שיטת המטריצה ​​ההפוכה של קריימר. השיטה של ​​קריימר: לפתור מערכות של משוואות אלגבריות לינאריות (Slau)

שקול מערכת של 3 משוואות עם שלושה לא ידועים

באמצעות דטרמיננטים מסדר שלישי, ניתן לכתוב את הפתרון של מערכת כזו באותה צורה כמו למערכת של שתי משוואות, כלומר.

(2.4)

אם 0. כאן

זה שלטון קריימר פתרונות של מערכת השלוש משוואות ליניאריותעם שלושה אלמונים.

דוגמה 2.3.פתרו מערכת של משוואות ליניאריות באמצעות הכלל של קריימר:

פִּתָרוֹן . מציאת הקובע של המטריצה ​​הראשית של המערכת

מאז 0, אז כדי למצוא פתרון למערכת, אתה יכול ליישם את הכלל של Cramer, אבל תחילה לחשב שלושה דטרמיננטים נוספים:

בְּדִיקָה:

לכן, הפתרון נמצא נכון. 

הכללים של קריימר נגזרו עבור מערכות ליניאריותמסדר 2 ו-3, מציעים שניתן לנסח את אותם כללים עבור מערכות ליניאריות בכל סדר. מתרחש באמת

משפט קריימר. מערכת ריבועית של משוואות לינאריות עם דטרמיננטה שאינה אפס של המטריצה ​​הראשית של המערכת (0) יש פתרון אחד ויחיד, והפתרון הזה מחושב לפי הנוסחאות

(2.5)

איפה  – גורם המטריצה ​​העיקרי,  אני – קביעת מטריצה, נגזר מהעיקר, החלפהאניהעמודה החינמית בעמודה.

שימו לב שאם =0, אז הכלל של Cramer אינו ישים. זה אומר שלמערכת אין פתרונות כלל, או שיש לה אינסוף פתרונות.

לאחר שניסח את משפט קריימר, מתעוררת כמובן השאלה של חישוב דטרמיננטים מסדר גבוה.

2.4. קובעי סדר n

קטין נוסף M ijאֵלֵמֶנט א ijנקרא הקובע המתקבל מהנתון על ידי מחיקה אני-השורה ו י-עמודה. תוספת אלגברית א ijאֵלֵמֶנט א ijנקרא הקטנה של יסוד זה, נלקח עם הסימן (–1) אני + י, כלומר א ij = (–1) אני + י M ij .

לדוגמה, בואו נמצא קטינים והשלמות אלגבריות של אלמנטים א 23 ו א 31 קובעים

אנחנו מקבלים



באמצעות המושג משלים אלגברי, נוכל לנסח משפט ההתפשטות הקובענהסדר לפי שורה או עמודה.

משפט 2.1. מטריצה ​​קובעתאשווה לסכום המכפלות של כל האלמנטים של שורה (או עמודה) כלשהי ושל ההשלמות האלגבריות שלהם:

(2.6)

משפט זה עומד בבסיס אחת השיטות העיקריות לחישוב הקובעים, מה שנקרא. שיטת הפחתת הזמנות. כתוצאה מהרחבת הקובע נהסדר בכל שורה או עמודה, נקבל n קובעים ( נ–1) הסדר. כדי שיהיו פחות גורמים כאלה, רצוי לבחור את השורה או העמודה עם הכי הרבה אפסים. בפועל, נוסחת ההרחבה של הקובע נכתבת בדרך כלל כך:

הָהֵן. תוספות אלגבריות נכתבות במפורש במונחים של קטינים.

דוגמאות 2.4.חשב את הקובעים על ידי הרחבתם תחילה בכל שורה או עמודה. בדרך כלל במקרים כאלה, בחר את העמודה או השורה עם הכי הרבה אפסים. השורה או העמודה שנבחרו יסומנו בחץ.



2.5. תכונות בסיסיות של דטרמיננטים

הרחבת הקובע בכל שורה או עמודה, נקבל n דטרמיננטים ( נ–1) הסדר. ואז כל אחד מהקובעים האלה ( נניתן גם לפרק את הסדר -1 לסכום של דטרמיננטים ( נ-2) הסדר. בהמשך תהליך זה, ניתן להגיע לקובעים של הסדר ה-1, כלומר. למרכיבי המטריצה ​​שהקביעה שלהם מחושבת. לכן, כדי לחשב את הקובעים מסדר 2, תצטרך לחשב את הסכום של שני איברים, עבור הקובעים מסדר 3 - סכום של 6 איברים, עבור הקובעים מסדר 4 - 24 איברים. מספר המונחים יגדל בחדות ככל שסדר הקובע יגדל. משמעות הדבר היא שחישוב הגורמים הקובעים בסדרים גבוהים מאוד הופך למשימה קשה למדי, מעבר לכוחו של אפילו מחשב. עם זאת, ניתן לחשב דטרמיננטים בדרך אחרת, תוך שימוש במאפיינים של דטרמיננטים.

נכס 1 . הקובע לא ישתנה אם יחליפו בו שורות ועמודות, כלומר. בעת ביצוע טרנספוזיציה של מטריצה:

.

מאפיין זה מציין את השוויון של השורות והעמודות של הקובע. במילים אחרות, כל הצהרה לגבי העמודות של דטרמיננטה נכונה לשורותיו, ולהיפך.

נכס 2 . הקובע משנה סימן כאשר שתי שורות (עמודות) מוחלפות.

תוֹצָאָה . אם לקובע יש שתי שורות (עמודות) זהות, אז הוא שווה לאפס.

נכס 3 . ניתן להוציא את הגורם המשותף של כל האלמנטים בכל שורה (עמודה) מהסימן של הקובע.

לדוגמה,

תוֹצָאָה . אם כל האלמנטים של שורה (עמודה) כלשהי של הקובע שווים לאפס, אז הקובע עצמו שווה לאפס.

נכס 4 . הקובע לא ישתנה אם הרכיבים של שורה אחת (עמודה) יתווספו לרכיבים של שורה (עמודה) אחרת כפול מספר כלשהו.

לדוגמה,

נכס 5 . הקובע של מכפלת המטריצה ​​שווה למכפלת הקובעים המטריצה:

תן למערכת המשוואות הליניאריות להכיל משוואות רבות כמו מספר המשתנים הבלתי תלויים, כלומר. יש את הצורה

מערכות כאלה של משוואות לינאריות נקראות ריבועיות. הקובע המורכב מהמקדמים של המשתנים הבלתי תלויים של המערכת (1.5) נקרא הקובע הראשי של המערכת. אנחנו נסמן את זה מכתב יווניד. אז

. (1.6)

אם הקובע העיקרי הוא שרירותי ( יהעמודה, החלף אותה בעמודת החברים החופשיים של המערכת (1.5), ואז נוכל לקבל יותר נגורמי עזר:

(י = 1, 2, …, נ). (1.7)

שלטון קריימרפתרון מערכות ריבועיות של משוואות ליניאריות הוא כדלקמן. אם הקובע העיקרי D של המערכת (1.5) אינו אפס, אזי למערכת יש פתרון ייחודי, אותו ניתן למצוא על ידי הנוסחאות:

(1.8)

דוגמה 1.5.פתרו את מערכת המשוואות בשיטת קריימר

.

הבה נחשב את הקובע העיקרי של המערכת:

מאז D¹0, למערכת יש פתרון ייחודי שניתן למצוא באמצעות נוסחאות (1.8):

לכן,

פעולות מטריקס

1. הכפלה של מטריצה ​​במספר.פעולת הכפלת מטריצה ​​במספר מוגדרת כדלקמן.

2. כדי להכפיל מטריצה ​​במספר, צריך להכפיל את כל האלמנטים שלה במספר זה. זה

. (1.9)

דוגמה 1.6. .

תוספת מטריקס.

פעולה זו מוצגת רק עבור מטריצות מאותו סדר.

על מנת להוסיף שתי מטריצות, יש צורך להוסיף את האלמנטים המתאימים של המטריצה ​​האחרת למרכיבים של מטריצה ​​אחת:

(1.10)
לפעולת חיבור המטריצה ​​יש תכונות של אסוציאטיביות וקומוטטיביות.

דוגמה 1.7. .

כפל מטריצה.

אם מספר עמודות המטריצה אמתאים למספר שורות המטריצה IN, אז עבור מטריצות כאלה מוצגת פעולת הכפל:

2

כך, כאשר מכפילים את המטריצה אממדים M´ נלמטריצה INממדים נ´ קאנחנו מקבלים מטריצה עםממדים M´ ק. במקרה זה, האלמנטים של המטריצה עםמחושבים לפי הנוסחאות הבאות:

בעיה 1.8.מצא, אם אפשר, את המכפלה של מטריצות א.בו תוֹאַר רִאשׁוֹן:

פִּתָרוֹן. 1) למצוא עבודה א.ב, אתה צריך שורות מטריצה אהכפל בעמודות מטריצה ב:

2) יצירות אמנות תוֹאַר רִאשׁוֹןלא קיים, כי מספר העמודות של המטריצה באינו תואם את מספר שורות המטריצה א.

מטריצה ​​הפוכה. פתרון מערכות משוואות ליניאריות בצורה מטריצה

מַטרִיצָה א- 1 נקרא היפוך של מטריצה ​​מרובעת אאם השוויון מתקיים:

לאן דרך אנימסומן מטריצת זהותאותו סדר כמו המטריצה א:

.

כדי מטריצה ​​מרובעתיש הפוך אם ורק אם הקובע שלו אינו אפס. המטריצה ​​ההפוכה נמצאת על ידי הנוסחה:

, (1.13)

איפה א ij- תוספות אלגבריות לאלמנטים aijמטריצות א(שים לב שתוספות אלגבריות לשורות המטריצה אמסודרים במטריצה ​​ההפוכה בצורה של עמודות מתאימות).

דוגמה 1.9.מצא מטריצה ​​הפוכה א- 1 למטריצה

.

אנו מוצאים את המטריצה ​​ההפוכה לפי נוסחה (1.13), אשר למקרה נ= 3 נראים כמו:

.

בוא נמצא את זה א = | א| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. מכיוון שהקביעה של המטריצה ​​המקורית שונה מאפס, אז המטריצה ​​ההפוכה קיימת.

1) מצא תוספות אלגבריות א ij:

לנוחות מציאת המטריצה ​​ההפוכה, מיקמנו את התוספות האלגבריות לשורות המטריצה ​​המקורית בעמודות המתאימות.

מהתוספות האלגבריות שהתקבלו, אנו מרכיבים מטריצה ​​חדשה ומחלקים אותה בדטרמיננט det א. לפיכך, נקבל את המטריצה ​​ההפוכה:

ניתן לפתור מערכות ריבועיות של משוואות ליניאריות עם דטרמיננט עיקרי שאינו אפס באמצעות מטריצה ​​הפוכה. לשם כך נכתבת מערכת (1.5). צורת מטריצה:

איפה

הכפלת שני הצדדים של השוויון (1.14) משמאל ב- א- 1, אנו מקבלים את הפתרון של המערכת:

, איפה

לפיכך, כדי למצוא פתרון למערכת מרובעת, צריך למצוא את המטריצה ​​ההפוכה למטריצה ​​הראשית של המערכת ולהכפיל אותה מימין במטריצת העמודות של האיברים החופשיים.

בעיה 1.10.לפתור מערכת משוואות ליניאריות

באמצעות מטריצה ​​הפוכה.

