הראשון הם קטעים שצמודים לזווית הישרה, והתחתון הוא החלק הארוך ביותר של הדמות וממול לזווית של 90 מעלות. משולש פיתגורי הוא משולש שצלעותיו שוות מספרים טבעיים; האורכים שלהם במקרה זה נקראים "טריפל פיתגורס".

משולש מצרי

על מנת שהדור הנוכחי ילמד גיאומטריה בצורה שבה היא נלמדת בבית הספר כעת, היא פותחה במשך כמה מאות שנים. הנקודה הבסיסית היא משפט פיתגורס. צלעותיו של מלבן ידועות לכל העולם) הן 3, 4, 5.

מעטים האנשים שלא מכירים את המשפט "מכנסיים פיתגורים שווים לכל הכיוונים". עם זאת, למעשה, המשפט נשמע כך: c 2 (ריבוע התחתון) \u003d a 2 + b 2 (סכום ריבועי הרגליים).

בקרב מתמטיקאים, משולש עם הצלעות 3, 4, 5 (ס"מ, מ' וכו') נקרא "מצרי". מעניין שמה שרשום באיור שווה לאחד. השם עלה בסביבות המאה ה-5 לפני הספירה, כאשר פילוסופים יוונים נסעו למצרים.

בעת בניית הפירמידות, אדריכלים ומודדים השתמשו ביחס 3:4:5. מבנים כאלה התגלו כפרופורציונליים, נעימים למראה ומרווחים, וגם קרסו לעתים רחוקות.

על מנת לבנות זווית ישרה השתמשו הבנאים בחבל שעליו נקשרו 12 קשרים. במקרה זה, ההסתברות לבנות בדיוק משולש ישר זוויתעלה ל-95%.

סימנים של שוויון דמויות

• זווית חדה במשולש ישר זווית וצלע גדולה, השווים לאותם יסודות במשולש השני, היא סימן שאין עוררין על שוויון הדמויות. אם לוקחים בחשבון את סכום הזוויות, קל להוכיח שגם הזוויות החדות השניות שוות. לפיכך, המשולשים זהים בקריטריון השני.
• כאשר שתי דמויות מונחות זו על זו, אנו מסובבים אותן בצורה כזו שבשילובן הן הופכות למשולש שווה שוקיים אחד. על פי תכונתו, הצלעות, או יותר נכון, ההיפותנוסים, שוות, כמו גם הזוויות בבסיס, מה שאומר שהדמויות הללו זהות.

לפי הסימן הראשון, קל מאוד להוכיח שהמשולשים באמת שווים, העיקר ששתי הצלעות הקטנות יותר (כלומר, הרגליים) שוות זו לזו.

המשולשים יהיו זהים לפי הסימן II, שעיקרו שוויון הרגל והזווית החדה.

מאפייני משולש ישר זווית

גובה ירד מ זווית נכונה, מפצל את הדמות לשני חלקים שווים.

קל לזהות את צלעותיו של משולש ישר זווית ואת החציון שלו לפי הכלל: החציון, המורד לתחתית, שווה למחציתו. ניתן למצוא גם לפי הנוסחה של הרון וגם לפי האמירה שהיא שווה למחצית מכפלת הרגליים.

במשולש ישר זווית חלות המאפיינים של זוויות של 30 o, 45 o ו-60 o.

• בזווית של 30 מעלות, יש לזכור שהרגל הנגדית תהיה שווה ל-1/2 מהצלע הגדולה ביותר.
• אם הזווית היא 45 o, אז השני פינה חדהגם 45 o. זה מצביע על כך שהמשולש הוא שווה שוקיים, ורגליו זהות.
• התכונה של זווית של 60 מעלות היא שלזווית השלישית יש מידה של 30 מעלות.

קל למצוא את האזור באחת משלוש נוסחאות:

1. דרך הגובה והצד שעליו הוא יורד;
2. לפי הנוסחה של הרון;
3. לאורך הצדדים והזווית ביניהם.

צלעותיו של משולש ישר זווית, או יותר נכון הרגליים, מתכנסות לשני גבהים. כדי למצוא את השלישי, יש צורך לשקול את המשולש המתקבל, ולאחר מכן, באמצעות משפט פיתגורס, לחשב את האורך הנדרש. בנוסף לנוסחה זו, ישנו גם היחס של פי שניים מהשטח ואורך התחתון. הביטוי הנפוץ ביותר בקרב תלמידים הוא הראשון, מכיוון שהוא דורש פחות חישובים.

משפטים החלים על משולש ישר זווית

הגיאומטריה של משולש ישר זווית כוללת שימוש במשפטים כגון:

משולש ישר זווית נמצא במציאות כמעט בכל פינה. הידע על המאפיינים של דמות זו, כמו גם היכולת לחשב את שטחה, ללא ספק יהיה שימושי עבורך לא רק לפתרון בעיות בגיאומטריה, אלא גם במצבי חיים.

גיאומטריה של משולש

בגיאומטריה יסודית, משולש ישר זווית הוא דמות המורכבת משלושה קטעים מחוברים היוצרים שלוש זוויות (שתיים חדות ואחת ישרה). משולש ישר זווית היא דמות מקורית המאופיינת במספר של מאפיינים חשובים, המהווים את הבסיס לטריגונומטריה. שלא כמו משולש רגיל, לצדדים של דמות מלבנית יש שמות משלהם:

• התחתון הוא הצלע הארוכה ביותר של משולש שנמצא מול הזווית הישרה.
• רגליים - קטעים היוצרים זווית ישרה. בהתאם לזווית הנבדקת, הרגל עשויה להיות צמודה אליה (יוצרת זווית זו עם התחתון) או הפוכה (שוכבת מול הזווית). אין רגליים למשולשים לא מלבניים.

היחס בין הרגליים והתחתון הוא שמהווה את הבסיס לטריגונומטריה: סינוסים, משיקים וסקנטים מוגדרים כיחס הצלעות של משולש ישר זווית.

משולש ישר זווית במציאות

נתון זה קיבל שימוש רחבבמציאות. משולשים משמשים בעיצוב ובטכנולוגיה, כך שחישוב השטח של הדמות צריך להיעשות על ידי מהנדסים, אדריכלים ומעצבים. לבסיסי הטטרהדרה או הפריזמות יש צורה של משולש - דמויות תלת מימדיות שקל לפגוש בחיי היום יום. בנוסף, ריבוע הוא הייצוג הפשוט ביותר של משולש ישר זווית "שטוח" במציאות. ריבוע הוא כלי מנעולן, שרטוט, בנייה ונגרות המשמש לבניית פינות הן על ידי תלמידי בית ספר והן מהנדסים.

שטח של משולש

השטח של דמות גיאומטרית הוא הערכה כמותית של כמה מהמישור תחום על ידי צלעות של משולש. ניתן למצוא את השטח של משולש רגיל בחמש דרכים, באמצעות הנוסחה של הרון או הפעלה בחישובים עם משתנים כמו הבסיס, הצלע, הזווית והרדיוס של המעגל הכתוב או המוקף. הכי נוסחה פשוטההשטח מתבטא כך:

כאשר a היא הצלע של המשולש, h הוא גובהו.

הנוסחה לחישוב השטח של משולש ישר זווית פשוטה אפילו יותר:

כאשר a ו-b הם רגליים.

בעבודה עם המחשבון המקוון שלנו, אתה יכול לחשב שטח של משולש באמצעות שלושה זוגות של פרמטרים:

• שתי רגליים;
• רגל וזווית סמוכה;
• רגל וזווית הפוכה.

במשימות או במצבים יומיומיים, תקבלו שילובים שונים של משתנים, כך שצורת מחשבון זו מאפשרת לכם לחשב שטח של משולש בכמה דרכים. בואו נסתכל על כמה דוגמאות.

דוגמאות מהחיים האמיתיים

אריח קרמיקה

נניח שאתה רוצה לחדד את קירות המטבח באריחי קרמיקה, בעלי צורה של משולש ישר זווית. כדי לקבוע את צריכת האריחים, עליך לברר את השטח של אלמנט העצם של החיפוי ואת השטח הכולל של פני השטח לטיפול. נניח שאתה צריך לעבד 7 מטרים רבועים. אורך הרגליים של אלמנט אחד הוא 19 ס"מ כל אחד, ואז השטח של האריח יהיה שווה ל:

המשמעות היא ששטחו של אלמנט אחד הוא 24.5 ס"מ רבוע או 0.01805 מ"ר. בידיעת הפרמטרים הללו, אתה יכול לחשב שכדי לסיים 7 מ"ר של קיר תצטרך 7 / 0.01805 = 387 אריחים פונים.

משימה בית ספרית

נניח שבבעיית גיאומטריה בית ספרית נדרש למצוא את השטח של משולש ישר זווית, בידיעה רק שהצד של רגל אחת היא 5 ס"מ, וערך הזווית ההפוכה הוא 30 מעלות. המחשבון המקוון שלנו מלווה באיור המציג את הצלעות והזוויות של משולש ישר זווית. אם צד a = 5 ס"מ, אז הזווית ההפוכה שלה היא הזווית אלפא, שווה ל-30 מעלות. הכנס את הנתונים האלה לטופס המחשבון וקבל את התוצאה:

לפיכך, המחשבון לא רק מחשב את השטח של משולש נתון, אלא גם קובע את אורך הרגל והתחתון הסמוכים, כמו גם את הערך של הזווית השנייה.

סיכום

משולשים מלבניים נמצאים בחיינו ממש בכל פינה. קביעת השטח של דמויות כאלה תהיה שימושית עבורך לא רק בעת פתרון מטלות בית ספר בגיאומטריה, אלא גם בפעילויות יומיומיות ומקצועיות.

מחשבון מקוון.
פתרון משולשים.

הפתרון של משולש הוא מציאת כל ששת היסודות שלו (כלומר שלוש צלעות ושלוש זוויות) על ידי כל שלושה אלמנטים שמגדירים את המשולש.

תוכנית מתמטיקה זו מוצאת את הצלעות \(c \), זוויות \(\alpha \) ו-\(\beta \) בהינתן צלעות שצוינו על ידי המשתמש \(a, b \) ואת הזווית ביניהן \(\gamma \)

התוכנית לא רק נותנת את התשובה לבעיה, אלא גם מציגה את תהליך מציאת הפתרון.

מחשבון מקוון זה יכול להיות שימושי עבור תלמידי תיכון לקראת עבודת בקרהובחינות, כאשר בודקים ידע לפני הבחינה, ההורים לשלוט בפתרון בעיות רבות במתמטיקה ובאלגברה. או שאולי זה יקר מדי בשבילך לשכור מורה או לקנות ספרי לימוד חדשים? או שאתה פשוט רוצה לעשות את שיעורי הבית שלך במתמטיקה או אלגברה כמה שיותר מהר? במקרה זה, תוכל גם להשתמש בתוכנות שלנו עם פתרון מפורט.

בדרך זו, אתה יכול לערוך אימון משלך ו/או להכשיר את שלך אחים צעירים יותראו אחיות, בעוד שרמת ההשכלה בתחום המשימות הנפתרות עולה.

אם אינכם מכירים את הכללים להזנת מספרים, אנו ממליצים לכם להכיר אותם.

כללים להזנת מספרים

ניתן להגדיר מספרים לא רק שלמים, אלא גם שברים.
ניתן להפריד את החלקים השלמים והשברים בשברים עשרוניים באמצעות נקודה או פסיק.
לדוגמה, אתה יכול להיכנס עשרוניםאז 2.5 בערך 2.5

הזן את הצלעות \(a, b \) ואת הזווית ביניהן \(\gamma \)

\(a = \)
\(b = \)
\(\gamma = \)	(במעלות)

פתור את המשולש

נמצא שחלק מהסקריפטים הדרושים לפתרון משימה זו לא נטענו, וייתכן שהתוכנית לא תעבוד.
ייתכן שהפעלת את AdBlock.
במקרה זה, השבת אותו ורענן את הדף.

השבתת JavaScript בדפדפן שלך.
יש להפעיל JavaScript כדי שהפתרון יופיע.
להלן הוראות כיצד להפעיל JavaScript בדפדפן שלך.

כי יש הרבה אנשים שרוצים לפתור את הבעיה, הבקשה שלך עומדת בתור.
לאחר מספר שניות, הפתרון יופיע למטה.
חכה בבקשה שניה...

אם אתה הבחין בשגיאה בפתרון, אז תוכל לכתוב על זה בטופס המשוב .
אל תשכח לציין איזו משימהאתה מחליט מה להזין בשדות.

המשחקים, הפאזלים, האמולטורים שלנו:

קצת תיאוריה.

משפט סינוס

מִשׁפָּט

הצלעות של משולש פרופורציונליות לסינוסים של הזוויות הנגדיות:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

משפט קוסינוס

מִשׁפָּט
שים במשולש ABC AB = c, BC = a, CA = b. לאחר מכן
הריבוע של צלע במשולש שווה לסכום הריבועים של שתי הצלעות האחרות פחות פי שניים המכפלה של אותן צלעות כפול הקוסינוס של הזווית ביניהן.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

פתרון משולשים

הפתרון של משולש הוא מציאת כל ששת היסודות שלו (כלומר. שלושה צדדיםושלוש זוויות) לפי שלושה אלמנטים נתונים שמגדירים את המשולש.

שקול שלוש בעיות לפתרון משולש. במקרה זה, נשתמש בסימון הבא עבור צלעות המשולש ABC: AB = c, BC = a, CA = b.

פתרון של משולש הנתון לשתי צלעות וזווית ביניהן

נתון: \(a, b, \זווית C \). מצא את \(c, \angle A, \angle B \)

פִּתָרוֹן
1. לפי חוק הקוסינוסים אנו מוצאים \(c\):

$$ c = \sqrt( a^2+b^2-2ab \cos C ) $$ 2. באמצעות משפט הקוסינוס, יש לנו:
$$ \cos A = \frac( b^2+c^2-a^2 )(2bc) $$

3. \(\זווית B = 180^\circ -\זווית A -\זווית C \)

פתרון של משולש נתון צלע וזוויות סמוכות

נתון: \(a, \זווית B, \זווית C \). מצא את \(\זוית A,b,c\)

פִּתָרוֹן
1. \(\זווית A = 180^\circ -\זווית B -\זווית C \)

2. בעזרת משפט הסינוס נחשב את b ו-c:
$$ b = a \frac(\sin B)(\sin A), \quad c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

פתרון משולש עם שלוש צלעות

נתון: \(a, b, c\). מצא את \(\זווית A, \זווית B, \זווית C \)

פִּתָרוֹן
1. לפי משפט הקוסינוס, נקבל:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

לפי \(\cos A \) אנו מוצאים את \(\זוית A \) באמצעות מיקרו-מחשבון או מטבלה.

2. באופן דומה, נמצא את הזווית B.
3. \(\זווית C = 180^\circ -\זווית A -\זווית B \)

פתרון משולש נתון שתי צלעות וזווית מול צלעות ידועות

נתון: \(a, b, \זווית A \). מצא את \(c, \angle B, \angle C \)

פִּתָרוֹן
1. לפי משפט הסינוס נמצא \(\sin B \) נקבל:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

הבה נציג את הסימון: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). בהתאם למספר D, המקרים הבאים אפשריים:
אם D > 1, משולש כזה לא קיים, כי \(\sin B \) לא יכול להיות גדול מ-1
אם D = 1, יש \(\זווית B ייחודית: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \angle B = 90^\circ \)
אם D אם D 2. \(\זווית C = 180^\circ -\זווית A -\זווית B \)

3. בעזרת משפט הסינוס נחשב את הצלע c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

ספרים (ספרי לימוד) תקצירים של בחינת המדינה המאוחדת ומבחני OGE מקוונים משחקים, חידות בניית גרפים של פונקציות איות מילון השפה הרוסית מילון סלנג לנוער מדריך של בתי ספר ברוסית קטלוג בתי ספר תיכוניים ברוסיה קטלוג של אוניברסיטאות רוסיות רשימת משימות

בחיים, לעתים קרובות אנחנו צריכים להתמודד עם בעיות חשבון: בבית הספר, באוניברסיטה, ואז לעזור לילדך בשיעורי הבית. אנשים ממקצועות מסוימים יתקלו במתמטיקה על בסיס יומי. לכן, כדאי לשנן או לזכור כללים מתמטיים. במאמר זה ננתח אחד מהם: מציאת רגלו של משולש ישר זווית.

מהו משולש ישר זווית

ראשית, בואו נזכור מהו משולש ישר זווית. המשולש הימני הוא דמות גיאומטריתשל שלושה קטעים המחברים נקודות שאינן שוכנות על אותו קו ישר, ואחת מהזוויות של דמות זו היא 90 מעלות. הצלעות היוצרות זווית ישרה נקראות רגליים, והצלע שממול לזווית הישרה נקראת תחתית.

מציאת הרגל של משולש ישר זווית

ישנן מספר דרכים לגלות את אורך הרגל. אני רוצה לשקול אותם ביתר פירוט.

משפט פיתגורס למציאת רגלו של משולש ישר זווית

אם אנו יודעים את היריעה והרגל, אז נוכל למצוא את אורך הרגל הלא ידועה באמצעות משפט פיתגורס. זה נשמע כך: "ריבוע התחתון שווה לסכום ריבועי הרגליים." נוסחה: c²=a²+b², כאשר c הוא התחתון, a ו-b הן הרגליים. אנו הופכים את הנוסחה ומקבלים: a²=c²-b².

דוגמא. התחתון הוא 5 ס"מ, והרגל היא 3 ס"מ. אנו הופכים את הנוסחה: c²=a²+b² → a²=c²-b². לאחר מכן, נחליט: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (ס"מ).

יחסים טריגונומטריים כדי למצוא את הרגל של משולש ישר זווית

אפשר גם למצוא רגל לא ידועה אם ידועה כל צלע אחרת וכל זווית חדה של משולש ישר זווית. ישנן ארבע אפשרויות למציאת הרגל באמצעות פונקציות טריגונומטריות: לפי סינוס, קוסינוס, טנגנס, קוטנגנט. כדי לפתור את הבעיות, הטבלה שלהלן תעזור לנו. הבה נשקול את האפשרויות הללו.

מצא את הרגל של משולש ישר זווית באמצעות הסינוס

הסינוס של זווית (sin) הוא היחס בין הרגל הנגדית לתחתית. נוסחה: sin \u003d a / c, כאשר a היא הרגל מול הזווית הנתונה, ו-c הוא תחתית האדמה. לאחר מכן, נמיר את הנוסחה ונקבל: a=sin*c.

דוגמא. התחתון הוא 10 ס"מ וזווית A היא 30 מעלות. לפי הטבלה, אנו מחשבים את הסינוס של זווית A, הוא שווה ל-1/2. לאחר מכן, באמצעות הנוסחה שעברה טרנספורמציה, אנו פותרים: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (ס"מ).

מצא את הרגל של משולש ישר זווית באמצעות קוסינוס

הקוסינוס של זווית (cos) הוא היחס בין הרגל הסמוכה ליותר התחתון. נוסחה: cos \u003d b / c, כאשר b היא הרגל הסמוכה לזווית הנתונה, ו-c הוא תחתית האדמה. בואו נשנה את הנוסחה ונקבל: b=cos*c.

דוגמא. זווית A היא 60 מעלות, התחתון הוא 10 ס"מ. לפי הטבלה, אנו מחשבים את הקוסינוס של זווית A, הוא שווה ל-1/2. לאחר מכן, נפתור: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (ס"מ).

מצא את הרגל של משולש ישר זווית באמצעות המשיק

הטנגנס של זווית (tg) הוא היחס בין הרגל הנגדית לזו הסמוכה. נוסחה: tg \u003d a / b, כאשר a היא הרגל מול הפינה, ו-b צמודה. בואו נשנה את הנוסחה ונקבל: a=tg*b.

דוגמא. זווית A היא 45 מעלות, התחתון הוא 10 ס"מ. לפי הטבלה, אנו מחשבים את הטנגנס של זווית A, הוא שווה לפתרון: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (ס"מ).

מצא את הרגל של משולש ישר זווית באמצעות הקוטנגנט

הקוטנגנט של זווית (ctg) הוא היחס בין הרגל הסמוכה לרגל הנגדית. נוסחה: ctg \u003d b / a, כאשר b היא הרגל הסמוכה לפינה, וממול. במילים אחרות, הקוטנגנט הוא "המשיק ההפוך". נקבל: b=ctg*a.

דוגמא. זווית A היא 30 מעלות, הרגל הנגדית היא 5 ס"מ. לפי הטבלה, הטנגנס של זווית A הוא √3. חשב: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (ס"מ).

אז, עכשיו אתה יודע איך למצוא את הרגל במשולש ישר זווית. כפי שאתה יכול לראות, זה לא כל כך קשה, העיקר הוא לזכור את הנוסחאות.