Lagrange'i meetod suvaliste konstantide muutmiseks. Suvaliste konstantide muutmise meetod

Mittehomogeensete diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks kasutatakse suvaliste konstantide muutmise meetodit. See tund on mõeldud neile õpilastele, kes on teemaga juba enam-vähem kursis. Kui oled alles alustamas kaugjuhtimispuldiga tutvumist, s.t. Kui oled teekann, siis soovitan alustada esimesest õppetükist: Esimest järku diferentsiaalvõrrandid. Lahendusnäited. Ja kui olete juba lõpetamas, siis loobuge võimalikust eelarvamusest, et meetod on keeruline. Sest ta on lihtne.

Millistel juhtudel kasutatakse suvaliste konstantide muutmise meetodit?

1) Lahendamiseks saab kasutada suvalise konstandi muutmise meetodit lineaarne mittehomogeenne 1. järku DE. Kuna võrrand on esimest järku, siis on ka konstant (konstant) üks.

2) Mõne lahendamiseks kasutatakse suvaliste konstantide muutmise meetodit teist järku lineaarsed mittehomogeensed võrrandid. Siin varieeruvad kaks konstanti (konstanti).

On loogiline eeldada, et õppetund koosneb kahest lõigust .... Nii ma siis kirjutasin selle ettepaneku ja 10 minutit mõtlesin valusalt, et mida muud tarka jama lisada sujuv üleminek To praktilisi näiteid. Kuid millegipärast pole pärast pühi mõtteid, kuigi tundub, et ma ei kuritarvitanud midagi. Nii et hüppame kohe esimesse lõiku.

Suvalise konstantse variatsiooni meetod
lineaarse ebahomogeense esimest järku võrrandi jaoks

Enne suvalise konstandi muutmise meetodi kaalumist on soovitav artikliga tutvuda Esimest järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid. Selles tunnis me harjutasime esimene viis lahendada ebahomogeenne 1. järku DE. Tuletan teile meelde, et seda esimest lahendust nimetatakse asendusmeetod või Bernoulli meetod(mitte segi ajada Bernoulli võrrand!!!)

Nüüd kaalume teine ​​viis lahendada– suvalise konstandi muutmise meetod. Toon ainult kolm näidet ja võtan need ülaltoodud õppetunnist. Miks nii vähe? Sest tegelikult on teisel viisil lahendus väga sarnane esimesel viisil. Lisaks kasutatakse minu tähelepanekute kohaselt suvaliste konstantide muutmise meetodit harvemini kui asendusmeetodit.

Näide 1

(Erinevus õppetunni näitest nr 2 Lineaarne ebahomogeenne 1. järku DE)

Lahendus: See võrrand on lineaarselt ebahomogeenne ja sellel on tuttav vorm:

Esimene samm on lihtsama võrrandi lahendamine:
See tähendab, et me nullime rumalalt parem pool Selle asemel kirjutame nulli.
Võrrand ma helistan abivõrrand.

Selles näites peate lahendama järgmise abivõrrandi:

Enne meid eraldatav võrrand, mille lahendamine (ma loodan) pole teile enam keeruline:

Seega:
on abivõrrandi üldlahend.

Teisel sammul asendada mõne konstant veel tundmatu funktsioon, mis sõltub "x"-st:

Sellest ka meetodi nimi – me varieerime konstanti . Teise võimalusena võib konstant olla mõni funktsioon, mille peame nüüd leidma.

IN originaal ebahomogeenne võrrand Asendame:

Asendage ja võrrandisse :

kontrollmoment - kaks vasakpoolset terminit tühistavad. Kui seda ei juhtu, peaksite otsima ülaltoodud viga.

Asendamise tulemusena saadakse eraldatavate muutujatega võrrand. Eralda muutujad ja integreeri.

Õnn, et ka eksponendid vähenevad:

Lisame leitud funktsioonile "tavalise" konstandi:

Viimases etapis tuletame meelde oma asendust:

Funktsioon just leitud!

Seega on üldine lahendus:

Vastus:ühine otsus:

Kui printida kaks lahendust välja, märkad kergesti, et mõlemal juhul leidsime samad integraalid. Ainus erinevus on lahendusalgoritmis.

Nüüd midagi keerulisemat, kommenteerin ka teist näidet:

Näide 2

Leidke üldine lahendus diferentsiaalvõrrand
(Erinevus õppetunni näitest nr 8 Lineaarne ebahomogeenne 1. järku DE)

Lahendus: Toome võrrandi vormile :

Seadke parem külg nulliks ja lahendage abivõrrand:

Abivõrrandi üldlahend:

Mittehomogeenses võrrandis teeme asendused:

Vastavalt toodete eristamise reeglile:

Asendage ja originaalile homogeenne võrrand :

Vasakpoolsed kaks terminit tühistavad, mis tähendab, et oleme õigel teel:

Integreerime osade kaupa. Lahendusse on juba kaasatud maitsev täht osade kaupa integreerimise valemist, seega kasutame näiteks tähti "a" ja "olla":

Vaatame nüüd asendust:

Vastus:ühine otsus:

Ja üks näide iselahendusest:

Näide 3

Leia antud algtingimusele vastav diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus.

,
(Erinevus 4. õppetunnist, näide Lineaarne ebahomogeenne 1. järku DE)
Lahendus:
See DE on lineaarselt ebahomogeenne. Kasutame suvaliste konstantide muutmise meetodit. Lahendame abivõrrandi:

Eraldame muutujad ja integreerime:

Ühine otsus:
Mittehomogeenses võrrandis teeme asendused:

Teeme asendustööd:

Seega on üldine lahendus:

Leidke antud algtingimusele vastav konkreetne lahendus:

Vastus: privaatne lahendus:

Tunni lõpus olev lahendus võib olla ligikaudne mudel ülesande lõpetamisel.

Suvaliste konstantide muutmise meetod
lineaarse ebahomogeense teist järku võrrandi jaoks
Koos konstantsed koefitsiendid

Sageli on kuulda arvamust, et suvaliste konstantide muutmise meetod teist järku võrrandi jaoks pole lihtne asi. Kuid ma arvan järgmist: tõenäoliselt tundub meetod paljudele keeruline, kuna see pole nii levinud. Kuid tegelikkuses pole erilisi raskusi - otsuse käik on selge, läbipaistev ja arusaadav. Ja ilus.

Meetodi valdamiseks on soovitav osata lahendada teist järku ebahomogeenseid võrrandeid, valides konkreetse lahenduse parema külje kuju järgi. See meetod artiklis üksikasjalikult arutatud. 2. järku ebahomogeenne DE. Tuletame meelde, et konstantsete koefitsientidega teist järku lineaarne ebahomogeenne võrrand on kujul:

Ülaltoodud õppetükis käsitletud valikumeetod töötab ainult piiratud arvul juhtudel, kui polünoomid, astendajad, siinused, koosinused on paremal pool. Aga mida teha, kui paremal on näiteks murd, logaritm, puutuja? Sellises olukorras tuleb appi konstantide varieerimise meetod.

Näide 4

Leia teist järku diferentsiaalvõrrandi üldlahend

Lahendus: Selle võrrandi paremal küljel on murdosa, seega võime kohe öelda, et konkreetse lahenduse valimise meetod ei tööta. Kasutame suvaliste konstantide muutmise meetodit.

Miski ei tähenda äikesetormi, lahenduse algus on üsna tavaline:

Otsime üles ühine otsus vastav homogeenne võrrandid:

Koostame ja lahendame tunnusvõrrandi:


– saadakse konjugeeritud kompleksjuured, seega on üldine lahendus:

Pöörake tähelepanu üldlahenduse kirjele - kui sulgudes on, siis avage need.

Nüüd teeme peaaegu sama triki nagu esimest järku võrrandi puhul: muudame konstante , asendades need tundmatute funktsioonidega . See on, mittehomogeense üldlahendus Otsime võrrandeid kujul:

Kus - veel tundmatuid funktsioone.

See näeb välja nagu prügimägi, aga nüüd sorteerime kõik ära.

Funktsioonide tuletised toimivad tundmatutena. Meie eesmärk on leida tuletised ja leitud tuletised peavad rahuldama nii süsteemi esimest kui ka teist võrrandit.

Kust "mängud" tulevad? Kurg toob need. Vaatame eelnevalt saadud üldlahendust ja kirjutame:

Leiame tuletised:

Tegeles vasaku poolega. Mis on paremal?

on algse võrrandi parem pool, antud juhul:

Koefitsient on teise tuletise koefitsient:

Praktikas peaaegu alati ja meie näide pole erand.

Kõik on selge, nüüd saate luua süsteemi:

Tavaliselt on süsteem lahendatud Crameri valemite järgi kasutades standardset algoritmi. Ainus erinevus on see, et numbrite asemel on meil funktsioonid.

Leidke süsteemi peamine määraja:

Kui unustasite, kuidas „kaks-kaks” määraja ilmneb, vaadake õppetundi Kuidas determinanti arvutada? Link viib häbilauale =)

Niisiis: , seega on süsteemil ainulaadne lahendus.

Leiame tuletise:

Kuid see pole veel kõik, siiani oleme leidnud ainult tuletise.
Funktsioon ise taastatakse integreerimisega:

Vaatame teist funktsiooni:

Siin lisame "tavalise" konstandi

Lahenduse viimases etapis tuletame meelde, millisel kujul otsisime ebahomogeense võrrandi üldlahendust? Sellises:

Nõutavad funktsioonid just leitud!

Jääb teha asendus ja vastus kirja panna:

Vastus:ühine otsus:

Põhimõtteliselt võiks vastus avada sulgud.

Täielik kontroll vastamine toimub tunnis käsitletud standardskeemi järgi 2. järku ebahomogeenne DE. Kuid kontrollimine ei saa olema lihtne, kuna peame leidma üsna rasked tuletised ja läbi viima tülika asendus. See on ebameeldiv funktsioon, kui lahendate selliseid erinevusi.

Näide 5

Lahendage diferentsiaalvõrrand suvaliste konstantide muutmise meetodil

See on tee-seda-ise näide. Tegelikult on parem pool ka murdosa. Me mäletame trigonomeetriline valem, muide, tuleb seda lahenduse käigus rakendada.

Suvaliste konstantide muutmise meetod on kõige rohkem universaalne meetod. Nad suudavad lahendada mis tahes võrrandi, mida saab lahendada konkreetse lahenduse valimise meetod parema külje vormi järgi. Tekib küsimus, miks mitte kasutada seal ka suvaliste konstantide muutmise meetodit? Vastus on ilmne: konkreetse lahenduse valik, mida tunnis käsitleti Teist järku mittehomogeensed võrrandid, kiirendab oluliselt lahendust ja vähendab tähistust – ei mingit jamamist determinantide ja integraalidega.

Vaatleme kahte näidet Cauchy probleem.

Näide 6

Leia diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus, mis vastab antud algtingimustele

,

Lahendus: Jällegi murd ja eksponent sisse huvitav koht.
Kasutame suvaliste konstantide muutmise meetodit.

Otsime üles ühine otsus vastav homogeenne võrrandid:



– saadakse erinevad pärisjuured, seega üldine lahendus on:

Ebahomogeense üldlahend otsime võrrandeid kujul: , kus - veel tundmatuid funktsioone.

Loome süsteemi:

Sel juhul:
,
Tuletisinstrumentide leidmine:
,

Seega:

Lahendame süsteemi Crameri valemite abil:
, seega on süsteemil ainulaadne lahendus.

Taastame funktsiooni integreerimise teel:

Siin kasutatud funktsiooni diferentsiaalmärgi alla viimise meetod.

Teise funktsiooni taastame integreerimise teel:

Selline integraal on lahendatud muutuja asendusmeetod:

Asenduse enda põhjal väljendame:

Seega:

Selle integraali võib leida täisruudu valiku meetod, kuid difuuridega näidetes eelistan murdosa laiendada määramatute koefitsientide meetod:

Leiti mõlemad funktsioonid:

Selle tulemusena on ebahomogeense võrrandi üldine lahendus:

Leidke konkreetne lahendus, mis vastab algtingimustele .

Tehniliselt otsitakse lahendust standardsel viisil, mida artiklis käsitleti. Ebahomogeensed teist järku diferentsiaalvõrrandid.

Oota, nüüd leiame leitud üldlahenduse tuletise:

Siin on selline häbi. Seda pole vaja lihtsustada, lihtsam on kohe võrrandisüsteem koostada. Vastavalt esialgsetele tingimustele :

Asendage konstantide leitud väärtused üldiseks lahenduseks:

Vastuseks saab logaritme veidi kokku pakkida.

Vastus: privaatne lahendus:

Nagu näete, võivad raskused tekkida integraalides ja tuletistes, kuid mitte suvaliste konstantide muutmise meetodi algoritmis. Mitte mina ei hirmutanud teid, see kõik on Kuznetsovi kogu!

Lõdvestumiseks viimane, lihtsam ja lahendav näide:

Näide 7

Lahendage Cauchy probleem

,

Näide on lihtne, kuid loominguline, süsteemi loomisel vaadake seda hoolikalt enne otsustamist ;-),




Selle tulemusena on üldine lahendus:

Leidke algtingimustele vastav konkreetne lahendus .



Asendame konstantide leitud väärtused üldlahendusega:

Vastus: privaatne lahendus:

Pöördume vormi lineaarsete mittehomogeensete diferentsiaalvõrrandite käsitlemise juurde

Kus - soovitud argumenteerimisfunktsioon ja funktsioonid



on antud ja teatud intervalliga pidevad
.

Võtame arvesse lineaarset homogeenset võrrandit, vasak pool mis langeb kokku mittehomogeense võrrandi (2.31) vasaku küljega,

Nimetatakse vormi (2.32) võrrand mittehomogeensele võrrandile vastav homogeenne võrrand (2.31).

Kehtib järgmine teoreem mittehomogeense lineaarvõrrandi (2.31) üldlahenduse struktuuri kohta.

Teoreem 2.6. Lineaarse mittehomogeense võrrandi (2.31) üldlahend valdkonnas

on selle mis tahes konkreetse lahendi ja vastava homogeense võrrandi (2.32) üldlahendi summa piirkonnas (2.33), s.o.

Kus - võrrandi (2.31) konkreetne lahendus,
on homogeense võrrandi (2.32) põhilahenduste süsteem ja
on suvalised konstandid.

Selle teoreemi tõestuse võib leida .

Teist järku diferentsiaalvõrrandi näitel esitame meetodi, mille abil saab leida lineaarse mittehomogeense võrrandi konkreetse lahenduse. Seda meetodit nimetatakse Suvaliste konstantide Lagrange'i meetodi variatsioonid.

Niisiis, olgu antud ebahomogeenne lineaarvõrrand

(2.35)

kus koefitsiendid
ja parem pool
pidev teatud intervalliga
.

Tähistage
Ja
homogeense võrrandi lahenduste põhisüsteem

(2.36)

Siis on selle üldlahendusel vorm

(2.37)

Kus Ja on suvalised konstandid.

Otsime lahendust võrrandile (2.35) samal kujul , samuti vastava homogeense võrrandi üldlahendus, asendades suvalised konstandid mõne diferentseeruva funktsiooniga (muutame suvalisi konstante), need.

Kus
Ja
on mõned eristatavad funktsioonid , mis on veel teadmata ja mida proovime määrata nii, et funktsioon (2.38) oleks mittehomogeense võrrandi (2.35) lahendus. Eristades võrdsuse (2.38) mõlemad pooled, saame

Nii et arvutamisel teise järgu tuletised puuduvad
Ja
, nõuame seda kõikjal
tingimus

Siis selleks saab

Arvutage teine ​​tuletis

Avaldiste asendamine ,,(2.38), (2.40), (2.41) võrrandisse (2.35), saame

Nurksulgudes olevad avaldised on kõikjal võrdsed nulliga
, sest Ja - võrrandi (2.36) konkreetsed lahendid. Sel juhul võtab (2.42) kuju Kombineerides selle tingimuse tingimusega (2.39), saame võrrandisüsteemi määramiseks
Ja

(2.43)

Viimane süsteem on kahe algebralise lineaarse ebahomogeense võrrandi süsteem
Ja
. Selle süsteemi determinant on põhilahenduste süsteemi Wronsky determinant ,ja seetõttu erineb see kõikjal nullist
. See tähendab, et süsteemil (2.43) on ainulaadne lahendus. Olles selle mis tahes viisil lahendanud
,
leida

Kus
Ja
on hästi tuntud funktsioonid.

Integratsiooni teostamine ja arvestades, et as
,
tuleks võtta suvaline funktsioonipaar, me seame integratsioonikonstandid võrdseks nulliga. Hangi

Asendades avaldised (2.44) seosteks (2.38), saame kirjutada mittehomogeense võrrandi (2.35) soovitud lahendi kujule

Seda meetodit saab üldistada, et leida lineaarsele mittehomogeensele võrrandile konkreetne lahendus - järjekorras.

Näide 2.6. lahendage võrrand
juures
kui funktsioonid

moodustavad vastava homogeense võrrandi lahendite fundamentaalse süsteemi.

Leiame sellele võrrandile konkreetse lahenduse. Selleks tuleks Lagrange'i meetodi kohaselt esmalt lahendada süsteem (2.43), mis meie puhul on kujul
Iga võrrandi mõlema külje taandamine võrra saame

Lahutades teisest võrrandist esimese võrrandi liikme liikme kaupa, leiame
ja siis esimesest võrrandist järeldub
Teostades integreerimise ja seades integreerimiskonstandid võrdseks nulliga, saame

Selle võrrandi konkreetset lahendust saab esitada kui

Selle võrrandi üldlahendusel on siis vorm

Kus Ja on suvalised konstandid.

Lõpuks märgime ära ühe tähelepanuväärse omaduse, mida sageli nimetatakse lahenduste pealesurumise põhimõtteks ja mida kirjeldab järgmine teoreem.

Teoreem 2.7. Kui vahepeal
funktsiooni
- funktsioonivõrrandi konkreetne lahendus
võrrandi konkreetne lahendus samal intervallil, funktsioon
on võrrandi eriline lahendus

Vaatleme nüüd lineaarset mittehomogeenset võrrandit
. (2)
Olgu y 1 ,y 2 ,.., y n lahenduste põhisüsteem ja vastava homogeense võrrandi L(y)=0 üldlahend. Sarnaselt esimest järku võrrandite puhul otsime valemile (2) lahendust kujul
. (3)
Kontrollime, kas sellisel kujul lahendus on olemas. Selleks asendame funktsiooni võrrandiga. Selle funktsiooni asendamiseks võrrandis leiame selle tuletised. Esimene tuletis on
. (4)
Teise tuletise arvutamisel on (4) paremal pool neli liiget, kolmanda tuletise arvutamisel kaheksa liiget jne. Seetõttu eeldatakse, et edasiste arvutuste hõlbustamiseks (4) esimene liige on võrdne nulliga. Seda silmas pidades on teine ​​tuletis võrdne
. (5)
Samadel põhjustel, mis varem, määrame punktis (5) ka esimese liikme võrdseks nulliga. Lõpuks n-s tuletis on võrdne
. (6)
Asendades saadud tuletiste väärtused algsesse võrrandisse, saame
. (7)
(7) teine ​​liige on võrdne nulliga, kuna funktsioonid y j , j=1,2,..,n on vastava homogeense võrrandi L(y)=0 lahendid. Kombineerides eelmisega, saame süsteemi algebralised võrrandid funktsioonide leidmiseks C" j (x)
(8)
Selle süsteemi determinandiks on vastava homogeense võrrandi L(y)=0 lahendite y 1 ,y 2 ,..,y n põhisüsteemi Wronsky determinant ja seepärast ei ole see võrdne nulliga. Seetõttu on süsteemile (8) ainulaadne lahendus. Pärast selle leidmist saame funktsioonid C ​​"j (x), j=1,2,…,n ja järelikult C j (x), j=1,2,…,n, asendades need väärtused (3), saame lineaarse mittehomogeense võrrandi lahendi.
Kirjeldatud meetodit nimetatakse suvalise konstandi muutmise meetodiks või Lagrange'i meetodiks.

Maksimaalne tuletiskraad 2 3 4 5 6

Näide nr 1. Leidke võrrandi y "" + 4y" + 3y = 9e -3 x üldlahend. Vaatleme vastavat homogeenset võrrandit y "" + 4y" + 3y = 0. Selle juured iseloomulik võrrand r 2 + 4r + 3 = 0 on -1 ja -3. Seetõttu koosneb homogeense võrrandi põhilahenduste süsteem funktsioonidest y 1 = e - x ja y 2 = e -3 x. Otsime lahendust mittehomogeensele võrrandile kujul y \u003d C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. Tuletiste C " 1 , C" 2 leidmiseks koostame võrrandisüsteemi (8)

mille lahendamisel leiame , Saadud funktsioone integreerides on meil
Lõpuks saame

Näide nr 2. Lahendage suvaliste konstantide muutmise meetodil teist järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid konstantsete koefitsientidega:

y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Lahendus:
See diferentsiaalvõrrand kuulub konstantsete koefitsientidega lineaarsetesse diferentsiaalvõrranditesse.
Otsime võrrandi lahendit kujul y = e rx . Selleks koostame konstantsete koefitsientidega lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi tunnusvõrrandi:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Iseloomuliku võrrandi juured: r 1 = 4, r 2 = 2
Seetõttu koosneb põhiline lahenduste süsteem järgmistest funktsioonidest:
y 1 \u003d e 4x, y 2 \u003d e 2x
Homogeense võrrandi üldlahend on järgmine:

Otsige konkreetset lahendust suvalise konstandi muutmise meetodil.
C "i tuletiste leidmiseks koostame võrrandisüsteemi:

C" 1 (4e 4x) + C" 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Väljendage C" 1 esimesest võrrandist:
C" 1 \u003d -c 2 e -2x
ja asendada teises. Selle tulemusena saame:
C" 1 \u003d 2 / (e 2x + 2e 4x)
C" 2 \u003d -2e 2x / (e 2x + 2e 4x)
Integreerime saadud funktsioonid C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Kuna , siis kirjutame saadud avaldised kujul:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2) e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Seega on diferentsiaalvõrrandi üldlahendus järgmine:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
või
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Leiame konkreetse lahenduse tingimusel:
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Asendades x = 0 leitud võrrandisse, saame:
y(0) = 2 ln (3) - 1 + ln (3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3 n3
Leiame saadud üldlahenduse esimese tuletise:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln (2e 2x +1) -2)
Asendades x = 0, saame:
y'(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10 n3

Saame kahe võrrandi süsteemi:
3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3 n3
4C 1 + 2C 2 +10ln(3) -4 = 10ln3
või
C * 1 + C * 2 = 2
4C1 + 2C2 = 4
või
C * 1 + C * 2 = 2
2C1 + C2 = 2
Kus:
C1=0, C*2=2
Konkreetne lahendus kirjutatakse järgmiselt:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

Vaatleme lineaarset ebahomogeenset diferentsiaalvõrrandit suvalise n-ndat järku konstantsete koefitsientidega:
(1) .
Konstantse variatsiooni meetod, mida me käsitlesime esimest järku võrrandi puhul, on rakendatav ka kõrgema järgu võrrandite puhul.

Lahendus viiakse läbi kahes etapis. Esimeses etapis jätame parema külje kõrvale ja lahendame homogeense võrrandi. Selle tulemusena saame lahenduse, mis sisaldab n suvalist konstanti. Teises etapis muudame konstante. See tähendab, et me leiame, et need konstandid on sõltumatu muutuja x funktsioonid ja leiame nende funktsioonide kuju.

Kuigi me käsitleme siin konstantsete koefitsientidega võrrandeid, kuid Lagrange'i meetod on rakendatav ka mis tahes lineaarsete mittehomogeensete võrrandite lahendamisel. Selleks peab aga olema teada homogeense võrrandi põhilahenduste süsteem.

1. samm. Homogeense võrrandi lahendamine

Nagu ka esimest järku võrrandite puhul, otsime esmalt homogeense võrrandi üldlahendust, võrdsustades parempoolse ebahomogeense osa nulliga:
(2) .
Sellise võrrandi üldlahend on järgmine:
(3) .
Siin on suvalised konstandid; - n lineaarselt sõltumatut homogeense võrrandi (2) lahendit, mis moodustavad selle võrrandi põhilahenduste süsteemi.

Etapp 2. Konstantide varieerimine – konstantide asendamine funktsioonidega

Teises etapis käsitleme konstantide varieerumist. Teisisõnu, me asendame konstandid sõltumatu muutuja x funktsioonidega:
.
See tähendab, et me otsime algsele võrrandile (1) lahendust järgmisel kujul:
(4) .

Kui asendame (4) väärtusega (1), saame ühe diferentsiaalvõrrandi n funktsiooni jaoks. Sel juhul saame need funktsioonid ühendada täiendavate võrranditega. Siis saad n võrrandit, millest saad määrata n funktsiooni. Võib teha täiendavaid võrrandeid erinevatel viisidel. Kuid me teeme seda nii, et lahendusel oleks kõige lihtsam vorm. Selleks tuleb diferentseerimisel võrdsustada funktsioonide tuletisi sisaldavad terminid nulliga. Näitame seda.

Pakutud lahendi (4) asendamiseks algse võrrandiga (1) peame leidma kujul (4) kirjutatud funktsiooni esimese n järgu tuletised. Eristage (4) kandideerides summa diferentseerimise reeglid ja töötab:
.
Rühmitame liikmed. Esiteks kirjutame välja terminid tuletistega ja seejärel terminid tuletistega:

.
Esitame funktsioonidele esimese tingimuse:
(5.1) .
Siis on esimese tuletise avaldis suhtes lihtsam vorm:
(6.1) .

Samamoodi leiame teise tuletise:

.
Funktsioonidele kehtestame teise tingimuse:
(5.2) .
Siis
(6.2) .
Ja nii edasi. Lisatingimustel võrdsustame funktsioonide tuletisi sisaldavad terminid nulliga.

Seega, kui valime funktsioonide jaoks järgmised lisavõrrandid:
(5.k) ,
siis on esimesed tuletised kõige lihtsamal kujul:
(6.k) .
siin .

Leiame n-nda tuletise:
(6.n)
.

Asendame algsesse võrrandisse (1):
(1) ;






.
Arvestame, et kõik funktsioonid vastavad võrrandile (2):
.
Siis annab termineid sisaldavate liikmete summa nulli. Selle tulemusena saame:
(7) .

Selle tulemusena on meil süsteem lineaarvõrrandid tuletisinstrumentide puhul:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7') .

Seda süsteemi lahendades leiame tuletistele avaldised x funktsioonidena. Integreerides saame:
.
Siin on konstandid, mis ei sõltu enam x-st. Asendades (4), saame algvõrrandi üldlahendi.

Pange tähele, et me ei kasutanud tuletisinstrumentide väärtuste määramiseks kunagi tõsiasja, et koefitsiendid a i on konstantsed. Sellepärast Lagrange'i meetodit saab kasutada mis tahes lineaarsete mittehomogeensete võrrandite lahendamiseks, kui on teada homogeense võrrandi (2) lahendite põhisüsteem.

Näited

Lahendage võrrandeid konstantide muutmise meetodil (Lagrange).

Vaatleme esimest järku lineaarset ebahomogeenset diferentsiaalvõrrandit:
(1) .
Selle võrrandi lahendamiseks on kolm võimalust:

• konstantse variatsiooni meetod (Lagrange).

Vaatleme esimest järku lineaarse diferentsiaalvõrrandi lahendust Lagrange'i meetodil.

Pideva variatsiooni meetod (Lagrange)

Konstantse variatsiooni meetodi puhul lahendame võrrandi kahes etapis. Esimeses etapis lihtsustame algset võrrandit ja lahendame homogeense võrrandi. Teises etapis asendame lahenduse esimeses etapis saadud integreerimiskonstandi funktsiooniga. Seejärel otsime algvõrrandi üldlahendust.

Mõelge võrrandile:
(1)

1. samm Homogeense võrrandi lahendamine

Otsime lahendust homogeensele võrrandile:

See on eraldatav võrrand

Eralda muutujad - korrutage dx-ga, jagage y-ga:

Integreerime:

Integraal üle y – tabel:

Siis

Tugevdada:

Asendame konstant e C C-ga ja eemaldame mooduli märgi, mis taandub konstandiga korrutamiseks ±1, mille lisame C-sse:

2. samm Asenda konstant C funktsiooniga

Nüüd asendame konstanti C funktsiooniga x :
c → u (x)
See tähendab, et otsime lahendust algsele võrrandile (1) nagu:
(2)
Leiame tuletise.

Vastavalt keeruka funktsiooni diferentseerimise reeglile:
.
Vastavalt toodete eristamise reeglile:

.
Asendame algse võrrandiga (1) :
(1) ;

.
Vähendatakse kahte terminit:
;
.
Integreerime:
.
Asendus sisse (2) :
.
Selle tulemusena saame esimest järku lineaarse diferentsiaalvõrrandi üldlahenduse:
.

Näide esimest järku lineaarse diferentsiaalvõrrandi lahendamisest Lagrange'i meetodil

lahendage võrrand

Lahendus

Lahendame homogeense võrrandi:

Muutujate eraldamine:

Korrutame arvuga:

Integreerime:

Tabeli integraalid:

Tugevdada:

Asendame konstant e C C-ga ja eemaldame mooduli märgid:

Siit:

Asendame konstanti C funktsiooniga x :
c → u (x)

Leiame tuletise:
.
Asendame algsesse võrrandisse:
;
;
Või:
;
.
Integreerime:
;
Võrrandi lahendus:
.