פִּתָרוֹן.אנו כותבים את המערכת בצורה מטריצה: ,

איפה היא המטריצה ​​הראשית של המערכת, היא עמודת הלא ידועים, והיא עמודת המונחים החופשיים. מאז הקובע העיקרי של המערכת , ואז המטריצה ​​הראשית של המערכת איש מטריצה ​​הפוכה א-1 . כדי למצוא את המטריצה ​​ההפוכה א-1 , חשב את ההשלמות האלגבריות לכל האלמנטים של המטריצה א:

מהמספרים המתקבלים אנו מרכיבים מטריצה ​​(יתרה מכך, תוספות אלגבריות לשורות המטריצה אכותבים בעמודות המתאימות) ומחלקים אותו בדטרמיננטה D. כך מצאנו את המטריצה ​​ההפוכה:

הפתרון של המערכת נמצא בנוסחה (1.15):

לכן,

פתרון מערכות של משוואות ליניאריות לפי חריגים רגילים של ירדן

תינתן מערכת שרירותית (לאו דווקא מרובעת) של משוואות לינאריות:

(1.16)

נדרש למצוא פתרון למערכת, כלומר. קבוצה כזו של משתנים שעונה על כל השוויון של המערכת (1.16). IN מקרה כללילמערכת (1.16) יכול להיות לא רק פתרון אחד, אלא גם מספר אינסופי של פתרונות. אולי גם אין לזה פתרונות בכלל.

כאשר פותרים בעיות כאלה, משתמשים בשיטה של ​​חיסול אלמונים, המוכרת היטב מהקורס בבית הספר, הנקראת גם שיטת חיסולי ירדן הרגילים. המהות של שיטה זו טמונה בעובדה שבאחת ממשוואות המערכת (1.16) אחד המשתנים מתבטא במונחים של משתנים אחרים. אז משתנה זה מוחלף במשוואות אחרות של המערכת. התוצאה היא מערכת המכילה משוואה אחת ומשתנה אחד פחות מהמערכת המקורית. זכורה המשוואה שממנה הובע המשתנה.

תהליך זה חוזר על עצמו עד שנשארת משוואה אחרונה במערכת. בתהליך של חיסול אלמונים, משוואות מסוימות יכולות להפוך לזהויות אמיתיות, למשל. משוואות כאלה אינן נכללות מהמערכת, מכיוון שהן תקפות לכל ערכים של המשתנים, ולכן אינן משפיעות על פתרון המערכת. אם, בתהליך של ביטול אלמונים, לפחות משוואה אחת הופכת לשוויון שלא ניתן לספק עבור כל ערכים של המשתנים (לדוגמה, ), אז אנחנו מסיקים שלמערכת אין פתרון.

אם במהלך הפתרון לא התעוררו משוואות לא עקביות, אז אחד המשתנים הנותרים בו נמצא מהמשוואה האחרונה. אם רק משתנה אחד נשאר במשוואה האחרונה, אז הוא מבוטא כמספר. אם משתנים אחרים נשארים במשוואה האחרונה, אז הם נחשבים לפרמטרים, והמשתנה המובע דרכם יהיה פונקציה של פרמטרים אלו. ואז נעשה מה שנקרא "מהלך הפוך". המשתנה שנמצא מוחלף במשוואה האחרונה שנשננה והמשתנה השני נמצא. ואז שני המשתנים שנמצאו מוחלפים במשוואה הלפני אחרונה שנשנתה והמשתנה השלישי נמצא, וכן הלאה, עד למשוואה השוננת הראשונה.

כתוצאה מכך, אנו מקבלים את הפתרון של המערכת. הפתרון הזהיהיה ייחודי אם המשתנים שנמצאו הם מספרים. אם המשתנה שנמצא הראשון, ולאחר מכן כל האחרים תלויים בפרמטרים, אז למערכת יהיה מספר אינסופי של פתרונות (כל קבוצת פרמטרים מתאימה לפתרון חדש). נוסחאות המאפשרות מציאת פתרון למערכת בהתאם למערכת מסוימת של פרמטרים נקראות הפתרון הכללי של המערכת.

דוגמה 1.11.

איקס

לאחר שינון המשוואה הראשונה ובהבאת איברים דומים במשוואה השנייה והשלישית, אנו מגיעים למערכת:

אֶקְסְפּרֶס yמהמשוואה השנייה והחליפו אותה במשוואה הראשונה:

זכור את המשוואה השנייה, ומהראשונה נמצא ז:

ביצוע המהלך ההפוך, אנו מוצאים ברציפות yו ז. לשם כך, נחליף תחילה לתוך המשוואה האחרונה שנשנתה, שממנה אנו מוצאים y:

.

לאחר מכן נחליף ונכנס למשוואה הזכורה הראשונה מהמקום בו אנו מוצאים איקס:

בעיה 1.12.פתור מערכת של משוואות ליניאריות על ידי ביטול אלמונים:

. (1.17)

פִּתָרוֹן.הבה נבטא את המשתנה מהמשוואה הראשונה איקסוהחליפו אותו במשוואה השנייה והשלישית:

.

זכור את המשוואה הראשונה

במערכת זו, המשוואה הראשונה והשנייה סותרות זו את זו. אכן, מבטא y , נקבל ש-14 = 17. שוויון זה אינו מרוצה, עבור כל ערכים של המשתנים איקס, y, ו ז. כתוצאה מכך, המערכת (1.17) אינה עקבית, כלומר, אין פתרון.

הקוראים מוזמנים לוודא באופן עצמאי כי הקובע העיקרי של המערכת המקורית (1.17) שווה לאפס.

שקול מערכת ששונה ממערכת (1.17) רק במונח חופשי אחד.

בעיה 1.13.פתור מערכת של משוואות ליניאריות על ידי ביטול אלמונים:

. (1.18)

פִּתָרוֹן.כמו קודם, אנו מבטאים את המשתנה מהמשוואה הראשונה איקסוהחליפו אותו במשוואה השנייה והשלישית:

.

זכור את המשוואה הראשונה ואנחנו מציגים מונחים דומים במשוואה השנייה והשלישית. אנחנו מגיעים למערכת:

מֵבִּיעַ yמהמשוואה הראשונה והחלפתה במשוואה השנייה , אנו מקבלים את הזהות 14 = 14, שאינה משפיעה על הפתרון של המערכת, ולכן ניתן להוציא אותה מהמערכת.

בשוויון האחרון שנשנן, המשתנה זייחשב כפרמטר. אנו מאמינים . לאחר מכן

תחליף yו זלתוך השוויון הראשון שנשנן ולמצוא איקס:

.

לפיכך, למערכת (1.18) יש קבוצה אינסופית של פתרונות, וניתן למצוא כל פתרון מנוסחאות (1.19) על ידי בחירת ערך שרירותי של הפרמטר ט:

(1.19)
לפיכך, הפתרונות של המערכת, למשל, הם קבוצות המשתנים הבאות (1; 2; 0), (2; 26; 14) וכו'. נוסחאות (1.19) מבטאות את הפתרון הכללי (כל) של המערכת (1.18 ).

במקרה שלמערכת המקורית (1.16) יש מספיק מספר גדול שלמשוואות ולא ידועים, השיטה המפורטת של חיסולים ירדניים רגילים נראית מסורבלת. עם זאת, זה לא. מספיק לגזור אלגוריתם לחישוב מחדש של מקדמי המערכת בשלב אחד השקפה כלליתולנסח את פתרון הבעיה בצורה של טבלאות ירדן מיוחדות.

תינתן מערכת של צורות לינאריות (משוואות):

, (1.20)
איפה x j- משתנים בלתי תלויים (רצויים), aij- מקדמים קבועים
(אני = 1, 2,…, M; י = 1, 2,…, נ). חלקים נכונים של המערכת y i (אני = 1, 2,…, M) יכולים להיות גם משתנים (תלויים) וגם קבועים. נדרש למצוא פתרונות למערכת זו על ידי ביטול אלמונים.

לשקול המבצע הבא, אשר יכונה להלן "צעד אחד של חריגים רגילים של ירדן". מתוך שרירותי ( רה) שוויון, אנו מבטאים משתנה שרירותי ( x s) ולהחליף לכל שאר השוויון. כמובן שזה אפשרי רק אם rs¹ 0. מקדם rsנקרא האלמנט המחליט (לעיתים מנחה או ראשי).

נקבל את המערכת הבאה:

. (1.21)

מ סהשוויון של המערכת (1.21), נמצא לאחר מכן את המשתנה x s(לאחר שנמצא משתנים אחרים). סהשורה ה' נזכרת ולאחר מכן לא נכללת מהמערכת. המערכת הנותרת תכיל משוואה אחת ומשתנה אחד פחות בלתי תלוי מהמערכת המקורית.

הבה נחשב את המקדמים של המערכת המתקבלת (1.21) במונחים של המקדמים של המערכת המקורית (1.20). בוא נתחיל עם רהמשוואה, אשר לאחר ביטוי המשתנה x sדרך שאר המשתנים ייראה כך:

לפיכך, המקדמים החדשים רהמשוואה מחושבת לפי הנוסחאות הבאות:

(1.23)
כעת נחשב את המקדמים החדשים b ij(אני¹ ר) של משוואה שרירותית. לשם כך, נחליף את המשתנה המובע ב-(1.22) x s V אניהמשוואה של המערכת (1.20):

לאחר הבאת מונחים דומים, נקבל:

(1.24)
משוויון (1.24) אנו מקבלים נוסחאות שבאמצעותן מחושבים את מקדמי המערכת הנותרים (1.21) (למעט רהמשוואה):

(1.25)
הטרנספורמציה של מערכות משוואות ליניאריות בשיטה של ​​חיסולים ירדניים רגילים מוצגת בצורה של טבלאות (מטריצות). שולחנות אלו נקראים "שולחנות ירדן".

לפיכך, בעיה (1.20) קשורה לטבלת ירדן הבאה:

טבלה 1.1

	איקס 1	איקס 2	…	x j	…	x s	…	x n
y 1 =	א 11	א 12		א 1י		א 1ס		א 1נ
…………………………………………………………………..
y i=	א i 1	א i 2		aij		א הוא		פנימה
…………………………………………………………………..
y r=	א ר 1	א ר 2		a rj		rs		rn
………………………………………………………………….
y n=	א מ 1	א מ 2		a mj		a ms		amn

טבלה ירדן 1.1 מכילה את עמודת הראש השמאלית, בה כתובים החלקים הימניים של המערכת (1.20), ואת שורת הכותרת העליונה, בה נכתבים המשתנים הבלתי תלויים.

האלמנטים הנותרים של הטבלה יוצרים את המטריצה ​​הראשית של מקדמי המערכת (1.20). אם נכפיל את המטריצה אלמטריצה ​​המורכבת מהאלמנטים של שורת הכותרת העליונה, אז נקבל את המטריצה ​​המורכבת מהאלמנטים של עמודת הכותרת השמאלית. כלומר, בעצם, טבלת הירדן היא צורת מטריצה ​​של כתיבת מערכת של משוואות ליניאריות:. במקרה זה, טבלת ירדן הבאה מתאימה למערכת (1.21):

טבלה 1.2

	איקס 1	איקס 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	ב 11	ב 12		ב 1 י		ב 1 ס		ב 1 נ
…………………………………………………………………..
y i =	ב אני 1	ב אני 2		b ij		b הוא		ב ב
…………………………………………………………………..
x s =	br 1	br 2		ב rj		brs		ב rn
………………………………………………………………….
y n =	ב מ 1	ב מ 2		bmj		b ms		bmn

אלמנט מתירני rs נדגיש בהדגשה. נזכיר שכדי ליישם שלב אחד של חריגים של ירדן, אלמנט הפתרון חייב להיות לא אפס. שורת טבלה המכילה אלמנט מתירני נקראת שורה מתירנית. העמודה המכילה את רכיב ההפעלה נקראת העמודה הפעילה. כאשר עוברים מטבלה נתונה לטבלה הבאה, משתנה אחד ( x s) משורת הכותרת העליונה של הטבלה מועבר לעמודת הכותרת השמאלית ולהפך, אחד החברים הפנויים של המערכת ( y r) מועבר מעמודת הכותרת השמאלית של הטבלה לשורת הכותרת העליונה.

