Anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya: kahulugan, mga halimbawa ng paghahanap.

A. Hayaang ibigay ang dalawang tuwid na linya na ito, tulad ng ipinahiwatig sa Kabanata 1, ay bumubuo ng iba't ibang positibo at negatibong mga anggulo, na maaaring maging talamak o mahina. Ang pag-alam sa isa sa mga anggulong ito, madali nating mahahanap ang iba pa.

Sa pamamagitan ng paraan, para sa lahat ng mga anggulong ito ang numerical na halaga ng tangent ay pareho, ang pagkakaiba ay maaari lamang sa sign

Mga equation ng mga linya. Ang mga numero ay ang mga projection ng mga vector ng direksyon ng una at pangalawang tuwid na linya Ang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito ay katumbas ng isa sa mga anggulo na nabuo ng mga tuwid na linya. Samakatuwid, ang problema ay bumaba sa pagtukoy ng anggulo sa pagitan ng mga vectors

Para sa pagiging simple, maaari tayong sumang-ayon na ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya ay isang matinding positibong anggulo (tulad ng, halimbawa, sa Fig. 53).

Kung gayon ang padaplis ng anggulong ito ay palaging magiging positibo. Kaya, kung mayroong minus sign sa kanang bahagi ng formula (1), dapat nating itapon ito, ibig sabihin, i-save lamang ang ganap na halaga.

Halimbawa. Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya

Ayon sa formula (1) mayroon tayo

Sa. Kung ipinahiwatig kung alin sa mga gilid ng anggulo ang simula nito at alin ang dulo nito, kung gayon, palaging binibilang ang direksyon ng anggulo nang pakaliwa, maaari tayong kumuha ng higit pa mula sa formula (1). Tulad ng madaling makita mula sa Fig. 53, ang sign na nakuha sa kanang bahagi ng formula (1) ay magsasaad kung anong uri ng anggulo - acute o obtuse - ang pangalawang tuwid na linya ay nabuo kasama ng una.

(Sa katunayan, mula sa Fig. 53 makikita natin na ang anggulo sa pagitan ng una at pangalawang direksyon ng mga vector ay alinman sa katumbas ng nais na anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya, o naiiba mula dito ng ±180°.)

d. Kung ang mga linya ay parallel, kung gayon ang kanilang mga vector ng direksyon ay magkatulad.

Ito ay isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa paralelismo ng dalawang linya.

Halimbawa. Direkta

ay parallel dahil

e. Kung ang mga linya ay patayo kung gayon ang kanilang mga vector ng direksyon ay patayo din. Ang paglalapat ng kondisyon ng perpendicularity ng dalawang vectors, nakuha namin ang kondisyon ng perpendicularity ng dalawang tuwid na linya, lalo

Halimbawa. Direkta

ay patayo dahil sa katotohanan na

Kaugnay ng mga kondisyon ng parallelism at perpendicularity, malulutas natin ang sumusunod na dalawang problema.

f. Gumuhit ng isang linya sa pamamagitan ng isang punto na kahanay sa ibinigay na linya

Ang solusyon ay isinasagawa tulad nito. Dahil ang nais na linya ay kahanay sa isang ito, kung gayon para sa vector ng direksyon nito ay maaari nating kunin ang kapareho ng sa ibinigay na linya, ibig sabihin, isang vector na may mga projection A at B. At pagkatapos ay ang equation ng nais na linya ay isusulat sa ang form (§ 1)

Halimbawa. Equation ng isang linya na dumadaan sa punto (1; 3) na kahanay ng linya

may susunod pa!

g. Gumuhit ng isang linya sa pamamagitan ng isang punto na patayo sa ibinigay na linya

Dito hindi na angkop na kunin ang vector na may mga projection A at bilang gabay na vector, ngunit kinakailangan na kunin ang vector na patayo dito. Ang mga projection ng vector na ito ay dapat na mapili ayon sa kondisyon ng perpendicularity ng parehong vectors, ibig sabihin, ayon sa kondisyon

Ang kundisyong ito ay maaaring matupad sa hindi mabilang na mga paraan, dahil narito ang isang equation na may dalawang hindi alam Ngunit ang pinakamadaling paraan ay ang kumuha o Pagkatapos ang equation ng nais na linya ay isusulat sa form

Halimbawa. Equation ng isang linya na dumadaan sa punto (-7; 2) sa isang patayong linya

magkakaroon ng mga sumusunod (ayon sa pangalawang formula)!

h. Sa kaso kapag ang mga linya ay ibinigay ng mga equation ng form

Kahulugan. Kung ang dalawang linya ay binibigyan ng y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, kung gayon ang matinding anggulo sa pagitan ng mga linyang ito ay tutukuyin bilang

Dalawang linya ay magkatulad kung k 1 = k 2. Dalawang linya ay patayo kung k 1 = -1/ k 2.

Teorama. Ang mga linyang Ax + Bу + C = 0 at A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ay parallel kapag ang mga coefficient A 1 = λA, B 1 = λB ay proporsyonal. Kung din C 1 = λC, kung gayon ang mga linya ay nag-tutugma. Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation ng mga linyang ito.

Equation ng isang linya na dumadaan sa isang naibigay na punto

Perpendicular sa isang ibinigay na linya

Kahulugan. Ang isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong M 1 (x 1, y 1) at patayo sa tuwid na linya y = kx + b ay kinakatawan ng equation:

Distansya mula sa punto hanggang linya

Teorama. Kung ang isang puntong M(x 0, y 0) ay ibinigay, ang distansya sa linyang Ax + Bу + C = 0 ay tinutukoy bilang

.

Patunay. Hayaang ang puntong M 1 (x 1, y 1) ay ang batayan ng isang patayo na bumaba mula sa punto M patungo sa isang tuwid na linya. Pagkatapos ang distansya sa pagitan ng mga punto M at M 1:

(1)

Ang mga coordinate x 1 at y 1 ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation:

Ang pangalawang equation ng system ay ang equation ng linyang dumadaan ibinigay na punto Ang M 0 ay patayo sa isang tuwid na linya. Kung babaguhin natin ang unang equation ng system sa anyo:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

pagkatapos, paglutas, nakukuha natin:

Ang pagpapalit ng mga ekspresyong ito sa equation (1), makikita natin:

Ang teorama ay napatunayan.

Halimbawa. Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng mga linya: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Halimbawa. Ipakita na ang mga linyang 3x – 5y + 7 = 0 at 10x + 6y – 3 = 0 ay patayo.

Solusyon. Nakikita natin ang: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, samakatuwid, ang mga linya ay patayo.

Halimbawa. Ibinigay ang mga vertices ng tatsulok na A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Hanapin ang equation ng taas na nakuha mula sa vertex C.

Solusyon. Nahanap namin ang equation ng side AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Ang kinakailangang equation ng taas ay may anyo: Ax + By + C = 0 o y = kx + b. k = . Pagkatapos y = . kasi ang taas ay dumadaan sa punto C, pagkatapos ang mga coordinate nito ay natutugunan ang equation na ito: mula sa kung saan b = 17. Kabuuan: .

Sagot: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Ang equation ng isang linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto sa isang ibinigay na direksyon. Equation ng isang linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos. Ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya. Ang kondisyon ng parallelism at perpendicularity ng dalawang tuwid na linya. Pagtukoy sa punto ng intersection ng dalawang linya

1. Equation ng isang linya na dumadaan sa isang naibigay na punto A(x 1 , y 1) sa isang ibinigay na direksyon, na tinutukoy ng slope k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ang equation na ito ay tumutukoy sa isang lapis ng mga linyang dumadaan sa isang punto A(x 1 , y 1), na tinatawag na beam center.

2. Equation ng isang linya na dumadaan sa dalawang puntos: A(x 1 , y 1) at B(x 2 , y 2), nakasulat tulad nito:

Ang angular coefficient ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto ay tinutukoy ng formula

3. Anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya A At B ay ang anggulo kung saan dapat paikutin ang unang tuwid na linya A sa paligid ng punto ng intersection ng mga linyang ito pakaliwa hanggang sa ito ay tumutugma sa pangalawang linya B. Kung ang dalawang linya ay ibinigay ng mga equation na may slope

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

pagkatapos ay ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay tinutukoy ng formula

Dapat pansinin na sa numerator ng fraction, ang slope ng unang linya ay ibabawas mula sa slope ng pangalawang linya.

Kung ang mga equation ng isang linya ay ibinigay sa pangkalahatang pananaw

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay tinutukoy ng formula

4. Mga kondisyon para sa parallelism ng dalawang linya:

a) Kung ang mga linya ay ibinigay ng mga equation (4) na may isang angular coefficient, kung gayon ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa kanilang parallelism ay ang pagkakapantay-pantay ng kanilang mga angular coefficient:

k 1 = k 2 . (8)

b) Para sa kaso kapag ang mga linya ay ibinigay ng mga equation sa pangkalahatang anyo (6), isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa kanilang parallelism ay ang mga coefficient para sa kaukulang kasalukuyang mga coordinate sa kanilang mga equation ay proporsyonal, i.e.

5. Mga kondisyon para sa perpendicularity ng dalawang tuwid na linya:

a) Sa kaso kapag ang mga tuwid na linya ay ibinigay ng mga equation (4) na may isang angular coefficient, isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa kanilang perpendicularity ay ang mga ito. slope coefficients ay inverse sa magnitude at kabaligtaran sa sign, i.e.

Ang kundisyong ito ay maaari ding isulat sa anyo

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Kung ang mga equation ng mga linya ay ibinigay sa pangkalahatang anyo (6), kung gayon ang kondisyon para sa kanilang perpendicularity (kinakailangan at sapat) ay upang matugunan ang pagkakapantay-pantay.

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation (6). Ang mga linya (6) ay nagsalubong kung at kung lamang

1. Isulat ang mga equation ng mga linyang dumadaan sa puntong M, ang isa ay parallel at ang isa ay patayo sa ibinigay na linya l.

Mga tagubilin

tala

Panahon trigonometriko function Ang tangent ay katumbas ng 180 degrees, na nangangahulugan na ang mga anggulo ng slope ng mga tuwid na linya ay hindi maaaring, sa ganap na halaga, lumampas sa halagang ito.

Nakatutulong na payo

Kung ang mga angular coefficient ay pantay-pantay sa isa't isa, kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga naturang linya ay 0, dahil ang mga naturang linya ay magkasabay o magkatulad.

Upang matukoy ang halaga ng anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya, kinakailangan na ilipat ang parehong mga linya (o isa sa mga ito) sa isang bagong posisyon gamit ang parallel na paraan ng pagsasalin hanggang sa mag-intersect ang mga ito. Pagkatapos nito, dapat mong mahanap ang anggulo sa pagitan ng mga nagresultang intersecting na linya.

Kakailanganin mong

• namumuno, kanang tatsulok, lapis, protraktor.

Mga tagubilin

Kaya, hayaan ang vector V = (a, b, c) at ang eroplanong A x + B y + C z = 0, kung saan ang A, B at C ay ang mga coordinate ng normal na N. Pagkatapos ay ang cosine ng anggulo Ang α sa pagitan ng mga vectors na V at N ay katumbas ng: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

Upang kalkulahin ang anggulo sa mga degree o radian, kailangan mong kalkulahin ang inverse sa cosine function mula sa resultang expression, i.e. arccosine:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Halimbawa: hanapin sulok sa pagitan vector(5, -3, 8) at eroplano, binigay pangkalahatang equation 2 x – 5 y + 3 z = 0. Solusyon: isulat ang mga coordinate ng normal na vector ng eroplano N = (2, -5, 3). Palitan ang lahat kilalang halaga sa ibinigay na formula: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°.

Video sa paksa

Ang isang tuwid na linya na may isang karaniwang punto na may isang bilog ay padaplis sa bilog. Ang isa pang tampok ng tangent ay palaging patayo sa radius na iginuhit sa punto ng contact, iyon ay, ang tangent at radius ay bumubuo ng isang tuwid na linya sulok. Kung ang dalawang tangent sa isang bilog na AB at AC ay iginuhit mula sa isang punto A, kung gayon sila ay palaging pantay sa bawat isa. Pagtukoy sa anggulo sa pagitan ng mga tangent ( sulok ABC) ay ginawa gamit ang Pythagorean theorem.

Mga tagubilin

Upang matukoy ang anggulo, kailangan mong malaman ang radius ng bilog na OB at OS at ang distansya ng panimulang punto ng tangent mula sa gitna ng bilog - O. Kaya, ang mga anggulo ng ABO at ASO ay pantay, ang radius OB ay, halimbawa, 10 cm, at ang distansya sa gitna ng bilog na AO ay 15 cm Tukuyin ang haba ng padaplis gamit ang formula alinsunod sa Pythagorean theorem: AB = Kuwadrado na ugat mula sa AO2 – OB2 o 152 - 102 = 225 – 100 = 125;

Magpa-brief ako. Ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya ay katumbas ng anggulo sa pagitan ng kanilang mga vector ng direksyon. Kaya, kung namamahala ka upang mahanap ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon a = (x 1 ; y 1 ; z 1) at b = (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2), pagkatapos ay makikita mo ang anggulo. Mas tiyak, ang cosine ng anggulo ayon sa formula:

Tingnan natin kung paano gumagana ang formula na ito gamit ang mga partikular na halimbawa:

Gawain. Sa kubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, ang mga puntos E at F ay minarkahan - ang mga midpoint ng mga gilid A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linyang AE at BF.

Dahil ang gilid ng kubo ay hindi tinukoy, itakda natin ang AB = 1. Ipinakilala namin ang isang karaniwang sistema ng coordinate: ang pinagmulan ay nasa punto A, ang x, y, z axes ay nakadirekta sa AB, AD at AA 1, ayon sa pagkakabanggit. Ang unit segment ay katumbas ng AB = 1. Ngayon, hanapin natin ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon para sa ating mga linya.

Hanapin natin ang mga coordinate ng vector AE. Para dito kailangan namin ng mga puntos A = (0; 0; 0) at E = (0.5; 0; 1). Dahil ang point E ay ang gitna ng segment A 1 B 1, ang mga coordinate nito ay katumbas ng arithmetic mean ng mga coordinate ng mga dulo. Tandaan na ang pinagmulan ng vector AE ay tumutugma sa pinagmulan ng mga coordinate, kaya AE = (0.5; 0; 1).

Ngayon tingnan natin ang BF vector. Katulad nito, sinusuri namin ang mga puntos na B = (1; 0; 0) at F = (1; 0.5; 1), dahil Ang F ay ang gitna ng segment B 1 C 1. Meron kami:
BF = (1 − 1; 0.5 − 0; 1 − 0) = (0; 0.5; 1).

Kaya, handa na ang mga vector ng direksyon. Ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya ay ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector ng direksyon, kaya mayroon tayong:

Gawain. Sa isang regular na tatsulok na prism ABCA 1 B 1 C 1, ang lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1, ang mga punto D at E ay minarkahan - ang mga midpoint ng mga gilid A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linyang AD at BE.

Ipakilala natin ang isang karaniwang sistema ng coordinate: ang pinagmulan ay nasa punto A, ang x axis ay nakadirekta sa AB, z - kasama ang AA 1. Idirekta natin ang y-axis upang ang OXY plane ay tumutugma sa ABC plane. Ang segment ng unit ay katumbas ng AB = 1. Hanapin natin ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon para sa mga kinakailangang linya.

Una, hanapin natin ang mga coordinate ng vector AD. Isaalang-alang ang mga puntos: A = (0; 0; 0) at D = (0.5; 0; 1), dahil D - gitna ng segment A 1 B 1. Dahil ang simula ng vector AD ay tumutugma sa pinagmulan ng mga coordinate, nakuha namin ang AD = (0.5; 0; 1).

Ngayon hanapin natin ang mga coordinate ng vector BE. Point B = (1; 0; 0) ay madaling kalkulahin. Sa punto E - ang gitna ng segment C 1 B 1 - ito ay medyo mas kumplikado. Meron kami:

Ito ay nananatili upang mahanap ang cosine ng anggulo:

Gawain. Sa isang regular na hexagonal prism ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , ang lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1, ang mga puntos na K at L ay minarkahan - ang mga midpoint ng mga gilid A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit . Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linyang AK at BL.

Ipakilala natin ang isang karaniwang sistema ng coordinate para sa isang prisma: inilalagay natin ang pinagmulan ng mga coordinate sa gitna ng ibabang base, ang x axis ay nakadirekta sa kahabaan ng FC, ang y axis ay nakadirekta sa mga midpoint ng mga segment AB at DE, at ang z axis ay nakadirekta patayo paitaas. Ang segment ng unit ay muling katumbas ng AB = 1. Isulat natin ang mga coordinate ng mga punto ng interes sa atin:

Ang mga puntos na K at L ay ang mga midpoint ng mga segment na A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit, kaya ang kanilang mga coordinate ay matatagpuan sa pamamagitan ng arithmetic mean. Ang pag-alam sa mga punto, nakita namin ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon na AK at BL:

Ngayon, hanapin natin ang cosine ng anggulo:

Gawain. Sa isang regular na quadrangular pyramid SABCD, ang lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1, ang mga puntos na E at F ay minarkahan - ang mga midpoint ng mga gilid ng SB at SC, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linyang AE at BF.

Ipakilala natin ang isang karaniwang sistema ng coordinate: ang pinanggalingan ay nasa punto A, ang x at y axes ay nakadirekta sa kahabaan ng AB at AD, ayon sa pagkakabanggit, at ang z axis ay nakadirekta patayo paitaas. Ang segment ng unit ay katumbas ng AB = 1.

Ang mga puntong E at F ay ang mga midpoint ng mga segment na SB at SC, ayon sa pagkakabanggit, kaya ang kanilang mga coordinate ay matatagpuan bilang arithmetic mean ng mga dulo. Isulat natin ang mga coordinate ng mga punto ng interes sa atin:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Ang pag-alam sa mga punto, nakita namin ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon na AE at BF:

Ang mga coordinate ng vector AE ay tumutugma sa mga coordinate ng point E, dahil ang point A ay ang pinagmulan. Ito ay nananatili upang mahanap ang cosine ng anggulo: