שיטת לגראנז' לווריאציה של קבועים שרירותיים. שיטת וריאציה של קבועים שרירותיים

שיטת הווריאציה של קבועים שרירותיים משמשת לפתרון משוואות דיפרנציאליות לא הומוגניות. שיעור זה מיועד לאותם תלמידים שכבר בקיאים פחות או יותר בנושא. אם אתם רק מתחילים להכיר את השלט, כלומר. אם אתה קומקום תה, אני ממליץ להתחיל עם השיעור הראשון: משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון. דוגמאות לפתרונות. ואם אתה כבר מסיים, בבקשה בטל את הדעה הקדומה האפשרית שהשיטה קשה. כי הוא פשוט.

באילו מקרים משתמשים בשיטת הווריאציה של קבועים שרירותיים?

1) ניתן להשתמש בשיטת הווריאציה של קבוע שרירותי כדי לפתור DE ליניארי לא הומוגנית מהסדר הראשון. מכיוון שהמשוואה היא מהסדר הראשון, אז גם הקבוע (הקבוע) הוא אחד.

2) שיטת הווריאציה של קבועים שרירותיים משמשת לפתרון חלק משוואות לא הומוגניות ליניאריות מהסדר השני. כאן, שני קבועים (קבועים) משתנים.

הגיוני להניח שהשיעור יהיה מורכב משתי פסקאות.... אז כתבתי את ההצעה הזו, ובמשך 10 דקות חשבתי בכאב בשביל איזה עוד שטויות חכם להוסיף מעבר חלקל דוגמאות מעשיות. אבל משום מה, אין מחשבות אחרי החגים, למרות שנראה שלא התעללתי בכלום. אז בואו נקפוץ ישר לפסקה הראשונה.

שיטת וריאציה קבועה שרירותית
עבור משוואה לינארית לא הומוגנית מסדר ראשון

לפני שנבחן את שיטת הווריאציה של קבוע שרירותי, רצוי להכיר את המאמר משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מהסדר הראשון. באותו שיעור, התאמנו הדרך הראשונה לפתור DE לא הומוגנית מהסדר הראשון. הפתרון הראשון הזה, אני מזכיר לכם, נקרא שיטת החלפהאוֹ שיטת ברנולי(לא להתבלבל עם משוואת ברנולי!!!)

כעת נשקול דרך שניה לפתור– שיטת וריאציה של קבוע שרירותי. אתן רק שלוש דוגמאות, ואקח אותן מהשיעור הנ"ל. למה כל כך מעט? כי למעשה הפתרון בדרך השנייה יהיה דומה מאוד לפתרון בדרך הראשונה. בנוסף, לפי התצפיות שלי, שיטת הווריאציה של קבועים שרירותיים משמשת בתדירות נמוכה יותר מאשר שיטת ההחלפה.

דוגמה 1

(שונה מדוגמה מס' 2 של השיעור DE לא הומוגנית ליניארית מהסדר הראשון)

פִּתָרוֹן:משוואה זו אינה הומוגנית ליניארית ויש לה צורה מוכרת:

הצעד הראשון הוא לפתור משוואה פשוטה יותר:
כלומר, אנו מבטלים בטיפשות צד ימיןנכתוב אפס במקום זאת.
המשוואה אני אתקשר משוואת עזר.

בדוגמה זו, עליך לפתור את משוואת העזר הבאה:

לפנינו משוואה ניתנת להפרדה, שהפתרון שלו (אני מקווה) כבר לא קשה לך:

לכן:
הוא הפתרון הכללי של משוואת העזר.

בשלב השני החלףקבוע של חלק עדייןפונקציה לא ידועה שתלויה ב-"x":

מכאן שם השיטה - אנו משנים את הקבוע. לחלופין, הקבוע יכול להיות פונקציה כלשהי שעלינו למצוא כעת.

IN מְקוֹרִימשוואה לא הומוגנית בואו נחליף:

מחליף ו לתוך המשוואה :

רגע שליטה - שני המונחים בצד שמאל מבטלים. אם זה לא קורה, עליך לחפש את השגיאה למעלה.

כתוצאה מההחלפה מתקבלת משוואה עם משתנים הניתנים להפרדה. הפרד משתנים ושילוב.

איזו ברכה, גם המעריכים מתכווצים:

אנו מוסיפים קבוע "נורמלי" לפונקציה שנמצאה:

בשלב הסופי, אנו זוכרים את המחליף שלנו:

הפונקציה נמצאה זה עתה!

אז הפתרון הכללי הוא:

תשובה:החלטה משותפת:

אם תדפיסו את שני הפתרונות, תבחינו בקלות שבשני המקרים מצאנו את אותם אינטגרלים. ההבדל היחיד הוא באלגוריתם הפתרון.

עכשיו משהו יותר מסובך, אעיר גם על הדוגמה השנייה:

דוגמה 2

מצא פתרון כללי משוואה דיפרנציאלית
(שונה מדוגמה מס' 8 של השיעור DE לא הומוגנית ליניארית מהסדר הראשון)

פִּתָרוֹן:אנו מביאים את המשוואה לצורה :

הגדר את הצד הימני לאפס ופתור את משוואת העזר:

פתרון כללי של משוואת העזר:

במשוואה הבלתי הומוגנית, נבצע את ההחלפה:

על פי כלל בידול המוצרים:

מחליף ו למקור משוואה הומוגנית :

שני המונחים בצד שמאל מתבטלים, מה שאומר שאנחנו במסלול הנכון:

אנו משתלבים לפי חלקים. אות טעימה מהנוסחה לאינטגרציה לפי חלקים כבר מעורבת בפתרון, לכן אנו משתמשים, למשל, באותיות "a" ו-"be":

עכשיו בואו נסתכל על ההחלפה:

תשובה:החלטה משותפת:

ודוגמה אחת לפתרון עצמי:

דוגמה 3

מצא פתרון מסוים של משוואת הדיפרנציאלית התואמת למצב ההתחלתי הנתון.

,
(הבדל משיעור 4 דוגמה DE לא הומוגנית ליניארית מהסדר הראשון)
פִּתָרוֹן:
DE זה אינו הומוגני ליניארי. אנו משתמשים בשיטת הווריאציה של קבועים שרירותיים. בואו נפתור את משוואת העזר:

אנו מפרידים את המשתנים ומשלבים:

החלטה משותפת:
במשוואה הבלתי הומוגנית, נבצע את ההחלפה:

בוא נעשה את ההחלפה:

אז הפתרון הכללי הוא:

מצא פתרון מסוים המתאים למצב ההתחלתי הנתון:

תשובה:פתרון פרטי:

הפתרון בסוף השיעור יכול לשמש מודל משוער לסיום המטלה.

שיטת וריאציה של קבועים שרירותיים
עבור משוואה לינארית לא הומוגנית מסדר שני
עם מקדמים קבועים

לעתים קרובות שמעו את הדעה ששיטת הווריאציה של קבועים שרירותיים עבור משוואה מסדר שני אינה דבר קל. אבל אני מניח את הדברים הבאים: סביר להניח שהשיטה נראית קשה לרבים, מכיוון שהיא לא כל כך נפוצה. אבל במציאות, אין קשיים מיוחדים - מהלך ההחלטה ברור, שקוף ומובן. ויפה.

כדי לשלוט בשיטה, רצוי להיות מסוגל לפתור משוואות לא הומוגניות מסדר שני על ידי בחירת פתרון מסוים לפי צורת הצד הימני. השיטה הזאתנדון בפירוט במאמר. DE לא הומוגנית מהסדר השני. אנו זוכרים שלמשוואה לינארית לא הומוגנית מסדר שני עם מקדמים קבועים יש את הצורה:

שיטת הבחירה, שנחשבה בשיעור הנ"ל, פועלת רק במספר מצומצם של מקרים, כאשר פולינומים, אקספוננטים, סינוסים, קוסינוסים נמצאים בצד ימין. אבל מה לעשות כשבצד ימין, למשל, שבר, לוגריתם, משיק? במצב כזה, שיטת הווריאציה של הקבועים באה לעזרה.

דוגמה 4

מצא את הפתרון הכללי של משוואת דיפרנציאלית מסדר שני

פִּתָרוֹן:יש שבר בצד ימין של המשוואה הזו, אז אנחנו יכולים מיד לומר ששיטת בחירת פתרון מסוים לא עובדת. אנו משתמשים בשיטת הווריאציה של קבועים שרירותיים.

שום דבר לא מבשר סופת רעמים, ההתחלה של הפתרון היא די רגילה:

בוא נמצא החלטה משותפתתוֹאֵם הוֹמוֹגֵנִימשוואות:

אנו מרכיבים ופותרים את המשוואה האופיינית:


- מתקבלים שורשים מורכבים מצומדים, ולכן הפתרון הכללי הוא:

שימו לב לתיעוד של הפתרון הכללי - אם יש סוגריים, אז פתחו אותם.

כעת אנו עושים כמעט את אותו טריק כמו עבור משוואת הסדר הראשון: אנו משנים את הקבועים, ומחליפים אותם בפונקציות לא ידועות. זה, פתרון כללי של הבלתי הומוגנייםנחפש משוואות בצורה:

איפה - עדייןפונקציות לא ידועות.

זה נראה כמו מזבלה, אבל עכשיו נעשה הכל.

נגזרות של פונקציות פועלות כבלתי ידועות. המטרה שלנו היא למצוא נגזרות, והנגזרות שנמצאו חייבות לעמוד הן במשוואה הראשונה והן במשוואה השנייה של המערכת.

מאיפה באים "משחקים"? החסידה מביאה אותם. אנו מסתכלים על הפתרון הכללי שהושג קודם לכן וכותבים:

בואו נמצא נגזרות:

טיפל בצד שמאל. מה בצד ימין?

הוא הצד הימני של המשוואה המקורית, במקרה זה:

המקדם הוא המקדם בנגזרת השנייה:

בפועל, כמעט תמיד, והדוגמה שלנו אינה יוצאת דופן.

הכל התבהר, עכשיו אתה יכול ליצור מערכת:

המערכת נפתרת בדרך כלל לפי הנוסחאות של קריימרבאמצעות האלגוריתם הסטנדרטי. ההבדל היחיד הוא שבמקום מספרים יש לנו פונקציות.

מצא את הקובע העיקרי של המערכת:

אם שכחת כיצד מתגלה הקובע "שניים על שניים", עיין בשיעור איך מחשבים את הקובע?הקישור מוביל ללוח הבושה =)

אז: , אז למערכת יש פתרון ייחודי.

אנו מוצאים את הנגזרת:

אבל זה לא הכל, עד כה מצאנו רק את הנגזרת.
הפונקציה עצמה משוחזרת על ידי אינטגרציה:

בואו נסתכל על הפונקציה השנייה:

כאן נוסיף קבוע "רגיל".

בשלב הסופי של הפתרון, אנו נזכרים באיזו צורה חיפשנו את הפתרון הכללי של המשוואה הבלתי הומוגנית? בכזה:

פונקציות נדרשותפשוט מצאתי!

נותר לבצע את ההחלפה ולרשום את התשובה:

תשובה:החלטה משותפת:

באופן עקרוני, התשובה יכולה לפתוח את הסוגריים.

בדיקה מלאההתשובה מתבצעת בהתאם לתכנית הסטנדרטית, שנחשבה בשיעור DE לא הומוגנית מהסדר השני. אבל האימות לא יהיה קל, שכן עלינו למצוא נגזרות כבדות למדי ולבצע החלפה מסורבלת. זו תכונה מגעילה כשאתה פותר הבדלים כאלה.

דוגמה 5

פתור את המשוואה הדיפרנציאלית בשיטת הווריאציה של קבועים שרירותיים

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך. למעשה, הצד הימני הוא גם שבריר. אנחנו זוכרים נוסחה טריגונומטרית, אגב, יהיה צורך ליישם אותו במהלך הפתרון.

שיטת הווריאציה של קבועים שרירותיים היא הגבוהה ביותר שיטה גנרית. הם יכולים לפתור כל משוואה שניתן לפתור השיטה לבחירת פתרון מסוים לפי צורת הצד הימני. נשאלת השאלה, מדוע לא להשתמש גם שם בשיטת הווריאציה של קבועים שרירותיים? התשובה ברורה: בחירת פתרון מסוים, שנבחן בשיעור משוואות לא הומוגניות מהסדר השני, מזרז משמעותית את הפתרון ומפחית את הסימון - אין להתעסק עם דטרמיננטים ואינטגרלים.

שקול שתי דוגמאות עם בעיה קוצנית.

דוגמה 6

מצא פתרון מסוים של משוואת הדיפרנציאלית התואמת לתנאים התחלתיים נתונים

,

פִּתָרוֹן:שוב שבר ומעריך פנימה מקום מעניין.
אנו משתמשים בשיטת הווריאציה של קבועים שרירותיים.

בוא נמצא החלטה משותפתתוֹאֵם הוֹמוֹגֵנִימשוואות:



– מתקבלים שורשים אמיתיים שונים, ולכן הפתרון הכללי הוא:

הפתרון הכללי של הבלתי הומוגנייםאנו מחפשים משוואות בצורה: , כאשר - עדייןפונקציות לא ידועות.

בואו ניצור מערכת:

במקרה הזה:
,
מציאת נגזרות:
,

לכן:

אנו פותרים את המערכת באמצעות הנוסחאות של Cramer:
, כך שלמערכת יש פתרון ייחודי.

אנו משחזרים את הפונקציה על ידי אינטגרציה:

משמש כאן שיטה להבאת פונקציה תחת סימן דיפרנציאלי.

אנו משחזרים את הפונקציה השנייה על ידי אינטגרציה:

אינטגרל כזה נפתר שיטת החלפת משתנה:

מההחלפה עצמה, אנו מבטאים:

לכן:

ניתן למצוא את האינטגרל הזה שיטת בחירת ריבוע מלאה, אבל בדוגמאות עם דיפרורים, אני מעדיף להרחיב את השבר שיטה של ​​מקדמים לא ודאיים:

שתי הפונקציות נמצאו:

כתוצאה מכך, הפתרון הכללי של המשוואה הבלתי הומוגנית הוא:

מצא פתרון מסוים העונה על התנאים ההתחלתיים .

מבחינה טכנית, חיפוש הפתרון מתבצע בצורה סטנדרטית, עליה נדון במאמר. משוואות דיפרנציאליות לא הומוגניות מסדר שני.

רגע, כעת נמצא את הנגזרת של הפתרון הכללי שנמצא:

כאן יש בושה כזו. אין צורך לפשט את זה, קל יותר להרכיב מיד מערכת משוואות. לפי התנאים הראשוניים :

החלף את הערכים המצויים של הקבועים לפתרון כללי:

בתשובה, ניתן לארוז מעט את הלוגריתמים.

תשובה:פתרון פרטי:

כפי שאתה יכול לראות, קשיים יכולים להתעורר באינטגרלים ובנגזרות, אבל לא באלגוריתם של שיטת הווריאציה של קבועים שרירותיים. לא אני הפחדתי אותך, זה הכל אוסף של קוזנצוב!

כדי להירגע, דוגמה אחרונה, פשוטה יותר, הפותרת את עצמה:

דוגמה 7

פתור את בעיית קאוצ'י

,

הדוגמה פשוטה, אבל יצירתית, כשאתה עושה מערכת, תסתכל עליה היטב לפני שתחליט ;-),




כתוצאה מכך, הפתרון הכללי הוא:

מצא פתרון מסוים המתאים לתנאים ההתחלתיים .



אנו מחליפים את הערכים המצויים של הקבועים בפתרון הכללי:

תשובה:פתרון פרטי:

הבה נפנה לשיקול של משוואות דיפרנציאליות לינאריות לא-הומוגניות של הצורה

איפה - פונקציית הארגומנט הרצויה , והפונקציות



נתונים ומתמשכים במרווח כלשהו
.

הבה נחשוב על משוואה הומוגנית ליניארית, צד שמאלאשר עולה בקנה אחד עם הצד השמאלי של המשוואה הבלתי הומוגנית (2.31),

נקראת משוואה של הצורה (2.32). משוואה הומוגנית התואמת את המשוואה הלא הומוגנית (2.31).

המשפט הבא על מבנה הפתרון הכללי של המשוואה הליניארית הבלתי הומוגנית (2.31) מתקיים.

משפט 2.6.הפתרון הכללי של המשוואה הלא-הומוגנית הליניארית (2.31) בתחום

הוא הסכום של כל אחד מהפתרונות המיוחדים שלו והפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית המתאימה (2.32) בתחום (2.33), כלומר.

איפה - פתרון מסוים של משוואה (2.31),
היא מערכת הפתרונות הבסיסית של המשוואה ההומוגנית (2.32), ו
הם קבועים שרירותיים.

את ההוכחה למשפט זה ניתן למצוא ב.

בעזרת הדוגמה של משוואה דיפרנציאלית מסדר שני, אנו מציגים שיטה שבאמצעותה ניתן למצוא פתרון מסוים של משוואה לא הומוגנית ליניארית. שיטה זו נקראת וריאציות בשיטת לגראנז' של קבועים שרירותיים.

אז תינתן משוואה לינארית לא הומוגנית

(2.35)

איפה מקדמים
וצד ימין
מתמשך במרווח מסוים
.

סמן ב
ו
מערכת יסוד של פתרונות של המשוואה ההומוגנית

(2.36)

ואז לפתרון הכללי שלו יש את הצורה

(2.37)

איפה ו הם קבועים שרירותיים.

נחפש פתרון למשוואה (2.35) באותה צורה , כמו גם הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית המקבילה, החלפת קבועים שרירותיים בכמה פונקציות הניתנות להבדלה של (אנו משנים קבועים שרירותיים),הָהֵן.

איפה
ו
הם כמה פונקציות שניתן להבדיל מ , שעדיין לא ידועים ואותם ננסה לקבוע כך שהפונקציה (2.38) תהיה פתרון למשוואה הבלתי הומוגנית (2.35). מבדיל את שני הצדדים של השוויון (2.38), אנו מקבלים

אז כשמחשבים אין נגזרות מסדר שני של
ו
, אנו דורשים זאת בכל מקום
המצב

ואז עבור יהיה

חשב את הנגזרת השנייה

החלפת ביטויים עבור ,,מ-(2.38), (2.40), (2.41) לתוך המשוואה (2.35), אנו מקבלים

ביטויים בסוגריים מרובעים שווים לאפס בכל מקום
, כי ו - פתרונות מסוימים של המשוואה (2.36). במקרה זה, (2.42) מקבל את הצורה בשילוב תנאי זה עם תנאי (2.39), נקבל מערכת משוואות לקביעה
ו

(2.43)

המערכת האחרונה היא מערכת של שתי משוואות ליניאריות לא הומוגניות אלגבריות ביחס ל
ו
. הקובע של מערכת זו הוא הקובע ורונסקי למערכת הפתרונות הבסיסית ,ומכאן שונה מאפס בכל מקום ב
. המשמעות היא שלמערכת (2.43) יש פתרון ייחודי. לאחר שפתרו את זה בכל דרך לגבי
,
למצוא

איפה
ו
הן פונקציות ידועות.

ביצוע האינטגרציה ולקחת בחשבון כי כמו
,
צריך לקחת כל זוג אחד של פונקציות, אנו קובעים את קבועי האינטגרציה שווים לאפס. לקבל

החלפת ביטויים (2.44) ליחסים (2.38), נוכל לכתוב את הפתרון הרצוי של המשוואה הבלתי הומוגנית (2.35) בצורה

ניתן להכליל שיטה זו כדי למצוא פתרון מסוים למשוואה הלא-הומוגנית הליניארית הסדר -.

דוגמה 2.6. פתור את המשוואה
בְּ-
אם מתפקד

יוצרים מערכת בסיסית של פתרונות של המשוואה ההומוגנית המתאימה.

הבה נמצא פתרון מסוים למשוואה זו. לשם כך, בהתאם לשיטת לגראנז', יש לפתור תחילה מערכת (2.43), שבמקרה שלנו יש את הצורה
צמצום שני הצדדים של כל אחת מהמשוואות ב אנחנו מקבלים

בהפחתת המשוואה הראשונה איבר אחר איבר מהמשוואה השנייה, אנו מוצאים
ולאחר מכן מהמשוואה הראשונה זה נובע
ביצוע האינטגרציה וקביעת קבועי האינטגרציה שווים לאפס, יש לנו

פתרון מסוים למשוואה זו יכול להיות מיוצג כ

לפתרון הכללי של משוואה זו יש את הצורה

איפה ו הם קבועים שרירותיים.

לבסוף, נציין תכונה אחת יוצאת דופן, המכונה לעתים קרובות עקרון הטלת פתרונות ומתואר על ידי המשפט הבא.

משפט 2.7.אם בין לבין
פוּנקצִיָה
- פתרון מסוים של משוואת הפונקציה
פתרון מסוים של המשוואה באותו מרווח, הפונקציה
הוא פתרון מסוים למשוואה

שקול כעת את המשוואה הלא-הומוגנית הליניארית
. (2)
תן y 1 ,y 2 ,.., y n להיות מערכת הפתרונות הבסיסית, ולהיות הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית המתאימה L(y)=0 . בדומה למקרה של משוואות מסדר ראשון, נחפש פתרון למשוואה (2) בצורה
. (3)
הבה נוודא שקיים פתרון בצורה זו. לשם כך, נחליף את הפונקציה במשוואה. כדי להחליף את הפונקציה הזו במשוואה, נמצא את הנגזרות שלה. הנגזרת הראשונה היא
. (4)
בחישוב הנגזרת השנייה מופיעים ארבעה איברים בצד ימין של (4), בחישוב הנגזרת השלישית מופיעים שמונה איברים וכן הלאה. לכן, לנוחות חישובים נוספים, ההנחה היא שהמונח הראשון ב-(4) שווה לאפס. עם זאת בחשבון, הנגזרת השנייה שווה ל
. (5)
מאותן סיבות כמו קודם, ב-(5) הגדרנו גם את האיבר הראשון שווה לאפס. סוף כל סוף, נגזרת n'שווה ל
. (6)
החלפת הערכים המתקבלים של הנגזרות במשוואה המקורית, יש לנו
. (7)
האיבר השני ב-(7) שווה לאפס, שכן הפונקציות y j , j=1,2,..,n, הן פתרונות של המשוואה ההומוגנית המתאימה L(y)=0. בשילוב עם הקודם, אנו מקבלים את המערכת משוואות אלגבריותכדי למצוא פונקציות C" j (x)
(8)
הקובע של מערכת זו הוא הקובע ורונסקי של המערכת הבסיסית של הפתרונות y 1 ,y 2 ,..,y n של המשוואה ההומוגנית המתאימה L(y)=0 ולכן אינו שווה לאפס. לכן, יש פתרון ייחודי למערכת (8). לאחר שמצאנו אותו, אנו מקבלים את הפונקציות C "j (x), j=1,2,...,n, וכתוצאה מכך, C j (x), j=1,2,...,n החלפת ערכים אלה (3), נקבל את הפתרון של המשוואה הלא-הומוגנית הליניארית.
השיטה המתוארת נקראת שיטת הווריאציה של קבוע שרירותי או שיטת לגראנז'.

תואר נגזרת מירבי 2 3 4 5 6

דוגמה מס' 1. מצא את הפתרון הכללי של המשוואה y "" + 4y" + 3y = 9e -3 x. שקול את המשוואה ההומוגנית המתאימה y "" + 4y" + 3y = 0. שורשיה משוואה אופיינית r 2 + 4r + 3 = 0 הם -1 ו -3. לכן, מערכת הפתרונות הבסיסית של משוואה הומוגנית מורכבת מהפונקציות y 1 = e - x ו- y 2 = e -3 x. אנו מחפשים פתרון למשוואה לא הומוגנית בצורה y \u003d C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. כדי למצוא את הנגזרות C " 1 , C" 2 נרכיב מערכת משוואות (8)

פתרון אשר, אנו מוצאים, שילוב הפונקציות שהושגו, יש לנו
סוף סוף אנחנו מקבלים

דוגמה מס' 2. פתרו משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מסדר שני עם מקדמים קבועים בשיטת הווריאציה של קבועים שרירותיים:

y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

פִּתָרוֹן:
משוואת דיפרנציאלית זו שייכת למשוואות דיפרנציאליות ליניאריות בעלות מקדמים קבועים.
נחפש את פתרון המשוואה בצורה y = e rx . לשם כך, אנו מרכיבים את המשוואה האופיינית של משוואה דיפרנציאלית הומוגנית ליניארית עם מקדמים קבועים:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

שורשי המשוואה האופיינית: r 1 = 4, r 2 = 2
לכן, מערכת הפתרונות הבסיסית היא הפונקציות:
y 1 \u003d e 4x, y 2 \u003d e 2x
לפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית יש את הצורה:

חפש פתרון מסוים בשיטת הווריאציה של קבוע שרירותי.
כדי למצוא את הנגזרות של C "i, אנו מרכיבים מערכת משוואות:

C" 1 (4e 4x) + C" 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
הבטא C" 1 מהמשוואה הראשונה:
C" 1 \u003d -c 2 e -2x
ומחליף בשני. כתוצאה מכך, אנו מקבלים:
C" 1 \u003d 2 / (e 2x + 2e 4x)
C" 2 \u003d -2e 2x / (e 2x + 2e 4x)
אנו משלבים את הפונקציות שהתקבלו C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

בגלל ה , אז נכתוב את הביטויים המתקבלים בצורה:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
לפיכך, לפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית יש את הצורה:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
אוֹ
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

אנו מוצאים פתרון מסוים בתנאי:
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

החלפת x = 0 במשוואה שנמצאה, נקבל:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
אנו מוצאים את הנגזרת הראשונה של הפתרון הכללי שהתקבל:
y' = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
החלפת x = 0, נקבל:
y'(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

נקבל מערכת של שתי משוואות:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10ln(3) -4 = 10ln3
אוֹ
C * 1 + C * 2 = 2
4C1 + 2C2 = 4
אוֹ
C * 1 + C * 2 = 2
2C1 + C2 = 2
איפה:
C1=0, C*2=2
פתרון מסוים ייכתב כך:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

שקול משוואת דיפרנציאלית לא הומוגנית ליניארית עם מקדמים קבועים בסדר n שרירותי:
(1) .
שיטת הווריאציה הקבועה, שחשבנו למשוואת הסדר הראשון, חלה גם על משוואות מסדרים גבוהים יותר.

הפתרון מתבצע בשני שלבים. בשלב הראשון, נזרוק את הצד הימני ונפתור את המשוואה ההומוגנית. כתוצאה מכך, אנו מקבלים פתרון המכיל n קבועים שרירותיים. בשלב השני, אנו משנים את הקבועים. כלומר, אנו רואים שהקבועים הללו הם פונקציות של המשתנה הבלתי תלוי x ומוצאים את הצורה של הפונקציות הללו.

אמנם אנו שוקלים כאן משוואות עם מקדמים קבועים, אבל שיטת לגראנז' ישימה גם לפתרון כל משוואות לא הומוגניות ליניאריות. אולם לשם כך, יש להכיר את מערכת הפתרונות הבסיסית של המשוואה ההומוגנית.

שלב 1. פתרון המשוואה ההומוגנית

כמו במקרה של משוואות מסדר ראשון, אנו מחפשים תחילה את הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית, ומשווים את החלק הימני הלא-הומוגני לאפס:
(2) .
לפתרון הכללי של משוואה כזו יש את הצורה:
(3) .
הנה קבועים שרירותיים; - n פתרונות בלתי תלויים ליניאריים של המשוואה ההומוגנית (2), המהווים את מערכת הפתרונות הבסיסית של משוואה זו.

שלב 2. וריאציה של קבועים - החלפת קבועים בפונקציות

בשלב השני נעסוק בווריאציה של הקבועים. במילים אחרות, נחליף את הקבועים בפונקציות של המשתנה הבלתי תלוי x :
.
כלומר, אנו מחפשים פתרון למשוואה המקורית (1) בצורה הבאה:
(4) .

אם נחליף את (4) ב-(1), נקבל משוואה דיפרנציאלית אחת עבור n פונקציות. במקרה זה, נוכל לחבר את הפונקציות הללו עם משוואות נוספות. אז אתה מקבל n משוואות, מהן אתה יכול לקבוע n פונקציות. אפשר לעשות משוואות נוספות דרכים שונות. אבל אנחנו נעשה את זה בצורה כזו שלפתרון יהיה הצורה הפשוטה ביותר. כדי לעשות זאת, כאשר מבדילים, אתה צריך להשוות לאפס מונחים המכילים נגזרות של פונקציות. בואו נדגים את זה.

כדי להחליף את הפתרון המוצע (4) במשוואה המקורית (1), עלינו למצוא את הנגזרות של n הסדרים הראשונים של הפונקציה הכתובה בצורה (4). הבדיל (4) על ידי יישום כללי בידול סכוםועובד:
.
בואו נקבץ את החברים. ראשית, אנו כותבים את המונחים עם נגזרות של , ולאחר מכן את המונחים עם נגזרות של :

.
אנו מטילים את התנאי הראשון על הפונקציות:
(5.1) .
אז הביטוי לנגזרת הראשונה ביחס ל- יהיה צורה פשוטה יותר:
(6.1) .

באותו אופן, אנו מוצאים את הנגזרת השנייה:

.
אנו מטילים את התנאי השני על הפונקציות:
(5.2) .
לאחר מכן
(6.2) .
וכולי. בתנאים נוספים, אנו משווים את המונחים המכילים את הנגזרות של הפונקציות לאפס.

לפיכך, אם נבחר את המשוואות הנוספות הבאות עבור הפונקציות:
(5.k) ,
אז לנגזרות הראשונות לגבי תהיה הצורה הפשוטה ביותר:
(6.k) .
כאן .

אנו מוצאים את הנגזרת ה-n:
(6.n)
.

אנו מחליפים לתוך המשוואה המקורית (1):
(1) ;






.
אנו לוקחים בחשבון שכל הפונקציות עומדות במשוואה (2):
.
ואז סכום האיברים המכילים נותן אפס. כתוצאה מכך, אנו מקבלים:
(7) .

כתוצאה מכך, יש לנו מערכת משוואות ליניאריותעבור נגזרים:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7') .

בפתרון מערכת זו, אנו מוצאים ביטויים לנגזרות כפונקציות של x . שילוב, אנו מקבלים:
.
הנה קבועים שאינם תלויים עוד ב-x. החלפה לתוך (4), נקבל את הפתרון הכללי של המשוואה המקורית.

שימו לב שמעולם לא השתמשנו בעובדה שהמקדמים a i קבועים כדי לקבוע את ערכי הנגזרות. בגלל זה שיטת לגראנז' ישימה לפתרון כל משוואות לא הומוגניות ליניאריות, אם ידועה מערכת הפתרונות הבסיסית של המשוואה ההומוגנית (2).

דוגמאות

פתרו משוואות בשיטת וריאציה של קבועים (Lagrange).

שקול משוואת דיפרנציאלית לא הומוגנית ליניארית מהסדר הראשון:
(1) .
ישנן שלוש דרכים לפתור את המשוואה הזו:

• שיטת וריאציה קבועה (Lagrange).

שקול את הפתרון של משוואת דיפרנציאל ליניארית מסדר ראשון בשיטת לגראנז'.

שיטת וריאציה מתמדת (Lagrange)

בשיטת הווריאציה הקבועה פותרים את המשוואה בשני שלבים. בשלב הראשון, אנו מפשטים את המשוואה המקורית ופותרים את המשוואה ההומוגנית. בשלב השני נחליף את קבוע האינטגרציה המתקבל בשלב הראשון של הפתרון בפונקציה. לאחר מכן נחפש את הפתרון הכללי של המשוואה המקורית.

שקול את המשוואה:
(1)

שלב 1 פתרון המשוואה ההומוגנית

אנו מחפשים פתרון למשוואה ההומוגנית:

זוהי משוואה הניתנת להפרדה

הפרד משתנים - הכפל ב-dx, חלק ב-y:

אנו משלבים:

אינטגרל מעל y - טבלאי:

לאחר מכן

פוטנציאל:

הבה נחליף את הקבוע e C ב-C ונסיר את הסימן של המודולוס, שמצטמצם לכפל בקבוע ±1, שאנו כוללים ב-C:

שלב 2 החלף את הקבוע C בפונקציה

כעת נחליף את הקבוע C בפונקציה של x :
c → u (איקס)
כלומר, נחפש פתרון למשוואה המקורית (1) כפי ש:
(2)
אנחנו מוצאים את הנגזרת.

על פי כלל הדיפרנציאציה של פונקציה מורכבת:
.
על פי כלל בידול המוצרים:

.
אנחנו מחליפים לתוך המשוואה המקורית (1) :
(1) ;

.
שני מונחים מצטמצמים:
;
.
אנו משלבים:
.
מחליף ב (2) :
.
כתוצאה מכך, נקבל את הפתרון הכללי של משוואת הדיפרנציאל הליניארי מהסדר הראשון:
.

דוגמה לפתרון משוואת דיפרנציאלית ליניארית מהסדר הראשון בשיטת לגראנז'

פתור את המשוואה

פִּתָרוֹן

נפתור את המשוואה ההומוגנית:

הפרדת משתנים:

בוא נכפיל ב:

אנו משלבים:

אינטגרלי טבלה:

פוטנציאל:

בואו נחליף את הקבוע e C ב-C ונסיר את סימני המודולוס:

מכאן:

בואו נחליף את הקבוע C בפונקציה של x :
c → u (איקס)

אנו מוצאים את הנגזרת:
.
נחליף לתוך המשוואה המקורית:
;
;
אוֹ:
;
.
אנו משלבים:
;
פתרון משוואות:
.