נתאר את האלגוריתם לחישוב מחדש של המקדמים במעבר מטבלת הירדן (1.1) לטבלה (1.2), העולה מנוסחאות (1.23) ו- (1.25).

1. האלמנט המאפשר מוחלף במספר ההפוך:

2. יתר המרכיבים של הקו המתיר מחולקים באלמנט המתיר ומשנים את הסימן להיפך:

3. הרכיבים הנותרים של העמודה המאפשרת מחולקים לרכיב המאפשר:

4. אלמנטים שאינם נכללים בשורה הפותר ובעמודה הפותר מחושבים מחדש לפי הנוסחאות:

קל לזכור את הנוסחה האחרונה אם אתה שם לב שהיסודות המרכיבים את השבר , נמצאים בצומת אני-אה ו ר-ה שורות ו יה ו סעמודות -ה (שורה פותרת, עמודה פותרת והשורה והעמודה שבצומת שלהן נמצא האלמנט שיש לחשב מחדש). ליתר דיוק, כאשר משננים את הנוסחה אתה יכול להשתמש בתרשים הבא:

-21 -26 -13 -37

ביצוע השלב הראשון של החריגים הירדניים, כל רכיב של טבלה 1.3 שנמצא בעמודים איקס 1 ,…, איקס 5 (כל האלמנטים שצוינו אינם שווים לאפס). אתה לא צריך רק לבחור את האלמנט המאפשר בעמודה האחרונה, כי צריך למצוא משתנים בלתי תלויים איקס 1 ,…, איקס 5 . אנו בוחרים, למשל, את המקדם 1 עם משתנה איקס 3 בשורה השלישית של טבלה 1.3 (האלמנט המאפשר מוצג בהדגשה). כאשר עוברים לטבלה 1.4, המשתנה איקסה-3 משורת הכותרת העליונה מוחלף עם ה-0 הקבוע של עמודת הכותרת השמאלית (שורה שלישית). במקביל, המשתנה איקס 3 מתבטא במונחים של המשתנים הנותרים.

חוּט איקס 3 (טבלה 1.4) ניתן, לאחר שזכרנו קודם, להחריג מטבלה 1.4. טבלה 1.4 אינה כוללת גם את העמודה השלישית עם אפס בשורת הכותרת העליונה. הנקודה היא שללא קשר למקדמים של העמודה הזו ב אני 3 כל האיברים המתאימים לו של כל משוואה 0 ב אני 3 מערכות יהיו שוות לאפס. לכן, לא ניתן לחשב מקדמים אלה. ביטול משתנה אחד איקס 3 ונזכור את אחת המשוואות, נגיע למערכת המקבילה לטבלה 1.4 (עם קו חוצה איקס 3). בחירה בטבלה 1.4 כאלמנט פותר ב 14 = -5, עבור לטבלה 1.5. בטבלה 1.5, אנו זוכרים את השורה הראשונה ומוציאים אותה מהטבלה יחד עם העמודה הרביעית (עם אפס בראש).

טבלה 1.5 טבלה 1.6

מהטבלה האחרונה 1.7 אנו מוצאים: איקס 1 = - 3 + 2איקס 5 .

בהחלפת המשתנים שכבר נמצאו ברצף בשורות המשוננות, אנו מוצאים את המשתנים הנותרים:

לפיכך, למערכת יש אינסוף פתרונות. מִשְׁתַנֶה איקס 5, אתה יכול להקצות ערכים שרירותיים. משתנה זה פועל כפרמטר איקס 5 = t. הוכחנו את התאימות של המערכת ומצאנו אותה החלטה משותפת:

איקס 1 = - 3 + 2ט

איקס 2 = - 1 - 3ט

איקס 3 = - 2 + 4ט . (1.27)
איקס 4 = 4 + 5ט

איקס 5 = ט

מתן פרמטר ט משמעויות שונות, אנו מקבלים אינסוף פתרונות למערכת המקורית. כך, למשל, הפתרון של המערכת הוא קבוצת המשתנים הבאה (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

השיטה של ​​קרימר מבוססת על שימוש בדטרמיננטים בפתרון מערכות של משוואות ליניאריות. זה מאיץ מאוד את תהליך הפתרון.

ניתן להשתמש בשיטה של ​​קרימר כדי לפתור מערכת של כמה משוואות ליניאריות כמו שיש לא ידועים בכל משוואה. אם הקובע של המערכת אינו שווה לאפס, ניתן להשתמש בשיטה של ​​Cramer בפתרון; אם היא שווה לאפס, אז היא לא יכולה. בנוסף, ניתן להשתמש בשיטה של ​​קרימר כדי לפתור מערכות של משוואות ליניאריות בעלות פתרון ייחודי.

הַגדָרָה. הקובע, המורכב מהמקדמים של הלא ידועים, נקרא הקובע של המערכת ומסומן ב-(דלתא).

דטרמיננטים

מתקבלים על ידי החלפת המקדמים בלא ידועים המתאימים במונחים חופשיים:

;

.

משפט קריימר. אם הקובע של המערכת אינו אפס, אז למערכת המשוואות הליניאריות יש פתרון אחד, והלא נודע שווה ליחס הקובעים. המכנה הוא הקובע של המערכת, והמונה הוא הקובע המתקבל מהקובע של המערכת על ידי החלפת המקדמים בבלתי ידוע במונחים חופשיים. משפט זה מתאים למערכת של משוואות ליניאריות בכל סדר.

דוגמה 1פתרו את מערכת המשוואות הלינאריות:

לפי משפט קריימריש לנו:

אז הפתרון של מערכת (2):

מחשבון מקוון, שיטה מכרעתקרמר.

שלושה מקרים בפתרון מערכות של משוואות ליניאריות

כפי שעולה מ המשפטים של קריימר, בעת פתרון מערכת משוואות ליניאריות, עשויים להתרחש שלושה מקרים:

מקרה ראשון: למערכת המשוואות הלינאריות יש פתרון ייחודי

(המערכת עקבית ומוגדרת)

מקרה שני: למערכת המשוואות הלינאריות יש אינסוף פתרונות

(המערכת עקבית ובלתי מוגדרת)

** ,

הָהֵן. המקדמים של הלא ידועים והתנאים החופשיים הם פרופורציונליים.

מקרה שלישי: למערכת המשוואות הלינאריות אין פתרונות

(מערכת לא עקבית)

אז המערכת Mמשוואות ליניאריות עם נמשתנים נקרא שאינו עולה בקנה אחדאם אין לו פתרונות, ו משותףאם יש לו לפחות פתרון אחד. נקראת מערכת משוואות משותפת שיש לה רק פתרון אחד מסוים, ויותר מאחד לֹא בָּטוּחַ.

דוגמאות לפתרון מערכות של משוואות ליניאריות בשיטת Cramer

תן למערכת

.

מבוסס על משפט קריימר

………….
,

איפה
-

מזהה מערכת. הקובעים הנותרים מתקבלים על ידי החלפת העמודה במקדמים של המשתנה המקביל (לא ידוע) באיברים חופשיים:

דוגמה 2

.

לכן, המערכת מוגדרת. כדי למצוא את הפתרון שלה, אנו מחשבים את הקובעים

לפי הנוסחאות של קריימר אנו מוצאים:

אז, (1; 0; -1) הוא הפתרון היחיד למערכת.

כדי לבדוק את הפתרונות של מערכות משוואות 3 X 3 ו- 4 X 4, ניתן להשתמש במחשבון המקוון, שיטת הפתרון של Cramer.

אם אין משתנים במערכת המשוואות הלינאריות במשוואה אחת או יותר, אז בדטרמיננטה האלמנטים המתאימים להם שווים לאפס! זו הדוגמה הבאה.

דוגמה 3פתרו את מערכת המשוואות הלינאריות בשיטת קריימר:

.

פִּתָרוֹן. אנו מוצאים את הקובע של המערכת:

הסתכלו היטב על מערכת המשוואות ועל הקובע של המערכת וחזרו על התשובה לשאלה באילו מקרים מרכיב אחד או יותר של הקובע שווה לאפס. אז, הקובע אינו שווה לאפס, לכן, המערכת מוגדרת. כדי למצוא את הפתרון שלה, אנו מחשבים את הקובעים עבור הלא ידועים

לפי הנוסחאות של קריימר אנו מוצאים:

אז הפתרון של המערכת הוא (2; -1; 1).

כדי לבדוק את הפתרונות של מערכות משוואות 3 X 3 ו- 4 X 4, ניתן להשתמש במחשבון המקוון, שיטת הפתרון של Cramer.

ראש העמוד

אנחנו ממשיכים לפתור מערכות בשיטת Cramer ביחד

כפי שכבר הוזכר, אם הקובע של המערכת שווה לאפס, והקובעים עבור הלא ידועים אינם שווים לאפס, המערכת אינה עקבית, כלומר אין לה פתרונות. בואו נמחיש בעזרת הדוגמה הבאה.

דוגמה 6פתרו את מערכת המשוואות הלינאריות בשיטת קריימר:

פִּתָרוֹן. אנו מוצאים את הקובע של המערכת:

הקובע של המערכת שווה לאפס, לכן, מערכת המשוואות הליניאריות היא או לא עקבית ומוגדרת, או לא עקבית, כלומר, אין לה פתרונות. כדי להבהיר, אנו מחשבים את הקובעים עבור הלא ידועים

הקובעים עבור הלא ידועים אינם שווים לאפס, לכן, המערכת אינה עקבית, כלומר אין לה פתרונות.

כדי לבדוק את הפתרונות של מערכות משוואות 3 X 3 ו- 4 X 4, ניתן להשתמש במחשבון המקוון, שיטת הפתרון של Cramer.

בבעיות במערכות של משוואות ליניאריות, ישנן גם כאלה שבהן, בנוסף לאותיות המציינות משתנים, ישנן גם אותיות אחרות. אותיות אלו מייצגות מספר כלשהו, ​​לרוב מספר אמיתי. בפועל, משוואות ומערכות משוואות כאלה מובילות לבעיות חיפוש מאפיינים משותפיםכל תופעה או אובייקט. כלומר, האם המצאת משהו חומר חדשאו מכשיר, וכדי לתאר את תכונותיו, השכיחות ללא קשר לגודל או למספר העותקים, יש צורך לפתור מערכת של משוואות ליניאריות, שבהן במקום כמה מקדמים למשתנים יש אותיות. לא צריך לחפש דוגמאות רחוקות.

הדוגמה הבאה מיועדת לבעיה דומה, רק מספר המשוואות, המשתנים והאותיות שמציינים מספר ממשי גדל.

דוגמה 8פתרו את מערכת המשוואות הלינאריות בשיטת קריימר:

פִּתָרוֹן. אנו מוצאים את הקובע של המערכת:

מציאת דטרמיננטים לא ידועים

בחלק הראשון, שקלנו חומר תיאורטי, שיטת ההחלפה וכן שיטת הוספה של משוואות מערכת. לכל מי שהגיע לאתר דרך העמוד הזה אני ממליץ לקרוא את החלק הראשון. אולי, חלק מהמבקרים ימצאו את החומר פשוט מדי, אבל במהלך פתרון מערכות של משוואות ליניאריות, הערתי מספר הערות ומסקנות חשובות מאוד לגבי הפתרון בעיות חשבוןבדרך כלל.

וכעת ננתח את הכלל של קריימר, וכן את פתרון מערכת משוואות ליניאריות באמצעות המטריצה ​​ההפוכה (שיטת המטריצה). כל החומרים מוצגים בפשטות, בפירוט וברור, כמעט כל הקוראים יוכלו ללמוד כיצד לפתור מערכות באמצעות השיטות לעיל.

ראשית, נשקול את הכלל של קריימר בפירוט עבור מערכת של שתי משוואות ליניאריות בשני לא ידועים. בשביל מה? - אחרי הכל המערכת הפשוטה ביותרניתן לפתור בשיטת בית הספר, בתוספת מונח!

העובדה היא שגם אם לפעמים, אבל יש משימה כזו - לפתור מערכת של שתי משוואות ליניאריות עם שני לא ידועים באמצעות הנוסחאות של קריימר. שנית, דוגמה פשוטה יותר תעזור לך להבין כיצד להשתמש בכלל של Cramer ליותר מקרה קשה– מערכות של שלוש משוואות עם שלושה לא ידועים.

בנוסף, קיימות מערכות משוואות ליניאריות עם שני משתנים, אותן מומלץ לפתור בדיוק לפי כלל קרימר!

שקול את מערכת המשוואות

בשלב הראשון, אנו מחשבים את הקובע, הוא נקרא הקובע העיקרי של המערכת.

שיטת גאוס.

אם , אז למערכת יש פתרון ייחודי, וכדי למצוא את השורשים, עלינו לחשב שני דטרמיננטים נוספים:
ו

בפועל, ניתן לציין את המוקדמות לעיל גם באות הלטינית.

שורשי המשוואה נמצאים על ידי הנוסחאות:
,

דוגמה 7

לפתור מערכת משוואות ליניאריות

פִּתָרוֹן: אנו רואים שהמקדמים של המשוואה די גדולים, בצד ימין יש עשרוניםעם פסיק. הפסיק הוא אורח נדיר למדי במשימות מעשיות במתמטיקה; לקחתי את המערכת הזו מבעיה אקונומטרית.

איך פותרים מערכת כזו? אפשר לנסות לבטא משתנה אחד במונחים של משתנה אחר, אבל במקרה הזה בוודאי תקבלו שברים מפוארים נוראיים, שקשה מאוד לעבוד איתם, והעיצוב של הפתרון ייראה פשוט נורא. ניתן להכפיל את המשוואה השנייה ב-6 ולהחסיר איבר אחר איבר, אך אותם שברים יופיעו כאן.

מה לעשות? במקרים כאלה, הנוסחאות של קריימר באות להצלה.

;

;

תשובה: ,

לשני השורשים יש זנבות אינסופיים והם נמצאים בקירוב, וזה די מקובל (ואפילו נפוץ) לבעיות אקונומטריות.

אין צורך בהערות כאן, מכיוון שהמשימה נפתרת על פי נוסחאות מוכנות, עם זאת, יש אזהרה אחת. כאשר משתמשים בשיטה זו, חובהקטע המשימה הוא הקטע הבא: "אז למערכת יש פתרון ייחודי". אחרת, המבקר עלול להעניש אותך על חוסר כבוד למשפט של קריימר.

לא יהיה מיותר לבדוק, מה שנוח לבצע במחשבון: אנו מחליפים ערכים משוערים ב צד שמאלכל משוואה של המערכת. כתוצאה מכך, בשגיאה קטנה, יש לקבל מספרים שנמצאים בצד ימין.

דוגמה 8

הביעו את תשובתכם בשברים לא תקינים רגילים. תעשה בדיקה.

זוהי דוגמה לפתרון עצמאי (דוגמא לעיצוב משובח ותשובה בסוף השיעור).

נפנה לשיקול הכלל של קריימר עבור מערכת של שלוש משוואות עם שלושה לא ידועים:

אנו מוצאים את הקובע העיקרי של המערכת:

אם , אז למערכת יש אינסוף פתרונות או שהיא לא עקבית (אין לה פתרונות). במקרה זה, הכלל של קריימר לא יעזור, אתה צריך להשתמש בשיטת גאוס.

אם , אז למערכת יש פתרון ייחודי, וכדי למצוא את השורשים, עלינו לחשב שלושה דטרמיננטים נוספים:
, ,

ולבסוף, התשובה מחושבת לפי הנוסחאות:

כפי שאתה יכול לראות, המקרה "שלוש על שלוש" אינו שונה מהותית מהמקרה של "שניים על שניים", עמודת המונחים החופשיים "צועדת" ברצף משמאל לימין לאורך העמודות של הקובע העיקרי.

דוגמה 9

פתרו את המערכת באמצעות הנוסחאות של קריימר.

פִּתָרוֹן: בואו נפתור את המערכת באמצעות הנוסחאות של קריימר.

, כך שלמערכת יש פתרון ייחודי.

תשובה: .

למעשה, אין כאן שום דבר מיוחד להגיב שוב, לאור העובדה שההחלטה מתקבלת על פי נוסחאות מוכנות. אבל יש כמה הערות.

קורה שכתוצאה מחישובים מתקבלים שברים "רעים" בלתי ניתנים לצמצום, למשל:.
אני ממליץ על אלגוריתם ה"טיפול" הבא. אם אין מחשב בהישג יד, אנו עושים זאת:

1) ייתכן שיש טעות בחישובים. ברגע שאתה נתקל בזריקה "רעה", עליך לבדוק מיד האם האם התנאי משוכתב כהלכה. אם התנאי נכתב מחדש ללא שגיאות, עליך לחשב מחדש את הקובעים באמצעות ההרחבה בשורה אחרת (עמודה).

2) אם לא נמצאו שגיאות כתוצאה מהבדיקה, סביר להניח שנעשתה שגיאת הקלדה במצב ההקצאה. במקרה זה, פתרו את המשימה בשלווה ובזהירות עד הסוף, ואז הקפד לבדוקולערוך אותו בעותק נקי לאחר ההחלטה. כמובן, בדיקת תשובה חלקית היא משימה לא נעימה, אבל זה יהיה טיעון מנטרל עבור המורה, שבכן, מאוד אוהב לשים מינוס על כל דבר רע כמו. כיצד להתמודד עם שברים מפורט בתשובה לדוגמא 8.

אם יש לך מחשב בהישג יד, השתמש בתוכנית אוטומטית כדי לבדוק אותו, אותה ניתן להוריד בחינם ממש בתחילת השיעור. אגב, הכי משתלם להשתמש בתוכנית מיד (אפילו לפני התחלת הפתרון), מיד תראה את שלב הביניים שבו טעית! אותו מחשבון מחשב אוטומטית את הפתרון של המערכת שיטת מטריצה.

הערה שניה. מעת לעת יש מערכות במשוואות שלהן חסרים כמה משתנים, למשל:

כאן במשוואה הראשונה אין משתנה , בשנייה אין משתנה . במקרים כאלה, חשוב מאוד לרשום בצורה נכונה ובזהירות את הקובע העיקרי:
- אפסים מוצבים במקום משתנים חסרים.
אגב, זה רציונלי לפתוח דטרמיננטים עם אפסים בשורה (העמודה) שבה נמצא האפס, שכן יש פחות חישובים באופן ניכר.

דוגמה 10

פתרו את המערכת באמצעות הנוסחאות של קריימר.

זוהי דוגמה לפתרון עצמי (מדגם סיום ותשובה בסוף השיעור).

במקרה של מערכת של 4 משוואות עם 4 לא ידועים, הנוסחאות של קריימר נכתבות על פי עקרונות דומים. אתה יכול לראות דוגמה חיה בשיעור מאפיינים קובעים. הפחתת הסדר של הקובע - חמישה דטרמיננטים מסדר רביעי ניתנים לפתרון. למרות שהמשימה כבר מזכירה מאוד נעל של פרופסור על החזה של סטודנט בר מזל.

פתרון המערכת באמצעות המטריצה ​​ההפוכה

שיטת המטריצה ​​ההפוכה היא בעצם מקרה מיוחד משוואת מטריצה(ראה דוגמה מס' 3 לשיעור שצוין).

כדי ללמוד חלק זה, עליך להיות מסוגל להרחיב את הקובעים, למצוא את המטריצה ​​ההפוכה ולבצע כפל מטריצה. קישורים רלוונטיים יינתנו עם התקדמות ההסבר.

דוגמה 11

פתרו את המערכת בשיטת המטריצה

פִּתָרוֹן: אנו כותבים את המערכת בצורה מטריצה:
, איפה

נא להסתכל על מערכת המשוואות והמטריצות. לפי איזה עיקרון אנחנו כותבים אלמנטים למטריצות, אני חושב שכולם מבינים. ההערה היחידה: אם כמה משתנים היו חסרים במשוואות, אז היה צריך לשים אפסים במקומות המתאימים במטריצה.

אנו מוצאים את המטריצה ​​ההפוכה לפי הנוסחה:
, היכן היא המטריצה ​​המוטרפת של משלים אלגבריים של האלמנטים המתאימים של המטריצה ​​.

ראשית, הבה נתמודד עם הקובע:

כאן הקובע מורחב בשורה הראשונה.

תשומת הלב! אם , אז המטריצה ​​ההפוכה לא קיימת, ואי אפשר לפתור את המערכת בשיטת המטריצה. במקרה זה, המערכת נפתרת על ידי חיסול לא ידועים (שיטת גאוס).

כעת עליך לחשב 9 קטינים ולכתוב אותם למטריצת הקטינים

התייחסות:כדאי לדעת את המשמעות של כתוביות כפולות באלגברה לינארית. הספרה הראשונה היא מספר הקו שבו נמצא האלמנט. הספרה השנייה היא מספר העמודה שבה נמצא האלמנט:

כלומר, מנוי כפול מציין שהאלמנט נמצא בשורה הראשונה, העמודה השלישית, בעוד, למשל, האלמנט נמצא בשורה השלישית, העמודה השנייה

כשמספר המשוואות זהה למספר הלא ידועים עם הקובע הראשי של המטריצה, שאינו שווה לאפס, מקדמי המערכת (יש פתרון למשוואות כאלה והוא רק אחד).

משפט קריימר.

כאשר הקובע של המטריצה ​​של מערכת מרובעת אינו אפס, אז המערכת תואמת ויש לה פתרון אחד וניתן למצוא אותו על ידי הנוסחאות של קריימר:

שבו Δ - קובע מטריצת מערכת,

Δ אני- קובע של המטריצה ​​של המערכת, שבה במקום אניהעמודה היא העמודה של החלקים הימניים.

כאשר הקובע של המערכת הוא אפס, אז המערכת יכולה להיות עקבית או לא עקבית.

שיטה זו משמשת בדרך כלל למערכות קטנות עם חישובי נפח ואם כאשר יש צורך לקבוע 1 מהלא ידועים. המורכבות של השיטה היא שיש צורך לחשב גורמים רבים.

תיאור שיטת קריימר.

יש מערכת משוואות:

מערכת של 3 משוואות ניתנת לפתרון בשיטתו של קריימר, שנידונה לעיל עבור מערכת של 2 משוואות.

אנו מרכיבים את הקובע מהמקדמים של הלא ידועים:

זה יהיה מוקדמות מערכת. מתי D≠0, כך שהמערכת עקבית. כעת נרכיב 3 דטרמיננטים נוספים:

,,

אנחנו פותרים את המערכת על ידי הנוסחאות של קריימר:

דוגמאות לפתרון מערכות משוואות בשיטת קריימר.

דוגמה 1.

מערכת נתונה:

בואו נפתור את זה בשיטת קריימר.

ראשית עליך לחשב את הקובע של המטריצה ​​של המערכת:

כי Δ≠0, לפיכך, ממשפט קריימר, המערכת תואמת ויש לה פתרון אחד. אנו מחשבים דטרמיננטים נוספים. הקובע Δ 1 מתקבל מהדטרמיננט Δ על ידי החלפת העמודה הראשונה שלו בעמודה של מקדמים חופשיים. אנחנו מקבלים:

באותו אופן, אנו מקבלים את הקובע Δ 2 מהדטרמיננטה של ​​המטריצה ​​של המערכת, ומחליפים את העמודה השנייה בעמודה של מקדמים חופשיים: