Oppitunti sarjasta "Geometric Algorithms"

Hei rakas lukija!

Tänään aloitamme geometriaan liittyvien algoritmien oppimisen. Tosiasia on, että tietojenkäsittelytieteessä on melko paljon laskennalliseen geometriaan liittyviä olympiatehtäviä, ja tällaisten ongelmien ratkaiseminen aiheuttaa usein vaikeuksia.

Muutamalla oppitunnilla tarkastelemme useita alkeellisia osaongelmia, joihin useimpien laskennallisen geometrian ongelmien ratkaisu perustuu.

Tällä oppitunnilla kirjoitamme ohjelman suoran yhtälön löytäminen kulkee annetun läpi kaksi pistettä. Geometristen ongelmien ratkaisemiseksi tarvitsemme jonkin verran tietoa laskennallisesta geometriasta. Omistamme osan oppitunnista heidän tuntemiseensa.

Tietoa laskennallisesta geometriasta

Laskennallinen geometria on tietojenkäsittelytieteen ala, joka tutkii algoritmeja geometristen ongelmien ratkaisemiseksi.

Tällaisten ongelmien alkutiedot voivat olla tason pistejoukko, segmenttijoukko, monikulmio (joka annetaan esimerkiksi luettelolla sen kärkipisteistä myötäpäivään) jne.

Tuloksena voi olla joko vastaus johonkin kysymykseen (kuten kuuluuko piste janaan, leikkaavatko kaksi janaa, ...) tai jokin geometrinen kohde (esim. pienin kupera monikulmio, joka yhdistää tiettyjä pisteitä, pinta-ala monikulmio jne.).

Käsittelemme laskennallisen geometrian ongelmia vain tasossa ja vain karteesisessa koordinaatistossa.

Vektorit ja koordinaatit

Laskennallisen geometrian menetelmien soveltamiseksi on välttämätöntä kääntää geometriset kuvat lukujen kielelle. Oletetaan, että tasossa on annettu karteesinen koordinaattijärjestelmä, jossa pyörimissuuntaa vastapäivään kutsutaan positiiviseksi.

Nyt geometriset objektit saavat analyyttisen lausekkeen. Joten pisteen asettamiseksi riittää, että määrität sen koordinaatit: numeropari (x; y). Jana voidaan määrittää määrittämällä sen päiden koordinaatit, suora voidaan määrittää määrittämällä sen pisteparin koordinaatit.

Mutta tärkein työkalu ongelmien ratkaisemiseen on vektorit. Muistutan siis teitä joistakin niistä tiedoista.

Jana AB, jolla on järkeä MUTTA katsoi alkua (sovelluskohtaa) ja kohtaa AT- loppua kutsutaan vektoriksi AB ja merkitään joko , tai esimerkiksi lihavoitu pienellä kirjaimella a .

Vektorin pituuden (eli vastaavan segmentin pituuden) ilmaisemiseksi käytämme moduulisymbolia (esimerkiksi ).

Satunnaisella vektorilla on koordinaatit, jotka ovat yhtä suuria kuin sen lopun ja alun vastaavien koordinaattien välinen ero:

,

pisteitä täällä A ja B on koordinaatit vastaavasti.

Laskennassa käytämme käsitettä suunnattu kulma, eli kulma, joka ottaa huomioon vektorien suhteellisen sijainnin.

Suunnattu kulma vektorien välillä a ja b positiivinen, jos rotaatio on poispäin vektorista a vektoriin b tehdään positiiviseen suuntaan (vastapäivään) ja negatiiviseen toisessa tapauksessa. Katso kuva 1a, kuva 1b. Sanotaan myös, että vektoripari a ja b positiivisesti (negatiivisesti) suuntautunut.

Siten suunnatun kulman arvo riippuu vektorien luettelointijärjestyksestä ja voi ottaa arvoja välillä .

Monet laskennalliset geometrian ongelmat käyttävät vektorien vektoritulojen (vino tai pseudoskalaari) käsitettä.

Vektorien a ja b vektoritulo on näiden vektorien pituuksien ja niiden välisen kulman sinin tulo:

.

Koordinaattien vektorien tulo:

Oikealla oleva lauseke on toisen asteen determinantti:

Toisin kuin analyyttisen geometrian määritelmä, tämä on skalaari.

Ristitulon merkki määrittää vektorien sijainnin suhteessa toisiinsa:

a ja b positiivisesti suuntautunut.

Jos arvo on , niin vektoripari a ja b negatiivisesti suuntautunut.

Nollasta poikkeavien vektorien ristitulo on nolla silloin ja vain jos ne ovat kollineaarisia ( ). Tämä tarkoittaa, että ne sijaitsevat samalla linjalla tai yhdensuuntaisilla viivoilla.

Tarkastellaan joitain yksinkertaisia ​​tehtäviä, jotka ovat välttämättömiä monimutkaisempien ratkaisemiseksi.

Määritetään suoran yhtälö kahden pisteen koordinaatteilla.

Kahden eri pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö niiden koordinaattien perusteella.

Olkoon suoralla kaksi eri pistettä: koordinaatit (x1;y1) ja koordinaatit (x2; y2). Vastaavasti vektorilla, jonka alku on pisteessä ja loppu pisteessä, on koordinaatit (x2-x1, y2-y1). Jos P(x, y) on mielivaltainen piste suorallamme, niin vektorin koordinaatit ovat (x-x1, y - y1).

Ristitulon avulla vektorien kollineaarisuuden ehto ja voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Nuo. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Kirjoitamme viimeisen yhtälön uudelleen seuraavasti:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Joten suora voidaan antaa muodon (1) yhtälöllä.

Tehtävä 1. Kahden pisteen koordinaatit on annettu. Etsi sen esitys muodossa ax + by + c = 0.

Tällä oppitunnilla tutustuimme joihinkin tietoihin laskennallisesta geometriasta. Ratkaisimme ongelman löytää yhtälö kahden pisteen koordinaateista.

Seuraavalla oppitunnilla kirjoitamme ohjelman, joka etsii kahden yhtälömme antaman suoran leikkauspisteen.

Tässä artikkelissa tarkastelemme tasossa olevan suoran yleistä yhtälöä. Otetaan esimerkkejä suoran yleisen yhtälön muodostamisesta, jos tämän suoran kaksi pistettä tunnetaan tai jos tämän suoran yksi piste ja normaalivektori tunnetaan. Esitetään menetelmiä yhtälön muuntamiseksi yleismuodossa kanonisiin ja parametrisiin muotoihin.

Olkoon mielivaltainen suorakulmainen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä Oxy. Harkitse ensimmäisen asteen yhtälöä tai lineaarista yhtälöä:

Ax+By+C=0,

(1)

missä A, B, C ovat joitain vakioita ja ainakin yksi elementeistä A ja B eroaa nollasta.

Osoitamme, että tasossa oleva lineaarinen yhtälö määrittelee suoran. Todistetaan seuraava lause.

Lause 1. Satunnaisessa suorakulmaisessa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä tasossa jokainen suora voidaan antaa lineaarisella yhtälöllä. Päinvastoin, jokainen lineaarinen yhtälö (1) mielivaltaisessa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä tasossa määrittää suoran.

Todiste. Se riittää todistamaan, että linja L määritetään lineaarisella yhtälöllä mille tahansa suorakaiteen muotoiselle koordinaattijärjestelmälle, koska silloin se määräytyy lineaarisen yhtälön avulla ja mille tahansa suorakulmaisen suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän valinnalle.

Annetaan suora viiva tasolle L. Valitsemme koordinaattijärjestelmän niin, että akseli Härkä linjassa linjan kanssa L, ja akseli Oy oli kohtisuorassa siihen nähden. Sitten suoran yhtälö L tulee seuraavassa muodossa:

y = 0.

(2)

Kaikki pisteet linjalla L täyttää lineaarisen yhtälön (2), ja kaikki tämän suoran ulkopuolella olevat pisteet eivät täytä yhtälöä (2). Lauseen ensimmäinen osa on todistettu.

Olkoon suorakulmainen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä ja annettu lineaarinen yhtälö (1), jossa ainakin yksi alkioista A ja B eroaa nollasta. Etsi pisteet, joiden koordinaatit täyttävät yhtälön (1). Koska ainakin yksi kertoimista A ja B on eri kuin nolla, yhtälöllä (1) on ainakin yksi ratkaisu M(x 0 ,y 0). (Esimerkiksi milloin A≠0, piste M 0 (−C/A, 0) kuuluu annettuun pisteen paikkaan). Korvaamalla nämä koordinaatit kohtaan (1), saadaan identiteetti

Kirves 0 +Tekijä: 0 +C=0.

(3)

Vähennetään identiteetti (3) arvosta (1):

A(x−x 0)+B(y−y 0)=0.

(4)

Ilmeisesti yhtälö (4) vastaa yhtälöä (1). Siksi riittää todistamaan, että (4) määrittelee jonkin suoran.

Koska tarkastelemme suorakulmaista suorakulmaista koordinaattijärjestelmää, yhtälöstä (4) seuraa, että vektori komponenteilla ( x-x 0 , y-y 0 ) on ortogonaalinen vektoriin nähden n koordinaatteilla ( A, B}.

Harkitse jotain linjaa L kulkee pisteen läpi M 0 (x 0 , y 0) ja kohtisuorassa vektoriin nähden n(Kuva 1). Anna pointin M(x,y) kuuluu riville L. Sitten vektori koordinaatteineen x-x 0 , y-y 0 kohtisuorassa n ja yhtälö (4) täyttyy (vektorien skalaaritulo). n ja on nolla). Päinvastoin, jos kohta M(x,y) ei ole rivillä L, sitten vektori koordinaatteineen x-x 0 , y-y 0 ei ole ortogonaalinen vektoriin nähden n ja yhtälö (4) ei täyty. Lause on todistettu.

Todiste. Koska suorat (5) ja (6) määrittävät saman suoran, normaalivektorit n 1 ={A 1 ,B 1) ja n 2 ={A 2 ,B 2) ovat kollineaarisia. Vektoreista lähtien n 1 ≠0, n 2 ≠ 0, silloin on numero λ , mitä n 2 =n 1 λ . Siksi meillä on: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Todistetaan se C 2 =C 1 λ . On selvää, että osuvilla viivoilla on yhteinen piste M 0 (x 0 , y 0). Kerrotaan yhtälö (5) luvulla λ ja vähentämällä siitä yhtälö (6) saamme:

Koska kaksi ensimmäistä yhtälöä lausekkeista (7) täyttyvät, niin C 1 λ −C 2 = 0. Nuo. C 2 =C 1 λ . Huomautus on todistettu.

Huomaa, että yhtälö (4) määrittelee pisteen läpi kulkevan suoran yhtälön M 0 (x 0 , y 0) ja jolla on normaalivektori n={A, B). Siksi, jos suoran normaalivektori ja tähän suoraan kuuluva piste tunnetaan, voidaan suoran yleinen yhtälö muodostaa yhtälön (4) avulla.

Esimerkki 1. Suora kulkee pisteen läpi M=(4,−1) ja sillä on normaalivektori n=(3, 5). Muodosta suoran suoran yleinen yhtälö.

Ratkaisu. Meillä on: x 0 =4, y 0 =−1, A=3, B=5. Suoran suoran yleisen yhtälön muodostamiseksi korvaamme nämä arvot yhtälöllä (4):

Vastaus:

Viivan suuntainen vektori L ja on siten kohtisuorassa suoran normaalivektoriin nähden L. Muodostetaan normaali viivavektori L, koska vektorien skalaaritulo n ja on yhtä suuri kuin nolla. Voimme kirjoittaa esim. n={1,−3}.

Muodostaaksemme suoran yleisen yhtälön käytämme kaavaa (4). Korvataan (4) pisteen koordinaatit M 1 (voimme myös ottaa pisteen koordinaatit M 2) ja normaalivektori n:

Korvaa pisteen koordinaatit M 1 ja M 2 kohdassa (9) voimme varmistaa, että yhtälön (9) antama suora kulkee näiden pisteiden läpi.

Vastaus:

Vähennä (10) kohdasta (1):

Olemme saaneet suoran kanonisen yhtälön. Vektori q={−B, A) on suoran (12) suuntavektori.

Katso käänteinen muunnos.

Esimerkki 3. Tasossa olevaa suoraa edustaa seuraava yleinen yhtälö:

Siirrä toinen termi oikealle ja jaa yhtälön molemmat puolet luvulla 2 5.

Suoran ominaisuudet euklidisessa geometriassa.

On äärettömän monta viivaa, jotka voidaan vetää minkä tahansa pisteen läpi.

Kahden eri pisteen kautta on vain yksi suora viiva.

Kaksi ei-yhtenäistä suoraa tasossa joko leikkaavat yhdessä pisteessä tai ovat

rinnakkainen (seuraa edellistä).

Kolmiulotteisessa avaruudessa on kolme vaihtoehtoa kahden viivan suhteelliselle sijainnille:

• linjat leikkaavat;

• suorat viivat ovat yhdensuuntaisia;

• suorat leikkaavat.

Suoraan linja- ensimmäisen kertaluvun algebrallinen käyrä: suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä suora

on annettu tasossa ensimmäisen asteen yhtälöllä (lineaarinen yhtälö).

Suoran suoran yleinen yhtälö.

Määritelmä. Mikä tahansa tason suora voidaan antaa ensimmäisen kertaluvun yhtälöllä

Ah + Wu + C = 0,

ja jatkuvaa A, B ei ole sama kuin nolla samaan aikaan. Tätä ensimmäisen kertaluvun yhtälöä kutsutaan yleistä

suora yhtälö. Vakioiden arvoista riippuen A, B ja FROM Seuraavat erikoistapaukset ovat mahdollisia:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- viiva kulkee origon kautta

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( + C = 0)- akselin suuntainen suora viiva vai niin

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- akselin suuntainen suora viiva OU

. B = C = 0, A ≠ 0- viiva osuu yhteen akselin kanssa OU

. A = C = 0, B ≠ 0- viiva osuu yhteen akselin kanssa vai niin

Suoran yhtälö voidaan esittää eri muodoissa riippuen mistä tahansa tiedosta

alkuolosuhteet.

Pisteen ja normaalivektorin suoran yhtälö.

Määritelmä. Karteesisessa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä vektori komponenteilla (A, B)

kohtisuorassa yhtälön antamaa suoraa vastaan

Ah + Wu + C = 0.

Esimerkki. Etsi pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö A(1, 2) kohtisuorassa vektoriin nähden (3, -1).

Ratkaisu. Muodostetaan kohdissa A \u003d 3 ja B \u003d -1 suoran yhtälö: 3x - y + C \u003d 0. Kertoimen C löytämiseksi

korvaamme tuloksena olevaan lausekkeeseen annetun pisteen A koordinaatit. Saamme: 3 - 2 + C = 0, joten

C = -1. Yhteensä: haluttu yhtälö: 3x - y - 1 \u003d 0.

Kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö.

Olkoon kaksi pistettä avaruudessa M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ja M2 (x 2, y 2, z 2), sitten suora yhtälö,

kulkee näiden pisteiden läpi:

Jos jokin nimittäjistä on nolla, vastaava osoittaja on asetettava nollaksi. Käytössä

tasossa, yllä kirjoitettua suoran yhtälöä on yksinkertaistettu:

jos x 1 ≠ x 2 ja x = x 1, jos x 1 = x 2 .

Murto-osa = k nimeltään kaltevuustekijä suoraan.

Esimerkki. Etsi pisteiden A(1, 2) ja B(3, 4) kautta kulkevan suoran yhtälö.

Ratkaisu. Yllä olevaa kaavaa soveltamalla saamme:

Pisteen ja kaltevuuden suoran yhtälö.

Jos suoran suoran yleinen yhtälö Ah + Wu + C = 0 tuo muotoon:

ja nimetä , niin tuloksena olevaa yhtälöä kutsutaan

yhtälö suorasta kulmasta k.

Pisteessä olevan suoran ja suuntausvektorin yhtälö.

Analogisesti pisteen kanssa, joka ottaa huomioon normaalivektorin läpi kulkevan suoran yhtälön, voit syöttää tehtävän

pisteen läpi kulkeva suora ja suoran suuntavektori.

Määritelmä. Jokainen nollasta poikkeava vektori (α 1 , α 2), jonka komponentit täyttävät ehdon

Aα 1 + Bα 2 = 0 nimeltään suoran suuntavektori.

Ah + Wu + C = 0.

Esimerkki. Etsi yhtälö suoralle, jolla on suuntavektori (1, -1) ja joka kulkee pisteen A(1, 2) kautta.

Ratkaisu. Etsimme halutun suoran yhtälön muodossa: Ax + By + C = 0. Määritelmän mukaan

kertoimien on täytettävä seuraavat ehdot:

1 * A + (-1) * B = 0, so. A = B.

Sitten suoran yhtälöllä on muoto: Ax + Ay + C = 0, tai x + y + C / A = 0.

klo x = 1, y = 2 saamme C/A = -3, eli haluttu yhtälö:

x + y - 3 = 0

Segmenttien suoran yhtälö.

Jos suoran yleisessä yhtälössä Ah + Wu + C = 0 C≠0, niin jakamalla -C:llä saadaan:

tai missä

Kertoimien geometrinen merkitys on, että kerroin a on leikkauspisteen koordinaatti

suora akselilla Vai niin, a b- suoran ja akselin leikkauspisteen koordinaatti OU.

Esimerkki. Suoran suoran yleinen yhtälö on annettu x - y + 1 = 0. Etsi tämän suoran yhtälö segmenteissä.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normaali suoran yhtälö.

Jos yhtälön molemmat puolet Ah + Wu + C = 0 jakaa numerolla , jota kutsutaan

normalisoiva tekijä, sitten saamme

xcosφ + ysinφ - p = 0 -suoran suoran normaaliyhtälö.

Normalisointitekijän etumerkki ± on valittava siten, että μ * C< 0.

R- origosta viivaan pudonneen kohtisuoran pituus,

a φ - kulma, jonka tämä kohtisuora muodostaa akselin positiivisen suunnan kanssa Vai niin.

Esimerkki. Annettu suoran suoran yleinen yhtälö 12x - 5v - 65 = 0. Tarvitaan erityyppisten yhtälöiden kirjoittamiseen

tämä suora viiva.

Tämän suoran yhtälö segmenteissä:

Tämän suoran yhtälö kaltevuuden kanssa: (jaa 5:llä)

Suoran linjan yhtälö:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.

On huomattava, että jokaista suoraa ei voida esittää yhtälöllä segmenteissä, esimerkiksi suorilla,

akselien suuntaisesti tai origon kautta.

Tason viivojen välinen kulma.

Määritelmä. Jos annetaan kaksi riviä y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, sitten näiden viivojen välinen terävä kulma

määritellään nimellä

Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia ​​jos k 1 = k 2. Kaksi viivaa ovat kohtisuorassa

jos k 1 \u003d -1 / k 2 .

Lause.

Suoraan Ah + Wu + C = 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ovat rinnakkaisia, kun kertoimet ovat verrannollisia

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Jos myös С 1 \u003d λС, niin viivat ovat samat. Kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit

löytyy ratkaisuna näiden suorien yhtälöjärjestelmään.

Tietyn pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö on kohtisuorassa annettua suoraa vastaan.

Määritelmä. Pisteen kautta kulkeva suora M 1 (x 1, y 1) ja kohtisuorassa linjaan nähden y = kx + b

esitetään yhtälöllä:

Etäisyys pisteestä viivaan.

Lause. Jos piste annetaan M(x 0, y 0), sitten etäisyys linjaan Ah + Wu + C = 0 määritelty:

Todiste. Anna pointin M 1 (x 1, y 1)- kohtisuoran kanta on pudonnut pisteestä M tietylle

suoraan. Sitten pisteiden välinen etäisyys M ja M 1:

(1)

Koordinaatit x 1 ja 1 löytyy ratkaisuna yhtälöjärjestelmään:

Järjestelmän toinen yhtälö on tietyn pisteen M 0 kautta kohtisuorassa kulkevan suoran yhtälö

annettu rivi. Jos muunnamme järjestelmän ensimmäisen yhtälön muotoon:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sitten ratkaisemalla saamme:

Korvaamalla nämä lausekkeet yhtälöön (1), löydämme:

Lause on todistettu.

Suoran suoran yleinen yhtälö:

Suoran suoran yleisen yhtälön erityistapaukset:

mitä jos C= 0, yhtälöllä (2) on muoto

Kirves + Tekijä: = 0,

ja tämän yhtälön määrittelemä suora kulkee origon kautta, koska origon koordinaatit x = 0, y= 0 täyttävät tämän yhtälön.

b) Jos suoran (2) yleisessä yhtälössä B= 0, yhtälö saa muodon

Kirves + FROM= 0 tai .

Yhtälö ei sisällä muuttujaa y, ja tämän yhtälön määrittelemä suora on yhdensuuntainen akselin kanssa Oy.

c) Jos suoran (2) yleisessä yhtälössä A= 0, niin tämä yhtälö saa muodon

Tekijä: + FROM= 0 tai ;

yhtälö ei sisällä muuttujaa x, ja sen määrittelemä suora on yhdensuuntainen akselin kanssa Härkä.

On syytä muistaa: jos suora on yhdensuuntainen minkä tahansa koordinaattiakselin kanssa, niin sen yhtälö ei sisällä termiä, joka sisältää samannimisen koordinaatin tämän akselin kanssa.

d) Milloin C= 0 ja A= 0 yhtälö (2) saa muodon Tekijä:= 0 tai y = 0.

Tämä on akseliyhtälö Härkä.

e) Milloin C= 0 ja B= 0 yhtälö (2) voidaan kirjoittaa muotoon Kirves= 0 tai x = 0.

Tämä on akseliyhtälö Oy.

Suorien viivojen keskinäinen järjestely tasossa. Tason viivojen välinen kulma. Yhdensuuntaisten viivojen kunto. Viivojen kohtisuoran ehto.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Vektoreita S 1 ja S 2 kutsutaan niiden viivojen ohjaiksi.

Linjojen l 1 ja l 2 välinen kulma määräytyy suuntavektorien välisestä kulmasta.
Lause 1: cos-kulma välillä l 1 ja l 2 \u003d cos (l 1; l 2) \u003d

Lause 2: Jotta 2 riviä olisi yhtä suuri, on välttämätöntä ja riittävää:

Lause 3: niin, että 2 suoraa ovat kohtisuorassa, on välttämätöntä ja riittävää:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Tason yleinen yhtälö ja sen erikoistapaukset. Tason yhtälö segmenteissä.

Yleinen tasoyhtälö:

Ax + By + Cz + D = 0

Erikoistapaukset:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 - taso kulkee origon kautta

2. С=0 Ax+By+D = 0 – taso || oz

3. В=0 Ax+Cz+d = 0 – taso || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – taso || HÄRKÄ

5. A=0 ja D=0 By+Cz = 0 - taso kulkee OX:n läpi

6. B=0 ja D=0 Ax+Cz = 0 - taso kulkee OY:n kautta

7. C=0 ja D=0 Ax+By = 0 - taso kulkee OZ:n läpi

Tasojen ja suorien keskinäinen järjestely avaruudessa:

1. Avaruudessa olevien viivojen välinen kulma on niiden suuntavektorien välinen kulma.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. Tasojen välinen kulma määräytyy niiden normaalivektorien välisen kulman kautta.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = =

3. Suoran ja tason välisen kulman kosini löytyy suoran suuntavektorin ja tason normaalivektorin välisen kulman sinin kautta.

4. 2 riviä || avaruudessa, kun heidän || vektoriohjaimet

5. 2 konetta || milloin || normaalit vektorit

6. Viivojen ja tasojen kohtisuoran käsitteet esitellään samalla tavalla.

Kysymys #14

Erilaiset tasaisen suoran yhtälön tyypit (suoran yhtälö segmenteissä, kaltevuuden kanssa jne.)

Segmenttien suoran yhtälö:
Oletetaan, että suoran suoran yleisessä yhtälössä:

1. C \u003d 0 Ah + Wu \u003d 0 - suora kulkee origon läpi.

2. a \u003d 0 Wu + C \u003d 0 y \u003d

3. in \u003d 0 Ax + C \u003d 0 x \u003d

4. v \u003d C \u003d 0 Ax \u003d 0 x \u003d 0

5. a \u003d C \u003d 0 Wu \u003d 0 y \u003d 0

Suoran ja kaltevuuden yhtälö:

Mikä tahansa suora, joka ei ole yhtä suuri kuin y-akseli (B ei = 0), voidaan kirjoittaa seuraavaksi. muoto:

k = tgα α on suoran ja positiivisesti suunnatun suoran välinen kulma ОХ

b - suoran ja käyttöjärjestelmän akselin leikkauspiste

Asiakirja:

Ax+By+C = 0

Wu \u003d -Ax-C |: B

Suoran yhtälö kahdessa pisteessä:

Kysymys #16

Funktion äärellinen raja pisteessä ja x→∞

Loppuraja pisteessä x 0:

Lukua A kutsutaan funktion y \u003d f (x) rajaksi x → x 0:lle, jos jollakin E > 0:lla on b > 0 siten, että x ≠ x 0, mikä tyydyttää epäyhtälön |x - x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Raja on merkitty: = A

Loppuraja pisteessä +∞:

Lukua A kutsutaan funktion y = f(x) rajaksi x:lle → + ∞ , jos jollekin E > 0:lle on olemassa C > 0 siten, että x > C epäyhtälö |f(x) - A|< Е

Raja on merkitty: = A

Loppuraja kohdassa -∞:

Lukua A kutsutaan funktion y = f(x) rajaksi x→-∞, jos jollekin E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Tietyn pisteen kautta tiettyyn suuntaan kulkevan suoran yhtälö. Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö. Kahden viivan välinen kulma. Kahden suoran yhdensuuntaisuuden ja kohtisuoran ehto. Kahden suoran leikkauspisteen määrittäminen

1. Tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö A(x 1 , y 1) tiettyyn suuntaan, kaltevuuden määräämä k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Tämä yhtälö määrittelee pisteen läpi kulkevien viivojen kynän A(x 1 , y 1), jota kutsutaan säteen keskipisteeksi.

2. Kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö: A(x 1 , y 1) ja B(x 2 , y 2) on kirjoitettu näin:

Kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran kaltevuus määräytyy kaavalla

3. Kulma suorien viivojen välillä A ja B on kulma, jonka verran ensimmäistä suoraa on käännettävä A näiden viivojen leikkauspisteen ympärillä vastapäivään, kunnes se osuu yhteen toisen viivan kanssa B. Jos kaksi suoraa annetaan kaltevuusyhtälöillä

y = k 1 x + B 1 ,