Tavallisten murtolukujen aritmeettisten operaatioiden säännöt. Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku

Jos haluat ilmaista osan murto-osana kokonaisuudesta, sinun on jaettava osa kokonaisuudella.

Tehtävä 1. Luokassa on 30 oppilasta, neljä puuttuu. Mikä osa opiskelijoista puuttuu?

Ratkaisu:

Vastaus: luokassa ei ole oppilaita.

Murtoluvun löytäminen luvusta

Seuraava sääntö pätee ongelmien ratkaisemiseksi, joissa on löydettävä osa kokonaisuudesta:

Jos osa kokonaisuudesta ilmaistaan ​​murto-osana, voit löytää tämän osan jakamalla kokonaisuuden murto-osan nimittäjällä ja kertomalla tuloksen sen osoittajalla.

Tehtävä 1. Siellä oli 600 ruplaa, tämä summa käytettiin. Kuinka paljon rahaa olet käyttänyt?

Ratkaisu: löytääksesi 600 ruplaa, sinun on jaettava tämä summa 4 osaan, jolloin saamme selville, kuinka paljon rahaa on neljäsosa:

600: 4 = 150 (s.)

Vastaus: käytti 150 ruplaa.

Tehtävä 2. Se oli 1000 ruplaa, tämä summa käytettiin. Kuinka paljon rahaa on käytetty?

Ratkaisu: Ongelman tilasta tiedämme, että 1000 ruplaa koostuu viidestä yhtä suuresta osasta. Selvitetään ensin, kuinka monta ruplaa on yksi viidesosa 1000:sta, ja sitten selvitetään, kuinka monta ruplaa on kaksi viidesosaa:

1) 1000: 5 = 200 (s.) - yksi viidesosa.

2) 200 2 \u003d 400 (s.) - kaksi viidesosaa.

Nämä kaksi toimintoa voidaan yhdistää: 1000: 5 2 = 400 (s.).

Vastaus: 400 ruplaa käytettiin.

Toinen tapa löytää osa kokonaisuudesta:

Löytääksesi osan kokonaisuudesta, voit kertoa kokonaisuuden murto-osalla, joka ilmaisee sen osan kokonaisuudesta.

Tehtävä 3. Osuuskunnan sääntöjen mukaan raportointikokouksen pätevyyden vuoksi vähintään yhdistyksen jäsenten on oltava läsnä siinä. Osuuskunnassa on 120 jäsentä. Millä kokoonpanolla raportointikokous voidaan pitää?

Ratkaisu:

Vastaus: raportointikokous voidaan pitää, jos yhdistyksessä on 80 jäsentä.

Luvun löytäminen sen murtoluvulla

Seuraava sääntö pätee ongelmien ratkaisemiseksi, joissa kokonaisuus on löydettävä sen osasta:

Jos osa halutusta kokonaisluvusta ilmaistaan ​​murto-osana, voit löytää tämän kokonaisluvun jakamalla tämän osan murtoluvun osoittajalla ja kertomalla tuloksen sen nimittäjällä.

Tehtävä 1. Käytimme 50 ruplaa, tämä vastasi alkuperäistä summaa. Etsi alkuperäinen rahasumma.

Ratkaisu: ongelman kuvauksesta näemme, että 50 ruplaa on 6 kertaa pienempi kuin alkuperäinen summa, eli alkuperäinen summa on 6 kertaa enemmän kuin 50 ruplaa. Saadaksesi tämän summan, sinun on kerrottava 50 6:lla:

50 6 = 300 (r.)

Vastaus: alkuperäinen määrä on 300 ruplaa.

Tehtävä 2. Käytimme 600 ruplaa, tämä vastasi alkuperäistä rahasummaa. Etsi alkuperäinen summa.

Ratkaisu: oletetaan, että haluttu luku koostuu kolmesta kolmasosasta. Ehdon mukaan kaksi kolmasosaa määrästä on 600 ruplaa. Ensin löydämme kolmanneksen alkuperäisestä summasta ja sitten kuinka monta ruplaa on kolme kolmasosaa (alkumäärä):

1) 600: 2 3 = 900 (s.)

Vastaus: alkuperäinen määrä on 900 ruplaa.

Toinen tapa löytää kokonaisuus osansa perusteella:

Jos haluat löytää kokonaisuuden osan arvolla, voit jakaa tämän arvon murtoluvulla, joka ilmaisee tämän osan.

Tehtävä 3. Jana AB, joka on 42 cm, on segmentin pituus CD. Etsi segmentin pituus CD.

Ratkaisu:

Vastaus: segmentin pituus CD 70 cm

Tehtävä 4. Vesimelonit tuotiin kauppaan. Ennen lounasta kauppa myi, lounaan jälkeen - toi vesimeloneja, ja jäljellä on myydä 80 vesimelonia. Kuinka monta vesimelonia tuotiin kauppaan yhteensä?

Ratkaisu: Ensin selvitetään, mikä osa tuontivesimeloneista on numero 80. Tätä varten otamme tuotujen vesimelonien kokonaismäärän yksiköksi ja vähennämme siitä niiden vesimelonien lukumäärän, jotka onnistuimme myymään (myydä):

Ja niin opimme, että 80 vesimelonia on tuotujen vesimelonien kokonaismäärästä. Nyt selvitetään kuinka monta vesimelonia kokonaismäärästä on ja sitten kuinka monta vesimelonia on (tuottujen vesimelonien määrä):

2) 80:4 15 = 300 (vesimelonit)

Vastaus: kaikkiaan myymälään tuotiin 300 vesimelonia.

Sanalla "fraktiot" monet hanhennahkat juoksevat. Koska muistan koulun ja tehtävät, jotka ratkesivat matematiikassa. Tämä oli velvollisuus, joka oli täytettävä. Mutta entä jos käsittelemme tehtäviä, jotka sisältävät oikeita ja vääriä murtolukuja, pulmana? Loppujen lopuksi monet aikuiset ratkaisevat digitaalisia ja japanilaisia ​​ristisanatehtäviä. Ymmärrä säännöt ja se on siinä. Sama täällä. Sinun tarvitsee vain sukeltaa teoriaan - ja kaikki loksahtaa paikoilleen. Ja esimerkeistä tulee tapa kouluttaa aivoja.

Millaisia ​​fraktioita on olemassa?

Aloitetaan siitä, mikä se on. Murtoluku on luku, jolla on jokin murto-osa ykköstä. Se voidaan kirjoittaa kahdessa muodossa. Ensimmäistä kutsutaan tavalliseksi. Eli sellainen, jossa on vaakasuora tai vino veto. Se vastaa jakomerkkiä.

Tällaisessa merkinnässä viivan yläpuolella olevaa numeroa kutsutaan osoittajaksi ja sen alapuolella nimittäjäksi.

Tavallisten murtolukujen joukossa erotetaan oikeat ja väärät murtoluvut. Edellisessä tapauksessa modulo-osoittaja on aina pienempi kuin nimittäjä. Vääriä kutsutaan niin, koska heillä on päinvastoin. Oikean murtoluvun arvo on aina pienempi kuin yksi. Vaikka väärä on aina suurempi kuin tämä luku.

On myös sekalukuja, eli niitä, joissa on kokonaisluku ja murto-osa.

Toinen merkintätapa on desimaali. Hänen erillisestä keskustelustaan.

Mitä eroa on väärien murtolukujen ja sekalukujen välillä?

Periaatteessa ei mitään. Se on vain erilainen merkintä samasta numerosta. Väärät murtoluvut yksinkertaisten toimintojen jälkeen muuttuvat helposti sekalukuiksi. Ja päinvastoin.

Kaikki riippuu tietystä tilanteesta. Joskus tehtävissä on kätevämpää käyttää väärää murtolukua. Ja joskus on tarpeen kääntää se sekoitettuun numeroon, ja sitten esimerkki ratkaistaan ​​erittäin helposti. Siksi mitä käyttää: väärät murtoluvut, sekaluvut - riippuu ongelman ratkaisijan havainnosta.

Sekalukua verrataan myös kokonaislukuosan ja murto-osan summaan. Lisäksi toinen on aina vähemmän kuin yhtenäisyys.

Kuinka esittää sekaluku vääränä murtolukuna?

Jos haluat suorittaa jonkin toiminnon useilla eri muodoissa kirjoitetuilla numeroilla, sinun on tehtävä niistä samat. Yksi tapa on esittää numerot väärinä murtolukuina.

Tätä tarkoitusta varten sinun on noudatettava seuraavaa algoritmia:

• kerro nimittäjä kokonaislukuosalla;
• lisää tulokseen osoittajan arvo;
• kirjoita vastaus rivin yläpuolelle;
• jätä nimittäjä ennalleen.

Tässä on esimerkkejä väärien murtolukujen kirjoittamisesta sekaluvuista:

• 17 ¼ \u003d (17 x 4 + 1): 4 \u003d 69/4;
• 39 ½ \u003d (39 x 2 + 1): 2 \u003d 79/2.

Kuinka kirjoittaa väärä murto sekalukuna?

Seuraava menetelmä on päinvastainen kuin edellä käsiteltiin. Eli kun kaikki sekaluvut korvataan väärillä murtoluvuilla. Toimintojen algoritmi on seuraava:

• jaa osoittaja nimittäjällä saadaksesi jäännös;
• kirjoita osamäärä sekoitetun kokonaisluvun tilalle;
• loput tulee sijoittaa viivan yläpuolelle;
• jakaja on nimittäjä.

Esimerkkejä tällaisesta muunnoksesta:

76/14; 76:14 = 5 ja loput 6; vastaus on 5 kokonaislukua ja 6/14; tämän esimerkin murto-osaa on vähennettävä 2:lla, saat 3/7; lopullinen vastaus on 5 kokonaista 3/7.

108/54; jaon jälkeen osamäärä 2 saadaan ilman jäännöstä; tämä tarkoittaa, että kaikkia vääriä murtolukuja ei voida esittää sekalukuina; vastaus on kokonaisluku - 2.

Kuinka muutat kokonaisluvun vääräksi murtoluvuksi?

On tilanteita, joissa tällainen toimenpide on tarpeen. Jos haluat saada vääriä murtolukuja ennalta määrätyllä nimittäjällä, sinun on suoritettava seuraava algoritmi:

• kerro kokonaisluku halutulla nimittäjällä;
• kirjoita tämä arvo rivin yläpuolelle;
• aseta nimittäjä sen alle.

Yksinkertaisin vaihtoehto on, kun nimittäjä on yhtä suuri kuin yksi. Silloin ei tarvitse kertoa. Riittää, kun kirjoitetaan esimerkissä annettu kokonaisluku ja asetetaan rivin alle yksikkö.

Esimerkki: Tee 5:stä väärä murtoluku, jonka nimittäjä on 3. Kun kerrot 5:llä 3:lla, saat 15. Tämä luku on nimittäjä. Tehtävän vastaus on murto-osa: 15/3.

Kaksi lähestymistapaa tehtävien ratkaisemiseen eri numeroilla

Esimerkissä on laskettava summa ja erotus sekä kahden luvun tulo ja osamäärä: 2 kokonaislukua 3/5 ja 14/11.

Ensimmäisessä lähestymistavassa sekaluku esitetään vääränä murtolukuna.

Kun olet suorittanut yllä kuvatut vaiheet, saat seuraavan arvon: 13/5.

Summan selvittämiseksi sinun on vähennettävä murtoluvut samaan nimittäjään. 13/5 kerrottuna 11:llä tulee 143/55. Ja 14/11 5:llä kertomisen jälkeen saa muotoa: 70/55. Laskeaksesi summan, sinun tarvitsee vain lisätä osoittajat: 143 ja 70 ja kirjoittaa sitten vastaus yhdellä nimittäjällä. 213/55 - tämä väärä murtoluku on vastaus ongelmaan.

Eroa löydettäessä samat luvut vähennetään: 143 - 70 = 73. Vastaus on murto-osa: 73/55.

Kun kerrot 13/5 ja 14/11, sinun ei tarvitse pelkistää yhteiseen nimittäjään. Kerro vain osoittajat ja nimittäjät pareittain. Vastaus on: 182/55.

Samoin jaon kanssa. Oikean ratkaisun saamiseksi sinun on korvattava jako kertolaskulla ja käännettävä jakaja: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70.

Toisessa lähestymistavassa Väärästä murtoluvusta tulee sekaluku.

Algoritmin toimintojen suorittamisen jälkeen 14/11 muuttuu sekaluvuksi, jonka kokonaislukuosa on 1 ja murto-osa 3/11.

Summaa laskettaessa sinun on lisättävä kokonaisluku- ja murto-osat erikseen. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Lopullinen vastaus on 3 kokonaista 48/55. Ensimmäisessä lähestymisessä oli murto-osa 213/55. Voit tarkistaa oikeellisuuden muuntamalla sen sekaluvuksi. Kun 213 on jaettu 55:llä, osamäärä on 3 ja jäännös 48. On helppo nähdä, että vastaus on oikea.

Kun vähennetään, "+"-merkki korvataan "-". 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Tarkistaaksesi edellisen lähestymistavan vastauksen, sinun on muutettava se sekaluvuksi: 73 jaetaan 55:llä ja saat osamäärän 1 ja jäännösosan 18.

Tuloksen ja osamäärän löytämiseksi on hankalaa käyttää sekalukuja. Tässä on aina suositeltavaa vaihtaa vääriin murtolukuihin.

Oppitunnin sisältö

Murtolukujen lisääminen samoilla nimittäjillä

Murtolukujen lisäämistä on kahta tyyppiä:

1. Murtolukujen lisääminen samoilla nimittäjillä
2. Murtolukujen lisääminen eri nimittäjillä

Aloitetaan lisäämällä murtoluvut samoilla nimittäjillä. Täällä kaikki on yksinkertaista. Jos haluat lisätä murtolukuja, joilla on sama nimittäjä, sinun on lisättävä niiden osoittajat ja jätettävä nimittäjä ennalleen. Lisätään esimerkiksi murtoluvut ja . Lisäämme osoittajat ja jätämme nimittäjän ennalleen:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos ajattelemme pizzaa, joka on jaettu neljään osaan. Jos lisäät pizzan pizzaan, saat pizzan:

Esimerkki 2 Lisää murtoluvut ja .

Vastaus on väärä murto-osa. Jos tehtävän loppu tulee, on tapana päästä eroon vääristä murtoluvuista. Päästäksesi eroon väärästä murto-osasta, sinun on valittava koko osa siitä. Meidän tapauksessamme kokonaislukuosa jaetaan helposti - kaksi jaettuna kahdella on yhtä suuri kuin yksi:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos ajattelemme pizzaa, joka on jaettu kahteen osaan. Jos lisäät pizzaan lisää pizzoja, saat yhden kokonaisen pizzan:

Esimerkki 3. Lisää murtoluvut ja .

Lisää jälleen osoittajat ja jätä nimittäjä ennalleen:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos ajattelemme pizzaa, joka on jaettu kolmeen osaan. Jos lisäät pizzaan lisää pizzoja, saat pizzat:

Esimerkki 4 Etsi lausekkeen arvo

Tämä esimerkki on ratkaistu täsmälleen samalla tavalla kuin edelliset. Osoittajat on lisättävä ja nimittäjä jätettävä ennalleen:

Yritetään kuvata ratkaisumme kuvan avulla. Jos lisäät pizzat pizzaan ja lisäät pizzoja, saat 1 kokonaisen pizzan ja lisää pizzoja.

Kuten näet, murtolukujen lisääminen samoilla nimittäjillä ei ole vaikeaa. Riittää, kun ymmärrät seuraavat säännöt:

1. Jos haluat lisätä murto-osia, joilla on sama nimittäjä, sinun on lisättävä niiden osoittajat ja jätettävä nimittäjä ennalleen.

Murtolukujen lisääminen eri nimittäjillä

Nyt opimme lisäämään murtolukuja eri nimittäjillä. Murtolukuja lisättäessä näiden murtolukujen nimittäjien on oltava samat. Mutta ne eivät aina ole samoja.

Esimerkiksi murto-osia voidaan lisätä, koska niillä on samat nimittäjät.

Mutta murtolukuja ei voi lisätä kerralla, koska näillä murtoluvuilla on erilaiset nimittäjät. Tällaisissa tapauksissa murtoluvut on vähennettävä samaan (yhteiseen) nimittäjään.

On olemassa useita tapoja vähentää murtolukuja samaan nimittäjään. Tänään tarkastelemme vain yhtä niistä, koska muut menetelmät voivat tuntua monimutkaisilta aloittelijalle.

Tämän menetelmän ydin on siinä, että molempien murtolukujen nimittäjistä etsitään ensimmäinen (LCM). Sitten LCM jaetaan ensimmäisen murto-osan nimittäjällä ja saadaan ensimmäinen lisäkerroin. He tekevät saman toisen murto-osan kanssa - LCM jaetaan toisen murto-osan nimittäjällä ja saadaan toinen lisäkerroin.

Sitten murtolukujen osoittajat ja nimittäjät kerrotaan niiden lisätekijöillä. Näiden toimien seurauksena murtoluvut, joilla oli eri nimittäjä, muuttuvat murtoluvuiksi, joilla on sama nimittäjä. Ja me tiedämme jo kuinka lisätä tällaisia ​​murtolukuja.

Esimerkki 1. Lisää jakeet ja

Ensinnäkin löydämme molempien murtolukujen nimittäjien pienimmän yhteisen kerrannaisen. Ensimmäisen murtoluvun nimittäjä on luku 3 ja toisen murtoluvun nimittäjä on luku 2. Näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen on 6

LCM (2 ja 3) = 6

Nyt takaisin murtolukuihin ja . Ensin jaamme LCM:n ensimmäisen murtoluvun nimittäjällä ja saamme ensimmäisen lisätekijän. LCM on luku 6 ja ensimmäisen murto-osan nimittäjä on luku 3. Jaa 6 kolmella, saadaan 2.

Tuloksena oleva luku 2 on ensimmäinen lisätekijä. Kirjoitamme sen ensimmäiseen murto-osaan. Tätä varten teemme murto-osan yläpuolelle pienen vinon viivan ja kirjoitamme sen yläpuolelle löydetyn lisätekijän:

Teemme saman toisen jakeen kanssa. Jaamme LCM:n toisen murto-osan nimittäjällä ja saamme toisen lisätekijän. LCM on luku 6 ja toisen murto-osan nimittäjä on luku 2. Jaa 6 kahdella, saadaan 3.

Tuloksena oleva luku 3 on toinen lisätekijä. Kirjoitamme sen toiseen murto-osaan. Teemme jälleen pienen vinon viivan toisen murto-osan yläpuolelle ja kirjoitamme löydetyn lisätekijän sen yläpuolelle:

Nyt olemme valmiita lisäämään. On vielä kerrottava murtolukujen osoittajat ja nimittäjät niiden lisäkertoimilla:

Katsokaa tarkasti, mihin olemme tulleet. Tulimme siihen tulokseen, että murtoluvut, joilla oli eri nimittäjät, muuttuivat murtoluvuiksi, joilla oli sama nimittäjä. Ja me tiedämme jo kuinka lisätä tällaisia ​​murtolukuja. Täydennetään tämä esimerkki loppuun:

Näin esimerkki päättyy. Lisääminen käy ilmi.

Yritetään kuvata ratkaisumme kuvan avulla. Jos lisäät pizzat pizzaan, saat yhden kokonaisen pizzan ja toisen kuudesosan pizzasta:

Murtolukujen pelkistys samaan (yhteiseen) nimittäjään voidaan kuvata myös kuvan avulla. Tuomalla murtoluvut ja yhteiseen nimittäjään, saamme murtoluvut ja . Näitä kahta fraktiota edustavat samat pizzaviipaleet. Ainoa ero on, että tällä kertaa ne jaetaan yhtä suuriin osuuksiin (samaan nimittäjään vähennettynä).

Ensimmäinen piirros esittää murto-osaa (neljä kappaletta kuudesta) ja toisessa kuvassa murto-osa (kolme kappaletta kuudesta). Laittamalla nämä palaset yhteen saadaan (seitsemän kuudesta kappaletta). Tämä murtoluku on virheellinen, joten olemme korostaneet siinä kokonaislukuosan. Tuloksena oli (yksi koko pizza ja toinen kuudes pizza).

Huomaa, että olemme maalanneet tämän esimerkin liian yksityiskohtaisesti. Oppilaitoksissa ei ole tapana kirjoittaa niin yksityiskohtaisesti. Sinun on pystyttävä nopeasti löytämään molempien nimittäjien ja niiden lisätekijöiden LCM sekä kertomaan nopeasti osoittajien ja nimittäjien löytämät lisätekijät. Koulussa ollessamme meidän pitäisi kirjoittaa tämä esimerkki seuraavasti:

Mutta kolikolla on myös toinen puoli. Jos yksityiskohtaisia ​​muistiinpanoja ei tehdä matematiikan opiskelun ensimmäisissä vaiheissa, niin kysymyksiä "Mistä tuo luku tulee?", "Miksi murtoluvut muuttuvat yhtäkkiä täysin erilaisiksi murtoluvuiksi? «.

Voit helpottaa eri nimittäjien murtolukujen lisäämistä seuraavien vaiheittaisten ohjeiden avulla:

1. Etsi murto-osien nimittäjien LCM;
2. Jaa LCM kunkin murto-osan nimittäjällä ja hanki jokaiselle murtoluvulle lisäkerroin;
3. Kerro murtolukujen osoittajat ja nimittäjät niiden lisäkertoimilla;
4. Lisää murtoluvut, joilla on samat nimittäjät;
5. Jos vastaus osoittautui vääräksi murtoluvuksi, valitse sen koko osa;

Esimerkki 2 Etsi lausekkeen arvo .

Käytetään yllä olevia ohjeita.

Vaihe 1. Etsi murto-osien nimittäjien LCM

Etsi molempien murtolukujen nimittäjien LCM. Murtolukujen nimittäjät ovat luvut 2, 3 ja 4

Vaihe 2. Jaa LCM kunkin murto-osan nimittäjällä ja hanki jokaiselle murtoluvulle lisäkerroin

Jaa LCM ensimmäisen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 12 ja ensimmäisen murtoluvun nimittäjä on luku 2. Jaa 12 kahdella, saamme 6. Saimme ensimmäisen lisäkertoimen 6. Kirjoitetaan se ensimmäisen murtoluvun päälle:

Nyt jaamme LCM:n toisen murto-osan nimittäjällä. LCM on luku 12 ja toisen murto-osan nimittäjä on luku 3. Jaamme 12 3:lla, saamme 4. Saimme toisen lisäkertoimen 4. Kirjoitetaan se toisen murtoluvun päälle:

Nyt jaamme LCM:n kolmannen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 12 ja kolmannen murtoluvun nimittäjä on luku 4. Jaa 12 4:llä, saamme 3. Saimme kolmannen lisäkertoimen 3. Kirjoitetaan se kolmannen murtoluvun päälle:

Vaihe 3. Kerro murtolukujen osoittajat ja nimittäjät lisätekijöilläsi

Kerromme osoittajat ja nimittäjät lisätekijöillämme:

Vaihe 4. Lisää murtoluvut, joilla on samat nimittäjät

Tulimme siihen tulokseen, että murtoluvut, joilla oli eri nimittäjät, muuttuivat murtoluvuiksi, joilla on samat (yhteiset) nimittäjät. On vielä lisättävä nämä jakeet. Lisää yhteen:

Lisäys ei mahtunut yhdelle riville, joten siirsimme jäljellä olevan lausekkeen seuraavalle riville. Tämä on sallittua matematiikassa. Kun lauseke ei mahdu yhdelle riville, se siirretään seuraavalle riville ja ensimmäisen rivin loppuun ja uuden rivin alkuun on laitettava yhtäläisyysmerkki (=). Toisella rivillä oleva yhtäläisyysmerkki osoittaa, että tämä on jatkoa ensimmäisellä rivillä olevalle lausekkeelle.

Vaihe 5. Jos vastaus osoittautui vääräksi murtoluvuksi, valitse koko osa siitä

Vastauksemme on väärä murto-osa. Meidän on erotettava siitä koko osa. Korostamme:

Sain vastauksen

Samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen

Murtolukuvähennystä on kahta tyyppiä:

1. Samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen
2. Eri nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen

Ensin opitaan vähentämään murtolukuja samoilla nimittäjillä. Täällä kaikki on yksinkertaista. Jos haluat vähentää yhdestä murtoluvusta toisen, sinun on vähennettävä toisen murtoluvun osoittaja ensimmäisen murtoluvun osoittajasta ja jätettävä nimittäjä ennalleen.

Etsitään esimerkiksi lausekkeen arvo. Tämän esimerkin ratkaisemiseksi on tarpeen vähentää toisen murto-osan osoittaja ensimmäisen murto-osan osoittajasta ja jättää nimittäjä ennalleen. Tehdään tämä:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos ajattelemme pizzaa, joka on jaettu neljään osaan. Jos leikkaat pizzat pizzasta, saat pizzat:

Esimerkki 2 Etsi lausekkeen arvo.

Jälleen, vähennä ensimmäisen murto-osan osoittajasta toisen murto-osan osoittaja ja jätä nimittäjä ennalleen:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos ajattelemme pizzaa, joka on jaettu kolmeen osaan. Jos leikkaat pizzat pizzasta, saat pizzat:

Esimerkki 3 Etsi lausekkeen arvo

Tämä esimerkki on ratkaistu täsmälleen samalla tavalla kuin edelliset. Ensimmäisen murtoluvun osoittajasta sinun on vähennettävä jäljellä olevien murtolukujen osoittajat:

Kuten näette, samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen vähentämisessä ei ole mitään monimutkaista. Riittää, kun ymmärrät seuraavat säännöt:

1. Jos haluat vähentää yhdestä murtoluvusta toisen, sinun on vähennettävä toisen murtoluvun osoittaja ensimmäisen murtoluvun osoittajasta ja jätettävä nimittäjä ennalleen;
2. Jos vastaus osoittautui vääräksi murto-osaksi, sinun on valittava koko osa siitä.

Eri nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen

Esimerkiksi murto-osa voidaan vähentää murtoluvusta, koska näillä murtoluvuilla on samat nimittäjät. Mutta murto-osaa ei voida vähentää murtoluvusta, koska näillä murtoluvuilla on erilaiset nimittäjät. Tällaisissa tapauksissa murtoluvut on vähennettävä samaan (yhteiseen) nimittäjään.

Yhteinen nimittäjä löytyy saman periaatteen mukaan, jota käytimme eri nimittäjillä olevia murtolukuja laskettaessa. Ensinnäkin, etsi molempien murtolukujen nimittäjien LCM. Sitten LCM jaetaan ensimmäisen murto-osan nimittäjällä ja saadaan ensimmäinen lisäkerroin, joka kirjoitetaan ensimmäisen murto-osan päälle. Vastaavasti LCM jaetaan toisen murto-osan nimittäjällä ja saadaan toinen lisäkerroin, joka kirjoitetaan toisen murto-osan päälle.

Murtoluvut kerrotaan sitten niiden lisätekijöillä. Näiden operaatioiden seurauksena murtoluvut, joilla oli eri nimittäjä, muuttuvat murtoluvuiksi, joilla on sama nimittäjä. Ja me tiedämme jo kuinka vähentää tällaisia ​​murtolukuja.

Esimerkki 1 Etsi lausekkeen arvo:

Näillä murtoluvuilla on eri nimittäjät, joten sinun on saatettava ne samaan (yhteiseen) nimittäjään.

Ensin löydetään molempien murtolukujen nimittäjien LCM. Ensimmäisen murtoluvun nimittäjä on luku 3 ja toisen murtoluvun nimittäjä on luku 4. Näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen on 12

LCM (3 ja 4) = 12

Nyt takaisin murtolukuihin ja

Etsitään lisäkerroin ensimmäiselle murtoluvulle. Tätä varten jaamme LCM:n ensimmäisen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 12 ja ensimmäisen murtoluvun nimittäjä on luku 3. Jaa 12 kolmella, saamme 4. Kirjoitamme neljän ensimmäisen murtoluvun päälle:

Teemme saman toisen jakeen kanssa. Jaamme LCM:n toisen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 12, ja toisen murto-osan nimittäjä on luku 4. Jaa 12 4:llä, saadaan 3. Kirjoita kolmio toisen murtoluvun päälle:

Nyt olemme kaikki valmiita vähentämään. On vielä kerrottava murtoluvut niiden lisätekijöillä:

Tulimme siihen tulokseen, että murtoluvut, joilla oli eri nimittäjät, muuttuivat murtoluvuiksi, joilla oli sama nimittäjä. Ja me tiedämme jo kuinka vähentää tällaisia ​​murtolukuja. Täydennetään tämä esimerkki loppuun:

Sain vastauksen

Yritetään kuvata ratkaisumme kuvan avulla. Jos leikkaat pizzat pizzasta, saat pizzat.

Tämä on ratkaisun yksityiskohtainen versio. Koulussa meidän täytyisi ratkaista tämä esimerkki lyhyemmällä tavalla. Tällainen ratkaisu näyttäisi tältä:

Murtolukujen vähentäminen ja yhteiseksi nimittäjäksi voidaan kuvata myös kuvan avulla. Tuomalla nämä murtoluvut yhteiseen nimittäjään, saamme murtoluvut ja . Näitä murto-osia edustavat samat pizzaviipaleet, mutta tällä kertaa ne jaetaan samoihin jakeisiin (pienennettynä samaan nimittäjään):

Ensimmäinen piirros näyttää murto-osan (kahdeksan kappaletta kahdestatoista) ja toisessa kuvassa murto-osaa (kolme kappaletta kahdestatoista). Leikkaamalla kolme kappaletta kahdeksasta kappaleesta saadaan viisi kappaletta kahdestatoista. Murtoluku kuvaa näitä viittä kappaletta.

Esimerkki 2 Etsi lausekkeen arvo

Näillä murtoluvuilla on eri nimittäjät, joten sinun on ensin saatava ne samaan (yhteiseen) nimittäjään.

Etsi näiden murtolukujen nimittäjien LCM.

Murtolukujen nimittäjät ovat luvut 10, 3 ja 5. Näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen on 30

LCM(10; 3; 5) = 30

Nyt löydämme lisätekijöitä jokaiselle murtoluvulle. Tätä varten jaamme LCM:n kunkin murtoluvun nimittäjällä.

Etsitään lisäkerroin ensimmäiselle murtoluvulle. LCM on luku 30 ja ensimmäisen murtoluvun nimittäjä on luku 10. Jaa 30 10:llä, saadaan ensimmäinen lisäkerroin 3. Kirjoitetaan se ensimmäisen murtoluvun päälle:

Nyt löydämme lisätekijän toiselle murtoluvulle. Jaa LCM toisen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 30 ja toisen murto-osan nimittäjä on luku 3. Jaa 30 kolmella, saadaan toinen lisäkerroin 10. Kirjoitetaan se toisen murtoluvun päälle:

Nyt löydämme lisätekijän kolmannelle murtoluvulle. Jaa LCM kolmannen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 30 ja kolmannen murtoluvun nimittäjä on luku 5. Jaa 30 5:llä, saadaan kolmas lisäkerroin 6. Kirjoitetaan se kolmannen murtoluvun päälle:

Nyt kaikki on valmis vähennettäväksi. On vielä kerrottava murtoluvut niiden lisätekijöillä:

Tulimme siihen tulokseen, että murtoluvut, joilla oli eri nimittäjät, muuttuivat murtoluvuiksi, joilla on samat (yhteiset) nimittäjät. Ja me tiedämme jo kuinka vähentää tällaisia ​​murtolukuja. Lopetetaan tämä esimerkki.

Esimerkin jatko ei mahdu yhdelle riville, joten siirrämme jatkon seuraavalle riville. Älä unohda yhtäläisyysmerkkiä (=) uudella rivillä:

Vastaus osoittautui oikeaksi murto-osaksi, ja kaikki näyttää sopivan meille, mutta se on liian raskasta ja rumaa. Meidän pitäisi tehdä siitä helpompaa. Mitä voidaan tehdä? Voit pienentää tätä osuutta.

Murtoluvun pienentämiseksi sinun on jaettava sen osoittaja ja nimittäjä (gcd) luvuilla 20 ja 30.

Joten löydämme numeroiden 20 ja 30 GCD: n:

Nyt palataan esimerkkiimme ja jaetaan murtoluvun osoittaja ja nimittäjä löydetyllä GCD:llä, eli 10:llä

Sain vastauksen

Murtoluvun kertominen luvulla

Jos haluat kertoa murto-osan luvulla, sinun on kerrottava annetun murto-osan osoittaja tällä luvulla ja jätettävä nimittäjä ennalleen.

Esimerkki 1. Kerro murto luvulla 1.

Kerro murtoluvun osoittaja luvulla 1

Ilmoittautumisen voidaan ymmärtää kestävän puoli 1 kertaa. Esimerkiksi jos otat pizzan kerran, saat pizzan

Kertolaskujen laeista tiedämme, että jos kertoja ja kertoja vaihdetaan keskenään, tulo ei muutu. Jos lauseke kirjoitetaan muodossa , tulo on silti yhtä suuri kuin . Jälleen sääntö kokonaisluvun ja murtoluvun kertomisesta toimii:

Tämän merkinnän voidaan ymmärtää vievän puolet yksiköstä. Esimerkiksi jos on 1 kokonainen pizza ja otamme siitä puolet, niin meillä on pizza:

Esimerkki 2. Etsi lausekkeen arvo

Kerro murtoluvun osoittaja 4:llä

Vastaus on väärä murto-osa. Otetaan siitä kokonainen osa:

Lauseke voidaan ymmärtää ottavan kaksi neljäsosaa 4 kertaa. Jos esimerkiksi otat pizzat 4 kertaa, saat kaksi kokonaista pizzaa.

Ja jos vaihdamme kertojan ja kertoimen paikoin, saamme lausekkeen. Se on myös yhtä suuri kuin 2. Tämä lauseke voidaan ymmärtää ottamalla kaksi pizzaa neljästä kokonaisesta pizzasta:

Murtolukujen kertolasku

Jos haluat kertoa murtoluvut, sinun on kerrottava niiden osoittajat ja nimittäjät. Jos vastaus on väärä murto-osa, sinun on valittava siitä koko osa.

Esimerkki 1 Etsi lausekkeen arvo.

Sain vastauksen. Tätä osuutta on toivottavaa pienentää. Fraktiota voidaan pienentää 2:lla. Sitten lopullinen liuos on seuraavanlainen:

Ilmaus voidaan ymmärtää niin, että pizza otetaan puolikkaasta pizzasta. Oletetaan, että meillä on puoli pizzaa:

Kuinka ottaa kaksi kolmasosaa tästä puolikkaasta? Ensin sinun on jaettava tämä puolikas kolmeen yhtä suureen osaan:

Ja ota kaksi näistä kolmesta kappaleesta:

Haetaan pizzaa. Muista miltä pizza näyttää jaettuna kolmeen osaan:

Yhdellä siivulla tästä pizzasta ja kahdella ottamistamme viipaleella on samat mitat:

Toisin sanoen, me puhumme suunnilleen samankokoinen pizza. Siksi lausekkeen arvo on

Esimerkki 2. Etsi lausekkeen arvo

Kerro ensimmäisen murto-osan osoittaja toisen murto-osan osoittajalla ja ensimmäisen murto-osan nimittäjä toisen murto-osan nimittäjällä:

Vastaus on väärä murto-osa. Otetaan siitä kokonainen osa:

Esimerkki 3 Etsi lausekkeen arvo

Kerro ensimmäisen murto-osan osoittaja toisen murto-osan osoittajalla ja ensimmäisen murto-osan nimittäjä toisen murto-osan nimittäjällä:

Vastaus osoittautui oikeaksi murto-osaksi, mutta on hyvä, jos sitä pienennetään. Tämän murtoluvun pienentämiseksi sinun on jaettava tämän murtoluvun osoittaja ja nimittäjä lukujen 105 ja 450 suurimmalla yhteisellä jakajalla (GCD).

Joten etsitään numeroiden 105 ja 450 GCD:

Nyt jaamme nyt löytämämme GCD:n vastauksemme osoittajan ja nimittäjän, eli 15:llä

Esittää kokonaisluvun murtolukuna

Mikä tahansa kokonaisluku voidaan esittää murtolukuna. Esimerkiksi numero 5 voidaan esittää muodossa . Tästä viisi ei muuta sen merkitystä, koska ilmaus tarkoittaa "lukua viisi jaettuna yhdellä", ja tämä, kuten tiedätte, on yhtä suuri kuin viisi:

Käänteiset numerot

Nyt tutustumme erittäin mielenkiintoiseen matematiikan aiheeseen. Sitä kutsutaan "käänteisiksi numeroiksi".

Määritelmä. Käänteinen numeroona on luku, joka kerrottunaa antaa yksikön.

Korvataan tämä määritelmä muuttujan sijaan a numero 5 ja yritä lukea määritelmä:

Käänteinen numeroon 5 on luku, joka kerrottuna 5 antaa yksikön.

Onko mahdollista löytää luku, joka kerrottuna viidellä antaa yhden? Osoittautuu, että voit. Esitetään viisi murtolukuna:

Kerro sitten tämä murto-osa itsellään, vaihda vain osoittaja ja nimittäjä. Toisin sanoen kerrotaan murto-osa itsellään, vain käänteisesti:

Mitä tästä tulee? Jos jatkamme tämän esimerkin ratkaisemista, saamme yhden:

Tämä tarkoittaa, että luvun 5 käänteisarvo on luku, koska kun 5 kerrotaan yhdellä, saadaan yksi.

Käänteisluku voidaan löytää myös mille tahansa muulle kokonaisluvulle.

Voit myös löytää käänteisluvun mille tahansa muulle murtoluvulle. Tätä varten riittää sen kääntäminen.

Murtoluvun jako luvulla

Oletetaan, että meillä on puoli pizzaa:

Jaetaan se tasan kahdelle. Kuinka monta pizzaa kukin saa?

Voidaan nähdä, että puolikkaan pizzan jakamisen jälkeen saatiin kaksi samansuuruista palaa, joista jokainen muodostaa pizzan. Joten kaikki saavat pizzan.

Jakeet jaetaan käänteislukuja käyttämällä. Käänteisarvojen avulla voit korvata jaon kertolaskulla.

Jos haluat jakaa murtoluvun luvulla, sinun on kerrottava tämä murto-osa jakajan käänteisluvulla.

Tämän säännön avulla kirjoitamme ylös pizzapuolikkaamme jakautumisen kahteen osaan.

Joten sinun on jaettava murto-osa luvulla 2. Tässä osinko on murto-osa ja jakaja on 2.

Jos haluat jakaa murtoluvun luvulla 2, sinun on kerrottava tämä murtoluku jakajan 2 käänteisluvulla. Jakajan 2 käänteisluku on murtoluku. Joten sinun täytyy kertoa

Tämä artikkeli on yleinen katsaus operaatioihin murtolukujen kanssa. Tässä muotoillaan ja perustellaan yhteen-, vähennys-, kerto-, jakolasku- ja korotussäännöt yleisen muodon A/B murtolukujen potenssiin, jossa A ja B ovat joitain lukuja, numeerisia lausekkeita tai muuttujia sisältäviä lausekkeita. Kuten tavallista, toimitamme materiaaliin selittäviä esimerkkejä ja yksityiskohtaisia ​​kuvauksia ratkaisuista.

Sivulla navigointi.

Säännöt operaatioiden suorittamisesta yleisen muodon numeerisilla murtoluvuilla

Sovitaan, että yleiset numeeriset murtoluvut ovat murtolukuja, joissa osoittaja ja/tai nimittäjä voidaan esittää luonnollisten lukujen lisäksi myös muilla luvuilla tai numeerisilla lausekkeilla. Selvyyden vuoksi tässä on muutamia esimerkkejä tällaisista fraktioista: .

Tiedämme säännöt, joiden mukaan. Samoilla säännöillä voit suorittaa toimintoja yleisen muodon murto-osilla:

Sääntöjen perustelut

Yleisten numeeristen murtolukujen suorittamista koskevien sääntöjen pätevyyden perustelemiseksi voidaan aloittaa seuraavista kohdista:

• murtopalkki on pohjimmiltaan jakomerkki,
• jakamista jollain nollasta poikkeavalla luvulla voidaan pitää kertojana jakajan käänteisluvulla (tämä selittää välittömästi murtolukujen jakamissäännön),
• reaalilukujen toimintojen ominaisuuksia,
• ja sen yleinen käsitys,

Niiden avulla voit suorittaa seuraavat muunnokset, jotka oikeuttavat samalla ja eri nimittäjillä olevien murtolukujen yhteenlasku- ja vähennyssäännöt sekä murto-osien kertomissäännön:

Esimerkkejä

Annetaan esimerkkejä toiminnon suorittamisesta yleisen muodon murtoluvuilla edellisessä kappaleessa opittujen sääntöjen mukaisesti. Sanotaan heti, että yleensä murto-osien toimintojen suorittamisen jälkeen tuloksena oleva murto-osa vaatii yksinkertaistamista, ja murto-osan yksinkertaistaminen on usein monimutkaisempaa kuin edellisten toimien suorittaminen. Emme viivy murtolukujen yksinkertaistamisessa (vastaavia muunnoksia käsitellään artikkelissa Murtolukujen muuntaminen), jotta emme häiritsisi meitä kiinnostavasta aiheesta.

Aloitetaan esimerkeillä samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen lisäämisestä ja vähentämisestä. Aloitetaan lisäämällä murtoluvut ja . Ilmeisesti nimittäjät ovat samat. Vastaavan säännön mukaan kirjoitetaan murtoluku, jonka osoittaja on yhtä suuri kuin alkuperäisten murtolukujen osoittajien summa, ja nimittäjä jätetään ennalleen, meillä on . Lisäys on tehty, jää jäljelle tuloksena olevan murto-osan yksinkertaistaminen: . Niin, .

Päätös oli mahdollista tehdä eri tavalla: ensin siirtyminen tavallisiin jakeisiin ja sitten lisäys. Tällä lähestymistavalla meillä on .

Vähennä nyt murtoluvusta murto-osa . Murtolukujen nimittäjät ovat yhtä suuret, joten toimimme samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen vähentämissäännön mukaisesti:

Siirrytään esimerkkeihin eri nimittäjien murtolukujen yhteen- ja vähentämisestä. Tässä suurin vaikeus on saada murtoluvut yhteiselle nimittäjälle. Yleisen muodon murto-osien osalta tämä on melko laaja aihe, analysoimme sitä yksityiskohtaisesti erillisessä artikkelissa. murto-osien vähentäminen yhteiseksi nimittäjäksi. Toistaiseksi rajoitamme muutamaan yleiseen suositukseen, koska tällä hetkellä olemme enemmän kiinnostuneita murtolukujen suorittamisen tekniikasta.

Yleensä prosessi on samanlainen kuin pelkistys tavallisten murtolukujen yhteiseksi nimittäjäksi. Toisin sanoen nimittäjät esitetään tuloina, sitten otetaan kaikki ensimmäisen murto-osan nimittäjän tekijät ja niihin lisätään toisen murto-osan nimittäjästä puuttuvat tekijät.

Kun lisättyjen tai vähennettyjen murtolukujen nimittäjillä ei ole yhteisiä tekijöitä, on loogista ottaa niiden tulo yhteiseksi nimittäjäksi. Otetaan esimerkki.

Oletetaan, että meidän täytyy lisätä murtoluvut ja 1/2. Tässä yhteisenä nimittäjänä on loogista ottaa alkuperäisten murtolukujen nimittäjien tulo, eli . Tässä tapauksessa ensimmäisen murto-osan lisäkerroin on 2 . Kun osoittaja ja nimittäjä on kerrottu sillä, murto-osa saa muotoa . Ja toiselle murtoluvulle lisätekijä on lauseke. Sen avulla murto-osa 1/2 pelkistetään muotoon. On vielä lisättävä saadut jakeet samoilla nimittäjillä. Tässä on yhteenveto koko ratkaisusta:

Yleisen muodon murto-osien tapauksessa emme enää puhu pienimmästä yhteisestä nimittäjästä, johon tavalliset murtoluvut yleensä pelkistetään. Vaikka tässä asiassa on silti toivottavaa pyrkiä minimalismiin. Tällä haluamme sanoa, että alkuperäisten murtolukujen nimittäjien tuloa ei tarvitse heti ottaa yhteiseksi nimittäjäksi. Esimerkiksi murtolukujen ja tulon yhteistä nimittäjää ei ole ollenkaan tarpeen ottaa . Tässä yhteisenä nimittäjänä voimme ottaa .

Siirrymme esimerkkeihin yleisen muodon murtolukujen kertomisesta. Kerro murtoluvut ja . Tämän toiminnon suorittamissääntö käskee meitä kirjoittamaan murto-osan, jonka osoittaja on alkuperäisten murtolukujen osoittajien tulo ja nimittäjä nimittäjien tulo. Meillä on . Tässä, kuten monissa muissakin tapauksissa, kun kerrot murtoluvut, voit pienentää murtolukua: .

Murtolukujen jakosäännön avulla voit siirtyä jaosta käänteisluvulla kertomiseen. Tässä sinun on muistettava, että saadaksesi murto-luvun käänteisluvun, sinun on vaihdettava tämän murtoluvun osoittaja ja nimittäjä. Tässä on esimerkki siirtymisestä yleisten murtolukujen jakamisesta kertolaskuun: . On vielä suoritettava kertolasku ja yksinkertaistettava tuloksena oleva murto-osa (katso tarvittaessa irrationaalisten lausekkeiden muunnos):

Tämän kappaleen tiedot lopuksi muistutamme, että mikä tahansa luku tai numeerinen lauseke voidaan esittää murtolukuna, jonka nimittäjä on 1, joten luvun ja murtoluvun yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku voidaan katsoa suorittavan vastaavan toiminnon murto-osia, joista yhdellä on yksikkö nimittäjässä . Esimerkiksi korvaamalla lausekkeessa kolmen murtoluvun juuria, siirrymme kertomalla murto luvulla kahden murtoluvun kertomiseen: .

Operaatioiden suorittaminen muuttujia sisältävillä murtoluvuilla

Tämän artikkelin ensimmäisen osan säännöt koskevat myös operaatioita, joissa on muuttujia sisältäviä murtolukuja. Perustelkaamme ensimmäinen niistä - samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen yhteen- ja vähennyssääntö, loput todistetaan täsmälleen samalla tavalla.

Osoitetaan, että kaikilla lausekkeilla A , C ja D (D on identtisesti eri kuin nolla) meillä on yhtäläisyys sen hyväksyttävien muuttujien arvojen alueella.

Otetaan muutamia muuttujia ODZ:stä. Olkoon lausekkeet A , C ja D arvot a 0 , c 0 ja d 0 näille muuttujien arvoille. Sitten valitun joukon muuttujien arvojen korvaaminen lausekkeella muuttaa sen numeeristen murtolukujen summaksi (erotukseksi) muodon samoilla nimittäjillä, jotka numeeristen murtolukujen yhteenlasku- (vähennys-) säännön mukaan samat nimittäjät, on yhtä suuri kuin . Mutta muuttujien arvojen korvaaminen valitusta joukosta lausekkeeksi muuttaa sen samaksi murtoluvuksi. Tämä tarkoittaa, että ODZ:stä valitulle muuttujaarvojoukolle lausekkeiden arvot ja ovat yhtä suuret. On selvää, että ilmoitettujen lausekkeiden arvot ovat yhtä suuret kaikille muille ODZ:n muuttujien arvoille, mikä tarkoittaa, että lausekkeet ja ovat identtiset, eli todistettava yhtäläisyys on totta. .

Esimerkkejä murtolukujen yhteen- ja vähentämisestä muuttujien kanssa

Kun lisättävien tai vähennettyjen murtolukujen nimittäjät ovat samat, kaikki on melko yksinkertaista - osoittajat lisätään tai vähennetään, ja nimittäjä pysyy samana. On selvää, että tämän jälkeen saatua murto-osaa yksinkertaistetaan tarvittaessa ja mahdollista.

Huomaa, että joskus murtolukujen nimittäjät eroavat vain ensi silmäyksellä, mutta todellisuudessa ne ovat identtisiä yhtäläisiä lausekkeita, kuten esim. ja , tai ja . Ja joskus riittää yksinkertaistaa alkuperäisiä murtolukuja niin, että niiden identtiset nimittäjät "näkyvät".

Esimerkki.

, b) , sisään) .

Ratkaisu.

a) Meidän on vähennettävä murtoluvut, joilla on sama nimittäjä. Vastaavan säännön mukaan jätämme nimittäjän ennalleen ja vähennämme osoittajat, meillä on . Toimenpide tehty. Mutta voit silti avata hakasulkeet osoittajassa ja tuoda samankaltaisia ​​termejä: .

b) Ilmeisesti lisättyjen murtolukujen nimittäjät ovat samat. Siksi lisäämme osoittajat ja jätämme nimittäjän ennalleen: . Lisäys valmis. Mutta on helppo nähdä, että tuloksena olevaa fraktiota voidaan pienentää. Itse asiassa tuloksena olevan murtoluvun osoittajaa voidaan pienentää summan neliöllä (lgx + 2) 2 (katso lyhennetyt kertolaskukaavat), joten seuraavat muunnokset tapahtuvat: .

c) Murtoluvut summassa on eri nimittäjiä. Mutta muuntamalla yhden murtoluvuista voit lisätä murtolukuja, joilla on sama nimittäjä. Näytämme kaksi ratkaisua.

Ensimmäinen tapa. Ensimmäisen murto-osan nimittäjä voidaan laskea neliöiden erotuskaavalla ja pienentää sitten tätä murto-osaa: . Tällä tavalla, . Ei haittaa päästä eroon irrationaalisuudesta murto-osan nimittäjässä: .

Toinen tapa. Kertomalla toisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä (tämä lauseke ei katoa muuttujan x arvoille alkuperäisen lausekkeen DPV:stä) mahdollistaa kahden tavoitteen saavuttamisen kerralla: päästä eroon irrationaalisuudesta ja siirtyä lisäämään. murtoluvut, joilla on sama nimittäjä. Meillä on

Vastaus:

a) , b) , sisään) .

Viimeinen esimerkki toi meidät kysymykseen murtolukujen saamisesta yhteiseen nimittäjään. Siellä pääsimme melkein vahingossa samoihin nimittäjiin yksinkertaistamalla yhtä lisätyistä murtoluvuista. Mutta useimmiten eri nimittäjillä olevia murto-osia laskettaessa yhteen ja vähennettäessä murtoluvut on tarkoituksellisesti saatettava yhteiseen nimittäjään. Tätä varten murto-osien nimittäjät esitetään yleensä tuloina, kaikki tekijät otetaan ensimmäisen murto-osan nimittäjästä ja niihin lisätään toisen murto-osan nimittäjästä puuttuvat tekijät.

Esimerkki.

Suorita toiminnot murtoluvuilla: a) , b) , c) .

Ratkaisu.

a) Murtolukujen nimittäjille ei tarvitse tehdä mitään. Yhteisenä nimittäjänä otamme tuotteen . Tässä tapauksessa ensimmäisen murto-osan lisätekijä on lauseke ja toisen murto-osan lisätekijä - luku 3. Nämä lisätekijät tuovat murtoluvut yhteiseen nimittäjään, mikä antaa meille mahdollisuuden suorittaa tarvitsemamme toiminnot.

b) Tässä esimerkissä nimittäjät on jo esitetty tuloina, eikä muita muunnoksia tarvita. On selvää, että nimittäjien tekijät eroavat vain eksponenteissa, joten yhteiseksi nimittäjäksi otetaan niiden tekijöiden tulo, joilla on suurimmat eksponentit, eli . Tällöin ensimmäisen murtoluvun lisäkerroin on x 4 ja toisen - ln(x+1) . Nyt olemme valmiita vähentämään murtolukuja:

c) Ja tässä tapauksessa työskentelemme aluksi murtolukujen nimittäjien kanssa. Neliöiden eron ja summan neliön kaavat mahdollistavat siirtymisen alkuperäisestä summasta lausekkeeseen . Nyt on selvää, että nämä murtoluvut voidaan vähentää yhteiseksi nimittäjäksi . Tällä lähestymistavalla ratkaisu näyttää tältä:

Vastaus:

a)

b)

sisään)

Esimerkkejä murtolukujen kertomisesta muuttujilla

Murtoluvut kertomalla saadaan murtoluku, jonka osoittaja on alkuperäisten murtolukujen osoittajien tulo ja nimittäjä nimittäjien tulo. Täällä, kuten näet, kaikki on tuttua ja yksinkertaista, ja voimme vain lisätä, että tämän toiminnon tuloksena saatu murto-osa pienenee usein. Näissä tapauksissa sitä vähennetään, ellei se tietenkään ole välttämätöntä ja perusteltua.

Murto-osa- luvun esitysmuoto matematiikassa. Vinoviiva ilmaisee jakotoiminnon. osoittaja murtolukua kutsutaan osingoksi, ja nimittäjä-jakaja. Esimerkiksi murtoluvussa osoittaja on 5 ja nimittäjä 7.

Oikea Murtolukua kutsutaan, jos osoittajan moduuli on suurempi kuin nimittäjän moduuli. Jos murtoluku on oikea, niin sen arvon moduuli on aina pienempi kuin 1. Kaikki muut murtoluvut ovat väärä.

Murtolukua kutsutaan sekoitettu, jos se kirjoitetaan kokonaislukuna ja murtolukuna. Tämä on sama kuin tämän luvun ja murtoluvun summa:

Murtoluvun perusominaisuus

Jos murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kerrotaan samalla luvulla, murto-osan arvo ei muutu, eli esim.

Murtolukujen tuominen yhteiseen nimittäjään

Kahden murtoluvun saattamiseksi yhteiseen nimittäjään tarvitset:

1. Kerro ensimmäisen murtoluvun osoittaja toisen nimittäjällä
2. Kerro toisen murtoluvun osoittaja ensimmäisen nimittäjällä
3. Korvaa molempien murtolukujen nimittäjät niiden tulolla

Toiminnot murtoluvuilla

Lisäys. Kahden murto-osan lisäämiseksi tarvitset

1. Lisää molempiin murtolukuihin uudet osoittajat ja jätä nimittäjä ennalleen

Esimerkki:

Vähennyslasku. Jos haluat vähentää murto-osan toisesta,

1. Tuo murtoluvut yhteiseen nimittäjään
2. Vähennä toisen murtoluvun osoittaja ensimmäisen murtoluvun osoittajasta ja jätä nimittäjä ennalleen

Esimerkki:

Kertominen. Jos haluat kertoa yhden murtoluvun toisella, kerro niiden osoittajat ja nimittäjät:

Division. Jos haluat jakaa yhden murtoluvun toisella, kerro ensimmäisen murtoluvun osoittaja toisen nimittäjällä ja kerro ensimmäisen murtoluvun nimittäjä toisen osoittajalla: