Ang una ay mga segment na katabi ng tamang anggulo, at ang hypotenuse ay ang pinakamahabang bahagi ng figure at nasa tapat ng 90 degree na anggulo. Ang Pythagorean triangle ay isa na ang mga gilid ay pantay natural na mga numero; ang kanilang mga haba sa kasong ito ay tinatawag na "Pythagorean triple".

tatsulok ng Ehipto

Upang ang kasalukuyang henerasyon ay matuto ng geometry sa anyo kung saan ito itinuro sa paaralan ngayon, ito ay binuo sa loob ng ilang siglo. Ang pangunahing punto ay ang Pythagorean theorem. Ang mga gilid ng isang parihaba ay kilala sa buong mundo) ay 3, 4, 5.

Ilang tao ang hindi pamilyar sa pariralang "Pythagorean pants ay pantay-pantay sa lahat ng direksyon." Gayunpaman, sa katunayan, ang theorem ay ganito ang tunog: c 2 (ang parisukat ng hypotenuse) \u003d a 2 + b 2 (ang kabuuan ng mga parisukat ng mga binti).

Sa mga mathematician, ang isang tatsulok na may mga gilid na 3, 4, 5 (cm, m, atbp.) ay tinatawag na "Egyptian". Ito ay kagiliw-giliw na kung saan ay inscribed sa figure ay katumbas ng isa. Ang pangalan ay lumitaw noong ika-5 siglo BC, nang ang mga pilosopong Griyego ay naglakbay sa Ehipto.

Sa pagtatayo ng mga pyramids, ginamit ng mga arkitekto at surveyor ang ratio na 3:4:5. Ang ganitong mga istraktura ay naging proporsyonal, kaaya-aya na tingnan at maluwang, at bihirang gumuho.

Upang makabuo ng tamang anggulo, gumamit ang mga tagabuo ng isang lubid kung saan nakatali ang 12 buhol. Sa kasong ito, ang posibilidad ng pagtatayo nang eksakto kanang tatsulok tumaas sa 95%.

Mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga numero

• Ang isang matinding anggulo sa isang kanang tatsulok at isang malaking gilid, na katumbas ng parehong mga elemento sa pangalawang tatsulok, ay isang hindi mapag-aalinlanganang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga numero. Isinasaalang-alang ang kabuuan ng mga anggulo, madaling patunayan na ang pangalawang talamak na mga anggulo ay pantay din. Kaya, ang mga tatsulok ay magkapareho sa pangalawang pamantayan.
• Kapag ang dalawang figure ay nakapatong sa isa't isa, iniikot namin ang mga ito sa paraang, kapag pinagsama, sila ay nagiging isang isosceles triangle. Ayon sa pag-aari nito, ang mga gilid, o sa halip, ang mga hypotenuse, ay pantay, pati na rin ang mga anggulo sa base, na nangangahulugan na ang mga figure na ito ay pareho.

Sa pamamagitan ng unang pag-sign, napakadaling patunayan na ang mga tatsulok ay talagang pantay, ang pangunahing bagay ay ang dalawang mas maliit na panig (i.e., ang mga binti) ay pantay sa bawat isa.

Ang mga tatsulok ay magiging pareho ayon sa II sign, ang kakanyahan nito ay ang pagkakapantay-pantay ng binti at ang talamak na anggulo.

Mga katangian ng right angle triangle

Ibinaba ang taas mula sa tamang anggulo, hinahati ang pigura sa dalawang pantay na bahagi.

Ang mga gilid ng right triangle at ang median nito ay madaling makilala ng panuntunan: ang median, na ibinababa sa hypotenuse, ay katumbas ng kalahati nito. ay matatagpuan pareho sa pamamagitan ng formula ni Heron at sa pamamagitan ng pahayag na ito ay katumbas ng kalahati ng produkto ng mga binti.

Sa isang tamang tatsulok, ang mga katangian ng mga anggulo ng 30 o, 45 o at 60 o ay nalalapat.

• Sa isang anggulo na 30 °, dapat tandaan na ang kabaligtaran na binti ay magiging katumbas ng 1/2 ng pinakamalaking bahagi.
• Kung ang anggulo ay 45 o, pagkatapos ay ang pangalawa matalim na sulok 45o din. Ito ay nagpapahiwatig na ang tatsulok ay isosceles, at ang mga binti nito ay pareho.
• Ang pag-aari ng isang anggulo na 60 degrees ay ang ikatlong anggulo ay may sukat na 30 degrees.

Ang lugar ay madaling mahanap sa pamamagitan ng isa sa tatlong mga formula:

1. sa pamamagitan ng taas at sa gilid kung saan ito bumababa;
2. ayon sa pormula ni Heron;
3. kasama ang mga gilid at ang anggulo sa pagitan nila.

Ang mga gilid ng isang kanang tatsulok, o sa halip ang mga binti, ay nagtatagpo sa dalawang taas. Upang mahanap ang pangatlo, kinakailangang isaalang-alang ang nagresultang tatsulok, at pagkatapos, gamit ang Pythagorean theorem, kalkulahin ang kinakailangang haba. Bilang karagdagan sa formula na ito, mayroon ding ratio ng dalawang beses ang lugar at ang haba ng hypotenuse. Ang pinakakaraniwang expression sa mga mag-aaral ay ang una, dahil nangangailangan ito ng mas kaunting mga kalkulasyon.

Theorems na nalalapat sa isang right triangle

Kasama sa geometry ng isang right triangle ang paggamit ng mga theorems tulad ng:

Ang isang tamang tatsulok ay matatagpuan sa katotohanan sa halos bawat sulok. Ang kaalaman sa mga katangian ng figure na ito, pati na rin ang kakayahang kalkulahin ang lugar nito, ay walang alinlangan na magiging kapaki-pakinabang sa iyo hindi lamang para sa paglutas ng mga problema sa geometry, kundi pati na rin sa mga sitwasyon sa buhay.

tatsulok na geometry

Sa elementarya na geometry, ang right triangle ay isang figure na binubuo ng tatlong konektadong segment na bumubuo ng tatlong anggulo (dalawang acute at isang tuwid). Ang tamang tatsulok ay isang orihinal na figure na nailalarawan sa pamamagitan ng isang bilang ng mahahalagang katangian, na bumubuo sa pundasyon ng trigonometrya. Hindi tulad ng isang ordinaryong tatsulok, ang mga gilid ng isang hugis-parihaba na pigura ay may sariling mga pangalan:

• Ang hypotenuse ay ang pinakamahabang bahagi ng isang tatsulok na nasa tapat ng tamang anggulo.
• Mga binti - mga segment na bumubuo ng tamang anggulo. Depende sa anggulo na isinasaalang-alang, ang binti ay maaaring katabi nito (bumubuo ng anggulong ito sa hypotenuse) o kabaligtaran (nakahiga sa tapat ng anggulo). Walang mga binti para sa mga di-parihaba na tatsulok.

Ito ang ratio ng mga binti at hypotenuse na bumubuo sa batayan ng trigonometrya: ang mga sine, tangent at secants ay tinukoy bilang ratio ng mga gilid ng isang tamang tatsulok.

Tamang tatsulok sa katotohanan

Natanggap ang figure na ito malawak na gamit sa totoo. Ang mga tatsulok ay ginagamit sa disenyo at teknolohiya, kaya ang pagkalkula ng lugar ng figure ay kailangang gawin ng mga inhinyero, arkitekto at taga-disenyo. Ang mga base ng tetrahedra o prisms ay may hugis ng isang tatsulok - tatlong-dimensional na mga figure na madaling matugunan sa pang-araw-araw na buhay. Bilang karagdagan, ang isang parisukat ay ang pinakasimpleng representasyon ng isang "flat" na tamang tatsulok sa katotohanan. Ang isang parisukat ay isang locksmith, drawing, construction at carpentry tool na ginagamit upang bumuo ng mga sulok ng parehong mga mag-aaral at mga inhinyero.

Lugar ng isang tatsulok

Ang lugar ng isang geometric figure ay isang quantitative na pagtatantya ng kung gaano karami ng eroplano ang nakatali sa mga gilid ng isang tatsulok. Ang lugar ng isang ordinaryong tatsulok ay matatagpuan sa limang paraan, gamit ang formula ng Heron o gumagana sa mga kalkulasyon na may mga variable tulad ng base, gilid, anggulo at radius ng inscribed o circumscribed na bilog. Ang pinaka simpleng formula ang lugar ay ipinahayag bilang:

kung saan ang a ay ang gilid ng tatsulok, h ang taas nito.

Ang formula para sa pagkalkula ng lugar ng isang tamang tatsulok ay mas simple:

kung saan ang a at b ay mga binti.

Paggawa gamit ang aming online na calculator, maaari mong kalkulahin ang lugar ng isang tatsulok gamit ang tatlong pares ng mga parameter:

• dalawang paa;
• binti at katabing anggulo;
• binti at kabaligtaran anggulo.

Sa mga gawain o pang-araw-araw na sitwasyon, bibigyan ka ng iba't ibang mga kumbinasyon ng mga variable, kaya pinapayagan ka ng form na ito ng calculator na kalkulahin ang lugar ng isang tatsulok sa maraming paraan. Tingnan natin ang ilang halimbawa.

Mga halimbawa sa totoong buhay

Ceramic tile

Sabihin nating gusto mong lagyan ng mga ceramic tile ang mga dingding ng kusina, na may hugis ng tamang tatsulok. Upang matukoy ang pagkonsumo ng mga tile, dapat mong malaman ang lugar ng isang elemento ng cladding at ang kabuuang lugar ng ibabaw na tratuhin. Ipagpalagay na kailangan mong iproseso ang 7 metro kuwadrado. Ang haba ng mga binti ng isang elemento ay 19 cm bawat isa, kung gayon ang lugar ng tile ay magiging katumbas ng:

Nangangahulugan ito na ang lugar ng isang elemento ay 24.5 square centimeters o 0.01805 square meters. Alam ang mga parameter na ito, maaari mong kalkulahin na upang matapos ang 7 metro kuwadrado ng isang pader kakailanganin mo ng 7 / 0.01805 = 387 na nakaharap sa mga tile.

gawain sa paaralan

Ipagpalagay na sa isang problema sa geometry ng paaralan ay kinakailangan upang mahanap ang lugar ng isang tamang tatsulok, alam lamang na ang gilid ng isang binti ay 5 cm, at ang halaga ng kabaligtaran na anggulo ay 30 degrees. Ang aming online na calculator ay sinamahan ng isang ilustrasyon na nagpapakita ng mga gilid at anggulo ng isang tamang tatsulok. Kung ang gilid a = 5 cm, ang kabaligtaran na anggulo nito ay ang anggulong alpha, katumbas ng 30 degrees. Ipasok ang data na ito sa form ng calculator at makuha ang resulta:

Kaya, hindi lamang kinakalkula ng calculator ang lugar ng isang naibigay na tatsulok, ngunit tinutukoy din ang haba ng katabing binti at hypotenuse, pati na rin ang halaga ng pangalawang anggulo.

Konklusyon

Ang mga parihabang tatsulok ay matatagpuan sa ating buhay literal sa bawat sulok. Ang pagtukoy sa lugar ng naturang mga figure ay magiging kapaki-pakinabang sa iyo hindi lamang kapag nilutas ang mga takdang-aralin sa paaralan sa geometry, kundi pati na rin sa pang-araw-araw at propesyonal na mga aktibidad.

Online na calculator.
Solusyon ng mga tatsulok.

Ang solusyon ng isang tatsulok ay ang paghahanap ng lahat ng anim na elemento nito (i.e., tatlong panig at tatlong anggulo) ng anumang tatlong ibinigay na elemento na tumutukoy sa tatsulok.

Hinahanap ng math program na ito ang side \(c \), angle \(\alpha \) at \(\beta \) na ibinigay na mga side na tinukoy ng user \(a, b \) at ang anggulo sa pagitan ng mga ito \(\gamma \)

Ang programa ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ngunit ipinapakita din ang proseso ng paghahanap ng solusyon.

Ang online na calculator na ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school bilang paghahanda para sa kontrol sa trabaho at mga pagsusulit, kapag sinusubukan ang kaalaman bago ang pagsusulit, ang mga magulang upang kontrolin ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ang iyong araling-bahay sa matematika o algebra sa lalong madaling panahon? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay sa iyong mga nakababatang kapatid o mga kapatid na babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng mga gawaing nilulutas.

Kung hindi ka pamilyar sa mga patakaran para sa pagpasok ng mga numero, inirerekomenda namin na maging pamilyar ka sa mga ito.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga numero

Ang mga numero ay maaaring itakda hindi lamang buo, ngunit din fractional.
Ang integer at fractional na mga bahagi sa mga decimal fraction ay maaaring paghiwalayin ng alinman sa isang tuldok o kuwit.
Halimbawa, maaari kang pumasok mga decimal kaya 2.5 o kaya 2.5

Ipasok ang mga gilid \(a, b \) at ang anggulo sa pagitan ng mga ito \(\gamma \)

\(a = \)
\(b = \)
\(\gamma = \)	(sa grado)

Lutasin ang tatsulok

Napag-alaman na ang ilang mga script na kailangan upang malutas ang gawaing ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.

Na-disable mo ang JavaScript sa iyong browser.
Dapat na pinagana ang JavaScript para lumitaw ang solusyon.
Narito ang mga tagubilin kung paano paganahin ang JavaScript sa iyong browser.

kasi Maraming tao ang gustong malutas ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Pagkatapos ng ilang segundo, lilitaw ang solusyon sa ibaba.
Mangyaring maghintay sec...

kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.

Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Medyo teorya.

Sine theorem

Teorama

Ang mga gilid ng isang tatsulok ay proporsyonal sa mga sine ng magkasalungat na anggulo:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

Cosine theorem

Teorama
Hayaan sa tatsulok ABC AB = c, BC = a, CA = b. Pagkatapos
Ang parisukat ng isang gilid ng isang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang panig na binawasan ng dalawang beses ang produkto ng mga panig na iyon na beses ang cosine ng anggulo sa pagitan nila.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Paglutas ng mga Triangles

Ang solusyon ng isang tatsulok ay ang paghahanap ng lahat ng anim na elemento nito (i.e. tatlong panig at tatlong anggulo) ayon sa ilang tatlong ibinigay na elemento na tumutukoy sa tatsulok.

Isaalang-alang ang tatlong mga problema para sa paglutas ng isang tatsulok. Sa kasong ito, gagamitin namin ang sumusunod na notasyon para sa mga gilid ng tatsulok na ABC: AB = c, BC = a, CA = b.

Solusyon ng isang tatsulok na binibigyan ng dalawang panig at isang anggulo sa pagitan nila

Ibinigay: \(a, b, \angle C \). Hanapin ang \(c, \angle A, \angle B \)

Solusyon
1. Sa pamamagitan ng batas ng mga cosine makikita natin ang \(c\):

$$ c = \sqrt( a^2+b^2-2ab \cos C ) $$ 2. Gamit ang cosine theorem, mayroon tayong:
$$ \cos A = \frac( b^2+c^2-a^2 )(2bc) $$

3. \(\angle B = 180^\circ -\angle A -\angle C \)

Solusyon ng isang tatsulok na binibigyan ng isang gilid at katabing mga anggulo

Ibinigay: \(a, \angle B, \angle C \). Hanapin ang \(\angle A, b, c \)

Solusyon
1. \(\anggulo A = 180^\circ -\anggulo B -\anggulo C \)

2. Gamit ang sine theorem, kinakalkula namin ang b at c:
$$ b = a \frac(\sin B)(\sin A), \quad c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Paglutas ng Triangle na may Tatlong Gilid

Ibinigay: \(a, b, c\). Hanapin ang \(\angle A, \angle B, \angle C \)

Solusyon
1. Ayon sa cosine theorem, nakukuha natin ang:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

Sa pamamagitan ng \(\cos A \) nakita namin ang \(\angle A \) gamit ang isang microcalculator o mula sa isang table.

2. Katulad nito, hinahanap natin ang anggulo B.
3. \(\anggulo C = 180^\circ -\angle A -\angle B \)

Paglutas ng isang tatsulok na ibinigay ng dalawang panig at isang anggulo sa tapat ng isang kilalang panig

Ibinigay: \(a, b, \angle A\). Hanapin ang \(c, \angle B, \angle C \)

Solusyon
1. Sa pamamagitan ng sine theorem nakita natin ang \(\sin B \) nakukuha natin:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

Ipakilala natin ang notasyon: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). Depende sa numero D, posible ang mga sumusunod na kaso:
Kung D > 1, ang gayong tatsulok ay hindi umiiral, dahil Ang \(\sin B \) ay hindi maaaring higit sa 1
Kung D = 1, mayroong kakaibang \(\angle B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \angle B = 90^\circ \)
Kung D Kung D 2. \(\anggulo C = 180^\circ -\angle A -\angle B \)

3. Gamit ang sine theorem, kinakalkula namin ang gilid c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Mga Aklat (mga aklat-aralin) Abstract ng Unified State Examination at mga pagsusulit sa OGE online Mga laro, puzzle Pagbuo ng mga graph ng mga function Spelling Dictionary ng Russian Language Dictionary of youth slang Direktoryo ng mga paaralang Ruso Catalog ng mga sekondaryang paaralan sa Russia Katalogo ng mga unibersidad sa Russia Listahan ng mga gawain

Sa buhay, madalas na kailangan nating harapin mga problema sa matematika: sa paaralan, sa unibersidad, at pagkatapos ay tulungan ang iyong anak sa takdang-aralin. Ang mga tao ng ilang mga propesyon ay makakatagpo ng matematika araw-araw. Samakatuwid, kapaki-pakinabang na kabisaduhin o alalahanin ang mga panuntunan sa matematika. Sa artikulong ito, susuriin natin ang isa sa mga ito: paghahanap ng binti ng isang tamang tatsulok.

Ano ang tamang tatsulok

Una, tandaan natin kung ano ang tamang tatsulok. Ang tamang tatsulok ay geometric na pigura ng tatlong mga segment na nag-uugnay sa mga punto na hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya, at ang isa sa mga anggulo ng figure na ito ay 90 degrees. Ang mga gilid na bumubuo ng tamang anggulo ay tinatawag na mga binti, at ang panig na nasa tapat ng tamang anggulo ay tinatawag na hypotenuse.

Paghahanap ng binti ng isang tamang tatsulok

Mayroong ilang mga paraan upang malaman ang haba ng binti. Gusto kong isaalang-alang ang mga ito nang mas detalyado.

Pythagorean theorem upang mahanap ang binti ng isang right triangle

Kung alam natin ang hypotenuse at ang binti, makikita natin ang haba ng hindi kilalang binti gamit ang Pythagorean theorem. Parang ganito: "Ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti." Formula: c²=a²+b², kung saan ang c ay ang hypotenuse, ang a at b ay ang mga binti. Binabago namin ang formula at makuha ang: a²=c²-b².

Halimbawa. Ang hypotenuse ay 5 cm, at ang binti ay 3 cm. Binabago namin ang formula: c²=a²+b² → a²=c²-b². Susunod, magpapasya kami: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Trigonometric relations upang mahanap ang binti ng isang right triangle

Posible rin na makahanap ng isang hindi kilalang binti kung ang anumang iba pang panig at anumang matinding anggulo ng isang tamang tatsulok ay kilala. Mayroong apat na pagpipilian para sa paghahanap ng binti gamit ang mga function ng trigonometriko: sa pamamagitan ng sine, cosine, tangent, cotangent. Upang malutas ang mga problema, ang talahanayan sa ibaba ay makakatulong sa amin. Isaalang-alang natin ang mga opsyong ito.

Hanapin ang binti ng isang kanang tatsulok gamit ang sine

Ang sine ng isang anggulo (sin) ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse. Formula: sin \u003d a / c, kung saan ang a ay ang binti sa tapat ng ibinigay na anggulo, at c ay ang hypotenuse. Susunod, binabago namin ang formula at makuha ang: a=sin*c.

Halimbawa. Ang hypotenuse ay 10 cm at anggulo A ay 30 degrees. Ayon sa talahanayan, kinakalkula namin ang sine ng anggulo A, ito ay katumbas ng 1/2. Pagkatapos, gamit ang binagong formula, malulutas natin ang: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Hanapin ang binti ng isang tamang tatsulok gamit ang cosine

Ang cosine ng isang anggulo (cos) ay ang ratio ng katabing paa sa hypotenuse. Formula: cos \u003d b / c, kung saan ang b ay ang binti na katabi ng ibinigay na anggulo, at c ay ang hypotenuse. Ibahin natin ang formula at makuha ang: b=cos*c.

Halimbawa. Ang anggulo A ay 60 degrees, ang hypotenuse ay 10 cm. Ayon sa talahanayan, kinakalkula namin ang cosine ng anggulo A, ito ay katumbas ng 1/2. Susunod, malulutas natin ang: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Hanapin ang binti ng isang kanang tatsulok gamit ang padaplis

Ang tangent ng isang anggulo (tg) ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa katabi. Formula: tg \u003d a / b, kung saan ang a ay ang binti sa tapat ng sulok, at ang b ay katabi. Ibahin natin ang formula at makuha ang: a=tg*b.

Halimbawa. Ang anggulo A ay 45 degrees, ang hypotenuse ay 10 cm Ayon sa talahanayan, kinakalkula namin ang tangent ng anggulo A, ito ay katumbas ng Solve: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).

Hanapin ang binti ng isang kanang tatsulok gamit ang cotangent

Ang cotangent ng isang anggulo (ctg) ay ang ratio ng katabing binti sa kabaligtaran na binti. Formula: ctg \u003d b / a, kung saan ang b ay ang binti na katabi ng sulok, at nasa tapat. Sa madaling salita, ang cotangent ay ang "inverted tangent". Nakukuha namin ang: b=ctg*a.

Halimbawa. Ang anggulo A ay 30 degrees, ang tapat na binti ay 5 cm. Ayon sa talahanayan, ang tangent ng anggulo A ay √3. Kalkulahin: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Kaya, ngayon alam mo kung paano hanapin ang binti sa isang tamang tatsulok. Tulad ng nakikita mo, hindi ito napakahirap, ang pangunahing bagay ay tandaan ang mga formula.