Rovnica priamky na rovine.
Smerový vektor je rovný. Normálny vektor

Priamka v rovine je jednou z najjednoduchších geometrické tvary, ktorú poznáte už od základných ročníkov, a dnes sa naučíme, ako sa s ňou vysporiadať pomocou metód analytickej geometrie. Na zvládnutie materiálu je potrebné vedieť postaviť priamku; vedieť, ktorá rovnica definuje priamku, najmä priamku prechádzajúcu počiatkom a priamky rovnobežné so súradnicovými osami. Táto informácia nájdete v návode Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií, vytvoril som to pre matan, ale sekcia o lineárna funkcia sa ukázalo ako veľmi úspešné a podrobné. Preto, milé čajníky, najprv sa tam zohrejte. Okrem toho musíte mať základné znalosti O vektory inak bude pochopenie materiálu neúplné.

V tejto lekcii sa pozrieme na spôsoby, ako môžete napísať rovnicu priamky v rovine. Odporúčam nezanedbať praktické príklady (aj keď sa to zdá veľmi jednoduché), keďže ich dodám so základnými a dôležité fakty, technické metódy, ktoré budú potrebné v budúcnosti, a to aj v iných sekciách vyššej matematiky.

• Ako napísať rovnicu priamky so sklonom?
• ako?
• Ako nájsť smerový vektor podľa všeobecnej rovnice priamky?
• Ako napísať rovnicu priamky danej bodom a normálovým vektorom?

a začíname:

Čiarová rovnica so sklonom

Známy „školský“ tvar rovnice priamky je tzv rovnica priamky so sklonom. Napríklad, ak je priamka daná rovnicou , potom jej sklon: . Zvážte geometrický význam tohto koeficientu a ako jeho hodnota ovplyvňuje umiestnenie čiary:

V priebehu geometrie sa to dokázalo sklon priamky je dotyčnica uhla medzi kladným smerom osia daný riadok: a roh sa „odskrutkuje“ proti smeru hodinových ručičiek.

Aby som kresbu nezavadzal, nakreslil som uhly len pre dve rovné čiary. Zvážte "červenú" priamku a jej sklon. Podľa vyššie uvedeného: (uhol "alfa" je označený zeleným oblúkom). Pre „modrú“ priamku so sklonom platí rovnosť (uhol „beta“ je označený hnedým oblúkom). A ak je známa dotyčnica uhla, v prípade potreby sa dá ľahko nájsť a roh pomocou inverznej funkcie - arkus tangens. Ako sa hovorí, trigonometrický stôl alebo kalkulačka v ruke. teda sklon charakterizuje stupeň sklonu priamky k osi x.

Zároveň je to možné nasledujúce prípady:

1) Ak je sklon záporný: , potom čiara, zhruba povedané, ide zhora nadol. Príkladom sú "modré" a "karmínové" rovné čiary na výkrese.

2) Ak je sklon kladný: , čiara ide zdola nahor. Príkladom sú "čierne" a "červené" rovné čiary na výkrese.

3) Ak je sklon rovný nule: , potom rovnica nadobudne tvar a príslušná čiara je rovnobežná s osou. Príkladom je „žltá“ čiara.

4) Pre skupinu priamych čiar rovnobežných s osou (na výkrese nie je žiadny príklad, okrem samotnej osi), sklon neexistuje (tangens 90 stupňov nie je definovaný).

Čím väčší je modul sklonu, tým strmší je čiarový graf.

Zvážte napríklad dve priame čiary. Tu má teda rovinka strmší sklon. Pripomínam, že modul vám umožňuje ignorovať znamenie, len nás zaujíma absolútne hodnoty uhlové koeficienty.

Priamka je zasa strmšia ako priamka. .

Naopak: čím menší je modul sklonu, tým je rovná čiara plochejšia.

Pre rovné čiary nerovnosť je pravdivá, teda priamka je viac ako baldachýn. Detská šmýkačka, aby nevznikli modriny a hrbole.

Prečo je to potrebné?

Predĺžte si svoje trápenie Znalosť vyššie uvedených skutočností vám umožní okamžite vidieť svoje chyby, najmä chyby pri vykresľovaní grafov - ak sa ukázalo, že kresba „očividne nie je v poriadku“. Je žiaduce, aby ste hneď bolo jasné, že napríklad priamka je veľmi strmá a ide zdola nahor a priamka je veľmi plochá, blízko osi a ide zhora nadol.

V geometrických úlohách sa často objavuje niekoľko priamych čiar, preto je vhodné ich nejako označiť.

Notový zápis: rovné čiary sú označené malými latinskými písmenami: . Populárnou možnosťou je označenie toho istého písmena prirodzenými dolnými indexmi. Napríklad päť riadkov, ktoré sme práve zvážili, možno označiť .

Pretože každá priamka je jednoznačne určená dvoma bodmi, možno ju označiť týmito bodmi: atď. Zo zápisu celkom jasne vyplýva, že body patria k priamke.

Je čas sa trochu uvoľniť:

Ako napísať rovnicu priamky so sklonom?

Ak je známy bod, ktorý patrí k určitej čiare, a sklon tejto čiary, potom rovnica tejto čiary je vyjadrená vzorcom:

Príklad 1

Zostavte rovnicu priamky so sklonom, ak je známe, že bod patrí do tejto priamky.

Riešenie: Rovnicu priamky zostavíme podľa vzorca . V tomto prípade:

Odpoveď:

Vyšetrenie vykonávané elementárne. Najprv sa pozrieme na výslednú rovnicu a uistíme sa, že náš svah je na svojom mieste. Po druhé, súradnice bodu musia spĺňať danú rovnicu. Zapojme ich do rovnice:

Získa sa správna rovnosť, čo znamená, že bod vyhovuje výslednej rovnici.

Záver: Rovnica bola nájdená správne.

Zložitejší príklad riešenia „urob si sám“:

Príklad 2

Napíšte rovnicu priamky, ak je známe, že jej uhol sklonu voči kladnému smeru osi je , a bod patrí tejto priamke.

Ak máte nejaké ťažkosti, znova si prečítajte teoretický materiál. Presnejšie, praktickejšie, chýba mi veľa dôkazov.

zazvonil posledný hovor, promočná párty utíchla a za bránami našej rodnej školy nás v skutočnosti čaká analytická geometria. Koniec vtipom... Možno to ešte len začína =)

Nostalgicky mávame rúčkou známemu a oboznamujeme sa so všeobecnou rovnicou priamky. Pretože v analytickej geometrii sa používa práve toto:

Všeobecná rovnica priamky má tvar: , kde sú nejaké čísla. Zároveň koeficienty súčasne sa nerovnajú nule, pretože rovnica stráca svoj význam.

Oblečme sa do obleku a uviažme rovnicu so sklonom. Najprv prenesieme všetky podmienky na ľavá strana:

Výraz s "x" musí byť uvedený na prvé miesto:

Rovnica už má v zásade tvar , ale podľa pravidiel matematickej etikety musí byť koeficient prvého člena (v tomto prípade ) kladný. Zmena znamenia:

Pamätajte na túto technickú vlastnosť! Prvý koeficient (najčastejšie ) dávame kladne!

V analytickej geometrii bude rovnica priamky takmer vždy uvedená vo všeobecnej forme. Ak je to potrebné, je ľahké ho priviesť do „školského“ tvaru so sklonom (s výnimkou priamych čiar rovnobežných s osou y).

Položme si otázku čo dosť viete postaviť rovnú čiaru? Dva body. Ale o tomto detskom prípade neskôr, teraz vládnu palice so šípkami. Každá rovinka má presne definovaný sklon, ktorému sa dá ľahko „prispôsobiť“ vektor.

Vektor, ktorý je rovnobežný s priamkou, sa nazýva smerový vektor tejto priamky.. Je zrejmé, že každá priamka má nekonečne veľa smerových vektorov a všetky budú kolineárne (smerované alebo nie - na tom nezáleží).

Smerový vektor označím takto: .

Ale jeden vektor nestačí na vytvorenie priamky, vektor je voľný a nie je pripojený k žiadnemu bodu roviny. Preto je dodatočne potrebné poznať nejaký bod, ktorý patrí k čiare.

Ako napísať rovnicu priamky s bodom a smerovým vektorom?

Ak je známy určitý bod patriaci do priamky a smerový vektor tejto priamky, potom rovnicu tejto priamky možno zostaviť podľa vzorca:

Niekedy je tzv kanonická rovnica priamky .

Čo robiť, keď jedna zo súradníc je nula, nižšie sa pozrieme na praktické príklady. Mimochodom, všimnite si - oboje naraz súradnice nemôžu byť nulové, pretože nulový vektor neurčuje konkrétny smer.

Príklad 3

Napíšte rovnicu priamky s bodom a smerovým vektorom

Riešenie: Rovnicu priamky zostavíme podľa vzorca. V tomto prípade:

Pomocou vlastností proporcie sa zbavíme zlomkov:

A prinášame rovnicu všeobecný pohľad:

Odpoveď:

Kreslenie v takýchto príkladoch spravidla nie je potrebné, ale kvôli pochopeniu:

Na výkrese vidíme začiatočný bod, pôvodný smerový vektor (môže byť posunutý z akéhokoľvek bodu v rovine) a zostrojenú čiaru. Mimochodom, v mnohých prípadoch sa konštrukcia priamky najpohodlnejšie vykonáva pomocou rovnice sklonu. Naša rovnica sa dá ľahko previesť do formy a bez problémov zoberieme ešte jeden bod na vytvorenie rovnej čiary.

Ako bolo uvedené na začiatku časti, priamka má nekonečne veľa smerových vektorov a všetky sú kolineárne. Napríklad som nakreslil tri takéto vektory: . Ktorýkoľvek smerový vektor zvolíme, výsledkom bude vždy rovnaká priamka rovnica.

Zostavme rovnicu priamky bodom a smerovacím vektorom:

Rozdelenie podielu:

Vydeľte obe strany číslom -2 a získajte známu rovnicu:

Tí, ktorí chcú, môžu podobne testovať vektory alebo akýkoľvek iný kolineárny vektor.

Teraz vyriešme inverzný problém:

Ako nájsť smerový vektor podľa všeobecnej rovnice priamky?

Veľmi jednoduché:

Ak je priamka daná všeobecnou rovnicou v pravouhlom súradnicovom systéme, potom vektor je smerový vektor tejto priamky.

Príklady hľadania smerových vektorov priamych čiar:

Tento príkaz nám umožňuje nájsť iba jeden smerový vektor z nekonečnej množiny, ale viac nepotrebujeme. Aj keď v niektorých prípadoch je vhodné znížiť súradnice smerových vektorov:

Takže rovnica špecifikuje priamku, ktorá je rovnobežná s osou a súradnice výsledného vektora riadenia sú vhodne delené -2, čím sa získa presne základný vektor ako vektor riadenia. Logicky.

Podobne rovnica definuje priamku rovnobežnú s osou a vydelením súradníc vektora číslom 5 dostaneme ort ako smerový vektor.

Teraz poďme popraviť skontrolujte príklad 3. Príklad šiel hore, takže vám pripomínam, že sme v ňom vytvorili rovnicu priamky pomocou bodu a smerového vektora

Po prvé, podľa rovnice priamky obnovíme jej smerový vektor: - všetko je v poriadku, dostali sme pôvodný vektor (v niektorých prípadoch sa môže ukázať, že je kolineárny s pôvodným vektorom, čo je zvyčajne ľahko vidieť podľa proporcionality zodpovedajúcich súradníc).

Po druhé, súradnice bodu musia spĺňať rovnicu . Dosadíme ich do rovnice:

Bola dosiahnutá správna rovnosť, čo nás veľmi teší.

Záver: Úloha dokončená správne.

Príklad 4

Napíšte rovnicu priamky s bodom a smerovým vektorom

Toto je príklad „urob si sám“. Riešenie a odpoveď na konci hodiny. Je veľmi žiaduce vykonať kontrolu podľa práve uvažovaného algoritmu. Pokúste sa vždy (ak je to možné) skontrolovať koncept. Je hlúpe robiť chyby tam, kde sa im dá 100% vyhnúť.

V prípade, že jedna zo súradníc smerového vektora je nula, je to veľmi jednoduché:

Príklad 5

Riešenie: Vzorec je neplatný, pretože menovateľ na pravej strane je nula. Existuje východ! Pomocou vlastností proporcie prepíšeme vzorec do tvaru a zvyšok sa valí po hlbokej koľaji:

Odpoveď:

Vyšetrenie:

1) Obnovte smerový vektor priamky:
– výsledný vektor je kolineárny s pôvodným smerovým vektorom.

2) Dosaďte súradnice bodu do rovnice:

Získa sa správna rovnosť

Záver: úloha dokončená správne

Vynára sa otázka, prečo sa trápiť so vzorcom, ak existuje univerzálna verzia, ktorá bude fungovať aj tak? Dôvody sú dva. Po prvé, zlomkový vzorec oveľa lepšie na zapamätanie. Po druhé, nevýhoda univerzálny vzorec je to? výrazne zvýšené riziko zámeny pri dosadzovaní súradníc.

Príklad 6

Zostavte rovnicu priamky s bodom a smerovým vektorom.

Toto je príklad „urob si sám“.

Vráťme sa k dvom všadeprítomným bodom:

Ako napísať rovnicu priamky zadanej dvoma bodmi?

Ak sú známe dva body, potom rovnicu priamky prechádzajúcej týmito bodmi možno zostaviť pomocou vzorca:

V skutočnosti je to druh vzorca a tu je dôvod: ak sú známe dva body, potom bude vektor smerovým vektorom tejto čiary. Na lekcii Vektory pre figuríny zvažovali sme najjednoduchší problém - ako nájsť súradnice vektora z dvoch bodov. Podľa tohto problému súradnice smerového vektora:

Poznámka : body je možné „prehodiť“ a použiť vzorec . Takéto rozhodnutie by bolo rovnocenné.

Príklad 7

Napíšte rovnicu priamky z dvoch bodov .

Riešenie: Použite vzorec:

Prečesávame menovateľov:

A zamiešajte balíček:

Teraz je čas sa zbaviť zlomkové čísla. V tomto prípade musíte obe časti vynásobiť 6:

Otvorte zátvorky a spomeňte si na rovnicu:

Odpoveď:

Vyšetrenie je zrejmé - súradnice počiatočných bodov musia spĺňať výslednú rovnicu:

1) Dosaďte súradnice bodu:

Skutočná rovnosť.

2) Dosaďte súradnice bodu:

Skutočná rovnosť.

Záver: rovnica priamky je správna.

Ak aspoň jeden bodov nevyhovuje rovnici, hľadajte chybu.

Stojí za zmienku, že grafické overenie je v tomto prípade ťažké, pretože postaviť čiaru a zistiť, či k nej body patria , nie je to také ľahké.

Uvediem niekoľko technických bodov riešenia. Možno je v tomto probléme výhodnejšie použiť zrkadlový vzorec a za rovnaké body urob rovnicu:

Existuje menej zlomkov. Ak chcete, môžete riešenie dokončiť až do konca, výsledkom by mala byť rovnaká rovnica.

Druhým bodom je pozrieť sa na konečnú odpoveď a zistiť, či sa dá ďalej zjednodušiť? Napríklad, ak sa získa rovnica, potom je vhodné ju znížiť o dve: - rovnica nastaví rovnakú priamku. To je však už téma na rozhovor vzájomné usporiadanie priamych línií.

Po prijatí odpovede v príklade 7 som pre každý prípad skontroloval, či sú VŠETKY koeficienty rovnice deliteľné 2, 3 alebo 7. Aj keď najčastejšie sa takéto redukcie robia pri riešení.

Príklad 8

Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi .

Toto je príklad nezávislého riešenia, ktoré vám len umožní lepšie pochopiť a vypracovať techniku ​​výpočtu.

Podobne ako v predchádzajúcom odseku: ak je vo vzorci jeden z menovateľov (súradnica smerového vektora) zmizne, potom ho prepíšeme ako . A opäť si všimnite, ako nemotorne a zmätene začala vyzerať. nevidím zvláštny význam riadiť praktické príklady, keďže takýto problém sme už vlastne riešili (pozri č. 5, 6).

Normálny vektor priamej čiary (normálny vektor)

čo je normálne? Jednoducho povedané, normála je kolmica. To znamená, že normálový vektor priamky je kolmý na danú priamku. Je zrejmé, že každá priamka ich má nekonečný počet (rovnako ako smerových vektorov) a všetky normálové vektory priamky budú kolineárne (kosmerné alebo nie - na tom nezáleží).

Manipulácia s nimi bude ešte jednoduchšia ako so smerovými vektormi:

Ak je priamka daná všeobecnou rovnicou v pravouhlom súradnicovom systéme, potom vektor je normálový vektor tejto priamky.

Ak je potrebné z rovnice opatrne „vytiahnuť“ súradnice smerového vektora, potom je možné súradnice normálového vektora jednoducho „odstrániť“.

Normálny vektor je vždy ortogonálny k smerovému vektoru priamky. Ortogonalitu týchto vektorov overíme pomocou skalárny súčin:

Uvediem príklady s rovnakými rovnicami ako pre smerový vektor:

Je možné napísať rovnicu priamky, keď poznáme jeden bod a normálový vektor? Zdá sa, že je to možné. Ak je známy normálny vektor, potom je jednoznačne určený aj smer najpriamejšej čiary - ide o „tuhú štruktúru“ s uhlom 90 stupňov.

Ako napísať rovnicu priamky danej bodom a normálovým vektorom?

Ak je známy nejaký bod patriaci do priamky a normálový vektor tejto priamky, potom rovnica tejto priamky je vyjadrená vzorcom:

Tu sa všetko zaobišlo bez zlomkov a iných prekvapení. Taký je náš normálny vektor. Milujem to. A rešpekt =)

Príklad 9

Zostavte rovnicu priamky danej bodom a normálovým vektorom. Nájdite smerový vektor priamky.

Riešenie: Použite vzorec:

Získame všeobecnú rovnicu priamky, skontrolujme:

1) "Odstráňte" súradnice normálového vektora z rovnice: - áno, skutočne, pôvodný vektor sa získa z podmienky (alebo vektor by mal byť kolineárny s pôvodným vektorom).

2) Skontrolujte, či bod spĺňa rovnicu:

Skutočná rovnosť.

Keď sa presvedčíme, že rovnica je správna, dokončíme druhú, ľahšiu časť úlohy. Vytiahneme smerový vektor priamky:

Odpoveď:

Na výkrese je situácia nasledovná:

Na účely školenia podobná úloha pre nezávislé riešenie:

Príklad 10

Zostavte rovnicu priamky danej bodom a normálovým vektorom. Nájdite smerový vektor priamky.

