Kombinatoorika võrgus ei seisa üksteise kõrval. Kombinatoorika põhivalemid

Tuleb märkida, et kombinatoorika on iseseisev haru kõrgem matemaatika Selles distsipliinis on kirjutatud (ja mitte osa tervest) ja kaalukaid õpikuid, mille sisu pole kohati sugugi lihtsam kui abstraktne algebra. Meile piisab aga väikesest osast teoreetilistest teadmistest ja selles artiklis püüan seda teha juurdepääsetav vorm analüüsida teema põhitõdesid tüüpiliste kombinatoorsete ülesannetega. Ja paljud teist aitavad mind ;-)

Mida me hakkame tegema? Kitsas tähenduses on kombinatoorika mitmesuguste kombinatsioonide arvutamine, mida saab teatud hulgast teha diskreetne objektid. Objektide all mõistetakse mis tahes isoleeritud objekte või elusolendeid – inimesi, loomi, seeni, taimi, putukaid jne. Samas ei huvita kombinatoorikat üldse, et komplekt koosneb mannataldrikust, jootekolbist ja rabakonnast. Põhimõtteliselt on oluline, et need objektid oleksid loendatavad – neid on kolm. (diskreetsus) ja on oluline, et ükski neist poleks sarnane.

Kui palju on lahendatud, siis nüüd kombinatsioonidest. Levinumad kombinatsioonitüübid on objektide permutatsioonid, nende valik komplektist (kombinatsioon) ja jaotus (paigutus). Vaatame, kuidas see praegu juhtub:

Permutatsioonid, kombinatsioonid ja paigutused ilma kordamiseta

Ärge kartke ebaselgeid termineid, eriti kuna mõned neist pole tõesti väga edukad. Alustame pealkirja sabast - mis tähendab " ilma kordamiseta"? See tähendab, et selles jaotises käsitleme komplekte, mis koosnevad mitmesugused objektid. Näiteks ... ei, jootekolvi ja konnaga putru ei paku, midagi maitsvamat on parem =) Kujutage ette, et teie ees lauale materialiseerusid õun, pirn ja banaan (kui on mis tahes, saab olukorda reaalselt simuleerida). Laotame puuviljad vasakult paremale järgmises järjekorras:

õun / pirn / banaan

Esimene küsimus: mitmel viisil saab neid ümber korraldada?

Üks kombinatsioon on juba ülalpool kirjutatud ja ülejäänutega pole probleeme:

õun / banaan / pirn
pirn / õun / banaan
pirn / banaan / õun
banaan / õun / pirn
banaan / pirn / õun

Kokku: 6 kombinatsiooni või 6 permutatsioonid.

Okei, kõike ei olnud raske siin loetleda. võimalikud juhtumid, aga mis siis, kui üksusi on rohkem? Juba nelja erineva viljaga suureneb kombinatsioonide arv oluliselt!

Ei mingit piina – 3 objekti saab mitmel viisil ümber paigutada.

Teine küsimus: mitmel viisil saate valida a) ühe puuvilja, b) kahte vilja, c) kolme puuvilja, d) vähemalt ühe puuvilja?

Miks valida? Nii et nad tekitasid eelmises lõigus isu – selleks, et süüa! a) Ühte puuvilja saab valida loomulikult kolmel viisil - võtke kas õun, pirn või banaan.

Ametlik loendus põhineb kombinatsioonide arvu valem:

Sel juhul tuleks kirjet mõista järgmiselt: "Mitmel viisil saate valida ühe puuvilja kolmest?"

b) Loetleme kõik võimalikud kahe puuvilja kombinatsioonid:

õun ja pirn;
õun ja banaan;
pirn ja banaan.

Kombinatsioonide arvu on lihtne kontrollida sama valemi abil:

Kirjet mõistetakse sarnaselt: "mitme viisil saate valida 2 puuvilja kolmest?".

c) Ja lõpuks saab valida kolm vilja ainus viis:

Muide, kombinatsioonide arvu valem on mõttekas ka tühja proovi jaoks:
Nii ei saa valida mitte ühtegi puuvilja – tegelikult ei võta midagi ja ongi kõik.

d) Mitmel viisil saate võtta vähemalt üks puuvilju? Tingimus "vähemalt üks" tähendab, et oleme rahul 1 puuviljaga (ükskõik millise) või 2 puuviljaga või kõigi 3 puuviljaga:
kuidas saate valida vähemalt ühe puuvilja.

Järgmisele küsimusele vastamiseks vajan kahte vabatahtlikku ... ... Noh, kuna keegi ei taha, siis ma helistan juhatusse =)

Kolmas küsimus: mitmel viisil saab Dašale ja Natašale ühte puuvilja jagada?

Kahe puuvilja levitamiseks peate need kõigepealt välja valima. Eelmise küsimuse lõigu "olla" järgi saab seda teha mitmel viisil, kirjutan need uuesti ümber:

õun ja pirn;
õun ja banaan;
pirn ja banaan.

Nüüd on aga kombinatsioone kaks korda rohkem. Mõelge näiteks esimesele puuviljapaarile:
võite ravida Dašat õunaga ja Natašat pirniga;
või vastupidi - Daša saab pirni ja Nataša saab õuna.

Ja selline permutatsioon on võimalik iga puuviljapaari jaoks.

Sel juhul see toimib paigutuse valem:

See erineb valemist selle poolest, et see võtab arvesse Mitte ainult mitme objekti valimise viiside arv, aga ka kõik objektide permutatsioonid igas võimalik proov. Seega on vaadeldavas näites oluline mitte ainult see, et saate lihtsalt valida näiteks pirni ja banaani, vaid ka seda, kuidas neid Daša ja Nataša vahel jaotatakse (paigutatakse).

Proovige hästi mõista erinevust permutatsioonide, kombinatsioonide ja paigutuste vahel. Lihtsaimatel juhtudel saate kõik võimalikud kombinatsioonid käsitsi ümber arvutada, kuid enamasti muutub see üle jõu käivaks ülesandeks, mistõttu peate mõistma valemite tähendust.

Samuti tuletan teile meelde, et nüüd räägime komplektist mitmesugused objektid ja kui õun/pirn/banaan asendatakse 3 õuna või isegi 3 väga sarnase õunaga, siis vaadeldava probleemi kontekstis arvestatakse neid ikkagi mitmesugused.

Vaatleme üksikasjalikumalt iga kombinatsiooni tüüpi:

Permutatsioonid

Permutatsioonid nimetatakse kombinatsioonideks samast mitmesugused objektid ja erinevad ainult nende paigutamise järjekorras. Kõikide võimalike permutatsioonide arv väljendatakse valemiga

Permutatsioonide eripäraks on see, et igaüks neist hõlmab KÕIK seada, see tähendab, Kõik objektid. Näiteks sõbralik perekond:

Ülesanne 1

Kui mitmel viisil saab 5 inimest laua taha istuda?

Lahendus: kasutage permutatsioonide arvu valemit:

Vastus: 120 viisi

Uskumatu aga tõsi. Pange tähele, et siin pole vahet, kas laud on ümmargune, kandiline või üldiselt istusid kõik inimesed ühe seina ääres pingil – ainult esemete arv ja nende vastastikune kokkulepe. Lisaks inimeste permuteerimisele tuleb sageli ette ka erinevate raamatute riiulil permuteerimise probleem, kuid see oleks isegi teekannu jaoks liiga lihtne:

2. ülesanne

Mitu neljakohalist arvu saab teha neljast kaardist numbritega 0, 5, 7, 9?

Neljakohalise numbri tegemiseks peate kasutama Kõik neli kaarti (numbrid, millelteistsugune! ) , ja see on väga oluline eeldus valemi rakendamisel Ilmselgelt saame kaarte ümber paigutades erinevad neljakohalised numbrid, ... oot, kas siin on kõik korras? ;-)

Mõelge probleemile hoolikalt läbi! Üldiselt see iseloomulik kombinatoorsed ja tõenäosuslikud probleemid – need PEAVAD MÕTLEMA. Ja mõelda sageli maiselt, nagu näiteks puuviljade sissejuhatava näite analüüsimisel. Ei, muidugi, ma ei kutsu üles muid matemaatika osi rumalalt välja töötama, kuid pean märkima, et sama integraalid Saab õppige otsustama puhtalt mehaaniline.

Lahendus ja vastus tunni lõpus.

Käive kasv:

Kombinatsioonid

Õpikud annavad kombinatsioonidele tavaliselt kokkuvõtliku ja mitte väga selge määratluse, seetõttu pole minu suus sõnastus eriti ratsionaalne, vaid loodan, et arusaadav:

Kombinatsioonid nimetage erinevaid objektide kombinatsioone, mis on valitud erinevate objektide hulgast ja mis erinevad üksteisest vähemalt ühe objekti poolest. Teisisõnu on üksik kombinatsioon ainulaadne elementide valik, milles nende järjekord pole oluline(asukoht). Selliste ainulaadsete kombinatsioonide koguarv arvutatakse valemiga .

3. ülesanne

Karbis on 15 osa. Mitmel viisil saab 4 osa võtta?

Lahendus: esiteks juhin taas tähelepanu asjaolule, et tingimuse loogika järgi arvestatakse detailidega mitmesugused- isegi kui need on tegelikult sama tüüpi ja visuaalselt samad (sel juhul võivad need olla näiteks nummerdatud) .

Ülesandes räägime valikust, mis koosneb 4 osast, milles nende "edasine saatus" ei oma tähtsust - jämedalt öeldes "valisid lihtsalt 4 tükki ja kõik." Seega on meil osade kombinatsioon. Loendame nende arvu:

Siin pole muidugi vaja suuri numbreid liigutada.
Sarnases olukorras soovitan kasutada järgmist nippi: valige nimetajas suurim faktoriaal (antud juhul ) ja vähendage murdosa selle võrra. Selleks tuleks lugejat esitada kujul . Kirjutan väga üksikasjalikult:

Karbist saab võtta 4 osa.

Veel kord, mida see tähendab? See tähendab, et 15 erinevast osast koosnevast komplektist saab valmistada tuhat kolmsada kuuskümmend viis ainulaadne 4 osa kombinatsioonid. See tähendab, et iga selline 4 osa kombinatsioon erineb teistest kombinatsioonidest vähemalt ühe detaili poolest.

Vastus: 1365 viisi

Valem tuleb tähelepanelik olla, kuna see on kombinatoorika "hitt". Samal ajal on kasulik mõista ja ilma arvutusteta üles kirjutada "äärmuslikud" väärtused: . Rakendatuna analüüsitud probleemile:

Ainus viis on võtta mitte ühtegi detaili;
kuidas saate võtta 1 osa (ükskõik milline 15-st);
viisid, kuidas saate 14 osa võtta (sel juhul jääb üks 15-st kasti);
- ainult nii saate võtta kõik viisteist osa.

Soovitan teil hoolikalt tutvuda Newtoni binoomi ja Pascali kolmnurgaga, mille järgi on muide väga mugav kontrollida arvutusi "en" väikeste väärtuste jaoks.

4. ülesanne

Mitmel viisil saab 36 kaardipakist valida 3 kaarti?

See on tee-seda-ise näide. Paljude kombinatoorsete probleemide puhul on meeldiv lühidus - peamine on mõista olemust. Ja olemus avaneb mõnikord erinevate nurkade alt. Vaatame väga õpetlikku näidet:

4. ülesanne

Inimene osaleb maleturniiril ja kõik mängivad kõigiga 1 partii. Mitu mängu turniiril mängiti?

Kuna ma ise mängin malet ja olen korduvalt osa võtnud ringturniiridest, siis orienteerusin kohe turniiritabeli järgi lahtrite suuruse järgi, milles arvestatakse iga partii tulemust kaks korda ja lisaks veel Peadiagonaali lahtrid on varjutatud (sest liikmed ei mängi iseendaga). Ülaltoodud arutluskäigu põhjal arvutatakse mängitud mängude koguarv valemiga . See otsus on täiesti õige. (vt vastavat failiValmislahenduste pank ) ja edasi pikka aega Unustasin selle põhimõttel "otsustatud, jah, okei".

Üks saidi külastajatest märkas aga, et tegelikult saate siin juhinduda kõige banaalsematest kombinatsioonidest:
erinevad paarid võivad koosneda rivaalidest (kes mängib valget, kes musta - vahet pole).

Samaväärne probleem puudutab kätlemist: osakonnas töötavad mehed ja kõik suruvad üksteisega kätt, mitu kätt nad teevad? Muide, ka maletajad suruvad enne iga partii omavahel kätt.

Noh, on kaks järeldust:

Esiteks ei ole kõik ilmselge ilmselge;

Ja teiseks, ärge kartke probleeme lahendada "kastist väljas"!

Suur tänu kirjade eest, need aitavad tõsta õppematerjalide kvaliteeti!

Majutuskohad

Või "täiustatud" kombinatsioonid. Paigutused nimetage erinevaid objektide kombinatsioone, mis on valitud paljude erinevate objektide hulgast ja mis erinevad üksteisest valimi objektide koostise poolest, nii ja nende järjekord. Paigutuste arv arvutatakse valemiga

Mis on meie elu? Mäng:

5. ülesanne

Borja, Dima ja Volodja istusid punkti mängima. Kui mitmel viisil saavad nad igaüks ühe kaardi välja jagada? (pakk sisaldab 36 kaarti)

Lahendus: olukord sarnaneb ülesandega 4, kuid erineb selle poolest, et oluline pole mitte ainult see, millised kolm kaarti kaardipakist välja tõmmatakse, vaid ka KUIDAS need mängijate vahel jaotatakse. Paigutuse valem:

Mängijatele 3 kaardi jagamise viisid.

On veel üks lahendusskeem, mis minu seisukohast on veelgi selgem:

kuidas saate kaardipakist 3 kaarti tõmmata.

Vaatame nüüd ühte seitsmest tuhandest saja neljakümnest kombinatsioonid, näiteks: labida kuningas, 9 südamet, 7 südamet. Kombinatoorses terminoloogias saab neid 3 kaarti Borey, Dima ja Volodya vahel "ümber korraldada" järgmiselt:

KP, 9H, 7H;
KP, 7H, 9H;
9H, KP, 7H;
9H, 7H, KP;
7H, KP, 9H;
7H, 9H, KP.

Ja sama tõsiasi on tõsi kellelegi ainulaadne 3 kaardi komplekt. Ja ärge unustage, sellised komplektid lugesime kokku. Te ei pea olema professor, et mõista, et leitud kombinatsioonide arv tuleks korrutada kuuega:

On viise, kuidas jagada üks kaart 3 mängijale.

Sisuliselt osutus see visuaalseks kontrolliks valemid, mille lõplikku tähendust selgitame järgmises osas.

Vastus: 42840

Võib-olla on teil veel küsimus, aga kes jagas kaardid? ...Ilmselt õpetaja =)
Ja et keegi ei solvuks, osaleb kogu õpilasrühm järgmises ülesandes:

6. ülesanne

Õpilasrühmas on 23 inimest. Kui mitmel viisil saab koolijuhatajat ja tema asetäitjat valida?

Koondises ametikohtade "paigutamise" ülesanne on väga levinud ja on tõeline nupp-akordion. Lühilahendus ja vastus tunni lõpus.

KOMBINAtoorium

Kombinatoorika on matemaatika haru, mis uurib teatud põhihulgast elementide valimise ja järjestamise probleeme vastavalt etteantud reeglitele. Kombinatoorika valemeid ja põhimõtteid kasutatakse tõenäosusteoorias juhuslike sündmuste tõenäosuse arvutamiseks ja vastavalt jaotusseaduste saamiseks juhuslikud muutujad. See omakorda võimaldab uurida massiliste juhuslike nähtuste seaduspärasusi, mis on väga oluline looduses ja tehnikas avalduvate statistiliste seaduste õigeks mõistmiseks.

Kombinatoorika liitmise ja korrutamise reeglid

Summereegel. Kui kaks toimingut A ja B on üksteist välistavad ning toimingut A saab sooritada m ja B n viisil, siis saab mis tahes neist toimingutest (kas A või B) sooritada n + m viisil.

Näide 1

Klassis on 16 poissi ja 10 tüdrukut. Mitmel viisil saab ühte saatjat määrata?

Lahendus

Valvesse saab määrata kas poisi või tüdruku, s.t. 16 poisist või 10 tüdrukust võivad olla valves kõik.

Summareegli järgi saame, et ühele korrapidajale saab määrata 16+10=26 teed.

Toote reegel. Olgu nõutav k toimingu järjestikuse sooritamine. Kui esimest toimingut saab sooritada n 1 viisil, teist toimingut n 2 viisil, kolmandat n 3 viisil ja nii edasi kuni k-nda toiminguni, mida saab teha n k viisil, siis saab kõiki k toimingut koos teha sooritatud:

viise.

Näide 2

Klassis on 16 poissi ja 10 tüdrukut. Mitmel viisil saab määrata kahte saatjat?

Lahendus

Esimene töölkäija võib olla kas poiss või tüdruk. Sest klassis on 16 poissi ja 10 tüdrukut, siis saate määrata esimese korrapidaja 16 + 10 = 26 viisil.

Pärast seda, kui oleme valinud esimese korrapidaja, saame ülejäänud 25 inimese hulgast valida teise, s.o. 25 viisi.

Korrutusteoreemi järgi saab valida kaks saatjat 26*25=650 viisil.

Kombinatsioonid ilma kordusteta. Kombinatsioonid kordustega

Klassikaline kombinatoorika probleem on kordusteta kombinatsioonide arvu probleem, mille sisu saab väljendada küsimusega: kui palju viise Saab vali m kaugusel n erinevat eset?

Näide 3

Kingituseks tuleb valida 10 erinevast raamatust 4. Kui mitmel viisil saab seda teha?

Lahendus

Peame 10-st raamatust valima 4 ja valiku järjekord ei oma tähtsust. Seega peate leidma 10 elemendi kombinatsioonide arvu 4 võrra:

.

Mõelge kordustega kombinatsioonide arvu probleemile: igal n-l on r identset objekti erinevat tüüpi; kui palju viise Saab vali m() of need (n*r) üksusi?

.

Näide 4

IN kommipood Müüdi 4 sorti kooke: Napoleonid, ekleerid, purukook ja paiss. Mitmel viisil saab osta 7 kooki?

Lahendus

Sest 7 koogi hulgas võib olla sama sorti kooke, siis 7 koogi ostmise viiside arv määratakse kordustega 7 kuni 4 kombinatsioonide arvu järgi.

.

Paigutused ilma kordusteta. Paigutused kordustega

Klassikaline kombinatoorika probleem on kordusteta paigutuste arvu probleem, mille sisu saab väljendada küsimusega: kui palju viise Saab vali Ja koht Kõrval m erinev kohad m kaugusel n erinev esemed?

Näide 5

Mõnes ajalehes on 12 lehekülge. Selle ajalehe lehtedele on vaja paigutada neli fotot. Kui mitmel viisil saab seda teha, kui ühelgi ajalehe leheküljel ei tohi olla rohkem kui üks foto?

Lahendus.

Selle ülesande puhul ei vali me lihtsalt fotosid, vaid asetame need ajalehe teatud lehtedele ja igal ajalehe lehel ei tohi olla rohkem kui ühte fotot. Seega on probleem taandatud klassikalisele probleemile, mille kohaselt määratakse paigutuste arv ilma kordusteta 12 elemendist nelja elemendi võrra:

Seega saab 12 leheküljel 4 fotot järjestada 11880 viisil.

Samuti on kombinatoorika klassikaliseks ülesandeks kordustega paigutuste arvu probleem, mille sisu saab väljendada küsimusega: kui palju viise Saab Sinabarmee Ja koht Kõrval m erinev kohad m kaugusel n esetKoosredi mis Seal on sama?

Näide 6

Poiss oli võtteplatsilt lahkunud Lauamäng margid numbritega 1, 3 ja 7. Ta otsustas kasutada neid templeid, et panna kõikidele raamatutele viiekohalised numbrid – kataloogi koostamiseks. Mitu erinevat viiekohalist numbrit suudab poiss teha?

Permutatsioonid ilma kordusteta. Permutatsioonid kordustega

Klassikaline kombinatoorika probleem on kordusteta permutatsioonide arvu probleem, mille sisu saab väljendada küsimusega: kui palju viise Saab koht n mitmesugused esemed peal n erinev kohad?

Näide 7

Mitu neljatähelist "sõna" saab teha sõna "abielu" tähtedest?

Lahendus

Üldine komplekt on 4 sõna "abielu" tähte (b, p, a, k). "Sõnade" arv on määratud nende 4 tähe permutatsioonidega, st.

Juhul, kui valitud n elemendi hulgas on samad (valik tagastusega), saab kordustega permutatsioonide arvu probleemi väljendada küsimusega: Mitmel viisil saab n objekti ümber paigutada n erinevas kohas, kui n objekti hulgas on k erinevat tüüpi (k< n), т. е. есть одинаковые предметы.

Näide 8

Mitu erinevat tähekombinatsiooni saab teha sõna "Mississippi" tähtedest?

Lahendus

Seal on 1 täht "m", 4 tähte "i", 3 tähte "c" ja 1 täht "p", kokku 9 tähte. Seetõttu on kordustega permutatsioonide arv

TAUSTKOKKUVÕTE JAOTISE "KOMBINAATOORIKA" kohta

Kombinatoorika on matemaatika haru, mis uurib küsimusi selle kohta, kui palju erinevaid kombinatsioone saab teatud tingimustel teha antud objektidest. Kombinatoorika põhitõed on juhuslike sündmuste tõenäosuste hindamisel väga olulised, sest need võimaldavad meil arvutada põhimõtteliselt võimaliku arvu erinevaid valikuid sündmuste arendamine.

Kombinatoorika põhivalem

Olgu elementide rühma k, ja i-s rühm koosneb n i elemendist. Valime igast rühmast ühe elemendi. Siis koguarv N viisi, kuidas sellist valikut saab teha, määrab seos N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k .

Näide 1 Selgitame seda reeglit lihtsa näitega. Olgu kaks elementide rühma, esimene rühm koosneb n 1 elemendist ja teine ​​- n 2 elemendist. Mitu erinevat elemendipaari saab nendest kahest rühmast teha nii, et paar sisaldaks igast rühmast ühte elementi? Oletame, et võtsime esimesest rühmast esimese elemendi ja, muutmata seda, käisime läbi kõik võimalikud paarid, muutes ainult teise rühma elemente. Selle elemendi jaoks on n 2 sellist paari. Seejärel võtame esimesest rühmast teise elemendi ja teeme selle jaoks ka kõik võimalikud paarid. Samuti tuleb n 2 sellist paari. Kuna esimeses rühmas on ainult n 1 elementi, on võimalikke valikuid n 1 *n 2.

Näide 2 Mitu kolmekohalist paarisarvu saab numbritest 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 teha, kui numbrid on korduvad?
Lahendus: n 1 \u003d 6 (kuna esimeseks numbriks võite võtta mis tahes numbri 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 2 \u003d 7 (kuna teiseks numbriks võite võtta mis tahes numbri alates 0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6), n 3 \u003d 4 (kuna kolmanda numbrina võite võtta mis tahes numbri 0, 2, 4, 6).
Niisiis, N = n 1 * n 2 * n 3 = 6 * 7 * 4 = 168.

Juhul, kui kõik rühmad koosnevad samast arvust elementidest, s.o. n 1 =n 2 =...n k =n võib eeldada, et iga valik tehakse samast grupist ja element naaseb peale valikut rühma. Siis on kõigi valikuviiside arv võrdne n k . Sellist kombinatoorika valikuviisi nimetatakse proovid tagastada.

Näide 3 Mitu neljakohalist arvu saab arvudest 1, 5, 6, 7, 8 teha?
Lahendus. Neljakohalise arvu iga numbri jaoks on viis võimalust, seega N=5*5*5*5=5 4 =625.

Vaatleme hulka, mis koosneb n elemendist. Seda komplekti kombinatoorikas nimetatakse üldine elanikkond.

Paigutuste arv n elemendist m võrra

Definitsioon 1. Majutus alates n elemendid poolt m kombinatoorikas nimetatakse mistahes tellitud komplekt alates m mitmesugused elemendid, mis on valitud üldpopulatsioonist aastal n elemendid.

Näide 4 Kolme elemendi (1, 2, 3) kahekaupa erinevad paigutused on komplektid (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3) , 2). Paigutused võivad üksteisest erineda nii elementide kui ka järjestuse poolest.

Paigutuste arv kombinatoorikas on tähistatud tähega A n m ja arvutatakse järgmise valemiga:

Kommentaar: n!=1*2*3*...*n (loe: "en faktoriaal"), lisaks eeldatakse, et 0!=1.

Näide 5. Mitu kahekohalist arvu on, milles kümnend ja ühikute arv on erinevad ja paaritud?
Lahendus: sest viis paaritut numbrit, nimelt 1, 3, 5, 7, 9, siis see ülesanne taandub kahe valimisele ja asetamisele erinevad positsioonid viiest erinevast numbrist kaks, st. määratud numbrid teeb:

Definitsioon 2. Kombinatsioon alates n elemendid poolt m kombinatoorikas nimetatakse mistahes tellimata komplekt alates m mitmesugused elemendid, mis on valitud üldpopulatsioonist aastal n elemendid.

Näide 6. Komplekti (1, 2, 3) jaoks on kombinatsioonid (1, 2), (1, 3), (2, 3).

N elemendi kombinatsioonide arv m võrra

Kombinatsioonide arv on tähistatud tähega C n m ja arvutatakse järgmise valemiga:

Näide 7 Kui mitmel viisil saab lugeja kuuest saadaolevast raamatust kaks valida?

Lahendus: Võimaluste arv võrdub kuue raamatu kombinatsioonide arvuga kahega, s.o. võrdub:

N elemendi permutatsioonid

Definitsioon 3. Permutatsioon alates n elemente nimetatakse mis tahes tellitud komplekt need elemendid.

Näide 7a. Kolmest elemendist (1, 2, 3) koosneva hulga kõikvõimalikud permutatsioonid on: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).

N elemendi erinevate permutatsioonide arv on tähistatud P n-ga ja arvutatakse valemiga P n =n!.

Näide 8 Kui mitmel viisil saab seitset eri autorite raamatut riiulil ritta paigutada?

Lahendus: see probleem on seotud seitsme erineva raamatu permutatsioonide arvuga. Raamatute paigutamiseks on P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 võimalust.

Arutelu. Näeme, et võimalike kombinatsioonide arvu saab arvutada erinevad reeglid(permutatsioonid, kombinatsioonid, paigutused) ja tulemus on erinev, sest loendamise põhimõte ja valemid ise on erinevad. Definitsioone tähelepanelikult vaadates on näha, et tulemus sõltub korraga mitmest tegurist.

Esiteks, mitme elemendi hulgast saame nende komplekte kombineerida (kui suured elanikkonnast elemendid).

Teiseks sõltub tulemus sellest, millise suurusega elementide komplekte me vajame.

Lõpuks on oluline teada, kas elementide järjekord komplektis on meie jaoks oluline. Selgitame viimast tegurit järgmise näitega.

Näide 9 Peal lastevanemate koosolek kohal on 20 inimest. Kui palju erinevaid variante on lastevanemate komisjoni koosseisus, kui sinna peaks kuuluma 5 inimest?
Lahendus: Selles näites ei huvita meid komisjonide nimekirjas olevate nimede järjekord. Kui selle tulemusena ilmuvad selle koosseisus samad inimesed, siis meie jaoks on see tähenduse poolest sama variant. Seetõttu saame arvu arvutamiseks kasutada valemit kombinatsioonid 20 elemendist 5.

Asjad on teisiti, kui iga komitee liige vastutab algselt teatud töövaldkonna eest. Siis on sama komitee palgal selle sees 5 võimalik! valikuid permutatsioonid see asi. Erinevate (nii koosseisu kui ka vastutusala poolest) valikute arvu määrab sel juhul arv paigutused 20 elemendist 5.

Enesekontrolli ülesanded
1. Mitu kolmekohalist paarisarvu saab arvudest 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 teha, kui arve saab korrata?

2. Mitu viiekohalist numbrit on samamoodi vasakult paremale ja paremalt vasakule?

3. Klassis on kümme ainet ja viis tundi päevas. Kui mitmel viisil saate ühe päeva ajakava koostada?

4. Mitmel viisil saab konverentsile valida 4 delegaati, kui rühmas on 20 inimest?

5. Mitmel viisil saab kaheksa erinevat tähte panna kaheksasse erinevasse ümbrikusse, kui igasse ümbrikusse on pandud ainult üks täht?

6. Kolmest matemaatikust ja kümnest majandusteadlasest on vaja teha komisjon, mis koosneb kahest matemaatikust ja kuuest majandusteadlasest. Kui mitmel viisil saab seda teha?

Permutatsioon on elementide kombinatsioon N erinevaid elemente võetud kindlas järjekorras. Permutatsioonis on oluline elementide järjekord ja kõik elemendid peavad olema permutatsioonis kaasatud. N elemendid.

Ülesanne: Leidke arvude 1, 2, 3 jada kõikvõimalikud permutatsioonid.
Seal on järgmised permutatsioonid:

1: 1 2 3
2: 1 3 2
3: 2 1 3
4: 2 3 1
5: 3 1 2
6: 3 2 1

Permutatsioonid ilma kordusteta

N erineva elemendi permutatsioonide arv on N!. Tõesti:

• ükskõik milline N elemendid (valikud kokku N),
• mõni ülejäänud (N-1) elemendid (valikud kokku N (N-1)),
• kui me jätkame seda järjestust kõigi jaoks N kohad, saame: N (N-1) (N-2) ... ... 1, see on kõik N! permutatsioonid.

Mõelge kõigi arvude permutatsioonide saamise probleemile 1…N(st pikkuse jadad N), kus iga number esineb täpselt 1 kord. Permutatsioonide saamise järjekorras on palju võimalusi. Kõige sagedamini lahendatud probleem on aga permutatsioonide genereerimine leksikograafiline tellida (vt ülaltoodud näidet). Sel juhul sorteeritakse kõik permutatsioonid esmalt esimese numbri järgi, seejärel teise numbri järgi jne. kasvavas järjekorras. Nii et esimene permutatsioon on 1 2 …N, ja viimane N N-1 … 1.

Mõelge probleemi lahendamise algoritmile. Esialgne numbrijada on antud. Iga järgneva permutatsiooni saamiseks peate tegema järgmised toimingud:

• Praegust permutatsiooni tuleb skaneerida paremalt vasakule ja samal ajal veenduda, et iga järgmine permutatsiooni element (suurema arvuga element) ei oleks rohkem kui eelmine (väiksema numbriga element). Niipea, kui seda suhet rikutakse, tuleb peatada ja märkida praegune number (positsioon 1).
• Jällegi vaadake paremalt vasakule läbitud teed, kuni jõuame esimese numbrini, mis on suurem kui eelmises etapis märgitud.
• Vahetage kaks vastuvõetud elementi.
• Nüüd peate massiivi selles osas, mis asub positsioonist 1 paremal, sorteerima kõik numbrid kasvavas järjekorras. Kuna enne seda olid need kõik juba kahanevas järjekorras kirjutatud, siis tuleb see osa alljadast lihtsalt ümber pöörata.

Seega saame uue jada, mida peetakse järgmises etapis esialgseks.

Rakendamine C++ keeles

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45

#kaasa
kasutades nimeruumi std;

{
int s = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = s;
}
bool NextSet(int *a, int n)
{
int j = n-2;
while (j != -1 && a[j] >= a) j--;
kui (j == -1)
tagastama vale; // permutatsioone enam pole
int k = n - 1;
samas (a[j] >= a[k]) k--;
vahetus(a, j, k);
int l = j + 1, r = n - 1;
samal ajal (l swap(a, l++, r--);
tagasta tõene;
}
void Print(int *a, int n) // väljundi permutatsioon
{
staatiline int number = 1; // permutatsiooni number
lõikamislaius(3);
cout<< num++ << ": " ;
jaoks (int i = 0; i< n; i++)
cout<< a[i] << " " ;
cout<< endl;
}
int main()
{
intn, *a;
cout<< "N = " ;
tsin >> n;
a = uus int[n];
jaoks (int i = 0; i< n; i++)
a[i] = i + 1;
Prindi(a, n);
while (NextSet(a, n))
Prindi(a, n);
cin.get(); cin.get();
tagasi 0;
}

Täitmise tulemus

Permutatsioonid kordustega

Permutatsioonide genereerimise probleem väärib erilist tähelepanu. N elemendid, kui jada elemente saab korrata. Oletame, et algne jada koosneb elementidest n 1 , n 2 ... n k, kus element n 1 kordab r1üks kord, n 2 kordab r2 korda jne. Kus n 1 + n 2 +... + n k = N. Kui me kõik loeme n 1 +n 2 +...+n k erinevate kordustega permutatsiooni elemendid, siis kokku erinevad permutatsioonide variandid ( n 1 +n 2 +...+n k)!. Kuid kõik need permutatsioonid ei ole erinevad. Tõepoolest, kõike r1 elemendid n 1 saame omavahel ümber korraldada ja see ei muuda permutatsiooni. Samamoodi saame elemente ümber paigutada n 2, n 3 jne Selle tulemusena on meil r1! sama permutatsiooni kirjutamise variandid korduvate elementide erineva paigutusega n 1. Seega saab kirjutada mis tahes permutatsiooni r 1 ! r 2 ! ... r k ! viise. Seetõttu on erinevate kordustega permutatsioonide arv

Kordustega permutatsioonide genereerimiseks võite kasutada ülaltoodud kordusteta permutatsioonide genereerimise algoritmi. Toome massiivi a sisse korduva elemendi. Allpool on programmikood kordustega permutatsioonide genereerimiseks (muutunud on ainult funktsiooni main() kood).

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46

#kaasa
kasutades nimeruumi std;
void swap(int *a, int i, int j)
{
int s = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = s;
}
bool NextSet(int *a, int n)
{
int j = n-2;
while (j != -1 && a[j] >= a) j--;
kui (j == -1)
tagastama vale; // permutatsioone enam pole
int k = n - 1;
samas (a[j] >= a[k]) k--;
vahetus(a, j, k);
int l = j + 1, r = n - 1; // sorteerib ülejäänud jada
samal ajal (l swap(a, l++, r--);
tagasta tõene;
}
void Print(int *a, int n) // väljundi permutatsioon
{
staatiline int number = 1; // permutatsiooni number
lõikamislaius(3); // permutatsiooninumbri väljundvälja laius
cout<< num++ << ": " ;
jaoks (int i = 0; i< n; i++)
cout<< a[i] << " " ;
cout<< endl;
}
int main()
{
intn, *a;
cout<< "N = " ;
tsin >> n;
a = uus int[n];
jaoks (int i = 0; i< n; i++)
a[i] = i + 1;
a = 1; // korduv element
Prindi(a, n);
while (NextSet(a, n))
Prindi(a, n);
cin.get(); cin.get();
tagasi 0;
}

Ülaltoodud algoritmi väljund on:

Kordusteta paigutuste arv alates n Kõrval k n k erinevad koordinaadid.

Kordusteta paigutuste arv leitakse järgmise valemi abil:

Näide: Mitmel viisil saab koostada 3-kohalist erinevate numbritega arvu, mis ei sisalda numbrit 0?

Numbrite arv
, erinevate koordinaatidega vektori mõõde

Kordustega paigutuste arv

Kordustega paigutuste arv alates n Kõrval k on nende võimaluste arv n erinevad elemendid loovad vektoreid k koordinaadid, mille hulgas võivad olla samad.

Kordustega paigutuste arv leitakse järgmise valemi abil:

.

Näide: Mitu sõna pikkusega 6 saab moodustada 26 ladina tähestiku tähest?

Tähtede arv
, vektori mõõde

Permutatsioonide arv ilma kordusteta

Permutatsioonide arv ilma kordusteta alates n elemendid on viiside arv, kuidas seda saab paigutada n erinevasse kohta n erinevaid elemente.

Permutatsioonide arv ilma kordusteta leitakse järgmise valemi abil:

.

Kommentaar: Vajaliku komplekti võimsus A mugav on otsida valemi järgi:
, Kus X- soovitud kohtade valimise võimaluste arv; juures- nendele vajalike elementide paigutamise võimaluste arv; z- ülejäänud elementide paigutamise viiside arv ülejäänud kohtadesse.

Näide. Kui mitmel viisil saab 5 erinevat raamatut raamaturiiulisse paigutada? Mitmel juhul on kaks konkreetset raamatut A ja B kõrvuti?

5 raamatu 5 kohta paigutamise võimaluste koguarv on võrdne = 5! = 120.

Ülesandes X on mitu võimalust valida kaks kõrvuti olevat kohta, X= 4;juures on mitu võimalust paigutada kaks raamatut kahte kohta, juures = 2! = 2; z- ülejäänud 3 raamatu paigutamise viiside arv ülejäänud 3 kohta, z= 3! = 6. Niisiis
= 48.

Kombinatsioonide arv ilma kordusteta

Kombinatsioonide arv ilma kordusteta alates n Kõrval k on nende võimaluste arv n erinevaid esemeid valida k tükki ilma tellimuseta.

Kordusteta kombinatsioonide arv leitakse järgmise valemi abil:

.

Omadused:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
; 5)
; 6)
.

Näide. Urnis on 7 palli. Neist 3 on valged. Juhuslikult valitakse 3 palli. Kui mitmel viisil saab seda teha? Kui paljudel juhtudel on nende hulgas täpselt üks valge?

kokku viisid
. Et saada mitu võimalust valida 1 valge (3-st valgest) ja 2 mustast pallist (4-st mustast), peate korrutama
Ja
Seega soovitud arv viise

Harjutused

1. 35 õpilasest oli klassis aasta lõpus matemaatikas “5” - 14 inimest; füüsikas - 15 inimest; keemias - 18 inimest; matemaatikas ja füüsikas - 7 inimest; matemaatikas ja keemias - 9 inimest; füüsikas ja keemias - 6 inimest; kõigis kolmes aines - 4 inimest. Kui paljudel inimestel on määratud ainetes "5"? Kui paljudel inimestel pole nendes ainetes "5"? Kas "5" on ainult matemaatikas? Kas "5" on ainult kahes aines?

2. 30 õpilasega rühmas oskavad kõik vähemalt ühte võõrkeelt – inglise või saksa keelt. Inglise keelt räägib 22 õpilast, saksa keelt 17. Kui palju õpilasi oskab mõlemat keelt? Kui paljud õpilased oskavad saksa keelt, aga ei oska inglise keelt?

3. Rahvaste Sõpruse Instituudi hosteli 20 toas elavad üliõpilased Venemaalt; 15 Aafrikast; 20 Lõuna-Ameerika riikidest. Veelgi enam, 7-s elavad venelased ja aafriklased, 8-s venelased ja lõuna-ameeriklased; aastal 9 - aafriklased ja lõunaameeriklased; aastal 3 - nii venelased kui ka lõuna-ameeriklased ja aafriklased. Mitmes toas elavad õpilased: 1) ainult ühelt kontinendilt; 2) ainult kahelt mandrilt; 3) ainult aafriklased.

4. Igaüks 500 õpilasest peab osalema vähemalt ühel kolmest erikursusest: matemaatikas, füüsikas ja astronoomias. Kolmel erikursusel õpib 10 õpilast, matemaatikas ja füüsikas - 30, matemaatikas ja astronoomias - 25 õpilast; erikursus ainult füüsikas - 80 õpilast. Samuti on teada, et matemaatika erikursusel õpib 345, füüsika erialal 145 ja astronoomia erialal 100 õpilast. Kui palju õpilasi õpib ainult astronoomia erikursusel? Kui palju õpilasi osaleb kahel erikursusel?

5. Kursuse juhataja esitas järgmise kehalise kasvatuse aruande. Kokku - 45 õpilast. Jalgpallisektsioon - 25 inimest, korvpallisektsioon - 30 inimest, maleosakond - 28 inimest. Samal ajal käib jalgpalli ja korvpalli sektsioonides korraga 16 inimest, jalgpalli ja male 18, korvpalli ja male 17, kõigis kolmes sektsioonis 15 inimest. Selgitage, miks aruannet ei aktsepteeritud.

6. Akvaariumis on 11 kala. Neist 4 on punased, ülejäänud kuldsed. Juhuslikult valitakse 4 kala. Kui mitmel viisil saab seda teha? Leidke mitu võimalust seda teha nii, et nende hulgas oleks: 1) täpselt üks punane; 2) täpselt 2 kullatükki; 3) vähemalt üks punane.

7. Nimekirjas on 8 nime. Neist 4 on naised. Kui mitmel viisil saab neid jagada kahte võrdsesse rühma, nii et mõlemal on naiselik perekonnanimi?

8. Valige 36 kaardipakist 4. Mitu võimalust seda teha, et: 1) kõik kaardid oleksid erineva mastiga; 2) kõik kaardid olid samast mastist; 3) 2 punast ja 2 musta.

9. Lõhestatud tähestiku kaartidele on antud tähed K, K, K, U, U, A, E, R. Mitu võimalust neid ritta panna, et saaks “vares”.

10. Antud on lõigatud tähestiku kaardid tähtedega O, T, O, L, O, R, I, N, G, O, L, O, G. Mitu võimalust neid kokku panna nii, et sõna “ kõrva-nina-kurguarst” saadakse.

11. Antud on vinttähestiku kaardid tähtedega L, I, T, E, R, A, T, U, R, A. Mitu võimalust ritta panna nii, et saadakse sõna “kirjandus” .

12. 8 inimest rivistuvad. Mitu võimalust teha nii, et kaks konkreetset inimest A ja B oleksid: 1) kõrvuti; 2) järjekorra äärtes;

13. 10 inimest istuvad ümmarguse laua taha, kus on 10 istekohta. Kui mitmel viisil saab seda teha, et oleks: 1) kaks konkreetset inimest A ja B; 2) kolm konkreetset inimest A, B ja C.

14. 10 araabia numbrit moodustavad 5-kohalise koodi. Kui mitmel viisil saab seda teha, et: 1) kõik numbrid oleksid erinevad; 2) viimane koht on paarisarv.

15. Ladina tähestiku 26 tähest (nende hulgas 6 vokaali) tehakse kuuetäheline sõna. Kui mitmel viisil saab seda teha, et sõna sisaldaks: 1) täpselt ühte tähte "a"; 2) täpselt üks täishäälik; täpselt kaks tähte "a"; c) täpselt kaks vokaali.

16. Mitu neljakohalist arvu jagub 5-ga?

17. Mitu erineva numbriga neljakohalist arvu jagub 25-ga?

19. Veeretatakse 3 täringut. Mitmel juhul kukkus välja: 1) täpselt 1 "kuus"; 2) vähemalt üks "kuus".

20. Viska 3 täringut. Kui palju juhtumeid tuleb: 1) kõik on erinevad; 2) täpselt kaks identset arvu punkte.

21. Mitu erineva tähega sõna saab teha tähestikust a, b, c, d. Loetlege need kõik leksikograafilises järjekorras: abcd, abcd….