Ühiskordse leidmine. Kuidas leida vähim ühiskordne, nok kahe või enama arvu jaoks

Lancinova Aisa

Lae alla:

Eelvaade:

Esitluse eelvaadete kasutamiseks looge endale konto ( konto) Google'i ja logige sisse: https://accounts.google.com

Slaidi pealdised:

Arvude GCD ja LCM ülesanded MCOU "Kamyshovskaya keskkooli" 6. klassi õpilase töö Lantsinova Aisa Juhendaja Zoja Erdnigorjajevna Gorjajeva, matemaatikaõpetaja lk. Kamõševo, 2013

Näide arvude 50, 75 ja 325 gcd leidmisest. 1) Korrigeerime arvud 50, 75 ja 325 algteguriteks. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 2) Nende arvude ühe laiendamises sisalduvate tegurite hulgast kriipsutame välja need, mis ei sisaldu teiste arvude laiendamises . 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 3) Leidke ülejäänud tegurite korrutis 5 ∙ 5 = 25 Vastus: GCD (50, 75 ja 3525 suurim) = arv, millega Kui arvud a ja b jagatakse ilma jäägita, nimetatakse nende arvude suurimat ühisjagajat nende arvude suurimaks ühisjagajaks.

Näide arvude 72, 99 ja 117 LCM-i leidmisest. 1) Korraldame arvud 72, 99 ja 117 algteguriteks 72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 99 = 3 ∙ 11 ∙. 117 = 3 ∙ 3 ∙13 2) Kirjutage ühe arvu 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 laienduses sisalduvad tegurid ja lisage neile ülejäänud arvude puuduvad tegurid. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Leidke saadud tegurite korrutis. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Vastus: LCM (72, 99 ja 117) = 10296 Vähim ühiskordaja naturaalarvud a ja b nimetavad väikseimat naturaalarvu, mis on arvu a ja b kordne.

Pappleht on ristküliku kujuga, mille pikkus on 48 cm ja laius 40 cm. See leht tuleb lõigata võrdseteks ruutudeks. Millised on suurimad ruudud, mida sellelt töölehel on võimalik saada ja kui palju? Lahendus: 1) S = a ∙ b – ristküliku pindala. S = 48 ∙ 40 = 1960 cm². - papi pindala. 2) a – ruudu külg 48: a – ruutude arv, mida saab kartongi pikkuses laduda. 40: a – ruutude arv, mida saab üle kartongi laiuse laduda. 3) GCD (40 ja 48) = 8 (cm) – ruudu külg. 4) S = a² – ühe ruudu pindala. S = 8² = 64 (cm²) – ühe ruudu pindala. 5) 1960: 64 = 30 (ruutude arv). Vastus: 30 ruutu küljepikkusega 8 cm. GCD probleemid

Ruumi kamin peab olema plaaditud ruudukujuliselt. Mitu plaati läheb vaja kamina jaoks, mille mõõtmed on 195 × 156 cm ja mis need on? suurimad mõõtmed plaadid? Lahendus: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm²) – kamina pinna S. 2) GCD (195 ja 156) = 39 (cm) – plaadi külg. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) – 1 plaadi pindala. 4) 30420: = 20 (tk). Vastus: 20 plaati mõõtmetega 39 ͯ 39 (cm). GCD probleemid

Selleks tuleb aiaga ümbritseda 54 × 48 m pikkune aiatükk, millesse tuleb asetada kindlate vahedega betoonsambad. Mitu posti tuleb platsile tuua ja millisele maksimaalsele kaugusele üksteisest postid asetatakse? Lahendus: 1) P = 2(a + b) – ala ümbermõõt. P = 2(54 + 48) = 204 m 2) GCD (54 ja 48) = 6 (m) – sammaste vaheline kaugus. 3) 204: 6 = 34 (sambad). Vastus: 34 sammast, 6 m kaugusel GCD probleemid

Kimbud koguti 210 burgundiast, 126 valgest ja 294 punasest roosist, kusjuures iga kimp sisaldas võrdsel arvul sama värvi roose. Milline suurim arv nendest roosidest sai tehtud kimbud ja mitu igat värvi roosi ühes kimbus on? Lahendus: 1) GCD (210, 126 ja 294) = 42 (kimbud). 2) 210: 42 = 5 ( Burgundia roosid). 3) 126:42 = 3 (valged roosid). 4) 294: 42 = 7 (punased roosid). Vastus: 42 kimpu: 5 bordoopunast, 3 valget, 7 punast roosi igas kimbus. GCD probleemid

Tanya ja Masha ostsid sama palju postikomplekte. Tanya maksis 90 rubla ja Maša 5 rubla. rohkem. Kui palju üks komplekt maksab? Mitu komplekti igaüks ostis? Lahendus: 1) 90 + 5 = 95 (hõõru) Masha maksis. 2) GCD (90 ja 95) = 5 (hõõru) – 1 komplekti hind. 3) 980: 5 = 18 (komplekti) – ostis Tanya. 4) 95: 5 = 19 (komplekti) – ostis Masha. Vastus: 5 rubla, 18 komplekti, 19 komplekti. GCD probleemid

Sadamalinnas algab kolm turistide laevareisi, millest esimene kestab 15 päeva, teine ​​– 20 ja kolmas – 12 päeva. Sadamasse naasnud, asusid laevad samal päeval uuesti teele. Täna väljusid laevad sadamast kõigil kolmel liinil. Mitme päeva pärast nad esimest korda koos uuesti merele seavad? Mitu reisi iga laev teeb? Lahendus: 1) NOC (15,20 ja 12) = 60 (päeva) – kohtumise aeg. 2) 60: 15 = 4 (reisid) – 1 laev. 3) 60: 20 = 3 (reisid) – 2 laeva. 4) 60: 12 = 5 (lennud) – 3 laeva. Vastus: 60 päeva, 4 lendu, 3 lendu, 5 lendu. NOC ülesanded

Maša ostis Karule poest mune. Teel metsa sai ta aru, et munade arv jagub 2,3,5,10 ja 15-ga. Mitu muna Maša ostis? Lahendus: NOC (2;3;5;10;15) = 30 (muna) Vastus: Maša ostis 30 muna. NOC ülesanded

Vaja on teha ruudukujulise põhjaga kast, mis mahutab kastid mõõtmetega 16 × 20 cm. Milline on kandilise põhja külje lühim pikkus, et kastid tihedalt kasti sisse mahuksid? Lahendus: 1) LCM (16 ja 20) = 80 (kastid). 2) S = a ∙ b – 1 kasti pindala. S = 16 ∙ 20 = 320 (cm²) – 1 kasti põhjapind. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm²) – ruudu põhja pindala. 4) S = a² = a ∙ a 25600 = 160 ∙ 160 – kasti mõõdud. Vastus: 160 cm on kandilise põhja külg. NOC ülesanded

Tee ääres punktist K on iga 45 m järel elektriliini postid. Nad otsustasid need postid teistega asendada, asetades need üksteisest 60 m kaugusele. Mitu sammast oli ja kui palju tuleb? Lahendus: 1) LCM (45 ja 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 – seal olid sambad. 3) 180: 60 = 3 – sai sammasteks. Vastus: 4 sammast, 3 sammast. NOC ülesanded

Kui palju sõdureid marsib paraadiväljakul, kui nad marsivad rivis 12-liikmelises koosseisus ja muutuvad rivis 18-liikmeliseks kolonniks? Lahendus: 1) NOC (12 ja 18) = 36 (inimesed) - marss. Vastus: 36 inimest. NOC ülesanded

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Kirjutame välja nendest arvudest esimese laienduses sisalduvad tegurid ja lisame neile teise arvu laiendusest puuduva teguri 5. Saame: 2*2*3*5*5=300. Leidsime NOC, st. see summa = 300. Ärge unustage mõõdet ja kirjutage vastus:
Vastus: Ema annab 300 rubla.

GCD määratlus: Suurim ühine jagaja (GCD) naturaalarvud A Ja V helistada suurimale naturaalarvule c, mille a, Ja b jagatud ilma jäägita. Need. c on väikseim naturaalarv, mille puhul ja A Ja b on mitmekordsed.

Memo: Naturaalarvude defineerimiseks on kaks lähenemisviisi

• numbrid, mida kasutatakse: objektide loetlemisel (nummerdamisel) (esimene, teine, kolmas, ...); - koolides on see tavaliselt nii.
• esemete arvu tähistus (Pokemone pole - null, üks Pokemon, kaks Pokemonit, ...).

Negatiivsed ja mittetäisarvud (ratsionaal-, reaal-, ...) arvud ei ole naturaalarvud. Mõned autorid lisavad naturaalarvude hulka nulli, teised mitte. Kõikide naturaalarvude hulk on tavaliselt tähistatud sümboliga N

Memo: Naturaalarvu jagaja a nimeta number b, mille a jagatud ilma jäägita. Naturaalarvu kordsed b helistada loomulikule numbrile a, mis jagub arvuga b jäljetult. Kui number b- arvujagaja a, See a arvu mitmekordne b. Näide: 2 on 4 jagaja ja 4 on kahe kordne. 3 on 12 jagaja ja 12 on 3 kordne.
Memo: Naturaalarve nimetatakse algarvudeks, kui nad jaguvad ilma jäägita ainult iseenda ja 1-ga. Kaasalgarvud on need, millel on ainult üks ühisjagaja, mis võrdub 1-ga.

GCD leidmise määramine üldine juhtum: GCD (suurim ühine jagaja) leidmiseks vaja on mitut naturaalarvu:
1) Jagage need algteguriteks. (Selleks võib olla väga kasulik algarvude tabel.)
2) Pane kirja tegurid, mis ühe neist laienduses sisalduvad.
3) Kriipsutage maha need, mis ülejäänud numbrite laiendusse ei kuulu.
4) Korrutage etapis 3 saadud tegurid).

Probleem 2 (NOK): Kolja Puzatov ostis aastavahetuseks linna 48 hamstrit ja 36 kohvikannu. Fekla Dormidontova kui klassi ausaim tüdruk sai ülesande jagada see vara võimalikult paljudeks õpetajatele mõeldud kinkekomplektideks. Mitu komplekti sa said? Mis on komplektide sisu?

Näide 2.1. GCD leidmise probleemi lahendamine. GCD leidmine valiku järgi.
Lahendus: Kõik numbrid 48 ja 36 peavad jaguma kingituste arvuga.
1) Kirjutage üles jagajad 48: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Kirjutame üles jagajad 36: 36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Valige suurim ühisjagaja. Vau-la-la! Leidsime, et komplektide arv on 12 tükki.
3) Jagage 48 12-ga, et saada 4, jagage 36 12-ga, et saada 3. Ärge unustage mõõdet ja kirjutage vastus:
Vastus: saate 12 komplekti 4 hamstrit ja igas komplektis 3 kohvikannu.

LCM-i arvutamise mõistmiseks peate esmalt määrama mõiste "mitu" tähenduse.

A kordne on naturaalarv, mis jagub A-ga ilma jäägita. Seega võib 5-kordseid arve pidada arvudeks 15, 20, 25 jne.

Konkreetse arvu jagajaid võib olla piiratud arv, kuid kordusi on lõpmatu arv.

Naturaalarvude ühiskordne on arv, mis jagub nendega ilma jääki jätmata.

Kuidas leida arvude vähim ühiskordne

Arvude vähim ühiskordne (LCM) (kaks, kolm või enam) on väikseim naturaalarv, mis jagub kõigi nende arvudega.

LOC-i leidmiseks võite kasutada mitut meetodit.

Väikeste arvude puhul on mugav kõik nende arvude kordsed reale üles kirjutada, kuni leiate nende hulgast midagi ühist. Mitmikuid tähistatakse suure K-tähega.

Näiteks saab 4 kordajaid kirjutada järgmiselt:

K (4) = (8, 12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Seega näete, et arvude 4 ja 6 vähim ühiskordne on arv 24. See tähistus tehakse järgmiselt:

LCM(4, 6) = 24

Kui arvud on suured, leidke kolme või enama arvu ühiskordne, siis on parem kasutada LCM-i arvutamiseks mõnda muud meetodit.

Ülesande täitmiseks peate arvutama antud arvud algteguriteks.

Kõigepealt peate üles kirjutama rea ​​suurima arvu lagunemise ja selle alla - ülejäänud.

Iga arvu lagunemine võib sisaldada erinevat arvu tegureid.

Näiteks arvutame arvud 50 ja 20 algteguriteks.

Väiksema arvu laiendamisel tuleb rõhutada tegureid, mis esimese laiendamisel puuduvad. suur number ja seejärel lisage need sellele. Esitatud näites on kaks puudu.

Nüüd saate arvutada 20 ja 50 vähima ühiskordse.

LCM(20; 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Niisiis, algtegurite korrutis rohkem ja teise arvu tegurid, mida suurema arvu laiendusse ei kaasatud, on väikseim ühiskordne.

Kolme või enama arvu LCM-i leidmiseks peaksite need kõik arvestama algteguritesse, nagu eelmisel juhul.

Näiteks võite leida arvude 16, 24, 36 vähima ühiskordse.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Seega ei kaasatud suurema arvu faktoriseerimisesse vaid kaks kahest kuueteistkümnest (üks on kahekümne nelja laienduses).

Seega tuleb need lisada suurema arvu laiendamisele.

LCM(12; 16; 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Vähima ühiskordaja määramisel on erijuhud. Seega, kui ühe arvu saab ilma jäägita jagada teisega, siis neist arvudest suurem on väikseim ühiskordne.

Näiteks kaheteistkümne ja kahekümne nelja LCM on kakskümmend neli.

Kui teil on vaja leida üksteise vähim ühiskordne algarvud, millel pole identseid jagajaid, siis on nende LCM võrdne nende korrutisega.

Näiteks LCM (10, 11) = 110.

Naturaalarvude jaguvuse kriteeriumid.

Nimetatakse arve, mis jaguvad 2-ga ilma jäägitaisegi .

Nimetatakse numbreid, mis ei jagu võrdselt 2-gakummaline .

Testi jagavust 2-ga

Kui naturaalarv lõpeb paariskohaga, jagub see arv 2-ga ilma jäägita ja kui arv lõpeb paaritu numbriga, siis see arv ei jagu 2-ga võrdselt.

Näiteks numbrid 60 , 30 8 , 8 4 jaguvad 2-ga ilma jäägita ja arvud on 51 , 8 5 , 16 7 ei jagu 2-ga ilma jäägita.

Testige jagavust 3-ga

Kui arvu numbrite summa jagub 3-ga, siis arv jagub 3-ga; Kui arvu numbrite summa ei jagu 3-ga, siis arv ei jagu 3-ga.

Näiteks uurime, kas arv 2772825 jagub 3-ga. Selleks arvutame selle arvu numbrite summa: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - jagub 3-ga. See tähendab, et arv 2772825 jagub 3-ga.

Jaguvuse test 5-ga

Kui naturaalarvu kirje lõpeb numbriga 0 või 5, siis jagub see arv 5-ga ilma jäägita.

Näiteks numbrid 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 jaguvad 5-ga ilma jäägita ja arvud on 17 , 37 8 , 9 1 ära jaga.

Jaguvuse test 9-ga

Kui arvu numbrite summa jagub 9-ga, siis arv jagub 9-ga; Kui arvu numbrite summa ei jagu 9-ga, siis arv ei jagu 9-ga.

Näiteks uurime, kas arv 5402070 jagub 9-ga. Selleks arvutame selle arvu numbrite summa: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 – ei jagu 9-ga. See tähendab, et arv 5402070 ei jagu 9-ga.

Jaguvuse test 10-ga

Kui naturaalarv lõpeb numbriga 0, siis see arv jagub 10-ga ilma jäägita.

Näiteks numbrid 40 , 17 0 , 1409 0 jaguvad 10-ga ilma jäägita ja arvud 17 , 9 3 , 1430 7 - ära jaga.

Suurima ühisjagaja (GCD) leidmise reegel.

Mitme naturaalarvu suurima ühisjagaja leidmiseks peate:

2) ühe nende arvude laiendamisel sisalduvate tegurite hulgast kriipsutada maha need, mis ei kuulu teiste arvude laiendamisse;

3) leida ülejäänud tegurite korrutis.

Näide. Leiame GCD (48;36). Kasutame reeglit.

1. Korrigeerime arvud 48 ja 36 algteguriteks.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Arvu 48 laiendusse kaasatud tegurite hulgast kustutame need, mis arvu 36 laienduses ei sisaldu.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Ülejäänud tegurid on 2, 2 ja 3.

3. Korrutage ülejäänud tegurid ja saage 12. See arv on arvude 48 ja 36 suurim ühisjagaja.

GCD (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.

Vähima ühiskordse (LCM) leidmise reegel.

Mitme naturaalarvu vähima ühiskordse leidmiseks peate:

1) arvutada need algteguriteks;

2) pane kirja ühe arvu laienduses sisalduvad tegurid;

3) lisab neile ülejäänud arvude laiendustest puuduvad tegurid;

4) leida saadud tegurite korrutis.

Näide. Leiame LOC (75;60). Kasutame reeglit.

1. Korrigeerime arvud 75 ja 60 algteguriteks.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Paneme kirja tegurid, mis sisalduvad arvu 75 laienduses: 3, 5, 5.

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Lisage neile arvu 60 laienemisest puuduvad tegurid, s.o. 2, 2.

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Leidke saadud tegurite korrutis

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

Kuid paljud naturaalarvud jaguvad ka teiste naturaalarvudega.

Näiteks:

Arv 12 jagub 1-ga, 2-ga, 3-ga, 4-ga, 6-ga, 12-ga;

Arv 36 jagub 1-ga, 2-ga, 3-ga, 4-ga, 6-ga, 12-ga, 18-ga, 36-ga.

Arvu, millega arv jagub tervikuga (12 puhul on need 1, 2, 3, 4, 6 ja 12), nimetatakse arvude jagajad. Naturaalarvu jagaja a- on naturaalarv, mis jagab antud arvu a jäljetult. Nimetatakse naturaalarvu, millel on rohkem kui kaks jagajat komposiit .

Pange tähele, et numbritel 12 ja 36 on ühised tegurid. Need arvud on: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Nende arvude suurim jagaja on 12. Nende kahe arvu ühisjagaja a Ja b- see on arv, millega mõlemad antud arvud jagatakse ilma jäägita a Ja b.

Ühised mitmikud mitu arvu on arv, mis jagub kõigi nende arvudega. Näiteks, on arvude 9, 18 ja 45 ühiskordne 180. Kuid 90 ja 360 on ka nende ühiskordsed. Kõigi ühiste kordajate hulgas on alati väikseim, antud juhul on see 90. Seda arvu nimetatakse kõige väiksemühiskordne (CMM).

LCM on alati naturaalarv, mis peab olema suurem kui suurim arv, mille jaoks see on määratletud.

Vähim ühiskordaja (LCM). Omadused.

Kommutatiivsus:

Assotsiatiivsus:

Eelkõige, kui ja on koalgarvud, siis:

Kahe täisarvu vähim ühiskordne m Ja n on kõigi teiste ühiste kordajate jagaja m Ja n. Veelgi enam, ühiste kordajate hulk m, n langeb kokku LCM(i kordajate hulgaga m, n).

Asümptootikat saab väljendada mõne arvuteoreetilise funktsioonina.

Niisiis, Tšebõševi funktsioon. Ja:

See tuleneb Landau funktsiooni definitsioonist ja omadustest g(n).

Mis tuleneb algarvude jaotamise seadusest.

Vähima ühiskordse (LCM) leidmine.

NOC( a, b) saab arvutada mitmel viisil:

1. Kui suurim ühisjagaja on teada, saate kasutada selle ühendust LCM-iga:

2. Olgu teada mõlema arvu kanooniline lagunemine algteguriteks:

Kus p 1 ,...,p k- erinevad algarvud ja d 1 ,...,d k Ja e 1 ,...,e k— mittenegatiivsed täisarvud (need võivad olla nullid, kui vastavat algarvu laiendis ei ole).

Siis NOC ( a,b) arvutatakse järgmise valemiga:

Teisisõnu sisaldab LCM-i dekompositsioon kõiki algtegureid, mis sisalduvad vähemalt ühes arvude jaotuses a, b, ja võetakse selle kordaja kahest eksponendist suurim.

Näide:

Mitme arvu vähima ühiskordse arvutamise saab taandada kahe arvu LCM-i mitmeks järjestikuseks arvutuseks:

Reegel. Numbriseeria LCM-i leidmiseks vajate:

- lagundada arvud algteguriteks;

- kanda suurim lagunemine (antud suurima arvu tegurite korrutis) soovitud korrutise teguritele ja seejärel lisada tegurid teiste arvude lagunemisest, mis ei esine esimeses numbris või ei esine selles vähem kordi;

— algtegurite korrutis on antud arvude LCM.

Igal kahel või enamal naturaalarvul on oma LCM. Kui arvud ei ole üksteise kordsed või neil ei ole laiendusel samu tegureid, siis on nende LCM võrdne nende arvude korrutisega.

Arvu 28 algtegureid (2, 2, 7) täiendatakse koefitsiendiga 3 (arv 21), saadud korrutis (84) on väikseim arv, mis jagub 21 ja 28-ga.

Suurima arvu 30 algteguritele lisandub arvu 25 koefitsient 5, saadud korrutis 150 on suurem kui suurim arv 30 ja jagub kõigi antud arvudega ilma jäägita. See on väikseim võimalik korrutis (150, 250, 300...), mis on kõigi antud arvude kordne.

Arvud 2,3,11,37 on algarvud, seega on nende LCM võrdne antud arvude korrutisega.

Reegel. Algarvude LCM-i arvutamiseks peate kõik need arvud omavahel korrutama.

Teine võimalus:

Mitme arvu vähima ühiskordse (LCM) leidmiseks vajate järgmist.

1) esitage iga arv selle algtegurite korrutisena, näiteks:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) kirjutage üles kõigi algtegurite astmed:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) kirjutage üles kõigi nende arvude kõik algjagajad (kordajad);

4) valib neist igaühe suurima astme, mis on leitud nende arvude kõigis laiendustes;

5) korrutage need võimsused.

Näide. Leidke numbrite LCM: 168, 180 ja 3024.

Lahendus. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Kirjutame üles kõigi algjagajate suurimad astmed ja korrutame need:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.