Záverečná časť lekcie bude venovaná menej bežným, ale aj významné druhy rovnice priamky na rovine

Rovnica priamky v segmentoch.
Rovnica priamky v parametrickom tvare

Rovnica priamky v segmentoch má tvar , kde sú nenulové konštanty. Niektoré typy rovníc nemôžu byť reprezentované v tejto forme, napríklad priama úmernosť (keďže voľný člen je nula a neexistuje spôsob, ako dostať jednotku na pravú stranu).

Ide, obrazne povedané, o „technický“ typ rovnice. Bežnou úlohou je všeobecná rovnica predstavujú priamku ako rovnicu priamky v segmentoch . Prečo je to pohodlné? Rovnica priamky v segmentoch umožňuje rýchlo nájsť priesečníky priamky so súradnicovými osami, čo je veľmi dôležité v niektorých úlohách vyššej matematiky.

Nájdite priesečník priamky s osou. Vynulujeme „y“ a rovnica má tvar . Požadovaný bod sa získa automaticky: .

To isté s osou je bod, kde priamka pretína os y.

Vlastnosti priamky v euklidovskej geometrii.

Existuje nekonečne veľa čiar, ktoré možno nakresliť cez ktorýkoľvek bod.

Cez akékoľvek dva nezhodné body vedie iba jedna priamka.

Dve nezhodné čiary v rovine sa buď pretínajú v jednom bode, alebo sú

paralelný (vyplýva z predchádzajúceho).

V 3D priestore sú tri možnosti. relatívnu polohu dve rovné čiary:

• čiary sa pretínajú;

• priame čiary sú rovnobežné;

• priamky sa pretínajú.

Rovno riadok- algebraická krivka prvého rádu: v karteziánskom súradnicovom systéme priamka

je daná v rovine rovnicou prvého stupňa (lineárna rovnica).

Všeobecná rovnica priamky.

Definícia. Akákoľvek priamka v rovine môže byť daná rovnicou prvého poriadku

Ah + Wu + C = 0,

a konštantný A, B nerovná sa zároveň nule. Táto rovnica prvého rádu sa nazýva všeobecný

priamka rovnica. V závislosti od hodnôt konštánt A, B A S Možné sú tieto špeciálne prípady:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- čiara prechádza počiatkom

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (by + C = 0)- priamka rovnobežná s osou Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- priamka rovnobežná s osou OU

. B = C = 0, A ≠ 0- čiara sa zhoduje s osou OU

. A = C = 0, B ≠ 0- čiara sa zhoduje s osou Oh

Rovnica priamky môže byť znázornená v rôzne formy v závislosti od akejkoľvek danosti

počiatočné podmienky.

Rovnica priamky bodom a normálovým vektorom.

Definícia. V kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme vektor so zložkami (A, B)

kolmá na priamku danú rovnicou

Ah + Wu + C = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A(1; 2) kolmo na vektor (3, -1).

Riešenie. Zostavme pri A \u003d 3 a B \u003d -1 rovnicu priamky: 3x - y + C \u003d 0. Ak chcete nájsť koeficient C

do výsledného výrazu dosadíme súradnice daného bodu A. Dostaneme: 3 - 2 + C = 0, teda

C = -1. Celkom: požadovaná rovnica: 3x - y - 1 \u003d 0.

Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi.

Nech sú uvedené dva body v priestore M 1 (x 1 , y 1 , z 1) A M2 (x 2, y 2, z 2), Potom priamka rovnica,

prechádza cez tieto body:

Ak sa niektorý z menovateľov rovná nule, zodpovedajúci čitateľ by mal byť nastavený na nulu. Zapnuté

rovine, rovnica priamky napísaná vyššie je zjednodušená:

Ak x 1 ≠ x 2 A x = x 1, Ak x 1 = x 2 .

Zlomok = k volal faktor sklonu rovno.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi A(1, 2) a B(3, 4).

Riešenie. Použitím vyššie uvedeného vzorca dostaneme:

Rovnica priamky bodom a sklonom.

Ak je všeobecná rovnica priamky Ah + Wu + C = 0 uveďte do formulára:

a určiť , potom sa výsledná rovnica nazýva

rovnica priamky so sklonom k.

Rovnica priamky na bode a smerového vektora.

Analogicky s bodom, ktorý berie do úvahy rovnicu priamky cez normálový vektor, môžete zadať úlohu

priamka cez bod a smerový vektor priamky.

Definícia. Každý nenulový vektor (α 1, α 2), ktorého komponenty spĺňajú podmienku

Aai + Ba2 = 0 volal smerový vektor priamky.

Ah + Wu + C = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky so smerovým vektorom (1, -1) a prechádzajúcej bodom A(1, 2).

Riešenie. Budeme hľadať rovnicu požadovanej priamky v tvare: Ax + By + C = 0. Podľa definície

koeficienty musia spĺňať tieto podmienky:

1 * A + (-1) * B = 0, t.j. A = B.

Potom má rovnica priamky tvar: Ax + Ay + C = 0, alebo x + y + C / A = 0.

pri x = 1, y = 2 dostaneme C/A = -3, t.j. požadovaná rovnica:

x + y - 3 = 0

Rovnica priamky v segmentoch.

Ak vo všeobecnej rovnici priamky Ah + Wu + C = 0 C≠0, potom po delení -C dostaneme:

alebo , kde

Geometrický význam koeficientov je, že koeficient a je súradnicou priesečníka

rovný s nápravou oh, A b- súradnica priesečníka priamky s osou OU.

Príklad. Je uvedená všeobecná rovnica priamky x - y + 1 = 0. Nájdite rovnicu tejto priamky v segmentoch.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normálna rovnica priamky.

Ak obe strany rovnice Ah + Wu + C = 0 deliť číslom , ktorá sa volá

normalizačný faktor, potom dostaneme

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normálna rovnica priamky.

Znamienko ± normalizačného faktora musí byť zvolené tak, aby μ * C< 0.

R- dĺžka kolmice spustenej od začiatku k čiare,

A φ - uhol, ktorý zviera táto kolmica s kladným smerom osi Oh.

