Zlomok- číslo, ktoré sa skladá z celého čísla zlomkov jednotky a je znázornené v tvare: a/b

Čitateľ zlomku (a)- číslo umiestnené nad zlomkovou čiarou a zobrazujúce počet podielov, na ktoré bola jednotka rozdelená.

Menovateľ zlomku (b)- číslo umiestnené pod zlomkovou čiarou a znázorňujúce, na koľko častí je jednotka rozdelená.

2. Redukcia zlomkov na spoločného menovateľa

3. Aritmetické operácie s obyčajnými zlomkami

3.1. Doplnenie bežné zlomky

3.2. Odčítanie zlomkov

3.3. Násobenie bežných zlomkov

3.4. Delenie zlomkov

4. Recipročné čísla

5. Desatinné čísla

6. Aritmetické operácie s desatinnými miestami

6.1. Pridávanie desatinných miest

6.2. Odčítanie desatinných miest

6.3. Násobenie desatinných miest

6.4. Desatinné delenie

#1. Hlavná vlastnosť zlomku

Ak sa čitateľ a menovateľ zlomku vynásobia alebo vydelia rovnakým číslom, ktoré sa nerovná nule, dostanete zlomok rovný danému.

3/7=3*3/7*3=9/21, teda 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m – takto vyzerá hlavná vlastnosť zlomku.

Inými slovami, zlomok rovný danému dostaneme vynásobením alebo vydelením čitateľa a menovateľa pôvodného zlomku rovnakým prirodzeným číslom.

Ak ad=bc, potom dva zlomky a/b = c /d sa považujú za rovnaké.

Napríklad zlomky 3/5 a 9/15 sa budú rovnať, pretože 3*15=5*9, teda 45=45

Zníženie zlomku je proces nahradenia zlomku, v ktorom sa nový zlomok rovná pôvodnému, ale s menším čitateľom a menovateľom.

Zvykom je redukcia frakcií na základe základnej vlastnosti frakcie.

Napríklad, 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (čitateľ a menovateľ sa delia číslom 3, 5 a 15).

Neredukovateľný zlomok je zlomok formy 3/4 ​ ​ , kde čitateľ a menovateľ sú vzájomné základné čísla. Hlavným účelom redukcie frakcie je urobiť frakciu nezredukovateľnou.

2. Redukcia zlomkov na spoločného menovateľa

Ak chcete priviesť dva zlomky do spoločného menovateľa, musíte:

1) faktor menovateľa každého zlomku do prvočísel;

2) vynásobte čitateľa a menovateľa prvého zlomku chýbajúcimi

faktory z rozšírenia druhého menovateľa;

3) vynásobte čitateľa a menovateľa druhého zlomku chýbajúcimi faktormi z prvého rozšírenia.

Príklady: Redukujte zlomky na spoločného menovateľa.

Rozložme menovateľov na jednoduché faktory: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

Vynásobte čitateľa a menovateľa zlomku chýbajúcim faktorom 5 z druhého rozšírenia.

čitateľa a menovateľa zlomku do chýbajúcich faktorov 3 a 2 z prvého rozšírenia.

= , 90 – spoločný menovateľ zlomkov.

3. Aritmetické operácie s obyčajnými zlomkami

3.1. Sčítanie obyčajných zlomkov

a) Ak sú menovatele rovnaké, čitateľ prvého zlomku sa pripočíta k čitateľovi druhého zlomku, pričom menovateľ zostane rovnaký. Ako môžete vidieť na príklade:

a/b+c/b=(a+c)/b ​ ​ ;

b) Pre rôznych menovateľov sa zlomky najskôr zredukujú na spoločného menovateľa a potom sa pridajú čitatelia podľa pravidla a):

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. Odčítanie zlomkov

a) Ak sú menovatelia rovnakí, odčítajte čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku, pričom menovateľ zostane rovnaký:

a/b-c/b=(a-c)/b ​ ​ ;

b) Ak sú menovatelia zlomkov rozdielne, najskôr sa zlomky privedú k spoločnému menovateľovi a potom sa akcie zopakujú ako v bode a).

3.3. Násobenie bežných zlomkov

Násobenie zlomkov sa riadi nasledujúcim pravidlom:

a/b*c/d=a*c/b*d,

to znamená, že násobia čitateľov a menovateľov oddelene.

Napríklad:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. Delenie zlomkov

Frakcie sa delia nasledujúcim spôsobom:

a/b:c/d=a*d/b*c,

to znamená, že zlomok a/b sa vynásobí prevráteným zlomkom daného, ​​teda vynásobí sa d/c.

Príklad: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. Recipročné čísla

Ak a*b=1, potom je číslo b recipročné číslo pre číslo a.

Príklad: pre číslo 9 je recipročné 1/9 ​ ​ , od 9*1.9 = 1 , pre číslo 5 - inverzné číslo 1/5 ​ ​ , pretože 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. Desatinné čísla

Desatinné je vlastný zlomok, ktorého menovateľ sa rovná 10, 1000, 10 000, …, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ n​ ​ .

Napríklad: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 ​ .

Nesprávne s menovateľom sa píšu rovnakým spôsobom 10^n alebo zmiešané čísla.

Napríklad: 51/10= 5,1; 763/100=7,63

Každý obyčajný zlomok s menovateľom, ktorý je deliteľom určitej mocniny 10, je reprezentovaný ako desatinný zlomok.

menič, ktorý je deliteľom určitej mocniny čísla 10.

Príklad: 5 je deliteľ 100, teda je to zlomok 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. Aritmetické operácie s desatinnými miestami

6.1. Pridávanie desatinných miest

Ak chcete pridať dva desatinné zlomky, musíte ich usporiadať tak, aby boli pod sebou rovnaké číslice a pod čiarkou bola čiarka, a potom zlomky sčítajte ako bežné čísla.

6.2. Odčítanie desatinných miest

Vykonáva sa rovnakým spôsobom ako sčítanie.

6.3. Násobenie desatinných miest

Pri násobení desatinných čísel stačí dané čísla vynásobiť, nedbať na čiarky (ako prirodzené čísla) a vo výslednej odpovedi čiarka vpravo oddelí toľko číslic, koľko je za desatinnou čiarkou v oboch faktoroch. spolu.

Vynásobme 2,7 1,3. Máme 27\cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . Dve číslice vpravo oddeľujeme čiarkou (prvé a druhé číslo má jednu číslicu za desatinnou čiarkou; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). V dôsledku toho dostaneme 2,7 \ cdot 1,3 = 3,51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

Ak výsledný výsledok obsahuje menej číslic, než je potrebné oddeliť čiarkou, chýbajúce nuly sa napíšu dopredu, napríklad:

Ak chcete vynásobiť 10, 100, 1000, musíte posunúť desatinnú čiarku o 1, 2, 3 číslice doprava (v prípade potreby sa doprava priradí určitý počet núl).

Napríklad: 1,47\cdot 10 000 = 14 700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4. Desatinné delenie

Delenie desatinného zlomku prirodzeným číslom sa robí rovnakým spôsobom ako delenie prirodzeného čísla prirodzeným číslom. Čiarka v kvociente sa umiestni po dokončení delenia celej časti.

Ak je celočíselná časť dividendy menšia ako deliteľ, odpoveď je nula celých čísel, napríklad:

Pozrime sa na delenie desatinnej čiarky desatinnou čiarkou. Povedzme, že potrebujeme deliť 2,576 číslom 1,12. Najprv vynásobme deliteľa a deliteľa zlomku číslom 100, to znamená, že desatinnú čiarku v deleni a deliteľovi posunieme doprava o toľko číslic, koľko je v deliteľovi za desatinnou čiarkou (v tomto príklade dva). Potom musíte rozdeliť zlomok 257,6 prirodzeným číslom 112, to znamená, že problém sa zredukuje na už uvažovaný prípad:

Stáva sa, že konečný desatinný zlomok nie je vždy získaný pri delení jedného čísla druhým. Výsledkom je nekonečný desatinný zlomok. V takýchto prípadoch prejdeme k obyčajným zlomkom.

Napríklad 2,8: 0,09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9= ​ 31 1/9 ​ ​ .

Táto časť zahŕňa operácie s obyčajnými zlomkami. Ak je potrebné vykonať matematickú operáciu so zmiešanými číslami, potom stačí previesť zmiešaný zlomok na mimoriadny zlomok, vykonať nevyhnutné operácie a ak je to potrebné, prezentujte konečný výsledok opäť ako zmiešané číslo. Táto operácia budú popísané nižšie.

Zníženie zlomku

Matematická operácia. Zníženie zlomku

Na zmenšenie zlomku \frac(m)(n) musíte nájsť najväčšieho spoločného deliteľa jeho čitateľa a menovateľa: gcd(m,n) a potom vydeliť čitateľa a menovateľa zlomku týmto číslom. Ak GCD(m,n)=1, potom zlomok nemožno zmenšiť. Príklad: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

Zvyčajne je ľahké okamžite nájsť najväčšieho spoločného deliteľa náročná úloha a v praxi sa zlomok redukuje v niekoľkých stupňoch, krok za krokom izoluje zrejmé spoločné faktory od čitateľa a menovateľa. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

Redukcia zlomkov na spoločného menovateľa

Matematická operácia. Redukcia zlomkov na spoločného menovateľa

Ak chcete priviesť dva zlomky \frac(a)(b) a \frac(c)(d) do spoločného menovateľa, potrebujete:

• nájdite najmenší spoločný násobok menovateľov: M=LMK(b,d);
• vynásobte čitateľa a menovateľa prvého zlomku číslom M/b (potom sa menovateľ zlomku rovná číslu M);
• vynásobte čitateľa a menovateľa druhého zlomku číslom M/d (potom sa menovateľ zlomku rovná číslu M).

Pôvodné zlomky teda transformujeme na zlomky s rovnakými menovateľmi (ktoré sa budú rovnať číslu M).

Napríklad zlomky \frac(5)(6) a \frac(4)(9) majú LCM(6,9) = 18. Potom: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . Výsledné zlomky majú teda spoločného menovateľa.

V praxi nie je hľadanie najmenšieho spoločného násobku (LCM) menovateľov vždy jednoduchou úlohou. Preto sa ako spoločný menovateľ zvolí číslo rovné súčinu menovateľov pôvodných zlomkov. Napríklad zlomky \frac(5)(6) a \frac(4)(9) sa zredukujú na spoločného menovateľa N=6\cdot9:

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)

Porovnanie zlomkov

Matematická operácia. Porovnanie zlomkov

Na porovnanie dvoch obyčajných zlomkov potrebujete:

• porovnajte čitateľov výsledných zlomkov; zlomok s väčším čitateľom bude väčší.

Napríklad \frac(9)(14)

Pri porovnávaní zlomkov existuje niekoľko špeciálnych prípadov:

1. Z dvoch frakcií s rovnakými menovateľmi Zlomok, ktorého čitateľ je väčší, je väčší. Napríklad \frac(3)(15)
2. Z dvoch frakcií s rovnakými čitateľmi Väčší je zlomok, ktorého menovateľ je menší. Napríklad \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
3. Ten zlomok, ktorý súčasne väčší čitateľ a menší menovateľ, viac. Napríklad \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

Pozor! Pravidlo 1 platí pre všetky zlomky, ak je ich spoločným menovateľom kladné číslo. Pravidlá 2 a 3 platia pre kladné zlomky (tie, ktorých čitateľ aj menovateľ je väčší ako nula).

Sčítanie a odčítanie zlomkov

Matematická operácia. Sčítanie a odčítanie zlomkov

Na sčítanie dvoch zlomkov potrebujete:

• priviesť ich k spoločnému menovateľovi;
• pridajte ich čitateľov a ponechajte menovateľa nezmenený.

Príklad: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49 )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)

Na odčítanie ďalšieho z jedného zlomku potrebujete:

• znížiť zlomky na spoločného menovateľa;
• Odčítajte čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a ponechajte menovateľa nezmenený.

Príklad: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

Ak majú pôvodné zlomky na začiatku spoločného menovateľa, potom sa krok 1 (redukcia na spoločného menovateľa) preskočí.

Prevod zmiešaného čísla na nesprávny zlomok a naopak

Matematická operácia. Prevod zmiešaného čísla na nesprávny zlomok a naopak

Ak chcete previesť zmiešanú frakciu na nesprávnu frakciu, jednoducho spočítajte celú časť zmiešanej frakcie so zlomkovou časťou. Výsledkom takéhoto súčtu bude nevlastný zlomok, ktorého čitateľ sa rovná súčtu súčinu celej časti menovateľom zlomku s čitateľom zmiešaného zlomku a menovateľ zostane rovnaký. Napríklad 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)

Ak chcete previesť nesprávny zlomok na zmiešané číslo:

• vydeliť čitateľa zlomku jeho menovateľom;
• zvyšok delenia napíšte do čitateľa a menovateľ ponechajte rovnaký;
• zapíšte výsledok delenia ako celú časť.

Napríklad zlomok \frac(23)(4) . Pri delení 23:4=5,75, čiže celá časť je 5, zvyšok delenia je 23-5*4=3. Potom sa zmiešané číslo zapíše: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

Prevod desatinného čísla na zlomok

Matematická operácia. Prevod desatinného čísla na zlomok

Ak chcete previesť desatinný zlomok na bežný zlomok, musíte:

1. vezmite ako menovateľ n-tú mocninu desiatich (tu n je počet desatinných miest);
2. ako čitateľ vezmite číslo za desatinnou čiarkou (ak je to celé číslo pôvodné číslo sa nerovná nule, potom vezmite aj všetky úvodné nuly);
3. nenulová celá časť sa zapisuje do čitateľa úplne na začiatku; nulová celočíselná časť je vynechaná.

Príklad 1: 0,0089=\frac(89)(10000) (sú 4 desatinné miesta, takže menovateľ má 10 4 =10000, keďže celočíselná časť je 0, v čitateli je číslo za desatinnou čiarkou bez úvodných núl)

Príklad 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (do čitateľa napíšeme číslo za desatinnou čiarkou so všetkými nulami: „0109“ a potom pred neho pridáme celú časť pôvodného čísla „31“).

Ak je celá časť desatinného zlomku nenulová, môže sa previesť na zmiešaný zlomok. Aby sme to urobili, prevedieme číslo na obyčajný zlomok, ako keby sa celá časť rovnala nule (body 1 a 2), a jednoducho celú časť prepíšeme pred zlomok - bude to celá časť zmiešaného čísla. . Príklad:

3,014=3\frac(14)(100)

Ak chcete previesť zlomok na desatinné číslo, jednoducho vydeľte čitateľa menovateľom. Niekedy skončíte s nekonečnou desatinnou čiarkou. V tomto prípade je potrebné zaokrúhliť na požadované desatinné miesto. Príklady:

\frac(401)(5)=80,2;\quad \frac(2)(3)\približne 0,6667

Násobenie a delenie zlomkov

Matematická operácia. Násobenie a delenie zlomkov

Ak chcete vynásobiť dva bežné zlomky, musíte vynásobiť čitateľov a menovateľov zlomkov.

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

Ak chcete rozdeliť jeden spoločný zlomok druhým, musíte vynásobiť prvý zlomok prevrátenou hodnotou druhého ( recipročný zlomok- zlomok, v ktorom sa vymení čitateľ a menovateľ.

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

Ak je jeden zo zlomkov prirodzené číslo, potom zostávajú v platnosti vyššie uvedené pravidlá násobenia a delenia. Musíte len vziať do úvahy, že celé číslo je rovnaký zlomok, ktorého menovateľ sa rovná jednej. Napríklad: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7

Zlomky

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Zlomky nie sú na strednej škole veľmi na obtiaž. Zatiaľ. Až kým nenarazíte na mocniny s racionálnymi exponentmi a logaritmami. A tam... Stlačíte a stlačíte kalkulačku a zobrazí sa úplné zobrazenie niektorých čísel. Treba myslieť hlavou ako v tretej triede.

Poďme konečne prísť na zlomky! No ako veľmi sa v nich dá zmiasť!? Navyše je to všetko jednoduché a logické. takže, aké sú druhy zlomkov?

Druhy zlomkov. Premeny.

Existujú zlomky tri typy.

1. Bežné zlomky , Napríklad:

Niekedy namiesto vodorovnej čiary dajú lomítko: 1/2, 3/4, 19/5, dobre atď. Tu budeme často používať tento pravopis. Zavolá sa najvyššie číslo čitateľ, nižšie - menovateľ. Ak si tieto mená neustále pletiete (stáva sa...), povedzte si frázu: " Zzzzz zapamätaj si! Zzzzz menovateľ - pohľad zzzzz uh!" Pozri, všetko sa bude zzzz pamätať.)

Pomlčka, horizontálna alebo naklonená, znamená divízie od horného čísla (čitateľ) po spodné číslo (menovateľ). To je všetko! Namiesto pomlčky je celkom možné umiestniť znak delenia - dve bodky.

Keď je možné úplné rozdelenie, musí sa to urobiť. Takže namiesto zlomku „32/8“ je oveľa príjemnejšie napísať číslo „4“. Tie. 32 je jednoducho delené 8.

32/8 = 32: 8 = 4

O zlomku "4/1" ani nehovorím. Čo je tiež len „4“. A ak to nie je úplne deliteľné, necháme to ako zlomok. Niekedy musíte urobiť opačnú operáciu. Previesť celé číslo na zlomok. Ale o tom neskôr.

2. Desatinné čísla , Napríklad:

V tejto forme budete musieť zapísať odpovede na úlohy „B“.

3. Zmiešané čísla , Napríklad:

Zmiešané čísla sa na strednej škole prakticky nepoužívajú. Aby sa s nimi dalo pracovať, musia sa previesť na obyčajné zlomky. Ale určite to musíte vedieť! Inak na takéto číslo narazíte v probléme a zamrznete... Z ničoho nič. Tento postup si ale zapamätáme! Trochu nižšie.

Najvšestrannejšie bežné zlomky. Začnime nimi. Mimochodom, ak zlomok obsahuje všetky druhy logaritmov, sínusov a iných písmen, nič to nemení. V tom zmysle, že všetko akcie so zlomkovými výrazmi sa nelíšia od akcií s obyčajnými zlomkami!

Hlavná vlastnosť zlomku.

Tak, poďme! Na začiatok vás prekvapím. Celú škálu transformácií zlomkov poskytuje jediná vlastnosť! Tak sa to volá hlavná vlastnosť zlomku. Pamätajte: Ak sa čitateľ a menovateľ zlomku vynásobia (vydelia) rovnakým číslom, zlomok sa nezmení. tieto:

Je jasné, že môžete pokračovať v písaní, kým nebudete modrý v tvári. Nenechajte sa zmiasť sínusmi a logaritmy, budeme sa nimi zaoberať ďalej. Hlavná vec je pochopiť, že všetky tieto rôzne výrazy sú rovnaký zlomok . 2/3.

Potrebujeme to, všetky tieto premeny? A ako! Teraz uvidíte sami. Na začiatok použime základnú vlastnosť zlomku pre redukčné frakcie. Vyzeralo by to ako elementárna vec. Vydeľte čitateľa a menovateľa rovnakým číslom a je to! Nie je možné urobiť chybu! Ale... človek je tvor tvorivý. Chybu môžete urobiť kdekoľvek! Najmä ak musíte zmenšiť nie zlomok ako 5/10, ale zlomkový výraz so všetkými druhmi písmen.

Ako správne a rýchlo zmenšiť zlomky bez vykonania práce navyše si môžete prečítať v špeciálnej časti 555.

Normálny študent sa netrápi delením čitateľa a menovateľa rovnakým číslom (alebo výrazom)! Jednoducho prečiarkne všetko, čo je rovnaké hore aj dole! Tu sa skrýva typická chyba, ak chcete, prešľap.

Napríklad musíte zjednodušiť výraz:

Tu nie je o čom premýšľať, prečiarknite písmeno „a“ hore a „2“ dole! Dostaneme:

Všetko je správne. Ale naozaj ste sa rozdelili všetky čitateľ a všetky menovateľ je "a". Ak ste zvyknutí len prečiarknuť, potom môžete v zhone prečiarknuť „a“ vo výraze

a získajte to znova

Čo by bolo kategoricky nesprávne. Pretože tu všetkyčitateľ na "a" už je nezdieľa! Tento zlomok nie je možné znížiť. Mimochodom, takéto zníženie je, ehm... vážna výzva pre učiteľa. Toto sa neodpúšťa! Pamätáš si? Pri redukcii treba deliť všetky čitateľ a všetky menovateľ!

Zmenšením zlomkov je život oveľa jednoduchší. Niekde dostanete zlomok, napríklad 375/1000. Ako s ňou teraz môžem pokračovať v práci? Bez kalkulačky? Vynásobte, povedzte, sčítajte, druhú mocninu!? A ak nie ste príliš leniví, opatrne to skrátite o päť a o ďalších päť a dokonca... skrátka, kým sa to skracuje. Dáme 3/8! Oveľa krajšie, však?

Hlavná vlastnosť zlomku umožňuje previesť bežné zlomky na desatinné a naopak bez kalkulačky! To je dôležité pre jednotnú štátnu skúšku, však?

Ako previesť zlomky z jedného typu na druhý.

S desatinnými zlomkami je všetko jednoduché. Ako sa počúva, tak sa aj píše! Povedzme 0,25. Toto je nula, dvadsaťpäť stotín. Takže píšeme: 25/100. Zmenšíme (čitateľa a menovateľa vydelíme 25), dostaneme obvyklý zlomok: 1/4. Všetky. Stáva sa to a nič sa neznižuje. Ako 0,3. Ide o tri desatiny, t.j. 3/10.

Čo ak celé čísla nie sú nula? Je to v poriadku. Zapíšeme celý zlomok bez čiarok v čitateli a v menovateli - to, čo je počuť. Napríklad: 3.17. To sú tri bodové sedemnásť stotín. Do čitateľa napíšeme 317 a do menovateľa 100, dostaneme 317/100. Nič sa nezmenšuje, to znamená všetko. Toto je odpoveď. Základný Watson! Zo všetkého, čo bolo povedané, je užitočný záver: akýkoľvek desatinný zlomok možno previesť na bežný zlomok .

Niektorí ľudia však nemôžu urobiť spätný prevod z obyčajného na desatinné číslo bez kalkulačky. A je to potrebné! Ako zapíšete odpoveď na Jednotnú štátnu skúšku!? Pozorne čítajte a osvojte si tento proces.

Aká je charakteristika desatinného zlomku? Jej menovateľom je Vždy stojí 10, alebo 100, alebo 1000, alebo 10000 a tak ďalej. Ak má váš spoločný zlomok menovateľa ako je tento, nie je problém. Napríklad 4/10 = 0,4. Alebo 7/100 = 0,07. Alebo 12/10 = 1,2. Čo ak sa ukáže, že odpoveď na úlohu v časti „B“ je 1/2? Čo napíšeme ako odpoveď? Vyžaduje sa desatinné číslo...

Spomeňme si hlavná vlastnosť zlomku ! Matematika priaznivo umožňuje vynásobiť čitateľa a menovateľa rovnakým číslom. Mimochodom, čokoľvek! Okrem nuly, samozrejme. Využime teda túto vlastnosť v náš prospech! Čím sa dá vynásobiť menovateľ, t.j. 2 tak, aby z toho bolo 10, alebo 100, alebo 1000 (samozrejme, že menšie je lepšie...)? O 5, samozrejme. Pokojne vynásobte menovateľa (to je nás potrebné) o 5. Potom však treba vynásobiť aj čitateľ 5. To už je matematiky požiadavky! Dostaneme 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. To je všetko.

Narážajú však na všelijaké menovatele. Stretnete sa napríklad so zlomkom 3/16. Skúste prísť na to, čím vynásobiť 16, aby bolo 100 alebo 1000... Nefunguje to? Potom môžete jednoducho vydeliť 3 číslom 16. Ak nemáte kalkulačku, budete musieť deliť rohom na papieri, ako to učili na základnej škole. Dostaneme 0,1875.

A existujú aj veľmi zlé menovatele. Napríklad neexistuje spôsob, ako zmeniť zlomok 1/3 na dobré desatinné číslo. Na kalkulačke aj na papieri dostaneme 0,3333333... To znamená, že 1/3 je presný desatinný zlomok neprekladá. Rovnako ako 1/7, 5/6 atď. Je ich veľa, nepreložiteľných. To nás privádza k ďalšiemu užitočnému záveru. Nie každý zlomok sa dá previesť na desatinné číslo !

Mimochodom, toto užitočné informácie na autotest. V časti „B“ musíte vo svojej odpovedi zapísať desatinný zlomok. A dostali ste napríklad 4/3. Tento zlomok sa neprevádza na desatinné číslo. To znamená, že ste niekde na ceste urobili chybu! Vráťte sa a skontrolujte riešenie.

Takže sme prišli na bežné a desatinné zlomky. Ostáva už len vysporiadať sa so zmiešanými číslami. Aby ste s nimi mohli pracovať, musia sa previesť na bežné zlomky. Ako to spraviť? Môžete chytiť šiestaka a opýtať sa ho. Ale šiestak nebude vždy po ruke... Budete to musieť urobiť sami. Nie je to ťažké. Musíte vynásobiť menovateľa zlomkovej časti celou časťou a pridať čitateľa zlomkovej časti. Toto bude čitateľ spoločného zlomku. A čo menovateľ? Menovateľ zostane rovnaký. Znie to komplikovane, ale v skutočnosti je všetko jednoduché. Pozrime sa na príklad.

Predpokladajme, že ste boli zhrození, keď ste v probléme videli číslo:

Pokojne, bez paniky, myslíme si. Celá časť je 1. Jednotka. Zlomková časť je 3/7. Preto je menovateľ zlomkovej časti 7. Tento menovateľ bude menovateľom obyčajného zlomku. Počítame čitateľa. Vynásobíme 7 číslom 1 (celočíselná časť) a pridáme 3 (čitateľ zlomkovej časti). Dostaneme 10. Toto bude čitateľ spoločného zlomku. To je všetko. V matematickom zápise to vyzerá ešte jednoduchšie:

je to jasné? Potom si zabezpečte svoj úspech! Preveďte na obyčajné zlomky. Mali by ste dostať 10/7, 7/2, 23/10 a 21/4.

Opačná operácia – premena nesprávneho zlomku na zmiešané číslo – sa na strednej škole vyžaduje len zriedka. No, ak áno... A ak nie ste na strednej škole, môžete sa pozrieť do špeciálnej sekcie 555. Mimochodom, dozviete sa tam aj o nesprávnych zlomkoch.

No a to je prakticky všetko. Zapamätali ste si typy zlomkov a pochopili ste Ako preniesť ich z jedného typu na druhý. Otázkou zostáva: Prečo urob to? Kde a kedy uplatniť tieto hlboké znalosti?

Odpovedám. Akýkoľvek príklad vám povie potrebné opatrenia. Ak sa v príklade zmiešajú bežné zlomky, desatinné miesta a dokonca aj zmiešané čísla, všetko prevedieme na obyčajné zlomky. Vždy sa to dá. No, ak to hovorí niečo ako 0,8 + 0,3, potom to počítame tak, bez akéhokoľvek prekladu. Prečo potrebujeme prácu navyše? Vyberáme riešenie, ktoré je pohodlné nás !

Ak je úloha úplne desatinné miesta, ale hm... nejaké zlé, choďte do obyčajných, skúste to! Pozri, všetko bude fungovať. Napríklad budete musieť odmocniť číslo 0,125. Nie je to také ľahké, ak ste si nezvykli na používanie kalkulačky! Nielen, že musíte násobiť čísla v stĺpci, musíte tiež myslieť na to, kam vložiť čiarku! Vo vašej hlave to určite nepôjde! Čo ak prejdeme k obyčajnému zlomku?

0,125 = 125/1000. Znížime o 5 (to je pre začiatok). Dostaneme 25/200. Ešte raz o 5. Dostaneme 5/40. Ach, stále sa to zmenšuje! Späť na 5! Dostaneme 1/8. Ľahko to odmocníme (v našich mysliach!) a dostaneme 1/64. Všetky!

Zhrňme si túto lekciu.

1. Existujú tri typy zlomkov. Bežné, desatinné a zmiešané čísla.

2. Desatinné a zmiešané čísla Vždy možno previesť na obyčajné zlomky. Spätný prevod nie vždy k dispozícii.

3. Výber typu zlomkov na prácu s úlohou závisí od samotnej úlohy. V prítomnosti odlišné typy zlomky v jednej úlohe, najspoľahlivejšie je prejsť na obyčajné zlomky.

Teraz môžete cvičiť. Najprv preveďte tieto desatinné zlomky na obyčajné zlomky:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Mali by ste dostať takéto odpovede (v neporiadku!):

Skončime tu. V tejto lekcii sme si osviežili pamäť Kľúčové body po zlomkoch. Stáva sa však, že nie je nič špeciálne na osvieženie...) Ak niekto úplne zabudol, alebo to ešte neovládol... Potom môžete ísť na špeciálny oddiel 555. Všetky základy sú tam podrobne popísané. Mnohí zrazu rozumieť všetkému začínajú. A zlomky riešia za chodu).

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Zlomky sú obyčajné čísla a možno ich aj sčítať a odčítať. Ale vďaka tomu, že obsahujú menovateľa, viac zložité pravidlá než pre celé čísla.

Uvažujme o najjednoduchšom prípade, keď existujú dva zlomky s rovnakými menovateľmi. potom:

Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a ponechať menovateľa nezmenený.

Ak chcete odčítať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte odpočítať čitateľa druhého od čitateľa prvého zlomku a opäť ponechať menovateľa nezmenený.

V rámci každého výrazu sú menovatele zlomkov rovnaké. Definíciou sčítania a odčítania zlomkov dostaneme:

Ako vidíte, nie je to nič zložité: stačí pridať alebo odčítať čitateľa a je to.

Ale aj v takom jednoduché akcieľuďom sa darí robiť chyby. Najčastejšie sa zabúda na to, že menovateľ sa nemení. Napríklad pri ich pridávaní sa začnú aj sčítavať, a to je zásadne nesprávne.

Zbaviť sa zlozvyk Pridávanie menovateľov je celkom jednoduché. Skúste to isté pri odčítaní. V dôsledku toho bude menovateľ nula a zlomok (náhle!) stratí svoj význam.

Preto si pamätajte raz a navždy: pri sčítaní a odčítaní sa menovateľ nemení!

Mnoho ľudí robí chyby aj pri sčítaní niekoľkých záporných zlomkov. Nastáva zmätok so znamienkami: kde dať mínus a kde plus.

Tento problém je tiež veľmi ľahko riešiteľný. Stačí si zapamätať, že mínus pred znamienkom zlomku možno vždy preniesť do čitateľa - a naopak. A samozrejme, nezabudnite na dve jednoduché pravidlá:

1. Plus mínus dáva mínus;
2. Dva zápory potvrdzujú.

Pozrime sa na to všetko na konkrétnych príkladoch:

Úloha. Nájdite význam výrazu:

V prvom prípade je všetko jednoduché, ale v druhom pridajme mínusy k čitateľom zlomkov:

Čo robiť, ak sa menovatelia líšia

Zlomky s rôznymi menovateľmi nemôžete pridávať priamo. Aspoň mne je táto metóda neznáma. Pôvodné zlomky sa však vždy dajú prepísať tak, aby sa menovatelia stali rovnakými.

Existuje mnoho spôsobov, ako previesť zlomky. Tri z nich sú diskutované v lekcii „Redukcia zlomkov na spoločného menovateľa“, takže sa nimi tu nebudeme zaoberať. Pozrime sa na niekoľko príkladov:

Úloha. Nájdite význam výrazu:

V prvom prípade zlomky zredukujeme na spoločného menovateľa pomocou metódy „krížom“. V druhom budeme hľadať NOC. Všimnite si, že 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Posledné faktory v týchto rozšíreniach sú rovnaké a prvé sú relatívne prvočísla. Preto LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.

Čo robiť, ak má zlomok celočíselnú časť

Môžem vás potešiť: rôzni menovatelia v zlomkoch nie sú najväčšie zlo. Veľa viac chýb nastane, keď je celočíselná časť izolovaná v zlomkových členoch.

Samozrejme, že existujú vlastné algoritmy sčítania a odčítania pre takéto zlomky, ale sú dosť zložité a vyžadujú si dlhé štúdium. Lepšie využitie jednoduchý diagram, dané nižšie:

1. Preveďte všetky zlomky obsahujúce celočíselné časti na nesprávne. Získame normálne členy (aj s rôznymi menovateľmi), ktoré sa vypočítajú podľa vyššie uvedených pravidiel;
2. V skutočnosti vypočítajte súčet alebo rozdiel výsledných zlomkov. V dôsledku toho prakticky nájdeme odpoveď;
3. Ak je to všetko, čo bolo v úlohe požadované, vykonáme inverznú transformáciu, t.j. Nevlastného zlomku sa zbavíme zvýraznením celej časti.

Pravidlá prechodu na nesprávne zlomky a zvýraznenie celej časti sú podrobne popísané v lekcii „Čo je to číselný zlomok“. Ak si to nepamätáte, určite si to zopakujte. Príklady:

Úloha. Nájdite význam výrazu:

Všetko je tu jednoduché. Menovatelia vo vnútri každého výrazu sú si rovní, takže zostáva len previesť všetky zlomky na nesprávne a počítať. Máme:

Pre zjednodušenie výpočtov som v posledných príkladoch preskočil niektoré zrejmé kroky.

Malá poznámka k posledným dvom príkladom, kde sa odčítavajú zlomky so zvýraznenou celočíselnou časťou. Mínus pred druhým zlomkom znamená, že sa odpočíta celý zlomok, nielen jeho časť.

Znova si prečítajte túto vetu, pozrite sa na príklady - a premýšľajte o tom. Tu robia začiatočníci obrovské množstvo chýb. Radi dávajú takéto úlohy testy. Viackrát sa s nimi stretnete aj v testoch k tejto lekcii, ktoré budú čoskoro zverejnené.

Zhrnutie: všeobecná schéma výpočtu

Na záver uvediem všeobecný algoritmus, ktorý vám pomôže nájsť súčet alebo rozdiel dvoch alebo viacerých zlomkov:

1. Ak má jeden alebo viacero zlomkov celočíselnú časť, preveďte tieto zlomky na nesprávne;
2. Priveďte všetky zlomky k spoločnému menovateľovi akýmkoľvek spôsobom, ktorý vám vyhovuje (pokiaľ to, samozrejme, neurobili autori úloh);
3. Pridajte alebo odčítajte výsledné čísla podľa pravidiel pre sčítanie a odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi;
4. Ak je to možné, výsledok skráťte. Ak je zlomok nesprávny, vyberte celú časť.

Pamätajte, že je lepšie zvýrazniť celú časť na samom konci úlohy, bezprostredne pred zapísaním odpovede.

Jednou z najvýznamnejších vied, ktorej uplatnenie môžeme vidieť v odboroch ako chémia, fyzika či dokonca biológia, je matematika. Štúdium tejto vedy vám umožňuje rozvíjať niektoré duševné vlastnosti a zlepšiť schopnosť koncentrácie. Jednou z tém, ktoré si v kurze Matematika zaslúžia osobitnú pozornosť, je sčítanie a odčítanie zlomkov. Pre mnohých študentov je štúdium ťažké. Možno vám náš článok pomôže lepšie pochopiť túto tému.

Ako odčítať zlomky, ktorých menovateľ je rovnaký

Zlomky sú rovnaké čísla, s ktorými môžete vykonávať rôzne operácie. Ich rozdiel od celých čísel spočíva v prítomnosti menovateľa. Preto pri vykonávaní operácií so zlomkami musíte študovať niektoré z ich vlastností a pravidiel. Väčšina jednoduchý prípad je odčítanie obyčajných zlomkov, ktorých menovateľmi sú rovnaké čísla. Vykonanie tejto akcie nebude ťažké, ak poznáte jednoduché pravidlo:

• Na odčítanie sekundy od jedného zlomku je potrebné odčítať čitateľa odčítaného zlomku od čitateľa zlomku, ktorý sa redukuje. Toto číslo zapíšeme do čitateľa rozdielu a menovateľa necháme rovnaký: k/m - b/m = (k-b)/m.

Príklady odčítania zlomkov, ktorých menovateľ je rovnaký

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Od čitateľa zlomku „7“ odčítame čitateľa zlomku „3“, ktorý sa má odčítať, dostaneme „4“. Toto číslo zapíšeme do čitateľa odpovede a do menovateľa dáme rovnaké číslo, aké bolo v menovateli prvého a druhého zlomku - „19“.

Na obrázku nižšie je niekoľko ďalších podobných príkladov.

Uvažujme o zložitejšom príklade, kde sa odčítajú zlomky s podobnými menovateľmi:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Z čitateľa zlomku „29“ sa zníži postupným odčítaním čitateľov všetkých nasledujúcich zlomkov - „3“, „8“, „2“, „7“. V dôsledku toho dostaneme výsledok „9“, ktorý zapíšeme do čitateľa odpovede a do menovateľa zapíšeme číslo, ktoré je v menovateľoch všetkých týchto zlomkov - „47“.

Sčítanie zlomkov, ktoré majú rovnaký menovateľ

Sčítanie a odčítanie obyčajných zlomkov sa riadi rovnakým princípom.

• Ak chcete pridať zlomky, ktorých menovateľ je rovnaký, musíte pridať čitateľov. Výsledné číslo je čitateľom súčtu a menovateľ zostane rovnaký: k/m + b/m = (k + b)/m.

Pozrime sa, ako to vyzerá na príklade:

1/4 + 2/4 = 3/4.

K čitateľovi prvého člena zlomku - „1“ - pridajte čitateľa druhého člena zlomku - „2“. Výsledok - „3“ - sa zapíše do čitateľa súčtu a menovateľ zostane rovnaký ako v zlomkoch - „4“.

Zlomky s rôznymi menovateľmi a ich odčítanie

Už sme uvažovali o operácii so zlomkami, ktoré majú rovnaký menovateľ. Ako vidíme, vediac jednoduché pravidlá, riešenie takýchto príkladov je celkom jednoduché. Čo ak však potrebujete vykonať operáciu so zlomkami, ktoré majú rôznych menovateľov? Mnoho stredoškolákov je z takýchto príkladov zmätených. Ale aj tu platí, že ak poznáte princíp riešenia, príklady už pre vás nebudú ťažké. Existuje tu aj pravidlo, bez ktorého je riešenie takýchto zlomkov jednoducho nemožné.

Ak chcete odčítať zlomky s rôznymi menovateľmi, musia sa zredukovať na rovnaký najmenší menovateľ.



Budeme hovoriť podrobnejšie o tom, ako to urobiť.

Vlastnosť zlomku

Ak chcete priviesť niekoľko zlomkov do rovnakého menovateľa, musíte v riešení použiť hlavnú vlastnosť zlomku: po vydelení alebo vynásobení čitateľa a menovateľa rovnakým číslom dostanete zlomok rovný danému.

Napríklad zlomok 2/3 môže mať menovateľov ako „6“, „9“, „12“ atď., To znamená, že môže mať tvar ľubovoľného čísla, ktoré je násobkom „3“. Po vynásobení čitateľa a menovateľa „2“ dostaneme zlomok 4/6. Po vynásobení čitateľa a menovateľa pôvodného zlomku „3“ dostaneme 6/9 a ak podobná akcia vyrábame s číslom „4“, dostaneme 8/12. Jedna rovnosť môže byť napísaná takto:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Ako previesť viaceré zlomky na rovnaký menovateľ

Pozrime sa, ako zredukovať viaceré zlomky na rovnaký menovateľ. Zoberme si napríklad zlomky zobrazené na obrázku nižšie. Najprv musíte určiť, ktoré číslo sa môže stať menovateľom všetkých z nich. Aby sme to uľahčili, rozložme existujúcich menovateľov.

Menovateľ zlomku 1/2 a zlomku 2/3 nemožno rozdeliť na faktor. Menovateľ 7/9 má dva faktory 7/9 = 7/(3 x 3), menovateľ zlomku 5/6 = 5/(2 x 3). Teraz musíme určiť, ktoré faktory budú najmenšie pre všetky tieto štyri zlomky. Keďže prvý zlomok má v menovateli číslo „2“, znamená to, že musí byť prítomný vo všetkých menovateľoch v zlomku 7/9 sú dve trojice, čo znamená, že v menovateli musia byť prítomné aj obe. Berúc do úvahy vyššie uvedené, určíme, že menovateľ pozostáva z troch faktorov: 3, 2, 3 a rovná sa 3 x 2 x 3 = 18.



Zoberme si prvý zlomok - 1/2. V menovateli je „2“, ale nie je tam ani jedna číslica „3“, ale mali by byť dve. Aby sme to dosiahli, vynásobíme menovateľa dvoma trojitami, ale podľa vlastnosti zlomku musíme vynásobiť čitateľa dvoma trojitami:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Rovnaké operácie vykonávame so zvyšnými frakciami.

• 2/3 - v menovateli chýba jedna trojka a jedna dvojka:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 alebo 7/(3 x 3) - v menovateli chýba dvojka:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 alebo 5/(2 x 3) - v menovateli chýba trojka:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Všetko spolu to vyzerá takto:



Ako odčítať a sčítať zlomky, ktoré majú rôznych menovateľov

Ako už bolo spomenuté vyššie, na sčítanie alebo odčítanie zlomkov, ktoré majú rôznych menovateľov, je potrebné ich zredukovať na rovnakého menovateľa a potom použiť pravidlá na odčítanie zlomkov, ktoré majú rovnakého menovateľa, o ktorých už bola reč.

Pozrime sa na to ako príklad: 4/18 – 3/15.

Nájdenie násobku čísel 18 a 15:

• Číslo 18 sa skladá z 3 x 2 x 3.
• Číslo 15 sa skladá z 5 x 3.
• Spoločným násobkom budú tieto faktory: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Po nájdení menovateľa je potrebné vypočítať faktor, ktorý bude pre každý zlomok iný, teda číslo, ktorým bude potrebné vynásobiť nielen menovateľa, ale aj čitateľa. Za týmto účelom vydeľte číslo, ktoré sme našli (spoločný násobok) menovateľom zlomku, pre ktorý je potrebné určiť ďalšie faktory.

• 90 delené 15. Výsledné číslo „6“ bude násobiteľom 3/15.
• 90 delené 18. Výsledné číslo „5“ bude násobiteľom 4/18.

Ďalšou fázou nášho riešenia je zredukovať každý zlomok na menovateľ „90“.

Už sme hovorili o tom, ako sa to robí. Pozrime sa, ako je to napísané na príklade:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Ak majú zlomky malé čísla, môžete určiť spoločného menovateľa, ako v príklade na obrázku nižšie.



To isté platí pre tie s rôznymi menovateľmi.

Odčítanie a celočíselné časti

Odčítanie zlomkov a ich sčítanie sme už podrobne rozobrali. Ale ako odčítať, ak má zlomok celočíselnú časť? Opäť použijeme niekoľko pravidiel:

• Preveďte všetky zlomky, ktoré majú celočíselnú časť, na nesprávne. Rozprávanie jednoduchými slovami, odstráňte celú časť. Za týmto účelom vynásobte číslo celočíselnej časti menovateľom zlomku a výsledný produkt pridajte do čitateľa. Číslo, ktoré po týchto akciách vyjde, je čitateľom nesprávneho zlomku. Menovateľ zostáva nezmenený.
• Ak majú zlomky rôznych menovateľov, mali by sa zredukovať na rovnakého menovateľa.
• Vykonajte sčítanie alebo odčítanie s rovnakými menovateľmi.
• Pri prijímaní nesprávnej frakcie vyberte celú časť.



Existuje ďalší spôsob, ako môžete sčítať a odčítať zlomky s celými časťami. Na tento účel sa akcie vykonávajú oddelene s celými časťami a akcie so zlomkami oddelene a výsledky sa zaznamenávajú spoločne.



Uvedený príklad pozostáva zo zlomkov, ktoré majú rovnaký menovateľ. V prípade, že menovatele sú odlišné, musia byť uvedené na rovnakú hodnotu a potom vykonať akcie, ako je uvedené v príklade.

Odčítanie zlomkov od celých čísel

Ďalším typom operácie so zlomkami je prípad, keď treba zlomok odčítať Na prvý pohľad sa takýto príklad zdá ťažko riešiteľný. Tu je však všetko celkom jednoduché. Aby ste to vyriešili, musíte previesť celé číslo na zlomok a s rovnakým menovateľom, aký je v odčítanom zlomku. Ďalej vykonáme odčítanie podobné odčítaniu s rovnakými menovateľmi. V príklade to vyzerá takto:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Odčítanie zlomkov (stupeň 6) uvedené v tomto článku je základom pre ďalšie riešenie komplexné príklady o ktorých sa diskutuje v nasledujúcich triedach. Znalosť tejto témy sa následne využíva pri riešení funkcií, derivácií a pod. Preto je veľmi dôležité pochopiť a pochopiť operácie so zlomkami, o ktorých sme hovorili vyššie.