משוואה דיפרנציאלית לינארית לא הומוגנית מסדר שני. משוואות דיפרנציאליות ליניאריות לא הומוגניות מסדר שני עם מקדמים קבועים

מאמר זה חושף את השאלה של פתרון משוואות דיפרנציאליות לא-הומוגניות ליניאריות מהסדר השני עם מקדמים קבועים. התיאוריה תישקל יחד עם דוגמאות לבעיות שניתנו. כדי לפענח מונחים בלתי מובנים, יש צורך להתייחס לנושא ההגדרות והמושגים הבסיסיים של תורת המשוואות הדיפרנציאליות.

שקול משוואת דיפרנציאלית לינארית (LDE) מהסדר השני עם מקדמים קבועים בצורה y "" + p y " + q y \u003d f (x) , כאשר p ו-q הם מספרים שרירותיים, והפונקציה הקיימת f (x) היא רציף על מרווח האינטגרציה x .

הבה נעבור לניסוח משפט הפתרון הכללי עבור LIDE.

Yandex.RTB R-A-339285-1

משפט פתרון כללי עבור LDNU

משפט 1

הפתרון הכללי, הממוקם על המרווח x, של משוואה דיפרנציאלית לא הומוגנית בצורה y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) y = f (x) עם מקדמי אינטגרציה רציפים על מרווח x f 0 (x), f 1 (x), . . . , f n - 1 (x) ו תפקוד רציף f (x) שווה לסכום הפתרון הכללי y 0 , המתאים ל-LODE ולפתרון מסוים y ~ , כאשר המשוואה האי-הומוגנית המקורית היא y = y 0 + y ~ .

זה מראה שלפתרון של משוואה כזו מסדר שני יש את הצורה y = y 0 + y ~ . האלגוריתם למציאת y 0 נחשב במאמר על משוואות דיפרנציאליות הומוגניות ליניאריות מסדר שני עם מקדמים קבועים. לאחר מכן, יש להמשיך להגדרה של y ~ .

הבחירה בפתרון מסוים ל-LIDE תלויה בסוג הפונקציה הזמינה f (x) הממוקמת בצד ימין של המשוואה. לשם כך, יש צורך לשקול בנפרד את הפתרונות של משוואות דיפרנציאליות לא הומוגניות ליניאריות מהסדר השני עם מקדמים קבועים.

כאשר f (x) נחשב לפולינום מהמעלה ה-n f (x) = P n (x) , יוצא שפתרון מסוים של ה-LIDE נמצא על ידי נוסחה בצורה y ~ = Q n (x ) x γ , כאשר Q n ( x) הוא פולינום של תואר n , r הוא מספר השורשים האפסים משוואה אופיינית. הערך של y ~ הוא פתרון מסוים y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , ואז המקדמים הזמינים, המוגדרים על ידי הפולינום
Q n (x) , אנו מוצאים באמצעות שיטת המקדמים הבלתי מוגדרים מהשוויון y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

דוגמה 1

חשב באמצעות משפט קאוצ'י y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

פִּתָרוֹן

במילים אחרות, יש צורך לעבור לפתרון מסוים של משוואה דיפרנציאלית לא הומוגנית ליניארית מסדר שני עם מקדמים קבועים y "" - 2 y " = x 2 + 1 , שתעמוד בתנאים הנתונים y (0) = 2 , y" (0) = 1 4 .

הפתרון הכללי של הליניארי משוואה לא הומוגניתהוא סכום הפתרון הכללי התואם את המשוואה y 0 או פתרון מסוים של המשוואה הבלתי הומוגנית y ~ , כלומר y = y 0 + y ~ .

ראשית, בואו נמצא פתרון כללי ל-LNDE, ולאחר מכן פתרון מסוים.

נעבור למציאת y 0 . כתיבת המשוואה האופיינית תעזור למצוא את השורשים. אנחנו מקבלים את זה

k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2

גילינו שהשורשים שונים ואמיתיים. לכן, אנחנו כותבים

y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.

בוא נמצא את y ~ . ניתן לראות כי הצד הימני משוואה נתונההוא פולינום מדרגה שנייה, אז אחד השורשים שווה לאפס. מכאן אנו מקבלים שפתרון מסוים עבור y ~ יהיה

y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, כאשר הערכים \u200b\u200bof A, B, C לקחת מקדמים לא מוגדרים.

בואו נמצא אותם מתוך שוויון בצורה y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

ואז נקבל את זה:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

השוואת המקדמים לאותם מעריכים x , נקבל מערכת של ביטויים ליניאריים - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . כאשר פותרים בכל אחת מהדרכים, אנו מוצאים את המקדמים וכותבים: A \u003d - 1 6, B \u003d - 1 4, C \u003d - 3 4 ו-y ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

ערך זה נקרא הפתרון הכללי של משוואת הדיפרנציאל הדיפרנציאלי הלינארית המקורית מסדר שני עם מקדמים קבועים.

כדי למצוא פתרון מסוים שעומד בתנאים y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 , נדרש לקבוע את הערכים C1ו C2, מבוסס על שוויון בצורה y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

אנחנו מקבלים את זה:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

אנו עובדים עם מערכת המשוואות המתקבלת בצורה C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 , כאשר C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .

ליישם את משפט קאוצ'י, יש לנו את זה

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

תשובה: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

כאשר הפונקציה f (x) מיוצגת כמכפלה של פולינום בעל תואר n ומעריך f (x) = P n (x) e a x , אז מכאן נקבל שפתרון מסוים של ה-LIDE מסדר שני יהיה משוואה בצורה y ~ = e a x Q n ( x) · x γ , כאשר Q n (x) הוא פולינום ממעלה n, ו- r הוא מספר השורשים של המשוואה האופיינית השווה ל- α .

המקדמים השייכים ל-Q n (x) נמצאים על ידי השוויון y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

דוגמה 2

מצא את הפתרון הכללי של משוואה דיפרנציאלית בצורה y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

פִּתָרוֹן

משוואה כללית y = y 0 + y ~ . המשוואה המצוינת מתאימה ל-LOD y "" - 2 y " = 0. הדוגמה הקודמת מראה שהשורשים שלה הם k1 = 0ו- k 2 = 2 ו- y 0 = C 1 + C 2 e 2 x לפי המשוואה האופיינית.

זה ברור צד ימיןשל המשוואה הוא x 2 + 1 · e x . מכאן, LNDE נמצא דרך y ~ = e a x Q n (x) x γ , כאשר Q n (x) , שהוא פולינום מהמעלה השנייה, כאשר α = 1 ו- r = 0 , כי המשוואה האופיינית לא יש שורש שווה ל-1. מכאן שאנחנו מקבלים את זה

y ~ = e a x Q n (x) x γ = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C .

A, B, C הם מקדמים לא ידועים, אותם ניתן למצוא על ידי השוויון y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x .

הבנתי את זה

y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x ⇔ e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

אנו משווים את המדדים עם אותם מקדמים ומקבלים את המערכת משוואות ליניאריות. מכאן אנו מוצאים את A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

תשובה:ניתן לראות כי y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 הוא פתרון מסוים של LIDE, ו- y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3

כאשר הפונקציה כתובה כ-f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x , ו א 1ו ב-1הם מספרים, ואז משוואה בצורה y ~ = A cos β x + B sin β x x γ , כאשר A ו-B נחשבים למקדמים בלתי מוגדרים, ו- r מספר השורשים המצומדים מורכבים הקשורים למשוואה האופיינית, שווה ל ± i β. במקרה זה, החיפוש אחר מקדמים מתבצע על ידי השוויון y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

דוגמה 3

מצא את הפתרון הכללי של משוואה דיפרנציאלית בצורה y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

פִּתָרוֹן

לפני כתיבת המשוואה האופיינית, נמצא את y 0 . לאחר מכן

k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 \u003d - 2 i

יש לנו זוג שורשים מצומדים מורכבים. בואו נעשה שינוי ונקבל:

y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

השורשים מהמשוואה האופיינית נחשבים לזוג מצומד ± 2 i, ואז f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . זה מראה שהחיפוש של y ~ יתבצע מ-y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. לא ידועים מקדמים A ו-B יחפשו מתוך שוויון בצורה y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

בואו נעשה שינוי:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

ואז רואים את זה

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)

יש צורך להשוות את מקדמי הסינוסים והקוסינוסים. אנו מקבלים מערכת של הטופס:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

מכאן נובע ש-y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x .

תשובה:הפתרון הכללי של ה-LIDE המקורי מהסדר השני עם מקדמים קבועים נחשב

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

כאשר f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , אז y ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x) ) cos (β x) x γ יש לנו ש- r הוא מספר זוגות שורשים מצומדים מורכבים הקשורים למשוואה האופיינית, שווה ל- α ± i β , כאשר P n (x) , Q k (x) , L m ( x) ו N m (x)הם פולינומים של תואר n, k, m, שבו m = m a x (n, k). מציאת מקדמים L m (x)ו N m (x)מופק על בסיס השוויון y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

דוגמה 4

מצא את הפתרון הכללי y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

פִּתָרוֹן

ברור מהתנאי ש

α = 3 , β = 5 , P n (x) = - 38 x - 45 , Q k (x) = - 8 x + 5 , n = 1 , k = 1

ואז m = m a x (n , k) = 1 . אנו מוצאים את y 0 על ידי כתיבת המשוואה האופיינית של הצורה:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

מצאנו שהשורשים אמיתיים ומובחנים. לפיכך y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . לאחר מכן, יש צורך לחפש פתרון כללי המבוסס על משוואה לא הומוגנית y ~ של הצורה

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

ידוע ש-A,B,C הם מקדמים, r = 0, כי אין זוג שורשים מצומדים הקשורים למשוואה האופיינית עם α ± i β = 3 ± 5 · i. מקדמים אלה נמצאים מהשוויון המתקבל:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + ד) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

מציאת הנגזרת ומונחים דומים נותן

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))

לאחר השוואת המקדמים, נקבל מערכת של הצורה

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

מכל זה נובע

y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x +1)sin(5x))

תשובה:כעת התקבל הפתרון הכללי של המשוואה הליניארית הנתונה:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

אלגוריתם לפתרון LDNU

הגדרה 1

כל סוג אחר של פונקציה f (x) עבור הפתרון מספק את אלגוריתם הפתרון:

• מציאת הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית הליניארית המקבילה, כאשר y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , כאשר y 1ו y2הם פתרונות ספציפיים בלתי תלויים ליניארית של LODE, מ - 1ו מ-2נחשבים קבועים שרירותיים;
• קבלה כפתרון כללי של ה-LIDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• הגדרה של נגזרות של פונקציה באמצעות מערכת בצורה C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x ) + C 2 " (x) y 2 "(x) = f (x) , ומציאת פונקציות C 1 (x)ו-C 2 (x) באמצעות אינטגרציה.

דוגמה 5

מצא את הפתרון הכללי עבור y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x .

פִּתָרוֹן

אנו ממשיכים לכתיבת המשוואה האופיינית, לאחר שכתבנו בעבר y 0 , y "" + 36 y = 0 . בואו נכתוב ונפתור:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)

יש לנו שהרשומה של הפתרון הכללי של המשוואה הנתונה תקבל את הצורה y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) . יש לעבור להגדרה של פונקציות נגזרות C 1 (x)ו C2(x)לפי המערכת עם המשוואות:

C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (sin (6) x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

צריך לקבל החלטה לגבי C 1 "(x)ו C2" (x)באמצעות כל שיטה. ואז נכתוב:

C 1 "(x) \u003d - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

יש לשלב כל אחת מהמשוואות. לאחר מכן נכתוב את המשוואות המתקבלות:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

מכאן נובע שלפתרון הכללי יהיה הצורה:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

תשובה: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6x)

אם אתה מבחין בטעות בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

בהרצאה נלמדים LNDE - ליניארי לא הומגני משוואות דיפרנציאליות. המבנה של הפתרון הכללי נחשב, הפתרון של LNDE בשיטת הווריאציה של קבועים שרירותיים, הפתרון של LNDE עם מקדמים קבועים וצד ימין סוג מיוחד. הנושאים הנידונים משמשים בחקר תנודות מאולצות בפיזיקה, הנדסת חשמל ואלקטרוניקה, ותורת הבקרה האוטומטית.

1. מבנה הפתרון הכללי של משוואה דיפרנציאלית לינארית לא הומוגנית מסדר 2.

שקול תחילה משוואה לא הומוגנית ליניארית בסדר שרירותי:

בהינתן הסימון, נוכל לכתוב:

במקרה זה, נניח שהמקדמים והצד הימני של משוואה זו הם רציפים במרווח מסוים.

מִשׁפָּט. הפתרון הכללי של משוואת דיפרנציאלית לא-הומוגנית ליניארית בתחום כלשהו הוא הסכום של כל אחד מהפתרונות שלה והפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית ההומוגנית ליניארית המקבילה.

הוכחה.תן Y להיות פתרון כלשהו של משוואה לא הומוגנית.

לאחר מכן, תוך החלפת פתרון זה במשוואה המקורית, נקבל את הזהות:

לתת
- מערכת בסיסית של פתרונות של משוואה הומוגנית ליניארית
. אז ניתן לכתוב את הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית כך:

בפרט, עבור משוואה דיפרנציאלית לא-הומוגנית ליניארית מהסדר השני, למבנה הפתרון הכללי יש את הצורה:

איפה
היא מערכת הפתרונות הבסיסית של המשוואה ההומוגנית המתאימה, ו
- כל פתרון מסוים של המשוואה הבלתי הומוגנית.

לפיכך, כדי לפתור משוואה דיפרנציאלית לא-הומוגנית ליניארית, יש צורך למצוא פתרון כללי של המשוואה ההומוגנית המתאימה ואיכשהו למצוא פתרון מסוים אחד של המשוואה הלא-הומוגנית. בדרך כלל הוא נמצא על ידי בחירה. השיטות לבחירת פתרון מסוים ייבחנו בשאלות הבאות.

2. שיטת וריאציה

בפועל, נוח ליישם את שיטת הווריאציה של קבועים שרירותיים.

כדי לעשות זאת, תחילה מצא את הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית המתאימה בצורה:

לאחר מכן, הגדרת המקדמים ג אניפונקציות מ איקס, מחפשים את הפתרון של המשוואה הבלתי הומוגנית:

ניתן להראות שכדי למצוא את הפונקציות ג אני (איקס) אתה צריך לפתור את מערכת המשוואות:

דוגמא.פתור את המשוואה

אנו פותרים משוואה הומוגנית ליניארית

הפתרון של המשוואה הבלתי הומוגנית ייראה כך:

אנו מרכיבים מערכת משוואות:

בואו נפתור את המערכת הזו:

מהקשר נמצא את הפונקציה אה).

עכשיו אנחנו מוצאים B(x).

אנו מחליפים את הערכים שהתקבלו בנוסחה לפתרון הכללי של המשוואה הבלתי הומוגנית:

תשובה סופית:

באופן כללי, שיטת הווריאציה של קבועים שרירותיים מתאימה למציאת פתרונות לכל משוואה לא הומוגנית ליניארית. אך מאז מציאת המערכת הבסיסית של פתרונות של המשוואה ההומוגנית המקבילה יכולה להיות משימה קשה למדי, שיטה זו משמשת בעיקר עבור משוואות לא הומוגניות עם מקדמים קבועים.

3. משוואות עם הצד הימני של צורה מיוחדת

נראה שניתן לייצג את הצורה של פתרון מסוים בהתאם לצורת הצד הימני של המשוואה הבלתי הומוגנית.

ישנם המקרים הבאים:

I. הצד הימני של המשוואה הדיפרנציאלית הלא-הומוגנית ליניארית הוא בעל הצורה:

איפה זה פולינום של תואר M.

