Derivácia funkcie x sa rovná. Derivát mocninovej funkcie (mocniny a odmocniny)

Definícia. Nech je funkcia \(y = f(x) \) definovaná v nejakom intervale obsahujúcom bod \(x_0 \) vo vnútri. Zväčšíme \(\Delta x \) na argument, aby sme neopustili tento interval. Nájdite zodpovedajúci prírastok funkcie \(\Delta y \) (pri prechode z bodu \(x_0 \) do bodu \(x_0 + \Delta x \)) a zostavte vzťah \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). Ak existuje limita tohto vzťahu v \(\Delta x \rightarrow 0 \), potom sa zadaná limita nazýva derivačná funkcia\(y=f(x) \) v bode \(x_0 \) a označte \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Symbol y sa často používa na označenie derivácie. Všimnite si, že y" = f(x) je nová funkcia, ale prirodzene spojená s funkciou y = f(x), definovanou vo všetkých bodoch x, v ktorých existuje vyššie uvedená limita. Táto funkcia sa volá takto: derivácia funkcie y \u003d f (x).

Geometrický význam derivácie pozostáva z nasledujúceho. Ak je možné nakresliť dotyčnicu, ktorá nie je rovnobežná s osou y, ku grafu funkcie y \u003d f (x) v bode s os x \u003d a, potom f (a) vyjadruje sklon dotyčnice:
\(k = f"(a)\)

Keďže \(k = tg(a) \), platí rovnosť \(f"(a) = tg(a) \).

A teraz interpretujeme definíciu derivátu z hľadiska približných rovnosti. Nech funkcia \(y = f(x) \) má deriváciu v určitom bode \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
To znamená, že v blízkosti bodu x je približná rovnosť \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \približne f"(x)\), t.j. \(\Delta y \približne f"(x) \cdot \Deltax\). Zmysluplný význam získanej približnej rovnosti je nasledovný: prírastok funkcie je „takmer úmerný“ prírastku argumentu a koeficient úmernosti je hodnota derivácie v daný bod X. Napríklad pre funkciu \(y = x^2 \) platí približná rovnosť \(\Delta y \cca 2x \cdot \Delta x \). Ak dôkladne analyzujeme definíciu derivátu, zistíme, že obsahuje algoritmus na jeho nájdenie.

Poďme to sformulovať.

Ako nájsť deriváciu funkcie y \u003d f (x) ?

1. Opravte hodnotu \(x \), nájdite \(f(x) \)
2. Zvýšte \(x \) argument \(\Delta x \), presuňte sa do nového bodu \(x+ \Delta x \), nájdite \(f(x+ \Delta x) \)
3. Nájdite prírastok funkcie: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Zostavte vzťah \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Vypočítajte $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Táto limita je deriváciou funkcie v x.

Ak funkcia y = f(x) má deriváciu v bode x, potom sa nazýva diferencovateľná v bode x. Zavolá sa postup na nájdenie derivácie funkcie y \u003d f (x). diferenciácia funkcie y = f(x).

Poďme diskutovať o nasledujúcej otázke: ako súvisí spojitosť a diferencovateľnosť funkcie v bode?

Nech je funkcia y = f(x) diferencovateľná v bode x. Potom je možné nakresliť dotyčnicu ku grafu funkcie v bode M (x; f (x)) a, pripomíname, sklon dotyčnice sa rovná f "(x). Takýto graf sa nemôže "zlomiť" v bod M, t.j. funkcia musí byť spojitá v x.

Bolo to uvažovanie „na prstoch“. Uveďme prísnejší argument. Ak je funkcia y = f(x) diferencovateľná v bode x, potom platí približná rovnosť \(\Delta y \cca f"(x) \cdot \Delta x \) nula, potom \(\Delta y \ ) bude mať tiež tendenciu k nule, a to je podmienka spojitosti funkcie v bode.

takže, ak je funkcia diferencovateľná v bode x, potom je v tomto bode aj spojitá.

Opak nie je pravdou. Napríklad: funkcia y = |x| je všade spojitá, najmä v bode x = 0, ale dotyčnica ku grafu funkcie v „spoločnom bode“ (0; 0) neexistuje. Ak v určitom bode nie je možné nakresliť tangens ku grafu funkcie, potom v tomto bode neexistuje žiadna derivácia.

Ešte jeden príklad. Funkcia \(y=\sqrt(x) \) je spojitá na celej číselnej osi, vrátane bodu x = 0. A dotyčnica ku grafu funkcie existuje v akomkoľvek bode, vrátane bodu x = 0 Ale v tomto bode sa dotyčnica zhoduje s osou y, to znamená, že je kolmá na os x, jej rovnica má tvar x \u003d 0. Svah taký riadok neexistuje, čo znamená, že neexistuje ani \(f"(0) \).

Zoznámili sme sa teda s novou vlastnosťou funkcie – diferencovateľnosťou. Ako môžete zistiť, či je funkcia diferencovateľná od grafu funkcie?

Odpoveď je vlastne uvedená vyššie. Ak sa v určitom bode dá nakresliť dotyčnica ku grafu funkcie, ktorá nie je kolmá na os x, potom je funkcia v tomto bode diferencovateľná. Ak v určitom bode dotyčnica ku grafu funkcie neexistuje alebo je kolmá na os x, potom v tomto bode funkcia nie je diferencovateľná.

Pravidlá diferenciácie

Operácia nájdenia derivátu sa nazýva diferenciácia. Pri vykonávaní tejto operácie musíte často pracovať s kvocientmi, súčtami, súčinmi funkcií, ako aj s „funkciami funkcií“, teda komplexnými funkciami. Na základe definície derivátu vieme odvodiť pravidlá diferenciácie, ktoré túto prácu uľahčujú. Ak je C konštantné číslo a f=f(x), g=g(x) sú niektoré diferencovateľné funkcie, potom platí nasledovné pravidlá diferenciácie:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Derivácia zloženej funkcie:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabuľka derivácií niektorých funkcií

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Ak budeme postupovať podľa definície, potom derivácia funkcie v bode je limita pomeru prírastku funkcie Δ r na prírastok argumentu Δ X:

Zdá sa, že všetko je jasné. Ale skúste vypočítať podľa tohto vzorca, povedzme, deriváciu funkcie f(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X hriech X. Ak robíte všetko podľa definície, potom po niekoľkých stránkach výpočtov jednoducho zaspíte. Preto existujú jednoduchšie a efektívnejšie spôsoby.

Na začiatok si všimneme, že takzvané elementárne funkcie možno odlíšiť od celej škály funkcií. Ide o pomerne jednoduché výrazy, ktorých deriváty sú už dávno vypočítané a zapísané do tabuľky. Takéto funkcie sa dajú ľahko zapamätať spolu s ich derivátmi.

Deriváty elementárnych funkcií

Všetky základné funkcie sú uvedené nižšie. Deriváty týchto funkcií musia byť známe naspamäť. Navyše nie je ťažké si ich zapamätať – preto sú elementárne.

Takže deriváty elementárnych funkcií:

názov	Funkcia	Derivát
Neustále	f(X) = C, C ∈ R	0 (áno, áno, nula!)
Stupeň s racionálnym exponentom	f(X) = X n	n · X n − 1
Sinus	f(X) = hriech X	cos X
Kosínus	f(X) = cos X	− hriech X(mínus sinus)
Tangenta	f(X) = tg X	1/cos 2 X
Kotangens	f(X) = ctg X	− 1/sin2 X
prirodzený logaritmus	f(X) = log X	1/X
Ľubovoľný logaritmus	f(X) = log a X	1/(X ln a)
Exponenciálna funkcia	f(X) = e X	e X(nič sa nezmenilo)

Ak sa elementárna funkcia vynásobí ľubovoľnou konštantou, potom sa derivácia novej funkcie tiež ľahko vypočíta:

(C · f)’ = C · f ’.

Vo všeobecnosti možno zo znamienka derivácie vyňať konštanty. Napríklad:

(2X 3)' = 2 ( X 3) = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Je zrejmé, že elementárne funkcie možno navzájom sčítať, násobiť, deliť a mnoho ďalšieho. Takto sa objavia nové funkcie, už nie veľmi elementárne, ale aj diferencovateľné podľa určitých pravidiel. Tieto pravidlá sú uvedené nižšie.

Derivácia súčtu a rozdielu

Nechajte funkcie f(X) A g(X), ktorých deriváty sú nám známe. Môžete si napríklad vziať základné funkcie diskutované vyššie. Potom môžete nájsť deriváciu súčtu a rozdielu týchto funkcií:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Takže derivácia súčtu (rozdielu) dvoch funkcií sa rovná súčtu (rozdielu) derivácií. Termínov môže byť viac. Napríklad, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Presne povedané, v algebre neexistuje koncept „odčítania“. Existuje pojem „negatívny prvok“. Preto ten rozdiel f − g možno prepísať ako súčet f+ (-1) g, a potom zostane len jeden vzorec - derivácia súčtu.

f(X) = X 2 + sinx; g(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funkcia f(X) je súčet dvoch základných funkcií, takže:

f ’(X) = (X 2+ hriech X)’ = (X 2) + (hriech X)’ = 2X+ cosx;

Podobne argumentujeme aj pri funkcii g(X). Len už existujú tri pojmy (z hľadiska algebry):

g ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

odpoveď:
f ’(X) = 2X+ cosx;
g ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivát produktu

Matematika je logická veda, takže veľa ľudí verí, že ak sa derivácia súčtu rovná súčtu derivácií, potom derivácia súčinu štrajk"\u003e sa rovná súčinu derivátov. Ale pre vás! Derivát súčinu sa vypočíta pomocou úplne iného vzorca. Konkrétne:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Vzorec je jednoduchý, ale často zabudnutý. A to nielen školákov, ale aj študentov. Výsledkom sú nesprávne vyriešené problémy.

Úloha. Nájdite deriváty funkcií: f(X) = X 3 cosx; g(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Funkcia f(X) je produktom dvoch základných funkcií, takže všetko je jednoduché:

f ’(X) = (X 3 kos X)’ = (X 3)' cos X + X 3 (kos X)’ = 3X 2 kos X + X 3 (- hriech X) = X 2 (3 cos X − X hriech X)

Funkcia g(X) prvá násobilka je trochu zložitejšia, ale všeobecná schéma toto sa nemení. Je zrejmé, že prvý multiplikátor funkcie g(X) je polynóm a jeho derivácia je deriváciou súčtu. Máme:

g ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · e X + (X 2 + 7X− 7) ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X(2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

odpoveď:
f ’(X) = X 2 (3 cos X − X hriech X);
g ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Všimnite si, že v poslednom kroku sa derivácia faktorizuje. Formálne to nie je potrebné, ale väčšina derivátov sa nevypočítava sama o sebe, ale na preskúmanie funkcie. To znamená, že derivácia sa bude ďalej rovnať nule, zistia sa jej znamienka atď. Pre takýto prípad je lepšie mať výraz rozložený na faktory.

Ak existujú dve funkcie f(X) A g(X), a g(X) ≠ 0 na množine, ktorá nás zaujíma, môžeme definovať novú funkciu h(X) = f(X)/g(X). Pre takúto funkciu môžete nájsť aj deriváciu:

Nie slabé, však? Kde sa vzalo mínus? Prečo? g 2? A takto! Toto je jeden z najkomplexnejších vzorcov - bez fľaše to nezistíte. Preto je lepšie si to naštudovať konkrétne príklady.

Úloha. Nájdite deriváty funkcií:

V čitateli a menovateli každého zlomku sú elementárne funkcie, takže všetko, čo potrebujeme, je vzorec pre deriváciu kvocientu:

Podľa tradície započítavame čitateľa do faktorov - to výrazne zjednoduší odpoveď:

Komplexná funkcia nie je nevyhnutne vzorec dlhý pol kilometra. Napríklad stačí prevziať funkciu f(X) = hriech X a nahradiť premennú X povedzme ďalej X 2+ln X. Ukázalo sa f(X) = hriech ( X 2+ln X) je komplexná funkcia. Má tiež derivát, ale nebude fungovať nájsť ho podľa vyššie uvedených pravidiel.

Ako byť? V takýchto prípadoch pomôže nahradenie premennej a vzorec pre deriváciu komplexnej funkcie:

f ’(X) = f ’(t) · t', Ak X sa nahrádza t(X).

Spravidla je situácia s chápaním tohto vzorca ešte smutnejšia ako s deriváciou kvocientu. Preto je tiež lepšie vysvetliť to na konkrétnych príkladoch, s Detailný popis každý krok.

Úloha. Nájdite deriváty funkcií: f(X) = e 2X + 3 ; g(X) = hriech ( X 2+ln X)

Všimnite si, že ak vo funkcii f(X) namiesto výrazu 2 X+ 3 bude ľahké X, potom to bude fungovať elementárna funkcia f(X) = e X. Preto urobíme substitúciu: nech 2 X + 3 = t, f(X) = f(t) = e t. Hľadáme deriváciu komplexnej funkcie podľa vzorca:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

A teraz - pozor! Vykonanie spätnej substitúcie: t = 2X+ 3. Dostaneme:

f ’(X) = e t · t ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Teraz sa pozrime na funkciu g(X). Očividne treba vymeniť. X 2+ln X = t. Máme:

g ’(X) = g ’(t) · t' = (hriech t)’ · t' = cos t · t ’

Spätná výmena: t = X 2+ln X. potom:

g ’(X) = cos ( X 2+ln X) · ( X 2+ln X)' = cos ( X 2+ln X) · (2 X + 1/X).

To je všetko! Ako vidno z posledného výrazu, celý problém sa zredukoval na výpočet derivácie súčtu.

odpoveď:
f ’(X) = 2 e 2X + 3 ;
g ’(X) = (2X + 1/X) pretože ( X 2+ln X).

Veľmi často na svojich hodinách namiesto výrazu „derivát“ používam slovo „mŕtvica“. Napríklad zdvih súčtu sa rovná súčtu zdvihov. Je to jasnejšie? No to je dobre.

Výpočet derivátu teda vedie k zbaveniu sa práve týchto ťahov podľa vyššie uvedených pravidiel. Ako posledný príklad sa vráťme k derivačnej mocnine s racionálnym exponentom:

(X n)’ = n · X n − 1

Málokto to vie v úlohe n môže dobre konať zlomkové číslo. Napríklad koreň je X 0,5. Ale čo ak je pod koreňom niečo zložité? Opäť sa ukáže komplexná funkcia - radi dávajú takéto konštrukcie kontrolná práca a skúšky.

Úloha. Nájdite deriváciu funkcie:

Najprv prepíšme odmocninu s racionálnym exponentom:

f(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Teraz urobíme náhradu: nech X 2 + 8X − 7 = t. Deriváciu nájdeme podľa vzorca:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Urobíme opačnú substitúciu: t = X 2 + 8X− 7. Máme:

f ’(X) = 0,5 ( X 2 + 8X− 7) −0,5 ( X 2 + 8X− 7)' = 0,5 (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Nakoniec späť ku koreňom:

Pri odvodení úplne prvého vzorca tabuľky budeme vychádzať z definície derivácie funkcie v bode. Vezmime kam X- akékoľvek reálne číslo, tj. X– ľubovoľné číslo z oblasti definície funkcie . Napíšme limit pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu na:

Treba poznamenať, že pod znamienkom limity sa získa výraz, ktorý nie je neistota nuly delená nulou, pretože čitateľ neobsahuje nekonečne malú hodnotu, ale práve nulu. Inými slovami, prírastok konštantnej funkcie je vždy nula.

teda derivácia konštantnej funkciesa rovná nule na celej doméne definície.

Derivácia mocninovej funkcie.

Vzorec odvodenia výkonová funkcia má formu , kde exponent p je akékoľvek reálne číslo.

Dokážme najprv vzorec pre prirodzený exponent, teda pre p = 1, 2, 3, ...

Použijeme definíciu derivátu. Napíšme limitu pomeru prírastku mocninnej funkcie k prírastku argumentu:

Aby sme zjednodušili výraz v čitateli, obrátime sa na Newtonov binomický vzorec:

teda

To dokazuje vzorec pre deriváciu mocninnej funkcie pre prirodzený exponent.

Derivácia exponenciálnej funkcie.

Odvodený vzorec odvodíme na základe definície:

Došlo k neistote. Na jej rozšírenie uvádzame novú premennú , a pre . Potom . Pri poslednom prechode sme použili vzorec na prechod na nový základ logaritmu.

Vykonajte substitúciu v pôvodnom limite:

Ak si spomenieme na druhú pozoruhodnú limitu, dostaneme sa k vzorcu pre deriváciu exponenciálnej funkcie:

Derivácia logaritmickej funkcie.

Dokážme vzorec pre deriváciu logaritmickej funkcie pre všetkých X z rozsahu a všetkých platných základných hodnôt a logaritmus. Podľa definície derivátu máme:

Ako ste si všimli, v dôkaze boli transformácie vykonané pomocou vlastností logaritmu. Rovnosť platí kvôli druhej pozoruhodnej hranici.

Derivácie goniometrických funkcií.

Aby sme odvodili vzorce pre derivácie goniometrických funkcií, budeme si musieť pripomenúť niektoré trigonometrické vzorce, ako aj prvú pozoruhodnú limitu.

Podľa definície derivácie funkcie sínus máme .

Na rozdiel sínusov používame vzorec:

Zostáva sa obrátiť na prvý pozoruhodný limit:

Takže derivácia funkcie hriech x Existuje cos x.

Vzorec pre kosínusový derivát je dokázaný presne rovnakým spôsobom.

Preto derivácia funkcie cos x Existuje - hriech x.

Odvodenie vzorcov pre tabuľku derivácií pre tangens a kotangens sa uskutoční pomocou osvedčených pravidiel diferenciácie (derivácia zlomku).

Deriváty hyperbolických funkcií.

Pravidlá diferenciácie a vzorec pre deriváciu exponenciálnej funkcie z tabuľky derivácií nám umožňujú odvodiť vzorce pre derivácie hyperbolického sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu.

Derivácia inverznej funkcie.

Aby v prezentácii nedošlo k zámene, označme v dolnom indexe argument funkcie, ktorou sa derivácia vykonáva, teda je to derivácia funkcie. f(x) Autor: X.

Teraz formulujeme pravidlo na nájdenie derivácie inverznej funkcie.

Nechajte funkcie y = f(x) A x = g(y) vzájomne inverzné, definované na intervaloch resp. Ak v určitom bode existuje konečná nenulová derivácia funkcie f(x), potom v bode existuje konečná derivácia inverznej funkcie g(y), a . V inom zázname .

Toto pravidlo je možné preformulovať pre kohokoľvek X z intervalu , potom dostaneme .

Overme si platnosť týchto vzorcov.

Nájdite inverznú funkciu pre prirodzený logaritmus (Tu r je funkcia a X- argument). Riešenie tejto rovnice pre X, dostaneme (tu X je funkcia a r jej argument). teda a vzájomne inverzné funkcie.

Z tabuľky derivátov to vidíme A .

Uistime sa, že vzorce na nájdenie derivácií inverznej funkcie nás vedú k rovnakým výsledkom:

Aplikácia

Riešenie derivátu na stránku na konsolidáciu materiálu, ktorý preberajú študenti a školáci. Vypočítať deriváciu funkcie za pár sekúnd nie je ťažké, ak využijete našu online službu riešenia problémov. Poskytnite podrobnú analýzu dôkladnej štúdii o praktická lekcia môže každý tretí študent. Často nás oslovuje oddelenie príslušného odboru pre podporu matematiky vo vzdelávacích inštitúciách krajiny. Ako v tomto prípade nespomenúť riešenie derivácie online pre uzavretý priestor číselné postupnosti. Mnohým bohatým jednotlivcom je dovolené vyjadriť svoj zmätok. Ale medzitým matematici nesedia a tvrdo pracujú. Zmenu vstupných parametrov podľa lineárnych charakteristík bude akceptovať derivačný kalkulátor najmä z dôvodu supremy zostupných polôh kociek. Výsledok je nevyhnutný ako povrch. Ako počiatočné údaje online derivát eliminuje potrebu robiť zbytočné kroky. Okrem fiktívnych domácich úloh. Okrem toho, že riešenie derivátov online je potrebné a dôležitý aspekt pri štúdiu matematiky si študenti často nepamätajú úlohy z minulosti. Žiak ako lenivý tvor tomu rozumie. Ale študenti vtipní ľudia! Buď to urobte podľa pravidiel, alebo derivácia funkcie v naklonenej rovine môže poskytnúť zrýchlenie hmotnému bodu. Nasmerujme niekam vektor klesajúceho priestorového lúča. V požadovanej odpovedi sa nájdenie derivátu javí ako abstraktné teoretický smer kvôli nestabilite matematický systém. Predstavte si pomer čísel ako postupnosť nevyužitých možností. Komunikačný kanál bol doplnený piatou líniou pozdĺž klesajúceho vektora od bodu uzavretej bifurkácie kocky. V rovine zakrivených priestorov nás riešenie derivácie online vedie k záveru, ktorý prinútil najväčšie mysle planéty premýšľať v minulom storočí. V priebehu udalostí z oblasti matematiky sa do verejnej diskusie dostalo päť zásadne dôležitých faktorov prispievajúcich k zlepšeniu pozície výberu premennej. Zákon o bodoch teda hovorí, že online derivát nie je v každom prípade podrobne vypočítaný, výnimkou môže byť iba lojálne napredujúci moment. Predpoveď nás priviedla do nového kola vývoja. Potrebujeme výsledok. V línii matematického sklonu prechádzajúceho pod povrchom je kalkulačka derivátov režimu v oblasti priesečníka produktov na súprave ohýbania. Zostáva analyzovať diferenciáciu funkcie v jej nezávislom bode blízko susedstva epsilon. To môže vidieť každý v praxi. Výsledkom bude, že v ďalšej fáze programovania sa bude o čom rozhodovať. Študent potrebuje online derivát ako vždy, bez ohľadu na imaginárne štúdium, ktoré praktizuje. Ukazuje sa, že online riešenie derivačnej funkcie vynásobenej konštantou nemení všeobecný smer pohybu hmotného bodu, ale charakterizuje nárast rýchlosti v priamke. V tomto zmysle bude užitočné použiť našu derivačnú kalkulačku a vypočítať všetky hodnoty funkcie na celej množine jej definícií. Len netreba študovať silové vlny gravitačného poľa. Riešenie derivácií online v žiadnom prípade neukáže sklon vychádzajúceho lúča, ale iba v zriedkavé prípady keď je to naozaj potrebné, vysokoškoláci si to vedia predstaviť. Vyšetrujeme riaditeľa. Hodnota najmenšieho rotora je predvídateľná. Aplikujte na výsledok čiary smerujúce doprava, ktoré opisujú loptu, ale online kalkulačka deriváty, to je základ pre postavy špeciálnej sily a nelineárnej závislosti. Správa matematického projektu je pripravená. Osobné vlastnosti rozdiel najmenších čísel a derivácia funkcie pozdĺž osi y prinesie konkávnosť tej istej funkcie do výšky. Existuje smer - existuje záver. Je jednoduchšie uviesť teóriu do praxe. Existuje návrh od študentov na načasovanie začiatku štúdia. Potrebujete odpoveď učiteľa. Opäť, ako v predchádzajúcej pozícii, matematický systém nie je regulovaný na základe akcie, ktorá pomôže nájsť deriváciu Podobne ako nižšia semilineárna verzia, aj online derivácia podrobne naznačí identifikáciu riešenia podľa degenerovaný podmienený zákon. Stačí predložiť myšlienku výpočtu vzorcov. Lineárna diferenciácia funkcie odmieta pravdivosť riešenia jednoduchým rozložením irelevantných pozitívnych variácií. Dôležitosť porovnávacích znakov sa bude považovať za nepretržité prerušenie funkcie pozdĺž osi. Toto je podľa študenta dôležitý najvedomejší záver, v ktorom je online derivát niečím iným ako lojálnym príkladom matematickej analýzy. Polomer zakrivenej kružnice v euklidovskom priestore naopak dával kalkulačke derivácií prirodzené znázornenie výmeny rozhodujúcich problémov za stabilitu. najlepšia metóda nájdené. Jednoduchšie bolo povýšiť úlohu. Použiteľnosť nezávislého rozdielového podielu nech vedie k riešeniu derivátov online. Riešenie sa otáča okolo osi x a opisuje tvar kruhu. Existuje východisko a je založené na výskume teoreticky podporovanom vysokoškolskými študentmi, z ktorého sa každý učí a aj v tých časových momentoch existuje derivát funkcie. Našli sme cestu k pokroku a študenti to potvrdili. Môžeme si dovoliť nájsť derivát bez toho, aby sme prekročili neprirodzený prístup k transformácii matematického systému. Ľavé proporcionálne znamienko rastie exponenciálne ako matematická reprezentácia online derivačnej kalkulačky v dôsledku neznámych okolností lineárnych faktorov na nekonečnej osi y. Matematici na celom svete dokázali exkluzivitu výrobného procesu. Jedzte najmenší štvorec vnútri kruhu podľa popisu teórie. Online derivát opäť rozvedie náš odhad, čo mohlo ovplyvniť teoreticky spresnený názor. Vyskytli sa názory iného charakteru ako správa, ktorú sme analyzovali. Samostatná pozornosť sa možno nestáva študentom našich fakúlt, ale iba šikovným a pokročilým matematikom, u ktorých je diferenciácia funkcie len výhovorkou. Mechanický význam derivátu je veľmi jednoduchý. Zdvíhacia sila sa vypočíta ako online derivácia pre nadol naklonené stabilné priestory v čase. Je zrejmé, že kalkulačka derivátov je dôsledný proces opisu problému degenerácie umelej transformácie ako amorfného tela. Prvá derivácia hovorí o zmene pohybu hmotného bodu. Trojrozmerný priestor je evidentne pozorovaný v kontexte špeciálne trénovaných technológií na riešenie derivácií online, v podstate je na každom kolokviu na tému matematickej disciplíny. Druhá derivácia charakterizuje zmenu rýchlosti hmotného bodu a určuje zrýchlenie. Meridiánový prístup založený na použití afinnej transformácie vedie k nová úroveň derivácia funkcie v bode z definičného oboru tejto funkcie. Online kalkulačka derivátov nemôže byť bez čísel a symbolického zápisu v niektorých prípadoch správnym vykonateľným momentom, s výnimkou transformovateľného usporiadania vecí úlohy. Prekvapivo je tu druhé zrýchlenie hmotného bodu, ktoré charakterizuje zmenu zrýchlenia. V krátkom čase začneme študovať riešenie derivácie online, ale akonáhle sa dosiahne určitý míľnik v poznaní, náš študent tento proces zastaví. Najlepší liek networking je komunikácia naživo matematická téma. Existujú zásady, ktoré sa za žiadnych okolností nesmú porušovať, bez ohľadu na to, aká náročná je úloha. Je užitočné nájsť derivát online včas a bez chýb. To povedie k novej pozícii matematického výrazu. Systém je stabilný. Fyzikálny význam derivátu nie je taký populárny ako mechanický. Je nepravdepodobné, že by si niekto pamätal, ako online derivácia podrobne vykreslila v rovine obrys čiar funkcie k normále z trojuholníka susediaceho s osou x. Človek si zaslúži veľkú úlohu vo výskume minulého storočia. Vykonajte v troch základných etapách diferenciáciu funkcie v bodoch, a to z oblasti definície aj z oblasti nekonečna. Bude v písomnej forme len v študijnom odbore, ale môže nahradiť hlavný vektor v matematike a teórii čísel, akonáhle sa to stane, spojí online derivačný kalkulátor s problémom. Bol by dôvod, ale bude existovať dôvod zostaviť rovnicu. Je veľmi dôležité mať na pamäti všetky vstupné parametre. Nie vždy sa to najlepšie berie do čela, za tým je obrovské množstvo práce najlepšie mysle kto vedel, ako sa počíta online derivát vo vesmíre. Odvtedy sa konvexnosť považuje za vlastnosť nepretržitá funkcia. Napriek tomu je lepšie najprv nastaviť problém riešenia derivátov online v čo najskôr. Tým bude riešenie hotové. Okrem nesplnených noriem sa to nepovažuje za dostatočné. Spočiatku takmer každý študent navrhuje navrhnúť jednoduchú metódu o tom, ako derivácia funkcie spôsobuje kontroverzný rastový algoritmus. V smere stúpajúceho lúča. Dáva to zmysel ako všeobecné postavenie. Predtým znamenali začiatok dokončenia konkrétnej matematickej akcie, no dnes to bude naopak. Snáď riešenie derivácie online opäť nastolí problém a na diskusii zo stretnutia učiteľov prijmeme spoločný názor na jeho zachovanie. Dúfame v pochopenie zo všetkých strán účastníkov stretnutia. Logický význam je obsiahnutý v opise kalkulačky derivátov v rezonancii čísel o postupnosti prezentácie myšlienky problému, na ktorú v minulom storočí odpovedali veľkí vedci sveta. Pomôže to extrahovať komplexnú premennú z konvertovaného výrazu a nájsť derivát online na vykonanie rozsiahlej akcie rovnakého typu. Pravda je oveľa lepšia ako dohady. Najnižšia hodnota v móde. Výsledok na seba nenechá dlho čakať pri využití unikátnej služby pre najpresnejšie zistenie, ku ktorej podrobne existuje online derivát. Nepriamo, ale k veci, ako povedal jeden múdry muž, online kalkulačka derivátov vznikla na žiadosť mnohých študentov z rôznych miest únie. Ak je rozdiel, tak prečo sa rozhodovať dvakrát. Daný vektor leží na tej istej strane ako normála. V polovici minulého storočia nebola diferenciácia funkcie v žiadnom prípade vnímaná ako dnes. Vďaka prebiehajúcemu vývoju sa objavila online matematika. Študenti časom zabúdajú matematickým disciplínam pripisovať zápočet. Riešenie derivácie online bude výzvou pre našu tézu, oprávnene založenú na aplikácii teórie, podporenej o praktické poznatky. Prekročí existujúcu hodnotu prezentačného faktora a napíše vzorec v explicitnej forme pre funkciu. Stáva sa, že musíte nájsť derivát online práve teraz bez použitia akejkoľvek kalkulačky, ale vždy sa môžete uchýliť k triku študenta a stále používať takúto službu ako webovú stránku. Študent tak ušetrí veľa času pri prepisovaní príkladov z konceptu zošita do finálnej podoby. Ak neexistujú žiadne rozpory, potom pre takéto zložité príklady použite službu riešenia krok za krokom.

Výpočet derivátu sa často nachádza v USE priradenia. Táto stránka obsahuje zoznam vzorcov na hľadanie derivátov.

Pravidlá diferenciácie

1. (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅g(x))′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x).
4. Derivácia komplexnej funkcie. Ak y=F(u) a u=u(x), potom funkcia y=f(x)=F(u(x)) sa nazýva komplexná funkcia x. Rovná sa y′(x)=Fu′⋅ux′.
5. Derivácia implicitnej funkcie. Funkcia y=f(x) sa nazýva implicitná funkcia daná vzťahom F(x,y)=0, ak F(x,f(x))≡0.
6. Derivácia inverznej funkcie. Ak g(f(x))=x, potom funkcia g(x) sa nazýva inverzná funkcia pre funkciu y=f(x).
7. Derivácia parametricky danej funkcie. Nech x a y sú dané ako funkcie premennej t: x=x(t), y=y(t). Hovorí sa, že y=y(x) parametricky danú funkciu na intervale x∈ (a;b), ak na tomto intervale možno rovnicu x=x(t) vyjadriť ako t=t(x) a funkciu y=y(t(x))=y(x) možno definovať.
8. Derivát moci - exponenciálna funkcia. Nájde sa tak, že sa logaritmus prenesie na základňu prirodzeného logaritmu.

Odporúčame vám uložiť odkaz, pretože táto tabuľka môže byť potrebná ešte mnohokrát.