Sa paksang ito, susuriin namin ang mga formula na maaaring makuha gamit ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon (ang paksang direktang nakatuon sa pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay matatagpuan). Hayaan akong ipaalala sa iyo ang dalawang pormulasyon ng pangalawa kahanga-hangang limitasyon, na kakailanganin sa seksyong ito: $\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e$ at $\lim_(x\to\ 0 )\ kaliwa(1+x\kanan)^\frac(1)(x)=e$.

Kadalasan ay nagbibigay ako ng mga formula nang walang patunay, ngunit para sa pahinang ito, sa palagay ko ay gagawa ako ng isang pagbubukod. Ang katotohanan ay ang patunay ng mga kahihinatnan ng pangalawang kapansin-pansin na limitasyon ay naglalaman ng ilang mga trick na kapaki-pakinabang sa direktang solusyon ng mga problema. Buweno, at, sa pangkalahatan, ito ay kanais-nais na malaman kung paano ito o ang formula na iyon ay pinatunayan. Nagbibigay-daan ito sa iyo na mas maunawaan ang panloob na istraktura nito, pati na rin ang mga limitasyon ng pagiging angkop. Ngunit dahil ang mga patunay ay maaaring hindi interesado sa lahat ng mga mambabasa, itatago ko ang mga ito sa ilalim ng mga tala pagkatapos ng bawat resulta.

Bunga #1

\begin(equation) \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=1\end(equation)

Patunay ng corollary #1: ipakita\itago

Dahil para sa $x\to 0$ mayroon kaming $\ln(1+x)\to 0$, pagkatapos ay sa isinasaalang-alang na limitasyon mayroong isang indeterminacy ng form na $\frac(0)(0)$. Upang ipakita ang kawalan ng katiyakan na ito, katawanin natin ang expression na $\frac(\ln(1+x))(x)$ gaya ng sumusunod: $\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)$. Ngayon, idagdag natin ang factor na $\frac(1)(x)$ sa kapangyarihan ng $(1+x)$ at ilapat ang pangalawang kapansin-pansing limitasyon:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)\right)=\lim_(x\ sa\ 0)\ln(1+x)^(\frac(1)(x))=\ln e=1. $$

Muli tayong nagkaroon ng kawalan ng katiyakan sa anyo na $\frac(0)(0)$. Aasa tayo sa formula na napatunayan na natin. Dahil $\log_a t=\frac(\ln t)(\ln a)$, pagkatapos ay $\log_a (1+x)=\frac(\ln(1+x))(\ln a)$.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\log_a (1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x \ln a)=\frac(1)(\ln a)\ lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x)=\frac(1)(\ln a)\cdot 1=\frac(1)(\ln a). $$

Bunga #2

\begin(equation) \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=1\end(equation)

Patunay ng corollary #2: ipakita\itago

Dahil para sa $x\to 0$ mayroon kaming $e^x-1\to 0$, pagkatapos ay sa isinasaalang-alang na limitasyon ay mayroong kawalan ng katiyakan ng form na $\frac(0)(0)$. Upang ipakita ang kawalan ng katiyakan na ito, baguhin natin ang variable, na nagsasaad ng $t=e^x-1$. Mula noong $x\to 0$, pagkatapos ay $t\to 0$. Dagdag pa, mula sa formula na $t=e^x-1$ nakukuha natin ang: $e^x=1+t$, $x=\ln(1+t)$.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \kanan|=\kaliwa | \begin(aligned) & t=e^x-1;\; t\to 0.\\ & x=\ln(1+t).\end (aligned) \right|= \lim_(t\to 0)\frac(t)(\ln(1+t))= \lim_(t\to 0)\frac(1)(\frac(\ln(1+t))(t))=\frac(1)(1)=1. $$

Muli tayong nagkaroon ng kawalan ng katiyakan sa anyo na $\frac(0)(0)$. Aasa tayo sa formula na napatunayan na natin. Dahil $a^x=e^(x\ln a)$, kung gayon:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(a^(x)-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to 0)\frac(e^(x\ln a)-1)(x)=\ln a\cdot \lim_(x\to 0 )\frac(e^(x\ln a)-1)(x \ln a)=\ln a \cdot 1=\ln a. $$

Bunga #3

\begin(equation) \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)=\alpha \end(equation)

Patunay ng corollary #3: ipakita\itago

Muli, nakikitungo kami sa isang kawalan ng katiyakan ng form na $\frac(0)(0)$. Dahil $(1+x)^\alpha=e^(\alpha\ln(1+x))$, nakukuha namin ang:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)= \left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0)\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(x)= \lim_(x\to \ 0)\kaliwa(\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x))\cdot \frac(\alpha\ln(1+x) )(x) \kanan)=\\ =\alpha\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x ))\cdot \lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x)=\alpha\cdot 1\cdot 1=\alpha. $$

Halimbawa #1

Kalkulahin ang limitasyon $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)$.

Mayroon kaming kawalan ng katiyakan sa form na $\frac(0)(0)$. Upang ibunyag ang kawalan ng katiyakan na ito, gagamitin namin ang formula . Upang magkasya ang ating limitasyon sa formula na ito, dapat tandaan na ang mga expression sa kapangyarihan ng numerong $e$ at sa denominator ay dapat magkatugma. Sa madaling salita, ang sine sa denominator ay walang lugar. Ang denominator ay dapat na $9x$. Gayundin, kapag nilutas ang halimbawang ito, ang unang kapansin-pansing limitasyon ay gagamitin.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\left|\frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(9x)(\sin 5x) \right) =\frac(9)(5)\cdot\lim_(x\ to\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(1)(\frac(\sin 5x)(5x)) \right)=\frac(9)( 5)\cdot 1 \cdot 1=\frac(9)(5). $$

Sagot: $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\frac(9)(5)$.

Halimbawa #2

Kalkulahin ang limitasyon $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)$.

Mayroon kaming kawalan ng katiyakan sa anyo na $\frac(0)(0)$ (tandaan na $\ln\cos 0=\ln 1=0$). Upang ibunyag ang kawalan ng katiyakan na ito, gagamitin namin ang formula . Una, isaalang-alang natin na $\cos x=1-2\sin^2 \frac(x)(2)$ (tingnan ang listahan sa trigonometriko function). Ngayon $\ln\cos x=\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right)$, kaya ang denominator ay dapat na $-2\sin^2 \frac(x ) (2)$ (upang magkasya ang ating halimbawa sa ). Sa karagdagang solusyon, ang unang kapansin-pansing limitasyon ay gagamitin.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(x ^2)= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x)(2))\cdot\frac(-2\sin^2 \frac(x)(2))(x^2) \right)=\\ =-\frac(1)(2) \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x )(2))\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)(2)\right)^2 \right)=-\frac(1)( 2)\cdot 1\cdot 1^2=-\frac(1)(2). $$

Sagot: $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=-\frac(1)(2)$.

Ang formula para sa pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay lim x → ∞ 1 + 1 x x = e . Ang isa pang anyo ng pagsulat ay ganito ang hitsura: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e .

Kapag pinag-uusapan natin ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon, kailangan nating harapin ang isang kawalan ng katiyakan ng form 1 ∞ , i.e. yunit sa isang walang katapusang antas.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Isaalang-alang ang mga problema kung saan kailangan natin ng kakayahang kalkulahin ang pangalawang kamangha-manghang limitasyon.

Halimbawa 1

Hanapin limitahan lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .

Solusyon

Palitan ang gustong formula at gawin ang mga kalkulasyon.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

Sa aming sagot, nakakuha kami ng isang yunit sa kapangyarihan ng infinity. Upang matukoy ang paraan ng solusyon, ginagamit namin ang talahanayan ng mga kawalan ng katiyakan. Pinipili namin ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon at gumawa ng pagbabago ng mga variable.

t \u003d - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 \u003d - t 2

Kung x → ∞ pagkatapos t → - ∞ .

Tingnan natin kung ano ang nakuha namin pagkatapos ng kapalit:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Sagot: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

Halimbawa 2

Kalkulahin ang limitasyon lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .

Solusyon

Palitan ang infinity at kunin ang sumusunod.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

Sa sagot, muli naming nakuha ang parehong bagay tulad ng sa nakaraang problema, samakatuwid, maaari naming muli gamitin ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon. Susunod, kailangan nating pumili sa base function ng kapangyarihan buong bahagi:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

Pagkatapos nito, kinukuha ng limitasyon ang sumusunod na anyo:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Pinapalitan namin ang mga variable. Sabihin natin na t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; kung x → ∞ , pagkatapos ay t → ∞ .

Pagkatapos nito, isusulat namin kung ano ang nakuha namin sa orihinal na limitasyon:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 (1 + 0) - 1 = e - 2

Upang maisagawa ang pagbabagong ito, ginamit namin ang mga pangunahing katangian ng mga limitasyon at kapangyarihan.

Sagot: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

Halimbawa 3

Kalkulahin ang limitasyon lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3-5 .

Solusyon

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1∞

Pagkatapos nito, kailangan nating magsagawa ng pagbabagong-anyo ng function upang mailapat ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon. Nakuha namin ang sumusunod:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Dahil ngayon ay mayroon tayong parehong mga exponent sa numerator at denominator ng fraction (katumbas ng anim), ang limitasyon ng fraction sa infinity ay magiging katumbas ng ratio ng mga coefficient na ito sa mas mataas na kapangyarihan.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

Ang pagpapalit ng t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2, makuha namin ang pangalawang kapansin-pansin na limitasyon. Ibig sabihin:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Sagot: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

mga konklusyon

Kawalang-katiyakan 1 ∞ , ibig sabihin. yunit sa isang walang katapusang antas, ay isang kawalan ng katiyakan sa batas ng kapangyarihan, samakatuwid, maaari itong ihayag gamit ang mga patakaran para sa paghahanap ng mga limitasyon ng mga pagpapaandar ng exponential power.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Mayroong ilang mga kahanga-hangang limitasyon, ngunit ang pinakasikat ay ang una at pangalawang magagandang limitasyon. Ang kapansin-pansin sa mga limitasyong ito ay mayroon sila malawak na aplikasyon at sa kanilang tulong ay mahahanap ng isa ang iba pang mga limitasyon na nakatagpo sa maraming problema. Ito ang gagawin natin sa praktikal na bahagi ng araling ito. Upang malutas ang mga problema sa pamamagitan ng pagbawas sa una o pangalawang kapansin-pansin na limitasyon, hindi kinakailangang ibunyag ang mga kawalan ng katiyakan na nakapaloob sa mga ito, dahil ang mga halaga ng mga limitasyong ito ay matagal nang hinuhusgahan ng mahusay na mga matematiko.

Ang unang kapansin-pansing limitasyon tinatawag na limitasyon ng ratio ng sine ng isang walang katapusang maliit na arko sa parehong arko, na ipinahayag sa radian na sukat:

Lumipat tayo sa paglutas ng mga problema sa unang kahanga-hangang limitasyon. Tandaan: kung ang isang trigonometric function ay nasa ilalim ng limit sign, ito ay halos isang siguradong senyales na ang expression na ito ay maaaring bawasan sa unang kapansin-pansing limitasyon.

Halimbawa 1 Hanapin ang limitasyon.

Solusyon. Pagpapalit sa halip x ang zero ay humahantong sa kawalan ng katiyakan:

.

Ang denominator ay isang sine, samakatuwid, ang expression ay maaaring bawasan sa unang kapansin-pansin na limitasyon. Simulan natin ang pagbabago:

.

Sa denominator - ang sine ng tatlong x, at sa numerator mayroon lamang isang x, na nangangahulugang kailangan mong makakuha ng tatlong x sa numerator. Para saan? Upang ipakita 3 x = a at kunin ang ekspresyon.

At dumating tayo sa isang pagkakaiba-iba ng unang kahanga-hangang limitasyon:

dahil hindi mahalaga kung anong letra (variable) sa formula na ito sa halip na X.

I-multiply namin ang x sa tatlo at agad na hatiin:

.

Alinsunod sa nabanggit na unang kapansin-pansing limitasyon, pinapalitan namin ang fractional na expression:

Ngayon ay malulutas na natin ang limitasyong ito:

.

Halimbawa 2 Hanapin ang limitasyon.

Solusyon. Ang direktang pagpapalit ay muling humahantong sa kawalan ng katiyakan na "zero divide by zero":

.

Upang makuha ang unang kapansin-pansing limitasyon, kinakailangan na ang x sa ilalim ng sine sign sa numerator at ang x lamang sa denominator ay may parehong koepisyent. Hayaan ang coefficient na ito ay katumbas ng 2. Upang gawin ito, isipin ang kasalukuyang coefficient sa x tulad ng nasa ibaba, na gumaganap ng mga aksyon na may mga fraction, nakukuha natin ang:

.

Halimbawa 3 Hanapin ang limitasyon.

Solusyon. Kapag pinapalitan, muli nating makukuha ang kawalan ng katiyakan na "zero na hinati ng zero":

.

Malamang na naiintindihan mo na mula sa orihinal na expression maaari mong makuha ang unang kamangha-manghang limitasyon na pinarami ng unang kamangha-manghang limitasyon. Upang gawin ito, nabubulok namin ang mga parisukat ng x sa numerator at ang sine sa denominator sa parehong mga kadahilanan, at upang makuha ang parehong mga coefficient para sa x at ang sine, hinati namin ang x sa numerator ng 3 at agad na i-multiply sa 3. Nakukuha natin ang:

.

Halimbawa 4 Hanapin ang limitasyon.

Solusyon. Muli nating nakuha ang kawalan ng katiyakan "zero na hinati ng zero":

.

Makukuha natin ang ratio ng unang dalawang kapansin-pansing limitasyon. Hinahati namin ang numerator at ang denominator sa x. Pagkatapos, upang ang mga coefficient sa mga sine at sa x ay magkasabay, pinarami namin ang itaas na x sa 2 at agad na hatiin sa 2, at i-multiply ang mas mababang x sa 3 at agad na hatiin sa 3. Nakukuha namin:

Halimbawa 5 Hanapin ang limitasyon.

Solusyon. At muli, ang kawalan ng katiyakan ng "zero na hinati ng zero":

Naaalala namin mula sa trigonometry na ang tangent ay ang ratio ng sine sa cosine, at ang cosine ng zero ay katumbas ng isa. Gumagawa kami ng mga pagbabago at makakuha ng:

.

Halimbawa 6 Hanapin ang limitasyon.

Solusyon. Ang trigonometric function sa ilalim ng limit sign ay muling nagmumungkahi ng ideya ng paglalapat ng unang kapansin-pansing limitasyon. Kinakatawan namin ito bilang ratio ng sine sa cosine.

Mula sa artikulo sa itaas, maaari mong malaman kung ano ang limitasyon at kung ano ang kinakain nito - ito ay napakahalaga. Bakit? Maaaring hindi mo maintindihan kung ano ang mga determinant at matagumpay na nalutas ang mga ito, maaaring hindi mo maintindihan kung ano ang derivative at hanapin ang mga ito sa "lima". Ngunit kung hindi mo nauunawaan kung ano ang isang limitasyon, kung gayon magiging mahirap na lutasin ang mga praktikal na gawain. Gayundin, hindi magiging labis na pamilyar sa mga halimbawa ng disenyo ng mga desisyon at ang aking mga rekomendasyon para sa disenyo. Ang lahat ng impormasyon ay ipinakita sa isang simple at naa-access na paraan.

At para sa mga layunin ng araling ito, kailangan natin ang mga sumusunod na materyales sa pamamaraan: Kapansin-pansin na mga Limitasyon At Mga formula ng trigonometriko. Matatagpuan ang mga ito sa pahina. Pinakamainam na i-print ang mga manual - ito ay mas maginhawa, bukod pa, madalas silang kailangang ma-access offline.

Ano ang kapansin-pansin sa mga kahanga-hangang limitasyon? Ang kapansin-pansin ng mga limitasyong ito ay nakasalalay sa katotohanan na sila ay pinatunayan ng pinakadakilang mga isipan ng mga sikat na matematiko, at ang nagpapasalamat na mga inapo ay hindi kailangang magdusa mula sa kahila-hilakbot na mga limitasyon na may isang tambak. trigonometriko function, logarithms, degrees. Iyon ay, kapag hinahanap ang mga limitasyon, gagamitin namin ang mga handa na resulta na napatunayan nang theoretically.

Mayroong ilang kahanga-hangang limitasyon, ngunit sa pagsasagawa, ang mga part-time na estudyante sa 95% ng mga kaso ay may dalawang kapansin-pansing limitasyon: Unang kahanga-hangang limitasyon, Ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon. Dapat pansinin na ang mga ito ay makasaysayang itinatag na mga pangalan, at kapag, halimbawa, pinag-uusapan nila ang tungkol sa "unang kapansin-pansing limitasyon", ang ibig nilang sabihin ay isang napaka-tiyak na bagay, at hindi ilang random na limitasyon na kinuha mula sa kisame.

Unang kahanga-hangang limitasyon

Isaalang-alang ang sumusunod na limitasyon: (sa halip na ang katutubong titik na "siya" ang aking gagamitin liham ng Griyego"alpha", ito ay mas maginhawa sa mga tuntunin ng pagtatanghal ng materyal).

Ayon sa aming panuntunan para sa paghahanap ng mga limitasyon (tingnan ang artikulo Mga limitasyon. Mga halimbawa ng solusyon) sinusubukan naming palitan ang zero sa function: sa numerator nakakakuha kami ng zero (ang sine ng zero ay zero), sa denominator, malinaw naman, zero din. Kaya, tayo ay nahaharap sa isang kawalan ng katiyakan ng anyo, na, sa kabutihang palad, ay hindi kailangang ibunyag. Sa kurso ng pagsusuri sa matematika, pinatunayan na:

Ang mathematical fact na ito ay tinatawag Unang kahanga-hangang limitasyon. Hindi ako magbibigay ng analytical proof ng limitasyon, ngunit isasaalang-alang natin ang geometric na kahulugan nito sa aralin sa infinitesimal function.

Kadalasan sa mga praktikal na gawain, ang mga pag-andar ay maaaring ayusin nang iba, hindi ito nagbabago ng anuman:

– ang parehong unang kahanga-hangang limitasyon.

Ngunit hindi mo maaaring ayusin ang numerator at denominator sa iyong sarili! Kung ang isang limitasyon ay ibinigay sa form , pagkatapos ay dapat itong malutas sa parehong anyo, nang walang muling pagsasaayos ng anuman.

Sa pagsasagawa, hindi lamang isang variable ang maaaring kumilos bilang isang parameter, kundi pati na rin elementarya function, isang kumplikadong function. Mahalaga lamang na ito ay nagiging zero.

Mga halimbawa:
, , ,

Dito,,, , at lahat ay umuugong - ang unang kahanga-hangang limitasyon ay naaangkop.

At narito ang susunod na entry - maling pananampalataya:

Bakit? Dahil ang polynomial ay hindi may posibilidad na zero, ito ay may posibilidad na lima.

Sa pamamagitan ng paraan, ang tanong ay para sa backfilling, ngunit kung ano ang limitasyon ? Ang sagot ay makikita sa katapusan ng aralin.

Sa pagsasagawa, hindi lahat ng bagay ay napakakinis, halos hindi isang mag-aaral ang inaalok upang malutas ang isang libreng limitasyon at makakuha ng madaling kredito. Hmmm... Sinusulat ko ang mga linyang ito, at isang napakahalagang pag-iisip ang pumasok sa isip ko - kung tutuusin, tila mas mabuting tandaan ang "libre" na mga kahulugan at formula sa matematika sa pamamagitan ng puso, maaari itong maging napakahalagang tulong sa pagsusulit, kapag pagpapasya ang isyu sa pagitan ng "dalawa" at "tatlo", at nagpasya ang guro na tanungin ang mag-aaral ng ilang simpleng tanong o alok upang malutas ang pinakasimpleng halimbawa("baka alam niya (a) kung ano ?!").

Lumipat tayo sa pagsasaalang-alang praktikal na mga halimbawa:

Halimbawa 1

Hanapin ang limitasyon

Kung mapapansin natin ang isang sine sa limitasyon, ito ay dapat na agad na humantong sa atin na isipin ang posibilidad ng paglalapat ng unang kapansin-pansin na limitasyon.

Una, sinusubukan naming palitan ang 0 sa expression sa ilalim ng limit sign (ginagawa namin ito sa isip o sa isang draft):

Kaya, mayroon tayong kawalan ng katiyakan ng anyo, nito siguraduhing ipahiwatig sa paggawa ng desisyon. Ang expression sa ilalim ng sign ng limitasyon ay mukhang ang unang kahanga-hangang limitasyon, ngunit hindi ito ganap, ito ay nasa ilalim ng sine, ngunit sa denominator.

Sa ganitong mga kaso, kailangan nating ayusin ang unang kahanga-hangang limitasyon sa ating sarili, gamit ang isang artipisyal na aparato. Ang linya ng pangangatwiran ay maaaring ganito: "sa ilalim ng sine na mayroon tayo, na nangangahulugang kailangan din nating makapasok sa denominator".
At ito ay ginagawa nang napakasimple:

Iyon ay, ang denominator ay artipisyal na pinarami sa kasong ito ng 7 at hinati sa parehong pito. Ngayon ang rekord ay nakuha sa isang pamilyar na hugis.
Kapag ang gawain ay iginuhit sa pamamagitan ng kamay, ipinapayong markahan ang unang kahanga-hangang limitasyon gamit ang isang simpleng lapis:

Anong nangyari? Sa katunayan, ang nakabilog na expression ay naging isang unit at nawala sa produkto:

Ngayon ay nananatili na lamang na alisin ang tatlong-kuwento na bahagi:

Sino ang nakalimutan ang pagpapasimple ng mga multi-storey fraction, paki-refresh ang materyal sa reference book Mga Formula sa Hot School Mathematics .

handa na. Panghuling sagot:

Kung hindi mo nais na gumamit ng mga marka ng lapis, ang solusyon ay maaaring mai-format tulad nito:

“

Ginagamit namin ang unang kapansin-pansing limitasyon

“

Halimbawa 2

Hanapin ang limitasyon

Muli nating nakikita ang isang fraction at isang sine sa limitasyon. Sinusubukan naming palitan ang zero sa numerator at denominator:

Sa katunayan, mayroon tayong kawalan ng katiyakan at, samakatuwid, kailangan nating subukang ayusin ang unang kahanga-hangang limitasyon. Sa aralin Mga limitasyon. Mga halimbawa ng solusyon isinaalang-alang namin ang panuntunan na kapag mayroon kaming kawalan ng katiyakan , kailangan naming i-factor ang numerator at denominator sa mga kadahilanan. Dito - ang parehong bagay, ipapakita namin ang mga degree bilang isang produkto (mga multiplier):

Katulad ng nakaraang halimbawa, binabalangkas namin sa isang lapis ang mga kahanga-hangang limitasyon (narito mayroong dalawa sa kanila), at ipinapahiwatig na sila ay may posibilidad na isa:

Sa totoo lang, handa na ang sagot:

Sa mga sumusunod na halimbawa, hindi ako gagawa ng sining sa Paint, sa palagay ko kung paano gumawa ng tamang solusyon sa isang kuwaderno - naiintindihan mo na.

Halimbawa 3

Hanapin ang limitasyon

Pinapalitan namin ang zero sa expression sa ilalim ng limit sign:

Isang kawalan ng katiyakan ang nakuha na kailangang ibunyag. Kung mayroong isang tangent sa limitasyon, kung gayon ito ay halos palaging na-convert sa sine at cosine ayon sa kilalang trigonometric formula (sa pamamagitan ng paraan, ginagawa nila ang halos pareho sa cotangent, tingnan sa ibaba). materyal na pamamaraan Mainit na mga formula ng trigonometriko Sa pahina Mga pormula sa matematika, talahanayan at sangguniang materyales).

Sa kasong ito:

Ang cosine ng zero ay katumbas ng isa, at madaling mapupuksa ito (huwag kalimutang markahan na ito ay may posibilidad na isa):

Kaya, kung sa limitasyon ang cosine ay isang MULTIPLIER, kung gayon, sa halos pagsasalita, dapat itong gawing isang yunit, na nawawala sa produkto.

Narito ang lahat ay naging mas simple, nang walang anumang pagpaparami at paghahati. Ang unang kapansin-pansing limitasyon ay nagiging pagkakaisa at nawawala sa produkto:

Bilang isang resulta, ang kawalang-hanggan ay nakuha, ito ay nangyayari.

Halimbawa 4

Hanapin ang limitasyon

Sinusubukan naming palitan ang zero sa numerator at denominator:

Nakuha ang kawalan ng katiyakan (cosine ng zero, tulad ng naaalala natin, ay katumbas ng isa)

Ginagamit namin trigonometriko formula. Tandaan! Para sa ilang kadahilanan, ang mga limitasyon sa paggamit ng formula na ito ay napakakaraniwan.

Inalis namin ang patuloy na multiplier na lampas sa icon ng limitasyon:

Ayusin natin ang unang kapansin-pansing limitasyon:

Narito mayroon lamang kaming isang kamangha-manghang limitasyon, na nagiging isa at nawawala sa produkto:

Alisin natin ang tatlong-kuwento:

Ang limitasyon ay aktwal na nalutas, ipinapahiwatig namin na ang natitirang sine ay may posibilidad na zero:

Halimbawa 5

Hanapin ang limitasyon

Ang halimbawang ito ay mas kumplikado, subukang malaman ito sa iyong sarili:

Ang ilang mga limitasyon ay maaaring bawasan sa unang kapansin-pansing limitasyon sa pamamagitan ng pagbabago ng variable, maaari mong basahin ang tungkol dito sa ibang pagkakataon sa artikulo Limitahan ang Mga Paraan ng Paglutas.

Ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon

Sa teorya ng mathematical analysis ay pinatunayan na:

Ang katotohanang ito ay tinatawag na pangalawang kapansin-pansing limitasyon.

Sanggunian: ay isang hindi makatwirang numero.

Hindi lamang isang variable ang maaaring kumilos bilang isang parameter, kundi pati na rin isang kumplikadong function. Mahalaga lamang na ito ay nagsusumikap para sa kawalang-hanggan.

Halimbawa 6

Hanapin ang limitasyon

Kapag ang expression sa ilalim ng limit sign ay nasa kapangyarihan - ito ang unang senyales na kailangan mong subukang ilapat ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon.

Ngunit una, gaya ng dati, sinusubukan naming palitan nang walang katapusan malaking numero sa pagpapahayag, sa pamamagitan ng kung anong prinsipyo ito ginagawa, ay sinuri sa aralin Mga limitasyon. Mga halimbawa ng solusyon.

Madaling makita iyon kapag ang base ng degree, at ang exponent - , ibig sabihin, mayroong kawalan ng katiyakan sa anyo:

Ang kawalan ng katiyakan na ito ay ipinahayag lamang sa tulong ng pangalawang kahanga-hangang limitasyon. Ngunit, tulad ng madalas na nangyayari, ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay hindi namamalagi sa isang pilak na pinggan, at dapat itong artipisyal na organisado. Maaari kang mangatuwiran tulad ng sumusunod: sa halimbawang ito, ang parameter ay nangangahulugan na kailangan din nating ayusin sa indicator. Upang gawin ito, itinataas namin ang base sa isang kapangyarihan, at upang ang expression ay hindi magbago, itinaas namin ito sa isang kapangyarihan:

Kapag ang gawain ay iginuhit sa pamamagitan ng kamay, minarkahan namin ng lapis:

Halos lahat ay handa na, ang kakila-kilabot na antas ay naging isang magandang sulat:

Kasabay nito, ang icon ng limitasyon mismo ay inilipat sa tagapagpahiwatig:

Halimbawa 7

Hanapin ang limitasyon

Pansin! Limitahan ganitong klase madalas mangyari, mangyaring pag-aralan nang mabuti ang halimbawang ito.

Sinusubukan naming palitan ang isang walang katapusang malaking numero sa expression sa ilalim ng sign ng limitasyon:

Ang resulta ay isang kawalan ng katiyakan. Ngunit ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay nalalapat sa kawalan ng katiyakan ng form. Anong gagawin? Kailangan mong i-convert ang base ng degree. Nagtatalo tayo nang ganito: sa denominator na mayroon tayo , na nangangahulugan na kailangan din nating ayusin sa numerator.

Tutulungan ka ng online na calculator ng matematika na ito kung kailangan mo kalkulahin ang limitasyon ng pag-andar. Programa limitahan ang mga solusyon hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ito ay humahantong detalyadong solusyon na may mga paliwanag, ibig sabihin. ipinapakita ang progreso ng pagkalkula ng limitasyon.

Ang programang ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school bilang paghahanda para sa kontrol sa trabaho at mga pagsusulit, kapag sinusubukan ang kaalaman bago ang pagsusulit, ang mga magulang upang kontrolin ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ang iyong araling-bahay sa matematika o algebra sa lalong madaling panahon? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay sa iyong mga nakababatang kapatid o mga kapatid na babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng mga gawaing nilulutas.

Magpasok ng expression ng function

Kalkulahin ang Limitasyon

Napag-alaman na ang ilang mga script na kailangan upang malutas ang gawaing ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.

Na-disable mo ang JavaScript sa iyong browser.
Dapat na pinagana ang JavaScript para lumitaw ang solusyon.
Narito ang mga tagubilin kung paano paganahin ang JavaScript sa iyong browser.

kasi Maraming tao ang gustong malutas ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Pagkatapos ng ilang segundo, lilitaw ang solusyon sa ibaba.
Mangyaring maghintay sec...

kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.

Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Medyo teorya.

Ang limitasyon ng function sa x-> x 0

Hayaang tukuyin ang function na f(x) sa ilang set X at hayaan ang puntong \(x_0 \in X \) o \(x_0 \notin X \)

Kumuha mula sa X ng isang pagkakasunud-sunod ng mga puntos maliban sa x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
nagtatagpo sa x*. Ang mga halaga ng function sa mga punto ng pagkakasunud-sunod na ito ay bumubuo rin ng isang numerical sequence
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
at maaaring ibigay ng isa ang tanong ng pagkakaroon ng limitasyon nito.

Kahulugan. Ang numero A ay tinatawag na limitasyon ng function na f (x) sa puntong x \u003d x 0 (o sa x -> x 0), kung para sa anumang pagkakasunud-sunod (1) ng mga halaga ng argumento x na nagtatagpo sa x 0, naiiba sa x 0, ang katumbas na sequence (2) ng function ng mga value ay nagtatagpo sa numerong A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = Isang $$

Ang function na f(x) ay maaari lamang magkaroon ng isang limitasyon sa puntong x 0. Ito ay sumusunod mula sa katotohanan na ang pagkakasunod-sunod
(f(x n)) ay may isang limitasyon lamang.

May isa pang kahulugan ng limitasyon ng isang function.

Kahulugan Ang numerong A ay tinatawag na limitasyon ng function na f(x) sa puntong x = x 0 kung para sa anumang numero \(\varepsilon > 0 \) mayroong isang numerong \(\delta > 0 \) para sa lahat ng \ (x \in X, \; x \neq x_0 \) na nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay \(|x-x_0| Gamit ang mga lohikal na simbolo, ang kahulugang ito ay maaaring isulat bilang
\((\forall \varepsilon > 0) (\umiiral \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Tandaan na ang mga hindi pagkakapantay-pantay \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| Ang unang kahulugan ay batay sa paniwala ng isang limitasyon pagkakasunod-sunod ng numero, kaya naman madalas itong tinutukoy bilang ang kahulugan ng "sequence language". Ang pangalawang kahulugan ay tinatawag na "wika \(\varepsilon - \delta \)" na kahulugan.
Ang dalawang kahulugan ng limitasyon ng isang function ay katumbas, at maaari mong gamitin ang alinman sa mga ito, alinman ang mas maginhawa para sa paglutas ng isang partikular na problema.

Tandaan na ang kahulugan ng limitasyon ng isang function "sa wika ng mga pagkakasunud-sunod" ay tinatawag ding kahulugan ng limitasyon ng isang function ayon kay Heine, at ang kahulugan ng limitasyon ng isang function "sa wika \(\varepsilon - \delta \)" ay tinatawag ding kahulugan ng limitasyon ng isang function ayon sa Cauchy.

Limitasyon sa paggana sa x->x 0 - at sa x->x 0 +

Sa mga sumusunod, gagamitin namin ang mga konsepto ng isang panig na limitasyon ng isang function, na tinukoy bilang mga sumusunod.

Kahulugan Ang numerong A ay tinatawag na kanan (kaliwa) na limitasyon ng function na f (x) sa puntong x 0 kung para sa anumang pagkakasunud-sunod (1) na nagtatagpo sa x 0, na ang mga elementong x n ay mas malaki (mas mababa) kaysa sa x 0 , ang kaukulang sequence (2) nagtatagpo sa A.

Symbolically ito ay nakasulat tulad nito:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Ang isa ay maaaring magbigay ng katumbas na kahulugan ng isang panig na mga limitasyon ng isang function "sa wikang \(\varepsilon - \delta \)":

Kahulugan ang numerong A ay tinatawag na kanang (kaliwa) na limitasyon ng function na f(x) sa puntong x 0 kung para sa alinmang \(\varepsilon > 0 \) mayroong \(\delta > 0 \) na para sa lahat ng x na kasiya-siya ang mga hindi pagkakapantay-pantay \(x_0 Symbolic entries:

\((\forall \varepsilon > 0) (\umiiral \delta > 0) (\forall x, \; x_0