Aký je sínus uhla pravouhlého trojuholníka. Sínus, kosínus, dotyčnica, kotangens ostrého uhla

Ako nájsť sínus?

Štúdium geometrie pomáha rozvíjať myslenie. Tento predmet je zaradený do učebných osnov. V živote sa vám znalosť tohto predmetu môže hodiť – napríklad pri plánovaní bytu.

Z histórie

V rámci kurzu geometrie sa študuje aj trigonometria, ktorá skúma goniometrické funkcie. V trigonometrii študujeme sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla.

Zatiaľ však začnime tým najjednoduchším – sínusoidom. Pozrime sa bližšie na úplne prvý koncept - sínus uhla v geometrii. Čo je sínus a ako ho nájsť?

Pojem "sínus uhla" a sínusoidy

Sínus uhla je pomer hodnôt opačnej nohy a prepony správny trojuholník. Ide o priamu goniometrickú funkciu, ktorá sa písomne ​​označuje ako „sin (x)“, kde (x) je uhol trojuholníka.

Na grafe je sínus uhla označený sínusoidou s vlastnými charakteristikami. Sínusoida vyzerá ako súvislá vlnovka, ktorá leží v určitých medziach na rovine súradníc. Funkcia je nepárna, preto je symetrická vzhľadom na 0 na rovine súradníc (opúšťa počiatok súradníc).

Oblasť tejto funkcie leží v rozsahu od -1 do +1 na karteziánskom súradnicovom systéme. Perióda funkcie sínusového uhla je 2 Pi. To znamená, že každé 2 Pi sa vzor opakuje a sínusová vlna prechádza celým cyklom.

Sínusová rovnica

• hriech x = a / c
• kde a je rameno opačné k uhlu trojuholníka
• c - prepona pravouhlého trojuholníka

Vlastnosti sínusu uhla

1. sin(x) = - sin(x). Táto funkcia ukazuje, že funkcia je symetrická a ak sú hodnoty x a (-x) odložené v súradnicovom systéme v oboch smeroch, súradnice týchto bodov budú opačné. Budú od seba v rovnakej vzdialenosti.
2. Ďalšou vlastnosťou tejto funkcie je, že graf funkcie sa zväčšuje na segmente [- P / 2 + 2 Pn]; [P/2 + 2Pn], kde n je ľubovoľné celé číslo. Zníženie grafu sínusu uhla bude pozorované na segmente: [P / 2 + 2 Pn]; [ 3P/2 + 2Pn].
3. sin (x) > 0, keď je x v rozsahu (2Pn, P + 2Pn)
4. (X)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

Hodnoty sínusov uhla sú určené špeciálnymi tabuľkami. Takéto tabuľky boli vytvorené na uľahčenie procesu výpočtu zložitých vzorcov a rovníc. Ľahko sa používa a obsahuje hodnoty nielen funkcie sin(x), ale aj hodnoty iných funkcií.

Okrem toho je súčasťou tabuľky štandardných hodnôt pre tieto funkcie povinné štúdium pre pamäť ako násobilku. To platí najmä pre triedy s fyzickým a matematickým zaujatím. V tabuľke môžete vidieť hodnoty hlavných uhlov používaných v trigonometrii: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 a 360 stupňov.

Existuje aj tabuľka, ktorá definuje hodnoty trigonometrických funkcií neštandardných uhlov. Pomocou rôznych tabuliek môžete jednoducho vypočítať sínus, kosínus, tangens a kotangens niektorých uhlov.

Rovnice sa vytvárajú pomocou goniometrických funkcií. Riešenie týchto rovníc je jednoduché, ak poznáte jednoduché goniometrické identity a redukcie funkcií, napríklad sin (P / 2 + x) \u003d cos (x) a ďalšie. Pre takéto obsadenie bola zostavená aj samostatná tabuľka.

Ako nájsť sínus uhla

Keď je úlohou nájsť sínus uhla a podľa podmienky máme len kosínus, tangens alebo kotangens uhla, môžeme pomocou trigonometrických identít ľahko vypočítať, čo potrebujeme.

• hriech 2 x + cos 2 x = 1

Z tejto rovnice môžeme nájsť sínus aj kosínus, podľa toho, ktorá hodnota je neznáma. Podarí sa nám to goniometrická rovnica s jednou neznámou:

• hriech 2 x = 1 - cos 2 x
• sin x = ± √ 1 - cos 2 x
• ctg 2 x + 1 = 1 / hriech 2 x

Z tejto rovnice môžete nájsť hodnotu sínusu, pričom poznáte hodnotu kotangens uhla. Pre zjednodušenie nahraďte sin 2 x = y a potom máte jednoduchú rovnicu. Napríklad hodnota kotangens je 1, potom:

• 1 + 1 = 1/rok
• 2 = 1/r
• 2 roky = 1
• y = 1/2

Teraz vykonáme opačnú výmenu prehrávača:

• hriech 2 x = ½
• hriech x = 1 / √2

Pretože sme vzali hodnotu kotangens pre štandardný uhol (45 0), získané hodnoty je možné porovnať s tabuľkou.

Ak máte tangensovú hodnotu, ale potrebujete nájsť sínus, pomôže vám iná trigonometrická identita:

• tg x * ctg x = 1

Z toho vyplýva, že:

• ctg x = 1 / tg x

Aby ste našli sínus neštandardného uhla, napríklad 240 0, musíte použiť vzorce zmenšenia uhla. Vieme, že π pre nás zodpovedá 180 0. Svoju rovnosť teda vyjadríme pomocou štandardných uhlov expanziou.

• 240 0 = 180 0 + 60 0

Potrebujeme nájsť nasledovné: hriech (180 0 + 60 0). V trigonometrii existujú redukčné vzorce, ktoré sú v tomto prípade užitočné. Toto je vzorec:

• sin (π + x) = - sin (x)

Sínus uhla 240 stupňov je teda:

• hriech (180 0 + 60 0) = - hriech (60 0) = - √3/2

V našom prípade x = 60 a P 180 stupňov. Hodnotu (-√3/2) sme našli z tabuľky hodnôt funkcií štandardných uhlov.

Týmto spôsobom je možné rozložiť neštandardné uhly, napríklad: 210 = 180 + 30.

Referenčné údaje pre tangens (tg x) a kotangens (ctg x). Geometrická definícia, vlastnosti, grafy, vzorce. Tabuľka dotyčníc a kotangens, derivácie, integrály, radové expanzie. Vyjadrenia prostredníctvom komplexných premenných. Spojenie s hyperbolickými funkciami.

Geometrická definícia

|BD| - dĺžka oblúka kružnice so stredom v bode A.
α je uhol vyjadrený v radiánoch.

Tangenta ( tgα) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, ktorá sa rovná pomeru dĺžky protiľahlého ramena |BC| na dĺžku susednej nohy |AB| .

Kotangens ( ctgα) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, rovná pomeru dĺžky susedného ramena |AB| na dĺžku opačnej nohy |BC| .

Tangenta

Kde n- celý.

V západnej literatúre sa dotyčnica označuje takto:
.
;
;
.

Graf funkcie dotyčnice, y = tg x

Kotangens

Kde n- celý.

V západnej literatúre sa kotangens označuje takto:
.
Prijala sa aj nasledujúca notácia:
;
;
.

Graf funkcie kotangens, y = ctg x

Vlastnosti dotyčnice a kotangens

Periodicita

Funkcie y= tg x a y= ctg x sú periodické s periódou π.

Parita

Funkcie tangens a kotangens sú nepárne.

Domény definície a hodnôt, vzostupné, zostupné

Funkcie tangens a kotangens sú spojité na svojom definičnom obore (pozri dôkaz spojitosti). Hlavné vlastnosti tangenty a kotangens sú uvedené v tabuľke ( n- celé číslo).

	y= tg x	y= ctg x
Rozsah a kontinuita
Rozsah hodnôt	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Vzostupne		-
Zostupne	-
Extrémy	-	-
Nuly, y= 0
Priesečníky s osou y, x = 0	y= 0	-

Vzorce

Výrazy v zmysle sínus a kosínus

; ;
; ;
;

Vzorce pre tangens a kotangens súčtu a rozdielu

Zvyšok vzorcov sa dá ľahko získať napr

Súčin dotyčníc

Vzorec pre súčet a rozdiel dotyčníc

Táto tabuľka zobrazuje hodnoty dotyčníc a kotangens pre niektoré hodnoty argumentu.

Výrazy z hľadiska komplexných čísel

Výrazy z hľadiska hyperbolických funkcií

;
;

Deriváty

; .

.
Derivácia n-tého rádu vzhľadom na premennú x funkcie:
.
Odvodenie vzorcov pre dotyčnicu > > > ; pre kotangens >> >

Integrály

Rozšírenia do sérií

Ak chcete získať rozšírenie tangens v mocninách x, musíte vziať niekoľko členov expanzie v mocninnom rade pre funkcie hriech x A cos x a rozdeliť tieto polynómy na seba , . Výsledkom sú nasledujúce vzorce.

o .

v .
Kde B n- Bernoulliho čísla. Sú určené buď z opakujúci sa vzťah:
;
;
Kde .
Alebo podľa Laplaceovho vzorca:

Inverzné funkcie

Inverzné funkcie k dotyčnici a kotangensu sú arkustangens a arkustangens.

Arctangens, arctg

, Kde n- celý.

Arc tangens, arcctg

, Kde n- celý.

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov vysokých škôl, Lan, 2009.
G. Korn, Príručka matematiky pre výskumníkov a inžinierov, 2012.

Sinus ostrý uhol α pravouhlého trojuholníka je pomer opak katétra do prepony.
Označuje sa takto: hriech α.

Kosínus ostrý uhol α pravouhlého trojuholníka je pomer priľahlého ramena k prepone.
Označuje sa takto: cos α.

Tangenta ostrý uhol α je pomer protiľahlého ramena k susednému ramenu.
Označuje sa takto: tg α.

Kotangens ostrý uhol α je pomer priľahlej nohy k protiľahlej.
Označuje sa takto: ctg α.

Sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla závisia len od veľkosti uhla.

pravidlá:

Základné goniometrické identity v pravouhlom trojuholníku:

(α - ostrý uhol oproti nohe b a priľahlé k nohe a . Side s - prepona. β - druhý ostrý uhol).

b sinα = - c	sin 2 α + cos 2 α = 1
a cosα = - c	1 1 + tg 2 α = -- cos 2 α
b tgα = - a	1 1 + ctg 2 α = -- sin2α
a ctgα = - b	1 1 1 + -- = -- tg 2 α sin 2 α
sinα tgα = -- cosα

Keď sa ostrý uhol zväčšujesinα azvýšenie tg α acos α klesá.

Pre akýkoľvek ostrý uhol α:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

Vysvetľujúci príklad:

Vlož pravouhlý trojuholník ABC
AB = 6,
BC = 3,
uhol A = 30°.

Zistite sínus uhla A a kosínus uhla B.

Riešenie .

1) Najprv nájdeme hodnotu uhla B. Tu je všetko jednoduché: keďže v pravouhlom trojuholníku je súčet ostrých uhlov 90º, potom uhol B \u003d 60º:

B \u003d 90º – 30º \u003d 60º.

2) Vypočítajte sin A. Vieme, že sínus sa rovná pomeru protiľahlej vetvy k prepone. Pre uhol A je opačná noha strana BC. Takže:

BC 3 1
hriech A = -- = - = -
AB 6 2

3) Teraz vypočítame cos B. Vieme, že kosínus sa rovná pomeru susednej vetvy k prepone. Pre uhol B je susedná noha rovnaká strana BC. To znamená, že opäť musíme rozdeliť BC na AB - to znamená vykonať rovnaké akcie ako pri výpočte sínusu uhla A:

BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Výsledkom je:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Z toho vyplýva, že v pravouhlom trojuholníku je sínus jedného ostrého uhla rovná kosínusu iný ostrý uhol a naopak. Presne toto znamenajú naše dva vzorce:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

Pozrime sa na to znova:

1) Nech α = 60º. Dosadením hodnoty α do sínusového vzorca dostaneme:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Nech α = 30º. Dosadením hodnoty α do kosínusového vzorca dostaneme:
cos (90° - 30°) = sin 30°.
cos 60° = hriech 30°.

(Viac o trigonometrii nájdete v časti Algebra)

Trigonometria ako veda vznikla na starovekom východe. Prvé trigonometrické pomery vyvinuli astronómovia, aby vytvorili presný kalendár a orientovali sa podľa hviezd. Tieto výpočty sa týkali sférickej trigonometrie, pričom v školskom kurze študujú pomer strán a uhla plochého trojuholníka.

Trigonometria je časť matematiky, ktorá sa zaoberá vlastnosťami goniometrických funkcií a vzťahom medzi stranami a uhlami trojuholníkov.

V období rozkvetu kultúry a vedy v 1. tisícročí nášho letopočtu sa poznatky rozšírili zo starovekého východu do Grécka. Ale hlavné objavy trigonometrie sú zásluhou mužov arabského kalifátu. Najmä turkménsky vedec al-Marazvi zaviedol také funkcie ako tangens a kotangens, zostavil prvé tabuľky hodnôt pre sínus, tangens a kotangens. Pojem sínus a kosínus zaviedli indickí vedci. Veľká pozornosť je venovaná trigonometrii v dielach takých veľkých postáv staroveku ako Euklides, Archimedes a Eratosthenes.

Základné veličiny trigonometrie

Základné goniometrické funkcie numerického argumentu sú sínus, kosínus, tangens a kotangens. Každý z nich má svoj vlastný graf: sínus, kosínus, tangens a kotangens.

Vzorce na výpočet hodnôt týchto veličín sú založené na Pytagorovej vete. Školákom je to lepšie známe vo formulácii: „Pytagorove nohavice, rovnaké vo všetkých smeroch“, pretože dôkaz je uvedený na príklade rovnoramenného pravouhlého trojuholníka.

Sínusové, kosínusové a iné závislosti vytvárajú vzťah medzi ostrými uhlami a stranami akéhokoľvek pravouhlého trojuholníka. Uvádzame vzorce na výpočet týchto veličín pre uhol A a sledujeme vzťah goniometrických funkcií:

Ako vidíte, tg a ctg sú inverzné funkcie. Ak znázorníme rameno a ako súčin sínu A a prepony c a rameno b ako cos A * c, dostaneme nasledujúce vzorce pre dotyčnicu a kotangens:

trigonometrický kruh

Graficky možno pomer spomínaných veličín znázorniť takto:

Kruh v tomto prípade predstavuje všetky možné hodnoty uhla α - od 0° do 360°. Ako je možné vidieť z obrázku, každá funkcia nadobúda zápornú alebo kladnú hodnotu v závislosti od uhla. Napríklad sin α bude so znamienkom „+“, ak α patrí do I a II štvrtín kruhu, to znamená, že je v rozsahu od 0 ° do 180 °. Pri α od 180° do 360° (štvrtiny III a IV) môže byť sin α iba zápornou hodnotou.

Pokúsme sa zostaviť trigonometrické tabuľky pre konkrétne uhly a zistiť význam veličín.

Hodnoty α rovné 30°, 45°, 60°, 90°, 180° atď. sa nazývajú špeciálne prípady. Hodnoty goniometrických funkcií pre nich sú vypočítané a prezentované vo forme špeciálnych tabuliek.

Tieto uhly neboli zvolené náhodou. Označenie π v tabuľkách je pre radiány. Rad je uhol, pod ktorým dĺžka kruhového oblúka zodpovedá jeho polomeru. Táto hodnota bola zavedená za účelom vytvorenia univerzálneho vzťahu, pri výpočte v radiánoch nezáleží na skutočnej dĺžke polomeru v cm.

Uhly v tabuľkách pre goniometrické funkcie zodpovedajú radiánom:

Nie je teda ťažké uhádnuť, že 2π je celý kruh alebo 360°.

Vlastnosti goniometrických funkcií: sínus a kosínus

Aby sme mohli zvážiť a porovnať základné vlastnosti sínusu a kosínusu, dotyčnice a kotangensu, je potrebné nakresliť ich funkcie. Dá sa to urobiť vo forme krivky umiestnenej v dvojrozmernom súradnicovom systéme.

Zvážte porovnávaciu tabuľku vlastností pre sínusovú a kosínusovú vlnu:

sínusoida	kosínusová vlna
y = hriech x	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, pre x = πk, kde k ϵ Z	cos x = 0, pre x = π/2 + πk, kde k ϵ Z
sin x = 1, pre x = π/2 + 2πk, kde k ϵ Z	cos x = 1, pre x = 2πk, kde k ϵ Z
sin x = - 1, pri x = 3π/2 + 2πk, kde k ϵ Z	cos x = - 1, pre x = π + 2πk, kde k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, teda nepárna funkcia	cos (-x) = cos x, t.j. funkcia je párna
	funkcia je periodická, najmenšia perióda je 2π
sin x › 0, pričom x patrí štvrtine I a II alebo od 0° do 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, pričom x patrí štvrtine I a IV alebo od 270° do 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, pričom x patrí štvrtine III a IV alebo od 180° do 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, pričom x patrí štvrtine II a III alebo od 90° do 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
rastie na intervale [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	rastie na intervale [-π + 2πk, 2πk]
klesá na intervaloch [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	klesá v intervaloch
derivát (sin x)' = cos x	derivát (cos x)’ = - sin x

Určenie, či je funkcia párna alebo nie, je veľmi jednoduché. Stačí si predstaviť trigonometrický kruh so znakmi trigonometrických veličín a mentálne „zložiť“ graf vzhľadom na os OX. Ak sú znamienka rovnaké, funkcia je párna, v opačnom prípade je nepárna.

Zavedenie radiánov a vymenovanie hlavných vlastností sínusovej a kosínusovej vlny nám umožňuje priniesť nasledujúci vzorec:

Overenie správnosti vzorca je veľmi jednoduché. Napríklad pre x = π/2 je sínus rovný 1, rovnako ako kosínus x = 0. Kontrolu možno vykonať prezeraním tabuliek alebo sledovaním funkčných kriviek pre dané hodnoty.

Vlastnosti tangentoidu a kotangentoidu

Grafy funkcií tangens a kotangens sa výrazne líšia od sínusoidy a kosínusovej vlny. Hodnoty tg a ctg sú navzájom inverzné.

1. Y = tgx.
2. Dotyčnica smeruje k hodnotám y pri x = π/2 + πk, ale nikdy ich nedosiahne.
3. Najmenšia kladná perióda tangentoidu je π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, t.j. funkcia je nepárna.
5. Tg x = 0, pre x = πk.
6. Funkcia sa zvyšuje.
7. Tg x › 0, pre x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, pre x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Derivát (tg x)' = 1/cos 2⁡x.

Zvážte grafický obrázok kotangentoidy nižšie.

Hlavné vlastnosti kotangentoidu:

1. Y = ctgx.
2. Na rozdiel od funkcií sínus a kosínus môže v tangentoide Y nadobudnúť hodnoty množiny všetkých reálnych čísel.
3. Kotangentoid má tendenciu k hodnotám y pri x = πk, ale nikdy ich nedosiahne.
4. Najmenšia kladná perióda kotangentoidu je π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, t.j. funkcia je nepárna.
6. Ctg x = 0, pre x = π/2 + πk.
7. Funkcia sa znižuje.
8. Ctg x › 0, pre x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, pre x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Derivát (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Fix

Sínus je jednou zo základných goniometrických funkcií, ktorej aplikácia sa neobmedzuje len na geometriu. Tabuľky na výpočet goniometrických funkcií, ako aj inžinierske kalkulačky, nie je vždy po ruke a výpočet sínusu je niekedy potrebný na riešenie rôznych problémov. Vo všeobecnosti výpočet sínusu pomôže upevniť zručnosti kreslenia a znalosti trigonometrických identít.

Hry s pravítkom a ceruzkou

Jednoduchá úloha: ako nájsť sínus uhla nakresleného na papieri? Na vyriešenie potrebujete bežné pravítko, trojuholník (alebo kružidlo) a ceruzku. Najjednoduchší spôsob, ako vypočítať sínus uhla, je vydeliť vzdialenú časť trojuholníka s pravým uhlom dlhou stranou - preponou. Najprv teda musíte dokončiť ostrý uhol k obrázku pravouhlého trojuholníka nakreslením čiary kolmej na jeden z lúčov v ľubovoľnej vzdialenosti od vrcholu uhla. Bude potrebné dodržať uhol presne 90 °, na ktorý potrebujeme administratívny trojuholník.

Používanie kompasu je o niečo presnejšie, ale bude to trvať dlhšie. Na jednom z lúčov musíte označiť 2 body v určitej vzdialenosti, nastaviť polomer na kompase približne rovnaký ako vzdialenosť medzi bodmi a nakresliť polkruhy so stredmi v týchto bodoch, kým sa tieto čiary nepretínajú. Spojením priesečníkov našich kruhov medzi sebou dostaneme prísnu kolmicu na lúč nášho uhla, zostáva len predĺžiť čiaru, kým sa nepretína s iným lúčom.

Vo výslednom trojuholníku musíte pomocou pravítka zmerať stranu oproti rohu a dlhú stranu na jednom z lúčov. Pomer prvého merania k druhému bude požadovaná hodnota sínusu ostrého uhla.

Nájdite sínus pre uhol väčší ako 90°

Pre tupý uhol nie je úloha oveľa ťažšia. Je potrebné nakresliť lúč z vrcholu v opačnom smere pomocou pravítka, aby sa vytvorila priamka s jedným z lúčov uhla, ktorý nás zaujíma. S výsledným ostrým uhlom by ste mali postupovať tak, ako je opísané vyššie, sínusy susedných uhlov, ktoré spolu tvoria rozvinutý uhol 180 °, sú rovnaké.

Výpočet sínusu z iných goniometrických funkcií

Výpočet sínusu je tiež možný, ak sú známe hodnoty iných goniometrických funkcií uhla alebo aspoň dĺžky strán trojuholníka. K tomu nám pomôžu trigonometrické identity. Pozrime sa na bežné príklady.

Ako nájsť sínus so známym kosínusom uhla? Prvá trigonometrická identita, pochádzajúca z Pytagorovej vety, hovorí, že súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu toho istého uhla sa rovná jednej.

Ako nájsť sínus so známou dotyčnicou uhla? Tangenta sa získa vydelením vzdialenejšej vetvy blízkou alebo vydelením sínusu kosínusom. Sínus teda bude súčinom kosínusu a dotyčnice a druhá mocnina sínusu bude druhou mocninou tohto súčinu. Druhý mocninový kosínus nahradíme rozdielom medzi jednotkou a druhým sínusom podľa prvej goniometrickej identity a jednoduchými manipuláciami prenesieme rovnicu na výpočet druhého sínusu cez dotyčnicu, resp. extrahujte koreň zo získaného výsledku.

Ako nájsť sínus so známym kotangensom uhla? Hodnotu kotangensu možno vypočítať vydelením dĺžky blízkeho od uhla nohy dĺžkou vzdialeného a tiež vydelením kosínusu sínusom, to znamená, že kotangens je inverznou funkciou dotyčnice s vzhľadom na číslo 1. Na výpočet sínusu môžete vypočítať dotyčnicu pomocou vzorca tg α \u003d 1 / ctg α a použiť vzorec v druhej možnosti. Analogicky s dotyčnicou môžete odvodiť aj priamy vzorec, ktorý bude vyzerať takto.

Ako nájsť sínus troch strán trojuholníka

Existuje vzorec na nájdenie dĺžky neznámej strany akéhokoľvek trojuholníka, nielen pravouhlého trojuholníka, ktorý je daný dvoma známe strany pomocou goniometrickej funkcie kosínusu opačného uhla. Vyzerá takto.

No, sínus sa dá ďalej vypočítať z kosínusu podľa vzorcov vyššie.