Cramerin säännön käänteimatriisimenetelmä. Cramerin menetelmä: Ratkaise lineaarialgebralliset yhtälöt (Slau)

Tarkastellaan 3 yhtälöjärjestelmää, jossa on kolme tuntematonta

Kolmannen kertaluvun determinantteja käyttämällä tällaisen järjestelmän ratkaisu voidaan kirjoittaa samaan muotoon kuin kahden yhtälöjärjestelmän, ts.

(2.4)

jos 0. Tässä

se on Cramerin sääntö kolmen järjestelmän ratkaisuja lineaariset yhtälöt kolmen tuntemattoman kanssa.

Esimerkki 2.3. Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Cramerin säännöllä:

Ratkaisu . Järjestelmän päämatriisin determinantin löytäminen

Koska 0, niin ratkaisun löytämiseksi järjestelmään voit soveltaa Cramerin sääntöä, mutta laske ensin kolme muuta determinanttia:

Tutkimus:

Siksi ratkaisu löytyy oikein. 

Cramerin säännöt johdettu lineaariset järjestelmät 2. ja 3. kertaluokka viittaa siihen, että samat säännöt voidaan muotoilla minkä tahansa luokan lineaarisille järjestelmille. todella tapahtuu

Cramerin lause. Lineaaristen yhtälöiden neliöllinen järjestelmä, jossa järjestelmän päämatriisin nollasta poikkeava determinantti (0) on yksi ja vain yksi ratkaisu, ja tämä ratkaisu lasketaan kaavoilla

(2.5)

missä  – päämatriisin determinantti,  i – matriisin determinantti, johdettu pääkorvauksestaisarake vapaat jäsenet -sarake.

Huomaa, että jos =0, Cramerin sääntöä ei voida soveltaa. Tämä tarkoittaa, että järjestelmässä joko ei ole lainkaan ratkaisuja tai ratkaisuja on äärettömän monta.

Kun Cramerin lause on muotoiltu, herää luonnollisesti kysymys korkeamman asteen determinanttien laskemisesta.

2.4. n:nnen kertaluvun determinantit

Ylimääräinen alaikäinen M ij elementti a ij kutsutaan determinantiksi, joka saadaan annetusta poistamalla i- rivi ja j- sarake. Algebrallinen lisäys A ij elementti a ij kutsutaan tämän elementin molliksi, otettuna merkillä (–1) i + j, eli A ij = (–1) i + j M ij .

Etsitään esimerkiksi alkioiden molli- ja algebralliset komplementit a 23 ja a 31 tekijää

Saamme



Käyttämällä algebrallisen komplementin käsitettä voimme muotoilla determinanttilaajennuslausen- järjestys rivin tai sarakkeen mukaan.

Lause 2.1. Matriisin determinanttiAon yhtä suuri kuin jonkin rivin (tai sarakkeen) kaikkien elementtien ja niiden algebrallisten komplementtien tulojen summa:

(2.6)

Tämä teoreema on yksi tärkeimmistä determinanttien laskentamenetelmistä, ns. tilausten vähennysmenetelmä. Determinantin laajentumisen seurauksena n järjestyksessä missä tahansa rivissä tai sarakkeessa, saamme n determinanttia ( n–1)-järjestys. Jotta tällaisia ​​determinantteja olisi vähemmän, on suositeltavaa valita se rivi tai sarake, jossa on eniten nollia. Käytännössä determinantin laajennuskaava kirjoitetaan yleensä seuraavasti:

nuo. algebralliset lisäykset on kirjoitettu nimenomaisesti alaikäisillä.

Esimerkit 2.4. Laske determinantit laajentamalla ne ensin millä tahansa rivillä tai sarakkeella. Yleensä tällaisissa tapauksissa valitaan se sarake tai rivi, jossa on eniten nollia. Valittu rivi tai sarake merkitään nuolella.



2.5. Determinanttien perusominaisuudet

Kun determinanttia laajennetaan missä tahansa rivissä tai sarakkeessa, saadaan n determinanttia ( n–1)-järjestys. Sitten jokainen näistä determinanteista ( n–1)-kertaus voidaan myös hajottaa determinanttien summaksi ( n–2) järjestys. Jatkamalla tätä prosessia voidaan saavuttaa 1. asteen determinantit, ts. matriisin elementteihin, joiden determinanttia lasketaan. Joten 2. asteen determinanttien laskemiseksi sinun on laskettava kahden ehdon summa, 3. asteen determinanteille - 6 termin summa, 4. asteen determinanteille - 24 termiä. Termien määrä kasvaa jyrkästi determinantin järjestyksen kasvaessa. Tämä tarkoittaa, että erittäin korkeiden determinanttien laskemisesta tulee melko työläs tehtävä, joka ylittää jopa tietokoneen voiman. Determinantit voidaan kuitenkin laskea toisella tavalla, käyttämällä determinanttien ominaisuuksia.

Kiinteistö 1 . Determinantti ei muutu, jos siinä vaihdetaan rivejä ja sarakkeita, ts. matriisia transponoitaessa:

.

Tämä ominaisuus ilmaisee determinantin rivien ja sarakkeiden yhtäläisyyden. Toisin sanoen mikä tahansa väite determinantin sarakkeista pätee sen riveille ja päinvastoin.

Kiinteistö 2 . Determinantti vaihtaa etumerkkiä, kun kaksi riviä (saraketta) vaihdetaan.

Seuraus . Jos determinantissa on kaksi identtistä riviä (saraketta), se on yhtä suuri kuin nolla.

Kiinteistö 3 . Minkä tahansa rivin (sarakkeen) kaikkien elementtien yhteinen tekijä voidaan ottaa pois determinantin etumerkistä.

Esimerkiksi,

Seuraus . Jos determinantin jonkin rivin (sarakkeen) kaikki alkiot ovat nolla, itse determinantti on nolla.

Kiinteistö 4 . Determinantti ei muutu, jos yhden rivin (sarakkeen) elementit lisätään toisen rivin (sarakkeen) elementteihin kerrottuna jollakin luvulla.

Esimerkiksi,

Kiinteistö 5 . Matriisitulon determinantti on yhtä suuri kuin matriisideterminanttien tulo:

Olkoon lineaarisessa yhtälöjärjestelmässä yhtä monta yhtälöä kuin riippumattomia muuttujia, ts. on muotoa

Tällaisia ​​lineaarisia yhtälöjärjestelmiä kutsutaan neliöllisiksi. Järjestelmän riippumattomien muuttujien kertoimista (1.5) muodostuvaa determinanttia kutsutaan järjestelmän päädeterminantiksi. Merkitsemme sen kreikkalainen kirjain D. Joten

. (1.6)

Jos päädeterminantissa mielivaltainen ( j th) sarake, korvaa se järjestelmän vapaiden jäsenten sarakkeella (1.5), niin saamme lisää n aputekijät:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Cramerin sääntö Lineaaristen yhtälöiden toisen asteen järjestelmien ratkaiseminen on seuraava. Jos järjestelmän (1.5) päädeterminantti D on nollasta poikkeava, niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka voidaan löytää kaavoilla:

(1.8)

Esimerkki 1.5. Ratkaise yhtälöjärjestelmä Cramerin menetelmällä

.

Lasketaan järjestelmän päädeterminantti:

D¹0:sta lähtien järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka löytyy kaavojen (1.8) avulla:

Tällä tavalla,

Matrix-toiminnot

1. Matriisin kertominen luvulla. Toiminta matriisin kertomiseksi luvulla määritellään seuraavasti.

2. Jotta voit kertoa matriisin luvulla, sinun on kerrottava kaikki sen elementit tällä luvulla. Tuo on

. (1.9)

Esimerkki 1.6. .

Matriisin lisäys.

Tämä operaatio otetaan käyttöön vain saman järjestyksen matriiseille.

Kahden matriisin lisäämiseksi on tarpeen lisätä toisen matriisin vastaavat elementit yhden matriisin elementteihin:

(1.10)
Matriisilisäyksen operaatiolla on assosiatiivisuuden ja kommutatiivisuuden ominaisuuksia.

Esimerkki 1.7. .

Matriisin kertolasku.

Jos matriisin sarakkeiden määrä MUTTA vastaa matriisirivien lukumäärää AT, niin tällaisille matriiseille otetaan käyttöön kertolasku:

2

Näin ollen, kun kerrotaan matriisi MUTTA mitat m´ n matriisiin AT mitat n´ k saamme matriisin FROM mitat m´ k. Tässä tapauksessa matriisin elementit FROM lasketaan seuraavien kaavojen mukaan:

Ongelma 1.8. Etsi, jos mahdollista, matriisien tulo AB ja BA:

Ratkaisu. 1) Löytää työtä AB, tarvitset matriisirivejä A kerrotaan matriisin sarakkeilla B:

2) Taideteos BA ei ole olemassa, koska matriisin sarakkeiden määrä B ei vastaa matriisirivien määrää A.

Käänteinen matriisi. Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen matriisimenetelmällä

Matriisi A- 1:tä kutsutaan neliömatriisin käänteiseksi MUTTA jos tasa-arvo pätee:

mistä läpi minä merkitty identiteettimatriisi samassa järjestyksessä kuin matriisi MUTTA:

.

Vastaanottaja neliömatriisi sillä on käänteisarvo silloin ja vain, jos sen determinantti on nollasta poikkeava. Käänteinen matriisi löytyy kaavasta:

, (1.13)

missä A ij- algebralliset lisäykset elementteihin aij matriiseja MUTTA(huomaa, että algebralliset lisäykset matriisin riveihin MUTTA on järjestetty käänteismatriisiin vastaavien sarakkeiden muodossa).

Esimerkki 1.9. Etsi käänteinen matriisi A- 1 matriisiin

.

Löydämme käänteisen matriisin kaavalla (1.13), joka tapauksessa n= 3 näyttää tältä:

.

Etsitään det A = | A| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Koska alkuperäisen matriisin determinantti on eri kuin nolla, käänteinen matriisi on olemassa.

1) Etsi algebralliset lisäykset A ij:

Käänteisen matriisin löytämisen helpottamiseksi sijoitimme algebralliset lisäykset alkuperäisen matriisin riveihin vastaaviin sarakkeisiin.

Muodostetaan saaduista algebrallisista lisäyksistä uusi matriisi ja jaetaan se determinantilla det A. Siten saamme käänteisen matriisin:

Lineaaristen yhtälöiden neliölliset järjestelmät, joissa on nollasta poikkeava päädeterminantti, voidaan ratkaista käyttämällä käänteismatriisia. Tätä varten järjestelmä (1.5) kirjoitetaan sisään matriisimuoto:

missä

Kerrotaan molemmat puolet yhtäläisyydestä (1.14) vasemmalla A- 1, saamme järjestelmän ratkaisun:

, missä

Siten neliöjärjestelmän ratkaisun löytämiseksi sinun on löydettävä järjestelmän päämatriisin käänteinen matriisi ja kerrottava se oikealla vapaiden termien sarakematriisilla.

Ongelma 1.10. Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä

käyttämällä käänteismatriisia.

Ratkaisu. Kirjoitamme järjestelmän matriisimuotoon: ,

missä on järjestelmän päämatriisi, tuntemattomien sarake ja vapaiden jäsenten sarake. Koska järjestelmän päätekijä , sitten järjestelmän päämatriisi MUTTA on käänteinen matriisi MUTTA-yksi . Käänteisen matriisin löytäminen MUTTA-1 , laske algebralliset komplementit matriisin kaikille elementeille MUTTA:

Saatuista luvuista muodostetaan matriisi (lisäksi algebralliset lisäykset matriisin riveihin MUTTA kirjoita asianmukaisiin sarakkeisiin) ja jaa se determinantilla D. Näin ollen olemme löytäneet käänteisen matriisin:

Järjestelmän ratkaisu löytyy kaavasta (1.15):

Tällä tavalla,

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen tavallisilla Jordanin poikkeuksilla

Olkoon mielivaltainen (ei välttämättä neliö) lineaarinen yhtälöjärjestelmä:

(1.16)

Järjestelmään on löydettävä ratkaisu, ts. sellainen muuttujajoukko, joka täyttää järjestelmän (1.16) kaikki yhtäläisyydet. AT yleinen tapaus järjestelmällä (1.16) ei voi olla vain yksi ratkaisu, vaan myös ääretön määrä ratkaisuja. Sillä ei ehkä myöskään ole ratkaisuja ollenkaan.

Tällaisia ​​ongelmia ratkaistaessa käytetään koulukurssilta hyvin tunnettua tuntemattomien eliminointimenetelmää, jota kutsutaan myös tavallisten Jordan-eliminaatioiden menetelmäksi. Tämän menetelmän ydin on siinä, että yhdessä järjestelmän (1.16) yhtälöistä yksi muuttujista ilmaistaan ​​muiden muuttujien avulla. Sitten tämä muuttuja korvataan järjestelmän muilla yhtälöillä. Tuloksena on järjestelmä, joka sisältää yhden yhtälön ja yhden vähemmän muuttujan kuin alkuperäinen järjestelmä. Yhtälö, josta muuttuja ilmaistiin, muistetaan.

Tätä prosessia toistetaan, kunnes järjestelmään jää viimeinen yhtälö. Tuntemattomien eliminoinnissa jotkut yhtälöt voivat muuttua esimerkiksi todellisiksi identiteeteiksi. Tällaiset yhtälöt suljetaan pois järjestelmästä, koska ne ovat voimassa kaikille muuttujien arvoille eivätkä siksi vaikuta järjestelmän ratkaisuun. Jos tuntemattomien eliminointiprosessissa vähintään yhdestä yhtälöstä tulee yhtälö, jota ei voida täyttää millekään muuttujien arvolle (esimerkiksi ), niin päätellään, että järjestelmällä ei ole ratkaisua.

Jos epäjohdonmukaisia ​​yhtälöitä ei ratkennut, niin yksi sen jäljellä olevista muuttujista löytyy viimeisestä yhtälöstä. Jos viimeiseen yhtälöön jää vain yksi muuttuja, se ilmaistaan ​​numerona. Jos muut muuttujat jäävät viimeiseen yhtälöön, ne katsotaan parametreiksi ja niiden kautta ilmaistu muuttuja on näiden parametrien funktio. Sitten tehdään niin sanottu "käänteinen liike". Löytynyt muuttuja korvataan viimeksi muistiin tallennettuun yhtälöön ja löydetään toinen muuttuja. Sitten kaksi löydettyä muuttujaa korvataan toiseksi viimeiseen muistiin tallennettuun yhtälöön ja löydetään kolmas muuttuja ja niin edelleen ensimmäiseen muistiin tallennettuun yhtälöön asti.

Tuloksena saamme järjestelmän ratkaisun. Tämä ratkaisu on ainutlaatuinen, jos löydetyt muuttujat ovat numeroita. Jos ensimmäinen löydetty muuttuja ja sitten kaikki muut riippuvat parametreista, niin järjestelmällä on ääretön määrä ratkaisuja (jokainen parametrijoukko vastaa uutta ratkaisua). Kaavoja, jotka mahdollistavat ratkaisun löytämisen järjestelmään tietystä parametrijoukosta riippuen, kutsutaan järjestelmän yleiseksi ratkaisuksi.

Esimerkki 1.11.

x

Ensimmäisen yhtälön muistamisen jälkeen ja tuomalla samanlaiset termit toiseen ja kolmanteen yhtälöön, pääsemme järjestelmään:

Ilmaista y toisesta yhtälöstä ja korvaa se ensimmäisellä yhtälöllä:

Muista toinen yhtälö, ja ensimmäisestä löydämme z:

Teemme päinvastaisen liikkeen, löydämme peräkkäin y ja z. Tätä varten korvaamme ensin viimeiseksi muistiin tallennettuun yhtälöön , josta löydämme y:

.

Sitten korvataan ensimmäiseen muistiin tallennettuun yhtälöön mistä löydämme x:

Ongelma 1.12. Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä eliminoimalla tuntemattomat:

. (1.17)

Ratkaisu. Ilmaistaan ​​muuttuja ensimmäisestä yhtälöstä x ja korvaa se toiseen ja kolmanteen yhtälöön:

.

Muista ensimmäinen yhtälö

Tässä järjestelmässä ensimmäinen ja toinen yhtälö ovat ristiriidassa keskenään. Todellakin ilmaista y , saamme, että 14 = 17. Tämä yhtäläisyys ei täyty millekään muuttujien arvolle x, y, ja z. Tästä syystä järjestelmä (1.17) on epäjohdonmukainen, ts. ei ole ratkaisua.

Lukijoita pyydetään varmistamaan itsenäisesti, että alkuperäisen järjestelmän päädeterminantti (1.17) on nolla.

Tarkastellaan järjestelmää, joka eroaa järjestelmästä (1.17) vain yhdellä vapaalla termillä.

Ongelma 1.13. Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä eliminoimalla tuntemattomat:

. (1.18)

Ratkaisu. Kuten aiemmin, ilmaisemme muuttujan ensimmäisestä yhtälöstä x ja korvaa se toiseen ja kolmanteen yhtälöön:

.

Muista ensimmäinen yhtälö ja esitämme samanlaiset termit toisessa ja kolmannessa yhtälössä. Pääsemme järjestelmään:

ilmaiseva y ensimmäisestä yhtälöstä ja korvaamalla se toisella yhtälöllä , saamme identiteetin 14 = 14, joka ei vaikuta järjestelmän ratkaisuun ja siksi se voidaan sulkea pois järjestelmästä.

Viimeisessä muistissa olevassa yhtälössä muuttuja z pidetään parametrina. Me uskomme . Sitten

Korvaava y ja z ensimmäiseen ulkoa opetettuun tasa-arvoon ja löytää x:

.

Siten järjestelmällä (1.18) on ääretön joukko ratkaisuja, ja mikä tahansa ratkaisu voidaan löytää kaavoista (1.19) valitsemalla parametrille mielivaltainen arvo t:

(1.19)
Siten järjestelmän ratkaisut ovat esimerkiksi seuraavat muuttujajoukot (1; 2; 0), (2; 26; 14) jne. Kaavat (1.19) ilmaisevat järjestelmän (1.18) yleisen (mitä tahansa) ratkaisun ).

Siinä tapauksessa, että alkuperäisessä järjestelmässä (1.16) on tarpeeksi suuri määrä yhtälöt ja tuntemattomat, tavallisten Jordanian eliminaatioiden määritetty menetelmä vaikuttaa hankalalta. Se ei kuitenkaan ole. Riittää, kun johdetaan algoritmi järjestelmän kertoimien uudelleen laskemiseksi yhdessä vaiheessa yleisnäkymä ja virallistaa ongelman ratkaisu erityisten Jordan-taulukoiden muodossa.

Olkoon lineaaristen muotojen (yhtälöiden) järjestelmä:

, (1.20)
missä x j- riippumattomat (halutut) muuttujat, aij- vakiokertoimet
(minä = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Järjestelmän oikeat osat y i (minä = 1, 2,…, m) voivat olla sekä muuttujia (riippuvaisia) että vakioita. Tähän järjestelmään on löydettävä ratkaisuja poistamalla tuntemattomat.

Harkitse seuraava operaatio, johon viitataan jäljempänä "yhdeksi askeleeksi tavallisista Jordanian poikkeuksista". mielivaltaisesta ( r th) yhtäläisyys, ilmaisemme mielivaltaisen muuttujan ( x s) ja korvata kaikki muut yhtäläisyydet. Tämä on tietysti mahdollista vain, jos a rs¹ 0. Kerroin a rs kutsutaan ratkaisevaksi (joskus ohjaavaksi tai pääelementiksi).

Saamme seuraavan järjestelmän:

. (1.21)

From s järjestelmän yhtäläisyys (1.21), löydämme sen jälkeen muuttujan x s(kun muut muuttujat on löydetty). S Viisi muistetaan ja suljetaan sen jälkeen pois järjestelmästä. Jäljelle jäävä järjestelmä sisältää yhden yhtälön ja yhden vähemmän riippumattoman muuttujan kuin alkuperäinen järjestelmä.

Lasketaan tuloksena olevan järjestelmän (1.21) kertoimet alkuperäisen järjestelmän (1.20) kertoimilla. Aloitetaan r yhtälö, joka muuttujan ilmaisemisen jälkeen x s loput muuttujat näyttävät tältä:

Näin ollen uudet kertoimet r yhtälöt lasketaan seuraavilla kaavoilla:

(1.23)
Lasketaan nyt uudet kertoimet b ij(i¹ r) mielivaltaisesta yhtälöstä. Tätä varten korvaamme muuttujan (1.22) x s sisään i järjestelmän yhtälö (1.20):

Samankaltaisten ehtojen tuomisen jälkeen saamme:

(1.24)
Yhtälöstä (1.24) saadaan kaavat, joilla lasketaan järjestelmän (1.21) jäljellä olevat kertoimet (lukuun ottamatta r yhtälö):

(1.25)
Lineaaristen yhtälöjärjestelmien muunnos tavallisten Jordanian eliminaatioiden menetelmällä esitetään taulukoiden (matriisien) muodossa. Näitä pöytiä kutsutaan "Jordan-taulukoiksi".

Siten ongelma (1.20) liittyy seuraavaan Jordan-taulukkoon:

Taulukko 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	x s	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i=	a i 1	a i 2		aij		a on		a in
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		a rj		a rs		a rn
………………………………………………………………….
y n=	olen 1	olen 2		a mj		a ms		amn

Jordan-taulukko 1.1 sisältää vasemman otsikkosarakkeen, johon kirjoitetaan järjestelmän oikeat osat (1.20), ja yläotsikon rivin, jolle kirjoitetaan riippumattomat muuttujat.

Muut taulukon elementit muodostavat järjestelmän (1.20) kertoimien päämatriisin. Jos kerromme matriisin MUTTA ylemmän otsikkorivin elementeistä koostuvaan matriisiin, niin saadaan matriisi, joka koostuu vasemman otsikkosarakkeen elementeistä. Eli pohjimmiltaan Jordan-taulukko on matriisimuoto, jolla kirjoitetaan lineaarinen yhtälöjärjestelmä: . Tässä tapauksessa seuraava Jordan-taulukko vastaa järjestelmää (1.21):

Taulukko 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b on		b sisään
…………………………………………………………………..
x s =	br 1	br 2		b rj		brs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		bmj		b ms		bmn

Salliva elementti a rs korostamme lihavoidulla. Muista, että Jordan-poikkeuksien yhden vaiheen toteuttamiseksi ratkaisevan elementin on oltava nollasta poikkeava. Sallivan elementin sisältävää taulukon riviä kutsutaan sallivaksi riviksi. Enable-elementin sisältävää saraketta kutsutaan enable-sarakkeeksi. Kun siirrytään tietystä taulukosta seuraavaan taulukkoon, yksi muuttuja ( x s) siirretään taulukon yläotsikkoriviltä vasempaan otsikkosarakkeeseen ja päinvastoin johonkin järjestelmän vapaista jäsenistä ( y r) siirretään taulukon vasemmasta otsikkosarakkeesta ylimmälle otsikkoriville.

Kuvataan algoritmi kertoimien uudelleenlaskemiseksi siirtyessään Jordan-taulukosta (1.1) taulukkoon (1.2), mikä seuraa kaavoista (1.23) ja (1.25).

1. Aktivoiva elementti korvataan käänteisellä numerolla:

2. Sallivan rivin loput elementit jaetaan sallivalla elementillä ja vaihda merkki päinvastaiseksi:

3. Muut aktivointisarakkeen elementit on jaettu sallivaan elementtiin:

4. Elementit, jotka eivät sisälly ratkaisevaan riviin ja ratkaisevaan sarakkeeseen, lasketaan uudelleen seuraavien kaavojen mukaan:

Viimeinen kaava on helppo muistaa, jos huomaat, että osat muodostavat murto-osan , ovat risteyksessä i- voi ja r-th rivit ja j th ja s-th sarakkeet (selvittävä rivi, ratkaiseva sarake ja rivi ja sarake, joiden leikkauskohdassa uudelleen laskettava elementti sijaitsee). Tarkemmin sanottuna, kun opettelet ulkoa kaavan voit käyttää seuraavaa kaaviota:

-21 -26 -13 -37

Suorita Jordanian poikkeusten ensimmäinen vaihe, mikä tahansa taulukon 1.3 elementti, joka sijaitsee sarakkeissa x 1 ,…, x 5 (kaikki määritetyt elementit eivät ole nollia). Sinun ei pitäisi valita vain aktivointielementtiä viimeisestä sarakkeesta, koska täytyy löytää riippumattomia muuttujia x 1 ,…, x 5. Valitsemme esimerkiksi kertoimen 1 muuttujan kanssa x 3 taulukon 1.3 kolmannella rivillä (aktivoiva elementti on lihavoitu). Kun siirrytään taulukkoon 1.4, muuttuja x Yläotsikkorivin 3 vaihdetaan vasemman otsikkosarakkeen (kolmas rivi) vakiolla 0. Samaan aikaan muuttuja x 3 ilmaistaan ​​jäljellä olevina muuttujina.

merkkijono x 3 (Taulukko 1.4) voidaan aiemmin muistaen jättää pois taulukosta 1.4. Taulukko 1.4 jättää pois myös kolmannen sarakkeen, jonka yläotsikkorivillä on nolla. Asia on, että riippumatta tämän sarakkeen kertoimista b i 3 kaikki sitä vastaavat kunkin yhtälön 0 termit b i 3 järjestelmää on yhtä suuri kuin nolla. Siksi näitä kertoimia ei voida laskea. Yhden muuttujan poistaminen x 3 ja muistaen yhden yhtälöistä, pääsemme taulukkoa 1.4 vastaavaan järjestelmään (viiva yliviivattuina x 3). Taulukossa 1.4 valitseminen ratkaisevaksi elementiksi b 14 = -5, siirry taulukkoon 1.5. Taulukossa 1.5 muistamme ensimmäisen rivin ja suljemme sen pois taulukosta neljännen sarakkeen kanssa (nolla ylhäällä).

Taulukko 1.5 Taulukko 1.6

Viimeisestä taulukosta 1.7 löydämme: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Korvaamalla jo löydetyt muuttujat peräkkäin muistiin tallennettuihin riveihin, löydämme jäljellä olevat muuttujat:

Järjestelmällä on siis ääretön määrä ratkaisuja. muuttuja x 5, voit määrittää mielivaltaisia ​​arvoja. Tämä muuttuja toimii parametrina x 5 = t. Todistimme järjestelmän yhteensopivuuden ja löysimme sen yhteinen päätös:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Parametrin antaminen t erilaisia ​​merkityksiä, saamme äärettömän määrän ratkaisuja alkuperäiseen järjestelmään. Joten esimerkiksi järjestelmän ratkaisu on seuraava muuttujien joukko (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Cramerin menetelmä perustuu determinanttien käyttöön lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisessa. Tämä nopeuttaa huomattavasti ratkaisuprosessia.

Cramerin menetelmällä voidaan ratkaista niin monen lineaarisen yhtälön järjestelmä kuin jokaisessa yhtälössä on tuntemattomia. Jos järjestelmän determinantti ei ole nolla, niin ratkaisussa voidaan käyttää Cramerin menetelmää, jos se on nolla, niin ei. Lisäksi Cramerin menetelmällä voidaan ratkaista lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, joilla on ainutlaatuinen ratkaisu.

Määritelmä. Tuntemattomien kertoimista koostuvaa determinanttia kutsutaan järjestelmän determinantiksi ja sitä merkitään (delta).

Determinantit

saadaan korvaamalla kertoimet vastaavissa tuntemattomissa vapailla termeillä:

;

.

Cramerin lause. Jos järjestelmän determinantti on nollasta poikkeava, niin lineaariyhtälöjärjestelmällä on yksi ratkaisu, ja tuntematon on yhtä suuri kuin determinanttien suhde. Nimittäjä on järjestelmän determinantti ja osoittaja on determinantti, joka saadaan järjestelmän determinantista korvaamalla kertoimet tuntemattomalla vapailla termeillä. Tämä lause pätee minkä tahansa luokan lineaariyhtälöjärjestelmälle.

Esimerkki 1 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä:

Mukaan Cramerin lause meillä on:

Eli järjestelmän (2) ratkaisu:

online-laskin, ratkaiseva menetelmä Kramer.

Kolme tapausta lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisessa

Kuten näkyy osoitteesta Cramerin lauseet, kun ratkaistaan ​​lineaarinen yhtälöjärjestelmä, voi esiintyä kolme tapausta:

Ensimmäinen tapaus: lineaariyhtälöjärjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu

(järjestelmä on johdonmukainen ja varma)

Toinen tapaus: lineaariyhtälöjärjestelmällä on ääretön määrä ratkaisuja

(järjestelmä on johdonmukainen ja epämääräinen)

** ,

nuo. tuntemattomien ja vapaiden termien kertoimet ovat verrannollisia.

Kolmas tapaus: lineaariyhtälöjärjestelmällä ei ole ratkaisuja

(järjestelmä epäjohdonmukainen)

Järjestelmä siis m lineaariset yhtälöt kanssa n muuttujia kutsutaan yhteensopimaton jos sillä ei ole ratkaisuja, ja liitos jos siinä on ainakin yksi ratkaisu. Yhteistä yhtälöjärjestelmää, jolla on vain yksi ratkaisu, kutsutaan varma, ja enemmän kuin yksi epävarma.

Esimerkkejä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisesta Cramer-menetelmällä

Anna järjestelmän

.

Perustuu Cramerin lauseeseen

………….
,

missä
-

järjestelmän tunniste. Loput determinantit saadaan korvaamalla sarake vastaavan muuttujan (tuntemattoman) kertoimilla vapailla jäsenillä:

Esimerkki 2

.

Järjestelmä on siis varma. Ratkaisun löytämiseksi laskemme determinantit

Cramerin kaavoilla löydämme:

Joten (1; 0; -1) on ainoa ratkaisu järjestelmään.

Yhtälöjärjestelmien 3 X 3 ja 4 X 4 ratkaisujen tarkistamiseen voit käyttää online-laskinta, Cramer-ratkaisumenetelmää.

Jos lineaariyhtälöjärjestelmässä ei ole muuttujia yhdessä tai useammassa yhtälössä, niin determinantissa niitä vastaavat alkiot ovat nolla! Tämä on seuraava esimerkki.

Esimerkki 3 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Cramerin menetelmällä:

.

Ratkaisu. Löydämme järjestelmän determinantin:

Katso huolellisesti yhtälöjärjestelmää ja järjestelmän determinanttia ja toista vastaus kysymykseen, missä tapauksissa yksi tai useampi determinantin alkio on nolla. Joten determinantti ei ole nolla, joten järjestelmä on määrätty. Ratkaisun löytämiseksi laskemme tuntemattomien determinantit

Cramerin kaavoilla löydämme:

Eli järjestelmän ratkaisu on (2; -1; 1).

Yhtälöjärjestelmien 3 X 3 ja 4 X 4 ratkaisujen tarkistamiseen voit käyttää online-laskinta, Cramer-ratkaisumenetelmää.

Sivun yläreunassa

Jatkamme järjestelmien ratkaisemista Cramer-menetelmällä yhdessä

Kuten jo mainittiin, jos järjestelmän determinantti on nolla ja tuntemattomien determinantit eivät ole nolla, järjestelmä on epäjohdonmukainen, eli sillä ei ole ratkaisuja. Havainnollistetaan seuraavalla esimerkillä.

Esimerkki 6 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Cramerin menetelmällä:

Ratkaisu. Löydämme järjestelmän determinantin:

Järjestelmän determinantti on nolla, joten lineaarinen yhtälöjärjestelmä on joko epäjohdonmukainen ja määrätty tai epäjohdonmukainen, eli sillä ei ole ratkaisuja. Selvyyden vuoksi laskemme tuntemattomien determinantit

Tuntemattomien determinantit eivät ole yhtä suuria kuin nolla, joten järjestelmä on epäjohdonmukainen, eli sillä ei ole ratkaisuja.

Yhtälöjärjestelmien 3 X 3 ja 4 X 4 ratkaisujen tarkistamiseen voit käyttää online-laskinta, Cramer-ratkaisumenetelmää.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien tehtävissä on myös sellaisia, joissa muuttujia osoittavien kirjainten lisäksi on myös muita kirjaimia. Nämä kirjaimet tarkoittavat jotakin numeroa, useimmiten todellista numeroa. Käytännössä tällaiset yhtälöt ja yhtälöjärjestelmät johtavat hakuongelmiin yhteisiä ominaisuuksia mitään ilmiöitä tai esineitä. Eli keksitkö mitään uutta materiaalia tai laite, ja sen ominaisuuksien kuvaamiseksi, jotka ovat yleisiä kopioiden koosta tai lukumäärästä riippumatta, on tarpeen ratkaista lineaarinen yhtälöjärjestelmä, jossa joidenkin muuttujien kertoimien sijaan on kirjaimia. Esimerkkejä ei tarvitse etsiä kaukaa.

Seuraava esimerkki koskee samanlaista ongelmaa, vain yhtälöiden, muuttujien ja kirjaimien määrä, jotka osoittavat jotain reaalilukua, kasvaa.

Esimerkki 8 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Cramerin menetelmällä:

Ratkaisu. Löydämme järjestelmän determinantin:

Determinanttien löytäminen tuntemattomille

Ensimmäisessä osassa tarkastelimme teoreettista materiaalia, substituutiomenetelmää sekä menetelmää systeemiyhtälöiden termi-termittäin lisäämiseksi. Kaikille tämän sivun kautta sivustolle tulleille suosittelen ensimmäisen osan lukemista. Ehkä joidenkin kävijöiden mielestä materiaali on liian yksinkertaista, mutta lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisen aikana tein useita erittäin tärkeitä huomautuksia ja johtopäätöksiä ratkaisusta. matemaattisia ongelmia yleisesti.

Ja nyt analysoimme Cramerin sääntöä sekä lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisua käänteismatriisilla (matriisimenetelmällä). Kaikki materiaalit esitetään yksinkertaisesti, yksityiskohtaisesti ja selkeästi, melkein kaikki lukijat voivat oppia ratkaisemaan järjestelmiä yllä olevilla menetelmillä.

Tarkastellaan ensin yksityiskohtaisesti Cramerin sääntöä kahden lineaarisen yhtälön järjestelmälle kahdessa tuntemattomassa. Mitä varten? - Kuitenkin yksinkertaisin järjestelmä voidaan ratkaista koulumenetelmällä, lukukausilisäyksellä!

Tosiasia on, että vaikka joskus, mutta sellainen tehtävä on - ratkaista kahden lineaarisen yhtälön järjestelmä kahdella tuntemattomalla käyttämällä Cramerin kaavoja. Toiseksi, yksinkertaisempi esimerkki auttaa sinua ymmärtämään, kuinka Cramerin sääntöä voidaan käyttää enemmän vaikea tapaus– kolmen yhtälön järjestelmät, joissa on kolme tuntematonta.

Lisäksi on olemassa kahdella muuttujalla varustettuja lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, jotka on suositeltavaa ratkaista täsmälleen Cramerin säännön mukaan!

Harkitse yhtälöjärjestelmää

Ensimmäisessä vaiheessa laskemme determinantin , sitä kutsutaan järjestelmän päätekijä.

Gaussin menetelmä.

Jos , niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, ja juurten löytämiseksi meidän on laskettava kaksi muuta determinanttia:
ja

Käytännössä yllä olevat tarkenteet voidaan merkitä myös latinalaisella kirjaimella.

Yhtälön juuret löytyvät kaavoista:
,

Esimerkki 7

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Ratkaisu: Näemme, että yhtälön kertoimet ovat melko suuria, oikealla puolella on desimaalit pilkulla. Pilkku on melko harvinainen vieras matematiikan käytännön tehtävissä, otin tämän järjestelmän ekonometrisesta ongelmasta.

Kuinka ratkaista tällainen järjestelmä? Voit yrittää ilmaista yhtä muuttujaa toisella, mutta tässä tapauksessa saat varmasti kauheita hienoja murtolukuja, joiden kanssa työskentely on erittäin hankalaa, ja ratkaisun suunnittelu näyttää aivan kamalalta. Voit kertoa toisen yhtälön 6:lla ja vähentää termiltä termiltä, ​​mutta samat murtoluvut näkyvät tässä.

Mitä tehdä? Tällaisissa tapauksissa Cramerin kaavat tulevat apuun.

;

;

Vastaus: ,

Molemmilla juurilla on äärettömät häntät ja niitä löytyy likimäärin, mikä on varsin hyväksyttävää (ja jopa yleistä) ekonometristen ongelmien kannalta.

Kommentteja ei tarvita täällä, koska tehtävä ratkaistaan ​​valmiiden kaavojen mukaan, mutta siinä on yksi varoitus. Kun käytät tätä menetelmää, pakollinen Tehtävän fragmentti on seuraava fragmentti: "Joten järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu". Muussa tapauksessa arvioija voi rangaista sinua Cramerin lauseen epäkunnioituksesta.

Ei ole tarpeetonta tarkistaa, mikä on kätevää suorittaa laskimella: korvaamme likimääräiset arvot vasen puoli järjestelmän jokainen yhtälö. Tämän seurauksena oikealla puolella olevat numerot tulisi saada pienellä virheellä.

Esimerkki 8

Ilmaise vastauksesi tavallisilla virheellisillä murtoluvuilla. Tee sekki.

Tämä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta (esimerkki hienosta suunnittelusta ja vastaus oppitunnin lopussa).

Siirrymme tarkastelemaan Cramerin sääntöä kolmen yhtälön järjestelmälle, jossa on kolme tuntematonta:

Löydämme järjestelmän päätekijän:

Jos , niin järjestelmällä on äärettömän monta ratkaisua tai se on epäjohdonmukainen (ei ratkaisuja). Tässä tapauksessa Cramerin sääntö ei auta, sinun on käytettävä Gauss-menetelmää.

Jos , niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, ja juurten löytämiseksi meidän on laskettava kolme muuta determinanttia:
, ,

Ja lopuksi vastaus lasketaan kaavoilla:

Kuten näette, "kolme kertaa kolme" -tapaus ei pohjimmiltaan eroa "kaksi kolmelta" -tapauksesta, vapaiden termien sarake "kävelee" peräkkäin vasemmalta oikealle päämääritteen sarakkeita pitkin.

Esimerkki 9

Ratkaise järjestelmä Cramerin kaavoilla.

Ratkaisu: Ratkaistaan ​​järjestelmä Cramerin kaavoilla.

, joten järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu.

Vastaus: .

Itse asiassa tässä ei ole mitään erityistä kommentoitavaa, kun otetaan huomioon, että päätös tehdään valmiiden kaavojen mukaan. Mutta on pari huomautusta.

Tapahtuu, että laskelmien tuloksena saadaan "huonoja" pelkistymättömiä murtolukuja, esimerkiksi: .
Suosittelen seuraavaa "hoito"-algoritmia. Jos tietokonetta ei ole käsillä, teemme näin:

1) Laskelmissa voi olla virhe. Heti kun kohtaat "huonon" laukauksen, sinun on heti tarkistettava, onko onko ehto kirjoitettu uudelleen oikein. Jos ehto kirjoitetaan uudelleen ilman virheitä, sinun on laskettava determinantit uudelleen käyttämällä toisen rivin (sarakkeen) laajennusta.

2) Mikäli tarkastuksen tuloksena ei löytynyt virheitä, on todennäköisimmin kirjoitusvirhe tehtävän tilassa. Tässä tapauksessa ratkaise tehtävä rauhallisesti ja HUOLELLISESTI loppuun asti ja sitten muista tarkistaa ja laadittava se puhtaana kappaleena päätöksen jälkeen. Tietysti murto-osan tarkistaminen on epämiellyttävä tehtävä, mutta se on aseistariisuttava argumentti opettajalle, joka todella haluaa laittaa miinuksen mistä tahansa huonosta asiasta, kuten. Kuinka käsitellä murtolukuja, kerrotaan yksityiskohtaisesti esimerkin 8 vastauksessa.

Jos sinulla on tietokone käsillä, tarkista se automaattisella ohjelmalla, jonka voi ladata ilmaiseksi heti oppitunnin alussa. Muuten, on edullisinta käyttää ohjelmaa heti (jo ennen ratkaisun aloittamista), näet välittömästi välivaiheen, jossa teit virheen! Sama laskin laskee automaattisesti järjestelmän ratkaisun matriisimenetelmä.

Toinen huomautus. Ajoittain tulee järjestelmiä, joiden yhtälöistä puuttuu joitain muuttujia, esim.

Tässä ensimmäisessä yhtälössä ei ole muuttujaa, toisessa ei ole muuttujaa. Tällaisissa tapauksissa on erittäin tärkeää kirjoittaa oikein ja HUOLELLISESTI päätekijä:
– puuttuvien muuttujien tilalle laitetaan nollia.
Muuten, on järkevää avata determinantit nollalla rivillä (sarakkeessa), jossa nolla sijaitsee, koska laskelmia on huomattavasti vähemmän.

Esimerkki 10

Ratkaise järjestelmä Cramerin kaavoilla.

Tämä on esimerkki itseratkaisusta (näyte ja vastaus oppitunnin lopussa).

Jos kyseessä on 4 yhtälöjärjestelmä, jossa on 4 tuntematonta, Cramerin kaavat kirjoitetaan samanlaisten periaatteiden mukaan. Voit nähdä elävän esimerkin Determinant Properties -oppitunnilla. Determinantin järjestyksen pienentäminen - viisi 4. kertaluvun determinanttia ovat melko ratkaisevia. Vaikka tehtävä muistuttaa jo kovasti professorin kenkää onnen opiskelijan rinnassa.

Järjestelmän ratkaisu käänteismatriisin avulla

Käänteismatriisimenetelmä on pohjimmiltaan erikoistapaus matriisiyhtälö(Katso määritellyn oppitunnin esimerkki nro 3).

Tämän osan tutkimiseksi sinun on kyettävä laajentamaan determinantteja, löytämään käänteismatriisi ja suorittamaan matriisin kertolasku. Asiaankuuluvat linkit annetaan selityksen edetessä.

Esimerkki 11

Ratkaise järjestelmä matriisimenetelmällä

Ratkaisu: Kirjoitamme järjestelmän matriisimuotoon:
, missä

Katso yhtälöjärjestelmä ja matriisit. Millä periaatteella kirjoitamme elementtejä matriiseihin, luulen kaikkien ymmärtävän. Ainoa kommentti: jos yhtälöistä puuttuisi joitain muuttujia, niin matriisin vastaaviin paikkoihin pitäisi laittaa nollia.

Löydämme käänteisen matriisin kaavalla:
, jossa on matriisin vastaavien elementtien algebrallisten komplementtien transponoitu matriisi.

Ensin käsitellään determinanttia:

Tässä determinanttia laajennetaan ensimmäisellä rivillä.

Huomio! Jos , niin käänteismatriisia ei ole olemassa, ja järjestelmää on mahdotonta ratkaista matriisimenetelmällä. Tässä tapauksessa järjestelmä ratkaistaan ​​eliminoimalla tuntemattomat (Gaussin menetelmä).

Nyt sinun on laskettava 9 alaikäistä ja kirjoitettava ne alaikäisten matriisiin

Viite: On hyödyllistä tietää kaksoisalaindeksien merkitys lineaarialgebrassa. Ensimmäinen numero on rivinumero, jossa elementti sijaitsee. Toinen numero on sen sarakkeen numero, jossa elementti sijaitsee:

Toisin sanoen kaksoisalaindeksi osoittaa, että elementti on ensimmäisellä rivillä, kolmannella sarakkeella, kun taas elementti on esimerkiksi 3. rivillä, 2. sarakkeessa

Kun yhtälöiden määrä on sama kuin tuntemattomien lukumäärä matriisin päädeterminantilla, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla, järjestelmän kertoimet (tällaisille yhtälöille on ratkaisu ja se on vain yksi).

Cramerin lause.

Kun neliöjärjestelmän matriisin determinantti on muu kuin nolla, niin järjestelmä on yhteensopiva ja sillä on yksi ratkaisu ja se voidaan löytää Cramerin kaavat:

missä Δ - järjestelmämatriisin determinantti,

Δ i- järjestelmän matriisin determinantti, jossa sen sijaan i sarake on oikeanpuoleisten osien sarake.

Kun järjestelmän determinantti on nolla, järjestelmästä voi tulla johdonmukainen tai epäjohdonmukainen.

Tätä menetelmää käytetään yleensä pienissä järjestelmissä tilavuuslaskelmissa ja silloin, kun on tarpeen määrittää yksi tuntemattomista. Menetelmän monimutkaisuus on se, että on tarpeen laskea monia determinantteja.

Cramerin menetelmän kuvaus.

On olemassa yhtälöjärjestelmä:

Kolmen yhtälön järjestelmä voidaan ratkaista Cramerin menetelmällä, jota käsiteltiin edellä 2 yhtälöjärjestelmän osalta.

Muodostamme determinantin tuntemattomien kertoimista:

Tämä tulee järjestelmän tarkenne. Kun D≠0, joten järjestelmä on yhteensopiva. Nyt muodostamme 3 lisätekijää:

,,

Ratkaisemme järjestelmän Cramerin kaavat:

Esimerkkejä yhtälöjärjestelmien ratkaisemisesta Cramerin menetelmällä.

Esimerkki 1.

Annettu järjestelmä:

Ratkaistaan ​​se Cramerin menetelmällä.

Ensin sinun on laskettava järjestelmän matriisin determinantti:

Koska Δ≠0, joten Cramerin lauseen perusteella järjestelmä on yhteensopiva ja sillä on yksi ratkaisu. Laskemme lisädeterminantteja. Determinantti Δ1 saadaan determinantista Δ korvaamalla sen ensimmäinen sarake vapaiden kertoimien sarakkeella. Saamme:

Samalla tavalla saamme determinantin Δ 2 järjestelmän matriisin determinantista korvaamalla toisen sarakkeen vapaiden kertoimien sarakkeella: