Numeerisen sekvenssin käsite tarkoittaa, että jokainen luonnollinen luku vastaa jotakin todellista arvoa. Tällainen numerosarja voi olla sekä mielivaltainen että sillä voi olla tiettyjä ominaisuuksia - etenemistä. Jälkimmäisessä tapauksessa jokainen seuraava sekvenssin elementti (jäsen) voidaan laskea käyttämällä edellistä.

Aritmeettinen progressio on numeeristen arvojen sarja, jossa sen vierekkäiset jäsenet eroavat toisistaan ​​​​saman numeron verran (kaikilla sarjan elementeillä, alkaen toisesta, on samanlainen ominaisuus). Tämä luku - edellisen ja seuraavan jäsenen välinen ero - on vakio ja sitä kutsutaan etenemiseroksi.

Etenemisero: määritelmä

Tarkastellaan jonoa, joka koostuu j-arvoista A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j kuuluu luonnollisten lukujen joukkoon N. Aritmeettinen progressio, määritelmänsä mukaan sekvenssi , jossa a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) - a(j-1) = d. D:n arvo on tämän etenemisen haluttu ero.

d = a(j) - a(j-1).

Varaa:

• Kasvava eteneminen, jolloin d > 0. Esimerkki: 4, 8, 12, 16, 20, …
• hidastava eteneminen, sitten d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Etenemisen ero ja sen mielivaltaiset elementit

Jos tunnetaan etenemisen 2 mielivaltaista jäsentä (i-th, k-th), tämän sekvenssin ero voidaan määrittää suhteen perusteella:

a(i) = a(k) + (i - k)*d, joten d = (a(i) - a(k))/(i-k).

Etenemisero ja sen ensimmäinen termi

Tämä lauseke auttaa määrittämään tuntemattoman arvon vain tapauksissa, joissa sekvenssielementin numero tunnetaan.

Etenemisero ja sen summa

Progression summa on sen ehtojen summa. Käytä vastaavaa kaavaa laskeaksesi sen ensimmäisen j-elementin kokonaisarvon:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, mutta koska a(j) = a(1) + d(j – 1), sitten S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(–1))/2)*j.

Jos jokainen luonnollinen luku n vastaa reaalilukua a n , sitten he sanovat, että annettu numerosarja :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Numeerinen järjestys on siis luonnollisen argumentin funktio.

Määrä a 1 nimeltään sekvenssin ensimmäinen jäsen , numero a 2 — sekvenssin toinen jäsen , numero a 3 — kolmas ja niin edelleen. Määrä a n nimeltään sekvenssin n:s jäsen , ja luonnollinen luku n — hänen numeronsa .

kahdelta naapurijäseneltä a n ja a n +1 jäsensekvenssit a n +1 nimeltään myöhemmin (kohti a n ), a a n — Edellinen (kohti a n +1 ).

Jos haluat määrittää sekvenssin, sinun on määritettävä menetelmä, jonka avulla voit löytää sekvenssin jäsenen millä tahansa numerolla.

Usein sekvenssi on annettu n. termikaavat , eli kaava, jonka avulla voit määrittää sekvenssin jäsenen sen numeron perusteella.

Esimerkiksi,

positiivisten parittomien lukujen sarja voidaan antaa kaavalla

a n= 2n- 1,

ja vuorottelun järjestys 1 ja -1 -kaava

b n = (-1)n +1 . ◄

Järjestys voidaan määrittää toistuva kaava, eli kaava, joka ilmaisee minkä tahansa sekvenssin jäsenen, alkaen joistakin, edellisten (yhden tai useamman) jäsenen kautta.

Esimerkiksi,

jos a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jos a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , sitten numerosarjan seitsemän ensimmäistä jäsentä asetetaan seuraavasti:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekvenssit voivat olla lopullinen ja loputon .

Sarjaa kutsutaan perimmäinen jos sillä on rajallinen määrä jäseniä. Sarjaa kutsutaan loputon jos sillä on äärettömän monta jäsentä.

Esimerkiksi,

kaksinumeroisten luonnollisten lukujen sarja:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

lopullinen.

Alkunumerojärjestys:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

loputon. ◄

Sarjaa kutsutaan lisääntyy , jos jokainen sen jäsenistä toisesta alkaen on suurempi kuin edellinen.

Sarjaa kutsutaan hiipumassa , jos jokainen sen jäsen toisesta alkaen on pienempi kuin edellinen.

Esimerkiksi,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . on nouseva sekvenssi;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . on laskeva sekvenssi. ◄

Kutsutaan jonoa, jonka alkiot eivät pienene lukumäärän kasvaessa tai päinvastoin eivät kasva monotoninen sarja .

Erityisesti monotoniset sekvenssit ovat kasvavia ja väheneviä sekvenssejä.

Aritmeettinen progressio

Aritmeettinen progressio kutsutaan sekvenssiä, jonka jokainen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen, johon lisätään sama numero.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

on aritmeettinen progressio jollekin luonnolliselle luvulle n ehto täyttyy:

a n +1 = a n + d,

missä d - joku numero.

Näin ollen tietyn aritmeettisen progression seuraavan ja edellisen jäsenen välinen ero on aina vakio:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Määrä d nimeltään aritmeettisen progression ero.

Aritmeettisen progression asettamiseen riittää, että määritetään sen ensimmäinen termi ja erotus.

Esimerkiksi,

jos a 1 = 3, d = 4 , niin sekvenssin viisi ensimmäistä termiä löytyy seuraavasti:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Aritmeettiselle progressiolle ensimmäisellä termillä a 1 ja ero d hänen n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Esimerkiksi,

etsi aritmeettisen progression kolmaskymmenes termi

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

sitten ilmeisesti

a n=	a n-1 + a n+1
	2

jokainen aritmeettisen progression jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellisen ja seuraavien jäsenten aritmeettinen keskiarvo.

luvut a, b ja c ovat jonkin aritmeettisen progression peräkkäisiä jäseniä, jos ja vain jos toinen niistä on yhtä suuri kuin kahden muun aritmeettinen keskiarvo.

Esimerkiksi,

a n = 2n- 7 , on aritmeettinen progressio.

Käytetään yllä olevaa lausetta. Meillä on:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Näin ollen

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Ota huomioon, että n Aritmeettisen progression -th jäsen löytyy paitsi kautta a 1 , mutta myös kaikki aikaisemmat a k

a n = a k + (n- k)d.

Esimerkiksi,

varten a 5 voidaan kirjoittaa

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

sitten ilmeisesti

a n=	a n-k +a n+k
	2

mikä tahansa aritmeettisen jakson jäsen, alkaen toisesta, on yhtä suuri kuin puolet tämän aritmeettisen progression jäsenten summasta, jotka ovat yhtä kaukana siitä.

Lisäksi jokaiselle aritmeettiselle progressiolle yhtälö on totta:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Esimerkiksi,

aritmeettisessa progressiossa

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, koska

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

ensimmäinen n aritmeettisen progression jäsenet on yhtä suuri kuin puolen ääriterminaalien summan tulo termien lukumäärällä:

Tästä seuraa erityisesti, että jos on tarpeen summata ehdot

a k, a k +1 , . . . , a n,

silloin edellinen kaava säilyttää rakenteensa:

Esimerkiksi,

aritmeettisessa progressiossa 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jos aritmeettinen progressio annetaan, niin suuret a 1 , a n, d, n jaS n yhdistää kaksi kaavaa:

Siksi, jos kolmen näistä suureista annetaan arvot, kahden muun suuren vastaavat arvot määritetään näistä kaavoista yhdistettynä kahden yhtälön järjestelmäksi, jossa on kaksi tuntematonta.

Aritmeettinen progressio on monotoninen sarja. Jossa:

• jos d > 0 , silloin se kasvaa;
• jos d < 0 , silloin se pienenee;
• jos d = 0 , sekvenssi pysyy paikallaan.

Geometrinen eteneminen

geometrinen eteneminen kutsutaan sekvenssiä, jonka jokainen termi toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen, kerrottuna samalla luvulla.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

on geometrinen progressio jollekin luonnolliselle luvulle n ehto täyttyy:

b n +1 = b n · q,

missä q ≠ 0 - joku numero.

Siten tämän geometrisen etenemisen seuraavan termin suhde edelliseen on vakioluku:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Määrä q nimeltään geometrisen progression nimittäjä.

Geometrisen progression asettamiseksi riittää, että määritetään sen ensimmäinen termi ja nimittäjä.

Esimerkiksi,

jos b 1 = 1, q = -3 , niin sekvenssin viisi ensimmäistä termiä löytyy seuraavasti:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 ja nimittäjä q hänen n -termi löytyy kaavasta:

b n = b 1 · qn -1 .

Esimerkiksi,

etsi geometrisen progression seitsemäs termi 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

sitten ilmeisesti

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

jokainen geometrisen progression jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellisen ja seuraavien jäsenten geometrinen keskiarvo (suhteellinen).

Koska myös päinvastoin on totta, seuraava väite pätee:

luvut a, b ja c ovat jonkin geometrisen progression peräkkäisiä jäseniä, jos ja vain jos toisen neliö on yhtä suuri kuin kahden muun tulo, eli toinen luvuista on kahden muun geometrinen keskiarvo.

Esimerkiksi,

Todistakaamme, että kaavan antama sekvenssi b n= -3 2 n , on geometrinen progressio. Käytetään yllä olevaa lausetta. Meillä on:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Näin ollen

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

joka todistaa vaaditun väitteen. ◄

Ota huomioon, että n Geometrisen progression termi löytyy paitsi kautta b 1 , mutta myös mikä tahansa aikaisempi termi b k , jolle riittää käyttää kaavaa

b n = b k · qn - k.

Esimerkiksi,

varten b 5 voidaan kirjoittaa

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

sitten ilmeisesti

b n 2 = b n - k· b n + k

minkä tahansa geometrisen progression jäsenen neliö toisesta alkaen on yhtä suuri kuin tämän etenemisen siitä yhtä kaukana olevien jäsenten tulo.

Lisäksi yhtäläisyys on totta kaikille geometrisille progressioille:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Esimerkiksi,

eksponentiaalisesti

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , koska

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

ensimmäinen n geometrisen progression jäseniä, joilla on nimittäjä q ≠ 0 lasketaan kaavalla:

Ja milloin q = 1 -kaavan mukaan

S n= Huom. 1

Huomaa, että jos meidän on laskettava ehdot yhteen

b k, b k +1 , . . . , b n,

sitten käytetään kaavaa:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

Esimerkiksi,

eksponentiaalisesti 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jos geometrinen progressio on annettu, niin suuret b 1 , b n, q, n ja S n yhdistää kaksi kaavaa:

Siksi, jos minkä tahansa kolmen näiden suureiden arvot annetaan, kahden muun suuren vastaavat arvot määritetään näistä kaavoista yhdistettynä kahden yhtälön järjestelmäksi, jossa on kaksi tuntematonta.

Geometriselle etenemiselle ensimmäisellä termillä b 1 ja nimittäjä q tapahtuu seuraavaa monotonisuusominaisuudet :

• eteneminen lisääntyy, jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy:

b 1 > 0 ja q> 1;

b 1 < 0 ja 0 < q< 1;

• Eteneminen vähenee, jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy:

b 1 > 0 ja 0 < q< 1;

b 1 < 0 ja q> 1.

Jos q< 0 , silloin geometrinen eteneminen on etumerkkivuorottelua: sen parittomilla termeillä on sama etumerkki kuin ensimmäisellä termillä ja parillisilla termeillä on päinvastainen etumerkki. On selvää, että vuorotteleva geometrinen eteneminen ei ole monotoninen.

Ensimmäisen tuote n geometrisen progression termit voidaan laskea kaavalla:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Esimerkiksi,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Portaattomasti pienenevä geometrinen eteneminen

Portaattomasti pienenevä geometrinen eteneminen kutsutaan äärettömäksi geometriseksi progressioksi, jonka nimittäjämoduuli on pienempi kuin 1 , tuo on

|q| < 1 .

Huomaa, että äärettömästi pienenevä geometrinen progressio ei välttämättä ole vähenevä sarja. Tämä sopii tapaukseen

1 < q< 0 .

Tällaisella nimittäjällä sekvenssi on merkki-vuorotteleva. Esimerkiksi,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Äärettömästi pienenevän geometrisen progression summa nimeä numero, johon ensimmäisen summa on n etenemisen kannalta rajoittamattoman määrän kasvun kanssa n . Tämä luku on aina äärellinen ja ilmaistaan ​​kaavalla

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Esimerkiksi,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmeettisen ja geometrisen progression välinen suhde

Aritmeettinen ja geometrinen progressio liittyvät läheisesti toisiinsa. Tarkastellaan vain kahta esimerkkiä.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , sitten

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Esimerkiksi,

1, 3, 5, . . . — aritmeettinen eteneminen erotuksen kanssa 2 ja

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . on geometrinen progressio, jossa on nimittäjä 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . on geometrinen progressio, jossa on nimittäjä q , sitten

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — aritmeettinen eteneminen erotuksen kanssa kirjaudu aq .

Esimerkiksi,

2, 12, 72, . . . on geometrinen progressio, jossa on nimittäjä 6 ja

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmeettinen eteneminen erotuksen kanssa lg 6 . ◄

Aritmeettisen progression summa.

Aritmeettisen progression summa on yksinkertainen asia. Sekä merkityksessä että kaavassa. Mutta tähän aiheeseen liittyy kaikenlaisia ​​tehtäviä. Peruskoulusta melko kiinteään.

Ensin käsitellään summan merkitystä ja kaavaa. Ja sitten päätetään. Omaksi iloksesi.) Summan merkitys on yhtä yksinkertainen kuin alentaminen. Löytääksesi aritmeettisen progression summan, sinun on vain lisättävä huolellisesti kaikki sen jäsenet. Jos näitä termejä on vähän, voit lisätä ilman kaavoja. Mutta jos niitä on paljon tai paljon... lisääminen on ärsyttävää.) Tässä tapauksessa kaava säästää.

Summakaava on yksinkertainen:

Selvitetään, millaisia ​​kirjaimia kaava sisältää. Tämä selventää paljon.

S n on aritmeettisen progression summa. Lisäyksen tulos kaikki jäseniä, kanssa ensimmäinen päällä kestää. On tärkeää. Lisää täsmälleen kaikki jäseniä peräkkäin, ilman aukkoja ja hyppyjä. Ja nimenomaan alkaen ensimmäinen. Ongelmissa, kuten kolmannen ja kahdeksannen ehdon summan tai termien viidestä kahdeskymmenesosaan summan löytäminen, kaavan suora soveltaminen on pettymys.)

a 1 - ensimmäinen etenemisen jäsen. Täällä kaikki on selvää, se on yksinkertaista ensimmäinen rivin numero.

a n- viimeinen etenemisen jäsen. Rivin viimeinen numero. Ei kovin tuttu nimi, mutta määrään käytettynä se on erittäin sopiva. Sitten näet itse.

n on viimeisen jäsenen numero. On tärkeää ymmärtää, että kaavassa tämä numero sama kuin lisättyjen termien määrä.

Määritellään käsite kestää jäsen a n. Täytekysymys: millainen jäsen tulee kestää, jos annetaan loputon aritmeettinen progressio?

Luotettavan vastauksen saamiseksi sinun on ymmärrettävä aritmeettisen progression alkeismerkitys ja ... lue tehtävä huolellisesti!)

Tehtävässä löytää aritmeettisen progression summa, viimeinen termi esiintyy aina (suoraan tai epäsuorasti), joita pitäisi rajoittaa. Muuten rajallinen, tietty määrä ei vain ole olemassa. Ratkaisun kannalta ei ole väliä, millainen progressio annetaan: äärellinen vai ääretön. Ei ole väliä miten se annetaan: numerosarjalla vai n:nnen jäsenen kaavalla.

Tärkeintä on ymmärtää, että kaava toimii etenemisen ensimmäisestä jäsenestä numeron sisältävään jäseneen n. Itse asiassa kaavan koko nimi näyttää tältä: aritmeettisen progression n ensimmäisen ehdon summa. Näiden aivan ensimmäisten jäsenten lukumäärä, ts. n, määräytyy yksinomaan tehtävän mukaan. Tehtävässä kaikki tämä arvokas tieto on usein salattu, kyllä ​​... Mutta ei mitään, alla olevissa esimerkeissä paljastamme nämä salaisuudet.)

Esimerkkejä tehtävistä aritmeettisen progression summalle.

Ensinnäkin hyödyllistä tietoa:

Aritmeettisen progression summan tehtävien suurin vaikeus on kaavan elementtien oikea määrittäminen.

Tehtävien tekijät salaavat juuri nämä elementit rajattomalla mielikuvituksella.) Tärkeintä tässä ei ole pelätä. Elementtien olemuksen ymmärtäminen riittää vain niiden tulkitsemiseen. Tarkastellaanpa muutamia esimerkkejä yksityiskohtaisesti. Aloitetaan tehtävällä, joka perustuu todelliseen GIA:han.

1. Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdolla: a n = 2n-3.5. Etsi 10 ensimmäisen ehdon summa.

Hyvää työtä. Helppoa.) Mitä meidän on tiedettävä, jotta voimme määrittää määrän kaavan mukaan? Ensimmäinen jäsen a 1, viime kausi a n, kyllä ​​viimeisen termin numero n.

Mistä saa viimeisen jäsennumeron n? Kyllä, siellä kunnossa! Siinä lukee, että etsi summa 10 ensimmäistä jäsentä. No mikä numero tulee olemaan kestää, kymmenes jäsen?) Et usko sitä, hänen numeronsa on kymmenes!) Siksi sen sijaan a n korvaamme kaavan a 10, sen sijaan n- kymmenen. Jälleen viimeisen jäsenen lukumäärä on sama kuin jäsenten lukumäärä.

Se on vielä määritettävä a 1 ja a 10. Tämä on helppo laskea n:nnen termin kaavalla, joka on annettu tehtävälausekkeessa. Etkö tiedä miten se tehdään? Vieraile edellisellä oppitunnilla, ilman tätä - ei mitään.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Selvitimme aritmeettisen progression summan kaavan kaikkien elementtien merkityksen. On vielä korvattava ne ja laskettava:

Siinä kaikki. Vastaus: 75.

Toinen tehtävä, joka perustuu GIA:han. Hieman monimutkaisempi:

2. Annettu aritmeettinen progressio (a n), jonka ero on 3,7; a 1 \u003d 2.3. Etsi 15 ensimmäisen ehdon summa.

Kirjoitamme välittömästi summakaavan:

Tämän kaavan avulla voimme löytää minkä tahansa termin arvon sen numeron perusteella. Etsimme yksinkertaista korvaavaa:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Jäljelle jää korvata kaikki kaavan elementit aritmeettisen etenemisen summalla ja laskea vastaus:

Vastaus: 423.

Muuten, jos summakaavassa sen sijaan a n vain korvaamalla n:nnen termin kaavan, saamme:

Annamme samanlaisia, saamme uuden kaavan aritmeettisen progression jäsenten summalle:

Kuten näet, n:ttä termiä ei vaadita tässä. a n. Joissakin tehtävissä tämä kaava auttaa paljon, kyllä... Voit muistaa tämän kaavan. Ja voit yksinkertaisesti peruuttaa sen oikeaan aikaan, kuten täällä. Loppujen lopuksi summan kaava ja n:nnen termin kaava on muistettava kaikin tavoin.)

Nyt tehtävä lyhyen salauksen muodossa):

3. Laske kaikkien positiivisten kaksinumeroisten lukujen summa, jotka ovat kolmen kerrannaisia.

Miten! Ei ensimmäistä jäsentä, ei viimeistä, ei edistymistä ollenkaan... Kuinka elää!?

Sinun on mietittävä päälläsi ja vedettävä ehdosta kaikki aritmeettisen progression summan elementit. Mitä ovat kaksinumeroiset luvut - tiedämme. Ne koostuvat kahdesta numerosta.) Mikä kaksinumeroinen luku tulee ensimmäinen? 10, luultavasti.) viimeinen asia kaksinumeroinen numero? 99 tietysti! Kolminumeroiset seuraavat häntä...

Kolmen kerrannaiset... Hm... Nämä ovat numeroita, jotka ovat tasan kolmella jaollisia, tässä! Kymmenen ei ole jaollinen kolmella, 11 ei ole jaollinen... 12... on jaollinen! Jotain on siis tulossa. Voit jo kirjoittaa sarjan ongelman tilanteen mukaan:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Onko tämä sarja aritmeettinen progressio? Tietysti! Jokainen termi eroaa edellisestä tiukasti kolmella. Jos termiin lisätään 2 tai 4, sanotaan tulos, ts. uutta lukua ei enää jaeta kolmella. Voit määrittää välittömästi aritmeettisen etenemisen eron kasaan: d = 3. Hyödyllinen!)

Joten voimme turvallisesti kirjoittaa muistiin joitain etenemisparametreja:

Mikä tulee olemaan numero n viimeinen jäsen? Jokainen, joka luulee, että 99, on kohtalokkaasti väärässä... Numerot - ne menevät aina peräkkäin, ja jäsenemme hyppäävät kolmen parhaan yli. Ne eivät sovi yhteen.

Tässä on kaksi ratkaisua. Yksi tapa on erittäin ahkeralle. Voit maalata etenemisen, koko numerosarjan ja laskea termien lukumäärän sormella.) Toinen tapa on harkitseville. Sinun on muistettava n:nnen termin kaava. Jos kaavaa sovelletaan ongelmaamme, saamme, että 99 on etenemisen kolmaskymmenes jäsen. Nuo. n = 30.

Tarkastellaan aritmeettisen progression summan kaavaa:

Katsomme ja iloitsemme.) Poimimme ongelman tilasta kaiken määrän laskemiseen tarvittavan:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Jäljelle jää perusaritmetiikka. Korvaa luvut kaavassa ja laske:

Vastaus: 1665

Toinen suosittu pulmapelityyppi:

4. Aritmeettinen progressio annetaan:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Etsi termien summa kahdeskymmenes-kolmekymmentäneljäs.

Katsomme summakaavaa ja... olemme järkyttyneitä.) Muistutan teitä, kaava laskee summan ensimmäisestä jäsen. Ja ongelmassa sinun on laskettava summa 20:sta lähtien... Kaava ei toimi.

Voit toki maalata koko etenemisen peräkkäin ja laittaa jäsenet 20:stä 34:ään. Mutta... jotenkin se menee tyhmäksi ja pitkäksi aikaa, eikö?)

On olemassa tyylikkäämpi ratkaisu. Jaetaan sarjamme kahteen osaan. Ensimmäinen osa tulee ensimmäisestä lukukaudesta yhdeksänteentoista. Toinen osa - kahdestakymmenestä kolmeenkymmeneen neljään. On selvää, että jos laskemme ensimmäisen osan ehtojen summan S 1-19, lisätään se toisen osan jäsenten summaan S 20-34, saamme etenemisen summan ensimmäisestä termistä kolmeenkymmeneenneljänteen S 1-34. Kuten tämä:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Tämä osoittaa, että löytää summa S 20-34 voidaan tehdä yksinkertaisella vähennyksellä

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Molemmat oikealla puolella olevat summat otetaan huomioon ensimmäisestä jäsen, ts. vakiosummakaava soveltuu hyvin niihin. Aloitammeko?

Poimimme etenemisparametrit tehtävän ehdosta:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Ensimmäisten 19 ja 34 ensimmäisen ehdon summan laskemiseksi tarvitsemme 19. ja 34. ehdon. Laskemme ne n:nnen termin kaavan mukaan, kuten tehtävässä 2:

a 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

a 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Ei ole mitään jäljellä. Vähennä 19 ehdon summa 34 ehdon summasta:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Vastaus: 262,5

Yksi tärkeä huomio! Tämän ongelman ratkaisemisessa on erittäin hyödyllinen ominaisuus. Suoran laskennan sijaan mitä tarvitset (S 20-34), laskimme mitä ei ilmeisesti tarvita - S 1-19. Ja sitten he päättivät S 20-34, hylkäämällä tarpeettoman kokonaisesta tuloksesta. Tällainen "korvien pettäminen" pelastaa usein pahoissa arvoitteluissa.)

Tällä oppitunnilla tarkastelimme tehtäviä, joissa riittää ymmärtää aritmeettisen progression summan merkitys. No, sinun täytyy tietää pari kaavaa.)

Käytännön neuvoja:

Kun ratkaiset minkä tahansa tehtävän aritmeettisen progression summalle, suosittelen heti kirjoittamaan kaksi pääkaavaa tästä aiheesta.

N:nnen termin kaava:

Nämä kaavat kertovat heti, mitä etsiä, mihin suuntaan ajatella ongelman ratkaisemiseksi. Auttaa.

Ja nyt itsenäisen ratkaisun tehtävät.

5. Laske kaikkien niiden kaksinumeroisten lukujen summa, jotka eivät ole jaollisia kolmella.

Hienoa?) Vihje on piilotettu muistiinpanoon tehtävään 4. No, tehtävä 3 auttaa.

6. Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdolla: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Etsi 24 ensimmäisen ehdon summa.

Epätavallinen?) Tämä on toistuva kaava. Voit lukea siitä edellisellä oppitunnilla. Älä jätä linkkiä huomiotta, tällaisia ​​arvoituksia löytyy usein GIA:sta.

7. Vasya säästi rahaa lomaa varten. Jopa 4550 ruplaa! Ja päätin antaa rakkaimmalle henkilölle (itselleni) muutaman päivän onnea). Elä kauniisti kieltämättä itseltäsi mitään. Käytä 500 ruplaa ensimmäisenä päivänä ja kuluta 50 ruplaa enemmän jokaisena seuraavana päivänä kuin edellisenä! Kunnes rahat loppuvat. Kuinka monta onnellista päivää Vasyalla oli?

Onko vaikeaa?) Tehtävän 2 lisäkaava auttaa.

Vastaukset (sekaisin): 7, 3240, 6.

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Monet ovat kuulleet aritmeettisesta progressiosta, mutta kaikki eivät tiedä, mitä se on. Tässä artikkelissa annamme sopivan määritelmän ja tarkastelemme myös kysymystä aritmeettisen progression eron löytämisestä ja annamme useita esimerkkejä.

Matemaattinen määritelmä

Joten jos puhumme aritmeettisesta tai algebrallisesta progressiosta (nämä käsitteet määrittelevät saman asian), tämä tarkoittaa, että on olemassa jokin lukusarja, joka täyttää seuraavan lain: sarjan jokainen kaksi vierekkäistä lukua eroaa saman arvon verran. Matemaattisesti tämä on kirjoitettu näin:

Tässä n tarkoittaa jonon alkion a n numeroa ja luku d on etenemisen erotus (sen nimi seuraa esitetystä kaavasta).

Mitä eron d tietäminen tarkoittaa? Kuinka kaukana toisistaan ​​vierekkäiset luvut ovat. Kuitenkin d:n tunteminen on välttämätön, mutta ei riittävä ehto koko etenemisen määrittämiseksi (palauttamiseksi). Sinun on tiedettävä vielä yksi luku, joka voi olla täysin mikä tahansa tarkasteltavan sarjan elementti, esimerkiksi 4, a10, mutta yleensä käytetään ensimmäistä numeroa, eli 1.

Kaavat etenemisen elementtien määrittämiseksi

Yleisesti ottaen yllä olevat tiedot ovat jo riittävät siirtymään tiettyjen ongelmien ratkaisemiseen. Kuitenkin, ennen kuin aritmeettinen progressio annetaan ja on tarpeen löytää sen ero, esitämme pari hyödyllistä kaavaa, mikä helpottaa myöhempää ongelmien ratkaisuprosessia.

On helppo osoittaa, että mikä tahansa sekvenssin elementti, jonka numero on n, löytyy seuraavasti:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

Jokainen voi todellakin tarkistaa tämän kaavan yksinkertaisella luettelolla: jos korvaamme n = 1, niin saamme ensimmäisen alkion, jos korvaamme n = 2, niin lauseke antaa ensimmäisen luvun ja erotuksen summan ja niin edelleen.

Monien tehtävien ehdot on koottu siten, että tunnetulle lukuparille, jonka numerot on myös annettu sekvenssissä, on tarpeen palauttaa koko lukusarja (etsi ero ja ensimmäinen alkio). Nyt ratkaisemme tämän ongelman yleisellä tavalla.

Oletetaan siis, että meille annetaan kaksi alkiota numeroilla n ja m. Yllä saatua kaavaa käyttämällä voimme muodostaa kahden yhtälön järjestelmän:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Tuntemattomien suureiden löytämiseksi käytämme hyvin tunnettua yksinkertaista menetelmää tällaisen järjestelmän ratkaisemiseksi: vähennämme vasen ja oikea osa pareittain, samalla kun yhtälö pysyy voimassa. Meillä on:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Siten olemme eliminoineet yhden tuntemattoman (a 1). Nyt voimme kirjoittaa lopullisen lausekkeen määrittääksemme d:n:

d = (a n - a m) / (n - m), missä n > m

Olemme saaneet hyvin yksinkertaisen kaavan: eron d laskemiseksi tehtävän ehtojen mukaisesti tarvitsee vain ottaa itse elementtien ja niiden sarjanumeroiden välisten erojen suhde. On syytä kiinnittää huomiota yhteen tärkeään kohtaan: erot otetaan "vanhempien" ja "junior" jäsenten välillä, eli n\u003e m ("senior" - tarkoittaa seisomista kauempana sekvenssin alusta, sen absoluuttinen arvo voi olla enemmän tai vähemmän "nuorempi" elementti).

Etenemisen eron d lauseke tulee korvata mihin tahansa yhtälöön tehtävän ratkaisun alussa, jotta saadaan ensimmäisen termin arvo.

Tietotekniikan kehityksen aikakaudella monet koululaiset yrittävät löytää ratkaisuja tehtäviinsä Internetistä, joten tämän tyyppisiä kysymyksiä herää usein: löydä aritmeettisen progression ero verkosta. Hakukone näyttää tällaisesta pyynnöstä joukon web-sivuja, joille siirtymällä sinun tulee syöttää ehdosta tunnetut tiedot (se voi olla joko kaksi etenemisen jäsentä tai joidenkin summa) ja saat vastauksen välittömästi. Siitä huolimatta tällainen lähestymistapa ongelman ratkaisemiseen on hyödytöntä opiskelijan kehityksen ja hänelle annetun tehtävän olemuksen ymmärtämisen kannalta.

Ratkaisu ilman kaavoja

Ratkaistaan ​​ensimmäinen ongelma, vaikka emme käytä mitään yllä olevista kaavoista. Olkoon sarjan alkiot: a6 = 3, a9 = 18. Selvitä aritmeettisen etenemisen ero.

Tunnetut elementit ovat lähellä toisiaan peräkkäin. Kuinka monta kertaa ero d on lisättävä pienimpään, jotta saadaan suurin? Kolme kertaa (ensimmäisen kerran lisäämällä d, saamme seitsemännen elementin, toisen kerran - kahdeksannen, lopulta, kolmannen kerran - yhdeksännen). Mikä luku pitää lisätä kolmeen kolme kertaa, jotta saadaan 18? Tämä on numero viisi. Todella:

Siten tuntematon ero on d = 5.

Tietysti ratkaisu voitiin tehdä sopivalla kaavalla, mutta sitä ei tehty tarkoituksella. Yksityiskohtaisen selityksen ongelman ratkaisusta pitäisi tulla selkeä ja elävä esimerkki siitä, mitä aritmeettinen progressio on.

Samanlainen tehtävä kuin edellinen

Ratkaistaan ​​nyt samanlainen ongelma, mutta muuta syöttötietoja. Joten sinun pitäisi löytää jos a3 = 2, a9 = 19.

Tietenkin voit turvautua uudelleen ratkaisumenetelmään "otsalla". Mutta koska sarjan elementit annetaan, jotka ovat suhteellisen kaukana toisistaan, tällainen menetelmä ei ole kovin kätevä. Mutta tuloksena olevan kaavan käyttäminen johtaa meidät nopeasti vastaukseen:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2,83

Tässä olemme pyöristäneet lopullisen luvun. Kuinka paljon tämä pyöristys johti virheeseen, voidaan arvioida tarkistamalla tulos:

a 9 = 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98

Tämä tulos eroaa vain 0,1 % ehdossa annetusta arvosta. Siksi pyöristämistä sadasosiksi voidaan pitää hyvänä valinnana.

Tehtävät kaavan soveltamiseksi jäsenelle

Tarkastellaan klassista esimerkkiä tuntemattoman d:n määritysongelmasta: selvitä aritmeettisen progression ero, jos a1 = 12, a5 = 40.

Kun annetaan kaksi numeroa tuntemattomasta algebrallisesta sekvenssistä ja yksi niistä on alkio a 1 , ei tarvitse miettiä pitkään, vaan kannattaa heti soveltaa kaavaa a n-jäsenelle. Tässä tapauksessa meillä on:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Saimme tarkan luvun jakaessa, joten ei ole mitään järkeä tarkistaa lasketun tuloksen tarkkuutta, kuten edellisessä kappaleessa tehtiin.

Ratkaistaan ​​toinen samanlainen ongelma: pitäisi löytää aritmeettisen progression ero, jos a1 = 16, a8 = 37.

Käytämme samanlaista lähestymistapaa kuin edellinen ja saamme:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Mitä muuta sinun pitäisi tietää aritmeettisesta etenemisestä

Tuntemattoman eron tai yksittäisten elementtien löytämiseen liittyvien ongelmien lisäksi on usein tarpeen ratkaista sekvenssin ensimmäisten termien summan tehtäviä. Näiden ongelmien tarkastelu ei kuulu artikkelin aihepiiriin, mutta tietojen täydellisyyden vuoksi esitämme yleisen kaavan sarjan n numeron summalle:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Aritmeettinen progressio nimeä numerosarja (etenemisen jäseniä)

Jossa jokainen seuraava termi eroaa edellisestä terästermillä, jota myös kutsutaan askel tai etenemisero.

Siten asettamalla etenemisen askel ja sen ensimmäinen termi, voit löytää minkä tahansa sen elementin kaavan avulla

Aritmeettisen progression ominaisuudet

1) Jokainen aritmeettisen progression jäsen toisesta numerosta alkaen on etenemisen edellisen ja seuraavan jäsenen aritmeettinen keskiarvo

Päinvastoin on myös totta. Jos etenemisen vierekkäisten parittomien (parillisten) jäsenten aritmeettinen keskiarvo on yhtä suuri kuin niiden välissä oleva jäsen, tämä lukusarja on aritmeettinen progressio. Tämän väitteen perusteella on erittäin helppo tarkistaa mikä tahansa järjestys.

Myös aritmeettisen etenemisen ominaisuuden perusteella yllä oleva kaava voidaan yleistää seuraavaan

Tämä on helppo tarkistaa, jos kirjoitamme termit yhtäläisyysmerkin oikealle puolelle

Sitä käytetään usein käytännössä yksinkertaistamaan laskutoimituksia tehtävissä.

2) Aritmeettisen etenemisen n ensimmäisen ehdon summa lasketaan kaavalla

Muista hyvin aritmeettisen progression summan kaava, se on välttämätön laskelmissa ja on melko yleinen yksinkertaisissa elämäntilanteissa.

3) Jos sinun ei tarvitse löytää koko summaa, vaan osa sekvenssistä alkaen sen k:nnestä jäsenestä, niin seuraava summakaava on hyödyllinen sinulle

4) Käytännön kiinnostavaa on löytää aritmeettisen progression n jäsenen summa alkaen k:nnesta luvusta. Käytä tätä varten kaavaa

Tähän teoreettinen materiaali päättyy ja siirrytään käytännössä yleisten ongelmien ratkaisemiseen.

Esimerkki 1. Etsi aritmeettisen progression neljäskymmenes termi 4;7;...

Ratkaisu:

Tilanteen mukaan meillä on

Määritellään etenemisvaihe

Tunnetun kaavan mukaan löydämme etenemisen neljäskymmenes termin

Esimerkki2. Aritmeettinen progressio annetaan sen kolmannella ja seitsemällä jäsenellä. Etsi progression ensimmäinen termi ja kymmenen summa.

Ratkaisu:

Kirjoitamme annetut etenemisen elementit kaavojen mukaan

Vähennämme ensimmäisen yhtälön toisesta yhtälöstä, minkä tuloksena löydämme etenemisaskeleen

Löytynyt arvo korvataan mihin tahansa yhtälöihin aritmeettisen etenemisen ensimmäisen termin löytämiseksi

Laske edistymisen kymmenen ensimmäisen ehdon summa

Ilman monimutkaisia ​​laskelmia löysimme kaikki vaaditut arvot.

Esimerkki 3. Aritmeettinen progressio annetaan nimittäjästä ja yhdestä sen jäsenistä. Etsi progression ensimmäinen termi, sen 50 termin summa alkaen 50 ja ensimmäisten 100 summa.

Ratkaisu:

Kirjoitetaan kaava etenemisen sadasosalle

ja löytää ensimmäinen

Ensimmäisen perusteella löydämme etenemisen 50. termin

Etenemisen osan summan löytäminen

ja ensimmäisen 100 summa

Jakson summa on 250.

Esimerkki 4

Etsi aritmeettisen progression jäsenten lukumäärä, jos:

a3-a1 = 8, a2 + a4 = 14, Sn = 111.

Ratkaisu:

Kirjoitamme yhtälöt etenemisen ensimmäisen termin ja askeleen mukaan ja määrittelemme ne

Korvaamme saadut arvot summakaavaan määrittääksemme termien lukumäärän summassa

Yksinkertaistusten tekeminen

ja ratkaise toisen asteen yhtälö

Kahdesta löydetystä arvosta vain numero 8 sopii ongelman tilaan. Näin ollen etenemisen kahdeksan ensimmäisen ehdon summa on 111.

Esimerkki 5

ratkaise yhtälö

1+3+5+...+x=307.

Ratkaisu: Tämä yhtälö on aritmeettisen progression summa. Kirjoitamme sen ensimmäisen termin ja löydämme etenemisen eron