Lineaaristen järjestelmien ratkaisu algebralliset yhtälöt(SLAE) on epäilemättä lineaarialgebran kurssin tärkein aihe. Valtava määrä ongelmia kaikilta matematiikan aloilta rajoittuu järjestelmien ratkaisemiseen lineaariset yhtälöt. Nämä tekijät selittävät syyn tämän artikkelin luomiseen. Artikkelin materiaali on valittu ja jäsennelty niin, että sen avulla voit

• valita optimaalinen menetelmä lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi,
• opiskella valitun menetelmän teoriaa,
• ratkaise lineaariyhtälöjärjestelmäsi harkittuaan yksityiskohtaisesti tyypillisten esimerkkien ja ongelmien ratkaisuja.

Lyhyt kuvaus artikkelin materiaalista.

Ensin annamme kaikki tarvittavat määritelmät, käsitteet ja otamme käyttöön joitain merkintöjä.

Seuraavaksi tarkastellaan menetelmiä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaisemiseksi, joissa yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä ja joilla on ainutlaatuinen ratkaisu. Ensinnäkin keskitymme Cramer-menetelmään, toiseksi näytämme matriisimenetelmän tällaisten yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi, kolmanneksi analysoimme Gaussin menetelmää (menetelmä peräkkäinen poissulkeminen tuntemattomat muuttujat). Teorian vahvistamiseksi ratkaisemme varmasti useita SLAE-ratkaisuja eri tavoilla.

Sen jälkeen siirrytään lineaaristen algebrallisten yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen yleisnäkymä, jossa yhtälöiden lukumäärä ei ole sama kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä tai järjestelmän päämatriisi on rappeutunut. Muotoilemme Kronecker-Capelli-lauseen, jonka avulla voimme määrittää SLAE:n yhteensopivuuden. Analysoidaan järjestelmien ratkaisua (niiden yhteensopivuuden tapauksessa) matriisin kantamollin käsitteellä. Tarkastellaan myös Gaussin menetelmää ja kuvataan yksityiskohtaisesti esimerkkien ratkaisut.

Muista keskittyä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden homogeenisten ja epähomogeenisten järjestelmien yleisen ratkaisun rakenteeseen. Esitetään perusratkaisujärjestelmän käsite ja osoitetaan kuinka kirjoittaa yhteinen päätös SLAE perusratkaisujärjestelmän vektorien avulla. Paremman ymmärtämisen vuoksi katsotaanpa muutama esimerkki.

Lopuksi tarkastelemme yhtälöjärjestelmiä, jotka on pelkistetty lineaarisiin, sekä erilaisia ​​​​ongelmia, joiden ratkaisussa SLAE syntyy.

Sivulla navigointi.

Määritelmät, käsitteet, nimitykset.

Tarkastellaan p lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmiä, joissa on n tuntematonta muuttujaa (p voi olla yhtä suuri kuin n ) muotoa

Tuntemattomat muuttujat, - kertoimet (jotkut reaali- tai kompleksiluvut), - vapaat jäsenet (myös reaali- tai kompleksiluvut).

Tätä SLAE-muotoa kutsutaan koordinoida.

AT matriisimuoto tällä yhtälöjärjestelmällä on muoto,
missä - järjestelmän päämatriisi, - tuntemattomien muuttujien matriisisarake, - vapaiden jäsenten matriisisarake.

Jos lisäämme matriisiin A sarakkeena (n + 1) vapaiden termien matriisisarakkeen, niin saadaan ns. laajennettu matriisi lineaariset yhtälöt. Yleensä laajennettu matriisi merkitään kirjaimella T, ja vapaiden jäsenten sarake on erotettu pystyviivalla muista sarakkeista, eli

Ratkaisemalla lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän kutsutaan joukoksi tuntemattomien muuttujien arvoja, joka muuttaa kaikki järjestelmän yhtälöt identiteeteiksi. Matriisiyhtälö tuntemattomien muuttujien annetuille arvoille muuttuu myös identiteetiksi .

Jos yhtälöjärjestelmällä on vähintään yksi ratkaisu, sitä kutsutaan liitos.

Jos yhtälöjärjestelmällä ei ole ratkaisuja, sitä kutsutaan yhteensopimaton.

Jos SLAE:llä on ainutlaatuinen ratkaisu, sitä kutsutaan varma; jos ratkaisuja on useampi kuin yksi, niin - epävarma.

Jos järjestelmän kaikkien yhtälöiden vapaat ehdot ovat nolla , niin järjestelmä kutsutaan homogeeninen, muuten - heterogeeninen.

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden alkeisjärjestelmien ratkaisu.

Jos järjestelmäyhtälöiden määrä on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien määrä ja sen päämatriisin determinantti ei ole nolla, kutsumme tällaisia ​​SLAE:itä perus. Tällaisilla yhtälöjärjestelmillä on ainutlaatuinen ratkaisu, ja tapauksessa homogeeninen järjestelmä kaikki tuntemattomat muuttujat ovat nollia.

Aloimme opiskella tällaista SLAE:tä lukiossa. Niitä ratkottaessa otimme yhden yhtälön, ilmaisimme yhden tuntemattoman muuttujan muilla ja korvasimme sen jäljellä olevilla yhtälöillä, otimme sitten seuraavan yhtälön, ilmaisimme seuraavan tuntemattoman muuttujan ja substituoimme sen muilla yhtälöillä ja niin edelleen. Tai he käyttivät summausmenetelmää, eli he lisäsivät kaksi tai useampia yhtälöitä joidenkin tuntemattomien muuttujien poistamiseksi. Emme käsittele näitä menetelmiä yksityiskohtaisesti, koska ne ovat olennaisesti Gaussin menetelmän muunnelmia.

Tärkeimmät menetelmät lineaaristen yhtälöiden alkeisjärjestelmien ratkaisemiseksi ovat Cramer-menetelmä, matriisimenetelmä ja Gaussin menetelmä. Selvitetään ne.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen Cramerin menetelmällä.

Meidän on ratkaistava lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä

jossa yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä ja järjestelmän päämatriisin determinantti on eri kuin nolla, eli .

Antaa olla determinantti päämatriisin järjestelmän, ja ovat determinantteja matriisien, jotka saadaan A:sta korvaamalla 1., 2., …, n:s sarake vastaavasti vapaiden jäsenten sarakkeeseen:

Tällaisella merkinnällä tuntemattomat muuttujat lasketaan Cramerin menetelmän kaavoilla as . Näin Cramer-menetelmällä löydetään lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaisu.

Esimerkki.

Cramer menetelmä .

Ratkaisu.

Järjestelmän päämatriisilla on muoto . Laske sen determinantti (katso tarvittaessa artikkeli):

Koska järjestelmän päämatriisin determinantti ei ole nolla, järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka voidaan löytää Cramerin menetelmällä.

Laadi ja laske tarvittavat determinantit (determinantti saadaan korvaamalla matriisin A ensimmäinen sarake vapaiden jäsenten sarakkeella, determinantti - korvaamalla toinen sarake vapaiden jäsenten sarakkeella, - korvaamalla matriisin A kolmas sarake vapaiden jäsenten sarakkeella ):

Tuntemattomien muuttujien etsiminen kaavoilla :

Vastaus:

Cramerin menetelmän suurin haitta (jos sitä voidaan kutsua haitaksi) on determinanttien laskemisen monimutkaisuus, kun järjestelmäyhtälöitä on enemmän kuin kolme.

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaiseminen matriisimenetelmällä (käyttäen käänteismatriisia).

Olkoon lineaarinen algebrallinen yhtälöjärjestelmä matriisimuodossa , jossa matriisin A mitat ovat n x n ja sen determinantti on nollasta poikkeava.

Koska , niin matriisi A on käänteinen, eli on olemassa käänteimatriisi . Jos kerromme yhtälön molemmat osat vasemmalla, saadaan kaava tuntemattomien muuttujien sarakematriisin löytämiseksi. Joten saimme ratkaisun lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmään matriisimenetelmä.

Esimerkki.

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä matriisimenetelmä.

Ratkaisu.

Kirjoitetaan yhtälöjärjestelmä uudelleen matriisimuotoon:

Koska

silloin SLAE voidaan ratkaista matriisimenetelmällä. Käyttämällä käänteinen matriisi ratkaisu tähän järjestelmään löytyy mm .

Rakennetaan käänteismatriisi käyttämällä matriisin A elementtien algebrallisten komplementtien matriisia (katso tarvittaessa artikkeli):

Jää vielä laskea - tuntemattomien muuttujien matriisi kertomalla käänteinen matriisi ilmaisten jäsenten matriisisarakkeessa (katso tarvittaessa artikkeli):

Vastaus:

tai toisessa merkinnässä x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Suurin ongelma ratkaisun löytämisessä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmiin matriisimenetelmällä on käänteismatriisin löytämisen monimutkaisuus, erityisesti neliömatriiseja järjestys korkeampi kuin kolmas.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen Gaussin menetelmällä.

Oletetaan, että meidän on löydettävä ratkaisu n lineaarisen yhtälön järjestelmälle, jossa on n tuntematonta muuttujaa
jonka päämatriisin determinantti on eri kuin nolla.

Gaussin menetelmän ydin koostuu tuntemattomien muuttujien peräkkäisestä poissulkemisesta: ensin x 1 jätetään pois kaikista järjestelmän yhtälöistä alkaen toisesta, sitten x 2 jätetään pois kaikista yhtälöistä alkaen kolmannesta ja niin edelleen, kunnes vain tuntematon muuttuja x n jää viimeiseen yhtälöön. Tällaista prosessia järjestelmän yhtälöiden muuntamiseksi tuntemattomien muuttujien peräkkäiseksi eliminoimiseksi kutsutaan ns. suora Gaussin menetelmä. Kun Gaussin menetelmän eteenpäinajo on suoritettu loppuun, x n löydetään viimeisestä yhtälöstä, x n-1 lasketaan toiseksi viimeisestä yhtälöstä tätä arvoa käyttäen ja niin edelleen, x 1 löydetään ensimmäisestä yhtälöstä. Tuntemattomien muuttujien laskentaprosessi siirryttäessä järjestelmän viimeisestä yhtälöstä ensimmäiseen on ns. käänteinen Gaussin menetelmä.

Kuvataanpa lyhyesti algoritmi tuntemattomien muuttujien eliminoimiseksi.

Oletetaan, että , koska voimme aina saavuttaa tämän järjestämällä järjestelmän yhtälöitä uudelleen. Jätetään tuntematon muuttuja x 1 pois kaikista järjestelmän yhtälöistä toisesta alkaen. Tätä varten lisää ensimmäinen yhtälö kerrottuna järjestelmän toiseen yhtälöön, lisää ensimmäinen kerrottuna kolmanteen yhtälöön ja niin edelleen, lisää ensimmäinen kerrottuna n:nteen yhtälöön. Yhtälöjärjestelmä tällaisten muunnosten jälkeen saa muodon

missä .

Pääsisimme samaan tulokseen, jos ilmaisimme x 1:n muilla tuntemattomilla muuttujilla järjestelmän ensimmäisessä yhtälössä ja korvaamme tuloksena olevan lausekkeen kaikilla muilla yhtälöillä. Siten muuttuja x 1 jätetään pois kaikista yhtälöistä toisesta alkaen.

Seuraavaksi toimimme samalla tavalla, mutta vain osan kanssa tuloksena olevasta järjestelmästä, joka on merkitty kuvaan

Tee tämä lisäämällä toinen kerrottuna järjestelmän kolmanteen yhtälöön, lisäämällä toinen kerrottuna neljänteen yhtälöön ja niin edelleen, lisäämällä toinen kerrottuna n:nteen yhtälöön. Yhtälöjärjestelmä tällaisten muunnosten jälkeen saa muodon

missä . Siten muuttuja x 2 jätetään pois kaikista yhtälöistä kolmannesta alkaen.

Seuraavaksi edetään tuntemattoman x 3:n eliminointiin samalla tavalla toimien kuvassa merkityn järjestelmän osan kanssa

Jatkamme siis Gaussin menetelmän suoraa kulkua, kunnes järjestelmä saa muodon

Tästä hetkestä lähtien aloitamme Gaussin menetelmän käänteisen kulkun: laskemme x n viimeisestä yhtälöstä kuten , käyttämällä saatua arvoa x n löydämme toiseksi viimeisestä yhtälöstä x n-1 ja niin edelleen, löydämme x 1 ensimmäisestä yhtälö.

Esimerkki.

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmä.

Ratkaisu.

Jätetään tuntematon muuttuja x 1 pois järjestelmän toisesta ja kolmannesta yhtälöstä. Tätä varten lisäämme toisen ja kolmannen yhtälön molempiin osiin ensimmäisen yhtälön vastaavat osat kerrottuna ja vastaavasti:

Nyt jätetään x 2 pois kolmannesta yhtälöstä lisäämällä sen vasempaan ja oikeaan osaan toisen yhtälön vasen ja oikea osa kerrottuna:

Tällä Gaussin menetelmän eteenpäin suuntautuva kurssi on valmis, aloitamme käänteisen kurssin.

Tuloksena olevan yhtälöjärjestelmän viimeisestä yhtälöstä löydämme x 3:

Toisesta yhtälöstä saamme .

Ensimmäisestä yhtälöstä löydämme jäljellä olevan tuntemattoman muuttujan ja tämä täydentää Gaussin menetelmän käänteisen kurssin.

Vastaus:

X 1 \u003d 4, x 2 = 0, x 3 \u003d -1.

Yleismuotoisten lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaiseminen.

AT yleinen tapaus järjestelmäyhtälöiden lukumäärä p ei vastaa tuntemattomien muuttujien määrää n:

Tällaisilla SLAE-ratkaisuilla ei voi olla ratkaisuja, niillä voi olla yksi ratkaisu tai niillä voi olla äärettömän monta ratkaisua. Tämä väite koskee myös yhtälöjärjestelmiä, joiden päämatriisi on neliömäinen ja degeneroitunut.

Kronecker-Capellin lause.

Ennen kuin löytää ratkaisun lineaariyhtälöjärjestelmälle, on tarpeen selvittää sen yhteensopivuus. Vastaus kysymykseen, milloin SLAE on yhteensopiva ja milloin se ei ole yhteensopiva, antaa Kronecker-Capellin lause:
jotta p-yhtälöjärjestelmä, jossa on n tuntematonta (p voi olla yhtä suuri kuin n ), olisi johdonmukainen, on välttämätöntä ja riittävää, että järjestelmän päämatriisin järjestys on yhtä suuri kuin laajennetun matriisin järjestys, eli Rank( A) = Sijoitus(T) .

Tarkastellaan esimerkkinä Kronecker-Cappelli-lauseen soveltamista lineaarisen yhtälöjärjestelmän yhteensopivuuden määrittämiseen.

Esimerkki.

Selvitä, onko lineaarisella yhtälöjärjestelmällä ratkaisuja.

Ratkaisu.

. Käytetään alaikäisten rajaamista. Toisen asteen alaikäinen eroaa nollasta. Käydään läpi sitä ympäröivät kolmannen asteen alaikäiset:

Koska kaikki vierekkäiset kolmannen asteen alaikäiset ovat yhtä suuria kuin nolla, päämatriisin arvo on kaksi.

Puolestaan ​​lisätyn matriisin sijoitus on yhtä suuri kuin kolme, koska kolmannen asteen molli

eroaa nollasta.

Tällä tavalla, Alue(A) , joten Kronecker-Capellin lauseen mukaan voimme päätellä, että alkuperäinen lineaariyhtälöjärjestelmä on epäjohdonmukainen.

Vastaus:

Ratkaisujärjestelmää ei ole.

Olemme siis oppineet määrittämään järjestelmän epäjohdonmukaisuuden Kronecker-Capellin lauseen avulla.

Mutta kuinka löytää SLAE:n ratkaisu, jos sen yhteensopivuus on vahvistettu?

Tätä varten tarvitsemme matriisin kanta-mollin käsitteen ja matriisin asteen lauseen.

Pieni korkein järjestys kutsutaan matriisia A, joka on nollasta poikkeava perus.

Perusmollin määritelmästä seuraa, että sen järjestys on yhtä suuri kuin matriisin järjestys. Nollasta poikkeavassa matriisissa A voi olla useita perusmolleja, aina yksi perusmolli.

Harkitse esimerkiksi matriisia .

Kaikki tämän matriisin kolmannen kertaluvun alamerkit ovat nollia, koska tämän matriisin kolmannen rivin elementit ovat ensimmäisen ja toisen rivin vastaavien elementtien summa.

Seuraavat toisen asteen alamerkit ovat perusasioita, koska ne ovat nollasta poikkeavia

Alaikäiset eivät ole perus, koska ne ovat yhtä kuin nolla.

Matriisirank-lause.

Jos matriisin, jonka kertaluku on p:llä n, on r, niin kaikki matriisin rivien (ja sarakkeiden) alkiot, jotka eivät muodosta valittua kanta-mollia, ilmaistaan ​​lineaarisesti rivien (ja sarakkeiden) vastaavilla elementeillä. ), jotka muodostavat perustan molli.

Mitä matriisiarvolause antaa meille?

Jos olemme Kronecker-Capellin lauseella todenneet järjestelmän yhteensopivuuden, valitsemme minkä tahansa järjestelmän päämatriisin perusmollin (sen järjestys on yhtä suuri kuin r) ja suljemme pois järjestelmästä kaikki yhtälöt, jotka eivät muodostavat valitun sivuaineen. Tällä tavalla saatu SLAE on ekvivalentti alkuperäisen kanssa, koska hylätyt yhtälöt ovat edelleen redundantteja (matriisiarvolauseen mukaan ne ovat lineaarinen yhdistelmä jäljellä olevista yhtälöistä).

Tämän seurauksena järjestelmän liiallisten yhtälöiden hylkäämisen jälkeen kaksi tapausta on mahdollista.

Jos yhtälöiden lukumäärä r tuloksena olevassa järjestelmässä on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien määrä, niin se on määrätty ja ainoa ratkaisu löytyy Cramer-menetelmällä, matriisimenetelmällä tai Gaussin menetelmällä.

Esimerkki.

.

Ratkaisu.

Järjestelmän päämatriisin sijoitus on yhtä suuri kuin kaksi, koska toisen asteen molli eroaa nollasta. Laajennettu matriisiarvo on myös yhtä kuin kaksi, koska kolmannen asteen ainoa molli on yhtä suuri kuin nolla

ja edellä tarkasteltu toisen asteen molli on eri kuin nolla. Kronecker-Capelli-lauseen perusteella voidaan väittää alkuperäisen lineaariyhtälöjärjestelmän yhteensopivuus, koska Rank(A)=Rank(T)=2 .

Otamme lähtökohtana sivuaineen . Se muodostuu ensimmäisen ja toisen yhtälön kertoimista:


Järjestelmän kolmas yhtälö ei osallistu perusmollin muodostukseen, joten jätämme sen pois järjestelmästä matriisirankalauseen perusteella:


Siten olemme saaneet lineaaristen algebrallisten yhtälöiden alkeisjärjestelmän. Ratkaistaan ​​se Cramerin menetelmällä:


Vastaus:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Jos yhtälöiden r määrä tuloksena olevassa SLAE:ssä on pienempi kuin tuntemattomien muuttujien määrä n , niin jätämme yhtälöiden vasempaan osiin perusmollin muodostavat termit ja siirrämme loput yhtälöiden oikeaan osiin. järjestelmästä päinvastaisella merkillä.

Yhtälöiden vasemmalle puolelle jääviä tuntemattomia muuttujia (niitä on r) kutsutaan ns. pää.

Tuntemattomia muuttujia (niitä on n - r), jotka päätyivät oikealle puolelle kutsutaan vapaa.

Nyt oletetaan, että vapaat tuntemattomat muuttujat voivat saada mielivaltaisia ​​arvoja, kun taas r tärkeintä tuntematonta muuttujaa ilmaistaan ​​vapailla tuntemattomilla muuttujilla ainutlaatuisella tavalla. Niiden ilmaisu voidaan löytää ratkaisemalla tuloksena oleva SLAE Cramer-, matriisi- tai Gauss-menetelmällä.

Otetaan esimerkki.

Esimerkki.

Ratkaise lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä .

Ratkaisu.

Etsi järjestelmän päämatriisin sijoitus rajaavien alaikäisten menetelmällä. Otetaan 1 1 = 1 nollasta poikkeava ensimmäisen asteen molli. Aloitetaan etsimään nollasta poikkeavaa toisen asteen mollia, joka ympäröi tätä mollia:


Joten löysimme nollasta poikkeavan toisen asteen mollin. Aloitetaan kolmannen asteen nollasta poikkeavan reunustavan molli etsiminen:


Siten päämatriisin sijoitus on kolme. Lisätyn matriisin sijoitus on myös kolme, eli järjestelmä on johdonmukainen.

Kolmannen kertaluvun löydetty nollasta poikkeava molli otetaan perusyksiköksi.

Selvyyden vuoksi näytämme elementit, jotka muodostavat perustan minor:


Jätämme perusmolliin osallistuvat termit järjestelmän yhtälöiden vasemmalle puolelle ja siirrämme loput vastakkaisilla etumerkeillä oikealle:


Annamme vapaat tuntemattomat muuttujat x 2 ja x 5 mielivaltaiset arvot, eli otamme , missä on mielivaltaisia ​​lukuja. Tässä tapauksessa SLAE ottaa muodon


Ratkaisemme saadun lineaaristen algebrallisten yhtälöiden alkeisjärjestelmän Cramer-menetelmällä:


Tämän seurauksena,.

Älä unohda ilmoittaa vastauksessa ilmaisia ​​tuntemattomia muuttujia.

Vastaus:

Missä on mielivaltaisia ​​numeroita.

Tee yhteenveto.

Yleisen muodon lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmän ratkaisemiseksi selvitetään ensin sen yhteensopivuus Kronecker-Capelli-lauseen avulla. Jos päämatriisin sijoitus ei ole sama kuin laajennetun matriisin sijoitus, päätämme, että järjestelmä on epäjohdonmukainen.

Jos päämatriisin arvo on yhtä suuri kuin laajennetun matriisin arvo, valitsemme perusmollin ja hylkäämme järjestelmän yhtälöt, jotka eivät osallistu valitun perusmollin muodostukseen.

Jos kantamollin järjestys on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä, niin SLAE:llä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka voidaan löytää millä tahansa tunnetulla menetelmällä.

Jos kantamollin järjestys on pienempi kuin tuntemattomien muuttujien määrä, niin jätämme termit tärkeimpien tuntemattomien muuttujien kanssa järjestelmän yhtälöiden vasemmalle puolelle, siirremme loput termit oikealle puolelle ja annamme mielivaltaiset arvot ​ilmaisiin tuntemattomiin muuttujiin. Tuloksena olevasta lineaariyhtälöjärjestelmästä löydämme tärkeimmät tuntemattomat muuttujat Cramer-menetelmällä, matriisimenetelmällä tai Gaussin menetelmällä.

Gaussin menetelmä yleismuotoisten lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmien ratkaisemiseen.

Gaussin menetelmällä voidaan ratkaista kaikenlaisia ​​lineaarisia algebrallisia yhtälöjärjestelmiä ilman niiden yhteensopivuuden alustavaa tutkimusta. Tuntemattomien muuttujien peräkkäinen eliminointiprosessi mahdollistaa johtopäätöksen sekä SLAE:n yhteensopivuudesta että epäjohdonmukaisuudesta, ja jos ratkaisu on olemassa, se mahdollistaa sen löytämisen.

Laskennallisen työn kannalta Gaussin menetelmä on parempi.

Katso sitä Yksityiskohtainen kuvaus ja analysoinut esimerkkejä artikkelissa Gaussin menetelmä yleismuotoisten lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmien ratkaisemiseksi.

Homogeenisten ja epähomogeenisten lineaaristen algebrallisten järjestelmien yleisratkaisun kirjaaminen perusratkaisujärjestelmän vektoreilla.

Tässä osiossa keskitymme lineaaristen algebrallisten yhtälöiden homogeenisiin ja epähomogeenisiin yhteisiin järjestelmiin, joilla on ääretön määrä ratkaisuja.

Käsittelemme ensin homogeenisia järjestelmiä.

Peruspäätösjärjestelmä P lineaaristen algebrallisten yhtälöiden homogeeninen järjestelmä, jossa on n tuntematonta muuttujaa, on joukko (n – r) tämän järjestelmän lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja, missä r on järjestelmän päämatriisin kantamollin järjestys.

Jos merkitsemme homogeenisen SLAE:n lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) ovat matriisisarakkeita, joiden mitat ovat n 1 ) , niin tämän homogeenisen järjestelmän yleinen ratkaisu esitetään lineaarisena yhdistelmänä perusratkaisujen vektoreista mielivaltaisilla vakiokertoimetС 1 , С 2 , …, С (n-r) , eli .

Mitä termi homogeenisen lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän yleinen ratkaisu (oroslau) tarkoittaa?

Merkitys on yksinkertainen: kaava asettaa kaiken mahdolliset ratkaisut alkuperäinen SLAE, toisin sanoen ottamalla mikä tahansa mielivaltaisten vakioiden С 1 , С 2 , …, С (n-r) arvot, kaavan mukaan saadaan yksi alkuperäisen homogeenisen SLAE:n ratkaisuista.

Siten, jos löydämme perustavanlaatuisen ratkaisujärjestelmän, voimme asettaa tämän homogeenisen SLAE:n kaikki ratkaisut muotoon .

Esitetään prosessi, jossa rakennetaan perusratkaisujärjestelmä homogeeniselle SLAE:lle.

Valitaan alkuperäisen lineaariyhtälöjärjestelmän perusmolli, jätetään kaikki muut yhtälöt pois järjestelmästä ja siirretään järjestelmän yhtälöiden oikealle puolelle vastakkaisilla etumerkeillä kaikki termit, jotka sisältävät vapaita tuntemattomia muuttujia. Annetaan vapaille tuntemattomille muuttujille arvot 1,0,0,…,0 ja lasketaan tärkeimmät tuntemattomat ratkaisemalla tuloksena oleva lineaariyhtälöiden alkeisjärjestelmä millä tahansa tavalla, esimerkiksi Cramer-menetelmällä. Siten saadaan X (1) - perusjärjestelmän ensimmäinen ratkaisu. Jos annamme vapaille tuntemattomille arvot 0,1,0,0,…,0 ja laskemme tärkeimmät tuntemattomat, saadaan X (2) . Ja niin edelleen. Jos annamme vapaille tuntemattomille muuttujille arvot 0,0,…,0,1 ja laskemme tärkeimmät tuntemattomat, saadaan X (n-r) . Näin rakennetaan homogeenisen SLAE:n perusratkaisujärjestelmä ja sen yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa muotoon .

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden epähomogeenisille järjestelmille yleinen ratkaisu esitetään muodossa

Katsotaanpa esimerkkejä.

Esimerkki.

Etsi perusratkaisujärjestelmä ja homogeenisen lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän yleinen ratkaisu .

Ratkaisu.

Homogeenisten lineaaristen yhtälöjärjestelmien päämatriisin järjestys on aina yhtä suuri kuin laajennetun matriisin arvo. Etsitään päämatriisin sijoitus alaikäisten fringing-menetelmällä. Ensimmäisen kertaluvun nollasta poikkeavaksi molliksi otetaan järjestelmän päämatriisin alkio a 1 1 = 9. Etsi toisen kertaluvun reunustava nollasta poikkeava molli:

Toisen asteen molli, joka eroaa nollasta, löytyy. Käydään läpi sitä rajaavat kolmannen asteen alaikäiset etsimään nollasta poikkeavaa ykköstä:

Kaikki kolmannen asteen rajaavat alaikäiset ovat yhtä suuria kuin nolla, joten pää- ja laajennetun matriisin arvo on kaksi. Otetaan perus-molli. Selvyyden vuoksi panemme merkille sen muodostavat järjestelmän elementit:

Alkuperäisen SLAE:n kolmas yhtälö ei osallistu perusmollin muodostukseen, joten se voidaan sulkea pois:

Jätetään tärkeimmät tuntemattomat sisältävät termit yhtälöiden oikealle puolelle ja siirretään termit vapailla tuntemattomilla oikealle:

Rakentakaamme perusratkaisujärjestelmä alkuperäiselle homogeeniselle lineaariyhtälöjärjestelmälle. Tämän SLAE:n perusratkaisujärjestelmä koostuu kahdesta ratkaisusta, koska alkuperäinen SLAE sisältää neljä tuntematonta muuttujaa ja sen perusmollin järjestys on kaksi. Löytääksemme X (1) annamme vapaille tuntemattomille muuttujille arvot x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, sitten löydämme tärkeimmät tuntemattomat yhtälöjärjestelmästä
.

missä x* - yksi epähomogeenisen järjestelmän (2) ratkaisuista (esimerkiksi (4)), (E−A + A) muodostaa matriisin ytimen (nollatilan). A.

Tehdään matriisista luurankohajotus (E−A + A):

E−A + A = Q S

missä K n×n-r- sijoitusmatriisi (Q) = n-r, S n-r×n-rank matriisi (S) = n-r.

Sitten (13) voidaan kirjoittaa sisään seuraavaa lomaketta:

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r.

missä k = Sz.

Niin, yleinen ratkaisumenettely pseudoinversiomatriisia käyttävät lineaariyhtälöjärjestelmät voidaan esittää seuraavassa muodossa:

1. Laske pseudoinversiomatriisi A + .
2. Laskemme tietyn ratkaisun epähomogeeniselle lineaariyhtälöjärjestelmälle (2): x*=A + b.
3. Tarkistamme järjestelmän yhteensopivuuden. Tätä varten laskemme AA + b. Jos AA + b≠b, järjestelmä on epäjohdonmukainen. Muussa tapauksessa jatkamme menettelyä.
4. vyssylyaem E−A+A.
5. Suorittaa luuston hajoamista E−A + A=Q·S.
6. Ratkaisun rakentaminen

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r.

Lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen verkossa

Online-laskimen avulla voit löytää lineaarisen yhtälöjärjestelmän yleisen ratkaisun yksityiskohtaisten selitysten kera.

Kaksi muuta tapausta ovat kuitenkin käytännössä yleisiä:

– Järjestelmä on epäjohdonmukainen (ei ratkaisuja);
Järjestelmä on johdonmukainen ja siinä on äärettömän monta ratkaisua.

Merkintä : termi "yhtenäisyys" tarkoittaa, että järjestelmällä on ainakin jokin ratkaisu. Useissa tehtävissä on tutkittava alustavasti järjestelmän yhteensopivuus, miten tämä tehdään - katso artikkeli matriisin arvo.

Näissä järjestelmissä käytetään yleisintä kaikista ratkaisumenetelmistä - Gaussin menetelmä. Itse asiassa "koulu" -tapa johtaa myös vastaukseen, mutta sisään korkeampi matematiikka On tapana käyttää Gaussin menetelmää tuntemattomien peräkkäiseen eliminointiin. Ne, jotka eivät tunne Gauss-menetelmän algoritmia, tutkikaa ensin oppitunti gauss-menetelmä tuteille.

Itse alkeismatriisimuunnokset ovat täsmälleen samat, ero on ratkaisun lopussa. Harkitse ensin paria esimerkkiä, joissa järjestelmässä ei ole ratkaisuja (epäjohdonmukainen).

Esimerkki 1

Mikä tässä järjestelmässä pistää heti silmään? Yhtälöiden määrä on pienempi kuin muuttujien määrä. Jos yhtälöiden lukumäärä on pienempi kuin muuttujien lukumäärä, niin voimme heti sanoa, että järjestelmä on joko epäjohdonmukainen tai sillä on äärettömän monta ratkaisua. Ja se jää vain selville.

Ratkaisun alku on melko tavallinen - kirjoitamme järjestelmän lisätyn matriisin ja käyttämällä alkeellisia muunnoksia Viedään se vaiheittaiseen muotoon:

(1) Vasemmassa yläkulmassa meidän on saatava +1 tai -1. Ensimmäisessä sarakkeessa ei ole tällaisia ​​numeroita, joten rivien uudelleenjärjestely ei toimi. Yksikkö on organisoitava itsenäisesti, ja tämä voidaan tehdä monella tavalla. Tein näin: Lisää ensimmäiselle riville kolmas rivi kerrottuna -1:llä.

(2) Nyt saamme kaksi nollaa ensimmäiseen sarakkeeseen. Toiselle riville lisätään ensimmäinen rivi kerrottuna 3:lla. Kolmannelle riville lisätään ensimmäinen rivi kerrottuna 5:llä.

(3) Kun muunnos on tehty, on aina suositeltavaa katsoa, ​​onko mahdollista yksinkertaistaa tuloksena olevia merkkijonoja? Voi. Jaamme toisen rivin 2:lla ja saamme samalla halutun -1:n toisessa vaiheessa. Jaa kolmas rivi -3:lla.

(4) Lisää toinen rivi kolmanteen riviin.

Todennäköisesti kaikki kiinnittivät huomiota huonoon linjaan, joka paljastui alkeellisten muutosten seurauksena: . On selvää, että näin ei voi olla. Todellakin, kirjoitamme tuloksena olevan matriisin uudelleen takaisin lineaariseen yhtälöjärjestelmään:

Jos alkeismuunnosten tuloksena saadaan muotoinen merkkijono, jossa on nollasta poikkeava luku, niin järjestelmä on epäjohdonmukainen (ei ratkaisuja) .

Kuinka tallentaa tehtävän loppu? Piirretään valkoisella liidulla: "alkeismuunnosten tuloksena saadaan muodon viiva, missä" ja annetaan vastaus: järjestelmässä ei ole ratkaisuja (epäjohdonmukainen).

Jos järjestelmän yhteensopivuutta edellytetään ehdon mukaan TUTKIMUKSESSA, niin on tarpeen antaa konseptia sisältävä ratkaisu vanhemmalla tyylillä matriisiranka ja Kronecker-Capellin lause.

Huomaa, että tässä ei ole Gaussin algoritmin käänteistä liikettä - ei ole ratkaisuja eikä yksinkertaisesti löydy mitään.

Esimerkki 2

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa. Muistutan jälleen, että ratkaisupolkusi voi poiketa minun ratkaisupolustani, Gaussin algoritmilla ei ole vahvaa "jäykkyyttä".

Vielä yksi ratkaisun tekninen piirre: alkeismuunnokset voidaan pysäyttää Heti, heti kun rivi kuten , missä . Harkitse ehdollinen esimerkki: oletetaan, että ensimmäisen muunnoksen jälkeen saamme matriisin . Matriisia ei ole vielä pelkistetty porrastettuun muotoon, mutta muita alkeismuunnoksia ei tarvita, koska muotoon on ilmestynyt rivi, jossa . On heti vastattava, että järjestelmä ei ole yhteensopiva.

Kun lineaarisella yhtälöjärjestelmällä ei ole ratkaisuja, tämä on melkein lahja, koska saadaan lyhyt ratkaisu, joskus kirjaimellisesti 2-3 vaiheessa.

Mutta kaikki tässä maailmassa on tasapainossa, ja ongelma, johon järjestelmällä on äärettömän monta ratkaisua, on vain pidempi.

Esimerkki 3

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Yhtälöitä on 4 ja tuntematonta 4, joten järjestelmällä voi olla joko yksi ratkaisu tai ei ratkaisuja tai siinä voi olla äärettömän monta ratkaisua. Olipa se mikä tahansa, mutta Gaussin menetelmä joka tapauksessa johtaa meidät vastaukseen. Siinä piilee sen monipuolisuus.

Alku on taas vakio. Kirjoitamme järjestelmän laajennetun matriisin ja saatamme sen alkeismuunnoksilla askelmuotoon:

Siinä kaikki, ja sinä pelkäsit.

(1) Huomaa, että kaikki ensimmäisen sarakkeen luvut ovat jaollisia kahdella, joten 2 on hyvä vasemmassa yläkulmassa. Toiselle riville lisäämme ensimmäisen rivin kerrottuna -4:llä. Kolmannelle riville lisäämme ensimmäisen rivin kerrottuna -2:lla. Neljännelle riville lisäämme ensimmäisen rivin kerrottuna -1:llä.

Huomio! Monet saattavat joutua kiusaukseen neljänneltä riviltä vähentää ensimmäinen linja. Tämä voidaan tehdä, mutta se ei ole välttämätöntä, kokemus osoittaa, että virheiden todennäköisyys laskelmissa kasvaa useita kertoja. Laske vain yhteen: Lisää neljännelle riville ensimmäinen rivi kerrottuna -1 - tarkalleen!

(2) Kolme viimeistä riviä ovat suhteellisia, kaksi niistä voidaan poistaa.

Tässä on taas pakko näyttää lisääntynyt huomio, mutta ovatko viivat todella verrannollisia? Jälleenvakuutuksessa (etenkin teekannulle) ei olisi tarpeetonta kertoa toinen rivi -1:llä ja jakaa neljäs rivi 2:lla, jolloin saadaan kolme identtistä riviä. Ja vasta sen jälkeen poista niistä kaksi.

Alkuainemuunnosten seurauksena järjestelmän laajennettu matriisi pelkistyy porrastettuun muotoon:

Kun teet tehtävää muistivihkoon, on suositeltavaa tehdä samat muistiinpanot lyijykynällä selvyyden vuoksi.

Kirjoitamme vastaavan yhtälöjärjestelmän uudelleen:

Järjestelmän "tavallinen" ainoa ratkaisu ei haise täällä. Ei ole myöskään huonoa linjaa. Tämä tarkoittaa, että tämä on kolmas jäljellä oleva tapaus - järjestelmässä on äärettömän monta ratkaisua. Joskus ehdon mukaan on tarpeen tutkia järjestelmän yhteensopivuutta (eli todistaa, että ratkaisu on olemassa), voit lukea tästä artikkelin viimeisestä kappaleesta. Kuinka löytää matriisin sijoitus? Mutta nyt, puretaan perusasiat:

Järjestelmän ääretön ratkaisujoukko kirjoitetaan lyhyesti ns yleinen järjestelmäratkaisu .

Löydämme järjestelmän yleisen ratkaisun käyttämällä Gaussin menetelmän käänteistä liikettä.

Ensin meidän on määritettävä, mitä muuttujia meillä on perus, ja mitkä muuttujat vapaa. Lineaarialgebran termien kanssa ei tarvitse vaivautua, riittää, kun muistaa, että sellaisia ​​on perusmuuttujat ja vapaat muuttujat.

Perusmuuttujat "istuvat" aina tiukasti matriisin portailla.
Tässä esimerkissä perusmuuttujat ovat ja

Vapaat muuttujat ovat kaikki kaikessa jäljelle jäänyt muuttujat, jotka eivät saaneet askelta. Meidän tapauksessamme niitä on kaksi: - vapaat muuttujat.

Nyt tarvitset kaikki perusmuuttujat ilmaista vain läpi vapaat muuttujat.

Gaussin algoritmin käänteinen liike toimii perinteisesti alhaalta ylöspäin.
Järjestelmän toisesta yhtälöstä ilmaisemme perusmuuttujan:

Katso nyt ensimmäistä yhtälöä: . Ensin korvataan löydetty lauseke siihen:

On vielä ilmaista perusmuuttuja vapailla muuttujilla:

Tulos on mitä tarvitset - kaikki perusmuuttujat ( ja ) ilmaistaan vain läpi vapaat muuttujat:

Itse asiassa yleinen ratkaisu on valmis:

Kuinka kirjoittaa yleinen ratkaisu?
Vapaat muuttujat kirjoitetaan yleisratkaisuun "itsekseen" ja tiukasti paikoilleen. Tässä tapauksessa vapaat muuttujat tulee kirjoittaa toiseen ja neljänteen paikkaan:
.

Tuloksena olevat lausekkeet perusmuuttujille ja se on luonnollisesti kirjoitettava ensimmäiseen ja kolmanteen kohtaan:

Ilmaisten muuttujien antaminen mielivaltaiset arvot, niitä on äärettömän monta yksityisiä päätöksiä. Suosituimmat arvot ovat nollia, koska tietty ratkaisu on helpoin saada. Korvaa yleisessä ratkaisussa:

on yksityinen päätös.

Yksi on toinen suloinen pari, korvataanpa yleisratkaisulla:

on toinen erityinen ratkaisu.

On helppo nähdä, että yhtälöjärjestelmällä on äärettömän monta ratkaisua(koska voimme antaa vapaita muuttujia minkä tahansa arvot)

Jokainen tietyn ratkaisun on tyydyttävä jokaiselle järjestelmän yhtälö. Tämä on perusta ratkaisun oikeellisuuden "nopealle" tarkastukselle. Otetaan esimerkiksi tietty ratkaisu ja korvataan se vasen puoli jokainen alkuperäisen järjestelmän yhtälö:

Kaiken on tultava yhteen. Ja minkä tahansa tietyn ratkaisun kanssa, kaiken pitäisi myös lähentyä.

Mutta tiukasti ottaen tietyn ratkaisun todentaminen joskus pettää; jokin tietty ratkaisu voi täyttää järjestelmän jokaisen yhtälön, ja itse yleinen ratkaisu löytyy itse asiassa väärin.

Siksi yleisen ratkaisun todentaminen on perusteellisempaa ja luotettavampaa. Kuinka tarkistaa tuloksena oleva yleinen ratkaisu ?

Se on helppoa, mutta melko tylsää. Meidän on otettava ilmaisuja perus muuttujia, tässä tapauksessa ja , ja korvaa ne järjestelmän kunkin yhtälön vasemmalla puolella.

Järjestelmän ensimmäisen yhtälön vasemmalla puolella:

Järjestelmän toisen yhtälön vasemmalla puolella:


Sai oikea osa alkuperäinen yhtälö.

Esimerkki 4

Ratkaise järjestelmä Gaussin menetelmällä. Etsi yleinen ratkaisu ja kaksi yksityistä ratkaisua. Tarkista kokonaisratkaisu.

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Tässä muuten yhtälöiden määrä on taas pienempi kuin tuntemattomien lukumäärä, mikä tarkoittaa, että on heti selvää, että järjestelmä on joko epäjohdonmukainen tai äärettömän määrän ratkaisuja sisältävä. Mikä on tärkeää itse päätösprosessissa? Huomio ja vielä kerran huomio. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Ja vielä pari esimerkkiä materiaalin vahvistamiseksi

Esimerkki 5

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä. Jos järjestelmässä on äärettömän monta ratkaisua, etsi kaksi tiettyä ratkaisua ja tarkista yleinen ratkaisu

Ratkaisu: Kirjoitetaan järjestelmän lisätty matriisi ja tuodaan se alkeismuunnosten avulla askelmuotoon:

(1) Lisää ensimmäinen rivi toiselle riville. Kolmannelle riville lisätään ensimmäinen rivi kerrottuna 2:lla. Neljännelle riville lisätään ensimmäinen rivi kerrottuna 3:lla.
(2) Lisää kolmannelle riville toinen rivi kerrottuna -5:llä. Neljännelle riville lisäämme toisen rivin kerrottuna -7:llä.
(3) Kolmas ja neljäs rivi ovat samat, poistamme yhden niistä.

Tässä tällainen kaunotar:

Perusmuuttujat istuvat portailla, joten ne ovat perusmuuttujia.
On vain yksi vapaa muuttuja, joka ei saanut askelta:

Käänteinen liike:
Ilmaisemme perusmuuttujat vapaalla muuttujalla:
Kolmannesta yhtälöstä:

Harkitse toista yhtälöä ja korvaa löydetty lauseke sillä:

Harkitse ensimmäistä yhtälöä ja korvaa löydetyt lausekkeet ja siihen:

Kyllä, tavallisia murtolukuja laskeva laskin on edelleen kätevä.

Joten yleinen ratkaisu on:

Jälleen kerran, miten se tapahtui? Vapaa muuttuja on yksinään oikeutetulla neljännellä sijalla. Tuloksena saadut perusmuuttujien lausekkeet sijoittivat myös järjestysjärjestyksessä.

Tarkastetaan heti yleinen ratkaisu. Työskentele mustille, mutta olen jo tehnyt sen, joten ota kiinni =)

Korvaamme kolme sankaria , , järjestelmän kunkin yhtälön vasemmalle puolelle:

Yhtälöiden vastaavat oikeat puolet saadaan, joten yleinen ratkaisu löytyy oikein.

Nyt löydetystä yleisratkaisusta saamme kaksi erityistä ratkaisua. Kokki on täällä ainoa vapaa muuttuja. Sinun ei tarvitse murtaa päätäsi.

Anna sitten on yksityinen päätös.
Anna sitten on toinen erityinen ratkaisu.

Vastaus: Yhteinen päätös: , erityisiä ratkaisuja: , .

Turhaan muistin mustia täällä ... ... koska kaikenlaisia ​​sadistisia motiiveja tuli mieleeni ja muistin tutun fotozhaban, jossa Ku Klux Klansmen valkoisissa haalareissa juoksee kentän poikki mustan jalkapalloilijan perässä. . Istun ja hymyilen hiljaa. Tiedätkö kuinka häiritsevää…

Suuri osa matematiikasta on haitallista, joten samanlainen lopullinen esimerkki itsenäiselle ratkaisulle.

Esimerkki 6

Etsi lineaariyhtälöjärjestelmän yleinen ratkaisu.

Olen jo tarkistanut yleisen ratkaisun, vastaukseen voi luottaa. Ratkaisusi voi poiketa minun ratkaisustani, pääasia, että yleiset ratkaisut täsmäävät.

Todennäköisesti monet ihmiset huomasivat ratkaisuissa epämiellyttävän hetken: hyvin usein Gaussin menetelmän käänteisen kurssin aikana jouduimme viuluttamaan tavallisia murtolukuja. Käytännössä tämä on totta, tapaukset, joissa murtolukuja ei ole, ovat paljon harvinaisempia. Valmistaudu henkisesti, ja mikä tärkeintä, teknisesti.

Tarkastelen joitain ratkaisun ominaisuuksia, joita ei löytynyt ratkaistuista esimerkeistä.

Järjestelmän yleinen ratkaisu voi joskus sisältää vakion (tai vakioita), esimerkiksi: . Tässä yksi perusmuuttujista on yhtä suuri kuin vakioluku: . Tässä ei ole mitään eksoottista, sitä tapahtuu. Ilmeisesti tässä tapauksessa mikä tahansa ratkaisu sisältää viiden ensimmäisen aseman.

Harvoin, mutta on olemassa järjestelmiä, joissa yhtälöiden määrä enemmän määrää muuttujia. Gaussin menetelmä toimii vaikeimmissakin olosuhteissa, järjestelmän laajennettu matriisi on saatava rauhallisesti porrastettuun muotoon standardialgoritmin mukaan. Tällainen järjestelmä voi olla epäjohdonmukainen, sillä voi olla äärettömän monta ratkaisua, ja kummallista kyllä, sillä voi olla ainutlaatuinen ratkaisu.

LINEAARISET YHTÄLÖJÄRJESTELMÄT

I. Ongelman kuvaus.

II. Homogeenisten ja heterogeenisten järjestelmien yhteensopivuus.

III. Järjestelmä t yhtälöt kanssa t tuntematon. Cramerin sääntö.

IV. Matriisimenetelmä yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen.

V. Gaussin menetelmä.

I. Ongelman kuvaus.

Muodon yhtälöjärjestelmä

kutsutaan järjestelmäksi m lineaariset yhtälöt kanssa n tuntematon
. Tämän järjestelmän yhtälöiden kertoimet kirjoitetaan matriisin muotoon

nimeltään järjestelmämatriisi (1).

Yhtälöiden oikealla puolella olevat numerot muodostuvat ilmaiset jäsenet -sarake {B}:

.

Jos sarake ( B}={0 ), niin yhtälöjärjestelmää kutsutaan homogeeninen. Muuten kun ( B}≠{0 ) - järjestelmä heterogeeninen.

Lineaariyhtälöjärjestelmä (1) voidaan kirjoittaa matriisimuotoon

[A]{x}={B}. (2)

Tässä - tuntemattomien sarake.

Yhtälöjärjestelmän (1) ratkaiseminen tarkoittaa joukon löytämistä n numeroita
niin, että kun korvataan järjestelmään (1) tuntemattoman sijaan
jokaisesta järjestelmän yhtälöstä tulee identiteetti. Numerot
kutsutaan yhtälöjärjestelmän ratkaisuksi.

Lineaariyhtälöjärjestelmällä voi olla yksi ratkaisu

,

ratkaisuja voi olla ääretön määrä

tai ratkaisuja ei ole ollenkaan

.

Kutsutaan yhtälöjärjestelmiä, joilla ei ole ratkaisuja yhteensopimaton. Jos yhtälöjärjestelmällä on vähintään yksi ratkaisu, sitä kutsutaan liitos. Yhtälöjärjestelmä on ns varma jos sillä on ainutlaatuinen ratkaisu, ja epävarma jos sillä on ääretön määrä ratkaisuja.

II. Homogeenisten ja heterogeenisten järjestelmien yhteensopivuus.

Lineaariyhtälöjärjestelmän (1) yhteensopivuusehto on muotoiltu Kronecker-Capellin lause: lineaariyhtälöjärjestelmällä on ainakin yksi ratkaisu, jos ja vain jos järjestelmän matriisin järjestys on yhtä suuri kuin laajennetun matriisin arvo:
.

Järjestelmän laajennettu matriisi on matriisi, joka saadaan järjestelmän matriisista osoittamalla sille oikealla sarake vapaita jäseniä:

.

Jos Rg AA* , yhtälöjärjestelmä on epäjohdonmukainen.

Kronecker-Capellin lauseen mukaiset homogeeniset yhtälöjärjestelmät ovat aina johdonmukaisia. Tarkastellaan homogeenisen järjestelmän tapausta, jossa yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä, ts. m = n. Jos tällaisen järjestelmän matriisin determinantti ei ole nolla, ts.
, homogeenisella järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka on triviaali (nolla). Homogeenisilla järjestelmillä on ääretön määrä ratkaisuja, jos järjestelmän yhtälöiden joukossa on lineaarisesti riippuvia yhtälöitä, ts.
.

Esimerkki. Tarkastellaan kolmen lineaarisen yhtälön homogeenistä järjestelmää, joissa on kolme tuntematonta:

ja tutkia kysymystä sen ratkaisujen lukumäärästä. Jokaista yhtälöä voidaan pitää origon kautta kulkevan tason yhtälönä ( D=0 ). Yhtälöjärjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, kun kaikki kolme tasoa leikkaavat yhdessä pisteessä. Lisäksi niiden normaalivektorit eivät ole samassa tasossa, ja siksi ehto

.

Järjestelmän ratkaisu tässä tapauksessa x=0, y=0, z=0 .

Jos ainakin kaksi kolmesta tasosta, esimerkiksi ensimmäinen ja toinen, ovat yhdensuuntaisia, ts. , silloin järjestelmän matriisin determinantti on nolla ja systeemillä on ääretön määrä ratkaisuja. Lisäksi ratkaisut ovat koordinaatit x, y, z kaikki pisteet linjalla

Jos kaikki kolme tasoa ovat samat, yhtälöjärjestelmä pelkistyy yhdeksi yhtälöksi

,

ja ratkaisu on kaikkien tässä tasossa olevien pisteiden koordinaatit.

Tutkittaessa epähomogeenisiä lineaarisia yhtälöjärjestelmiä yhteensopivuuskysymys ratkaistaan ​​Kronecker-Capellin lauseella. Jos yhtälöiden lukumäärä tällaisessa järjestelmässä on yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä, niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, jos sen determinantti ei ole nolla. Muuten järjestelmä on joko epäjohdonmukainen tai sillä on ääretön määrä ratkaisuja.

Esimerkki. Tutkimme kahden yhtälön epähomogeenista järjestelmää kahdella tuntemattomalla

.

Järjestelmän yhtälöitä voidaan pitää kahden tasaisen suoran yhtälöinä. Järjestelmä on epäjohdonmukainen, kun suorat ovat yhdensuuntaisia, ts.
,
. Tässä tapauksessa järjestelmämatriisin sijoitus on 1:

Rg A=1 , koska
,

kun taas lisätyn matriisin sijoitus
on yhtä suuri kuin kaksi, koska sille voidaan valita perusmolliksi kolmannen sarakkeen sisältävä toisen asteen molli.

Käsiteltävänä olevassa tapauksessa Rg AA * .

Jos viivat osuvat yhteen, ts. , silloin yhtälöjärjestelmällä on ääretön määrä ratkaisuja: suoran pisteiden koordinaatit
. Tässä tapauksessa Rg A= Rg A * =1.

Järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu, kun suorat eivät ole yhdensuuntaisia, ts.
. Tämän järjestelmän ratkaisu on suorien leikkauspisteen koordinaatit

III. Järjestelmät yhtälöt kanssat tuntematon. Cramerin sääntö.

Tarkastellaan yksinkertaisinta tapausta, jolloin järjestelmäyhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä, ts. m= n. Jos järjestelmän matriisin determinantti on muu kuin nolla, järjestelmän ratkaisu löytyy Cramerin säännön avulla:

(3)

Tässä
- järjestelmämatriisin determinantti,

- matriisin determinantti, joka on saatu [ A] korvaus i sarakkeesta vapaiden jäsenten sarakkeeseen:

.

Esimerkki. Ratkaise yhtälöjärjestelmä Cramerin menetelmällä.

Ratkaisu :

1) Etsi järjestelmän determinantti

2) löytää aputekijät

3) löytää ratkaisu järjestelmään Cramerin säännön mukaan:

Ratkaisun tulos voidaan tarkistaa substituoimalla yhtälöjärjestelmään

Oikeat henkilöllisyydet saadaan.

IV. Matriisimenetelmä yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen.

Kirjoitamme lineaarisen yhtälöjärjestelmän matriisimuotoon (2)

[A]{x}={B}

ja kerro suhteen (2) oikea ja vasen osa vasemmalta matriisilla [ A -1 ], käänteinen järjestelmämatriisiin:

[A -1 ][A]{x}=[A -1 ]{B}. (2)

Käänteismatriisin määritelmän mukaan tulo [ A -1 ][A]=[E] ja identiteettimatriisin ominaisuuksien perusteella [ E]{x}={x). Sitten suhteesta (2") saamme

{x}=[A -1 ]{B}. (4)

Relaatio (4) pohjaa matriisimenetelmän lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi: on löydettävä matriisi, joka on käänteinen järjestelmän matriisiin nähden ja kerrottava sillä järjestelmän oikeiden osien sarakevektori.

Esimerkki. Ratkaisemme edellisessä esimerkissä tarkastellun yhtälöjärjestelmän matriisimenetelmällä.

Järjestelmämatriisi
sen määräävä det A==183 .

Oikeanpuoleinen sarake
.

Löytääksesi matriisin [ A -1 ], etsi matriisi, joka on liitetty [ A]:

tai

Käänteimatriisin laskentakaava sisältää
, sitten

Nyt voimme löytää ratkaisun järjestelmään

Sitten vihdoin päästään .

V. Gaussin menetelmä.

Suurella määrällä tuntemattomia yhtälöjärjestelmän ratkaisu Cramer-menetelmällä tai matriisimenetelmällä liittyy korkean kertaluvun determinanttien laskemiseen tai suurten matriisien inversioon. Nämä menettelyt ovat erittäin työläitä jopa nykyaikaisille tietokoneille. Siksi lukuisten yhtälöiden järjestelmien ratkaisemiseksi käytetään useammin Gaussin menetelmää.

Gaussin menetelmä käsittää tuntemattomien peräkkäisen eliminoinnin järjestelmän laajennetun matriisin alkeismuunnoksilla. Elementaariset matriisimuunnokset sisältävät rivien permutoinnin, rivien lisäämisen, rivien kertomisen muilla kuin nollalla. Muutosten seurauksena on mahdollista pienentää järjestelmän matriisi ylempään kolmiomaiseen, jonka päälävistäjällä on yksiköitä ja päädiagonaalin alapuolella - nollia. Tämä on Gaussin menetelmän suora siirto. Menetelmän käänteinen kulku koostuu tuntemattomien suorasta määrittämisestä viimeisestä alkaen.

Havainnollistetaan Gaussin menetelmää yhtälöjärjestelmän ratkaisun esimerkissä

Eteenpäinliikkeen ensimmäisessä vaiheessa varmistetaan, että kerroin
muunnetusta järjestelmästä tuli yhtä suureksi 1 , ja kertoimet
ja
kääntyi nollaan. Tee tämä kertomalla ensimmäinen yhtälö luvulla 1/10 , kerro toinen yhtälö luvulla 10 ja lisää ensimmäiseen, kerro kolmas yhtälö luvulla -10/2 ja lisää se ensimmäiseen. Näiden muutosten jälkeen saamme

Toisessa vaiheessa varmistamme, että muunnosten jälkeen kerroin
tuli tasa-arvoiseksi 1 , ja kerroin
. Tätä varten jaamme toisen yhtälön arvolla 42 , ja kerro kolmas yhtälö luvulla -42/27 ja lisää se toiseen. Saamme yhtälöjärjestelmän

Kolmas vaihe on kertoimen saaminen
. Tätä varten jaamme kolmannen yhtälön arvolla (37 - 84/27) ; saamme

Tähän Gaussin menetelmän suora kulku päättyy, koska järjestelmän matriisi pelkistetään ylempään kolmiomaiseen:

Taaksepäin liikkumalla löydämme tuntemattomat

Esimerkki 1. Etsi yleinen ratkaisu ja jokin erityinen järjestelmän ratkaisu

Ratkaisu tee se laskimella. Kirjoitamme laajennetun ja päämatriisit:

Päämatriisi A on erotettu katkoviivalla. Ylhäältä kirjoitetaan tuntemattomat järjestelmät ottaen huomioon termien mahdollinen permutaatio järjestelmän yhtälöissä. Kun määritetään laajennetun matriisin sijoitus, löydämme samanaikaisesti päämatriisin arvon. Matriisissa B ensimmäinen ja toinen sarake ovat verrannollisia. Kahdesta suhteellisesta sarakkeesta vain yksi voi pudota perusmolliin, joten siirretään esimerkiksi ensimmäinen sarake katkoviivan taakse vastakkaisella merkillä. Järjestelmälle tämä tarkoittaa termien siirtoa x 1:stä yhtälöiden oikealle puolelle.

Tuomme matriisin kolmion muotoon. Työskentelemme vain rivien kanssa, koska matriisirivin kertominen muulla kuin nollalla ja lisääminen toiselle järjestelmän riville tarkoittaa yhtälön kertomista samalla luvulla ja lisäämistä toiseen yhtälöön, mikä ei muuta järjestelmän ratkaisua. . Työskentely ensimmäisen rivin kanssa: kerro matriisin ensimmäinen rivi (-3) ja lisää vuorotellen toiseen ja kolmanteen riviin. Sitten kerromme ensimmäisen rivin (-2) ja lisäämme sen neljänteen.

Toinen ja kolmas rivi ovat verrannollisia, joten yksi niistä, esimerkiksi toinen, voidaan yliviivata. Tämä vastaa järjestelmän toisen yhtälön poistamista, koska se on seurausta kolmannesta.

Nyt työskentelemme toisen rivin kanssa: kerro se (-1) ja lisää se kolmanteen.

Katkoviivalla molli on korkein kertaluku (kaikki mahdollisista alaväreistä) ja se on nollasta poikkeava (se on yhtä suuri kuin päädiagonaalin elementtien tulo), ja tämä molli kuuluu sekä päämatriisiin että laajennettuun matriisiin, joten rangA = soi B = 3 .
Pieni on perus. Se sisältää kertoimet tuntemattomille x 2, x 3, x 4, mikä tarkoittaa, että tuntemattomat x 2, x 3, x 4 ovat riippuvaisia ​​ja x 1, x 5 ovat vapaita.
Muunnamme matriisin jättäen vain perus-mollin vasemmalle (joka vastaa yllä olevan ratkaisualgoritmin kohtaa 4).

Tämän matriisin kertoimilla varustettu järjestelmä vastaa alkuperäistä järjestelmää ja sillä on muoto

Tuntemattomien eliminointimenetelmällä löydämme:
, ,

Saimme riippuvia muuttujia x 2, x 3, x 4 ilmaisevat relaatiot vapaasta x 1:stä ja x 5:stä, eli löysimme yleisen ratkaisun:

Antamalla mielivaltaisia ​​arvoja vapaille tuntemattomille, saamme minkä tahansa määrän tiettyjä ratkaisuja. Etsitään kaksi erityistä ratkaisua:
1) olkoon x 1 = x 5 = 0, sitten x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) laita x 1 = 1, x 5 = -1, sitten x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Löysimme siis kaksi ratkaisua: (0.1, -3,3,0) - yksi ratkaisu, (1.4, -7.7, -1) - toinen ratkaisu.

Esimerkki 2. Tutki yhteensopivuutta, löydä järjestelmän yleinen ja yksi erityinen ratkaisu

Ratkaisu. Järjestetään ensimmäinen ja toinen yhtälö uudelleen siten, että ensimmäisessä yhtälössä on yksikkö ja kirjoitetaan matriisi B.

Saamme nollia neljänteen sarakkeeseen, joka toimii ensimmäisellä rivillä:

Hanki nyt kolmannen sarakkeen nollat ​​käyttämällä toista riviä:

Kolmas ja neljäs rivi ovat suhteellisia, joten yksi niistä voidaan yliviivata muuttamatta sijoitusta:
Kerro kolmas rivi (-2) ja lisää neljänteen:

Näemme, että pää- ja laajennetun matriisien arvot ovat 4 ja järjestys on sama kuin tuntemattomien lukumäärä, joten järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu:
;
x 4 = 10 - 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 \u003d 11.

Esimerkki 3. Tarkista järjestelmän yhteensopivuus ja etsi ratkaisu, jos se on olemassa.

Ratkaisu. Muodostamme järjestelmän laajennetun matriisin.

Järjestä kaksi ensimmäistä yhtälöä uudelleen siten, että vasemmassa yläkulmassa on 1:
Kertomalla ensimmäinen rivi (-1) lisäämme sen kolmanteen:

Kerro toinen rivi (-2) ja lisää kolmanteen:

Järjestelmä on epäjohdonmukainen, koska päämatriisi sai nollien rivin, joka yliviivataan, kun järjestys löytyy, ja viimeinen rivi jää laajennetussa matriisissa, eli r B > r A .

Harjoittele. Tutki tämän yhtälöjärjestelmän yhteensopivuutta ja ratkaise se matriisilaskennan avulla.
Ratkaisu

Esimerkki. Todista lineaarisen yhtälöjärjestelmän yhteensopivuus ja ratkaise se kahdella tavalla: 1) Gaussin menetelmällä; 2) Cramerin menetelmä. (kirjoita vastaus muodossa: x1,x2,x3)
Ratkaisu :doc :doc :xls
Vastaus: 2,-1,3.

Esimerkki. Lineaarinen yhtälöjärjestelmä on annettu. Todista sen yhteensopivuus. Etsi järjestelmän yleinen ratkaisu ja yksi erityinen ratkaisu.
Ratkaisu
Vastaus: x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; x 2 \u003d 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3 x 5

Harjoittele. Löydä yleiset ja erityiset ratkaisut jokaiseen järjestelmään.
Ratkaisu. Tutkimme tätä järjestelmää Kronecker-Capellin lauseella.
Kirjoitamme laajennetun ja päämatriisit:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x 1	x2	x 3	x4	x5

Tässä matriisi A on lihavoitu.
Tuomme matriisin kolmion muotoon. Työskentelemme vain rivien kanssa, koska matriisirivin kertominen muulla kuin nollalla ja lisääminen toiselle järjestelmän riville tarkoittaa yhtälön kertomista samalla luvulla ja lisäämistä toiseen yhtälöön, mikä ei muuta järjestelmän ratkaisua. .
Kerro 1. rivi (3). Kerro 2. rivi arvolla (-1). Lisätään 2. rivi ensimmäiseen:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

Kerro toinen rivi arvolla (2). Kerro 3. rivi arvolla (-3). Lisätään 3. rivi toiseen:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Kerro 2. rivi arvolla (-1). Lisätään 2. rivi ensimmäiseen:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Valitulla mollilla on korkein kertaluku (mahdollisten molempien joukossa) ja se eroaa nollasta (se on yhtä suuri kuin käänteislävistäjän elementtien tulo), ja tämä molli kuuluu sekä päämatriisiin että laajennettuun matriisiin, joten ring( A) = soi(B) = 3 Koska päämatriisin järjestys on yhtä suuri kuin laajennetun matriisin sijoitus, niin järjestelmä on yhteistyökykyinen.
Tämä alaikäinen on perus. Se sisältää kertoimet tuntemattomille x 1, x 2, x 3, mikä tarkoittaa, että tuntemattomat x 1, x 2, x 3 ovat riippuvaisia ​​(perus) ja x 4, x 5 ovat vapaita.
Muunnamme matriisin jättäen vain perusmollin vasemmalle.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x 1	x2	x 3		x4	x5

Tämän matriisin kertoimilla varustettu järjestelmä vastaa alkuperäistä järjestelmää ja sen muoto on:
27x3=
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Tuntemattomien eliminointimenetelmällä löydämme:
Saimme relaatioita, jotka ilmaisevat riippuvia muuttujia x 1, x 2, x 3 vapaasta x 4, x 5, eli löysimme yhteinen päätös:
x 3 = 0
x2 = 1 - 3x4 + 6x5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
epävarma, koska on useampi kuin yksi ratkaisu.

Harjoittele. Ratkaise yhtälöjärjestelmä.
Vastaus:x 2 = 2 - 1,67 x 3 + 0,67 x 4
x 1 = 5 - 3,67 x 3 + 0,67 x 4
Antamalla mielivaltaisia ​​arvoja vapaille tuntemattomille, saamme minkä tahansa määrän tiettyjä ratkaisuja. Järjestelmä on epävarma