Gaussin menetelmä on universaali kaava. Gaussin menetelmä (tuntemattomien peräkkäinen poissulkeminen)

Kaksi järjestelmää lineaariset yhtälöt sanotaan olevan ekvivalentteja, jos niiden kaikkien ratkaisujen joukko on sama.

Yhtälöjärjestelmän alkeismuunnoksia ovat:

1. Poistaminen triviaaliyhtälöjärjestelmästä, ts. ne, joiden kaikki kertoimet ovat nolla;
2. Kerrotaan mikä tahansa yhtälö nollasta poikkeavalla luvulla;
3. Lisäys minkä tahansa j:nnen yhtälön i-yhtälöön kerrottuna millä tahansa luvulla.

Muuttujaa x i kutsutaan vapaaksi, jos tämä muuttuja ei ole sallittu, ja koko yhtälöjärjestelmä on sallittu.

Lause. Elementaariset muunnokset muuttavat yhtälöjärjestelmän ekvivalentiksi.

Gaussin menetelmän tarkoitus on muuttaa alkuperäinen yhtälöjärjestelmä ja saada vastaava sallittu tai vastaava epäjohdonmukainen järjestelmä.

Joten Gaussin menetelmä koostuu seuraavista vaiheista:

1. Harkitse ensimmäistä yhtälöä. Valitsemme ensimmäisen nollasta poikkeavan kertoimen ja jaamme koko yhtälön sillä. Saadaan yhtälö, jossa jokin muuttuja x i tulee kertoimella 1;
2. Vähennetään tämä yhtälö kaikista muista kertomalla se luvuilla siten, että muuttujan x i kertoimet jäljellä olevissa yhtälöissä asetetaan nollaan. Saamme järjestelmän, joka on ratkaistu muuttujan x i suhteen ja joka on ekvivalentti alkuperäisen kanssa;
3. Jos syntyy triviaaleja yhtälöitä (harvoin, mutta tapahtuu; esimerkiksi 0 = 0), poistamme ne järjestelmästä. Tämän seurauksena yhtälöistä tulee yksi vähemmän;
4. Toistamme edelliset vaiheet enintään n kertaa, missä n on yhtälöiden lukumäärä järjestelmässä. Joka kerta kun valitsemme uuden muuttujan "käsittelyä varten". Jos syntyy ristiriitaisia ​​yhtälöitä (esimerkiksi 0 = 8), järjestelmä on epäjohdonmukainen.

Seurauksena on, että muutaman askeleen jälkeen saamme joko sallitun järjestelmän (mahdollisesti vapailla muuttujilla) tai epäjohdonmukaisen. Sallitut järjestelmät jakautuvat kahteen tapaukseen:

1. Muuttujien määrä on yhtä suuri kuin yhtälöiden lukumäärä. Joten järjestelmä on määritelty;
2. Muuttujien lukumäärä lisää numeroa yhtälöt. Keräämme kaikki vapaat muuttujat oikealle - saamme kaavat sallituille muuttujille. Nämä kaavat on kirjoitettu vastauksessa.

Siinä kaikki! Lineaariyhtälöjärjestelmä on ratkaistu! Tämä on melko yksinkertainen algoritmi, ja sen hallitsemiseksi sinun ei tarvitse ottaa yhteyttä matematiikan ohjaajaan. Harkitse esimerkkiä:

Tehtävä. Ratkaise yhtälöjärjestelmä:

Vaiheiden kuvaus:

1. Vähennämme ensimmäisen yhtälön toisesta ja kolmannesta - saamme sallitun muuttujan x 1;
2. Kerromme toisen yhtälön (-1) ja jaamme kolmannen yhtälön (-3) - saamme kaksi yhtälöä, joissa muuttuja x 2 tulee kertoimella 1;
3. Lisäämme toisen yhtälön ensimmäiseen ja vähennämme kolmannesta. Otetaan sallittu muuttuja x 2 ;
4. Lopuksi vähennämme kolmannen yhtälön ensimmäisestä - saamme sallitun muuttujan x 3 ;
5. Olemme saaneet valtuutetun järjestelmän, kirjoitamme vastauksen muistiin.

Lineaarisen yhtälön yhteisen järjestelmän yleinen ratkaisu on uusi, alkuperäistä vastaava järjestelmä, jossa kaikki sallitut muuttujat ilmaistaan ​​vapaina.

Milloin yleinen ratkaisu saattaa olla tarpeen? Jos sinun on otettava vähemmän vaiheita kuin k (k on kuinka monta yhtälöä yhteensä). Kuitenkin syyt siihen, miksi prosessi päättyy jossain vaiheessa l< k , может быть две:

1. L -nnen vaiheen jälkeen saamme järjestelmän, joka ei sisällä yhtälöä numerolla (l + 1). Itse asiassa tämä on hyvä, koska. ratkaistu järjestelmä vastaanotetaan joka tapauksessa - jopa muutama askel aikaisemmin.
2. Vaiheen l:nnen jälkeen saadaan yhtälö, jossa kaikki muuttujien kertoimet ovat nolla ja vapaa kerroin on eri kuin nolla. Tämä on epäjohdonmukainen yhtälö, ja siksi järjestelmä on epäjohdonmukainen.

On tärkeää ymmärtää, että epäjohdonmukaisen yhtälön esiintyminen Gaussin menetelmällä on riittävä syy epäjohdonmukaisuuteen. Samalla toteamme, että l -nnen vaiheen seurauksena triviaaleja yhtälöitä ei voi jäädä - ne kaikki poistetaan suoraan prosessissa.

Vaiheiden kuvaus:

1. Vähennä ensimmäinen yhtälö kertaa 4 toisesta. Ja lisää myös ensimmäinen yhtälö kolmanteen - saamme sallitun muuttujan x 1;
2. Vähennämme kolmannen yhtälön kerrottuna 2:lla toisesta - saamme ristiriitaisen yhtälön 0 = −5.

Joten järjestelmä on epäjohdonmukainen, koska epäjohdonmukainen yhtälö on löydetty.

Tehtävä. Tutki yhteensopivuutta ja löydä järjestelmän yleinen ratkaisu:

Vaiheiden kuvaus:

1. Vähennämme ensimmäisen yhtälön toisesta (kahdella kertomisen jälkeen) ja kolmannesta - saamme sallitun muuttujan x 1;
2. Vähennä toinen yhtälö kolmannesta. Koska kaikki kertoimet näissä yhtälöissä ovat samat, kolmas yhtälö tulee triviaaliksi. Samalla kerromme toisen yhtälön arvolla (−1);
3. Vähennämme toisen yhtälön ensimmäisestä yhtälöstä - saamme sallitun muuttujan x 2. Myös koko yhtälöjärjestelmä on nyt ratkaistu;
4. Koska muuttujat x 3 ja x 4 ovat vapaita, siirrämme niitä oikealle ilmaisemaan sallitut muuttujat. Tämä on vastaus.

Järjestelmä on siis yhteinen ja määrittelemätön, koska sallittuja muuttujia on kaksi (x 1 ja x 2) ja kaksi vapaata (x 3 ja x 4).

Gaussin menetelmä on helppo! Miksi? Kuuluisa saksalainen matemaatikko Johann Carl Friedrich Gauss sai elämänsä aikana tunnustuksen kaikkien aikojen suurimmaksi matemaatikoksi, neroksi ja jopa lempinimen "Matematiikan kuningas". Ja kaikki nerokas, kuten tiedät, on yksinkertaista! Muuten, rahojen joukkoon putoaa paitsi tikkarit, myös nerot - Gaussin muotokuva esiteltiin 10 Saksan markan setelissä (ennen euron käyttöönottoa), ja Gauss hymyilee edelleen mystisesti saksalaisille tavallisista postimerkeistä.

Gaussin menetelmä on yksinkertainen siinä mielessä, että sen hallitsemiseen RIITTÄVÄN VIIDES LUOKKAAN OPPILAIDEN TIETO. Pitää osata lisätä ja kertoa! Ei ole sattumaa, että opettajat harkitsevat usein koulun matematiikan valinnaisaineiden peräkkäistä tuntemattomien poistamista. Se on paradoksi, mutta Gaussin menetelmä aiheuttaa eniten vaikeuksia opiskelijoille. Ei ihme – kaikki on kiinni tekniikasta, ja yritän niin saatavilla oleva muoto puhua menetelmän algoritmista.

Ensin systematisoimme hieman tietoa lineaarisista yhtälöjärjestelmistä. Lineaarinen yhtälöjärjestelmä voi:

1) Hanki ainutlaatuinen ratkaisu.
2) On äärettömän monta ratkaisua.
3) Ei ratkaisuja (ol yhteensopimaton).

Gaussin menetelmä on tehokkain ja monipuolisin työkalu ratkaisun löytämiseen minkä tahansa lineaariset yhtälöt. Kuten muistamme Cramerin sääntö ja matriisimenetelmä eivät sovellu tapauksissa, joissa järjestelmässä on äärettömän monta ratkaisua tai se on epäjohdonmukainen. Menetelmä tuntemattomien peräkkäiseen eliminointiin joka tapauksessa johdattaa meidät vastaukseen! Tällä oppitunnilla tarkastelemme jälleen Gaussin menetelmää tapaukseen nro 1 (ainoa ratkaisu järjestelmään), artikkeli on varattu kohtien nro 2-3 tilanteisiin. Huomaan, että menetelmäalgoritmi itsessään toimii samalla tavalla kaikissa kolmessa tapauksessa.

Takaisin yksinkertaisin järjestelmä oppitunnilta Kuinka ratkaista lineaarinen yhtälöjärjestelmä?
ja ratkaista se Gaussin menetelmällä.

Ensimmäinen askel on kirjoittaa laajennettu matriisijärjestelmä:
. Millä periaatteella kertoimet kirjataan, luulen kaikkien näkevän. Matriisin sisällä olevalla pystyviivalla ei ole matemaattista merkitystä - se on vain yliviivaus suunnittelun helpottamiseksi.

Viite :Suosittelen muistamaan ehdot lineaarialgebra. Järjestelmämatriisi on matriisi, joka koostuu vain tuntemattomien kertoimista, tässä esimerkissä järjestelmän matriisi: . Laajennettu järjestelmämatriisi on sama järjestelmän matriisi plus vapaiden termien sarake, tässä tapauksessa: . Mitä tahansa matriiseista voidaan kutsua yksinkertaisesti matriisiksi lyhyyden vuoksi.

Kun järjestelmän laajennettu matriisi on kirjoitettu, sen kanssa on suoritettava joitain toimintoja, joita myös kutsutaan alkeellisia muunnoksia .

Siellä on seuraavat perusmuunnokset:

1) jouset matriiseja voi järjestää uudelleen paikoissa. Esimerkiksi tarkasteltavassa matriisissa voit järjestää ensimmäisen ja toisen rivin turvallisesti uudelleen:

2) Jos matriisi sisältää (tai näytti siltä) suhteellista (kuten erikoistapaus ovat samat) merkkijonot, niin se seuraa poistaa matriisista kaikki nämä rivit yhtä lukuun ottamatta. Harkitse esimerkiksi matriisia . Tässä matriisissa kolme viimeistä riviä ovat verrannollisia, joten riittää, että jätät vain yhden niistä: .

3) Jos matriisiin ilmaantui muunnosten aikana nollarivi, niin se myös seuraa poistaa. En tietenkään piirrä, nollaviiva on se viiva, jossa vain nollia.

4) Matriisin rivi voi olla kertoa (jakaa) mille tahansa numerolle nollasta poikkeava. Harkitse esimerkiksi matriisia . Tässä on suositeltavaa jakaa ensimmäinen rivi -3:lla ja kertoa toinen rivi 2:lla: . Tämä toiminto on erittäin hyödyllinen, koska se yksinkertaistaa matriisin lisämuunnoksia.

5) Tämä muunnos aiheuttaa eniten vaikeuksia, mutta todellisuudessa ei myöskään ole mitään monimutkaista. Matriisin riville voit lisää toinen merkkijono kerrottuna numerolla, eroaa nollasta. Harkitse matriisiamme alkaen tapaustutkimus: . Ensin kuvailen muodonmuutosta yksityiskohtaisesti. Kerro ensimmäinen rivi -2:lla: , ja toiselle riville lisäämme ensimmäisen rivin kerrottuna -2:lla: . Nyt ensimmäinen rivi voidaan jakaa "takaisin" -2:lla: . Kuten näet, rivi, joka on LISÄTTY LI – ei ole muuttunut. On aina rivi muuttuu, JOIHIN LISÄTTY UT.

Käytännössä he eivät tietenkään maalaa niin yksityiskohtaisesti, mutta kirjoittavat lyhyemmin:

Vielä kerran: toiselle riville lisäsi ensimmäisen rivin kerrottuna -2:lla. Rivi kerrotaan yleensä suullisesti tai luonnoksessa, kun taas laskelmien henkinen kulku on jotain tällaista:

"Kirjoitan uudelleen matriisin ja kirjoitan ensimmäisen rivin uudelleen: »

Ensimmäinen sarake ensin. Alla minun täytyy saada nolla. Siksi kerron yllä olevan yksikön -2:lla ja lisään ensimmäisen toiselle riville: 2 + (-2) = 0. Kirjoitan tuloksen toiselle riville: »

"Nyt toinen sarake. Yli -1 kertaa -2: . Lisään ensimmäisen toiselle riville: 1 + 2 = 3. Kirjoitan tuloksen toiselle riville: »

"Ja kolmas sarake. Yli -5 kertaa -2: . Lisään ensimmäisen rivin toiselle riville: -7 + 10 = 3. Kirjoitan tuloksen toiselle riville: »

Mieti tarkkaan tätä esimerkkiä ja ymmärrä peräkkäisen laskenta-algoritmi, jos ymmärrät tämän, niin Gaussin menetelmä on käytännössä "taskussasi". Mutta luonnollisesti työskentelemme edelleen tämän muutoksen parissa.

Elementaarimuunnokset eivät muuta yhtälöjärjestelmän ratkaisua

! HUOMIO: harkittuja manipulaatioita ei voi käyttää, jos sinulle tarjotaan tehtävää, jossa matriisit annetaan "itse". Esimerkiksi "klassisella" matriisejaÄlä missään tapauksessa saa järjestää mitään uudelleen matriisien sisällä!

Palataan järjestelmäämme. Hän on käytännössä murtunut palasiksi.

Kirjoitetaan järjestelmän lisätty matriisi ja pelkistetään se alkeismuunnoksilla porrastettu näkymä:

(1) Ensimmäinen rivi lisättiin toiseen riviin kerrottuna -2:lla. Ja vielä: miksi kerromme ensimmäisen rivin -2:lla? Saadakseen nollan alareunaan, mikä tarkoittaa eroon yhdestä muuttujasta toisella rivillä.

(2) Jaa toinen rivi 3:lla.

Alkeismuunnosten tarkoitus – muuntaa matriisi askelmuotoon: . Tehtävän suunnittelussa he piirtävät "tikkaat" suoraan yksinkertaisella kynällä ja ympyröivät myös "portailla" olevat numerot. Termi "askelmainen näkymä" itsessään ei ole täysin teoreettinen, vaan tieteellisessä ja opetuskirjallisuudessa sitä kutsutaan usein ns. puolisuunnikkaan muotoinen näkymä tai kolmiomainen näkymä.

Alkuainemuunnosten tuloksena olemme saaneet vastaava alkuperäinen yhtälöjärjestelmä:

Nyt järjestelmä on "kierrettävä" vastakkaiseen suuntaan - alhaalta ylöspäin, tätä prosessia kutsutaan käänteinen Gaussin menetelmä.

Alemmassa yhtälössä meillä on jo valmis tulos: .

Harkitse järjestelmän ensimmäistä yhtälöä ja korvaa se jo tunnettu arvo"yig":

Tarkastellaan yleisintä tilannetta, jolloin kolmen tuntemattoman lineaarisen yhtälön järjestelmän ratkaisemiseen tarvitaan Gaussin menetelmä.

Esimerkki 1

Ratkaise yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä:

Kirjoitetaan järjestelmän lisätty matriisi:

Piirrän nyt heti tuloksen, johon tulemme ratkaisun aikana:

Ja toistan, tavoitteemme on saattaa matriisi porrastettuun muotoon käyttämällä alkeismuunnoksia. Mistä alkaa toimia?

Katso ensin vasemmassa yläkulmassa olevaa numeroa:

Pitäisi olla melkein aina täällä yksikkö. Yleisesti ottaen myös -1 (ja joskus muutkin luvut) sopii, mutta jotenkin perinteisesti on käynyt niin, että sinne yleensä sijoitetaan yksikkö. Kuinka organisoida yksikkö? Katsomme ensimmäistä saraketta - meillä on valmis yksikkö! Muunnos yksi: vaihda ensimmäinen ja kolmas rivi:

Nyt ensimmäinen rivi pysyy muuttumattomana ratkaisun loppuun asti. Nyt hyvin.

Yksikkö vasemmalla yläkulma järjestäytynyt. Nyt sinun on saatava nollia näissä paikoissa:

Nollat ​​saadaan vain "vaikean" muunnoksen avulla. Ensin käsittelemme toista riviä (2, -1, 3, 13). Mitä pitää tehdä nollan saamiseksi ensimmäiselle sijalle? Tarve lisää toiselle riville ensimmäinen rivi kerrottuna -2:lla. Henkisesti tai luonnoksessa kerromme ensimmäisen rivin -2:lla: (-2, -4, 2, -18). Ja teemme jatkuvasti (taas henkisesti tai luonnoksessa) lisäystä, toiselle riville lisäämme ensimmäisen rivin, joka on jo kerrottu -2:lla:

Tulos kirjoitetaan toiselle riville:

Vastaavasti käsittelemme kolmatta riviä (3, 2, -5, -1). Jotta saat nollan ensimmäiselle paikalle, sinun on lisää kolmannelle riville ensimmäinen rivi kerrottuna -3:lla. Henkisesti tai luonnoksessa kerromme ensimmäisen rivin -3:lla: (-3, -6, 3, -27). Ja kolmanteen riviin lisätään ensimmäinen rivi kerrottuna -3:lla:

Tulos kirjoitetaan kolmannelle riville:

Käytännössä nämä toimet suoritetaan yleensä suullisesti ja kirjataan ylös yhdessä vaiheessa:

Kaikkea ei tarvitse laskea kerralla ja samaan aikaan. Laskelmien järjestys ja tulosten "lisääminen". johdonmukainen ja yleensä näin: kirjoitamme ensin ensimmäisen rivin uudelleen ja puhaltelemme hiljaa - JOHDONMUKAISESTI ja HUOLELLISESTI:


Ja olen jo tarkastellut itse laskelmien henkistä kulkua yllä.

Tässä esimerkissä tämä on helppo tehdä, jaamme toisen rivin -5:llä (koska kaikki siellä olevat luvut ovat jaollisia 5:llä ilman jäännöstä). Samanaikaisesti jaamme kolmannen rivin -2:lla, koska mitä pienempi luku, sitä helpompi ratkaisu:

Alkeismuunnosten viimeisessä vaiheessa on saatava yksi nolla lisää tästä:

Tätä varten kolmannelle riville lisäämme toisen rivin kerrottuna -2:lla:


Yritä jäsentää tämä toiminto itse - kerro henkisesti toinen rivi -2:lla ja suorita yhteenlasku.

Viimeinen suoritettu toimenpide on tuloksen kampaus, jaa kolmas rivi 3:lla.

Alkuainemuunnosten tuloksena saatiin ekvivalentti alkuperäinen lineaariyhtälöjärjestelmä:

Viileä.

Nyt tulee esiin Gaussin menetelmän käänteinen kulku. Yhtälöt "purkautuvat" alhaalta ylöspäin.

Kolmannessa yhtälössä meillä on jo lopullinen tulos:

Katsotaanpa toista yhtälöä: . "z":n merkitys on jo tiedossa, joten:

Ja lopuksi ensimmäinen yhtälö: . "Y" ja "Z" tunnetaan, asia on pieni:

Vastaus:

Kuten on toistuvasti todettu, missä tahansa yhtälöjärjestelmässä on mahdollista ja välttämätöntä tarkistaa löydetty ratkaisu, onneksi tämä ei ole vaikeaa ja nopeaa.

Esimerkki 2

Tämä on esimerkki itseratkaisusta, näyte viimeistelystä ja vastaus oppitunnin lopussa.

On huomattava, että sinun toimintatapa ei ehkä ole sama kuin toimintani, ja tämä on Gaussin menetelmän ominaisuus. Mutta vastausten on oltava samat!

Esimerkki 3

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä

Kirjoitamme järjestelmän laajennetun matriisin ja saatamme sen alkeismuunnoksilla askelmuotoon:

Katsomme vasemman yläkulman "askelta". Siellä meillä pitäisi olla yksikkö. Ongelmana on, että ensimmäisessä sarakkeessa ei ole ketään, joten rivien uudelleenjärjestelyllä ei voida ratkaista mitään. Tällaisissa tapauksissa yksikkö on organisoitava alkeismuunnolla. Tämä voidaan yleensä tehdä useilla tavoilla. Tein tämän:
(1) Ensimmäiselle riville lisäämme toisen rivin kerrottuna -1:llä. Toisin sanoen kerroimme henkisesti toisen rivin -1:llä ja lisäsimme ensimmäisen ja toisen rivin, kun taas toinen rivi ei muuttunut.

Nyt vasemmassa yläkulmassa "miinus yksi", joka sopii meille täydellisesti. Se, joka haluaa saada +1, voi suorittaa lisäeleen: kerro ensimmäinen rivi -1:llä (muuta sen merkkiä).

(2) Ensimmäinen rivi kerrottuna 5:llä lisättiin toiselle riville. Ensimmäinen rivi kerrottuna 3:lla lisättiin kolmanteen riviin.

(3) Ensimmäinen rivi kerrottiin -1:llä, periaatteessa tämä on kauneuden vuoksi. Myös kolmannen rivin merkki muutettiin ja siirrettiin toiselle paikalle, joten toisessa ”askeleessa meillä oli haluttu yksikkö.

(4) Toinen rivi kerrottuna 2:lla lisättiin kolmanteen riviin.

(5) Kolmas rivi jaettiin kolmella.

Huono merkki, joka osoittaa laskentavirheen (harvemmin kirjoitusvirheen), on "huono" tulos. Eli jos saamme jotain alla olevan kaltaista, ja vastaavasti , sitten kanssa iso osuus todennäköisyydellä, voidaan väittää, että alkeismuunnosten aikana on tehty virhe.

Veloitamme käänteisen liikkeen, esimerkkien suunnittelussa itse järjestelmää ei usein kirjoiteta uudelleen, ja yhtälöt "otetaan suoraan annetusta matriisista". Käänteinen liike, muistutan teitä, toimii alhaalta ylöspäin. Kyllä, tässä on lahja:

Vastaus: .

Esimerkki 4

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä

Tämä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta, se on hieman monimutkaisempi. Ei haittaa, jos joku on hämmentynyt. Koko ratkaisu ja malliesimerkki oppitunnin lopussa. Ratkaisusi voi poiketa minun ratkaisustani.

Viimeisessä osassa tarkastelemme joitain Gauss-algoritmin ominaisuuksia.
Ensimmäinen ominaisuus on, että joskus järjestelmän yhtälöistä puuttuu joitain muuttujia, esimerkiksi:

Kuinka kirjoittaa oikein järjestelmän lisätty matriisi? Puhuin tästä hetkestä jo oppitunnilla. Cramerin sääntö. Matriisimenetelmä. Järjestelmän laajennetussa matriisissa laitamme nollia puuttuvien muuttujien tilalle:

Muuten, tämä on melko helppo esimerkki, koska ensimmäisessä sarakkeessa on jo yksi nolla ja suoritettavaa alkeismuunnoksia on vähemmän.

Toinen ominaisuus on tämä. Kaikissa tarkasteluissa esimerkeissä sijoitimme "askeliin" joko -1 tai +1. Voiko muita numeroita olla? Joissakin tapauksissa voivat. Harkitse järjestelmää: .

Tässä vasemmassa yläkulmassa "askel" meillä on kakkonen. Mutta huomaamme sen tosiasian, että kaikki ensimmäisen sarakkeen numerot ovat jaollisia kahdella ilman jäännöstä - ja vielä kahdella ja kuudella. Ja vasemmassa yläkulmassa oleva kakkonen sopii meille! Ensimmäisessä vaiheessa sinun on suoritettava seuraavat muunnokset: lisää ensimmäinen rivi kerrottuna -1:llä toiselle riville; lisää kolmannelle riville ensimmäinen rivi kerrottuna -3:lla. Siten saamme halutut nollat ​​ensimmäiseen sarakkeeseen.

Tai muuten näin ehdollinen esimerkki: . Täällä myös toisen "asteikon" kolmoisosa sopii meille, koska 12 (paikka, josta meidän on saatava nolla) on jaollinen 3:lla ilman jäännöstä. On tarpeen suorittaa seuraava muunnos: kolmanteen riviin lisätään toinen rivi kerrottuna -4:llä, minkä seurauksena tarvitsemme nolla.

Gaussin menetelmä on universaali, mutta siinä on yksi erikoisuus. Opit itsevarmasti ratkaisemaan järjestelmiä muilla menetelmillä (Cramerin menetelmä, matriisimenetelmä) voi olla kirjaimellisesti ensimmäinen kerta - on olemassa erittäin tiukka algoritmi. Mutta tunteaksesi itsevarmaksi Gauss-menetelmässä, sinun tulee "täytä kätesi" ja ratkaista vähintään 5-10 järjestelmää. Siksi aluksi voi olla sekaannusta, laskuvirheitä, eikä tässä ole mitään epätavallista tai traagista.

Sateinen syyssää ikkunan ulkopuolella .... Siksi kaikille enemmän monimutkainen esimerkki itsenäiseen ratkaisuun:

Esimerkki 5

Ratkaise Gaussin menetelmällä neljän lineaarisen yhtälön järjestelmä, jossa on neljä tuntematonta.

Tällainen tehtävä ei käytännössä ole niin harvinainen. Uskon, että jopa teekannu, joka on tutkinut tämän sivun yksityiskohtaisesti, ymmärtää algoritmin tällaisen järjestelmän ratkaisemiseksi intuitiivisesti. Pohjimmiltaan sama - vain enemmän toimintaa.

Tapauksia, joissa järjestelmässä ei ole ratkaisuja (epäjohdonmukainen) tai ratkaisuja on äärettömän monta, käsitellään oppitunnilla Yhteensopimattomat järjestelmät ja järjestelmät, joissa on yleinen ratkaisu. Siellä voit korjata Gaussin menetelmän tarkasteltavan algoritmin.

Toivon sinulle menestystä!

Ratkaisut ja vastaukset:

Esimerkki 2: Ratkaisu : Kirjataan muistiin järjestelmän laajennettu matriisi ja saatetaan se alkeismuunnoksilla porrastettuun muotoon.


Suoritetut alkeismuunnokset:
(1) Ensimmäinen rivi lisättiin toiseen riviin kerrottuna -2:lla. Ensimmäinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna -1:llä. Huomio! Tässä saattaa olla houkuttelevaa vähentää ensimmäinen kolmannesta rivistä, en suosittele vähentämistä - virheriski kasvaa huomattavasti. Me vain kippaamme!
(2) Toisen rivin etumerkki muutettiin (kerroin -1). Toinen ja kolmas rivi on vaihdettu. merkintä että "askelissa" olemme tyytyväisiä paitsi yhteen, myös -1:een, mikä on vielä kätevämpää.
(3) Lisää kolmannelle riville toinen rivi kerrottuna 5:llä.
(4) Toisen rivin etumerkki muutettiin (kerroin -1). Kolmas rivi jaettiin 14:llä.

Käänteinen liike:

Vastaus: .

Esimerkki 4: Ratkaisu : Kirjoitamme järjestelmän laajennetun matriisin ja saatamme sen alkeismuunnoksilla askelmuotoon:

Suoritetut konversiot:
(1) Toinen rivi lisättiin ensimmäiselle riville. Siten haluttu yksikkö on järjestetty vasemman yläkulman "askeleen".
(2) Ensimmäinen rivi kerrottuna 7:llä lisättiin toiselle riville. Ensimmäinen rivi kerrottuna 6:lla lisättiin kolmanteen riviin.

Toisessa "vaiheessa" kaikki on pahempaa , sen "ehdokkaat" ovat numerot 17 ja 23, ja tarvitsemme joko yhden tai -1:n. Muunnoksilla (3) ja (4) pyritään saamaan haluttu yksikkö

(3) Toinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna -1:llä.
(4) Kolmas rivi kerrottuna -3:lla lisättiin toiselle riville.
(3) Toinen rivi kerrottuna 4:llä lisättiin kolmanteen riviin ja toinen rivi kerrottuna -1:llä lisättiin neljännelle riville.
(4) Toisen rivin merkki on muutettu. Neljäs rivi jaettiin kolmella ja sijoitettiin kolmannen rivin sijaan.
(5) Kolmas rivi lisättiin neljännelle riville kerrottuna -5:llä.

Käänteinen liike:

Yksi yksinkertaisimmista tavoista ratkaista lineaarinen yhtälöjärjestelmä on menetelmä, joka perustuu determinanttien ( Cramerin sääntö). Sen etuna on, että sen avulla voit tallentaa ratkaisun välittömästi, se on erityisen kätevä tapauksissa, joissa järjestelmän kertoimet eivät ole numeroita, vaan jonkinlaisia ​​parametreja. Sen haittapuolena on tapauksen laskelmien hankalia suuri numero yhtälöt, lisäksi Cramerin sääntö ei sovellu suoraan järjestelmiin, joissa yhtälöiden lukumäärä ei ole sama kuin tuntemattomien lukumäärä. Tällaisissa tapauksissa sitä käytetään yleensä Gaussin menetelmä.

Lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, joilla on sama ratkaisujoukko, kutsutaan vastaava. On selvää, että joukko ratkaisuja lineaarinen järjestelmä ei muutu, jos yhtälöitä vaihdetaan keskenään tai jos yksi yhtälöistä kerrotaan jollakin nollasta poikkeavalla luvulla tai jos yhtälö lisätään toiseen.

Gaussin menetelmä (Menetelmä tuntemattomien peräkkäiseen eliminointiin) perustuu siihen, että alkeismuunnosten avulla järjestelmä pelkistetään vastaavaksi porrastetuksi järjestelmäksi. Ensinnäkin 1. yhtälön avulla x 1 kaikista järjestelmän myöhemmistä yhtälöistä. Sitten eliminoimme toisen yhtälön avulla x 2/3 ja kaikki sitä seuraavat yhtälöt. Tämä prosessi ns suora Gaussin menetelmä, jatkuu, kunnes vain yksi tuntematon on jäljellä viimeisen yhtälön vasemmalla puolella x n. Sen jälkeen se tehdään Gaussin käänteinen– ratkaisemme viimeisen yhtälön x n; sen jälkeen tätä arvoa käyttämällä laskemme toiseksi viimeisestä yhtälöstä x n-1 jne. Viimeksi löydämme x 1 ensimmäisestä yhtälöstä.

On kätevää suorittaa Gaussin muunnoksia tekemällä muunnoksia ei itse yhtälöillä, vaan niiden kertoimien matriiseilla. Harkitse matriisia:

nimeltään laajennettu järjestelmämatriisi, koska järjestelmän päämatriisin lisäksi se sisältää sarakkeen vapaita jäseniä. Gaussin menetelmä perustuu järjestelmän päämatriisin saattamiseen kolmiomuotoon (tai ei-neliömäisten järjestelmien tapauksessa puolisuunnikkaan muotoon) käyttämällä järjestelmän laajennetun matriisin perusrivimuunnoksia (!).

Esimerkki 5.1. Ratkaise järjestelmä Gaussin menetelmällä:

Ratkaisu. Kirjoitetaan järjestelmän lisätty matriisi ja ensimmäisen rivin avulla nollataan loput elementit:

saamme nollia ensimmäisen sarakkeen 2., 3. ja 4. riville:

Nyt kaikkien toisen sarakkeen 2. rivin alapuolella olevien elementtien on oltava nolla. Voit tehdä tämän kertomalla toisen rivin -4/7:lla ja lisäämällä kolmanteen riviin. Kuitenkin, jotta emme käsittele murtolukuja, luomme yksikön toisen sarakkeen 2. riville ja vain

Nyt kolmiomatriisin saamiseksi sinun on nollattava kolmannen sarakkeen neljännen rivin elementti, jotta voit kertoa kolmannen rivin 8/54: llä ja lisätä sen neljänteen. Kuitenkin, jotta emme käsittele murtolukuja, vaihdamme 3. ja 4. rivin sekä 3. ja 4. sarakkeen, ja vasta sen jälkeen nollaamme määritetyn elementin. Huomaa, että kun sarakkeet järjestetään uudelleen, vastaavat muuttujat vaihtuvat, ja tämä on muistettava; muita perusmuunnoksia sarakkeilla (yhteenlasku ja kertominen luvulla) ei voida suorittaa!

Viimeinen yksinkertaistettu matriisi vastaa yhtälöjärjestelmää, joka vastaa alkuperäistä:

Täältä, käyttämällä Gaussin menetelmän käänteistä kurssia, löydämme neljännestä yhtälöstä x 3 = -1; kolmannesta alkaen x 4 = -2, toisesta x 2 = 2 ja ensimmäisestä yhtälöstä x 1 = 1. Sisään matriisimuoto vastaus kirjoitetaan näin

Olemme tarkastelleet tapausta, jossa järjestelmä on määrätty, ts. kun on vain yksi ratkaisu. Katsotaan mitä tapahtuu, jos järjestelmä on epäjohdonmukainen tai epämääräinen.

Esimerkki 5.2. Tutustu järjestelmään Gaussin menetelmällä:

Ratkaisu. Kirjoitamme ja muunnamme järjestelmän lisätyn matriisin

Kirjoitamme yksinkertaistetun yhtälöjärjestelmän:

Tässä viimeisessä yhtälössä kävi ilmi, että 0=4, ts. ristiriita. Siksi järjestelmällä ei ole ratkaisua, ts. hän on yhteensopimaton. à

Esimerkki 5.3. Tutki ja ratkaise järjestelmä Gaussin menetelmällä:

Ratkaisu. Kirjoitamme ja muunnamme järjestelmän laajennetun matriisin:

Muutosten seurauksena viimeiselle riville saatiin vain nollia. Tämä tarkoittaa, että yhtälöiden määrä on vähentynyt yhdellä:

Näin ollen jäljelle jää kaksi yhtälöä yksinkertaistamisen jälkeen ja neljä tuntematonta, ts. kaksi tuntematonta "lisää". Olkoon "tarpeeton" tai, kuten sanotaan, vapaat muuttujat, tulee x 3 ja x neljä . Sitten

Olettaen x 3 = 2a ja x 4 = b, saamme x 2 = 1–a ja x 1 = 2b–a; tai matriisimuodossa

Tällä tavalla kirjoitettua ratkaisua kutsutaan yleistä, koska antamalla parametrit a ja b erilaisia ​​merkityksiä, voit kuvata kaiken mahdolliset ratkaisut järjestelmät. a

Tänään käsittelemme Gaussin menetelmää lineaaristen järjestelmien ratkaisemiseksi algebralliset yhtälöt. Voit lukea siitä, mitä nämä järjestelmät ovat, edellisestä artikkelista, joka on omistettu saman SLAE:n ratkaisemiseen Cramer-menetelmällä. Gaussin menetelmä ei vaadi erityistä tietoa, tarvitaan vain huolellisuutta ja johdonmukaisuutta. Huolimatta siitä, että matematiikan näkökulmasta kouluvalmistelu riittää sen soveltamiseen, tämän menetelmän hallitseminen aiheuttaa usein vaikeuksia opiskelijoille. Tässä artikkelissa yritämme vähentää ne tyhjäksi!

Gaussin menetelmä

M Gaussin menetelmä- suurin osa yleinen menetelmä SLAE-ratkaisut (lukuun ottamatta erittäin suuria järjestelmiä). Toisin kuin aiemmin käsitelty, se ei sovellu vain järjestelmiin, joissa on ainutlaatuinen ratkaisu, vaan myös järjestelmiin, joissa on ääretön määrä ratkaisuja. Tässä on kolme vaihtoehtoa.

1. Järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu (järjestelmän päämatriisin determinantti ei ole nolla);
2. Järjestelmässä on ääretön määrä ratkaisuja;
3. Ratkaisuja ei ole, järjestelmä on epäjohdonmukainen.

Joten meillä on järjestelmä (olkoon sillä yksi ratkaisu), ja aiomme ratkaista sen Gaussin menetelmällä. Kuinka se toimii?

Gaussin menetelmä koostuu kahdesta vaiheesta - suorasta ja käänteisestä.

Suora Gaussin menetelmä

Ensin kirjoitetaan järjestelmän lisätty matriisi. Tätä varten lisäämme päämatriisiin vapaan jäsenen sarakkeen.

Gaussin menetelmän koko pointti on pelkistäminen alkeismuunnoksilla annettu matriisi porrastettuun (tai kuten sanotaan kolmiomaiseen) muotoon. Tässä muodossa matriisin päädiagonaalin alla (tai sen yläpuolella) pitäisi olla vain nollia.

Mitä voidaan tehdä:

1. Voit järjestää matriisin rivit uudelleen;
2. Jos matriisissa on identtisiä (tai suhteellisia) rivejä, voit poistaa ne kaikki yhtä lukuun ottamatta.
3. Voit kertoa tai jakaa merkkijonon millä tahansa luvulla (paitsi nollalla);
4. Nollaviivat poistetaan;
5. Voit lisätä merkkijonoon nollasta poikkeavalla luvulla kerrotun merkkijonon.

Käänteinen Gaussin menetelmä

Kun olemme muuttaneet järjestelmän tällä tavalla, yksi tuntematon xn tulee tunnetuksi, ja on mahdollista löytää kaikki jäljellä olevat tuntemattomat käänteisessä järjestyksessä korvaamalla jo tunnetut x:t järjestelmän yhtälöihin ensimmäiseen saakka.

Kun Internet on aina käsillä, voit ratkaista yhtälöjärjestelmän Gaussin menetelmällä verkossa. Sinun tarvitsee vain syöttää kertoimet online-laskuriin. Mutta täytyy myöntää, että on paljon miellyttävämpää huomata, että esimerkkiä ei ratkaissut tietokoneohjelma, vaan omat aivosi.

Esimerkki yhtälöjärjestelmän ratkaisemisesta Gaussin menetelmällä

Ja nyt - esimerkki, jotta kaikki tulee selväksi ja ymmärrettäväksi. Olkoon lineaarinen yhtälöjärjestelmä, ja se on ratkaistava Gaussin menetelmällä:

Ensin kirjoitetaan lisätty matriisi:

Katsotaanpa nyt muunnoksia. Muista, että meidän on saavutettava matriisin kolmiomuoto. Kerro 1. rivi (3). Kerro 2. rivi arvolla (-1). Lisätään 2. rivi ensimmäiseen ja saadaan:

Kerro sitten 3. rivi arvolla (-1). Lisätään 3. rivi toiseen:

Kerro ensimmäinen rivi (6). Kerro toinen rivi arvolla (13). Lisätään 2. rivi ensimmäiseen:

Voila - järjestelmä saatetaan sopivaan muotoon. Vielä on löydettävä tuntemattomat:

Tämän esimerkin järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu. Käsittelemme erillisessä artikkelissa ratkaisua järjestelmiin, joissa on loputon joukko ratkaisuja. Ehkä aluksi et tiedä mistä aloittaa matriisimuunnokset, mutta sopivan harjoittelun jälkeen saat sen käsiisi ja napsaat Gaussin SLAE:tä kuin pähkinät. Ja jos kohtaat yhtäkkiä SLAU:n, joka osoittautuu liian kovaksi pähkinäksi, ota yhteyttä kirjoittajiimme! voit jättää hakemuksen kirjeenvaihtoon. Yhdessä ratkaisemme kaikki ongelmat!

Gaussin menetelmä, jota kutsutaan myös tuntemattomien peräkkäisen eliminoinnin menetelmäksi, koostuu seuraavista. Lineaariyhtälöjärjestelmä saatetaan alkeismuunnoksilla sellaiseen muotoon, että sen kerroinmatriisi osoittautuu puolisuunnikkaan muotoinen (sama kuin kolmiomainen tai porrastettu) tai lähellä puolisuunnikkaan muotoista (Gaussin menetelmän suora kurssi, sitten - vain suora liike). Esimerkki tällaisesta järjestelmästä ja sen ratkaisusta on esitetty yllä olevassa kuvassa.

Tällaisessa järjestelmässä viimeinen yhtälö sisältää vain yhden muuttujan ja sen arvo voidaan löytää yksiselitteisesti. Sitten tämän muuttujan arvo korvataan edelliseen yhtälöön ( Gaussin käänteinen , sitten - vain käänteinen liike), josta edellinen muuttuja löytyy ja niin edelleen.

Kuten näemme puolisuunnikkaan (kolmio) järjestelmässä, kolmas yhtälö ei enää sisällä muuttujia y ja x, ja toinen yhtälö - muuttuja x .

Kun järjestelmän matriisi on saanut puolisuunnikkaan muodon, ei ole enää vaikeaa selvittää järjestelmän yhteensopivuutta, määrittää ratkaisujen lukumäärä ja löytää itse ratkaisut.

Menetelmän edut:

1. kun ratkaistaan ​​lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, joissa on enemmän kuin kolme yhtälöä ja tuntemattomia, Gauss-menetelmä ei ole yhtä hankala kuin Cramer-menetelmä, koska Gaussin menetelmää ratkaistaessa tarvitaan vähemmän laskelmia;
2. Gauss-menetelmän avulla voit ratkaista epämääräisiä lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, eli niillä on yhteinen ratkaisu (ja analysoimme ne tässä oppitunnissa), ja Cramer-menetelmää käyttämällä voit vain todeta, että järjestelmä on epävarma;
3. voit ratkaista lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, joissa tuntemattomien lukumäärä ei ole yhtä suuri kuin yhtälöiden lukumäärä (analysoimme niitä myös tässä oppitunnissa);
4. menetelmä perustuu alkeis- (koulu)menetelmiin - tuntemattomien korvausmenetelmään ja yhtälöiden lisäämismenetelmään, joita käsittelimme vastaavassa artikkelissa.

Jotta kaikki olisivat täynnä sitä yksinkertaisuutta, jolla puolisuunnikkaan (kolmio, askel) lineaariyhtälöjärjestelmät ratkaistaan, esittelemme tällaisen järjestelmän ratkaisun käänteisellä iskulla. Tämän järjestelmän nopea ratkaisu esitettiin oppitunnin alussa olevassa kuvassa.

Esimerkki 1 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä käänteisellä siirrolla:

Ratkaisu. Tässä puolisuunnikkaan muotoisessa järjestelmässä muuttuja z löytyy ainutlaatuisesti kolmannesta yhtälöstä. Korvaamme sen arvon toiseen yhtälöön ja saamme muuttujan arvon y:

Nyt tiedämme kahden muuttujan arvot - z ja y. Korvaamme ne ensimmäiseen yhtälöön ja saamme muuttujan arvon x:

Edellisistä vaiheista kirjoitamme yhtälöjärjestelmän ratkaisun:

Jotta saadaan tällainen puolisuunnikkaan muotoinen lineaariyhtälöjärjestelmä, jonka ratkaisimme hyvin yksinkertaisesti, on käytettävä suoraa liikettä, joka liittyy lineaariyhtälöjärjestelmän perusmuunnoksiin. Se ei myöskään ole kovin vaikeaa.

Lineaarisen yhtälöjärjestelmän alkeismuunnokset

Toistamalla järjestelmän yhtälöiden algebrallista yhteenlaskua, havaitsimme, että yhteen järjestelmän yhtälöön voidaan lisätä toinen järjestelmän yhtälö ja jokainen yhtälö voidaan kertoa joillakin luvuilla. Tuloksena saadaan lineaarinen yhtälöjärjestelmä, joka vastaa annettua yhtälöä. Siinä yksi yhtälö sisälsi jo vain yhden muuttujan, jonka arvon korvaamalla muilla yhtälöillä päästään ratkaisuun. Tällainen lisäys on yksi järjestelmän alkeismuunnostyypeistä. Gaussin menetelmää käytettäessä voimme käyttää useita muunnoksia.

Yllä oleva animaatio näyttää kuinka yhtälöjärjestelmä muuttuu vähitellen puolisuunnikkaan muotoiseksi. Eli se, jonka näit heti ensimmäisessä animaatiossa ja varmistit, että siitä on helppo löytää kaikkien tuntemattomien arvot. Miten tällainen muunnos suoritetaan, ja tietysti esimerkkejä käsitellään edelleen.

Kun ratkaistaan ​​lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, joissa on mikä tahansa määrä yhtälöitä ja tuntemattomia yhtälöjärjestelmässä ja järjestelmän laajennetussa matriisissa voi:

1. vaihtaa rivejä (tämä mainittiin tämän artikkelin alussa);
2. jos muiden muunnosten seurauksena ilmestyi yhtä suuria tai suhteellisia viivoja, ne voidaan poistaa yhtä lukuun ottamatta;
3. poista "nolla" rivit, joissa kaikki kertoimet ovat nolla;
4. kerro tai jaa mikä tahansa merkkijono jollakin luvulla;
5. lisää mille tahansa riville toinen rivi kerrottuna jollakin luvulla.

Muutosten tuloksena saadaan lineaarinen yhtälöjärjestelmä, joka vastaa annettua yhtälöä.

Algoritmi ja esimerkkejä lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemisesta Gaussin menetelmällä järjestelmän neliömatriisin kanssa

Tarkastellaan ensin lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisua, joissa tuntemattomien lukumäärä on yhtä suuri kuin yhtälöiden lukumäärä. Tällaisen järjestelmän matriisi on neliö, eli siinä olevien rivien lukumäärä on yhtä suuri kuin sarakkeiden lukumäärä.

Esimerkki 2 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä

Ratkaisimme lineaarisia yhtälöjärjestelmiä koulumenetelmillä, kerroimme termi kerrallaan yhden yhtälön tietyllä luvulla siten, että kahden yhtälön ensimmäisen muuttujan kertoimet olivat vastakkaisia ​​lukuja. Kun lisäät yhtälöitä, tämä muuttuja eliminoidaan. Gaussin menetelmä toimii samalla tavalla.

Yksinkertaistamiseksi ulkomuoto ratkaisuja muodostaa järjestelmän lisätty matriisi:

Tässä matriisissa tuntemattomien kertoimet sijaitsevat vasemmalla ennen pystypalkkia ja vapaat jäsenet oikealla pystypalkin jälkeen.

Muuttujien kertoimien jakamisen helpottamiseksi (jaon saamiseksi yhdellä) vaihda järjestelmämatriisin ensimmäinen ja toinen rivi. Saamme järjestelmän, joka vastaa annettua, koska lineaarisessa yhtälöjärjestelmässä yhtälöt voidaan järjestää uudelleen:

Uuden ensimmäisen yhtälön kanssa poista muuttuja x toisesta ja kaikista myöhemmistä yhtälöistä. Voit tehdä tämän lisäämällä ensimmäisen rivin kerrottuna (meissä tapauksessa ) matriisin toiseen riviin ja ensimmäinen rivi kerrottuna (meidän tapauksessamme:lla) kolmanteen riviin.

Tämä on mahdollista, koska

Jos järjestelmässämme oli enemmän kuin kolme yhtälöä, ensimmäinen rivi tulee lisätä kaikkiin seuraaviin yhtälöihin kerrottuna vastaavien kertoimien suhteella, otettuna miinusmerkillä.

Tuloksena saadaan matriisi, joka vastaa annettua uuden yhtälöjärjestelmän järjestelmää, jossa kaikki yhtälöt, alkaen toisesta eivät sisällä muuttujaa x :

Tuloksena olevan järjestelmän toisen rivin yksinkertaistamiseksi kerromme sen ja saamme jälleen tätä järjestelmää vastaavan yhtälöjärjestelmän matriisin:

Nyt, pitäen tuloksena olevan järjestelmän ensimmäinen yhtälö muuttumattomana, toista yhtälöä käyttämällä eliminoimme muuttujan y kaikista myöhemmistä yhtälöistä. Voit tehdä tämän lisäämällä järjestelmämatriisin kolmanteen riviin toisen rivin kerrottuna (meissä tapauksessa:lla).

Jos järjestelmässämme oli enemmän kuin kolme yhtälöä, toinen rivi tulisi lisätä kaikkiin seuraaviin yhtälöihin kerrottuna vastaavien kertoimien suhteella, otettuna miinusmerkillä.

Tämän seurauksena saamme jälleen järjestelmän matriisin, joka vastaa annettua lineaariyhtälöjärjestelmää:

Olemme saaneet puolisuunnikkaan muotoisen lineaariyhtälöjärjestelmän, joka vastaa annettua yhtälöä:

Jos yhtälöiden ja muuttujien määrä on suurempi kuin esimerkissämme, muuttujien peräkkäinen eliminointiprosessi jatkuu, kunnes järjestelmämatriisista tulee puolisuunnikkaan muotoinen, kuten demoesimerkissämme.

Löydämme ratkaisun "lopusta" - päinvastoin. Tätä varten viimeisestä yhtälöstä, jonka määritämme z:
.
Korvaa tämä arvo edelliseen yhtälöön, löytö y:

Ensimmäisestä yhtälöstä löytö x:

Vastaus: tämän yhtälöjärjestelmän ratkaisu - .

: tässä tapauksessa sama vastaus annetaan, jos järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu. Jos järjestelmässä on ääretön määrä ratkaisuja, niin on myös vastaus, ja tämä on tämän oppitunnin viidennen osan aihe.

Ratkaise itse lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä ja katso sitten ratkaisua

Edessämme on jälleen esimerkki johdonmukaisesta ja määrätystä lineaarisesta yhtälöjärjestelmästä, jossa yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä. Ero demoesimerkistämme algoritmista on se, että yhtälöitä on jo neljä ja tuntematonta.

Esimerkki 4 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä:

Nyt sinun on käytettävä toista yhtälöä muuttujan sulkemiseksi pois myöhemmistä yhtälöistä. Kulutetaan esityö. Jotta kertoimien suhteen olisi helpompi käyttää, sinun on hankittava yksikkö toisen rivin toisessa sarakkeessa. Tee tämä vähentämällä kolmas rivi toisesta rivistä ja kertomalla tuloksena oleva toinen rivi -1:llä.

Suoritetaan nyt muuttujan todellinen eliminointi kolmannesta ja neljännestä yhtälöstä. Voit tehdä tämän lisäämällä kolmannelle riville toisen luvulla kerrottuna ja neljännen rivin toisen luvulla kerrottuna.

Nyt käyttämällä kolmatta yhtälöä poistamme muuttujan neljännestä yhtälöstä. Voit tehdä tämän lisäämällä neljännelle riville kolmannen kerrottuna . Saamme puolisuunnikkaan muotoisen laajennetun matriisin.

Olemme saaneet yhtälöjärjestelmän, joka vastaa annettua järjestelmää:

Siksi tuloksena saadut ja annetut järjestelmät ovat johdonmukaisia ​​ja määrättyjä. Löydämme lopullisen ratkaisun "lopusta". Neljännestä yhtälöstä voimme ilmaista suoraan muuttujan "x neljäs" arvon:

Korvaamme tämän arvon järjestelmän kolmanteen yhtälöön ja saamme

,

,

Lopuksi arvon korvaaminen

Ensimmäisessä yhtälössä antaa

,

mistä löydämme "x ensin":

Vastaus: Tällä yhtälöjärjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu. .

Voit myös tarkistaa järjestelmän ratkaisun laskimella, joka ratkaisee Cramerin menetelmällä: tässä tapauksessa annetaan sama vastaus, jos järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu.

Sovellettujen ongelmien ratkaisu Gaussin menetelmällä metalliseosten ongelman esimerkissä

Lineaarisia yhtälöjärjestelmiä käytetään fyysisen maailman todellisten esineiden mallintamiseen. Ratkaistaan ​​yksi näistä ongelmista - seoksille. Samanlaiset tehtävät - tehtävät sekoituksille, yksittäisten tavaroiden kustannukset tai ominaispaino tavararyhmässä ja vastaavat.

Esimerkki 5 Kolmen metalliseoksen kappaleen kokonaismassa on 150 kg. Ensimmäinen seos sisältää 60% kuparia, toinen - 30%, kolmas - 10%. Samanaikaisesti toisessa ja kolmannessa lejeeringissä kuparia on yhteensä 28,4 kg vähemmän kuin ensimmäisessä lejeeringissä, ja kolmannessa lejeeringissä kuparia on 6,2 kg vähemmän kuin toisessa. Etsi jokaisen seoksen kappaleen massa.

Ratkaisu. Muodostamme lineaarisen yhtälöjärjestelmän:

Kerrotaan toinen ja kolmas yhtälö 10:llä, saadaan vastaava lineaarinen yhtälöjärjestelmä:

Muodostamme järjestelmän laajennetun matriisin:

Huomio, suora liike. Lisäämällä (tässä tapauksessamme vähentämällä) yksi rivi, kerrottuna luvulla (soveltamme sitä kahdesti), seuraavat muunnokset tapahtuvat järjestelmän laajennetulla matriisilla:

Suora juoksu on ohi. Saimme puolisuunnikkaan muotoisen laajennetun matriisin.

Käytetään toisinpäin. Löydämme ratkaisun lopusta. Näemme sen.

Toisesta yhtälöstä löydämme

Kolmannesta yhtälöstä -

Voit myös tarkistaa järjestelmän ratkaisun laskimella, joka ratkaisee Cramerin menetelmällä: tässä tapauksessa annetaan sama vastaus, jos järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu.

Gaussin menetelmän yksinkertaisuuden todistaa se, että saksalainen matemaatikko Carl Friedrich Gauss kesti vain 15 minuuttia sen keksimiseen. Hänen nimensä menetelmän lisäksi Gaussin teosten sana ”Emme saa sekoittaa sitä, mikä näyttää meille uskomattomalta ja luonnottomalta, ehdottoman mahdottomaan” on eräänlainen lyhyt ohje löytöjen tekemiseen.

Monissa sovellettavissa ongelmissa ei ehkä ole kolmatta rajoitusta, eli kolmatta yhtälöä, silloin on tarpeen ratkaista kahden yhtälön järjestelmä, jossa on kolme tuntematonta Gaussin menetelmällä, tai päinvastoin tuntemattomia on vähemmän kuin yhtälöitä. Nyt alamme ratkaista tällaisia ​​yhtälöjärjestelmiä.

Gaussin menetelmällä voit määrittää, onko jokin järjestelmä johdonmukainen vai epäjohdonmukainen n lineaariset yhtälöt kanssa n muuttujia.

Gaussin menetelmä ja lineaariset yhtälöt, joissa on ääretön määrä ratkaisuja

Seuraava esimerkki on johdonmukainen mutta epämääräinen lineaariyhtälöjärjestelmä, eli sillä on ääretön määrä ratkaisuja.

Kun muunnokset on tehty järjestelmän laajennetussa matriisissa (rivien permutointi, rivien kertominen ja jakaminen tietyllä numerolla, rivin lisääminen toiseen), lomakkeen rivit

Jos kaikissa yhtälöissä on muoto

Vapaat jäsenet ovat yhtä kuin nolla, mikä tarkoittaa, että järjestelmä on epämääräinen, eli sillä on ääretön määrä ratkaisuja, ja tämän tyyppiset yhtälöt ovat "tarpeetonta" ja jätetään järjestelmän ulkopuolelle.

Esimerkki 6

Ratkaisu. Muodostetaan järjestelmän laajennettu matriisi. Sitten, käyttämällä ensimmäistä yhtälöä, poistamme muuttujan seuraavista yhtälöistä. Voit tehdä tämän lisäämällä toiselle, kolmannelle ja neljännelle riville ensimmäinen, kerrottuna vastaavasti:

Lisätään nyt toinen rivi kolmanteen ja neljänteen.

Tämän seurauksena pääsemme järjestelmään

Kahdesta viimeisestä yhtälöstä on tullut muodon yhtälöitä. Nämä yhtälöt täyttyvät kaikille tuntemattomien arvoille ja ne voidaan hylätä.

Toisen yhtälön tyydyttämiseksi voimme valita mielivaltaiset arvot ja , jolloin arvo määritetään yksiselitteisesti: . Ensimmäisestä yhtälöstä arvo löytyy myös yksiselitteisesti: .

Sekä annettu että viimeinen järjestelmä ovat yhteensopivia, mutta epämääräisiä, ja kaavat

mielivaltaiselle ja anna meille kaikki annetun järjestelmän ratkaisut.

Gaussin menetelmä ja lineaariyhtälöjärjestelmät, joilla ei ole ratkaisuja

Seuraava esimerkki on epäjohdonmukainen lineaariyhtälöjärjestelmä, eli sillä ei ole ratkaisuja. Vastaus tällaisiin ongelmiin on muotoiltu seuraavasti: järjestelmällä ei ole ratkaisuja.

Kuten jo mainittiin ensimmäisen esimerkin yhteydessä, järjestelmän laajennetussa matriisissa muunnosten suorittamisen jälkeen muodon rivit

joka vastaa muodon yhtälöä

Jos niiden joukossa on ainakin yksi yhtälö, jossa on nollasta poikkeava vapaa termi (eli ), tämä yhtälöjärjestelmä on epäjohdonmukainen, eli sillä ei ole ratkaisuja, ja tämä täydentää sen ratkaisun.

Esimerkki 7 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä:

Ratkaisu. Muodostamme järjestelmän laajennetun matriisin. Ensimmäisen yhtälön avulla jätämme muuttujan pois myöhemmistä yhtälöistä. Tee tämä lisäämällä ensimmäinen kerrottuna toiselle riville, ensimmäinen kerrottuna kolmannella rivillä ja ensimmäinen kerrottuna neljännellä rivillä.

Nyt sinun on käytettävä toista yhtälöä muuttujan sulkemiseksi pois myöhemmistä yhtälöistä. Saadaksemme kertoimien kokonaislukusuhteet, vaihdamme järjestelmän laajennetun matriisin toisen ja kolmannen rivin.

Jos haluat sulkea pois kolmannen ja neljännen yhtälön, lisää toinen, kerrottuna , kolmanteen riviin ja toinen, kerrottuna , neljännelle riville.

Nyt käyttämällä kolmatta yhtälöä poistamme muuttujan neljännestä yhtälöstä. Voit tehdä tämän lisäämällä neljännelle riville kolmannen kerrottuna .

Annettu järjestelmä vastaa siis seuraavaa:

Tuloksena oleva järjestelmä on epäjohdonmukainen, koska sen viimeistä yhtälöä ei voida täyttää millään tuntemattomien arvoilla. Siksi tällä järjestelmällä ei ole ratkaisuja.