אז מחפשים פתרון מסוים בצורה:

כאן ש(איקס) הוא פולינום באותה מידה כמו פ(איקס) , אבל עם מקדמים לא מוגדרים, ו ר- מספר המראה כמה פעמים המספר  הוא שורש המשוואה האופיינית למשוואה ההומוגנית ההומוגנית הלינארית המקבילה.

דוגמא.פתור את המשוואה
.

אנו פותרים את המשוואה ההומוגנית המתאימה:

כעת הבה נמצא פתרון מסוים של המשוואה הבלתי הומוגנית המקורית.

הבה נשווה את הצד הימני של המשוואה עם הצורה של הצד הימני שנדון לעיל.

אנו מחפשים פתרון מסוים בצורה:
, איפה

הָהֵן.

כעת אנו מגדירים את המקדמים הלא ידועים או IN.

החלף פתרון מסוים ב השקפה כלליתלתוך המשוואה הדיפרנציאלית הלא-הומוגנית המקורית.

אז פתרון פרטי:

ואז הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית הלא-הומוגנית ליניארית:

II. הצד הימני של המשוואה הדיפרנציאלית הלא-הומוגנית ליניארית הוא בעל הצורה:

כאן ר 1 (איקס)ו ר 2 (איקס)הם פולינומים של תואר M 1 ו M 2 בהתאמה.

אז הפתרון המסוים של המשוואה הבלתי-הומוגנית יהיה בעל הצורה:

איפה מספר רמראה כמה פעמים מספר
הוא השורש של המשוואה האופיינית למשוואה ההומוגנית המתאימה, ו ש 1 (איקס) ו ש 2 (איקס) – פולינומים של תואר לכל היותר M, איפה M- הגדול מבין התארים M 1 ו M 2 .

טבלת סיכום של סוגי פתרונות מסוימים

עבור סוגים שונים של חלקים נכונים

	הצד הימני של המשוואה הדיפרנציאלית	משוואה אופיינית	סוגי פרטיים
		1. המספר אינו שורש המשוואה האופיינית
		2. מספר הוא השורש של משוואת הריבוי האופיינית
		1. מספר אינו שורש של המשוואה האופיינית
		2. מספר הוא השורש של משוואת הריבוי האופיינית
		1. מספרים
		2. מספרים הם השורשים של משוואת הריבוי האופיינית
		1. מספרים אינם שורשים של משוואת הריבוי האופיינית
		2. מספרים הם השורשים של משוואת הריבוי האופיינית

שימו לב שאם הצד הימני של המשוואה הוא שילוב של ביטויים מהצורה הנחשבת לעיל, אז הפתרון נמצא כשילוב של פתרונות של משוואות עזר, שלכל אחת מהן יש צד ימין המקביל לביטוי הכלול בצירוף.

הָהֵן. אם המשוואה נראית כך:
, אז פתרון מסוים של משוואה זו יהיה
איפה בְּ- 1 ו בְּ- 2 הם פתרונות מסוימים של משוואות עזר

ו

לשם המחשה, בואו נפתור את הדוגמה לעיל בדרך אחרת.

דוגמא.פתור את המשוואה

אנו מייצגים את הצד הימני של המשוואה הדיפרנציאלית כסכום של שתי פונקציות ו 1 (איקס) + ו 2 (איקס) = איקס + (- חטא איקס).

אנו מרכיבים ופותרים את המשוואה האופיינית:

אנחנו מקבלים: כלומר.

סה"כ:

הָהֵן. לפתרון המסוים הרצוי יש את הצורה:

הפתרון הכללי של משוואת הדיפרנציאל הבלתי הומוגנית:

הבה נשקול דוגמאות ליישום של השיטות המתוארות.

דוגמה 1..פתור את המשוואה

הבה נרכיב משוואה אופיינית עבור המשוואה ההומוגנית ההומוגנית הלינארית המתאימה:

כעת אנו מוצאים פתרון מסוים של המשוואה הבלתי הומוגנית בצורה:

בואו נשתמש בשיטה של ​​מקדמים בלתי מוגדרים.

החלפה לתוך המשוואה המקורית, נקבל:

הפתרון המסוים נראה כך:

הפתרון הכללי של המשוואה הלא-הומוגנית הליניארית:

דוגמא.פתור את המשוואה

משוואה אופיינית:

הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית:

פתרון מיוחד של המשוואה הבלתי הומוגנית:
.

אנו מוצאים את הנגזרות ומחליפים אותן במשוואה הבלתי הומוגנית המקורית:

נקבל את הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית הלא-הומוגנית:

משוואות דיפרנציאליות מסדר שני לא הומוגניות עם מקדמים קבועים

מבנה הפתרון הכללי משוואה לא הומוגנית ליניארית מהסוג הזהנראה כמו: איפה ע, ש− מספרים קבועים (שיכולים להיות ממשיים ומורכבים כאחד). עבור כל משוואה כזו, אפשר לכתוב את המתאימה משוואה הומוגנית: מִשׁפָּט: הפתרון הכללי של המשוואה הלא-הומוגנית הוא סכום הפתרון הכללי y 0 (איקס) של המשוואה ההומוגנית המתאימה ופתרון מסוים y 1 (איקס) של המשוואה הבלתי הומוגנית: להלן נשקול שתי שיטות לפתרון משוואות דיפרנציאליות לא הומוגניות. שיטת וריאציה מתמדת אם הפתרון הכללי yידוע 0 של המשוואה ההומוגנית הקשורה, אז ניתן למצוא את הפתרון הכללי של המשוואה הלא-הומוגנית באמצעות שיטת וריאציה מתמדת. תן לפתרון הכללי של משוואה דיפרנציאלית הומוגנית מסדר שני להיות בצורה: במקום קבוע ג 1 ו ג 2 נשקול פונקציות עזר ג 1 (איקס) ו ג 2 (איקס). נחפש את הפונקציות הללו כך שהפתרון עונה על המשוואה הבלתי הומוגנית עם צד ימין ו(איקס). תכונות לא ידועות ג 1 (איקס) ו ג 2 (איקס) נקבעים ממערכת שתי משוואות: שיטה של ​​מקדמים לא ידועים חלק ימין ו(איקס) של משוואה דיפרנציאלית לא הומוגנית היא לעתים קרובות פולינום, פונקציה אקספוננציאלית או טריגונומטרית, או שילוב כלשהו של הפונקציות הללו. במקרה זה, נוח יותר למצוא פתרון באמצעות שיטה של ​​מקדמים לא ודאיים. אנחנו מדגישים את זה השיטה הזאתעובד רק עבור מחלקה מוגבלת של פונקציות בצד ימין, כגון בשני המקרים, הבחירה בפתרון מסוים חייבת להתאים למבנה של הצד הימני של המשוואה הדיפרנציאלית הלא-הומוגנית. במקרה 1, אם המספר α בפונקציה המעריכית חופפת לשורש המשוואה האופיינית, אז הפתרון המסוים יכיל גורם נוסף איקס ס, איפה ס- ריבוי השורש α במשוואה האופיינית. במקרה 2, אם המספר α + βiחופף לשורש המשוואה האופיינית, אז הביטוי לפתרון המסוים יכיל גורם נוסף איקס. ניתן לקבוע מקדמים לא ידועים על ידי החלפת הביטוי המצוי עבור פתרון מסוים במשוואה הדיפרנציאלית הבלתי הומוגנית המקורית. עקרון סופרפוזיציה אם הצד הימני של המשוואה הבלתי הומוגנית הוא כמותמספר פונקציות של הטופס אז הפתרון המסוים של המשוואה הדיפרנציאלית יהיה גם סכום הפתרונות המסוימים שנבנו בנפרד עבור כל איבר בצד ימין.

דוגמה 1

לפתור משוואת דיפרנציאלית y"" + y= חטא(2 איקס). פִּתָרוֹן. נפתור תחילה את המשוואה ההומוגנית המתאימה y"" + y= 0. במקרה זה, השורשים של המשוואה האופיינית הם דמיוניים בלבד: לכן, הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית ניתן על ידי נחזור שוב למשוואה הבלתי הומוגנית. נחפש את פתרונה בטופס באמצעות שיטת הווריאציה של קבועים. פונקציות ג 1 (איקס) ו ג 2 (איקס) ניתן למצוא ממערכת המשוואות הבאה: אנו מבטאים את הנגזרת ג 1 " (איקס) מהמשוואה הראשונה: בהחלפה לתוך המשוואה השנייה, נמצא את הנגזרת ג 2 " (איקס): מכאן נובע מכך שילוב ביטויים לנגזרות ג 1 " (איקס) ו ג 2 " (איקס), אנחנו מקבלים: איפה א 1 , א 2 - קבועי אינטגרציה. כעת נחליף את הפונקציות שנמצאו ג 1 (איקס) ו ג 2 (איקס) לתוך הנוסחה עבור y 1 (איקס) וכתוב את הפתרון הכללי של המשוואה הבלתי הומוגנית:

דוגמה 2

מצא פתרון כללי למשוואה y"" + y" −6y = 36איקס. פִּתָרוֹן. בואו נשתמש בשיטה של ​​מקדמים בלתי מוגדרים. הצד הימני של המשוואה הנתונה הוא פונקציה לינארית ו(איקס)= גרזן + ב. לכן, נחפש פתרון מסוים בטופס הנגזרות הן: אם מחליפים את זה במשוואה הדיפרנציאלית, נקבל: המשוואה האחרונה היא זהות, כלומר, היא תקפה לכולם איקס, אז אנחנו משווים את המקדמים של המונחים לאותן כוחות איקסבצד שמאל וימין: מהמערכת המתקבלת אנו מוצאים: א = −6, ב= −1. כתוצאה מכך, הפתרון המסוים נכתב בצורה כעת הבה נמצא את הפתרון הכללי של משוואת הדיפרנציאל ההומוגנית. הבה נחשב את השורשים של משוואת מאפיין העזר: לכן, לפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית המתאימה יש את הצורה: אז, הפתרון הכללי של המשוואה הבלתי הומוגנית המקורית מבוטא על ידי הנוסחה

אינטגרל כללי של DE.

לפתור משוואת דיפרנציאלית

אבל המצחיק הוא שהתשובה כבר ידועה: ליתר דיוק, עלינו להוסיף גם קבוע: האינטגרל הכללי הוא פתרון למשוואה הדיפרנציאלית.

שיטת וריאציה של קבועים שרירותיים. דוגמאות לפתרונות

שיטת הווריאציה של קבועים שרירותיים משמשת לפתרון משוואות דיפרנציאליות לא הומוגניות. שיעור זה מיועד לאותם תלמידים שכבר בקיאים פחות או יותר בנושא. אם אתם רק מתחילים להכיר את השלט, כלומר. אם אתה קומקום תה, אני ממליץ להתחיל עם השיעור הראשון: משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון. דוגמאות לפתרונות. ואם אתה כבר מסיים, בבקשה בטל את הדעה הקדומה האפשרית שהשיטה קשה. כי הוא פשוט.

באילו מקרים משתמשים בשיטת הווריאציה של קבועים שרירותיים?

1) ניתן להשתמש בשיטת הווריאציה של קבוע שרירותי כדי לפתור DE ליניארי לא הומוגנית מהסדר הראשון. מכיוון שהמשוואה היא מהסדר הראשון, אז גם הקבוע (הקבוע) הוא אחד.

2) שיטת הווריאציה של קבועים שרירותיים משמשת לפתרון חלק משוואות לא הומוגניות ליניאריות מהסדר השני. כאן, שני קבועים (קבועים) משתנים.

הגיוני להניח שהשיעור יהיה מורכב משתי פסקאות.... כתבתי את ההצעה הזו, ובמשך כ-10 דקות חשבתי בכאב איזה עוד שטויות חכם להוסיף למעבר חלק לדוגמאות מעשיות. אבל משום מה, אין מחשבות אחרי החגים, למרות שנראה שלא התעללתי בכלום. אז בואו נקפוץ ישר לפסקה הראשונה.

שיטת וריאציה קבועה שרירותית עבור משוואה לינארית לא הומוגנית מסדר ראשון

לפני שנבחן את שיטת הווריאציה של קבוע שרירותי, רצוי להכיר את המאמר משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מהסדר הראשון. באותו שיעור, התאמנו הדרך הראשונה לפתור DE לא הומוגנית מהסדר הראשון. הפתרון הראשון הזה, אני מזכיר לכם, נקרא שיטת החלפהאוֹ שיטת ברנולי(לא להתבלבל עם משוואת ברנולי!!!)

כעת נשקול דרך שניה לפתור– שיטת וריאציה של קבוע שרירותי. אתן רק שלוש דוגמאות, ואקח אותן מהשיעור הנ"ל. למה כל כך מעט? כי למעשה הפתרון בדרך השנייה יהיה דומה מאוד לפתרון בדרך הראשונה. בנוסף, לפי התצפיות שלי, שיטת הווריאציה של קבועים שרירותיים משמשת בתדירות נמוכה יותר מאשר שיטת ההחלפה.

דוגמה 1

מצא את הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית (הבדל מדוגמה מס' 2 של השיעור DE לא הומוגנית ליניארית מהסדר הראשון)

פִּתָרוֹן:משוואה זו אינה הומוגנית ליניארית ויש לה צורה מוכרת:

בשלב הראשון, יש צורך לפתור משוואה פשוטה יותר: כלומר, אנו מאפסים בטיפשות את הצד הימני - במקום זאת אנו כותבים אפס. המשוואה שאקרא משוואת עזר.

בדוגמה זו, עליך לפתור את משוואת העזר הבאה:

לפנינו משוואה ניתנת להפרדה, שהפתרון שלו (אני מקווה) כבר לא קשה לך:

כך: הוא הפתרון הכללי של משוואת העזר .

בשלב השני החלףקבוע של חלק עדייןפונקציה לא ידועה שתלויה ב-"x":

מכאן שם השיטה - אנו משנים את הקבוע. לחלופין, הקבוע יכול להיות פונקציה כלשהי שעלינו למצוא כעת.

IN התחלתימשוואה לא הומוגנית, נבצע את ההחלפה:

תחליף במשוואה:

רגע שליטה - שני המונחים בצד שמאל מבטלים. אם זה לא קורה, עליך לחפש את השגיאה למעלה.

כתוצאה מההחלפה מתקבלת משוואה עם משתנים הניתנים להפרדה. הפרד משתנים ושילוב.

איזו ברכה, גם המעריכים מתכווצים:

אנו מוסיפים קבוע "נורמלי" לפונקציה שנמצאה:

בשלב הסופי, אנו זוכרים את המחליף שלנו:

הפונקציה נמצאה זה עתה!

אז הפתרון הכללי הוא:

תשובה:החלטה משותפת:

אם תדפיסו את שני הפתרונות, תבחינו בקלות שבשני המקרים מצאנו את אותם אינטגרלים. ההבדל היחיד הוא באלגוריתם הפתרון.

עכשיו משהו יותר מסובך, אעיר גם על הדוגמה השנייה:

דוגמה 2

מצא את הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית (הבדל מדוגמה מס' 8 של השיעור DE לא הומוגנית ליניארית מהסדר הראשון)

פִּתָרוֹן:נביא את המשוואה לצורה:

הגדר את הצד הימני לאפס ופתור את משוואת העזר:

הפרד משתנים ושילוב: פתרון כללי של משוואת העזר:

במשוואה הבלתי הומוגנית, נבצע את ההחלפה:

על פי כלל בידול המוצרים:

תחליף ונכנס למשוואה הבלתי הומוגנית המקורית:

שני המונחים בצד שמאל מתבטלים, מה שאומר שאנחנו במסלול הנכון:

אנו משתלבים לפי חלקים. אות טעימה מהנוסחה לאינטגרציה לפי חלקים כבר מעורבת בפתרון, לכן אנו משתמשים, למשל, באותיות "a" ו-"be":

בסופו של דבר:

עכשיו בואו נסתכל על ההחלפה:

תשובה:החלטה משותפת:

שיטת וריאציה של קבועים שרירותיים עבור משוואה לינארית לא הומוגנית מסדר שני עם מקדמים קבועים

לעתים קרובות שמעו את הדעה ששיטת הווריאציה של קבועים שרירותיים עבור משוואה מסדר שני אינה דבר קל. אבל אני מניח את הדברים הבאים: סביר להניח שהשיטה נראית קשה לרבים, מכיוון שהיא לא כל כך נפוצה. אבל במציאות, אין קשיים מיוחדים - מהלך ההחלטה ברור, שקוף ומובן. ויפה.

כדי לשלוט בשיטה, רצוי להיות מסוגל לפתור משוואות לא הומוגניות מסדר שני על ידי בחירת פתרון מסוים לפי צורת הצד הימני. השיטה הזאתנדון בפירוט במאמר. DE לא הומוגנית מהסדר השני. אנו זוכרים שלמשוואה לינארית לא הומוגנית מסדר שני עם מקדמים קבועים יש את הצורה:

שיטת הבחירה, שנחשבה בשיעור לעיל, פועלת רק במספר מצומצם של מקרים, כאשר פולינומים, אקספוננטים, סינוסים, קוסינוסים נמצאים בצד ימין. אבל מה לעשות כשבצד ימין, למשל, שבר, לוגריתם, משיק? במצב כזה, שיטת הווריאציה של הקבועים באה לעזרה.

דוגמה 4

מצא את הפתרון הכללי של משוואת דיפרנציאלית מסדר שני

פִּתָרוֹן:יש שבר בצד ימין של המשוואה הזו, אז אנחנו יכולים מיד לומר ששיטת בחירת פתרון מסוים לא עובדת. אנו משתמשים בשיטת הווריאציה של קבועים שרירותיים.

שום דבר לא מבשר סופת רעמים, ההתחלה של הפתרון היא די רגילה:

בוא נמצא החלטה משותפתתוֹאֵם הוֹמוֹגֵנִימשוואות:

אנו מרכיבים ופותרים את המשוואה האופיינית: - מתקבלים שורשים מורכבים מצומדים, ולכן הפתרון הכללי הוא:

שימו לב לתיעוד של הפתרון הכללי - אם יש סוגריים, אז פתחו אותם.

כעת אנו עושים כמעט את אותו טריק כמו עבור משוואת הסדר הראשון: אנו משנים את הקבועים, ומחליפים אותם בפונקציות לא ידועות. זה, פתרון כללי של הבלתי הומוגנייםנחפש משוואות בצורה:

איפה - עדייןפונקציות לא ידועות.

זה נראה כמו מזבלה, אבל עכשיו נעשה הכל.

נגזרות של פונקציות פועלות כבלתי ידועות. המטרה שלנו היא למצוא נגזרות, והנגזרות שנמצאו חייבות לעמוד הן במשוואה הראשונה והן במשוואה השנייה של המערכת.

מאיפה באים "משחקים"? החסידה מביאה אותם. אנו מסתכלים על הפתרון הכללי שהושג קודם לכן וכותבים:

בואו נמצא נגזרות:

טיפל בצד שמאל. מה יש בצד ימין?

הוא הצד הימני של המשוואה המקורית, במקרה זה:

היסודות של פתרון משוואות דיפרנציאליות לא הומוגניות ליניאריות מהסדר השני (LNDE-2) עם מקדמים קבועים (PC)

CLDE מסדר שני עם מקדמים קבועים $p$ ו-$q$ יש את הצורה $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, כאשר $f\left( x \right)$ היא פונקציה רציפה.

שתי ההצהרות הבאות נכונות ביחס ל-LNDE השני עם PC.

נניח שפונקציה כלשהי $U$ היא פתרון פרטני שרירותי של משוואת דיפרנציאלית לא הומוגנית. הבה נניח גם שפונקציה כלשהי $Y$ היא פתרון כללי (OR) של משוואת הדיפרנציאל ההומוגנית הליניארית המקבילה (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. ואז ה-OR של LHDE-2 שווה לסכום ה-private and המצוין החלטות משותפות, כלומר $y=U+Y$.

אם הצד הימני של ה-LIDE מסדר 2 הוא סכום הפונקציות, כלומר $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right) ). מהפונקציות $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, ולאחר מכן כתוב את LNDE-2 PD בתור $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

פתרון של LNDE מסדר 2 עם PC

ברור שהצורה של PD $U$ כזה או אחר של LNDE-2 נתון תלויה בצורה הספציפית של הצד הימני שלו $f\left(x\right)$. המקרים הפשוטים ביותר של חיפוש PD של LNDE-2 מנוסחים כארבעת הכללים הבאים.

כלל מספר 1.

הצד הימני של LNDE-2 הוא בעל הצורה $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, כאשר $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, כלומר, זה נקרא a פולינום של תואר $n$. אז ה-PR $U$ שלו מבוקש בצורה $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, כאשר $Q_(n) \left(x\right)$ הוא אחר פולינום באותה מידה כמו $P_(n) \left(x\right)$, ו-$r$ הוא מספר השורשים האפסים של המשוואה האופיינית של LODE-2 המקביל. המקדמים של הפולינום $Q_(n) \left(x\right)$ נמצאים בשיטה של ​​מקדמים בלתי מוגדרים (NC).

כלל מספר 2.

הצד הימני של LNDE-2 הוא בעל הצורה $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, כאשר $P_(n) \left( x\right)$ הוא פולינום בדרגה $n$. לאחר מכן מחפשים את ה-PD שלו $U$ בצורה $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, כאשר $Q_(n) ) \ left(x\right)$ הוא פולינום נוסף באותה מידה כמו $P_(n) \left(x\right)$, ו-$r$ הוא מספר השורשים של המשוואה האופיינית של LODE-2 המקביל שווה ל-$\alpha $. המקדמים של הפולינום $Q_(n) \left(x\right)$ נמצאים בשיטת NK.

כלל מספר 3.

לחלק הימני של LNDE-2 יש את הצורה $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, כאשר $a$, $b$ ו-$\beta $ הם מספרים ידועים. אז מחפשים את ה-PD $U$ שלו בצורה $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right )\right )\cdot x^(r) $, כאשר $A$ ו-$B$ הם מקדמים לא ידועים, ו-$r$ הוא מספר השורשים של המשוואה האופיינית של LODE-2 המקביל שווה ל-$i\cdot \beta $. המקדמים $A$ ו-$B$ נמצאים בשיטת NDT.

כלל מספר 4.

הצד הימני של LNDE-2 הוא בעל הצורה $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, כאשר $P_(n) \left(x\right)$ הוא פולינום של תואר $ n$, ו-$P_(m) \left(x\right)$ הוא פולינום של תואר $m$. לאחר מכן מחפשים את ה-PD $U$ שלו בצורה $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, כאשר $Q_(s) \left(x\right) $ ו-$ R_(s) \left(x\right)$ הם פולינומים בדרגה $s$, המספר $s$ הוא המקסימום של שני מספרים $n$ ו-$m$, ו-$r$ הוא המספר של שורשים של המשוואה האופיינית של LODE-2 המקביל, שווה ל-$\alpha +i\cdot \beta $. המקדמים של הפולינומים $Q_(s) \left(x\right)$ ו-$R_(s) \left(x\right)$ נמצאים בשיטת NK.

שיטת NK מורכבת מיישום הכלל הבא. על מנת למצוא את המקדמים הלא ידועים של הפולינום, שהם חלק מהפתרון המסוים של משוואת הדיפרנציאל הבלתי הומוגנית LNDE-2, יש צורך:

• להחליף את ה-PD $U$, הכתוב בצורה כללית, לתוך צד שמאל LNDU-2;
• בצד שמאל של LNDE-2, בצע הפשטות וקבוצות של מונחים עם אותם כוחות $x$;
• בזהות המתקבלת, השווה את המקדמים של המונחים עם אותן חזקה $x$ של צד שמאל וצד ימין;
• לפתור את המערכת המתקבלת של משוואות לינאריות עבור מקדמים לא ידועים.

דוגמה 1

משימה: מצא את ה-OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. מצא גם ה-PR , המקיים את התנאים ההתחלתיים $y=6$ עבור $x=0$ ו-$y"=1$ עבור $x=0$.

כתוב את ה-LODA-2 המתאים: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

משוואה אופיינית: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. שורשי המשוואה האופיינית: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. השורשים הללו הם אמיתיים ומובחנים. לפיכך, ה-OR של LODE-2 התואם הוא בעל הצורה: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

לחלק הימני של LNDE-2 זה יש את הצורה $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. יש צורך לשקול את מקדם המעריך של המעריך $\alpha =3$. מקדם זה אינו עולה בקנה אחד עם אף אחד משורשי המשוואה האופיינית. לכן, ל-PR של LNDE-2 זה יש את הצורה $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

נחפש את המקדמים $A$, $B$ בשיטת NK.

אנו מוצאים את הנגזרת הראשונה של ה-CR:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

אנו מוצאים את הנגזרת השנייה של ה-CR:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((")) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

אנו מחליפים את הפונקציות $U""$, $U"$ ו-$U$ במקום $y""$, $y"$ ו-$y$ ב-LNDE-2 $y""-3\cdot y" הנתון -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ באותו הזמן, מכיוון שהמעריך $e^(3\cdot x) $ כלול כגורם בכל הרכיבים, אז ניתן לוותר עליו.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

אנו מבצעים פעולות בצד שמאל של השוויון המתקבל:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

אנו משתמשים בשיטת NC. אנו מקבלים מערכת של משוואות לינאריות עם שני לא ידועים:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

הפתרון למערכת זו הוא: $A=-2$, $B=-1$.

ה-CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ עבור הבעיה שלנו נראה כך: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.

ה-OR $y=Y+U$ עבור הבעיה שלנו נראה כך: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

על מנת לחפש PD שעומד בתנאי ההתחלה הנתונים, נמצא את הנגזרת $y"$ OR:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

אנו מחליפים ב-$y$ ו-$y"$ את התנאים ההתחלתיים $y=6$ עבור $x=0$ ו-$y"=1$ עבור $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

קיבלנו מערכת משוואות:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

אנחנו פותרים את זה. אנו מוצאים את $C_(1) $ באמצעות הנוסחה של Cramer, ו-$C_(2) $ נקבע מהמשוואה הראשונה:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

לפיכך, ה-PD של משוואת דיפרנציאלית זו הוא: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.