pang-edukasyon- upang linangin ang pagnanais para sa pagpapabuti ng sarili, kasipagan, upang mabuo ang kakayahang mahusay at tumpak na maisagawa ang mga rekord ng matematika, upang linangin ang aktibidad, upang itaguyod ang interes sa matematika.

Uri ng aralin: pinagsama-sama.

Kagamitan:

1. Mga punched card para sa anim na estudyante.
2. Mga card para sa independiyente at indibidwal na gawain ng mga mag-aaral.
3. Ang ibig sabihin ay "Solution ng trigonometric equation", "Numerical unit circle".
4. Mga nakuryenteng talahanayan sa trigonometrya.
5. Paglalahad para sa aralin (Annex 1).

Sa panahon ng mga klase

1. Yugto ng organisasyon (2 minuto)

Pagbati sa isa't isa; pagsuri sa kahandaan ng mga mag-aaral para sa aralin (lugar ng trabaho, hitsura); organisasyon ng atensyon.

Sinasabi ng guro sa mga mag-aaral ang paksa ng aralin (slide 2) at ipinapaliwanag na ang handout na nasa mga mesa ay gagamitin sa panahon ng aralin.

2. Pag-uulit ng teoretikal na materyal (15 minuto)

Mga gawain sa mga punched card(6 na tao) . Oras ng pagtatrabaho sa mga punched card - 10 minuto (Annex 2)

Sa pamamagitan ng paglutas ng mga gawain, matututunan ng mga mag-aaral kung saan inilalapat ang mga kalkulasyon ng trigonometriko. Ang mga sumusunod na sagot ay nakuha: triangulation (isang pamamaraan na nagbibigay-daan sa pagsukat ng mga distansya sa mga kalapit na bituin sa astronomiya), acoustics, ultrasound, tomography, geodesy, cryptography.

(slide 5)

front poll.

1. Anong mga equation ang tinatawag na trigonometric?
2. Anong mga uri ng trigonometric equation ang alam mo?
3. Anong mga equation ang tinatawag na pinakasimpleng trigonometric equation?
4. Anong mga equation ang tinatawag na quadratic trigonometric?
5. Bumuo ng kahulugan ng arcsine ng a.
6. Bumuo ng kahulugan ng arc cosine ng a.
7. Bumuo ng kahulugan ng arc tangent ng a.
8. Bumuo ng kahulugan ng inverse tangent ng a.

Larong "Hulaan ang salitang cipher"

Minsang sinabi ni Blaise Pascal na ang matematika ay isang seryosong agham na hindi dapat palampasin ng isang pagkakataon na gawin itong mas nakakaaliw. Kaya iminumungkahi kong maglaro ka. Pagkatapos malutas ang mga halimbawa, tukuyin ang pagkakasunud-sunod ng mga digit kung saan binubuo ang naka-encrypt na salita. Sa Latin, ang salitang ito ay nangangahulugang "sine". (slide 3)

2) arctan (-√3)

4) tg(arc cos(1/2))

5) tg (arc ctg √3)

Sagot: "Baluktot"

Ang larong "Scattered mathematician»

Ang mga gawain para sa oral na gawain ay inaasahang sa screen:

Suriin ang kawastuhan ng solusyon ng mga equation.(lumalabas ang tamang sagot sa slide pagkatapos ng sagot ng mag-aaral). (slide 4)

	Mga sagot na may mga pagkakamali	Mga tamang sagot
	x = ± π/6+2πn	x = ± π/3+2πn
	x = π/3+πn	X = (-1) nπ/3+πn
tg x = π/4	x = 1 +πn	tg x \u003d 1, x \u003d π / 4 + πn
	x = ±π/6+ π n	x = ± π/6+2πn
	x \u003d (-1) n arcsin1 / 3 + 2πn	x \u003d (-1) n arcsin1 / 3 + pn
	x = ± π/6+2πn	x = ± 5π/6+2πn
dahil x = π/3	x = ± 1/2 +2πn	cos x = 1/2, x = ± π/3+2πn

Sinusuri ang takdang-aralin.

Itinatag ng guro ang kawastuhan at kamalayan ng takdang-aralin ng lahat ng mga mag-aaral; kinikilala ang mga puwang sa kaalaman; nagpapabuti ng kaalaman, kasanayan at kakayahan ng mga mag-aaral sa larangan ng paglutas ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko.

1 equation. Ang mag-aaral ay nagkomento sa solusyon ng equation, ang mga linya na lumilitaw sa slide sa pagkakasunud-sunod ng komento). (slide 6)

√3tg2x = 1;

tg2x=1/√3;

2х= arctg 1/√3 +πn, n ∈Z.

2x \u003d π / 6 + πn, n ∈Z.

x \u003d π / 12 + π/2 n, n ∈Z.

2 equation. Solusyon h nakasulat sa mga mag-aaral sa pisara.

2 sin 2 x + 3 cosx = 0.

3. Aktwalisasyon ng bagong kaalaman (3 minuto)

Ang mga mag-aaral, sa kahilingan ng guro, ay naaalala ang mga paraan upang malutas ang mga equation ng trigonometriko. Pinipili nila ang mga equation na alam na nila kung paano lutasin, pangalanan ang paraan ng paglutas ng equation at ang resulta . Ang mga sagot ay makikita sa slide. (slide 7) .

Pagpapakilala ng bagong variable:

No. 1. 2sin 2x - 7sinx + 3 = 0.

Hayaan ang sinx = t, kung gayon:

2t 2 – 7t + 3 = 0.

Factorization:

№2. 3sinx cos4x – cos4x = 0;

cos4x(3sinx - 1) = 0;

cos4x = 0 o 3 sinx - 1 = 0; …

No. 3. 2 sinx - 3 cosx = 0,

No. 4. 3 kasalanan 2 x - 4 sinx cosx + cos 2 x \u003d 0.

Guro: Hindi mo pa alam kung paano lutasin ang huling dalawang uri ng equation. Parehong pareho ang uri. Hindi sila maaaring bawasan sa isang equation para sa sinx o cosx function. Tinatawag homogenous na trigonometriko equation. Ngunit ang una lamang ay isang homogenous na equation ng unang degree, at ang pangalawa ay isang homogenous na equation ng pangalawang degree. Ngayon sa aralin ay makikilala mo ang mga naturang equation at matutunan kung paano lutasin ang mga ito.

4. Pagpapaliwanag ng bagong materyal (25 minuto)

Binibigyan ng guro ang mga mag-aaral ng mga kahulugan ng homogenous na trigonometric equation, ipinakilala ang mga paraan upang malutas ang mga ito.

Kahulugan. Isang equation ng form na a sinx + b cosx =0, kung saan ang a ≠ 0, b ≠ 0 ay tinatawag homogenous trigonometric equation ng unang degree.(slide 8)

Ang isang halimbawa ng naturang equation ay Equation #3. Isulat natin ang pangkalahatang anyo ng equation at pag-aralan ito.

at sinx + b cosx = 0.

Kung cosx = 0, kung gayon sinx = 0.

- Posible bang mangyari ang ganitong sitwasyon?

- Hindi. Nakakuha kami ng kontradiksyon sa pangunahing trigonometriko na pagkakakilanlan.

Kaya, cosx ≠ 0. Gawin natin ang term-by-term division ayon sa cosx:

isang tgx + b = 0

tgx = -b / a ay ang pinakasimpleng trigonometric equation.

Konklusyon: Ang mga homogenous na trigonometric na equation ng unang degree ay nalulutas sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng equation sa cosx (sinx).

Halimbawa: 2 sinx - 3 cosx = 0,

kasi cosx ≠ 0, pagkatapos



tgx = 3/2 ;

x = arctg (3/2) + πn, n ∈Z.

Kahulugan. Isang equation ng form na a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0 , kung saan ang a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 ay tinatawag trigonometriko equation ng ikalawang antas. (slide 8)

Ang isang halimbawa ng naturang equation ay Equation #4. Isulat natin ang pangkalahatang anyo ng equation at pag-aralan ito.

a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0.

Kung cosx = 0, kung gayon sinx = 0.

Muli kaming nakakuha ng kontradiksyon sa pangunahing trigonometriko na pagkakakilanlan.

Kaya, cosx ≠ 0. Gawin natin ang term-by-term division sa pamamagitan ng cos 2 x:



at ang tg 2 x + b tgx + c = 0 ay isang quadratic equation.

Konklusyon: Oh Ang mga homogenous na trigonometric na equation ng pangalawang degree ay nalulutas sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng equation sa cos 2 x (sin 2 x).

Halimbawa: 3 kasalanan 2 x - 4 sinx cosx + cos 2 x \u003d 0.

kasi cos 2 x ≠ 0, pagkatapos



3tg 2 x - 4 tgx + 1 = 0 (Anyayahan ang mag-aaral na pumunta sa pisara at kumpletuhin ang equation nang mag-isa).

Kapalit: tgx = y. 3y 2 - 4y + 1 = 0

D = 16 - 12 = 4

y 1 = 1 o y 2 = 1/3

tgx=1 o tgx=1/3

x = arctg (1/3) + πn, n ∈Z.

x = arctg1 + πn, n ∈Z.

x = π/4 + πn, n ∈Z.

5. Yugto ng pagsuri sa pagkaunawa ng mga mag-aaral sa bagong materyal (1 min.)

Piliin ang karagdagang equation:

sinx=2cosx; 2sinx + cosx = 2;

√3sinx + cosx = 0; kasalanan 2 x - 2 sinx cosx + 4cos 2 x \u003d 0;

4cosx + 5sinx = 0; √3sinx – cosx = 0.

(slide 9)

6. Pagsasama-sama ng bagong materyal (24 min).

Ang mga mag-aaral, kasama ang mga sumasagot sa pisara, ay nilulutas ang mga equation para sa bagong materyal. Ang mga gawain ay nakasulat sa slide sa anyo ng isang talahanayan. Kapag nilulutas ang equation, bubukas ang kaukulang bahagi ng larawan sa slide. Bilang resulta ng pagpapatupad ng 4 na equation, isang larawan ng isang mathematician na may malaking epekto sa pag-unlad ng trigonometrya ay bubukas bago ang mga mag-aaral. (Makikilala ng mga mag-aaral ang larawan ni Francois Vieta - ang mahusay na matematiko na gumawa ng malaking kontribusyon sa trigonometrya, natuklasan ang pag-aari ng mga ugat ng pinababang quadratic equation at nakikibahagi sa cryptography) . (slide 10)

1) √3sinx + cosx = 0,

kasi cosx ≠ 0, pagkatapos

√3tgx + 1 = 0;

tgx = –1/√3;

х = arctg (–1/√3) + πn, n ∈Z.

x = –π/6 + πn, n ∈Z.

2) kasalanan 2 x - 10 sinx cosx + 21cos 2 x \u003d 0.

kasi cos 2 x ≠ 0, pagkatapos ay tg 2 x - 10 tgx + 21 = 0

Kapalit: tgx = y.

y 2 - 10 y + 21 = 0

y 1 = 7 o y 2 = 3

tgx=7 o tgx=3

x = arctg7 + πn, n ∈Z

x = arctg3 + πn, n ∈Z

3) kasalanan 2 2x - 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x = 0.

kasi cos 2 2x ≠ 0, pagkatapos ay 3tg 2 2x – 6tg2x +5 = 0

Kapalit: tg2x = y.

3y 2 - 6y + 5 = 0

D \u003d 36 - 20 \u003d 16

y 1 = 5 o y 2 = 1

tg2x=5 o tg2x=1

2x = arctg5 + πn, n ∈Z

x = 1/2 arctg5 + π/2 n, n ∈Z

2x = arctg1 + πn, n ∈Z

x = π/8 + π/2 n, n ∈Z

4) 6sin 2 x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx - sin 2 x - cos 2 x \u003d 0.

5sin 2 x + 4 sinx cosx - cos 2 x \u003d 0.

kasi cos 2 x ≠0, pagkatapos ay 5tg 2 x + 4 tgx –1 = 0

Kapalit: tg x = y.

5y 2 + 4y - 1 = 0

D=16+20=36

y 1 = 1/5 o y 2 = -1

tgx = 1/5 o tgx = -1

x = arctg1/5 + πn, n ∈Z

x = arctg(–1) + πn, n ∈Z

x = –π/4 + πn, n ∈Z

Mga extra (sa card):

Lutasin ang equation at, pagpili ng isang opsyon mula sa apat na iminungkahing, hulaan ang pangalan ng mathematician na nagmula sa mga formula ng pagbabawas:

2sin 2 x - 3 sinx cosx - 5cos 2 x = 0.

Mga pagpipilian sa sagot:

х = arctg2 + 2πn, n ∈Z х = –π/2 + πn, n ∈Z – P. Chebyshev

x = arctan 12.5 + 2πn, n ∈Z x = –3π/4 + πn, n ∈Z – Euclid

х = arctg 5 + πn, n ∈Z х = –π/3 + πn, n ∈Z – Sofia Kovalevskaya

x = arctg2.5 + πn, n ∈Z x = –π/4 + πn, n ∈Z – Leonard Euler

Tamang Sagot: Leonhard Euler.

7. Iba't ibang malayang gawain (8 min.)

Ang mahusay na matematiko at pilosopo higit sa 2500 taon na ang nakalilipas ay nagmungkahi ng isang paraan upang bumuo ng mga kakayahan sa pag-iisip. "Ang pag-iisip ay nagsisimula sa pagtataka," sabi niya. Paulit-ulit tayong nakumbinsi sa kawastuhan ng mga salitang ito ngayon. Matapos makumpleto ang independiyenteng gawain sa 2 pagpipilian, maaari mong ipakita kung paano mo natutunan ang materyal at alamin ang pangalan ng mathematician na ito. Para sa malayang trabaho, gamitin ang handout na nasa iyong mga mesa. Maaari kang pumili ng isa sa tatlong iminungkahing equation sa iyong sarili. Ngunit tandaan na sa pamamagitan ng paglutas ng equation na katumbas ng dilaw, maaari ka lamang makakuha ng "3", paglutas ng equation na katumbas ng berde - "4", pula - "5". (Annex 3)

Anuman ang antas ng kahirapan na piliin ng mga mag-aaral, pagkatapos ng tamang solusyon ng equation, ang unang opsyon ay makakakuha ng salitang "ARIST", ang pangalawa - "HOTEL". Sa slide ay nakuha ang salita: "ARIST-HOTEL". (slide 11)

Ang mga leaflet na may independiyenteng gawain ay ibinibigay para sa pagpapatunay. (Annex 4)

8. Pagre-record ng takdang-aralin (1 min)

D/z: §7.17. Bumuo at lutasin ang 2 homogenous na equation ng unang degree at 1 homogeneous equation ng pangalawang degree (gamit ang Vieta's theorem para sa compilation). (slide 12)

9. Pagbubuod ng aralin, pagmamarka (2 minuto)

Ang guro ay muling binibigyang pansin ang mga uri ng mga equation at ang mga teoretikal na katotohanan na naalala sa aralin, ay nagsasalita tungkol sa pangangailangan na matutunan ang mga ito.

Sagutin ng mga mag-aaral ang mga tanong:

1. Anong uri ng trigonometric equation ang pamilyar sa atin?
2. Paano nalulutas ang mga equation na ito?

Napansin ng guro ang pinakamatagumpay na gawain sa aralin ng mga indibidwal na mag-aaral, naglalagay ng mga marka.

Ngayon ay haharapin natin ang mga homogenous na trigonometric equation. Una, harapin natin ang terminolohiya: ano ang isang homogenous na trigonometric equation. Ito ay may mga sumusunod na katangian:

1. ito ay dapat magkaroon ng ilang mga termino;
2. lahat ng mga termino ay dapat magkaroon ng parehong antas;
3. lahat ng mga function na kasama sa isang homogenous na trigonometric na pagkakakilanlan ay dapat na may parehong argumento.

Algorithm ng solusyon

Paghiwalayin ang mga tuntunin

At kung ang lahat ay malinaw sa unang punto, kung gayon ito ay nagkakahalaga ng pag-uusap tungkol sa pangalawa nang mas detalyado. Ano ang ibig sabihin ng parehong antas ng mga termino? Tingnan natin ang unang gawain:

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

Ang unang termino sa equation na ito ay 3cosx 3\cos x. Tandaan na mayroon lamang isang trigonometric function dito - cosx\cos x - at walang ibang trigonometriko na pag-andar ang naroroon, kaya ang antas ng terminong ito ay 1. Ganun din sa pangalawa - 5sinx 5 \ sin x - tanging ang sine ang naroroon dito, ibig sabihin, ang antas ng terminong ito ay katumbas din ng isa. Kaya, mayroon kaming bago sa amin ng isang pagkakakilanlan na binubuo ng dalawang elemento, ang bawat isa ay naglalaman ng isang trigonometric function, at sa parehong oras ay isa lamang. Ito ay isang first degree equation.

Lumipat tayo sa pangalawang expression:

4kasalanan2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

Ang unang termino ng konstruksiyon na ito ay 4kasalanan2 x 4((\sin )^(2))x.

Ngayon ay maaari nating isulat ang sumusunod na solusyon:

kasalanan2 x=sinx⋅sinx

((\sin )^(2))x=\sin x\cdot \sin x

Sa madaling salita, ang unang termino ay naglalaman ng dalawang trigonometric function, iyon ay, ang degree nito ay dalawa. Harapin natin ang pangalawang elemento - kasalanan2x\kasalanan 2x. Alalahanin ang sumusunod na formula - ang double angle formula:

sin2x=2sinx⋅cosx

\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x

At muli, sa resultang formula, mayroon kaming dalawang trigonometric function - sine at cosine. Kaya, ang halaga ng kapangyarihan ng miyembrong ito ng konstruksiyon ay katumbas din ng dalawa.

Bumaling tayo sa ikatlong elemento - 3. Mula sa kursong matematika sa mataas na paaralan, natatandaan natin na ang anumang numero ay maaaring i-multiply sa 1, kaya sumulat tayo:

˜ 3=3⋅1

At ang yunit na gumagamit ng pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan ay maaaring isulat sa sumusunod na anyo:

1=kasalanan2 x⋅ cos2 x

1=((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x

Samakatuwid, maaari nating muling isulat ang 3 tulad ng sumusunod:

3=3(kasalanan2 x⋅ cos2 x)=3kasalanan2 x+3 cos2 x

3=3\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x \right)=3((\sin )^(2))x+3(( \cos )^(2))x

Kaya, ang aming termino 3 ay nahati sa dalawang elemento, ang bawat isa ay homogenous at may pangalawang antas. Ang sine sa unang termino ay nangyayari nang dalawang beses, ang cosine sa pangalawa ay nangyayari din nang dalawang beses. Kaya, ang 3 ay maaari ding kinakatawan bilang isang term na may exponent ng dalawa.

Pareho sa pangatlong expression:

kasalanan3 x+ kasalanan2 xcosx=2 cos3 x

Tingnan natin. Ang unang termino - kasalanan3 x((\sin )^(3))x ay isang trigonometric function ng ikatlong degree. Ang pangalawang elemento ay kasalanan2 xcosx((\sin )^(2))x\cos x.

kasalanan2 Ang ((\sin )^(2)) ay isang link na may power value na dalawa na pina-multiply ng cosx\cos x ang termino ng una. Sa kabuuan, ang ikatlong termino ay mayroon ding power value na tatlo. Sa wakas, sa kanan ay isa pang link - 2cos3 x Ang 2((\cos )^(3))x ay isang elemento ng ikatlong antas. Kaya, mayroon kaming isang homogenous na trigonometric equation ng ikatlong antas.

Nakapagtala kami ng tatlong pagkakakilanlan ng magkakaibang antas. Pansinin muli ang pangalawang ekspresyon. Sa orihinal na entry, ang isa sa mga miyembro ay may argumento 2x 2x. Napipilitan tayong alisin ang argumentong ito sa pamamagitan ng pagbabago nito ayon sa pormula ng sine ng isang dobleng anggulo, dahil ang lahat ng mga pag-andar na kasama sa ating pagkakakilanlan ay kinakailangang magkaroon ng parehong argumento. At ito ay isang kinakailangan para sa homogenous na trigonometric equation.

Ginagamit namin ang formula ng pangunahing trigonometric identity at isulat ang panghuling solusyon

Naisip namin ang mga tuntunin, magpatuloy sa solusyon. Anuman ang power exponent, ang paglutas ng mga pagkakapantay-pantay ng ganitong uri ay palaging ginagawa sa dalawang hakbang:

1) patunayan iyon

cosx≠0

\cos x\ne 0. Upang gawin ito, sapat na upang alalahanin ang formula para sa pangunahing trigonometric identity (kasalanan2 x⋅ cos2 x=1)\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x=1 \right) at palitan sa formula na ito cosx=0\cosx=0. Makukuha namin ang sumusunod na expression:

kasalanan2 x=1sinx=±1

\begin(align)& ((\sin )^(2))x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\end(align)

Ang pagpapalit sa mga nakuhang halaga, ibig sabihin, sa halip na cosx\cos x ay zero, at sa halip na sinx\sin x - 1 o -1, sa orihinal na expression, nakakakuha tayo ng maling pagkakapantay-pantay ng numero. Ito ang katwiran para sa katotohanan na

cosx≠0

2) lohikal na sumusunod ang pangalawang hakbang mula sa una. Dahil ang

cosx≠0

\cos x\ne 0, hinahati namin ang magkabilang panig ng aming construction sa cosn x((\cos )^(n))x, saan n n ay ang power exponent ng homogenous na trigonometric equation. Ano ang ibinibigay nito sa atin:

\[\begin(array)((35)(l))

sinxcosx=tgxcosxcosx=1

\begin(align)& \frac(\sin x)(\cos x)=tgx \\& \frac(\cos x)(\cos x)=1 \\\end(align) \\() \\ \end(array)\]

Dahil dito, ang aming masalimuot na paunang konstruksyon ay bumababa sa equation n n-power na may paggalang sa tangent, ang solusyon na kung saan ay madaling nakasulat gamit ang isang pagbabago ng variable. Iyan ang buong algorithm. Tingnan natin kung paano ito gumagana sa pagsasanay.

Malutas namin ang mga tunay na problema

Gawain 1

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

Nalaman na namin na ito ay isang homogenous na trigonometric equation na may power exponent na katumbas ng isa. Samakatuwid, una sa lahat, alamin natin iyon cosx≠0\cos x\ne 0. Ipagpalagay na salungat iyon

cosx=0→sinx=±1

\cos x=0\sa \sin x=\pm 1.

Pinapalitan namin ang nagresultang halaga sa aming expression, nakukuha namin:

3⋅0+5⋅(±1)=0±5=0

\begin(align)& 3\cdot 0+5\cdot \left(\pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\\end(align)

Batay dito, masasabing cosx≠0\cos x\ne 0. Hatiin ang ating equation sa cosx\cos x dahil ang buong expression natin ay may power value na isa. Nakukuha namin:

3(cosxcosx) +5(sinxcosx) =0 3+5tgx=0tgx=− 3 5

\begin(align)& 3\left(\frac(\cos x)(\cos x) \right)+5\left(\frac(\sin x)(\cos x) \right)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac(3)(5) \\\end(align)

Ito ay hindi isang halaga ng talahanayan, kaya ang sagot ay isasama arctgx arctgx:

x=arctg (−3 5 ) + πn,n∈Z

x=arctg\left(-\frac(3)(5) \right)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

Dahil ang arctg Ang arctg arctg ay isang kakaibang function, maaari nating alisin ang "minus" sa argumento at ilagay ito bago ang arctg. Nakukuha namin ang huling sagot:

x=−arctg 3 5 + πn,n∈Z

x=-arctg\frac(3)(5)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

Gawain #2

4kasalanan2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

Tulad ng naaalala mo, bago magpatuloy sa solusyon nito, kailangan mong magsagawa ng ilang pagbabago. Nagsasagawa kami ng mga pagbabagong-anyo:

4kasalanan2 x+2sinxcosx−3 (kasalanan2 x+ cos2 x)=0 4kasalanan2 x+2sinxcosx−3 kasalanan2 x−3 cos2 x=0kasalanan2 x+2sinxcosx−3 cos2 x=0

\begin(align)& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3\left(((\sin )^(2))x+((\cos )^(2 ))x \right)=0 \\& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\sin )^(2))x-3((\cos )^(2))x=0 \\& ((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\cos )^(2))x=0 \\\end (align)

Nakatanggap kami ng isang istraktura na binubuo ng tatlong elemento. Sa unang termino nakita natin kasalanan2 ((\sin )^(2)), ibig sabihin, ang halaga ng kapangyarihan nito ay dalawa. Sa ikalawang termino, nakikita natin sinx\sin x at cosx\cos x - muli, mayroong dalawang mga pag-andar, sila ay pinarami, kaya ang kabuuang antas ay muli dalawa. Sa ikatlong link makikita natin cos2 x((\cos )^(2))x - katulad ng unang value.

Patunayan natin yan cosx=0\cos x=0 ay hindi isang solusyon sa konstruksiyon na ito. Upang gawin ito, ipagpalagay na ang kabaligtaran:

\[\begin(array)((35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left(\pm 1 \right)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \ \1=0 \\\end(array)\]

Napatunayan na natin yan cosx=0\cos x=0 ay hindi maaaring maging solusyon. Dumaan kami sa pangalawang hakbang - hinahati namin ang aming buong expression sa pamamagitan ng cos2 x((\cos )^(2))x. Bakit sa isang parisukat? Dahil ang exponent ng homogenous equation na ito ay katumbas ng dalawa:

kasalanan2 xcos2 x+2sinxcosxcos2 x−3=0 t g2 x+2tgx−3=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(2))x)(((\cos )^(2))x)+2\frac(\sin x\cos x)(((\ cos )^(2))x)-3=0 \\& t((g)^(2))x+2tgx-3=0 \\\end(align)

Malutas ba ang ekspresyong ito gamit ang discriminant? Syempre kaya mo. Ngunit ipinapanukala kong alalahanin ang teorama na nakikipag-usap sa teorama ni Vieta, at nakuha namin na ang polynomial na ito ay maaaring katawanin bilang dalawang simpleng polynomial, katulad:

(tgx+3) (tgx−1)=0tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Ztgx=1→x= π 4 + πk,k∈Z

\begin(align)& \left(tgx+3 \right)\left(tgx-1 \right)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\ text( )\!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(align)

Maraming mga mag-aaral ang nagtatanong kung ito ay nagkakahalaga ng pagsulat ng hiwalay na mga coefficient para sa bawat grupo ng mga solusyon sa mga pagkakakilanlan, o hindi upang abalahin at isulat ang parehong koepisyent sa lahat ng dako. Sa personal, sa palagay ko ay mas mahusay at mas maaasahan na gumamit ng iba't ibang mga titik, upang sa kaso kapag pumasok ka sa isang seryosong teknikal na unibersidad na may karagdagang mga pagsusulit sa matematika, ang mga inspektor ay hindi nakakahanap ng kasalanan sa sagot.

Gawain #3

kasalanan3 x+ kasalanan2 xcosx=2 cos3 x

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x=2((\cos )^(3))x

Alam na natin na ito ay isang homogenous na trigonometric equation ng ikatlong antas, walang mga espesyal na formula ang kailangan, at ang kailangan lang sa atin ay ilipat ang termino 2cos3 x 2((\cos )^(3))x sa kaliwa. Muling pagsusulat:

kasalanan3 x+ kasalanan2 xcosx−2 cos3 x=0

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x-2((\cos )^(3))x=0

Nakita namin na ang bawat elemento ay naglalaman ng tatlong trigonometric function, kaya ang equation na ito ay may power value na tatlo. Solusyonan natin ito. Una sa lahat, kailangan nating patunayan iyon cosx=0\cos x=0 ay hindi isang ugat:

\[\begin(array)((35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\end(array)\]

Palitan ang mga numerong ito sa aming orihinal na konstruksyon:

(±1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0−0=0±1=0

\begin(align)& ((\left(\pm 1 \right))^(3))+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\end(align)

Kaya naman, cosx=0\cos x=0 ay hindi isang solusyon. Napatunayan na natin yan cosx≠0\cos x\ne 0. Ngayong napatunayan na natin ito, hinahati natin ang ating orihinal na equation sa cos3 x((\cos )^(3))x. Bakit sa isang cube? Dahil pinatunayan lang namin na ang aming orihinal na equation ay may ikatlong kapangyarihan:

kasalanan3 xcos3 x+kasalanan2 xcosxcos3 x−2=0 t g3 x+t g2 x−2=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(3))x)(((\cos )^(3))x)+\frac(((\sin )^(2))x\ cos x)(((\cos )^(3))x)-2=0 \\& t((g)^(3))x+t((g)^(2))x-2=0 \\\end(align)

Magpakilala tayo ng bagong variable:

tgx=t

Muling pagsusulat ng istraktura:

t3 +t2 −2=0

((t)^(3))+((t)^(2))-2=0

Mayroon kaming isang cubic equation. Paano ito lutasin? Noong una, noong kino-compile ko pa lang ang video tutorial na ito, binalak kong pag-usapan muna ang decomposition ng polynomials sa mga factor at iba pang trick. Ngunit sa kasong ito, ang lahat ay mas simple. Tingnan, ang aming pinababang pagkakakilanlan, na may terminong may pinakamataas na antas, ay 1. Bilang karagdagan, ang lahat ng mga coefficient ay mga integer. At nangangahulugan ito na maaari nating gamitin ang corollary ng theorem ni Bezout, na nagsasabing ang lahat ng mga ugat ay mga divisors ng numero -2, iyon ay, isang libreng termino.

Ang tanong ay lumitaw: ano ang hinati ng -2. Dahil ang 2 ay isang pangunahing numero, walang napakaraming mga pagpipilian. Ito ay maaaring ang mga sumusunod na numero: 1; 2; -1; -2. Ang mga negatibong ugat ay agad na nawawala. Bakit? Dahil pareho silang mas malaki sa 0 sa ganap na halaga, samakatuwid, t3 ((t)^(3)) ay magiging mas malaki sa modulus kaysa t2 ((t)^(2)). At dahil ang cube ay isang kakaibang function, kaya ang numero sa cube ay magiging negatibo, at t2 ((t)^(2)) ay positibo, at ang buong construction na ito, na may t=−1 t=-1 at t=−2 Ang t=-2 ay hindi lalampas sa 0. Ibawas ang -2 dito at kumuha ng numero na halatang mas mababa sa 0. 1 at 2 na lang ang natitira. Palitan natin ang bawat isa sa mga numerong ito:

˜ t=1→ 1+1−2=0→0=0

˜t=1\to \text( )1+1-2=0\to 0=0

Nakuha namin ang tamang pagkakapantay-pantay ng numero. Kaya naman, t=1 t=1 ang ugat.

t=2→8+4−2=0→10≠0

t=2\to 8+4-2=0\to 10\ne 0

t=2 Ang t=2 ay hindi isang ugat.

Ayon sa corollary at ang parehong Bezout theorem, anumang polynomial na ang ugat ay x0 ((x)_(0)), kinakatawan bilang:

Q(x)=(x= x0 )P(x)

Q(x)=(x=((x)_(0)))P(x)

Sa aming kaso, bilang x x ay isang variable t t, at sa papel x0 Ang ((x)_(0)) ay isang ugat na katumbas ng 1. Nakukuha namin ang:

t3 +t2 −2=(t−1)⋅P(t)

((t)^(3))+((t)^(2))-2=(t-1)\cdot P(t)

Paano makahanap ng polynomial P (t) P\kaliwa(t\kanan)? Malinaw, kailangan mong gawin ang sumusunod:

P(t)= t3 +t2 −2 t−1

P(t)=\frac(((t)^(3))+((t)^(2))-2)(t-1)

Pinapalitan namin:

t3 +t2 +0⋅t−2t−1=t2 +2t+2

\frac(((t)^(3))+((t)^(2))+0\cdot t-2)(t-1)=((t)^(2))+2t+2

Kaya, ang aming orihinal na polynomial ay nahahati nang walang natitira. Kaya, maaari naming muling isulat ang aming orihinal na pagkakapantay-pantay bilang:

(t−1)( t2 +2t+2)=0

(t-1)(((t)^(2))+2t+2)=0

Ang produkto ay katumbas ng zero kapag kahit isa sa mga salik ay katumbas ng zero. Isinaalang-alang na natin ang unang kadahilanan. Tingnan natin ang pangalawa:

t2 +2t+2=0

((t)^(2))+2t+2=0

Malamang na naunawaan na ng mga may karanasang mag-aaral na ang konstruksiyon na ito ay walang ugat, ngunit kalkulahin pa rin natin ang diskriminasyon.

D=4−4⋅2=4−8=−4

D=4-4\cdot 2=4-8=-4

Ang discriminant ay mas mababa sa 0, kaya ang expression ay walang mga ugat. Sa kabuuan, ang malaking konstruksyon ay nabawasan sa karaniwang pagkakapantay-pantay:

\[\begin(array)((35)(l))

t=\text( )1 \\tgx=\text( )1 \\x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(array)\]

Sa konklusyon, nais kong magdagdag ng ilang mga komento sa huling gawain:

1. kung ang kondisyon ay palaging masisiyahan cosx≠0\cos x\ne 0, at kung dapat bang gawin ang pagsusuring ito. Siyempre, hindi palagi. Sa mga kaso kung saan cosx=0 Ang \cos x=0 ay isang solusyon sa ating pagkakapantay-pantay, dapat nating alisin ito sa mga bracket, at pagkatapos ay mananatili ang isang ganap na homogenous na equation sa mga bracket.
2. Ano ang dibisyon ng isang polynomial sa isang polynomial. Sa katunayan, karamihan sa mga paaralan ay hindi nag-aaral nito, at kapag ang mga mag-aaral ay unang nakakita ng ganitong istraktura, nakakaranas sila ng bahagyang pagkabigla. Ngunit, sa katunayan, ito ay isang simple at magandang pamamaraan na lubos na nagpapadali sa solusyon ng mga equation ng mas mataas na antas. Siyempre, isang hiwalay na video tutorial ang ilalaan dito, na aking ilalathala sa malapit na hinaharap.

Pangunahing puntos

Ang mga homogenous na trigonometric equation ay isang paboritong paksa sa iba't ibang pagsubok. Ang mga ito ay malulutas nang napakasimple - sapat na upang magsanay nang isang beses. Upang gawing malinaw kung ano ang pinag-uusapan, ipinakilala namin ang isang bagong kahulugan.

Ang isang homogenous na trigonometric equation ay isa kung saan ang bawat non-zero term nito ay binubuo ng parehong bilang ng mga trigonometriko na kadahilanan. Ang mga ito ay maaaring mga sine, cosine, o mga kumbinasyon nito - ang paraan ng solusyon ay palaging pareho.

Ang antas ng isang homogenous na trigonometric equation ay ang bilang ng mga trigonometriko na kadahilanan na kasama sa mga non-zero na termino. Mga Halimbawa:

sinx+15 cos x=0

\sin x+15\text( cos )x=0 — 1st degree identity;

2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0

2\text( sin)2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 - 2nd degree;

sin3x+2sinxcos2x=0

\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 - 3rd degree;

sinx+cosx=1

\sin x+\cos x=1 - at ang equation na ito ay hindi homogenous, dahil mayroong isang yunit sa kanan - isang non-zero term, kung saan walang trigonometriko na mga kadahilanan;

sin2x+2sinx−3=0

Ang \sin 2x+2\sin x-3=0 ay isa ring inhomogeneous equation. Elemento kasalanan2x\sin 2x - ang pangalawang antas (dahil maaari mong isipin

sin2x=2sinxcosx

\sin 2x=2\sin x\cos x), 2sinx 2 \ sin x - ang una, at ang terminong 3 ay karaniwang zero, dahil walang mga sine o cosine sa loob nito.

Pangkalahatang scheme ng solusyon

Ang scheme ng solusyon ay palaging pareho:

Magpanggap na tayo cosx=0\cosx=0. Pagkatapos sinx=±1\sin x=\pm 1 - ito ay sumusunod mula sa pangunahing pagkakakilanlan. Kapalit sinx\sin x at cosx\cos x sa orihinal na expression, at kung ang resulta ay walang kapararakan (halimbawa, ang expression 5=0 5=0), pumunta sa pangalawang punto;

Hinahati namin ang lahat sa pamamagitan ng kapangyarihan ng cosine: cosx, cos2x, cos3x ... - depende sa power value ng equation. Nakukuha namin ang karaniwang pagkakapantay-pantay sa mga tangent, na matagumpay na nalutas pagkatapos ng kapalit na tgx=t.

tgx=tAng nahanap na mga ugat ang magiging sagot sa orihinal na expression.