Sitten hän teki saman kokeen kolmella noppaa. Kirjoitin paperille sarakkeeseen luvut 3 - 18. Nämä ovat summia, jotka voivat pudota kolmea noppaa heittäessä. Tein 400 heittoa. Laske tulos ja laita se taulukkoon. (Liite 3 ja 4) Summat 10 ja 11 putoavat useammin.

Tein jo toisen kokeen neljällä noppaa. Sarakkeeseen kirjoitettiin numerot 4 - 24. Nämä ovat summia, jotka voivat pudota neljää noppaa heittäessä. Tein taas 400 heittoa. Laske tulos ja laita se taulukkoon. (Liite 5 ja 6) Summa 14 putoaa useammin.

Sitten päätin tehdä matematiikkaa. Tein pöydän kahdelle noppalle ja täytin sen. (Liite 7) Sain tuloksen - summa seitsemän putoaa useammin. (Liite 8). Kuusi kertaa kolmestakymmenestäkuudesta. Tein samat matemaattiset laskelmat ensin kolmelle noppalle. (Liite 9) Summat 10 ja 11 putoavat useammin. Näitä on 27 tapausta 216:sta. Ja vähiten - 3 ja 18, vain 1 tapaus 216:sta. (Liite 10) Ja sitten neljälle noppaalle. (Liite 11) Tapauksia on yhteensä 1296. Yleisin summa on 14, mikä on 146 tapausta 1296:sta. Ja vähiten yleisiä ovat 4 ja 24, vain 1 tapaus 1296:sta. (Liite 12)

Löysin kuvauksen noppatemppuista. Olin yllättynyt joidenkin temppujen yksinkertaisuudesta ja omaperäisyydestä. Hyväksytty merkintöjen järjestys nopan sivuilla on perusta monille noppatemppuille. Ja kokeilin muutamia temppuja. Onnistuin. Mutta niiden onnistuneen toteuttamisen kannalta on tarpeen laskea nopeasti ja hyvin.

Focus on taitava temppu, joka perustuu silmän huijaamiseen nopeilla ja nopeilla temppuilla. Yleisöstä painopiste on aina puoliksi piilossa: he tietävät salaisuuden olevan olemassa, mutta kuvittelevat sen epätodelliseksi, käsittämättömäksi. Matemaattiset temput ovat eräänlainen esittely matemaattisista kuvioista.

Jokaisen tempun onnistuminen riippuu hyvästä valmistautumisesta ja harjoittelusta, kunkin numeron suorittamisen helppoudesta, tarkasta laskennasta ja tempun suorittamiseen tarvittavien tekniikoiden taitavasta hallinnasta. Tällaiset temput tekevät suuren vaikutuksen yleisöön ja vangitsevat heidät.

Keskity 1. "Summan arvaaminen"

Mielenosoittaja kääntää selkänsä yleisölle, ja tällä hetkellä yksi heistä heittää kolme noppaa pöydälle. Tämän jälkeen katsojaa pyydetään laskemaan yhteen kolme heitettyä numeroa, ottamaan mikä tahansa noppaa ja lisäämään alareunassa oleva numero juuri saatuun summaan. Heitä sitten uudestaan ​​sama noppa ja lisää pudonnut luku summaan uudelleen. Mielenosoittaja kiinnittää yleisön huomion siihen, että hän ei voi mitenkään tietää, kumpi kolmesta noppaa heitettiin kahdesti, sitten hän kerää nopat, ravistaa niitä kädessään ja nimeää heti oikein lopullisen määrän.

Selitys. Ennen nopan keräämistä näytössä olevat numerot lasketaan yhteen. Lisäämällä seitsemän saatuun summaan hän löytää lopullisen summan.

Tämä temppu perustuu vastakkaisten kasvojen lukujen summan ominaisuuteen - se on aina yhtä suuri kuin seitsemän.

kappale 2

2.1. Laskemme tuloksen

Selvittääkseni, mikä määrä putoaa useammin heittäessä kahta, kolmea, neljää jne. noppaa, tein useita kokeita.

Ennen työn aloittamista tein taulukon tietojen syöttämistä varten. Sarake sisältää numeroita 2-12. Nämä ovat summia, jotka voivat pudota ulos heittäessäsi kahta noppaa. Pöydän sileälle pinnalle, jotta ulkopuoliset häiriöt eivät olisi, hän alkoi heittää noppaa. Jokainen yritys oli merkitty vastapäätä putoavan määrän numeroa - pystysuora viiva.

Koe 1:

1) Otan kaksi noppaa ja lasin.

Koe toistetaan 400 kertaa.

Kokeilu auttoi selvittämään, mikä määrä putoaa useammin kahta noppaa heittäessä. (Liite 1 ja 2)

Kokeessa 2 tein kolme noppaa saadakseni selville, mikä määrä putoaisi nyt useammin.

Koe 2:

1) Otan kolme noppaa ja lasin.

2) Ravistan lasillista noppaa.

3) Heitän noppaa pöydälle.

4) Lasken summan ja merkitsen sen taulukkoon.

Koe toistetaan 400 kertaa.

Kokeilu auttoi selvittämään, mikä määrä putoaa useammin kolmea noppaa heittäessä. (Liite 3 ja 4)

Kokeilu auttoi minua varmistamaan, että kolmea noppaa heittäessä putoamismäärä on erilainen kuin kahdella noppaa.

Koe 3 Juoksin jo neljällä nopan kanssa nähdäkseni muutosten dynamiikan.

Ennen työn aloittamista tein uudelleen taulukon tietojen syöttämistä varten.

Koe 3:

1) Otan neljä noppaa ja lasin.

2) Ravistan lasillista noppaa.

3) Heitän noppaa pöydälle.

4) Lasken summan ja merkitsen sen taulukkoon.

Koe toistetaan 400 kertaa.

Kokeilu auttoi minua varmistamaan, että neljää noppaa heitettäessä putoava määrä on taas erilainen. (Liite 5 ja 6)

Kokeiden tulosten tarkastelun jälkeen minulle kävi selväksi, miksi taulukon keskikohtaa lähempänä olevat määrät putoavat useammin. Loppujen lopuksi vastakkaisten kasvojen lukujen summa on aina seitsemän. Siksi noppaa heittäessä on todennäköisempää, että tätä keskikohtaa lähellä oleva summa putoaa.

2.2. Vertaa tuloksia

Vertaamalla noppakokeiden tuloksia (liitteet 1 - 6) ja matemaattisten laskelmien tuloksia (liitteet 7 - 12), huomasin, että keskikohtaa lähempänä oleva määrä putoaa useammin. Joten löysin keskiarvon aritmeettinen summa numerot nopan kyljessä. (1+2+3+4+5+6) : 6 = 3,5. Siitä selvisi numero 3.5. Sitten kerroin tämän luvun noppien määrällä. Jos otamme kaksi noppaa, niin tulo on 3,5 2 = 7. Numero seitsemän on luku, joka useimmiten putoaa kahta noppaa heittäessä. Jos otamme kolme noppaa, saamme 3,5 3 = 10,5. Ja koska luvun on oltava kokonaisluku, otetaan kaksi vierekkäistä numeroa. Nämä ovat numerot 10 ja 11, ne putoavat useammin, kun heitetään kolme noppaa. Voit laskea useammin putoavan luvun mille tahansa noppimäärälle kaavan avulla 3.5 n , (missä n- noppien lukumäärä). Lisäksi jos n pariton luku, sitten otetaan kaksi vierekkäistä numeroa määrittääkseen numeron, joka putoaa useammin noppaa heitettäessä.

Katsoin raamatullista piirustusta ja löysin ristiriidan. Kaksi noppaa on merkitty väärin. Koska vastakkaisten pintojen lukujen summan tulisi olla yhtä suuri kuin seitsemän. Ja yhdellä yläpinnalla olevista nopista - kolme ja sivulla - neljä, vaikka neljän pitäisi olla alapinnalla. Toisella noppalla, yläpinnalla - viisi ja sivulla - kaksi. Ja ehkä tämä johtuu siitä, että sillä alueella otettiin käyttöön erilainen merkintä noppaan.

Johtopäätös

Työssäni opin nopan salaisuuden. Tämä salaisuus piilee itse nopan pinnalla. Salaisuus on merkinnän asettelussa. Vastakkaisilla puolilla olevien lukujen summa on aina seitsemän. Kokeiden ja matemaattisten laskelmien avulla löysin noppaa heitettäessä useammin putoavan määrän, joka riippuu noppien lukumäärästä. Tämä summa voidaan kirjoittaa kaavana 3,5 · n, missä n noppien määrä. Tutkiessani tätä aihetta sain tietää, että nopat ovat peräisin noin 3000 eKr. Paikkoja, joista arkeologit ovat löytäneet pelin vanhimmat esineet, ovat Egypti, Iran, Irak ja Intia. Opin erilaisista noppien muodoista ja tyypeistä. Ja myös missä noppaa käytetään ja mitä ominaisuuksia niillä on. En ajatellut ongelmanratkaisua ollenkaan. Todennäköisyysteoria on vain minulle edelleen vaikeaa. Mutta toivon palaavani asiaan.

Monet suuret matemaatikot ratkaisivat ongelmia eri aikoina noppien avulla. Mutta en löytänyt löytämiskaavan kirjoittajaa suurin määrä noppaa heittäessä. Ehkä en ole etsinyt tarpeeksi kauan. Mutta jatkan etsimistä. Minua kiinnostaa tietää, kuka ensimmäisenä keksi tämän kaavan.

Bibliografia

1. Azaryev tietosanakirja [Sähköinen resurssi]http://www. slovarus. fi/?di=72219

2., Suvorov todennäköisyydestä peleissä. Johdatus todennäköisyysteoriaan 8-11-luokkien opiskelijoille. - Jaroslavl: Kehitysakatemia, 2006. -192 s.

3. Freebus-tehtävät. – M.: Enlightenment, 1994. – 128 s.

4. Wikipedian ilmainen tietosanakirja [Sähköinen resurssi] https://ru. wikipedia. org/wiki/Dice

5. Rahapelitoiminta. Per. englannista. ja fr. /NEC "Bibliomarket"; Ed.-stat. . - M. 1994. - 208 s.

6. Luut, noppaa, kuutiot [Sähköinen lähde] http://www. /en/articles/igralnye_kosti-34

7. Lyutikas todennäköisyysteoriasta. – M.: Enlightenment, 1983. – 127 s.

8. Nikiforovskin matemaatikko Bernoulli. – M.: Nauka, 1984. – 180 s.

9. Algebraoppikirjan sivujen takana. Kirja. 7-9 luokkien opiskelijoille Yleissivistävä koulutus toimielimet. – M.: Enlightenment, 1999. – 237 s.

10. 100 suurta tiedemiestä. - M.: Veche, 2000. - 592 s.

11. Sanakirja vieraita sanoja[Sähköinen resurssi] http:///search

12. Ushakovin selittävä sanakirja [Sähköinen lähde] http://www. /3/193/772800.html

13. Shen A. Todennäköisyys: esimerkkejä ja tehtäviä. - M.: MTsNMO Publishing House, 2008. - 64 s.

14. Jakovlev-ongelma nopan kanssa todennäköisyysteorian elementtien tutkimuksessa [Sähköinen resurssi] http://festival.1september. fi/articles/517883/

15. Jakovlev ja hauskoja temppuja nopan kanssa [Sähköinen lähde] http://festival.1september. fi/articles/624782/

Liite 1. 2 nopan heittojen tulokset

Liite 2. 2 nopan heittojen tulokset

Hänen blogissaan käännös kurssin "Principles of Game Balance" seuraavasta luennosta pelisuunnittelija Jan Schreiberiltä, ​​joka työskenteli muun muassa Marvel Trading Card Game - ja Playboy: the Mansion -projekteissa.

Tähän päivään asti melkein kaikki, mistä olemme puhuneet, on ollut determinististä, ja viime viikolla tarkastelimme lähemmin transitiivista mekaniikkaa ja erotimme sen niin yksityiskohtaisesti kuin voin selittää. Mutta toistaiseksi emme ole kiinnittäneet huomiota monien pelien muihin näkökohtiin, nimittäin epädeterministisiin hetkiin - toisin sanoen satunnaisuuteen.

Satunnaisuuden luonteen ymmärtäminen on pelisuunnittelijoille erittäin tärkeää. Luomme järjestelmiä, jotka vaikuttavat käyttäjäkokemukseen tietyssä pelissä, joten meidän on tiedettävä, miten nämä järjestelmät toimivat. Jos järjestelmässä on satunnaisuutta, meidän on ymmärrettävä tämän satunnaisuuden luonne ja osattava muuttaa sitä saadaksemme tarvitsemamme tulokset.

Dice

Aloitetaan jostain yksinkertaisesta - nopan heittämisestä. Kun useimmat ihmiset ajattelevat noppaa, he ajattelevat kuusisivuista noppaa, joka tunnetaan nimellä d6. Mutta useimmat pelaajat ovat nähneet monia muita noppaa: nelisivuisia (d4), kahdeksanpuolisia (d8), kaksitoistapuolisia (d12), kaksikymmentäsivuisia (d20). Jos olet todellinen nörtti, sinulla saattaa olla 30 tai 100 jyvän noppa jossain.

Jos et tunne tätä terminologiaa, d tarkoittaa noppia, ja sen jälkeinen numero on sen kasvojen lukumäärä. Jos numero tulee ennen d:tä, se ilmaisee noppaa heitettäessä. Esimerkiksi Monopolyssa heitetään 2d6.

Joten tässä tapauksessa ilmaus "noppaa" - symboli. On olemassa valtava määrä muita satunnaislukugeneraattoreita, jotka eivät näytä muovihahmoilta, mutta suorittavat saman toiminnon – ne luovat satunnaisluvun 1:stä n:ään. Tavallinen kolikko voidaan esittää myös dihedraalisena d2-suuttimena.

Näin kaksi mallia seitsensivuisesta meististä: yksi niistä näytti noppaalta ja toinen enemmän kuin seitsensivuiselta puukynältä. Tetraederinen dreidel, joka tunnetaan myös nimellä titotum, on tetraedrisen luun analogi. Pelilauta pyörivällä nuolella Chutes & Laddersissa, jossa tulos voi olla 1-6, vastaa kuusisivuista noppaa.

Tietokoneen satunnaislukugeneraattori voi luoda minkä tahansa luvun 1-19, jos suunnittelija antaa tällaisen komennon, vaikka tietokoneessa ei ole 19-sivuista noppaa (yleensä puhun enemmän numeroiden todennäköisyydestä tietokoneessa klo ensi viikko). Kaikki nämä kohteet näyttävät erilaisilta, mutta itse asiassa ne ovat samanarvoisia: sinulla on yhtäläiset mahdollisuudet saada jokainen useista mahdollisista tuloksista.

Noppa on joitakin mielenkiintoisia ominaisuuksia joista meidän on tiedettävä. Ensinnäkin todennäköisyys saada mikä tahansa kasvoista on sama (oletan, että heität tavallista geometrista noppaa). Jos haluat tietää heiton keskiarvon (todennäköisyysteoriasta pitäville, se tunnetaan nimellä odotettu arvo), summaa kaikkien pintojen arvot ja jaa tämä luku kasvojen lukumäärällä.

Kaikkien pintojen arvojen summa tavalliselle kuusisivuiselle meistille on 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Jaa 21 pintojen lukumäärällä ja saat rullan keskiarvon: 21 / 6 = 3,5. se erikoistapaus, koska oletamme, että kaikki tulokset ovat yhtä todennäköisiä.

Entä jos sinulla on erityisiä noppaa? Näin esimerkiksi hex-pelin noppaa erityisillä tarroilla kasvoissa: 1, 1, 1, 2, 2, 3, joten se käyttäytyy kuin outo kolmionmuotoinen noppa, joka todennäköisemmin heittää 1:n kuin 2:n ja todennäköisemmin 2:n kuin 3:n. Mikä on tämän nostan keskimääräinen heittoarvo? Joten 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, jaa 6:lla - saat 5/3 eli noin 1,66. Joten jos sinulla on erityinen noppaa ja pelaajat heittävät kolme noppaa ja laskevat sitten yhteen tulokset, tiedät, että niiden yhteismäärä on noin 5, ja voit tasapainottaa pelin tämän oletuksen perusteella.

Noppa ja itsenäisyys

Kuten jo totesin, lähdemme olettamuksesta, että jokaisen kasvojen pudotus on yhtä todennäköinen. Ei ole väliä kuinka monta noppaa täällä heitetään. Jokainen muotin tela on itsenäinen, mikä tarkoittaa, että edelliset telat eivät vaikuta seuraavien telojen tuloksiin. Riittävällä kokeilulla huomaat varmasti joukon numeroita – esimerkiksi pyörivät enimmäkseen suurempia tai pienempiä arvoja – tai muita ominaisuuksia, mutta se ei tarkoita, että nopat olisivat "kuumia" tai "kylmiä". Puhumme tästä myöhemmin.

Jos heitetään tavallista kuusisivuista noppaa ja numero 6 tulee esiin kahdesti peräkkäin, todennäköisyys, että seuraavan heiton tulos on 6, on myös 1/6. Todennäköisyys ei kasva, koska noppa "lämpeni" ". Samalla todennäköisyys ei pienene: on väärin väittää, että numero 6 on pudonnut jo kahdesti peräkkäin, mikä tarkoittaa, että nyt on pudottava toinen kasvot.

Tietysti, jos heittät noppaa kaksikymmentä kertaa ja numero 6 tulee esiin joka kerta, todennäköisyys, että 6 tulee esiin 21. kerralla, on melko suuri: sinulla voi vain olla väärä noppa. Mutta jos noppa on oikea, todennäköisyys saada jokainen pinta on sama riippumatta muiden heittojen tuloksista. Voit myös kuvitella, että vaihdamme noppaa joka kerta: jos numero 6 heitti kahdesti peräkkäin, poista "kuuma" noppa pelistä ja vaihda se uuteen. Olen pahoillani, jos joku teistä jo tiesi tästä, mutta minun piti selventää tätä ennen kuin siirryin eteenpäin.

Kuinka saada noppaa heittämään enemmän tai vähemmän satunnaisesti

Puhutaanpa siitä, kuinka saada erilaisia ​​tuloksia eri nopilla. Jos heittää noppaa vain kerran tai useita kertoja, peli tuntuu satunnaisemmalta, kun nopalla on enemmän reunoja. Mitä useammin heittät noppaa ja mitä enemmän noppaa heität, sitä enemmän tulokset lähestyvät keskiarvoa.

Esimerkiksi tapauksessa 1d6 + 4 (eli jos heität tavallisen kuusisivuisen noppaa kerran ja lisäät tulokseen 4), keskiarvo on luku väliltä 5 ja 10. Jos heittät 5d2, keskiarvo on myös luku väliltä 5 ja 10. Kierrätyksen 5d2 tuloksena on enimmäkseen luvut 7 ja 8, harvemmin muita arvoja. Sama sarja, jopa sama keskiarvo (7,5 molemmissa tapauksissa), mutta satunnaisuuden luonne on erilainen.

Odota hetki. Enkö vain sanonut, että nopat eivät "lämpene" tai "jäähdytä"? Ja nyt sanon: jos heittää paljon noppaa, heittojen tulokset ovat lähempänä keskiarvoa. Miksi?

Anna minun selittää. Jos heittät yhden noppaa, todennäköisyys, että jokainen kasvo nousee esiin, on sama. Tämä tarkoittaa, että jos heittät paljon noppaa ajan mittaan, jokainen kasvo nousee esiin suunnilleen yhtä monta kertaa. Mitä enemmän noppaa heitetään, sitä enemmän kokonaistulos lähestyy keskiarvoa.

Tämä ei johdu siitä, että kierretty numero "aiheuttaa" toisen numeron, jota ei ole vielä heitetty. Koska pieni putki heittää numeroa 6 (tai 20 tai jokin muu numero) ei vaikuta loppujen lopuksi juurikaan, jos heittää noppaa vielä kymmenentuhatta kertaa ja se on enimmäkseen keskiarvo. Sinulla on nyt useita suuria lukuja, ja myöhemmin muutama pieni - ja ajan myötä ne lähestyvät keskiarvoa.

Tämä ei johdu siitä, että aiemmat heitot vaikuttaisivat noppiin (vakavasti, noppa on tehty muovista, sillä ei ole aivoja ajatella: "Ai, siitä on pitkä aika, kun 2 tuli esiin"), vaan koska niin tapahtuu yleensä paljon heittoja, pelaa noppaa.

Joten se on melko helppo laskea yhdelle satunnaiselle nopanheitolle - laske ainakin heiton keskiarvo. On myös tapoja laskea "kuinka satunnainen" jokin on ja sanoa, että 1d6 + 4 heiton tulokset ovat "satunnaisempia" kuin 5d2. 5d2:ssa rullatut tulokset jakautuvat tasaisemmin. Tätä varten sinun on laskettava keskihajonta: mitä suurempi arvo, sitä satunnaisempia tulokset ovat. En haluaisi tehdä niin montaa laskelmaa tänään, selitän tämän aiheen myöhemmin.

Ainoa asia, jonka pyydän sinua muistamaan, on se, että yleensä mitä vähemmän noppaa heität, sitä satunnaisempaa. Ja mitä enemmän nopan reunoja on, sitä enemmän satunnaisuutta, koska enemmän vaihtoehtoja arvot.

Kuinka laskea todennäköisyys laskennan avulla

Saatat ihmetellä: kuinka voimme laskea tietyn tuloksen tarkan todennäköisyyden? Itse asiassa tämä on varsin tärkeää monissa peleissä: jos heittää noppaa aluksi, on todennäköisesti optimaalinen lopputulos. Vastaus on: meidän on laskettava kaksi arvoa. Ensinnäkin kokonaismäärä noppaa heitettäessä, ja toiseksi suotuisten tulosten määrä. Jakamalla toisen arvon ensimmäisellä saat halutun todennäköisyyden. Saadaksesi prosenttiosuuden, kerro tulos 100:lla.

Esimerkkejä

Tässä on hyvin yksinkertainen esimerkki. Haluat heittää 4 tai suuremman ja kuusisivuisen noppaa kerran. Tulosten enimmäismäärä on 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Näistä 3 tulosta (4, 5, 6) ovat suotuisia. Joten todennäköisyyden laskemiseksi jaamme 3:lla 6:lla ja saamme 0,5 tai 50%.

Tässä on esimerkki, joka on hieman monimutkaisempi. Haluat rullan 2d6 keksivän parillisen luvun. Enimmäistulosten määrä on 36 (6 vaihtoehtoa jokaiselle nopalle, yksi noppa ei vaikuta toiseen, joten kerromme 6:lla 6 ja saamme 36). Kysymyksen monimutkaisuus tämän tyyppistä että se on helppo laskea kahdesti. Esimerkiksi heitolla 2d6 on kaksi mahdollista tulosta 3: 1+2 ja 2+1. Ne näyttävät samalta, mutta ero on siinä, mikä numero näkyy ensimmäisessä nopana ja mikä toisessa.

Voit myös kuvitella, että noppaa eri värejä: joten esimerkiksi tässä tapauksessa yksi noppa on punainen, toinen sininen. Laske sitten parillisen luvun mahdollisten esiintymien lukumäärä:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

Osoittautuu, että suotuisalle lopputulokselle on 18 vaihtoehtoa 36:sta - kuten edellisessä tapauksessa, todennäköisyys on 0,5 tai 50%. Ehkä odottamaton, mutta melko tarkka.

Monte Carlon simulaatio

Entä jos sinulla on liian monta noppaa tätä laskelmaa varten? Haluat esimerkiksi tietää, mikä on todennäköisyys, että yhteensä 15 tai enemmän tulee heittoon 8d6. Kahdeksalle noppalle on valtava sarja erilaisia ​​tuloksia, ja niiden käsin laskeminen kestäisi hyvin kauan - vaikka löytäisimmekin hyvän ratkaisun erilaisten nopanheittojen ryhmittelyyn.

Tässä tapauksessa helpoin tapa ei ole laskea manuaalisesti, vaan käyttää tietokonetta. On kaksi tapaa laskea todennäköisyys tietokoneella. Ensimmäinen tapa voi saada tarkan vastauksen, mutta se vaatii hieman ohjelmointia tai komentosarjaa. Tietokone käy läpi jokaisen mahdollisuuden, arvioi ja laskee iteraatioiden kokonaismäärän ja haluttua tulosta vastaavien iteraatioiden lukumäärän ja antaa sitten vastaukset. Koodisi saattaa näyttää tältä:

Jos et ole ohjelmoija etkä halua tarkkaa vastausta, vaan likimääräistä vastausta, voit simuloida tätä tilannetta Excelissä, jossa rullat 8d6 muutaman tuhannen kerran ja saat vastauksen. Voit rullata 1d6 Excelissä käyttämällä kaavaa =LATTIA(RAND()*6)+1.

Tilanteelle, jossa ei tiedä vastausta ja vain yrittää monta kertaa, on nimikin - Monte Carlo -simulaatio. Tämä on loistava ratkaisu, kun on liian vaikea laskea todennäköisyyttä. Hienoa on, että tässä tapauksessa meidän ei tarvitse ymmärtää, miten matematiikka toimii, ja tiedämme, että vastaus on "melko hyvä", koska kuten jo tiedämme, mitä enemmän heittoja, sitä enemmän tulos lähestyy keskiarvo.

Kuinka yhdistää itsenäisiä kokeita

Jos kysyt muutamasta toistuvasta mutta riippumattomia testejä, silloin yhden heiton tulos ei vaikuta muiden heittojen lopputulokseen. Tälle tilanteelle on toinenkin yksinkertaisempi selitys.

Kuinka erottaa riippuvainen ja riippumaton? Periaatteessa, jos voit eristää jokaisen meistin telan (tai telasarjan) erillisenä tapahtumana, se on riippumaton. Esimerkiksi heitämme 8d6 ja haluamme heittää yhteensä 15. Tätä tapahtumaa ei voi jakaa useaan itsenäiseen nopanheittoon. Tuloksen saamiseksi lasket kaikkien arvojen summan, joten yhdellä noppalla heitetty tulos vaikuttaa tuloksiin, joiden pitäisi pyöriä muilla.

Tässä on esimerkki itsenäisistä heitoista: pelaat noppapeliä ja heität kuusipuolista noppaa muutaman kerran. Ensimmäisen heiton tulee heittää 2 tai korkeampi, jotta pysyt pelissä. Toiselle rullalle - 3 tai enemmän. Kolmanneksi vaaditaan 4 tai enemmän, neljänneksi 5 tai enemmän ja viidenneksi 6. Jos kaikki viisi heittoa onnistuvat, voitat. Tässä tapauksessa kaikki heitot ovat itsenäisiä. Kyllä, jos yksi heitto epäonnistuu, se vaikuttaa koko pelin lopputulokseen, mutta yksi heitto ei vaikuta toiseen. Jos esimerkiksi toinen nopanheitto on erittäin hyvä, se ei tarkoita, että seuraavat heitot olisivat yhtä hyviä. Siksi voimme tarkastella jokaisen nopanheiton todennäköisyyttä erikseen.

Jos sinulla on riippumattomia todennäköisyyksiä ja haluat tietää, mikä on todennäköisyys, että kaikki tapahtumat tapahtuvat, määrität jokaisen yksittäisen todennäköisyyden ja kerrot ne. Toinen tapa: jos käytät "ja" kuvaamaan useita ehtoja (esimerkiksi mikä on jonkin satunnaisen tapahtuman ja jonkin muun riippumattoman satunnaisen tapahtuman todennäköisyys?) - laske yksittäiset todennäköisyydet ja kerro ne.

Sillä ei ole väliä mitä ajattelet - älä koskaan laske riippumattomia todennäköisyyksiä. Tämä on yleinen virhe. Ymmärtääksesi miksi tämä on väärin, kuvittele tilanne, jossa heität kolikkoa ja haluat tietää, mikä on todennäköisyys saada päät kahdesti peräkkäin. Todennäköisyys pudota kummaltakin puolelta on 50%. Jos summaat nämä kaksi todennäköisyyttä, saat 100 %:n mahdollisuuden saada päät, mutta tiedämme, että se ei ole totta, koska kaksi peräkkäistä häntää voi tulla esiin. Jos sen sijaan kerrot kaksi todennäköisyyttä, saat 50% * 50% = 25% - mikä on oikea vastaus laskettaessa todennäköisyyttä saada päät kahdesti peräkkäin.

Esimerkki

Palataanpa kuusisivuisten noppien peliin, jossa sinun täytyy ensin heittää numero, joka on suurempi kuin 2, sitten enemmän kuin 3 - ja niin edelleen kuuteen asti. Mitkä ovat mahdollisuudet, että tietyssä viiden heiton sarjassa kaikki onko lopputulos suotuisa?

Kuten edellä mainittiin, nämä ovat itsenäisiä kokeita, joten laskemme kunkin yksittäisen heiton todennäköisyyden ja kerromme ne sitten. Todennäköisyys, että ensimmäisen heiton lopputulos on myönteinen, on 5/6. Toinen - 4/6. Kolmas - 3/6. Neljäs - 2/6, viides - 1/6. Kerromme kaikki tulokset keskenään ja saamme noin 1,5 %. Voitot tässä pelissä ovat melko harvinaisia, joten jos lisäät tämän elementin peliisi, tarvitset melko suuren jättipotin.

Kielteisyys

Tässä on toinen hyödyllinen vihje: joskus on vaikea laskea tapahtuman todennäköisyyttä, mutta on helpompi määrittää todennäköisyys, että tapahtumaa ei tapahdu. Oletetaan esimerkiksi, että meillä on toinen peli: heittät 6d6 ja voitat jos heität vähintään kerran 6. Mikä on voiton todennäköisyys?

Tässä tapauksessa on monia vaihtoehtoja harkittavaksi. On mahdollista, että yksi numero 6 putoaa, toisin sanoen numero 6 putoaa yhdelle noppaa ja numerot 1-5 putoaa muille, niin on 6 vaihtoehtoa kumpi nopista saa. a 6. Voit saada numeron 6 kahdelle nopanluulle, kolmelle tai jopa useammalle, ja joka kerta sinun on suoritettava erillinen laskelma, joten tässä on helppo hämmentää.

Mutta katsotaanpa ongelmaa toiselta puolelta. Häviät, jos mikään noppaa ei heittä 6:ta. Tässä tapauksessa meillä on 6 itsenäistä koetta. Todennäköisyys, että jokainen noppaa heittää jonkin muun luvun kuin 6, on 5/6. Kerro ne - ja saat noin 33%. Näin ollen häviämisen todennäköisyys on yksi kolmesta. Siksi voiton todennäköisyys on 67% (tai kahdesta kolmeen).

Tästä esimerkistä on selvää, että jos lasket todennäköisyyttä, että tapahtumaa ei tapahdu, sinun on vähennettävä tulos 100 prosentista. Jos voiton todennäköisyys on 67 %, häviämisen todennäköisyys on 100 % miinus 67 % tai 33 % ja päinvastoin. Jos yhden todennäköisyyden laskeminen on vaikeaa, mutta päinvastainen on helppo laskea, laske päinvastoin ja vähennä sitten tämä luku 100%.

Yhteysehdot yhdelle riippumattomalle testille

Sanoin vähän aiemmin, että todennäköisyyksiä ei pidä koskaan laskea yhteen riippumattomissa kokeissa. Onko olemassa tapauksia, joissa todennäköisyydet voidaan laskea yhteen? Kyllä, yhdessä tietyssä tilanteessa.

Jos haluat laskea useiden toisiinsa liittymättömien suotuisten tulosten todennäköisyyden samassa kokeessa, laske kunkin suotuisan tuloksen todennäköisyydet yhteen. Esimerkiksi todennäköisyys heittää 4, 5 tai 6 1d6:lla on yhtä suuri kuin todennäköisyys heittää 4, todennäköisyys heittää 5 ja todennäköisyys heittää 6. Tämä tilanne voidaan esittää seuraavasti: jos käytät liittoa "tai" todennäköisyyskysymyksessä (esimerkiksi mikä on jonkin satunnaisen tapahtuman yhden tai toisen lopputuloksen todennäköisyys?) - laske yksittäiset todennäköisyydet ja laske ne yhteen.

Huomaa: kun lasket kaikki mahdolliset pelin tulokset, niiden toteutumisen todennäköisyyksien summan tulee olla 100%, muuten laskelmasi on tehty väärin. se hyvä tapa tarkista laskelmasi. Esimerkiksi analysoit todennäköisyyttä saada kaikki yhdistelmät pokerissa. Jos lasket yhteen kaikki saamasi tulokset, sinun pitäisi saada tasan 100 % (tai ainakin arvo melko lähellä 100 %: jos käytät laskinta, saattaa olla pieni pyöristysvirhe, mutta jos lisäät tarkat luvut käsin, kaiken pitäisi laskea yhteen. ). Jos summa ei täsmää, et todennäköisesti ole ottanut huomioon joitain yhdistelmiä tai laskenut joidenkin yhdistelmien todennäköisyydet väärin, ja laskelmat on tarkistettava uudelleen.

Epätasaiset todennäköisyydet

Tähän asti olemme olettaneet, että meistin jokainen pinta putoaa samalla taajuudella, koska näin meisti toimii. Mutta joskus voit kohdata tilanteen, jossa erilaiset tulokset ovat mahdollisia ja niillä on erilaiset mahdollisuudet kaatua.

Esimerkiksi yhdessä lisäyksessä korttipeli Nuclear Warissa on pelikenttä nuolella, joka määrittää raketin laukaisun tuloksen. Useimmiten se aiheuttaa normaalia vahinkoa, enemmän tai vähemmän, mutta joskus vahinko kaksin- tai kolminkertaistuu tai raketti räjähtää laukaisualustalla ja vahingoittaa sinua tai tapahtuu jokin muu tapahtuma. Toisin kuin nuolilaudalla Chutes & Laddersissa tai A Game of Lifessa, laudan tulokset Nuclear Warissa eivät ole yhtä todennäköisiä. Jotkut pelikentän osat ovat suurempia ja nuoli pysähtyy niihin paljon useammin, kun taas toiset osat ovat hyvin pieniä ja nuoli pysähtyy niihin harvoin.

Joten ensi silmäyksellä luu näyttää tältä: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - olemme jo puhuneet siitä, se on jotain kuin painotettu 1d3. Siksi meidän on jaettava kaikki nämä osat yhtä suuriin osiin, löydettävä pienin mittayksikkö, jakaja, jolle kaikki on kerrannainen, ja sitten esitettävä tilanne muodossa d522 (tai jollain muulla), jossa nopan kasvot edustavat samaa tilannetta, nenä Suuri määrä tuloksia. Tämä on yksi tapa ratkaista ongelma, ja se on teknisesti toteutettavissa, mutta on olemassa helpompikin vaihtoehto.

Palataan normaaliin kuusisivuiseen noppiimme. Sanoimme, että normaalin nopan heiton keskiarvon laskemiseksi sinun on summattava kaikkien kasvojen arvot ja jaettava ne kasvojen lukumäärällä, mutta kuinka laskenta tarkalleen tehdään? Voit ilmaista sen eri tavalla. Kuusisivuisella noppalla todennäköisyys, että jokainen kasvo nousee esiin, on täsmälleen 1/6. Nyt kerromme jokaisen fasetin lopputuloksen kyseisen tuloksen todennäköisyydellä (tässä tapauksessa 1/6 jokaiselle fasetille) ja laskemme sitten yhteen saadut arvot. Joten summataan (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6), saamme saman tuloksen (3.5) kuin yllä olevassa laskelmassa. Itse asiassa laskemme tämän joka kerta: kerromme jokaisen tuloksen kyseisen tuloksen todennäköisyydellä.

Voimmeko tehdä saman laskelman pelilaudan nuolelle ydinsodassa? Tietenkin me voimme. Ja jos summaamme kaikki löydetyt tulokset, saamme keskiarvon. Meidän tarvitsee vain laskea kunkin tuloksen todennäköisyys pelikentällä olevalle nuolelle ja kertoa tuloksen arvolla.

Toinen esimerkki

Mainittu keskiarvon laskentatapa on myös sopiva, jos tulokset ovat yhtä todennäköisiä, mutta niillä on erilaisia ​​etuja - esimerkiksi jos heittää noppaa ja voittaa enemmän joillakin kasvoilla kuin toisilla. Otetaan esimerkiksi peli, joka tapahtuu kasinolla: asetat vedon ja heittät 2d6. Jos tulee kolme numeroa pienin arvo(2, 3, 4) tai neljä arvokasta numeroa (9, 10, 11, 12) - voitat panoksesi verran. Pienimmän ja suurimman arvon omaavat luvut ovat erityisiä: jos 2 tai 12 tulee, voitat kaksi kertaa niin paljon kuin panoksesi. Jos jokin muu numero ilmestyy (5, 6, 7, 8), menetät vetosi. Se on nätti yksinkertainen peli. Mutta mikä on todennäköisyys voittaa?

Aloitetaan laskemalla kuinka monta kertaa voit voittaa. Maksimitulosten määrä 2d6 heitolla on 36. Mikä on suotuisten tulosten määrä?

• On 1 vaihtoehto, joka heittää 2, ja 1 vaihtoehto, joka heittää 12.
• On 2 vaihtoehtoa 3:lle ja 2 vaihtoehtoa 11:lle.
• On 3 vaihtoehtoa 4:lle ja 3 vaihtoehtoa 10:lle.
• On 4 vaihtoehtoa, joista tulee 9.

Yhteenvetona kaikki vaihtoehdot, saamme 16 myönteistä tulosta 36:sta normaaleissa olosuhteissa voitat 16 kertaa 36 mahdollisesta - voiton todennäköisyys on hieman alle 50%.

Mutta kaksi kertaa näistä kuudestatoista voitat kaksi kertaa niin paljon - se on kuin voittaisi kahdesti. Jos pelaat tätä peliä 36 kertaa, panostat 1 dollarilla joka kerta ja jokainen mahdollinen lopputulos saavutetaan kerran, voitat yhteensä 18 dollaria (itse asiassa voitat 16 kertaa, mutta kaksi niistä lasketaan kahdeksi voitoksi). Jos pelaat 36 kertaa ja voitat 18 dollaria, eikö se tarkoita, että todennäköisyydet ovat tasaiset?

Ei kiirettä. Jos lasket kuinka monta kertaa voit hävitä, saat 20, ei 18. Jos pelaat 36 kertaa ja panostat 1 dollarilla joka kerta, voitat yhteensä 18 dollaria, kun kaikki kertoimet heittävät. Mutta menetät yhteensä 20 dollaria kaikista 20 huonosta tuloksesta. Tämän seurauksena olet hieman jäljessä: menetät keskimäärin 2 dollaria netto jokaista 36 peliä kohden (voit myös sanoa, että menetät keskimäärin 1/18 dollaria päivässä). Nyt näet, kuinka helppoa tässä tapauksessa on tehdä virhe ja laskea todennäköisyys väärin.

permutaatio

Toistaiseksi olemme olettaneet, että numeroiden heittojärjestyksellä ei ole väliä noppaa heittäessä. Heitto 2 + 4 on sama kuin heitto 4 + 2. Useimmissa tapauksissa laskemme suotuisat tulokset manuaalisesti, mutta joskus tällä tavalla epäkäytännöllistä ja on parempi käyttää matemaattista kaavaa.

Esimerkki tästä tilanteesta on Farkle-noppaa pelistä. Jokaisella uudella kierroksella heitetään 6d6. Jos olet onnekas ja kaikki mahdolliset 1-2-3-4-5-6 (suora) tulokset tulevat esiin, saat suuren bonuksen. Mikä on todennäköisyys, että näin tapahtuu? Tässä tapauksessa tämän yhdistelmän menettämiseen on monia vaihtoehtoja.

Ratkaisu on seuraava: yhdestä nopasta (ja vain yhdestä) pitäisi pudota pois numero 1. Kuinka monta vaihtoehtoa numero 1 putoaa yhdelle noppalle? Vaihtoehtoja on 6, koska noppaa on 6 ja numero 1 voi pudota mihin tahansa niistä. Ota yksi noppa ja laita se sivuun. Nyt luvun 2 pitäisi pudota jollekin jäljellä olevista nopista. Tähän on 5 vaihtoehtoa. Ota toinen noppa ja aseta se sivuun. Sitten 4 jäljellä olevista nopista voi laskeutua 3:lle, 3 jäljellä olevista nopista voi laskeutua 4:lle ja 2 jäljellä olevista nopista 5:lle. Tämän seurauksena sinulle jää yksi noppa, jolla numero 6 pitäisi pudota (jälkimmäisessä tapauksessa noppaa on vain yksi luu, eikä vaihtoehtoa ole).

Laskeaksemme suotuisien tulosten määrän suoralle, kerromme kaikki erilaiset riippumattomat vaihtoehdot: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 - näyttää siltä, ​​​​että niitä on melko vähän suuri määrä vaihtoehtoja tämän yhdistelmän putoamiseksi.

Laskeaksemme suoran yhdistelmän saamisen todennäköisyyden, meidän on jaettava 720 kaikkien mahdollisten tulosten lukumäärällä heittämällä 6d6. Mikä on kaikkien mahdollisten tulosten lukumäärä? Jokainen noppa voi heittää 6 sivua, joten kerromme 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (paljon suurempi luku kuin edellinen). Jaamme 720 luvulla 46656 ja saamme todennäköisyyden, joka on noin 1,5 %. Jos suunnittelet tätä peliä, sinun olisi hyödyllistä tietää tämä, jotta voit luoda sopivan pisteytysjärjestelmän. Nyt ymmärrämme, miksi Farklessa saat niin suuren bonuksen, jos osut suoraan yhdistelmään: tämä tilanne on melko harvinainen.

Tulos on mielenkiintoinen myös toisesta syystä. Esimerkki osoittaa kuinka harvoin lyhyt aika todennäköisyyttä vastaava tulos putoaa. Tietysti, jos heitimme useita tuhansia noppaa, nopan eri puolia nousi esiin melko usein. Mutta kun heitämme vain kuutta noppaa, lähes koskaan ei tapahdu, että jokainen noppaa tulee esiin. On selvää, että on typerää odottaa, että nyt putoaa kasvot, joita ei ole vielä ollut, koska "emme ole pudonneet numeroa 6 pitkään aikaan". Katso, satunnaislukugeneraattorisi on rikki.

Tämä johtaa meidät yleiseen väärinkäsitykseen, että kaikki tulokset tulevat samaan tahtiin lyhyessä ajassa. Jos heitämme noppaa useita kertoja, jokaisen kasvon taajuus ei ole sama.

Jos olet joskus aiemmin työskennellyt nettipelin parissa jonkinlaisella satunnaislukugeneraattorilla, olet todennäköisesti törmännyt tilanteeseen, jossa pelaaja kirjoittaa tekniseen tukeen valittamalla, että satunnaislukugeneraattori ei näytä satunnaislukuja. Hän tuli tähän johtopäätökseen, koska hän tappoi 4 hirviötä peräkkäin ja sai 4 täsmälleen samat palkinnot, ja näiden palkintojen pitäisi pudota vain 10% ajasta, joten tämän ei pitäisi ilmeisesti koskaan tapahtua.

Teet matematiikkaa. Todennäköisyys on 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, eli 1 tulos 10 tuhannesta riittää harvinainen tapaus. Sitä pelaaja yrittää kertoa sinulle. Onko tässä tapauksessa ongelma?

Kaikki riippuu olosuhteista. Kuinka monta pelaajaa palvelimellasi on nyt? Oletetaan, että sinulla on tarpeeksi suosittu peli ja 100 000 ihmistä pelaa sitä joka päivä. Kuinka monta pelaajaa tappaa neljä hirviötä peräkkäin? Todennäköisesti kaikki, useita kertoja päivässä, mutta oletetaan, että puolet heistä vain käy kauppaa eri esineillä huutokaupoissa, chattailee RP-palvelimilla tai tekee muuta pelitoimintaa - joten vain puolet heistä metsästää hirviöitä. Millä todennäköisyydellä joku saa saman palkinnon? Tässä tilanteessa voit odottaa tämän tapahtuvan ainakin muutaman kerran päivässä.

Muuten, siksi näyttää siltä, ​​​​että muutaman viikon välein joku voittaa lotossa, vaikka hän ei olisi koskaan ollut sinä tai joku tuttu. Jos tarpeeksi ihmiset pelaavat säännöllisesti - on mahdollista, että jossain on ainakin yksi onnekas. Mutta jos pelaat lotossa itse, et todennäköisesti voita, sinut todennäköisemmin kutsutaan töihin Infinity Wardiin.

Kartat ja riippuvuus

Olemme keskustelleet itsenäisistä tapahtumista, kuten nopan heittämisestä, ja nyt tiedämme monia tehokkaita työkaluja satunnaisuuden analysointiin monissa peleissä. Todennäköisyyslaskenta on hieman monimutkaisempi korttien nostossa pakasta, koska jokainen ottavamme kortti vaikuttaa pakkaan jääviin.

Jos sinulla on 52 kortin vakiopakka, vedät siitä 10 sydäntä ja haluat tietää todennäköisyyden, että seuraava kortti on samaa maata - todennäköisyys on muuttunut alkuperäisestä, koska olet jo poistanut yhden sydänkortin kansi. Jokainen poistamasi kortti muuttaa todennäköisyyttä, että seuraava kortti ilmestyy pakkaan. Tässä tapauksessa edellinen tapahtuma vaikuttaa seuraavaan, joten kutsumme tätä todennäköisyydestä riippuvaiseksi.

Huomaa, että kun sanon "kortit", tarkoitan mitä tahansa pelimekaanikkoa, jolla on joukko esineitä ja poistat yhden esineistä vaihtamatta sitä. "Korttipakka" on tässä tapauksessa analoginen pelimerkkipussille, josta otat yhden pelimerkin, tai uurnalle, josta otetaan värillisiä palloja (en ole koskaan nähnyt pelejä uurnalla, josta otettaisiin värillisiä palloja ulos, mutta todennäköisyysteorian opettajat siitä, mistä syystä tämä esimerkki on parempi).

Riippuvuusominaisuudet

Haluaisin selventää, milloin me puhumme korteista, oletan, että nostat kortteja, katsot niitä ja poistat ne pakasta. Jokainen näistä toimista on tärkeä ominaisuus. Jos minulla olisi esimerkiksi kuuden kortin pakka, jotka on numeroitu 1–6, sekoittaisin ne ja nostaisin yhden kortin ja sitten kaikki kuusi korttia uudelleen - tämä olisi samanlaista kuin kuusisivuisen nopan heittäminen, koska yksi tulos ei vaikuttaa täällä seuraaviin. Ja jos vedän kortteja enkä vaihda niitä, nostamalla yhden kortin lisään todennäköisyyttä, että seuraavan kerran nostan kortin numerolla 6. Todennäköisyys kasvaa, kunnes lopulta vedän tämän kortin tai sekoitan pakan.

Se, että tarkastelemme kortteja, on myös tärkeää. Jos otan kortin pakasta enkä katso sitä, minulla ei ole sitä lisäinformaatio ja itse asiassa todennäköisyys ei muutu. Tämä saattaa kuulostaa epäloogiselta. Kuinka pelkkä kortin kääntäminen voi maagisesti muuttaa kertoimia? Mutta se on mahdollista, koska voit laskea tuntemattomien kohteiden todennäköisyyden vain tietosi perusteella.

Jos esimerkiksi sekoitat tavallisen korttipakan, paljastat 51 korttia, joista yksikään ei ole mailojen kuningatar, voit olla 100 % varma, että jäljellä oleva kortti on mailojen kuningatar. Jos sekoitat tavallisen korttipakan ja vedät 51 korttia katsomatta niitä, todennäköisyys, että jäljellä oleva kortti on mailien kuningatar, on edelleen 1/52. Kun avaat jokaisen kortin, saat lisätietoja.

Riippuvien tapahtumien todennäköisyyden laskeminen noudattaa samoja periaatteita kuin riippumattomille tapahtumille, paitsi että se on hieman monimutkaisempaa, koska todennäköisyydet muuttuvat, kun paljastat kortit. Joten sinun täytyy kertoa paljon erilaisia ​​arvoja, sen sijaan, että kertoisit saman arvon. Itse asiassa tämä tarkoittaa, että meidän on yhdistettävä kaikki tekemämme laskelmat yhdeksi yhdistelmäksi.

Esimerkki

Sekoitat tavallisen 52 kortin pakan ja vedät kaksi korttia. Millä todennäköisyydellä otat parin? On olemassa useita tapoja laskea tämä todennäköisyys, mutta ehkä yksinkertaisin on seuraava: mikä on todennäköisyys, että yhden kortin nostettuasi et pysty nostamaan paria? Tämä todennäköisyys on nolla, joten sillä ei ole oikeastaan ​​väliä, minkä ensimmäisen kortin vedät, kunhan se vastaa toista. Ei ole väliä kumman kortin vedämme ensin, meillä on silti mahdollisuus vetää pari. Siksi parin poistamisen todennäköisyys ensimmäisen kortin ottamisen jälkeen on 100%.

Millä todennäköisyydellä toinen kortti vastaa ensimmäistä? Pakassa on jäljellä 51 korttia, joista 3 vastaa ensimmäistä korttia (itse asiassa se olisi 4/52, mutta olet jo poistanut yhden vastaavista korteista, kun nostit ensimmäisen kortin), joten todennäköisyys on 1/ 17. Joten kun seuraavan kerran sinua vastapäätä pöydässä oleva kaveri pelaa Texas Hold'emia, hän sanoo: ”Hienoa, toinen pari? Olen onnekas tänään", tiedät, että suurella todennäköisyydellä hän bluffaa.

Mitä jos lisäämme kaksi jokeria, jolloin meillä on 54 korttia pakassa ja haluamme tietää, mikä on todennäköisyys nostaa pari? Ensimmäinen kortti voi olla jokeri, ja sitten pakassa on vain yksi sopiva kortti, ei kolme. Kuinka löytää todennäköisyys tässä tapauksessa? Jaamme todennäköisyydet ja kerromme jokainen mahdollisuus.

Ensimmäinen korttimme voi olla jokeri tai jokin muu kortti. Jokerin nostamisen todennäköisyys on 2/54, jonkin muun kortin nostamisen todennäköisyys on 52/54. Jos ensimmäinen kortti on jokeri (2/54), todennäköisyys, että toinen kortti vastaa ensimmäistä, on 1/53. Kerromme arvot (voimme kertoa ne, koska ne ovat erillisiä tapahtumia ja haluamme molempien tapahtuvan) ja saamme 1/1431 - alle prosentin kymmenesosan.

Jos vedät ensin jonkin toisen kortin (52/54), toisen kortin todennäköisyys on 3/53. Kerromme arvot ja saamme 78/1431 (hieman yli 5,5%). Mitä teemme näillä kahdella tuloksella? Ne eivät leikkaa toisiaan, ja haluamme tietää kunkin todennäköisyyden, joten summaamme arvot. Saamme lopputuloksen 79/1431 (vielä noin 5,5%).

Jos halusimme olla varmoja vastauksen oikeellisuudesta, voisimme laskea kaikkien muiden mahdollisten tulosten todennäköisyyden: jokerin nostaminen ja toisen kortin poikkeaminen tai jonkin muun kortin nostaminen ja toisen kortin poikkeaminen. Kun nämä todennäköisyydet ja voiton todennäköisyys lasketaan yhteen, saamme tasan 100%. En anna matematiikkaa tässä, mutta voit kokeilla matematiikkaa tarkistaaksesi.

Monty Hallin paradoksi

Tämä vie meidät melko tunnettuun paradoksiin, joka usein hämmentää monia, Monty Hallin paradoksiin. Paradoksi on nimetty Let's Make a Deal -televisio-ohjelman juontajan mukaan. Niille, jotka eivät ole koskaan nähneet tätä TV-ohjelmaa, sanon, että se oli The Price Is Right -ohjelman vastakohta.

The Price Is Right -elokuvan juontaja (aiemmin Bob Barker, nyt Drew Carey? Nevermind) on ystäväsi. Hän haluaa sinun voittavan rahaa tai hienoja palkintoja. Se yrittää antaa sinulle kaikki mahdollisuudet voittaa, kunhan voit arvata, kuinka paljon sponsoroidut tuotteet ovat todella arvokkaita.

Monty Hall käyttäytyi eri tavalla. Hän oli kuin Bob Barkerin paha kaksos. Hänen tavoitteenaan oli saada sinut näyttämään idiootilta kansallisessa televisiossa. Jos olit ohjelmassa, hän oli vastustajasi, pelasit häntä vastaan ​​ja kertoimet olivat hänen puolellaan. Ehkä olen liian ankara, mutta katsoessani esitystä, johon pääset todennäköisemmin, jos sinulla on yllään naurettava puku, olen juuri tulossa.

Yksi esityksen tunnetuimmista meemeistä oli tämä: edessäsi on kolme ovea, ovi numero 1, ovi numero 2 ja ovi numero 3. Voit valita yhden oven ilmaiseksi. Yhden takana on upea palkinto - esimerkiksi uusi auto. Kahden muun oven takana ei ole palkintoja, kummallakaan ei ole arvoa. Niiden oletetaan nöyryyttävän sinua, joten niiden takana ei ole vain mitään, vaan jotain typerää, esimerkiksi vuohi tai valtava hammastahnaputki - kaikkea muuta kuin uusi auto.

Valitset yhden ovista, Monty on avaamassa sen kertoakseen, voititko vai et... mutta odota. Ennen kuin tiedämme, katsotaanpa yhtä niistä ovista, joita et valinnut. Monty tietää, minkä oven takana palkinto on, ja hän voi aina avata oven, jonka takana ei ole palkintoa. "Valitsetko oven numero 3? Avataan sitten ovi numero 1 osoittaaksemme, ettei sen takana ollut palkintoa." Ja nyt hän anteliaisuudesta tarjoaa sinulle mahdollisuuden vaihtaa valitun oven numero 3 siihen, mikä on oven numero 2 takana.

Tässä vaiheessa herää kysymys todennäköisyydestä: lisääkö tämä mahdollisuus voiton todennäköisyyttäsi vai pienentääkö sitä vai pysyykö se ennallaan? Mitä mieltä sinä olet?

Oikea vastaus: mahdollisuus valita toinen ovi lisää voittomahdollisuutta 1/3:sta 2/3:een. Tämä on epäloogista. Jos et ole aiemmin törmännyt tähän paradoksiin, niin luultavasti ajattelet: odota, miten on: avaamalla yhden oven muutimme maagisesti todennäköisyyttä? Kuten näimme karttaesimerkissä, juuri näin tapahtuu, kun saamme lisätietoja. On selvää, että kun valitset ensimmäisen kerran, voiton todennäköisyys on 1/3. Kun yksi ovi avautuu, se ei muuta ensimmäisen valinnan voiton todennäköisyyttä ollenkaan: todennäköisyys on edelleen 1/3. Mutta todennäköisyys, että toinen ovi on oikea, on nyt 2/3.

Katsotaanpa tätä esimerkkiä toiselta puolelta. Valitset oven. Voiton todennäköisyys on 1/3. Ehdotan, että vaihdat kaksi muuta ovea, kuten Monty Hall tekee. Tietysti hän avaa yhden ovista osoittaakseen, ettei sen takana ole palkintoa, mutta hän voi tehdä tämän aina, joten se ei muuta mitään. Tietenkin haluat valita toisen oven.

Jos et aivan ymmärrä kysymystä ja tarvitset vakuuttavamman selityksen, napsauta tätä linkkiä päästäksesi mahtavaan pieneen Flash-sovellukseen, jonka avulla voit tutkia tätä paradoksia yksityiskohtaisemmin. Voit aloittaa noin 10 ovella ja siirtyä sitten vähitellen kolmen oven peliin. Siellä on myös simulaattori, jossa voit pelata millä tahansa määrällä ovia 3-50 tai suorittaa useita tuhansia simulaatioita ja nähdä kuinka monta kertaa voittaisit, jos pelaat.

Valitse yksi kolmesta ovesta – voiton todennäköisyys on 1/3. Nyt sinulla on kaksi strategiaa: muuttaa valintaa väärän oven avaamisen jälkeen vai ei. Jos et muuta valintaasi, todennäköisyys pysyy 1/3, koska valinta on vasta ensimmäisessä vaiheessa, ja sinun on arvattava heti. Jos muutat, voit voittaa, jos valitset ensin väärän oven (sitten he avaavat toisen väärän, oikea jää - muuta päätöstä, otat sen vain). Todennäköisyys valita väärä ovi alussa on 2/3 - joten käy ilmi, että muuttamalla päätöstäsi tuplaat voiton todennäköisyyden.

Huomautus opettajalta korkeampaa matematiikkaa ja pelitasapainoasiantuntija Maxim Soldatov - Schreiberillä ei tietenkään ollut häntä, mutta ilman häntä ymmärtämään tämän maaginen muutos tarpeeksi vaikea

Monty Hallin paradoksiin tutustuminen

Mitä tulee itse esitykseen, vaikka Monty Hallin kilpailijat eivät olleet hyviä matematiikassa, hän oli hyvä siinä. Tässä on mitä hän teki muuttaakseen peliä hieman. Jos valitsit oven, jonka takana palkinto oli, todennäköisyydellä 1/3, hän tarjosi sinulle aina mahdollisuuden valita toinen ovi. Valitset auton ja vaihdat sen vuohiin ja näytät aika tyhmältä - mitä tarvitset, koska Hall on tavallaan ilkeä kaveri.

Mutta jos valitset oven, jolla ei ole palkintoa, hän tarjoaa sinulle toisen oven vain puolet ajasta tai hän vain näyttää sinulle uuden vuohisi ja sinä poistut lavalta. Analysoidaan tämä Uusi peli, jossa Monty Hall voi päättää, tarjoaako sinulle mahdollisuuden valita toinen ovi vai ei.

Oletetaan, että hän noudattaa tätä algoritmia: jos valitset oven, jolla on palkinto, hän tarjoaa sinulle aina mahdollisuuden valita toinen ovi, muuten hän yhtä todennäköisesti tarjoaa sinulle toisen oven tai antaa sinulle vuohen. Mikä on todennäköisyys voittaa?

Yhdessä kolmesta vaihtoehdosta valitset heti oven, jonka takana palkinto sijaitsee, ja isäntä kutsuu sinua valitsemaan toisen.

Jäljellä olevista kahdesta vaihtoehdosta kolmesta (valitset aluksi oven ilman palkintoa) puolessa tapauksissa isäntä tarjoaa sinulle päätöksen muuttamista, ja toisessa puolessa tapauksista ei.

Puolet 2/3:sta on 1/3, eli yhdessä tapauksessa kolmesta saat vuohen, yhdessä tapauksessa kolmesta valitset väärän oven ja isäntä tarjoaa sinulle toisen, ja yksi tapaus kolmesta valitset oikean oven, mutta hän taas tarjoaa toisen.

Jos ohjaaja tarjoutuu valitsemaan toisen oven, tiedämme jo, että yksi kolmesta tapauksesta, jolloin hän antaa meille vuohen ja me lähdemme, ei tapahtunut. se hyödyllistä tietoa: se tarkoittaa, että mahdollisuutemme voittaa ovat muuttuneet. Kaksi kolmesta tapauksesta, joissa meillä on valinnanvara: yhdessä tapauksessa se tarkoittaa, että arvasimme oikein, ja toisessa tapauksessa, että arvasimme väärin, joten jos meille tarjotaan vaihtoehtoa, voittomme todennäköisyys on 1 /2 , ja matemaattisesti sillä ei ole väliä, pysytkö valinnassasi vai valitsetko toisen oven.

Kuten pokeri, se on psykologinen peli, ei matemaattinen. Miksi Monty tarjosi sinulle vaihtoehtoa? Luuleeko hän, että olet yksinkertainen, joka ei tiedä, että toisen oven valinta on "oikea" päätös ja pitää itsepäisesti kiinni valinnastaan ​​(tilanne on psykologisesti monimutkaisempi, kun valitset auton ja sitten menetät sen )?

Vai tarjoaako hän sinulle tämän mahdollisuuden, kun hän päättää, että olet älykäs ja valitset toisen oven, koska hän tietää, että arvasit alun perin oikein ja putosit koukkuun? Tai ehkä hän on epätyypillisen kiltti ja pakottaa sinua tekemään jotain hyödyllistä, koska hän ei ole lahjoittanut autoja pitkään aikaan ja tuottajat sanovat, että yleisö alkaa kyllästyä, ja olisi parempi antaa iso palkinto pian, joten siitäkö arvosanat laskivat?

Siten Monty onnistuu toisinaan tarjoamaan vaihtoehtoa, kun taas kokonaistodennäköisyys voittaa on 1/3. Muista, että todennäköisyys, että häviät välittömästi, on 1/3. On 1/3 todennäköisyydellä, että arvaat heti, ja 50% niistä kertoista voitat (1/3 x 1/2 = 1/6).

Todennäköisyys, että arvaat ensin väärin, mutta sitten sinulla on mahdollisuus valita toinen ovi, on 1/3, ja puolessa näistä tapauksista voitat (myös 1/6). Kun lasket yhteen kaksi itsenäistä voittomahdollisuutta, saat todennäköisyydeksi 1/3, joten ei ole väliä, pysytkö valinnassasi vai valitsetko toisen oven – voittosi kokonaistodennäköisyys koko pelin ajan on 1/3.

Todennäköisyys ei kasva kuin tilanteessa, jossa arvasit oven ja isäntä yksinkertaisesti näytti sinulle, mitä sen takana on, tarjoutumatta valitsemaan toista. Ehdotuksen tarkoituksena ei ole muuttaa todennäköisyyttä, vaan tehdä päätöksentekoprosessista hauskempaa television katselun kannalta.

Muuten, tämä on yksi syistä, miksi pokeri voi olla niin kiinnostavaa: useimmissa formaateissa kierrosten välillä, kun panoksia tehdään (esimerkiksi floppi, turn ja river Texas Hold'emissa), kortit paljastuvat vähitellen, ja jos sinulla on pelin alussa yksi mahdollisuus voittaa, niin jokaisen panostuskierroksen jälkeen, kun useampia kortteja on auki, tämä todennäköisyys muuttuu.

Pojan ja tytön paradoksi

Tämä vie meidät toiseen hyvin tunnettuun paradoksiin, joka yleensä hämmentää kaikkia, poika-tyttö paradoksiin. Ainoa asia, josta kirjoitan tänään ja joka ei liity suoraan peleihin (vaikka minun täytyy vain pakottaa sinua luomaan sopiva pelimekaniikka). Tämä on enemmänkin arvoitus, mutta mielenkiintoinen, ja sen ratkaisemiseksi sinun on ymmärrettävä ehdollinen todennäköisyys, josta puhuimme edellä.

Tehtävä: Minulla on ystävä, jolla on kaksi lasta, joista ainakin toinen on tyttö. Millä todennäköisyydellä myös toinen lapsi on tyttö? Oletetaan, että missä tahansa perheessä todennäköisyys saada tyttö ja poika on 50/50, ja tämä pätee jokaiseen lapseen.

Itse asiassa joillakin miehillä on enemmän siittiöitä, joiden siemennesteessä on X-kromosomi tai Y-kromosomi, joten kertoimet vaihtelevat hieman. Jos tiedät, että yksi lapsi on tyttö, todennäköisyys saada toinen tyttö on hieman suurempi, ja on muitakin sairauksia, kuten hermafroditismi. Mutta tämän ongelman ratkaisemiseksi emme ota tätä huomioon ja oletamme, että lapsen syntymä on itsenäinen tapahtuma ja pojan ja tytön syntymä ovat yhtä todennäköisiä.

Koska puhumme 1/2 mahdollisuudesta, odotamme intuitiivisesti vastauksen olevan 1/2 tai 1/4 tai jokin muu kahden kerrannainen nimittäjässä. Mutta vastaus on 1/3. Miksi?

Vaikeutena tässä tapauksessa on se, että saamamme tieto vähentää mahdollisuuksien määrää. Oletetaan, että vanhemmat ovat Sesame Streetin faneja ja lasten sukupuolesta riippumatta nimettiin A ja B. Normaaleissa olosuhteissa on neljä yhtä todennäköistä mahdollisuutta: A ja B ovat kaksi poikaa, A ja B ovat kaksi tyttöä, A on a poika ja B on tyttö, A on tyttö ja B on poika. Koska tiedämme, että ainakin yksi lapsi on tyttö, voimme sulkea pois mahdollisuuden, että A ja B ovat kaksi poikaa. Joten meillä on kolme mahdollisuutta - silti yhtä todennäköisiä. Jos kaikki mahdollisuudet ovat yhtä todennäköisiä ja niitä on kolme, niin jokaisen todennäköisyys on 1/3. Vain yhdessä näistä kolmesta vaihtoehdosta molemmat lapset ovat tyttöjä, joten vastaus on 1/3.

Ja taas pojan ja tytön paradoksista

Ongelman ratkaisusta tulee entistä epäloogisempi. Kuvittele, että ystävälläni on kaksi lasta ja yksi heistä on tyttö, joka syntyi tiistaina. Oletetaan, että normaaleissa olosuhteissa lapsi syntyy yhtä todennäköisesti jokaisena viikonpäivänä. Millä todennäköisyydellä myös toinen lapsi on tyttö?

Saatat ajatella, että vastaus olisi edelleen 1/3: mitä tiistai tarkoittaa? Mutta tässä tapauksessa intuitio pettää meidät. Vastaus on 13/27, mikä ei vain ole intuitiivinen, vaan hyvin outo. Mistä tässä tapauksessa on kysymys?

Itse asiassa tiistai muuttaa todennäköisyyttä, koska emme tiedä kumpi vauva syntyi tiistaina, tai ehkä molemmat syntyivät tiistaina. Tässä tapauksessa käytämme samaa logiikkaa: laskemme kaikki mahdolliset yhdistelmät, kun vähintään yksi lapsi on tiistaina syntynyt tyttö. Kuten edellisessä esimerkissä, oletetaan lasten nimet A ja B. Yhdistelmät näyttävät tältä:

• A on tyttö, joka syntyi tiistaina, B on poika (tässä tilanteessa on 7 mahdollisuutta, yksi jokaiselle viikonpäivälle, jolloin poika olisi voinut syntyä).
• B - tyttö, joka syntyi tiistaina, A - poika (myös 7 mahdollisuutta).
• A on tyttö, joka syntyi tiistaina, B on tyttö, joka on syntynyt eri viikonpäivänä (6 mahdollisuutta).
• B - tyttö, joka syntyi tiistaina, A - tyttö, joka ei syntynyt tiistaina (myös 6 todennäköisyyttä).
• A ja B ovat kaksi tyttöä, jotka syntyivät tiistaina (1 mahdollisuus, sinun on kiinnitettävä huomiota tähän, jotta et laske kahdesti).

Laskemme yhteen ja saamme 27 erilaista yhtä mahdollista yhdistelmää lasten syntymästä ja päivistä, joissa on ainakin yksi mahdollisuus, että tyttö syntyy tiistaina. Näistä 13 mahdollisuutta on, kun syntyy kaksi tyttöä. Se näyttää myös täysin epäloogiselta - näyttää siltä annettu tehtävä keksittiin vain herättämään päänsärky. Jos olet edelleen ymmälläsi, peliteoreetikon Jesper Juhlin verkkosivustolla on hyvä selitys tähän.

Jos työskentelet parhaillaan pelin parissa

Jos suunnittelemassasi pelissä on satunnaisuutta, tämä on loistava tilaisuus analysoida sitä. Valitse mikä tahansa elementti, jonka haluat analysoida. Kysy ensin itseltäsi, minkä verran odotat tietyn elementin todennäköisyyden olevan pelin yhteydessä.

Jos esimerkiksi luot roolipeliä ja mietit, kuinka todennäköistä on, että pelaaja voittaisi hirviön taistelussa, kysy itseltäsi, mikä voittoprosentti tuntuu sinusta oikealta. Yleensä konsoliroolipeleissä pelaajat järkyttyvät häviäessään, joten on parempi, että he häviävät harvoin – 10 % ajasta tai vähemmän. Jos olet roolipelisuunnittelija, tiedät luultavasti paremmin kuin minä, mutta sinun täytyy olla perusidea mikä pitäisi olla todennäköisyys.

Kysy sitten itseltäsi, ovatko todennäköisyytesi riippuvaisia ​​(kuten korttien kanssa) vai riippumattomia (kuten nopan kanssa). Keskustele kaikista mahdollisista tuloksista ja niiden todennäköisyyksistä. Varmista, että kaikkien todennäköisyyksien summa on 100 %. Ja tietysti vertaa tuloksiasi odotuksiin. Onko mahdollista heittää noppaa tai nostaa kortteja haluamallasi tavalla vai onko selvää, että arvoja pitää muuttaa. Ja tietysti, jos löydät puutteita, voit käyttää samoja laskelmia määrittääksesi, kuinka paljon sinun on muutettava arvoja.

Kotitehtävät

Tämän viikon "kotitehtäväsi" auttaa sinua hiomaan todennäköisyystaitojasi. Tässä on kaksi noppapeliä ja korttipeli, jotka sinun on analysoitava todennäköisyyksien avulla, sekä outo pelimekaniikka, jonka olen joskus kehittänyt - testaat Monte Carlo -menetelmää sen esimerkissä.

Peli #1 - Dragon Bones

Tämä on noppapeli, jonka kollegani ja minä kerran keksimme (kiitos Jeb Havensille ja Jesse Kingille) - se räjäyttää ihmisten mielet tarkoituksella todennäköisyyksillään. Tämä on yksinkertainen kasinopeli nimeltä "Dragon Dice" ja se on uhkapelin noppakilpailu pelaajan ja yrityksen välillä.

Sinulle annetaan tavallinen 1d6 noppa. Pelin tavoitteena on heittää taloa suurempi numero. Tomille annetaan ei-standardi 1d6 - sama kuin sinun, mutta sen yhdelle kasvoille yhden sijaan - lohikäärmeen kuva (siis kasinolla on lohikäärme-2-3-4-5-6 kuoppa). Jos laitos saa lohikäärmeen, se voittaa automaattisesti ja sinä häviät. Jos molemmat saavat saman numeron, on tasapeli ja heitetään noppaa uudelleen. Se, joka heittää suurimman luvun, voittaa.

Tietenkään kaikki ei ole täysin pelaajan hyväksi, koska kasinolla on etu lohikäärmeen kasvojen muodossa. Mutta onko se todella niin? Tämä sinun on laskettava. Mutta tarkista ensin intuitiosi.

Oletetaan, että voitto on 2-1. Joten jos voitat, pidät panoksesi ja saat kaksinkertaisen summan. Jos esimerkiksi panostat 1 dollarin ja voitat, pidät tämän dollarin ja saat vielä 2 dollaria päälle, yhteensä 3 dollaria. Jos häviät, häviät vain vedon. pelaisitko? Tunnetko intuitiivisesti, että todennäköisyys on suurempi kuin 2:1, vai luuletko sen silti olevan pienempi? Toisin sanoen, keskimäärin yli 3 pelin, odotatko voittavasi useammin kuin kerran, harvemmin vai kerran?

Kun olet saanut intuitiosi pois tieltä, käytä matematiikkaa. Molemmille nopalle on vain 36 mahdollista paikkaa, joten voit helposti laskea ne kaikki. Jos olet epävarma tästä 2-1-tarjouksesta, harkitse tätä: Oletetaan, että pelasit pelin 36 kertaa (panosta 1 dollaria joka kerta). Jokaisesta voitosta saat 2 dollaria, jokaisesta tappiosta menetät 1 dollarin, eikä tasapeli muuta mitään. Laske kaikki todennäköiset voittosi ja tappiosi ja päätä, häviätkö dollareita vai voittoa. Kysy sitten itseltäsi, kuinka oikeaksi intuitiosi osoittautui. Ja sitten ymmärrän, mikä konna olen.

Ja kyllä, jos olet jo miettinyt tätä kysymystä - hämmennän sinut tarkoituksella vääristämällä noppapelien todellista mekaniikkaa, mutta olen varma, että voit voittaa tämän esteen pelkällä hyvällä ajatuksella. Yritä ratkaista tämä ongelma itse.

Peli #2 - Roll of Luck

se uhkapelaaminen Lucky Roll -nimisessä nopana (myös Birdcage, koska joskus noppaa ei heitellä, vaan ne laitetaan suureen lankahäkkiin, joka muistuttaa Bingon häkkiä). Peli on yksinkertainen, pohjimmiltaan se tiivistyy tähän: Panosta esimerkiksi 1 dollarilla luvulle 1-6. Sitten heitetään 3d6. Jokaista numeroasi osuvaa noppaa kohden saat 1 dollarin (ja pidät alkuperäisen panoksesi). Jos numerosi ei osu mihinkään noppaa, kasino saa dollarisi etkä saa mitään. Joten jos lyöt vetoa 1 ja saat 1 kasvot kolme kertaa, saat 3 dollaria.

Intuitiivisesti näyttää siltä, ​​että tässä pelissä mahdollisuudet ovat tasaiset. Jokainen noppa on yksilöllinen voittomahdollisuudella 1:6, joten voittomahdollisuutesi on kolmella heitolla 3-6. Muista kuitenkin tietysti, että pinoat kolme erillistä noppaa ja voit lisätä vain, jos olemme puhutaan saman nopan erillisistä voittoyhdistelmistä. Jotain sinun täytyy moninkertaistaa.

Kun olet laskenut kaikki mahdolliset tulokset (todennäköisesti helpompi tehdä Excelissä kuin käsin, niitä on 216), peli näyttää silti ensi silmäyksellä parilliselta. Itse asiassa kasino voittaa edelleen todennäköisemmin – kuinka paljon enemmän? Erityisesti kuinka paljon rahaa odotat menettäväsi keskimäärin pelikierrosta kohden?

Sinun tarvitsee vain laskea yhteen kaikkien 216 tuloksen voitot ja tappiot ja jakaa sitten 216:lla, minkä pitäisi olla melko helppoa. Mutta kuten näet, on muutamia sudenkuoppia, joihin voit pudota, minkä vuoksi sanon, että jos uskot, että tässä pelissä on tasainen voittomahdollisuus, olet ymmärtänyt väärin.

Peli #3 - 5 Card Stud

Jos olet jo lämmennyt aikaisemmissa peleissä, katsotaanpa, mitä tiedämme ehdollisesta todennäköisyydestä käyttämällä esimerkkinä tätä korttipeliä. Kuvitellaan pokeria 52 kortin pakalla. Kuvitellaan myös 5 card stud, jossa jokainen pelaaja saa vain 5 korttia. Et voi hylätä korttia, et voi nostaa uutta, ei yhteistä pakkaa - saat vain 5 korttia.

Kuninkaallinen väri on 10-J-Q-K-A yhdessä yhdistelmässä, niitä on yhteensä neljä, joten niitä on neljä mahdollisia tapoja saada ROYAL FLUSH. Laske todennäköisyys, että saat jonkin näistä yhdistelmistä.

Haluan varoittaa sinua yhdestä asiasta: muista, että voit nostaa nämä viisi korttia missä tahansa järjestyksessä. Eli aluksi voit vetää ässän tai kymmenen, sillä ei ole väliä. Joten kun teet laskelmia, muista, että on itse asiassa enemmän kuin neljä tapaa saada kuninkaallinen väri, olettaen, että kortit jaettiin järjestyksessä.

Peli #4 - IMF:n arpajaiset

Neljäs tehtävä ei ole niin helppo ratkaista menetelmillä, joista puhuimme tänään, mutta voit helposti simuloida tilannetta ohjelmoimalla tai Excelillä. Tämän ongelman esimerkissä voit kehittää Monte Carlo -menetelmän.

Mainitsin aiemmin pelin Chron X, jonka parissa työskentelin, ja siellä oli yksi erittäin mielenkiintoinen kartta- IMF:n arpajaiset. Näin se toimi: käytit sitä pelissä. Kierroksen päätyttyä kortit jaettiin uudelleen, ja oli 10 %:n mahdollisuus, että kortti olisi poissa pelistä ja että satunnainen pelaaja saisi 5 yksikköä kutakin kyseisellä kortilla olevaa resurssia. Kortti pantiin peliin ilman ainuttakaan pelimerkkiä, mutta joka kerta kun se jäi peliin seuraavan kierroksen alussa, se sai yhden merkin.

Joten oli 10 % mahdollisuus, että laitat sen peliin, kierros päättyy, kortti poistuu pelistä, eikä kukaan saa mitään. Jos ei (90 %:n todennäköisyydellä), on 10 %:n mahdollisuus (itse asiassa 9 %, koska se on 10 % 90 %:sta), että hän poistuu pelistä seuraavalla kierroksella ja joku saa 5 resurssia. Jos kortti poistuu pelistä yhden kierroksen jälkeen (10 % käytettävissä olevasta 81 %:sta, joten todennäköisyys on 8,1 %), joku saa 10 yksikköä, toinen kierros - 15, toinen 20 ja niin edelleen. Kysymys: mikä on odotettu arvo resurssien määrälle, jonka saat tästä kortista, kun se lopulta poistuu pelistä?

Normaalisti yritämme ratkaista tämän ongelman laskemalla kunkin tuloksen todennäköisyyden ja kertomalla kaikkien tulosten lukumäärällä. On 10 % todennäköisyys, että saat 0 (0,1 * 0 = 0). 9 %, että saat 5 yksikköä resursseja (9 % * 5 = 0,45 resurssia). 8,1 % saamastasi on 10 (8,1 % * 10 = 0,81 resurssia - yleensä odotettu arvo). Ja niin edelleen. Ja sitten teemme kaiken yhteenvedon.

Ja nyt ongelma on sinulle ilmeinen: aina on mahdollista, että kortti ei poistu pelistä, se voi pysyä pelissä ikuisesti, äärettömän määrän kierroksia, joten mitään todennäköisyyttä ei voi laskea. Nykyään oppimamme menetelmät eivät salli äärettömän rekursion laskemista, joten meidän on luotava se keinotekoisesti.

Jos olet tarpeeksi hyvä ohjelmoimaan, kirjoita ohjelma, joka simuloi tätä korttia. Sinulla pitäisi olla aikasilmukka, joka tuo muuttujan nollan alkuasentoon, näyttää satunnaisluvun ja 10 %:n todennäköisyydellä muuttuja poistuu silmukasta. Muussa tapauksessa se lisää muuttujaan 5 ja silmukka toistuu. Kun se lopulta poistuu silmukasta, lisää koeajojen kokonaismäärää yhdellä ja resurssien kokonaismäärää (kuinka paljon riippuu muuttujan pysähtymispaikasta). Nollaa sitten muuttuja ja aloita alusta.

Suorita ohjelma useita tuhansia kertoja. Lopuksi jaa kokonaisresurssit ajojen kokonaismäärällä - tämä on Monte Carlo -menetelmän odotettu arvo. Suorita ohjelma useita kertoja varmistaaksesi, että saamasi numerot ovat suunnilleen samat. Jos leviäminen on edelleen suuri, lisää toistojen määrää uloimmassa silmukassa, kunnes alat saada osumia. Voit olla varma, että kaikki luvut, joihin päädyt, ovat suunnilleen oikein.

Jos olet uusi ohjelmoinnin parissa (vaikka olisitkin), tässä on pieni harjoitus Excel-taitosi testaamiseen. Jos olet pelisuunnittelija, nämä taidot eivät koskaan ole tarpeettomia.

Nyt if- ja rand-funktiot ovat erittäin hyödyllisiä sinulle. Rand ei vaadi arvoja, se tuottaa vain satunnaisen desimaaliluvun väliltä 0 ja 1. Yleensä yhdistämme sen lattiaan sekä plus- ja miinusmerkkien kanssa simuloidaksemme nostan heittoa, mistä mainitsin aiemmin. Tässä tapauksessa jätämme kuitenkin vain 10 % mahdollisuuden, että kortti poistuu pelistä, joten voimme vain tarkistaa, onko rand pienempi kuin 0,1, emmekä enää murehdi siitä.

If-arvolla on kolme arvoa. Järjestyksessä ehto, joka on joko tosi tai ei, sitten arvo, joka palautetaan, jos ehto on tosi, ja arvo, joka palautetaan, jos ehto on epätosi. Joten seuraava funktio palauttaa 5% ajasta ja 0 loput 90% ajasta: =JOS(RAND()<0.1,5,0) .

On monia tapoja asettaa tämä komento, mutta käyttäisin tätä kaavaa solulle, joka edustaa ensimmäistä kierrosta, oletetaan, että se on solu A1: =JOS(RAND()<0.1,0,-1) .

Tässä käytän negatiivista muuttujaa, joka tarkoittaa "tämä kortti ei ole poistunut pelistä eikä ole vielä antanut resursseja". Joten jos ensimmäinen kierros on ohi ja kortti on poissa pelistä, A1 on 0; muuten on -1.

Seuraava toista kierrosta edustava solu: =JOS(A1>-1, A1, JOS(RAND()<0.1,5,-1)) . Joten jos ensimmäinen kierros päättyy ja kortti poistuu välittömästi pelistä, A1 on 0 (resurssien lukumäärä) ja tämä solu yksinkertaisesti kopioi tämän arvon. Muuten A1 on -1 (kortti ei ole vielä poistunut pelistä), ja tämä solu jatkaa satunnaista liikkumista: 10% ajasta se palauttaa 5 yksikköä resursseja, muun ajan sen arvo on edelleen - 1. Jos käytämme tätä kaavaa lisäsoluihin, saamme lisäkierroksia, ja mihin soluun päädytkin, saat lopputuloksen (tai -1, jos kortti ei ole poistunut pelistä kaikkien pelaamiesi kierrosten jälkeen).

Ota tämä solurivi, joka on tämän kortin ainoa kierros, ja kopioi ja liitä muutama sata (tai tuhansia) rivejä. Emme ehkä pysty tekemään loputonta testiä Excelille (taulukossa on rajoitettu määrä soluja), mutta voimme ainakin kattaa useimmat tapaukset. Valitse sitten yksi solu, johon laitat kaikkien kierrosten tulosten keskiarvon - Excel tarjoaa tähän ystävällisesti keskiarvo()-funktion.

Windowsissa voit ainakin painaa F9 laskeaksesi uudelleen kaikki satunnaisluvut. Tee tämä kuten ennenkin muutaman kerran ja katso, saatko samat arvot. Jos ero on liian suuri, tuplaa ajojen määrä ja yritä uudelleen.

Ratkaisemattomia ongelmia

Jos sinulla on todennäköisyysteorian tutkinto ja yllä olevat ongelmat tuntuvat sinulle liian helpoilta - tässä on kaksi ongelmaa, joita olen raapinut päätäni vuosia, mutta valitettavasti en ole niin hyvä matematiikassa niiden ratkaisemiseksi.

Ratkaisematon ongelma 1: IMF:n arpajaiset

Ensimmäinen ratkaisematon ongelma on edellinen kotitehtävä. Pystyn helposti käyttämään Monte Carlo -menetelmää (C++:lla tai Excelillä) ja olen varma vastauksesta kysymykseen "kuinka monta resurssia pelaaja saa", mutta en tiedä tarkalleen kuinka antaa tarkkaa todistettavaa vastausta matemaattisesti (tämä on ääretön sarja).

Ratkaisematon ongelma 2: Muotosekvenssit

Tämän tehtävän (se menee myös paljon pidemmälle kuin tässä blogissa ratkotut tehtävät) on tuttu pelaaja heittänyt minulle yli kymmenen vuotta sitten. Pelaaessaan blackjackia Vegasissa hän huomasi yhden mielenkiintoisen piirteen: nostaessaan kortteja 8-paisesta kengästä hän näki kymmenen nappulaa peräkkäin (nappula tai kasvokortti on 10, Jokeri, Kuningas tai Kuningatar, joten niitä on yhteensä 16 tavallinen 52 kortin pakka tai 128 416 kortin kengässä).

Millä todennäköisyydellä tämä kenkä sisältää vähintään yhden kymmenen tai useamman kappaleen sarjan? Oletetaan, että ne sekoitettiin rehellisesti, satunnaisessa järjestyksessä. Tai jos haluat, millä todennäköisyydellä ei ole kymmenen tai useamman muodon sarjaa missään?

Voimme yksinkertaistaa tehtävää. Tässä on 416 osan sarja. Jokainen osa on 0 tai 1. Sarjassa on 128 ykköstä ja 288 nollaa satunnaisesti hajallaan. Kuinka monta tapaa on lomitella satunnaisesti 128 ykköstä 288 nollalla, ja kuinka monta kertaa näillä tavoilla on vähintään yksi kymmenen tai useamman ykkösen ryhmä?

Aina kun ryhdyin ratkaisemaan tätä ongelmaa, se vaikutti minusta helpolta ja itsestään selvältä, mutta heti kun syvenin yksityiskohtiin, se yhtäkkiä hajosi ja näytti yksinkertaisesti mahdottomalta.

Varaa siis aikaa vastauksen purkamiseen: istu alas, mieti tarkkaan, tutki olosuhteita, yritä liittää todellisia lukuja, koska kaikki ihmiset, joille puhuin tästä ongelmasta (mukaan lukien useat tällä alalla työskentelevät jatko-opiskelijat), reagoivat pitkälti samalla tavalla. tapa: "Se on täysin ilmeistä... voi ei, odota, ei ollenkaan ilmeistä." Näin on silloin, kun minulla ei ole menetelmää kaikkien vaihtoehtojen laskemiseen. Voisin tietysti pakottaa ongelman raa'alla väkivallalla tietokonealgoritmin kautta, mutta olisi paljon mielenkiintoisempaa löytää matemaattinen tapa ratkaista se.

Tehtäviä varten nopan todennäköisyys yhtä suosittuja kuin kolikonheittoongelmat. Tällaisen ongelman ehto kuulostaa yleensä tältä: kun heitetään yhtä tai useampaa noppaa (2 tai 3), millä todennäköisyydellä pisteiden summa on 10 tai pisteiden määrä on 4 tai pisteiden lukumäärä tai jaollinen kahdella pisteiden lukumäärän tulo jne.

Klassisen todennäköisyyskaavan soveltaminen on tärkein menetelmä tämän tyyppisten ongelmien ratkaisemiseksi.

Yksi kuole, todennäköisyys.

Tilanne on melko yksinkertainen yhdellä nopalla. määritetään kaavalla: P=m/n, jossa m on tapahtuman suotuisten tulosten lukumäärä ja n on kaikkien nopan tai noppaa heittäneen kokeen alkeellisten yhtä mahdollisten tulosten lukumäärä.

Tehtävä 1. Noppia heitetään kerran. Mikä on todennäköisyys saada parillinen määrä pisteitä?

Koska noppa on kuutio (tai sitä kutsutaan myös tavalliseksi noppaaksi, kuutio putoaa kaikille pinnoille samalla todennäköisyydellä, koska se on tasapainossa), noppalla on 6 kasvoa (pisteiden määrä 1-6, mikä on yleensä merkitty pisteillä), tämä tarkoittaa , että tehtävässä tulosten kokonaismäärä: n=6. Tapahtumaa suosivat vain tulokset, joissa kasvot, joilla on parilliset pisteet 2, 4 ja 6, putoavat, tällaisten kasvojen kuutiolle: m=3. Nyt voidaan määrittää haluttu nopan todennäköisyys: P=3/6=1/2=0,5.

Tehtävä 2. Noppia heitetään kerran. Mikä on todennäköisyys saada vähintään 5 pistettä?

Tällainen ongelma ratkaistaan ​​analogisesti edellä esitetyn esimerkin kanssa. Noppia heitettäessä yhtä mahdollisten lopputulosten kokonaismäärä on: n=6 ja täytä tehtävän ehto (vähintään 5 pistettä putosi, eli 5 tai 6 pistettä putosi) vain 2 lopputulosta, mikä tarkoittaa m =2. Seuraavaksi etsitään haluttu todennäköisyys: P=2/6=1/3=0,333.

Kaksi noppaa, todennäköisyys.

Kun ratkaiset ongelmia 2 nopan heiton kanssa, on erittäin kätevää käyttää erityistä pistetaulukkoa. Siinä ensimmäiselle noppalle pudonneiden pisteiden määrä piirretään vaakasuunnassa ja toiselle noppalle pudonneiden pisteiden määrä pystysuunnassa. Työkappale näyttää tältä:

Mutta herää kysymys, mitä tulee olemaan taulukon tyhjissä soluissa? Se riippuu ratkaistavasta tehtävästä. Jos ongelma koskee pisteiden summaa, niin summa kirjoitetaan sinne, ja jos se koskee erotusta, niin ero kirjoitetaan ja niin edelleen.

Tehtävä 3. 2 noppaa heitetään samanaikaisesti. Mikä on todennäköisyys saada alle 5 pistettä?

Ensin sinun on selvitettävä, mikä on kokeen tulosten kokonaismäärä. Kaikki oli selvää, kun heitettiin yksi noppaa 6 näppäimen puolta - 6 kokeen tulosta. Mutta kun noppaa on jo kaksi, niin mahdolliset lopputulokset voidaan esittää järjestetyinä numeropareina muotoa (x, y), missä x näyttää kuinka monta pistettä putosi ensimmäiseen noppaan (1 - 6), ja y - kuinka monta pistettä putosi toiselle noppalle (1 - 6). Yhteensä tulee sellaisia ​​numeerisia pareja: n=6*6=36 (36 solua vastaa niitä tulostaulukossa).

Nyt voit täyttää taulukon, tätä varten kuhunkin soluun syötetään ensimmäiseen ja toiseen noppaan pudonneiden pisteiden summa. Valmis taulukko näyttää tältä:

Taulukon ansiosta määritämme tapahtumaa suosivien tulosten lukumäärän "laskee yhteensä alle 5 pistettä". Lasketaan solujen määrä, jonka summan arvo on pienempi kuin luku 5 (nämä ovat 2, 3 ja 4). Mukavuuden vuoksi maalaamme tällaisten solujen päälle, ne ovat m = 6:

Kun otetaan huomioon taulukon tiedot, nopan todennäköisyys on yhtä suuri: P=6/36=1/6.

Tehtävä 4. Kaksi noppaa heitettiin. Määritä todennäköisyys, että pisteiden määrän tulo on jaollinen kolmella.

Ongelman ratkaisemiseksi teemme taulukon ensimmäiselle ja toiselle noppalle pudonneiden pisteiden tuloista. Siinä valitsemme välittömästi numerot, jotka ovat 3:n kerrannaisia:

Kirjataan ylös kokeen tulosten kokonaismäärä n=36 (perustelu on sama kuin edellisessä tehtävässä) ja suotuisten tulosten lukumäärä (taulukossa varjostettujen solujen määrä) m=20. Tapahtuman todennäköisyys on: P=20/36=5/9.

Tehtävä 5. Noppia heitetään kahdesti. Millä todennäköisyydellä ensimmäisen ja toisen nopan pisteiden välinen ero on 2 ja 5 välillä?

Määrittämiseksi nopan todennäköisyys Kirjoita pisteerojen taulukko muistiin ja valitse siitä ne solut, joiden eron arvo on välillä 2 ja 5:

Myönteisten tulosten määrä (taulukossa varjostettujen solujen määrä) on m=10, yhtä mahdollisten alkeistulosten kokonaismäärä on n=36. Määrittää tapahtuman todennäköisyyden: P=10/36=5/18.

Yksinkertaisen tapahtuman tapauksessa ja heittäessäsi 2 noppaa sinun on rakennettava pöytä, valittava siitä tarvittavat solut ja jaettava niiden lukumäärä 36:lla, tätä pidetään todennäköisyydellä.

Takaisin eteenpäin

Huomio! Dian esikatselu on tarkoitettu vain tiedoksi, eikä se välttämättä edusta esityksen koko laajuutta. Jos olet kiinnostunut tästä työstä, lataa täysversio.

Pedagogiset tekniikat: Selittävän kuvitetun oppimisen tekniikka, tietotekniikka, opiskelijakeskeinen lähestymistapa oppimiseen, terveyttä säästävät tekniikat.

Oppitunnin tyyppi: oppitunti uuden tiedon hankkimiseksi.

Kesto: 1 oppitunti.

Arvosana: luokka 8.

Oppitunnin tavoitteet:

Opetusohjelmat:

• toista taidot soveltaa kaavaa tapahtuman todennäköisyyden löytämiseksi ja opeta soveltamaan sitä noppaongelmissa;
• suorittaa näyttöön perustuvaa päättelyä ongelmia ratkaistaessa, arvioida päättelyn loogista oikeellisuutta, tunnistaa loogisesti virheelliset päättelyt.

Kehitetään:

• kehittää tiedon etsimisen, käsittelyn ja esittämisen taitoja;
• kehittää kykyä vertailla, analysoida, tehdä johtopäätöksiä;
• kehittää havainnointi- ja viestintätaitoja.

Koulutuksellinen:

• kehittää tarkkaavaisuutta, sinnikkyyttä;
• muodostaa ymmärrys matematiikan merkityksestä keinona tuntea ympäröivää maailmaa.

Tuntivälineet: tietokone, multimedia, tussit, mimio-kopiolaite (tai interaktiivinen taulu), kirjekuori (sisältää käytännön tehtävän, läksyt, kolme korttia: keltainen, vihreä, punainen), noppamallit.

Tuntisuunnitelma

Ajan järjestäminen.

Edellisellä oppitunnilla tutustuimme klassiseen todennäköisyyskaavaan.

Satunnaistapahtuman A toteutumisen todennäköisyys P on m:n suhde n:ään, missä n on kokeen kaikkien mahdollisten tulosten lukumäärä ja m on kaikkien suotuisten tulosten lukumäärä.

Kaava on niin sanottu klassinen Laplacen mukainen todennäköisyysmääritelmä, joka tuli uhkapelialalta, jossa voittomahdollisuuden määrittämiseen käytettiin todennäköisyysteoriaa. Tätä kaavaa käytetään kokeisiin, joissa on äärellinen määrä yhtä mahdollisia tuloksia.

Tapahtuman todennäköisyys = myönteisten tulosten lukumäärä / kaikkien yhtä mahdollisten tulosten lukumäärä

Todennäköisyys on siis luku välillä 0 ja 1.

Todennäköisyys on 0, jos tapahtuma on mahdoton.

Todennäköisyys on 1, jos tapahtuma on varma.

Ratkaistaan ​​ongelma suullisesti: Kirjahyllyssä on 20 kirjaa, joista 3 on hakuteoksia. Millä todennäköisyydellä hyllyltä otettu kirja ei ole hakuteos?

Ratkaisu:

Yhtä todennäköisten tulosten kokonaismäärä on 20

Myönteisten tulosten lukumäärä - 20 - 3 = 17

Vastaus: 0,85.

2. Uuden tiedon hankkiminen.

Ja nyt palataan oppituntimme aiheeseen: "Tapahtumien todennäköisyys", allekirjoitetaan se muistikirjoihimme.

Oppitunnin tarkoitus: oppia ratkaisemaan ongelmia todennäköisyyden löytämiseksi noppaa tai 2 noppaa heittäessä.

Tämän päivän aiheemme liittyy noppiin tai sitä kutsutaan myös noppaksi. Noppa on tunnettu antiikista lähtien. Noppapeli on yksi vanhimmista, ensimmäiset nopan prototyypit löydettiin Egyptistä, ja ne ovat peräisin 1900-luvulta eKr. e. Lajikkeita on monia, yksinkertaisista (enemmän pisteitä heittänyt voittaa) monimutkaisiin, joissa voit käyttää erilaisia ​​pelitaktiikoita.

Vanhimmat luut ovat peräisin 1900-luvulta eKr. e., löydetty Thebesta. Aluksi luut toimivat ennustamisen välineenä. Arkeologisten kaivausten mukaan noppaa pelattiin kaikkialla maapallon joka kolkassa. Nimi tulee alkuperäisestä materiaalista - eläinten luista.

Muinaiset kreikkalaiset uskoivat, että lyydialaiset keksivät luut, jotka pakenivat nälkää, saadakseen ainakin jotain mieleen.

Noppapeli heijastui muinaisessa egyptiläisessä, kreikkalais-roomalaisessa ja vedalaisessa mytologiassa. Mainittu Raamatussa, Iliadissa, Odysseiassa, Mahabharatassa, vedalaisten hymnien kokoelmassa Rig Veda. Jumalien panteoneissa ainakin yksi jumala oli noppaa kiinteänä ominaisuutena http://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%EE%F1%F2%E8_%28%E8%E3%F0%E0%29 - cite_note-2 .

Rooman valtakunnan kaatumisen jälkeen peli levisi kaikkialle Eurooppaan, etenkin keskiajalla. Koska noppaa käytettiin paitsi pelaamiseen, myös ennustamiseen, kirkko yritti toistuvasti kieltää pelin, tähän tarkoitukseen keksittiin hienostuneimmat rangaistukset, mutta kaikki yritykset päättyivät epäonnistumiseen.

Arkeologisten tietojen mukaan noppaa pelattiin myös pakana-Venäjällä. Kasteen jälkeen ortodoksinen kirkko yritti hävittää pelin, mutta tavallisten ihmisten keskuudessa se pysyi suosittuna, toisin kuin Euroopassa, jossa korkein aatelisto ja jopa papisto teki syntiä nopalla.

Eri maiden viranomaisten noppapelille julistama sota on synnyttänyt monia erilaisia ​​huijaustemppuja.

Valistuksen aikana intohimo noppaa kohtaan väheni vähitellen, ihmiset saivat uusia harrastuksia, kiinnostuivat kirjallisuudesta, musiikista ja maalauksesta. Nyt noppapeli ei ole niin laajalle levinnyt.

Tavalliset nopat tarjoavat saman mahdollisuuden saada kasvot. Tätä varten kaikkien pintojen on oltava samat: sileät, tasaiset, niillä on sama pinta-ala, fileet (jos sellaisia ​​​​on), reiät on porattava samaan syvyyteen. Vastakkaisten pintojen pisteiden summa on 7.

Todennäköisyysteoriassa käytetty matemaattinen noppa on tavanomaisen nopan matemaattinen esitys. Matemaattinen luulla ei ole kokoa, väriä, painoa jne.

Kun heitetään pelaaminen luut(kuutio) mikä tahansa sen kuudesta pinnasta voi pudota, ts. mikä tahansa niistä Tapahtumat- tappio 1-6 pistettä (pistettä). Mutta ei yhtään kaksi ja useampia kasvoja ei voi ilmestyä samanaikaisesti. Sellainen kehitystä kutsutaan yhteensopimattomiksi.

Harkitse tapausta, jossa 1 noppaa heitetään. Tehdään numero 2 taulukon muodossa.

Harkitse nyt tapausta, jossa heitetään 2 noppaa.

Jos yksi piste putosi ensimmäisestä nopasta, niin toisesta voi pudota 1, 2, 3, 4, 5, 6. Saamme parit (1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4) , (1;5), (1;6) ja niin edelleen kummallakin pinnalla. Kaikki tapaukset voidaan esittää taulukkona, jossa on 6 riviä ja 6 saraketta:

Taulukko alkeistapahtumista

Sinulla on kirjekuori pöydälläsi.

Ota työarkki kirjekuoresta.

Nyt suoritat käytännön tehtävän alkeistapahtumataulukon avulla.

Näytä varjostamalla tapahtumat tapahtumille suotuisiksi:

Tehtävä 1. "Sama määrä pisteitä putosi";

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Tehtävä 2. ”Pisteiden summa on 7”;

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Tehtävä 3. ”Pisteiden summa on vähintään 7”.

Mitä "ei vähempää" tarkoittaa? (Vastaus on "suurempi tai yhtä suuri")

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Ja nyt etsitään niiden tapahtumien todennäköisyydet, joille suotuisia tapahtumia varjostettiin käytännön työssä.

Kirjoitetaan vihkoon nro 3

Harjoitus 1.

Tulosten kokonaismäärä - 36

Vastaus: 1/6.

Tehtävä 2.

Tulosten kokonaismäärä - 36

Myönteisten tulosten määrä - 6

Vastaus: 1/6.

Tehtävä 3.

Tulosten kokonaismäärä - 36

Myönteisten tulosten määrä - 21

P \u003d 21/36 \u003d 7/12.

Vastaus: 7/12.

№4. Sasha ja Vlad pelaavat noppaa. Jokainen heittää noppaa kahdesti. Se, jolla on eniten pisteitä, voittaa. Jos pisteet ovat tasan, peli päättyy tasapeliin. Sasha heitti ensimmäisenä noppaa, ja hän heitti 5 pistettä ja 3 pistettä. Nyt Vlad heittää noppaa.

a) Merkitse alkeistapahtumien taulukkoon (varjostetut) alkeistapahtumat, jotka suosivat tapahtumaa "Vlad voittaa".

b) Laske tapahtuman "Vlad voittaa" todennäköisyys.

3. Liikuntakasvatus.

Jos tapahtuma on luotettava, taputamme kaikki yhdessä,

Jos tapahtuma on mahdoton - me kaikki tallaamme yhdessä,

Jos tapahtuma on satunnainen - pudista päätäsi / oikea-vasen

"Korissa on 3 omenaa (2 punaista, 1 vihreä).

3 punaista vedettiin ulos korista - (mahdotonta)

Punainen omena vedettiin ulos korista - (satunnainen)

Vihreä omena vedettiin ulos korista - (satunnainen)

2 punaista ja 1 vihreä vedettiin ulos korista - (aito)

Päätetään seuraava numero.

Kelvollista noppaa heitetään kahdesti. Kumpi tapahtuma on todennäköisempi:

V: "5 pistettä heitettiin molemmilla kerroilla";

K: "Ensimmäisellä kerralla putosi 2 pistettä, toisella 5 pistettä";

S: "Yksi heitti 2 pistettä, yksi heitti 5 pistettä"?

Analysoidaan tapahtumaa A: lopputulosten kokonaismäärä on 36, myönteisten tulosten määrä on 1 (5; 5)

Analysoidaan tapahtumaa B: lopputulosten kokonaismäärä on 36, myönteisten tulosten määrä on 1 (2; 5)

Analysoidaan tapahtumaa C: lopputulosten kokonaismäärä on 36, myönteisten tulosten määrä on 2 (2; 5 ja 5; 2)

Vastaus: tapahtuma C.

4. Lausunto kotitehtävistä.

1. Leikkaa skannaus, liimaa kuutiot. Tuo se seuraavalle oppitunnille.

2. Suorita 25 heittoa. Kirjaa tulokset taulukkoon: (seuraavalla oppitunnilla voit esitellä taajuuden käsitteen)

3. Ratkaise ongelma: Heitä kaksi noppaa. Laske todennäköisyys:

a) "Pisteiden summa on 6";

b) "Pisteiden summa on vähintään 5";

c) "Ensimmäisessä luussa on enemmän pisteitä kuin toisessa."

Klassisessa määritelmässä tapahtuman todennäköisyys määritellään tasa-arvolla

missä m - tapahtuman A esiintymistä vastaavien perustestin tulosten lukumäärä; n on mahdollisten perustestin tulosten kokonaismäärä. Oletetaan, että perustulokset ovat ainutlaatuisen mahdollisia ja yhtä mahdollisia.

Tapahtuman A suhteellinen esiintymistiheys määräytyy yhtälön perusteella

missä m on niiden kokeiden lukumäärä, joissa tapahtuma A tapahtui; n on suoritettujen testien kokonaismäärä. Tilastollisessa määritelmässä tapahtuman suhteellinen esiintyvyys on otettu tapahtuman todennäköisyydeksi.

Esimerkki 1.1. Kaksi noppaa heitetään. Selvitä todennäköisyys, että pudotettujen pintojen pisteiden summa on parillinen ja vähintään yhden nopan kyljessä näkyy kuusi.

Ratkaisu."Ensimmäisen" nopan pudonneelle pinnalle voi ilmestyä yksi piste, kaksi pistettä, ..., kuusi pistettä. Vastaavasti kuusi perustulosta on mahdollista heitettäessä "toista" noppaa. Jokainen "ensimmäinen" meistinrullatulos voidaan yhdistää kuhunkin "toiseen" meistinrullatulokseen. Testin mahdollisten perustulosten kokonaismäärä on siis 6∙6 = 36.

Meitä kiinnostavan tapahtuman suotuisat tulokset (ainakin toisella puolella näkyy kuusi, pudonneiden pisteiden summa on parillinen) ovat seuraavat viisi tulosta (ensimmäinen on "ensimmäiseen" noppaan putoavien pisteiden määrä, toinen on pisteiden määrä, jotka putosivat "toiseen" kuoppaan; sitten niiden pisteiden summa:

1.6, 2, 6 + 2 = 8,

2.6, 4, 6 + 4 = 10,

3.6, 6, 6 + 6 = 12.

4.2, 6, 2 + 6 = 8,

5.4, 6, 4 + 6 = 10.

Haluttu todennäköisyys on yhtä suuri kuin tapahtumaa suosivien tulosten lukumäärän suhde kaikkien mahdollisten perustulosten määrään:

Tehtävä 1.1Kaksi noppaa heitetään. Laske todennäköisyys, että pudonneiden pintojen pisteiden summa on seitsemän.

Tehtävä 1.2.Kaksi noppaa heitetään. Laske seuraavien tapahtumien todennäköisyys: a) kierrettyjen pisteiden summa on kahdeksan ja ero on neljä, b) kierrettyjen pisteiden summa on kahdeksan, jos tiedetään, että niiden ero on yhtä suuri neljä.

Tehtävä 1.3.Kaksi noppaa heitetään. Laske todennäköisyys, että pudonneiden pintojen pisteiden summa on viisi ja tulo on neljä.

Tehtävä 1.4. Kolikkoa käännetään kahdesti. Laske todennäköisyys, että vaakuna esiintyy ainakin kerran.

Tarkastellaan seuraavaksi esimerkkiä, jossa objektien määrä kasvaa ja sen seurauksena sekä perustulosten että suotuisten tulosten kokonaismäärä kasvaa, ja niiden lukumäärä määräytyy jo yhdistelmä- ja sijoituskaavojen avulla.

Esimerkki 1.2 Laatikko sisältää 10 identtistä osaa, merkitty numeroilla 1, 2, ..., 10. 6 osaa otetaan satunnaisesti. Laske todennäköisyys, että poimittujen osien joukossa on: a) osa nro 1; b) tiedot nro 1 ja nro 2.

Ratkaisu.Testin mahdollisten alkeistulosten kokonaismäärä on yhtä monta tapaa (yhdistelmiä), joilla 10:stä voidaan poimia 6 yksityiskohtaa, ts. 6 10 alkaen.

a) Lasketaan meitä kiinnostavaa tapahtumaa suosivien lopputulosten lukumäärä: valitun kuuden osan joukossa on osa nro 1 ja sen vuoksi loput 5 osaa ovat eri numeroita. Tällaisten tulosten määrä on ilmeisesti sama kuin kuinka monta tapaa voidaan valita 5 osaa jäljellä olevista 9:stä, ts. 59 alkaen.

Haluttu todennäköisyys on yhtä suuri kuin tarkasteltavaa tapahtumaa suosivien tulosten lukumäärän suhde mahdollisten perustulosten kokonaismäärään:

b) Meitä kiinnostavaa tapahtumaa suosivien tulosten määrä (valitun kuuden kohteen joukossa on kohta nro 1 ja kohta nro 2, joten lopuilla 4 tuotteella on eri numerot) on yhtä suuri kuin kuinka monta tapaa 4 kohdetta voidaan valita jäljellä olevista 8:sta, ts. 48 alkaen.

Haluttu todennäköisyys

.

Esimerkki 1.3 . Puhelinnumeroa valitessaan tilaaja unohti kolme viimeistä numeroa ja muistaen vain, että ne ovat erilaisia, valitsi ne satunnaisesti. Laske todennäköisyys, että oikeat numerot valitaan.

Ratkaisu.Mahdollisten 10 numeron alkeis-kolmielementtiyhdistelmien kokonaismäärä, jotka eroavat sekä koostumukseltaan että numerojärjestyksestä, on yhtä suuri kuin 10 numeron sijoittelujen lukumäärä kolmella, ts. A 310.

.

Hyvä tulos - yksi.

Haluttu todennäköisyys

Esimerkki 1.4. N osan erässä on n osaa standardi. Satunnaisesti valittu m yksityiskohdat. Etsi todennäköisyys, että valittujen joukossa tarkalleen k vakioosat.

Ratkaisu.Testin mahdollisten perustulosten kokonaismäärä on yhtä suuri kuin kuinka monta tapaa on mahdollista poimia m osaa N osasta, ts. C m N - yhdistelmien lukumäärä N m.

Lasketaan meitä kiinnostavaa tapahtumaa suosivien tulosten lukumäärä (mm m osaa täsmälleen k vakioosaa): k vakioosat voidaan ottaa n vakioosat C k n tapoja; kun taas loput m-k osien on oltava epästandardeja: ota sama m-k ei-standardi osat alkaen N–n Epätyypillisiä osia voidaan ottaa m-kN-n tavoilla. Siksi myönteisten tulosten määrä on C k n C m - k N - n .

Haluttu todennäköisyys on yhtä suuri kuin

Tehtävä 1.5.Myymälä työllistää 6 miestä ja 4 naista. 7 henkilöä valittiin satunnaisesti henkilömäärän perusteella. Laske todennäköisyys, että valittujen henkilöiden joukossa on 3 naista.

geometriset todennäköisyydet

Anna segmentin lon osa segmenttiä L. Segmentille Lsatunnainen piste. Jos oletetaan, että todennäköisyys sille, että piste putoaa segmenttiinlon verrannollinen tämän segmentin pituuteen, eikä se riipu sen sijainnista suhteessa segmenttiinL, sitten todennäköisyys, että piste putoaa janallelmääritellään tasa-arvolla

Anna litteän hahmon g on osa litteää hahmoa G. Kuvassa G piste heitetään satunnaisesti. Jos oletetaan, että heitetyn pisteen todennäköisyys osuu kuvioon g verrannollinen tämän luvun pinta-alaan eikä riipu sen sijainnista suhteessa G, eikä muodosta g , sitten todennäköisyys osua pisteen kuvassa g määritellään tasa-arvolla

Samalla tavalla määritetään todennäköisyys, että piste osuu tilakuvaan v , joka on osa kuviota V :

Esimerkki 1.5 Jaksolla L pituus 20 cm. sijoitettu pienempi segmentti l pituus 10 cm. Selvitä todennäköisyys, että suurelle segmentille sattumanvaraisesti sijoitettu piste putoaa myös pienempään segmenttiin.

Ratkaisu: Koska pisteen todennäköisyys osua segmenttiin on verrannollinen sen pituuteen eikä riipu sen sijainnista, käytämme yllä olevaa suhdetta ja löydämme:

Esimerkki 1.6 Ympyrässä, jonka säde on R asetti pienen säteen ympyrän r . Laske todennäköisyys, että suureen ympyrään sattumanvaraisesti heitetty piste putoaa myös pieneen ympyrään.

Ratkaisu: koska todennäköisyys, että piste putoaa ympyrään, on verrannollinen ympyrän pinta-alaan eikä riipu sen sijainnista, käytämme yllä olevaa suhdetta ja löydämme:

.

Ongelma 1.6. Ympyrän sisäsäde R piste heitetään satunnaisesti. Laske todennäköisyys, että piste on ympyrän sisällä, johon on piirretty: a) neliö; b) suorakulmainen kolmio. Oletetaan, että todennäköisyys, että piste putoaa ympyrän osaan, on verrannollinen tämän osan pinta-alaan eikä riipu sen sijainnista suhteessa ympyrään.

Ongelma 1.7. Nopeasti pyörivä levy on jaettu parilliseen määrään yhtä suuria sektoreita, jotka on värjätty vuorotellen valkoisena ja mustana. Levyä kohti ammuttiin laukaus. Selvitä todennäköisyys, että luoti osuu johonkin valkoisista sektoreista. Oletetaan, että litteään hahmoon osumisen todennäköisyys on verrannollinen tämän hahmon pinta-alaan.

Todennäköisyyksien yhteen- ja kertolaskulauseet

FROMyhteensopimattomien tapahtumien todennäköisyydet. Todennäköisyys, että toinen kahdesta yhteensopimattomasta tapahtumasta sattuu, riippumatta siitä kumpi, on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Seuraus. Todennäköisyys, että yksi useista pareittain yhteensopimattomista tapahtumista tapahtuu, riippumatta siitä, mikä niistä on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa:

P(A1 + A2 +…+ An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An).

Yhteisten tapahtumien todennäköisyyksien lisäys. Ainakin toisen kahdesta yhteisestä tapahtumasta todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa ilman niiden yhteisen esiintymisen todennäköisyyttä:

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB).

Lause voidaan yleistää mihin tahansa äärelliseen määrään yhteisiä tapahtumia. Esimerkiksi kolmeen yhteiseen tapahtumaan:

P (A + B + C) \u003d P (A) + P (B) + P (C) - P (AB) - P (AC) - P (BC) + P (ABC).

Riippumattomien tapahtumien todennäköisyyksien kertolaskulause. Kahden riippumattoman tapahtuman yhteistapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien tulo:

P(AB) = P(A)*P(B).

Seuraus. Todennäköisyys useiden yhteenlaskettuna riippumattomien tapahtumien yhteiselle esiintymiselle on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien tulo:

P (A1A2 ... An) \u003d P (A1) * P (A2) ... P (An).

Riippuvien tapahtumien todennäköisyyksien kertolaskulause. Kahden riippuvan tapahtuman yhteistapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin yhden niistä toisen ehdollisen todennäköisyyden tulo:

P (AB) \u003d P (A) * PA (B),

P (AB) \u003d P (B) * PB (A).

Seuraus. Usean riippuvaisen tapahtuman yhteistapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin yhden niistä kaikkien muiden ehdollisten todennäköisyyksien tulo, ja kunkin seuraavan tapahtuman todennäköisyydet lasketaan olettaen, että kaikki aikaisemmat tapahtumat lasketaan oletuksella, että kaikki aiemmat tapahtumat ovat jo ilmestyneet:

R(A1A2…An) = R(A1)*RA1(A2)*RA1A2(A3)…RA1A2…An-1(An),

jossa RA1A2…An-1(An) on tapahtuman An todennäköisyys, joka lasketaan olettaen, että tapahtumat А1А2…An-1 ovat tapahtuneet.

Esimerkki 1.7. Kirjaston hyllylle on satunnaisesti sijoitettu 15 oppikirjaa, joista 5 on sidottu. Kirjastonhoitaja ottaa satunnaisesti 3 oppikirjaa. Laske todennäköisyys, että ainakin yksi otetuista oppikirjoista sidotaan (tapahtuma A).

Ratkaisu. Vaatimus, että vähintään yksi otetuista oppikirjoista on sidottu, täyttyy, jos jokin seuraavista kolmesta yhteensopimattomasta tapahtumasta tapahtuu: B - yksi kirja sidottu, kaksi sitomatonta, C - kaksi sidottu kirjaa, yksi sitomaton, E - kolme kirjaa sidottu kovakantinen.

Meitä kiinnostava tapahtuma A (ainakin yksi kolmesta sidotetusta oppikirjasta) voidaan esittää kolmen tapahtuman summana:

A = B + C + D.

Yhteensopimattomien tapahtumien summauslauseella

p(A) = p(B) + p(C) + p(D) (1).

Etsitään tapahtumien B, C ja D todennäköisyydet (katso esimerkin 1.4 ratkaisu):

Kun nämä todennäköisyydet korvataan yhtälöllä (1), saadaan lopulta

p(A) = 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.

Esimerkki 1.8. Kuinka monta noppaa täytyy heittää, jotta voidaan olettaa, että alle 0,3:n todennäköisyydellä 6 pistettä ei ilmesty millään pudotetuista kasvoista?

Ratkaisu. Esitellään tapahtumien merkintä: A - 6 pistettä ei näy millään pudonneista kasvoista; Аi – 6 pistettä ei näy i:nnen nostan pudonneelle pinnalle (i = 1, 2, …n).

Meitä kiinnostava tapahtuma A koostuu tapahtumien yhdistelmästä

A1, A2, …, An

eli A \u003d A1A2 ... An.

Todennäköisyys, että muu luku kuin kuusi ilmestyy mille tahansa pudonneelle kasvoille on

p(Ai) = 5/6.

Tapahtumat Аi ovat toisistaan ​​riippumattomia, joten kertolaskulause pätee:

p(A) = p(A1A2…An) = p(A1)*p(A2)*…p(An) = (5/6)n.

Ehdolla (5/6)n< 0,3. Следовательно n*log(5/6) < log0,3, отсюда найдем n >6.6. Näin ollen vaadittu määrä noppia on n ≥ 7.

Esimerkki 1.9. Lukusalissa on 6 todennäköisyysteorian oppikirjaa, joista 3 on sidottu. Kirjastonhoitaja otti satunnaisesti kaksi oppikirjaa. Laske todennäköisyys, että molemmat oppikirjat sidotaan.

Ratkaisu. Esitetään tapahtumien merkintä: A - ensimmäisellä oppikirjalla on sidos, B - toisessa oppikirjassa on sidos.

Todennäköisyys, että ensimmäisessä oppikirjassa on sidonta,

p(A) = 3/6 = 1/2.

Todennäköisyys, että toinen oppikirja on sidottu, jos ensimmäinen kirja sidottiin, eli tapahtuman B ehdollinen todennäköisyys on:

pA(B) = 2/5.

Haluttu todennäköisyys, että molemmat oppikirjat ovat sidottu riippuvien tapahtumien todennäköisyyksien kertolaskulauseen mukaan, on yhtä suuri kuin

p (AB) \u003d p (A) * pA (B) = 1/2 * 2/5 \u003d 0,2.

Tehtävä 1.8 Kaksi ampujaa ampuu maaliin. Ensimmäisen metsästäjän todennäköisyys osua maaliin yhdellä laukauksella on 0,7 ja toisella - 0,8. Laske todennäköisyys, että yhdessä lentopallossa vain yksi metsästäjistä osuu maaliin.

Ongelma 1.9. Opiskelija etsii tarvitsemaansa kaavaa kolmesta hakuteoksesta. Todennäköisyys, että kaava sisältyy ensimmäiseen, toiseen ja kolmanteen hakemistoon, vastaavasti, on yhtä suuri kuin 0,6; 0,7; 0.8. Selvitä todennäköisyydet, että kaava sisältyy: a) vain yhteen hakemistoon; b) vain kahdessa hakemistossa; c) kaikissa hakemistoissa.

Tehtävä 1.10 . Myymälä työllistää 7 miestä ja 3 naista. 3 henkilöä valittiin satunnaisesti henkilömäärän mukaan. Laske todennäköisyys, että kaikki valitut henkilöt ovat miehiä.