Príklad. Vzhľadom na všeobecnú rovnicu priamky 12x - 5r - 65 = 0. Povinné napísať Rôzne druhy rovnice

túto priamku.

Rovnica tejto priamky v segmentoch:

Rovnica tejto priamky so sklonom: (vydeliť 5)

Rovnica priamky:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Treba poznamenať, že nie každá priamka môže byť reprezentovaná rovnicou v segmentoch, napríklad priamky,

rovnobežné s osami alebo prechádzajúce počiatkom.

Uhol medzi čiarami v rovine.

Definícia. Ak sú uvedené dva riadky y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, To ostrý roh medzi týmito riadkami

bude definovaný ako

Dve čiary sú rovnobežné, ak k1 = k2. Dve čiary sú kolmé

Ak k 1 \u003d -1 / k 2 .

Veta.

Priamy Ah + Wu + C = 0 A A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sú paralelné, keď sú koeficienty proporcionálne

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Ak tiež С 1 \u003d λС, potom sa čiary zhodujú. Súradnice priesečníka dvoch priamok

sa nachádzajú ako riešenie sústavy rovníc týchto priamok.

Rovnica prechádzajúcej priamky daný bod kolmo na túto čiaru.

Definícia. Čiara prechádzajúca bodom M 1 (x 1, y 1) a kolmo na čiaru y = kx + b

reprezentovaný rovnicou:

Vzdialenosť od bodu k čiare.

Veta. Ak je daný bod M(x 0, y 0), potom vzdialenosť k čiare Ah + Wu + C = 0 definovaný ako:

Dôkaz. Nechajte bod M 1 (x 1, y 1)- základňa kolmice klesla z hrotu M za danú

priamy. Potom vzdialenosť medzi bodmi M A M 1:

(1)

Súradnice x 1 A 1 možno nájsť ako riešenie systému rovníc:

Druhá rovnica systému je rovnica priamky prechádzajúcej cez daný bod M 0 kolmá

daný riadok. Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

potom pri riešení dostaneme:

Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:

Veta bola dokázaná.

Nechajte priamku prechádzať bodmi M 1 (x 1; y 1) a M 2 (x 2; y 2). Rovnica priamky prechádzajúcej bodom M 1 má tvar y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

Kde k - zatiaľ neznámy koeficient.

Pretože priamka prechádza bodom M 2 (x 2 y 2), súradnice tohto bodu musia spĺňať rovnicu (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2-x 1).

Odtiaľ nájdeme Nahradenie nájdenej hodnoty k do rovnice (10.6) dostaneme rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi M 1 a M 2:

Predpokladá sa, že v tejto rovnici x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ak x 1 \u003d x 2, potom priamka prechádzajúca bodmi M 1 (x 1, y I) a M 2 (x 2, y 2) je rovnobežná s osou y. Jeho rovnica je x = x 1 .

Ak y 2 \u003d y I, potom rovnicu priamky možno napísať ako y \u003d y 1, priamka M 1 M 2 je rovnobežná s osou x.

Rovnica priamky v segmentoch

Nech priamka pretína os Ox v bode M 1 (a; 0) a os Oy v bode M 2 (0; b). Rovnica bude mať tvar:
tie.
. Táto rovnica sa nazýva rovnica priamky v segmentoch, pretože čísla aab označujú, ktoré segmenty priamka oddeľuje na súradnicových osiach.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom kolmo na daný vektor

Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej daným bodom Mo (x O; y o) kolmou na daný nenulový vektor n = (A; B).

Zoberme si ľubovoľný bod M(x; y) na priamke a uvažujme vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (pozri obr. 1). Pretože vektory n a M o M sú kolmé, ich skalárny súčin sa rovná nule: tj.

A(x - xo) + B (y - yo) = 0. (10.8)

Volá sa rovnica (10.8). rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom kolmým na daný vektor .

Vektor n = (A; B) kolmý na priamku sa nazýva normálový normálny vektor tejto čiary .

Rovnicu (10.8) je možné prepísať ako Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

kde A a B sú súradnice normálneho vektora, C \u003d -Ax o - Vu o - voľný člen. rovnica (10.9) je všeobecná rovnica priamky(pozri obr.2).

Obr.1 Obr.2

Kanonické rovnice priamky

,

Kde
sú súradnice bodu, ktorým čiara prechádza, a
- smerový vektor.

Krivky kruhu druhého rádu

Kruh je množina všetkých bodov roviny rovnako vzdialených od daného bodu, ktorý sa nazýva stred.

Kanonická rovnica kružnice s polomerom R sústredený na bod
:

Najmä, ak sa stred kolíka zhoduje s počiatkom, rovnica bude vyzerať takto:

Elipsa

Elipsa je množina bodov v rovine, súčet vzdialeností od každého z nich k dvom daným bodom A , ktoré sa nazývajú ohniská, je konštantná hodnota
, väčšia ako vzdialenosť medzi ohniskami
.

Kanonická rovnica elipsy, ktorej ohniská ležia na osi Ox a ktorej počiatok je v strede medzi ohniskami, má tvar
G de a dĺžka hlavnej poloosi; b je dĺžka vedľajšej poloosi (obr. 2).

Priamku prechádzajúcu bodom K(x 0; y 0) rovnobežnú s priamkou y = kx + a nájdeme podľa vzorca:

y – y 0 \u003d k (x – x 0) (1)

Kde k je sklon priamky.

Alternatívny vzorec:
Priamka prechádzajúca bodom M 1 (x 1 ; y 1) rovnobežná s priamkou Ax+By+C=0 je vyjadrená rovnicou

A(x-x1)+B(y-y1)=0. (2)

Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodom K( ;) rovnobežne s priamkou y = x + .

Príklad #1. Zostavte rovnicu priamky prechádzajúcej bodom M 0 (-2,1) a súčasne:
a) rovnobežne s priamkou 2x+3y -7 = 0;
b) kolmo na priamku 2x+3y -7 = 0.
Riešenie . Predstavme si rovnicu sklonu ako y = kx + a . Za týmto účelom prenesieme všetky hodnoty okrem y do pravá strana: 3y = -2x + 7 . Potom pravú stranu vydelíme koeficientom 3 . Dostaneme: y = -2/3x + 7/3
Nájdite rovnicu NK prechádzajúcu bodom K(-2;1) rovnobežným s priamkou y = -2 / 3 x + 7 / 3
Nahradením x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 dostaneme:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
alebo
y = -2 / 3 x - 1 / 3 alebo 3 roky + 2x +1 = 0

Príklad č. 2. Napíšte rovnicu priamky rovnobežnej s priamkou 2x + 5y = 0 a tvoriacej spolu so súradnicovými osami trojuholník, ktorého obsah je 5.
Riešenie . Keďže priamky sú rovnobežné, rovnica požadovanej priamky je 2x + 5y + C = 0. Plocha správny trojuholník, kde a a b sú jeho nohy. Nájdite priesečníky požadovanej čiary so súradnicovými osami:
;
.
Takže, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Vo vzorci pre oblasť nahraďte: . Dostaneme dve riešenia: 2x + 5y + 10 = 0 a 2x + 5y - 10 = 0 .

Príklad č. 3. Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodom (-2; 5) a rovnobežky 5x-7y-4=0 .
Riešenie. Táto priamka môže byť vyjadrená rovnicou y = 5/7 x – 4/7 (tu a = 5/7). Rovnica požadovanej priamky je y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), t.j. 7(y-5)=5(x+2) alebo 5x-7y+45=0.

Príklad č. 4. Riešením príkladu 3 (A=5, B=-7) pomocou vzorca (2) nájdeme 5(x+2)-7(y-5)=0.

Príklad číslo 5. Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodom (-2;5) a rovnobežnej priamky 7x+10=0.
Riešenie. Tu A=7, B=0. Vzorec (2) dáva 7(x+2)=0, t.j. x+2=0. Vzorec (1) nie je použiteľný, pretože túto rovnicu nemožno vyriešiť vzhľadom na y (táto priamka je rovnobežná s osou y).

Tento článok pokračuje v téme rovnice priamky v rovine: zvážte taký typ rovnice ako všeobecnú rovnicu priamky. Definujme vetu a dajme jej dôkaz; Poďme zistiť, čo je neúplná všeobecná rovnica priamky a ako urobiť prechody zo všeobecnej rovnice na iné typy rovníc priamky. Celú teóriu si upevníme ilustráciami a riešením praktických problémov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Nech je v rovine daný pravouhlý súradnicový systém O x y.

Veta 1

Akákoľvek rovnica prvého stupňa, ktorá má tvar A x + B y + C \u003d 0, kde A, B, C sú nejaké reálne čísla (A a B sa súčasne nerovnajú nule), definuje priamku v pravouhlý súradnicový systém v rovine. Na druhej strane je každá čiara v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine určená rovnicou, ktorá má tvar A x + B y + C = 0 pre určitú množinu hodnôt A, B, C.

Dôkaz

Táto veta pozostáva z dvoch bodov, každý z nich dokážeme.

1. Dokážme, že rovnica A x + B y + C = 0 definuje priamku v rovine.

Nech existuje nejaký bod M 0 (x 0 , y 0), ktorého súradnice zodpovedajú rovnici A x + B y + C = 0 . Teda: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Odčítaním od ľavej a pravej strany rovníc A x + B y + C \u003d 0 ľavú a pravú stranu rovnice A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 dostaneme novú rovnicu, ktorá vyzerá ako A (x - x 0) + B (y - y0) = 0. Je to ekvivalent A x + B y + C = 0.

Výsledná rovnica A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 je nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou pre kolmosť vektorov n → = (A, B) a M 0 M → = (x - x). 0, y - y 0 ). Množina bodov M (x, y) teda definuje v pravouhlom súradnicovom systéme priamku kolmú na smer vektora n → = (A, B) . Môžeme predpokladať, že to tak nie je, ale potom by vektory n → = (A, B) a M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) neboli kolmé a rovnosť A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 by nebolo pravdivé.

Preto rovnica A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 definuje nejakú čiaru v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine, a preto ekvivalentná rovnica A x + B y + C \u003d 0 definuje ten istý riadok. Tým sme dokázali prvú časť vety.

1. Dokážme, že akákoľvek priamka v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine môže byť daná rovnicou prvého stupňa A x + B y + C = 0 .

Postavme priamku a v pravouhlom súradnicovom systéme na rovinu; bod M 0 (x 0, y 0), ktorým táto priamka prechádza, ako aj normálový vektor tejto priamky n → = (A , B) .

Nech existuje aj nejaký bod M (x , y) - plávajúca bodka priamky. V tomto prípade sú vektory n → = (A, B) a M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) navzájom kolmé a ich skalárny produkt je null:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Prepíšme rovnicu A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, zadefinujme C: C = - A x 0 - B y 0 a nakoniec získame rovnicu A x + B y + C = 0 .

Takže sme dokázali druhú časť vety a dokázali sme celú vetu ako celok.

Definícia 1

Rovnica, ktorá vyzerá Ax + By + C = 0 - Toto všeobecná rovnica priamky na rovine v pravouhlom súradnicovom systémeO x y .

Na základe dokázanej vety môžeme konštatovať, že priamka daná na rovine v pevnom pravouhlom súradnicovom systéme a jej všeobecná rovnica sú neoddeliteľne spojené. Inými slovami, pôvodný riadok zodpovedá jeho všeobecnej rovnici; všeobecná rovnica priamky zodpovedá danej priamke.

Z dôkazu vety tiež vyplýva, že koeficienty A a B pre premenné x a y sú súradnice normálového vektora priamky, ktorý je daný všeobecnou rovnicou priamky A x + B y + C = 0.

Zvážte konkrétny príklad všeobecná rovnica priamky.

Nech je daná rovnica 2 x + 3 y - 2 = 0, čo zodpovedá priamke v danom pravouhlom súradnicovom systéme. Normálny vektor tejto čiary je vektor n → = (2, 3) Nakreslite na výkrese danú priamku.

Tvrdiť možno aj nasledovné: priamka, ktorú vidíme na výkrese, je určená všeobecnou rovnicou 2 x + 3 y - 2 = 0, keďže tejto rovnici zodpovedajú súradnice všetkých bodov danej priamky.

Rovnicu λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 dostaneme vynásobením oboch strán všeobecnej rovnice priamky nenulovým číslom λ. Výsledná rovnica je ekvivalentná pôvodnej všeobecnej rovnici, preto bude opisovať rovnakú priamku v rovine.

Definícia 2

Kompletná všeobecná rovnica priamky- taká všeobecná rovnica priamky A x + B y + C \u003d 0, v ktorej sú čísla A, B, C nenulové. Inak platí rovnica neúplné.

Analyzujme všetky variácie neúplnej všeobecnej rovnice priamky.

1. Keď A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, všeobecná rovnica sa zmení na By + C \u003d 0. Takáto neúplná všeobecná rovnica definuje priamku v pravouhlom súradnicovom systéme O x y, ktorá je rovnobežná s osou O x, pretože pre akúkoľvek reálnu hodnotu x nadobudne premenná y hodnotu - C B . Inými slovami, všeobecná rovnica priamky A x + B y + C \u003d 0, keď A \u003d 0, B ≠ 0, definuje polohu bodov (x, y), ktorých súradnice sa rovnajú rovnakému číslu. - C B .
2. Ak A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, všeobecná rovnica bude y \u003d 0. Takáto neúplná rovnica definuje os x Ox.
3. Keď A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, dostaneme neúplnú všeobecnú rovnicu A x + C \u003d 0, ktorá definuje priamku rovnobežnú s osou y.
4. Nech A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, potom neúplná všeobecná rovnica bude mať tvar x \u003d 0 a toto je rovnica súradnicovej čiary Oy.
5. Nakoniec, keď A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, neúplná všeobecná rovnica má tvar A x + B y \u003d 0. A táto rovnica opisuje priamku, ktorá prechádza počiatkom. Páru čísel (0 , 0) skutočne zodpovedá rovnosť A x + B y = 0 , keďže A · 0 + B · 0 = 0 .

Poďme si graficky znázorniť všetky vyššie uvedené typy neúplnej všeobecnej rovnice priamky.

Príklad 1

Je známe, že daná priamka je rovnobežná s osou y a prechádza bodom 2 7 , - 11 . Je potrebné zapísať všeobecnú rovnicu danej priamky.

Riešenie

Priamka rovnobežná s osou y je daná rovnicou tvaru A x + C \u003d 0, v ktorej A ≠ 0. Podmienka určuje aj súradnice bodu, ktorým úsečka prechádza a súradnice tohto bodu zodpovedajú podmienkam neúplnej všeobecnej rovnice A x + C = 0, t.j. rovnosť je správna:

A27 + C = 0

Z nej je možné určiť C tak, že A dáme nejakú nenulovú hodnotu, napríklad A = 7 . V tomto prípade dostaneme: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Poznáme oba koeficienty A a C, dosadíme ich do rovnice A x + C = 0 a dostaneme požadovanú rovnicu priamky: 7 x - 2 = 0

odpoveď: 7 x - 2 = 0

Príklad 2

Na výkrese je znázornená priamka, je potrebné zapísať jej rovnicu.

Riešenie

Daný výkres nám umožňuje jednoducho zobrať počiatočné údaje na riešenie problému. Na výkrese vidíme, že daná čiara je rovnobežná s osou O x a prechádza bodom (0, 3).

Priamka, ktorá je rovnobežná s úsečkou, je určená neúplnou všeobecnou rovnicou B y + С = 0. Nájdite hodnoty B a C. Súradnice bodu (0, 3), keďže ním prechádza daná priamka, budú vyhovovať rovnici priamky B y + С = 0, potom platí rovnosť: В · 3 + С = 0. Nastavme B na inú hodnotu ako nulu. Povedzme B \u003d 1, v tomto prípade z rovnosti B · 3 + C \u003d 0 nájdeme C: C \u003d - 3. Používame známe hodnoty B a C získame požadovanú rovnicu priamky: y - 3 = 0.

odpoveď: y-3 = 0.

Všeobecná rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom roviny

Danú priamku necháme prechádzať bodom M 0 (x 0, y 0), potom jej súradnice zodpovedajú všeobecnej rovnici priamky, t.j. platí rovnosť: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Odčítajte ľavú a pravú stranu tejto rovnice od ľavej a pravej strany všeobecnej úplnej rovnice priamky. Dostaneme: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, táto rovnica je ekvivalentná pôvodnej všeobecnej rovnici, prechádza bodom M 0 (x 0, y 0) a má normálny vektor n → \u003d (A, B) .

Výsledok, ktorý sme získali, umožňuje napísať všeobecnú rovnicu priamky pre známe súradnice normálového vektora priamky a súradnice určitého bodu tejto priamky.

Príklad 3

Daný je bod M 0 (- 3, 4), cez ktorý priamka prechádza, a normálový vektor tejto priamky n → = (1, - 2) . Je potrebné zapísať rovnicu danej priamky.

Riešenie

Počiatočné podmienky nám umožňujú získať potrebné údaje na zostavenie rovnice: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. potom:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problém sa dal vyriešiť inak. Všeobecná rovnica priamky má tvar A x + B y + C = 0 . Daný normálny vektor vám umožňuje získať hodnoty koeficientov A a B, potom:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Teraz nájsť hodnotu C, pomocou bodu M 0 (- 3, 4) daného podmienkou úlohy, ktorým prechádza priamka. Súradnice tohto bodu zodpovedajú rovnici x - 2 · y + C = 0, t.j. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Preto C = 11. Požadovaná priamka rovnica má tvar: x - 2 · y + 11 = 0 .

odpoveď: x - 2 y + 11 = 0.

Príklad 4

Je daná priamka 2 3 x - y - 1 2 = 0 a bod M 0 ležiaci na tejto priamke. Známa je iba úsečka tohto bodu a rovná sa - 3. Je potrebné určiť ordinátu daného bodu.

Riešenie

Označme súradnice bodu M 0 ako x 0 a y 0 . Počiatočné údaje naznačujú, že x 0 \u003d - 3. Keďže bod patrí k danej priamke, potom jeho súradnice zodpovedajú všeobecnej rovnici tejto priamky. Potom bude platiť nasledujúca rovnosť:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Definujte y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

odpoveď: - 5 2

Prechod od všeobecnej rovnice priamky k iným typom rovníc priamky a naopak

Ako vieme, existuje niekoľko typov rovnice tej istej priamky v rovine. Výber typu rovnice závisí od podmienok problému; je možné si vybrať ten, ktorý je pre jeho riešenie pohodlnejší. Tu je veľmi užitočná zručnosť previesť rovnicu jedného druhu na rovnicu iného druhu.

Najprv zvážte prechod od všeobecnej rovnice tvaru A x + B y + C = 0 ku kanonickej rovnici x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Ak A ≠ 0, potom člen B y prenesieme na pravú stranu všeobecnej rovnice. Na ľavej strane vyberieme A zo zátvoriek. V dôsledku toho dostaneme: A x + C A = - B y .

Túto rovnosť môžeme zapísať ako podiel: x + C A - B = y A .

Ak B ≠ 0, ponecháme iba člen A x na ľavej strane všeobecnej rovnice, ostatné prenesieme na pravú stranu, dostaneme: A x \u003d - B y - C. Vyberieme - B zo zátvoriek, potom: A x \u003d - B y + C B.

Prepíšme rovnosť ako podiel: x - B = y + C B A .

Samozrejme, výsledné vzorce sa netreba učiť naspamäť. Stačí poznať algoritmus akcií pri prechode zo všeobecnej rovnice na kanonickú.

Príklad 5

Je daná všeobecná rovnica priamky 3 y - 4 = 0. Treba ju previesť na kanonickú rovnicu.

Riešenie

Pôvodnú rovnicu zapíšeme ako 3 y - 4 = 0 . Ďalej konáme podľa algoritmu: člen 0 x zostáva na ľavej strane; a na pravej strane vyberieme - 3 zo zátvoriek; dostaneme: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Výslednú rovnosť zapíšme ako podiel: x - 3 = y - 4 3 0 . Takto sme dostali rovnicu kanonického tvaru.

Odpoveď: x - 3 = y - 4 3 0.

Na transformáciu všeobecnej rovnice priamky na parametrické sa najskôr vykoná prechod na kanonickú formu a potom prechod z kanonickej rovnice priamky na parametrické rovnice.

Príklad 6

Priamka je daná rovnicou 2 x - 5 y - 1 = 0 . Zapíšte si parametrické rovnice tohto riadku.

Riešenie

Urobme prechod zo všeobecnej rovnice na kanonickú:

2 x - 5 rokov - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 r + 1 ⇔ 2 x = 5 r + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Teraz zoberme obe časti výslednej kanonickej rovnice rovné λ, potom:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

odpoveď:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Všeobecnú rovnicu možno previesť na priamku so sklonom y = k x + b, ale iba vtedy, keď B ≠ 0. Pre prechod na ľavej strane necháme výraz B y , zvyšok sa prenesie na pravú. Dostaneme: B y = - A x - C . Vydeľme obe časti výslednej rovnosti B , ktorá je iná od nuly: y = - A B x - C B .

Príklad 7

Všeobecná rovnica priamky je daná: 2 x + 7 y = 0 . Túto rovnicu musíte previesť na rovnicu sklonu.

Riešenie

Poďme vyrábať potrebné opatrenia podla algoritmu:

2 x + 7 r = 0 ⇔ 7 r - 2 x ⇔ r = - 2 7 x

odpoveď: y = -27 x.

Zo všeobecnej rovnice priamky stačí jednoducho získať rovnicu v segmentoch tvaru x a + y b \u003d 1. Aby sme urobili takýto prechod, prenesieme číslo C na pravú stranu rovnosti, obe časti výslednej rovnosti vydelíme - С a nakoniec prenesieme koeficienty pre premenné x a y do menovateľov:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Príklad 8

Je potrebné previesť všeobecnú rovnicu priamky x - 7 y + 1 2 = 0 na rovnicu priamky v segmentoch.

Riešenie

Presuňme 1 2 na pravú stranu: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Vydeľte -1/2 obe strany rovnice: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

odpoveď: x-12 + y114 = 1.

Vo všeobecnosti je spätný prechod tiež jednoduchý: od iných typov rovníc k všeobecnému.

Rovnicu priamky v segmentoch a rovnicu so sklonom možno ľahko previesť na všeobecnú jednoduchým zhromaždením všetkých výrazov na ľavej strane rovnice:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanonická rovnica sa prevedie na všeobecnú podľa nasledujúcej schémy:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - ay x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Ak chcete prejsť z parametrického, najprv sa vykoná prechod na kanonický a potom na všeobecný:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Príklad 9

Sú uvedené parametrické rovnice priamky x = - 1 + 2 · λ y = 4. Je potrebné zapísať všeobecnú rovnicu tohto riadku.

Riešenie

Urobme prechod z parametrické rovnice na kanonické:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Prejdime od kanonického k všeobecnému:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

odpoveď: y-4 = 0

Príklad 10

Je daná rovnica priamky v segmentoch x 3 + y 1 2 = 1. Je potrebné vykonať prechod na všeobecnú formu rovnice.

Riešenie:

Prepíšme rovnicu do požadovaného tvaru:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

odpoveď: 1 3 x + 2 y - 1 = 0.

Zostavenie všeobecnej rovnice priamky

Vyššie sme si povedali, že všeobecnú rovnicu možno napísať so známymi súradnicami normálového vektora a súradnicami bodu, ktorým priamka prechádza. Takáto priamka je definovaná rovnicou A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Na tom istom mieste sme analyzovali zodpovedajúci príklad.

Teraz sa poďme pozrieť na viac komplexné príklady, v ktorom je najprv potrebné určiť súradnice normálového vektora.

Príklad 11

Daná je priamka rovnobežná s priamkou 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Známy je aj bod M 0 (4 , 1), ktorým daná priamka prechádza. Je potrebné zapísať rovnicu danej priamky.

Riešenie

Počiatočné podmienky nám hovoria, že čiary sú rovnobežné, zatiaľ čo ako normálny vektor čiary, ktorej rovnicu je potrebné napísať, berieme smerovací vektor čiary n → \u003d (2, - 3): 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Teraz poznáme všetky potrebné údaje na zostavenie všeobecnej rovnice priamky:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

odpoveď: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Príklad 12

Daná priamka prechádza počiatkom kolmo na priamku x - 2 3 = y + 4 5 . Je potrebné napísať všeobecnú rovnicu danej priamky.

Riešenie

Normálový vektor danej priamky bude smerovací vektor priamky x - 2 3 = y + 4 5 .

Potom n → = (3 , 5) . Priamka prechádza počiatkom, t.j. cez bod O (0, 0) . Zostavme všeobecnú rovnicu danej priamky:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Odpoveď: 3 x + 5 y = 0 .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter