Definícia trojuholníkovej pyramídy. Čo nám umožňuje považovať pyramídu za geometrický zázrak

Trojuholníková pyramída je pyramída založená na trojuholníku. Výška tejto pyramídy je kolmica, ktorá je znížená z vrcholu pyramídy k jej základniam.

Nájdenie výšky pyramídy

Ako zistiť výšku pyramídy? Veľmi jednoduché! Na zistenie výšky ľubovoľnej trojuholníkovej pyramídy môžete použiť objemový vzorec: V = (1/3)Sh, kde S je základná plocha, V je objem pyramídy, h je jej výška. Z tohto vzorca odvodite vzorec výšky: ak chcete nájsť výšku trojuholníkovej pyramídy, musíte vynásobiť objem pyramídy 3 a potom vydeliť výslednú hodnotu základnou plochou, bude to: h \u003d (3V ) / S. Pretože základňa trojuholníkovej pyramídy je trojuholník, môžete použiť vzorec na výpočet plochy trojuholníka. Ak poznáme: obsah trojuholníka S a jeho stranu z, potom podľa plošného vzorca S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, kde h je výška pyramídy, γ je okraj trojuholníka; uhol medzi stranami trojuholníka a samotnými dvoma stranami, potom pomocou nasledujúceho vzorca: S = (1/2)γφsinQ, kde γ, φ sú strany trojuholníka, nájdeme plochu trojuholníka. Hodnotu sínusu uhla Q si treba pozrieť v tabuľke sínusov, ktorá je na internete. Ďalej dosadíme hodnotu plochy do vzorca výšky: h = (2S)/γ. Ak úloha vyžaduje výpočet výšky trojuholníkovej pyramídy, potom je objem pyramídy už známy.

Pravidelná trojuholníková pyramída

Nájdite výšku pravidelnej trojuholníkovej pyramídy, t.j. pyramídy, ktorej všetky steny sú rovnostranné trojuholníky, pričom poznáte veľkosť hrany γ. V tomto prípade sú okraje pyramídy stranami rovnostranných trojuholníkov. Výška pravidelného trojuholníkového ihlanu bude: h = γ√(2/3), kde γ je hrana rovnostranného trojuholníka, h je výška pyramídy. Ak je plocha základne (S) neznáma a je uvedená iba dĺžka hrany (γ) a objem (V) mnohostenu, potom je potrebné nahradiť potrebnú premennú vo vzorci z predchádzajúceho kroku. jeho ekvivalentom, ktorý je vyjadrený dĺžkou hrany. Plocha trojuholníka (pravidelného) sa rovná 1/4 súčinu dĺžky strany tohto trojuholníka, odmocnina druhou odmocninou z 3. Tento vzorec nahradíme namiesto základnej plochy v predchádzajúcom vzorci a dostaneme nasledujúci vzorec: h \u003d 3V4 / (γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Objem štvorstenu je možné vyjadriť dĺžkou jeho hrany, potom je možné zo vzorca na výpočet výšky postavy odstrániť všetky premenné a ponechať iba stranu trojuholníkovej plochy postavy. Objem takejto pyramídy možno vypočítať vydelením dĺžky jej plochy odmocninou z 2 od súčinu číslom 12.

Tento výraz dosadíme do predchádzajúceho vzorca, dostaneme vzorec na výpočet: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ√(2/3) = (1/3)γ√6. Tiež správne trojboký hranol možno vpísať do gule a ak poznáme iba polomer gule (R), môžeme nájsť samotnú výšku štvorstenu. Dĺžka hrany štvorstenu je: γ = 4R/√6. Premennú γ nahradíme týmto výrazom v predchádzajúcom vzorci a získame vzorec: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Rovnaký vzorec možno získať poznaním polomeru (R) kružnice vpísanej do štvorstenu. V tomto prípade sa dĺžka okraja trojuholníka bude rovnať 12 pomerom medzi nimi odmocnina 6 a polomer. Tento výraz dosadíme do predchádzajúceho vzorca a máme: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Ako zistiť výšku pravidelnej štvorhrannej pyramídy

Aby ste odpovedali na otázku, ako zistiť dĺžku výšky pyramídy, musíte vedieť, čo je pravidelná pyramída. Štvorhranná pyramída je pyramída založená na štvoruholníku. Ak v podmienkach problému máme: objem (V) a plochu základne (S) pyramídy, potom vzorec na výpočet výšky mnohostenu (h) bude nasledujúci - vydeľte objem vynásobený 3 plochou S: h \u003d (3V) / S. So štvorcovou základňou pyramídy so známym: daným objemom (V) a dĺžkou strany γ nahraďte plochu (S) v predchádzajúcom vzorci druhou mocninou dĺžky strany: S = γ 2 ; H = 3 V/y2. Výška pravidelného ihlanu h = SO prechádza práve stredom kružnice, ktorá je opísaná v blízkosti podstavy. Keďže základňou tejto pyramídy je štvorec, bod O je priesečníkom uhlopriečok AD a BC. Máme: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Ďalej nájdeme v pravouhlom trojuholníku SOC (podľa Pytagorovej vety): SO = √(SC 2 -OC 2). Teraz viete, ako nájsť výšku pravidelnej pyramídy.

• apotéma- výška bočnej plochy pravidelnej pyramídy, ktorá sa kreslí z jej vrcholu (navyše apotéma je dĺžka kolmice, ktorá je znížená zo stredu pravidelného mnohouholníka na 1 jeho stranu);
• bočné steny (ASB, BSC, CSD, DSA) - trojuholníky, ktoré sa zbiehajú v hornej časti;
• bočné rebrá ( AS , BS , CS , D.S. ) - spoločné strany bočných plôch;
• vrchol pyramídy (v. S) - bod, ktorý spája bočné hrany a ktorý neleží v rovine základne;
• výška ( SO ) - segment kolmice, ktorý je nakreslený cez vrchol pyramídy do roviny jej základne (konce takéhoto segmentu budú vrcholom pyramídy a základňou kolmice);
• diagonálny rez pyramídy- časť pyramídy, ktorá prechádza vrcholom a uhlopriečkou základne;
• základňu (A B C D) je mnohouholník, do ktorého vrchol pyramídy nepatrí.

vlastnosti pyramídy.

1. Keď majú všetky bočné okraje rovnakú veľkosť, potom:

• v blízkosti základne pyramídy je ľahké opísať kruh, zatiaľ čo vrchol pyramídy sa premietne do stredu tohto kruhu;
• bočné rebrá zvierajú rovnaké uhly so základnou rovinou;
• okrem toho platí aj obrátene, t.j. keď bočné hrany zvierajú rovnaké uhly so základnou rovinou, alebo keď je možné opísať kruh v blízkosti základne pyramídy a vrchol pyramídy sa premietne do stredu tejto kružnice, potom všetky bočné hrany pyramídy majú rovnakej veľkosti.

2. Keď majú bočné plochy uhol sklonu k rovine základne rovnakej hodnoty, potom:

• v blízkosti základne pyramídy je ľahké opísať kruh, zatiaľ čo vrchol pyramídy sa premietne do stredu tohto kruhu;
• výšky bočných plôch sú rovnako dlhé;
• plocha bočnej plochy je ½ súčinu obvodu základne a výšky bočnej plochy.

3. V blízkosti pyramídy možno opísať guľu, ak základňou pyramídy je mnohouholník, okolo ktorého možno opísať kruh (nevyhnutná a postačujúca podmienka). Stred gule bude priesečníkom rovín, ktoré prechádzajú stredmi okrajov pyramídy, ktoré sú na ne kolmé. Z tejto vety usudzujeme, že guľu možno opísať okolo akéhokoľvek trojuholníka aj okolo akejkoľvek pravidelnej pyramídy.

4. Guľu možno vpísať do pyramídy, ak sa osové roviny vnútorných dihedrálnych uhlov pyramídy pretínajú v 1. bode (nutná a postačujúca podmienka). Tento bod sa stane stredom gule.

Najjednoduchšia pyramída.

Podľa počtu rohov základne pyramídy sa delia na trojuholníkové, štvoruholníkové atď.

Pyramída bude trojuholníkový, štvoruholníkový, a tak ďalej, keď základňou pyramídy je trojuholník, štvoruholník atď. Trojuholníková pyramída je štvorsten - štvorsten. Štvorhranný - päťsten a tak ďalej.

Definícia

Pyramída je mnohosten zložený z mnohouholníka \(A_1A_2...A_n\) a \(n\) trojuholníkov so spoločným vrcholom \(P\) (neležiacim v rovine mnohouholníka) a protiľahlými stranami zhodnými so stranami polygón.
Označenie: \(PA_1A_2...A_n\) .
Príklad: päťuholníková pyramída \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Trojuholníky \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) atď. volal bočné steny pyramídy, segmenty \(PA_1, PA_2\) atď. - bočné rebrá, mnohouholník \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – základ, bod \(P\) – summit.

Výška Pyramídy sú kolmice spadnuté z vrcholu pyramídy na rovinu základne.

Pyramída s trojuholníkom na základni sa nazýva štvorsten.

Pyramída je tzv správne, ak je jeho základňou pravidelný mnohouholník a je splnená jedna z nasledujúcich podmienok:

\((a)\) bočné okraje pyramídy sú rovnaké;

\((b)\) výška pyramídy prechádza stredom opísanej kružnice v blízkosti základne;

\((c)\) bočné rebrá sú naklonené k základnej rovine pod rovnakým uhlom.

\((d)\) bočné plochy sú naklonené k základnej rovine pod rovnakým uhlom.

pravidelný štvorsten- Toto trojuholníková pyramída, ktorého všetky steny sú rovnaké rovnostranné trojuholníky.

Veta

Podmienky \((a), (b), (c), (d)\) sú ekvivalentné.

Dôkaz

Nakreslite výšku pyramídy \(PH\) . Nech \(\alpha\) je rovina podstavy pyramídy.

1) Dokážme, že \((a)\) implikuje \((b)\) . Nech \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Pretože \(PH\perp \alpha\) , potom je \(PH\) kolmé na akúkoľvek priamku ležiacu v tejto rovine, takže trojuholníky sú pravouhlé. Takže tieto trojuholníky sú rovnaké v spoločnej vetve \(PH\) a prepone \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Takže \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . To znamená, že body \(A_1, A_2, ..., A_n\) sú v rovnakej vzdialenosti od bodu \(H\) , teda ležia na rovnakej kružnici s polomerom \(A_1H\) . Tento kruh je podľa definície opísaný okolo mnohouholníka \(A_1A_2...A_n\) .

2) Dokážme, že \((b)\) implikuje \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) obdĺžnikové a rovnaké v dvoch nohách. Preto sú ich uhly tiež rovnaké, \(\uhol PA_1H=\uhol PA_2H=...=\uhol PA_nH\).

3) Dokážme, že \((c)\) implikuje \((a)\) .

Podobne ako v prvom bode, trojuholníky \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) obdĺžnikové a pozdĺž nohy a ostrý roh. To znamená, že aj ich prepony sú rovnaké, teda \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Dokážme, že \((b)\) implikuje \((d)\) .

Pretože v pravidelnom mnohouholníku sa stredy opísanej a vpísanej kružnice zhodujú (všeobecne povedané, tento bod sa nazýva stred pravidelného mnohouholníka), potom je \(H\) stredom vpísanej kružnice. Nakreslíme kolmice z bodu \(H\) do strán podstavy: \(HK_1, HK_2\) atď. Toto sú polomery vpísanej kružnice (podľa definície). Potom podľa TTP (\(PH\) je kolmá na rovinu, \(HK_1, HK_2\) atď. sú priemetne kolmé na strany) šikmé \(PK_1, PK_2\) atď. kolmo na strany \(A_1A_2, A_2A_3\) atď. resp. Takže podľa definície \(\uhol PK_1H, \uhol PK_2H\) rovné uhlom medzi bočnými plochami a základňou. Pretože trojuholníky \(PK_1H, PK_2H, ...\) sú rovnaké (ako pravouhlé na dvoch nohách), potom uhly \(\uhol PK_1H, \uhol PK_2H, ...\) sú si rovné.

5) Dokážme, že \((d)\) implikuje \((b)\) .

Podobne ako vo štvrtom bode sú trojuholníky \(PK_1H, PK_2H, ...\) rovnaké (ako pravouhlé pozdĺž nohy a ostrý uhol), čo znamená, že úsečky \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) sú si rovné. Preto je podľa definície \(H\) stred kruhu vpísaného do základne. Ale odvtedy pre pravidelné mnohouholníky sa stredy vpísanej a opísanej kružnice zhodujú, potom je \(H\) stredom kružnice opísanej. Chtd.

Dôsledok

Bočné steny pravidelnej pyramídy sú rovnaké rovnoramenné trojuholníky.

Definícia

Výška bočnej steny pravidelnej pyramídy, nakreslená z jej vrcholu, sa nazýva apotéma.
Apotémy všetkých bočných stien pravidelnej pyramídy sú si navzájom rovné a sú to tiež stredy a stredy.

Dôležité poznámky

1. Výška pravidelnej trojuholníkovej pyramídy padá do priesečníka výšok (alebo polôh alebo mediánov) základne (základňa je pravidelný trojuholník).

2. Výška pravidelného štvorbokého ihlana spadá do priesečníka uhlopriečok podstavy (podstavou je štvorec).

3. Výška pravidelného šesťuholníkového ihlanu padá do bodu priesečníka uhlopriečok podstavy (podstavou je pravidelný šesťuholník).

4. Výška pyramídy je kolmá na akúkoľvek priamku ležiacu na základni.

Definícia

Pyramída je tzv pravouhlý ak je jeden z jeho bočných okrajov kolmý na rovinu základne.

Dôležité poznámky

1. Pri pravouhlom ihlane je hrana kolmá na základňu výškou ihlana. To znamená, že \(SR\) je výška.

2. Pretože \(SR\) kolmo na ktorúkoľvek čiaru od základne, potom \(\trojuholník SRM, \trojuholník SRP\) sú pravouhlé trojuholníky.

3. Trojuholníky \(\triangle SRN, \triangle SRK\) sú tiež obdĺžnikové.
To znamená, že každý trojuholník tvorený touto hranou a uhlopriečkou vychádzajúcou z vrcholu tejto hrany, ktorá leží na základni, bude pravouhlý.

\[(\Veľký(\text(Objem a povrch pyramídy)))\]

Veta

Objem pyramídy sa rovná jednej tretine súčinu plochy základne a výšky pyramídy: \

Dôsledky

Nech \(a\) je strana základne, \(h\) je výška pyramídy.

1. Objem pravidelného trojuholníkového ihlana je \(V_(\text(pravoúhlý trojuholník pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Objem pravidelného štvorbokého ihlana je \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. Objem pravidelného šesťhranného ihlana je \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Objem pravidelného štvorstenu je \(V_(\text(pravá štvorica))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Veta

Plocha bočného povrchu pravidelnej pyramídy sa rovná polovici súčinu obvodu základne a apotému.

\[(\Veľký(\text(Skrátená pyramída)))\]

Definícia

Uvažujme ľubovoľnú pyramídu \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Narysujme rovinu rovnobežnú so základňou pyramídy cez určitý bod ležiaci na bočnej hrane pyramídy. Táto rovina rozdelí pyramídu na dva mnohosteny, z ktorých jeden je pyramída (\(PB_1B_2...B_n\) ) a druhý je tzv. zrezaná pyramída(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Zrezaná pyramída má dve základne - mnohouholníky \(A_1A_2...A_n\) a \(B_1B_2...B_n\) , ktoré sú si navzájom podobné.

Výška zrezaného ihlana je kolmica vedená z niektorého bodu hornej základne k rovine spodnej základne.

Dôležité poznámky

1. Všetky bočné strany zrezaného ihlana sú lichobežníky.

2. Úsečka spájajúca stredy podstav pravidelného zrezaného ihlana (t. j. pyramídy získanej rezom pravidelného ihlana) je výška.

hypotéza: domnievame sa, že za dokonalosť tvaru pyramídy vďačia matematickým zákonom zakotveným v jej tvare.

Cieľ:študoval pyramídu ako geometrické teleso, aby vysvetlil dokonalosť jej tvaru.

Úlohy:

1. Uveďte matematickú definíciu pyramídy.

2. Študujte pyramídu ako geometrické teleso.

3. Pochopte, aké matematické poznatky položili Egypťania do svojich pyramíd.

Súkromné ​​otázky:

1. Čo je pyramída ako geometrické teleso?

2. Ako možno matematicky vysvetliť jedinečný tvar pyramídy?

3. Čo vysvetľuje geometrické zázraky pyramídy?

4. Čo vysvetľuje dokonalosť tvaru pyramídy?

Definícia pyramídy.

PYRAMÍDA (z gréckeho pyramis, rod n. pyramidos) - mnohosten, ktorého základňa je mnohouholník a zvyšné strany sú trojuholníky so spoločným vrcholom (obrázkom). Podľa počtu rohov základne sú pyramídy trojuholníkové, štvoruholníkové atď.

PYRAMÍDA - monumentálna stavba, ktorá má geometrický tvar pyramídy (niekedy aj stupňovitý alebo vežovitý). Obrie hrobky staroegyptských faraónov z 3. – 2. tisícročia pred Kristom sa nazývajú pyramídy. ako aj staroveké americké podstavce chrámov (v Mexiku, Guatemale, Hondurase, Peru) spojené s kozmologickými kultmi.

Je to možné Grécke slovo„pyramída“ pochádza z egyptského výrazu per-em-us, t.j. z výrazu, ktorý znamenal výšku pyramídy. Významný ruský egyptológ V. Struve veril, že grécke „puram…j“ pochádza zo staroegyptského „p“-mr.

Z histórie. Po preštudovaní materiálu v učebnici „Geometria“ od autorov Atanasyan. Butuzovej a ďalších sme sa dozvedeli, že: Mnohosten zložený z n-uholníka A1A2A3 ... An a n trojuholníkov RA1A2, RA2A3, ..., RANA1 sa nazýva pyramída. Mnohouholník A1A2A3 ... An je základňa pyramídy a trojuholníky RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 sú bočné steny pyramídy, P je vrchol pyramídy, segmenty RA1, RA2, .. ., RAN sú bočné okraje.

Takáto definícia pyramídy však vždy neexistovala. Napríklad starogrécky matematik, autor teoretických pojednaní o matematike, ktoré sa k nám dostali, Euclid, definuje pyramídu ako pevnú postavu ohraničenú rovinami, ktoré sa zbiehajú z jednej roviny do jedného bodu.

Ale táto definícia bola kritizovaná už v staroveku. Heron teda navrhol nasledujúcu definíciu pyramídy: „Toto je obrazec ohraničený trojuholníkmi zbiehajúcimi sa v jednom bode, ktorého základňou je mnohouholník.

Naša skupina pri porovnávaní týchto definícií dospela k záveru, že nemajú jasnú formuláciu pojmu „základ“.

Preštudovali sme tieto definície a našli sme definíciu Adriena Marie Legendra, ktorý v roku 1794 vo svojom diele „Elements of Geometry“ definuje pyramídu takto: „Pyramída je telesná postava tvorená trojuholníkmi zbiehajúcimi sa v jednom bode a končiacimi na rôznych stranách. plochá základňa."

Zdá sa nám, že posledná definícia dáva jasnú predstavu o pyramíde, pretože v nej v otázkeže základňa je plochá. Ďalšia definícia pyramídy sa objavila v učebnici z 19. storočia: „pyramída je priestorový uhol, ktorý pretína rovina“.

Pyramída ako geometrické teleso.

To. Pyramída je mnohosten, ktorého jedna plocha (základňa) je mnohouholník, ostatné plochy (strany) sú trojuholníky, ktoré majú jeden spoločný vrchol (vrchol pyramídy).

Kolmica vedená z vrcholu pyramídy na rovinu základne sa nazýva výškah pyramídy.

Okrem ľubovoľnej pyramídy existujú pravá pyramída, na základni ktorého je pravidelný mnohouholník a zrezaná pyramída.

Na obrázku - pyramída PABCD, ABCD - jej základňa, PO - výška.

Celá plocha Pyramída sa nazýva súčet plôch všetkých jej plôch.

Plný = Sstrana + Sbase, Kde Sside je súčet plôch bočných plôch.

objem pyramídy sa nachádza podľa vzorca:

V=1/3S základ h, kde Sosn. - základná plocha h- výška.

Os pravidelnej pyramídy je priamka obsahujúca jej výšku.
Apotém ST - výška bočnej steny pravidelnej pyramídy.

Plocha bočnej steny pravidelnej pyramídy je vyjadrená takto: Sstrana. = 1/2P h, kde P je obvod základne, h- výška bočnej steny (apotém pravidelnej pyramídy). Ak pyramídu pretína rovina A'B'C'D' rovnobežná so základňou, potom:

1) bočné hrany a výška sú rozdelené touto rovinou na proporcionálne časti;

2) v reze sa získa mnohouholník A'B'C'D', podobný základni;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Základy zrezanej pyramídy sú podobné polygóny ABCD a A`B`C`D`, bočné steny sú lichobežníky.

Výška zrezaná pyramída - vzdialenosť medzi základňami.

Skrátený objem pyramídu nájdeme podľa vzorca:

V = 1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Bočný povrch pravidelnej zrezanej pyramídy je vyjadrená takto: Sstrana = ½(P+P') h, kde P a P' sú obvody základní, h- výška bočnej steny (apotéma štamgastu skráteného o sviatky

Časti pyramídy.

Úseky pyramídy rovinami prechádzajúcimi jej vrcholom sú trojuholníky.

Úsek prechádzajúci dvoma nesusediacimi bočnými okrajmi pyramídy sa nazýva diagonálny rez.

Ak rez prechádza bodom na bočnej hrane a strane podstavy, potom táto strana bude jej stopou v rovine podstavy pyramídy.

Úsek prechádzajúci bodom ležiacim na čele pyramídy a daná stopa rezu v rovine základne, potom by sa konštrukcia mala vykonať takto:

nájdite priesečník roviny danej steny a stopy ihlanu a označte ho;

zostrojiť prechádzajúcu priamku daný bod a výsledný priesečník;

· Opakujte tieto kroky pre ďalšie tváre.

, čo zodpovedá pomeru ramien pravouhlého trojuholníka 4:3. Tento pomer nôh zodpovedá známemu pravouhlému trojuholníku so stranami 3:4:5, ktorý sa nazýva „dokonalý“, „posvätný“ alebo „egyptský“ trojuholník. Podľa historikov dostal „egyptský“ trojuholník magický význam. Plutarchos napísal, že Egypťania prirovnávali povahu vesmíru k „posvätnému“ trojuholníku; zvislú nohu symbolicky prirovnali k manželovi, základňu k manželke a preponu k tomu, čo sa z oboch rodí.

Pre trojuholník 3:4:5 platí rovnosť: 32 + 42 = 52, čo vyjadruje Pytagorovu vetu. Nie je to táto veta, ktorú chceli egyptskí kňazi zvečniť postavením pyramídy na základe trojuholníka 3:4:5? Ťažko nájsť viac dobrý príklad na ilustráciu Pytagorovej vety, ktorú poznali Egypťania dávno pred jej objavením Pytagorom.

Teda geniálni tvorcovia egyptské pyramídy sa snažili zapôsobiť na vzdialených potomkov hĺbkou ich vedomostí a dosiahli to tým, že si ako „hlavnú geometrickú myšlienku“ pre Cheopsovu pyramídu vybrali „zlatú“ správny trojuholník, a pre pyramídu Khafre - "posvätný" alebo "egyptský" trojuholník.

Vedci pri svojom výskume veľmi často využívajú vlastnosti pyramíd s proporciami Zlatého rezu.

V matematickom encyklopedický slovník je uvedená nasledovná definícia Zlatého rezu - ide o harmonické delenie, delenie v extrémnom a priemernom pomere - delenie segmentu AB na dve časti tak, že väčšina jeho AC je priemerná úmerná medzi celým segmentom AB. a jeho menšou časťou CB.

Algebraické nájdenie zlatého rezu segmentu AB = a redukuje na riešenie rovnice a: x = x: (a - x), kde x sa približne rovná 0,62a. Pomer x možno vyjadriť ako zlomky 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, kde 2, 3, 5, 8, 13, 21 sú Fibonacciho čísla.

Geometrická konštrukcia zlatého rezu segmentu AB sa vykonáva takto: v bode B sa obnoví kolmica na AB, položí sa naň segment BE \u003d 1/2 AB, A a E sú spojené, DE \ u003d BE sa odloží a nakoniec AC \u003d AD, potom je splnená rovnosť AB: CB = 2: 3.

Zlatý rez sa často používa v umeleckých dielach, architektúre a nachádza sa v prírode. Živé príklady sú socha Apolla Belvedere, Parthenon. Pri stavbe Parthenonu bol použitý pomer výšky budovy k jej dĺžke a tento pomer je 0,618. Predmety okolo nás tiež poskytujú príklady zlatého rezu, napríklad väzby mnohých kníh majú pomer šírky k dĺžke blízky 0,618. Vzhľadom na usporiadanie listov na spoločnej stonke rastlín si možno všimnúť, že medzi každým dvoma pármi listov sa tretí nachádza na mieste zlatého rezu (sklíčka). Každý z nás „nosí“ Zlatý pomer so sebou „v rukách“ - to je pomer falangov prstov.

Vďaka objavu niekoľkých matematických papyrusov sa egyptológovia dozvedeli niečo o staroegyptských systémoch počtu a mier. Úlohy v nich obsiahnuté riešili pisári. Jedným z najznámejších je Rhindov matematický papyrus. Štúdiom týchto hádaniek sa egyptológovia dozvedeli, ako starí Egypťania narábali s rôznymi veličinami, ktoré vznikli pri výpočte mier hmotnosti, dĺžky a objemu, ktoré často používali zlomky, ako aj to, ako narábali s uhlami.

Starovekí Egypťania používali metódu výpočtu uhlov na základe pomeru výšky k základni pravouhlého trojuholníka. Vyjadrili akýkoľvek uhol v jazyku gradientu. Gradient sklonu bol vyjadrený ako pomer celého čísla, nazývaného "seked". Richard Pillins v knihe Mathematics in the Time of the Pharaohs vysvetľuje: „Seked pravidelnej pyramídy je sklon ktorejkoľvek zo štyroch trojuholníkových stien k rovine základne, meraný n-tým počtom horizontálnych jednotiek na vertikálnu jednotku výšky. . Táto merná jednotka je teda ekvivalentná nášmu modernému kotangensu uhla sklonu. teda egyptské slovo„seked“ súvisí s naším moderné slovo"gradient"".

Číselný kľúč pyramíd spočíva v pomere ich výšky k základni. IN z praktického hľadiska- je to najjednoduchší spôsob, ako vyrobiť šablóny potrebné na neustálu kontrolu správneho uhla sklonu počas celej stavby pyramídy.

Egyptológovia by nás radi presvedčili, že každý faraón chcel vyjadriť svoju individualitu, a preto sú rozdiely v uhloch sklonu každej pyramídy. Ale môže to byť aj iný dôvod. Možno všetci chceli stelesniť rôzne symbolické asociácie skryté v rôznych pomeroch. Avšak uhol Khafrovej pyramídy (založený na trojuholníku (3:4:5) sa objavuje v troch problémoch prezentovaných pyramídami v Rhindovom matematickom papyruse). Takže tento postoj bol dobre známy starým Egypťanom.

Aby sme boli spravodliví voči egyptológom, ktorí tvrdia, že starí Egypťania nepoznali trojuholník 3:4:5, povedzme, že dĺžka prepony 5 sa nikdy nespomínala. ale matematické problémy, týkajúce sa pyramíd, sú vždy riešené na základe sesedového uhla - pomeru výšky k základni. Keďže dĺžka prepony nebola nikdy spomenutá, dospelo sa k záveru, že Egypťania nikdy nevypočítali dĺžku tretej strany.

Pomery výšky a základne používané v pyramídach v Gíze boli bezpochyby známe starým Egypťanom. Je možné, že tieto pomery pre každú pyramídu boli zvolené ľubovoľne. To je však v rozpore s dôležitosťou, ktorá sa pripisuje číselnej symbolike vo všetkých typoch egyptského výtvarného umenia. Je veľmi pravdepodobné, že takéto vzťahy mali veľký význam, keďže vyjadrovali špecifické náboženské predstavy. Inými slovami, celý komplex v Gíze bol podriadený koherentnému dizajnu, ktorý bol navrhnutý tak, aby odrážal nejakú božskú tému. To by vysvetľovalo, prečo dizajnéri zvolili rôzne uhly pre tri pyramídy.

V knihe Tajomstvo Oriona predložili Bauval a Gilbert presvedčivé dôkazy o spojení pyramíd v Gíze so súhvezdím Orion, najmä s hviezdami Orionovho pásu. Rovnaké súhvezdie je prítomné aj v mýte o Isis a Osiris. je dôvod považovať každú pyramídu za obraz jedného z troch hlavných božstiev – Osirisa, Isis a Hora.

ZÁZRAKY "GEOMETRICKÉ".

Medzi grandióznymi pyramídami Egypta zaujímajú osobitné miesto Veľká pyramída faraóna Cheopsa (Khufu). Predtým, ako pristúpime k analýze tvaru a veľkosti Cheopsovej pyramídy, mali by sme si spomenúť, aký systém mier Egypťania používali. Egypťania mali tri jednotky dĺžky: „lakť“ (466 mm), rovnajúci sa siedmim „dlaniam“ (66,5 mm), čo sa zase rovnalo štyrom „prstom“ (16,6 mm).

Analyzujme veľkosť Cheopsovej pyramídy (obr. 2) podľa úvah uvedených v nádhernej knihe ukrajinského vedca Nikolaja Vasjutinského „Zlatá proporcia“ (1990).

Väčšina výskumníkov súhlasí s tým, že dĺžka strany základne pyramídy, napr. GF rovná sa L\u003d 233,16 m. Táto hodnota takmer presne zodpovedá 500 "lakťom". Úplná zhoda s 500 "lakťami" bude, ak sa dĺžka "lakťa" považuje za rovnajúcu sa 0,4663 m.

Výška pyramídy ( H) odhadujú výskumníci odlišne od 146,6 do 148,2 m. A v závislosti od akceptovanej výšky pyramídy sa menia všetky pomery jej geometrických prvkov. Aký je dôvod rozdielov v odhade výšky pyramídy? Faktom je, že presne povedané, Cheopsova pyramída je skrátená. Jej horná plošina má dnes veľkosť približne 10´ 10 m, pred storočím mala 6´ 6 m. Je zrejmé, že vrchol pyramídy bol demontovaný a nezodpovedá pôvodnému.

Pri hodnotení výšky pyramídy je potrebné brať do úvahy napr fyzikálny faktor ako "návrh" dizajn. vzadu dlho vplyvom kolosálneho tlaku (dosahujúceho 500 ton na 1 m2 spodnej plochy) sa výška pyramídy oproti pôvodnej výške znížila.

Aká bola pôvodná výška pyramídy? Táto výška môže byť znovu vytvorená, ak nájdete základnú "geometrickú myšlienku" pyramídy.

Obrázok 2

V roku 1837 anglický plukovník G. Wise zmeral uhol sklonu stien pyramídy: ukázalo sa, že je rovný a= 51°51". Túto hodnotu uznáva väčšina bádateľov aj dnes. Uvedená hodnota uhla zodpovedá dotyčnici (tg a) rovná 1,27306. Táto hodnota zodpovedá pomeru výšky pyramídy AC do polovice svojej základne CB(obr.2), t.j. AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

A tu čakalo výskumníkov veľké prekvapenie!.png" width="25" height="24">= 1,272. Porovnanie tejto hodnoty s hodnotou tg a= 1,27306, vidíme, že tieto hodnoty sú si navzájom veľmi blízke. Ak vezmeme uhol a\u003d 51 ° 50", to znamená, že sa zníži iba o jednu oblúkovú minútu, potom hodnota a sa bude rovnať 1,272, to znamená, že sa bude zhodovať s hodnotou . Treba poznamenať, že v roku 1840 G. Wise zopakoval svoje merania a objasnil, že hodnota uhla a= 51°50".

Tieto merania viedli výskumníkov k nasledujúcej veľmi zaujímavej hypotéze: trojuholník ASV Cheopsovej pyramídy vychádzal zo vzťahu AC / CB = = 1,272!

Zvážte teraz pravouhlý trojuholník ABC, v ktorom pomer nož AC / CB= (obr. 2). Ak teraz dĺžky strán obdĺžnika ABC označovať podľa X, r, z, a tiež vziať do úvahy, že pomer r/X= , potom v súlade s Pytagorovou vetou dĺžka z možno vypočítať podľa vzorca:

Ak prijmete X = 1, r= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Obrázok 3"Zlatý" pravouhlý trojuholník.

Pravouhlý trojuholník, v ktorom sú strany spojené ako t:zlatý" pravouhlý trojuholník.

Potom, ak vezmeme za základ hypotézu, že hlavnou „geometrickou myšlienkou“ Cheopsovej pyramídy je „zlatý“ pravouhlý trojuholník, potom je ľahké vypočítať „návrhovú“ výšku Cheopsovej pyramídy. Rovná sa:

V \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.

Odvoďme teraz niektoré ďalšie vzťahy pre Cheopsovu pyramídu, ktoré vyplývajú zo „zlatej“ hypotézy. Najmä nájdeme pomer vonkajšej plochy pyramídy k ploche jej základne. Aby sme to urobili, vezmeme dĺžku nohy CB na jednotku, teda: CB= 1. Ale potom dĺžka strany základne pyramídy GF= 2 a plocha základne EFGH sa bude rovnať SEFGH = 4.

Vypočítajme teraz plochu bočnej steny Cheopsovej pyramídy SD. Pretože výška AB trojuholník AEF rovná sa t, potom sa plocha bočnej plochy bude rovnať SD = t. Potom sa celková plocha všetkých štyroch bočných plôch pyramídy bude rovnať 4 t a pomer celkovej vonkajšej plochy pyramídy k ploche základne sa bude rovnať zlatému rezu! To je to, čo to je - hlavné geometrické tajomstvo Cheopsovej pyramídy!

Skupina „geometrických zázrakov“ Cheopsovej pyramídy zahŕňa skutočné a vymyslené vlastnosti vzťahu medzi rôznymi rozmermi v pyramíde.

Spravidla sa získavajú pri hľadaní nejakej „konštanty“, najmä čísla „pi“ (Ludolfovo číslo), ktoré sa rovná 3,14159...; základy prirodzených logaritmov "e" (Napierovo číslo) rovné 2,71828...; číslo "F", číslo "zlatého rezu", rovné napríklad 0,618 ... atď.

Môžete pomenovať napríklad: 1) Vlastnosť Herodota: (Výška) 2 \u003d 0,5 st. Hlavná x Apothem; 2) Majetok V. Cena: Výška: 0,5 st. osn \u003d Druhá odmocnina z "Ф"; 3) Vlastnosť M. Eista: Obvod základne: 2 Výška = "Pi"; v inej interpretácii - 2 polievkové lyžice. Hlavná : Výška = "Pi"; 4) Vlastnosť G. Rebera: Polomer vpísanej kružnice: 0,5 st. Hlavná = "F"; 5) Majetok K. Kleppisha: (St. main.) 2: 2 (st. main. x Apothem) \u003d (st. main. W. Apothem) \u003d 2 (st. main. x Apothem) : (( 2. hlavná X Apotéma) + (st. hlavná) 2). Atď. Takýchto vlastností sa dá vymyslieť veľa, najmä ak spojíte dve susedné pyramídy. Napríklad ako „Vlastnosti A. Arefieva“ možno spomenúť, že rozdiel medzi objemami Cheopsovej pyramídy a Rachefovej pyramídy sa rovná dvojnásobku objemu Menkaurovej pyramídy...

veľa zaujímavé pozície, najmä o stavbe pyramíd podľa „zlatého rezu“ sú opísané v knihách D. Hambidgea „Dynamická symetria v architektúre“ a M. Geeka „Estetika proporcie v prírode a umení“. Pripomeňme, že „zlatý rez“ je rozdelenie segmentu v takom pomere, keď časť A je toľkokrát väčšia ako časť B, koľkokrát A je menšia ako celý segment A + B. Pomer A / B je rovná sa číslu „Ф“ == 1,618... Použitie „zlatého rezu“ je naznačené nielen v jednotlivých pyramídach, ale v celom pyramídovom komplexe v Gíze.

Najkurióznejšie však je, že tá istá Cheopsova pyramída toľkých jednoducho „nedokáže“. zázračné vlastnosti. Ak vezmete určitú vlastnosť jednu po druhej, môžete ju "upraviť", ale naraz sa nezmestia - nezhodujú sa, protirečia si. Ak sa teda napríklad pri kontrole všetkých vlastností na začiatku zoberie jedna a tá istá strana základne pyramídy (233 m), potom sa budú líšiť aj výšky pyramíd s rôznymi vlastnosťami. Inými slovami, existuje určitá „rodina“ pyramíd, navonok podobných Cheopsovi, ale zodpovedajúcich rôzne vlastnosti. Všimnite si, že v "geometrických" vlastnostiach nie je nič mimoriadne zázračné - veľa vyplýva čisto automaticky, z vlastností samotnej postavy. Za „zázrak“ treba považovať iba niečo, čo je pre starých Egypťanov zjavne nemožné. Patria sem najmä „kozmické“ zázraky, pri ktorých sa porovnávajú merania Cheopsovej pyramídy alebo pyramídového komplexu v Gíze s nejakými astronomickými meraniami a uvádzajú sa „párne“ čísla: miliónkrát, miliardkrát menej atď. . Uvažujme o niektorých „kozmických“ vzťahoch.

Jedno z tvrdení je toto: "ak vydelíme stranu základne pyramídy presnou dĺžkou roka, dostaneme presne 10 miliónovú zemskú os." Vypočítajte: vydeľte 233 číslom 365, dostaneme 0,638. Polomer Zeme je 6378 km.

Ďalšie tvrdenie je vlastne opakom predchádzajúceho. F. Noetling poukázal na to, že ak použijete ním vynájdený „egyptský lakeť“, tak strana pyramídy bude zodpovedať „najpresnejšiemu trvaniu slnečného roka, vyjadrenému s presnosťou na miliardtinu dňa“ – 365 540 903 777 .

Výrok P. Smitha: "Výška pyramídy je presne jedna miliardtina vzdialenosti od Zeme k Slnku." Hoci sa zvyčajne berie výška 146,6 m, Smith ju bral ako 148,2 m. Podľa moderných radarových meraní je hlavná poloos zemskej dráhy 149 597 870 + 1,6 km. Toto je priemerná vzdialenosť od Zeme k Slnku, ale v perihéliu je to o 5 000 000 kilometrov menej ako v aféliu.

Posledné zaujímavé vyhlásenie:

"Ako vysvetliť, že hmotnosti pyramíd Cheops, Khafre a Menkaure spolu súvisia, ako hmotnosti planét Zem, Venuša, Mars?" Poďme počítať. Hmotnosti troch pyramíd súvisia ako: Khafre - 0,835; Cheops - 1 000; Mikerin - 0,0915. Pomery hmotností troch planét: Venuša - 0,815; Pozemok - 1 000; Mars - 0,108.

Všimnime si teda aj napriek skepse známu harmóniu konštrukcie výrokov: 1) výška pyramídy, ako priamka „ide do vesmíru“ – zodpovedá vzdialenosti od Zeme k Slnku; 2) strana základne pyramídy, ktorá je najbližšie „k substrátu“, teda k Zemi, je zodpovedná za zemský polomer a zemský obeh; 3) objemy pyramídy (čítaj - hmotnosti) zodpovedajú pomeru hmotností planét najbližších k Zemi. Podobnú „šifru“ možno vystopovať napríklad vo včelej reči, ktorú rozobral Karl von Frisch. Zatiaľ sa však k tomu nevyjadrujeme.

TVAR PYRAMÍD

Slávny štvorstenný tvar pyramíd sa neobjavil okamžite. Skýti robili pohrebiská vo forme hlinených kopcov - mohýl. Egypťania stavali „kopce“ z kameňa – pyramídy. Prvýkrát sa tak stalo po zjednotení Horného a Dolného Egypta, v 28. storočí pred Kristom, keď zakladateľ III. dynastie, faraón Džoser (Zoser), stál pred úlohou posilniť jednotu krajiny.

A tu podľa historikov zohral významnú úlohu pri posilňovaní centrálnej moci „nový koncept zbožštenia“ cára. Hoci kráľovské pohreby a líšili sa väčšou nádherou, v zásade sa nelíšili od hrobiek dvorných šľachticov, boli to rovnaké stavby - mastaby. Nad komorou so sarkofágom obsahujúcim múmiu bol nasypaný obdĺžnikový kopec malých kameňov, kde bola potom umiestnená malá budova z veľkých kamenných blokov - "mastaba" (v arabčine - "lavička"). Na mieste mastaby svojho predchodcu Sanachta postavil faraón Džoser prvú pyramídu. Bol stupňovitý a bol viditeľným prechodným štádiom z jednej architektonickej formy do druhej, od mastaby k pyramíde.

Takto faraóna „vychoval“ mudrc a architekt Imhotep, ktorého neskôr považovali za kúzelníka a Gréci ho stotožňovali s bohom Asklepiom. Akoby sa postavilo šesť mastáb za sebou. Prvá pyramída navyše zaberala plochu 1125 x 115 metrov s odhadovanou výškou 66 metrov (podľa egyptských mier - 1000 „paliem“). Architekt najskôr plánoval postaviť mastabu, nie však podlhovastého, ale štvorcového pôdorysu. Neskôr bola rozšírená, ale keďže prístavba bola urobená nižšie, vznikli akoby dva stupne.

Táto situácia architekta neuspokojila a na vrcholovú plošinu obrovskej plochej mastaby umiestnil Imhotep ďalšie tri, ktoré sa smerom k vrcholu postupne znižovali. Hrobka bola pod pyramídou.

Je známych niekoľko ďalších stupňovitých pyramíd, ale neskôr stavitelia prešli na stavbu známejších štvorstenných pyramíd. Prečo však nie trojuholníkový alebo povedzme osemuholníkový? Nepriama odpoveď je daná skutočnosťou, že takmer všetky pyramídy sú dokonale orientované na štyri svetové strany, a preto majú štyri strany. Okrem toho bola pyramída „domom“, plášťom štvorhrannej pohrebnej komory.

Čo však spôsobilo uhol sklonu tvárí? V knihe "Princíp proporcií" je tomu venovaná celá kapitola: "Čo by mohlo určiť uhly pyramíd." Predovšetkým sa uvádza, že „obraz, ku ktorému sa priťahujú veľké pyramídy staroveké kráľovstvo- trojuholník s pravým uhlom na vrchole.

Vo vesmíre je to poloktaedrón: pyramída, v ktorej sú okraje a strany základne rovnaké, steny sú rovnostranné trojuholníky. Určité úvahy o tejto téme sú uvedené v knihách Hambidge, Geek a ďalších.

Aká je výhoda uhla semioktaédra? Podľa opisov archeológov a historikov sa niektoré pyramídy zrútili vlastnou váhou. Potrebný bol „uhol trvanlivosti“, uhol, ktorý bol energeticky najspoľahlivejší. Čisto empiricky možno tento uhol odobrať z vrcholového uhla v hromade rozpadajúceho sa suchého piesku. Ak však chcete získať presné údaje, musíte použiť model. Keď vezmete štyri pevne pripevnené gule, musíte na ne položiť piatu a zmerať uhly sklonu. Tu sa však môžete pomýliť, preto pomôže teoretický výpočet: stredy guľôčok by ste mali spojiť čiarami (mentálne). Na základni dostanete štvorec so stranou rovnajúcou sa dvojnásobku polomeru. Štvorec bude len základňou pyramídy, ktorej dĺžka hrán bude tiež rovná dvojnásobku polomeru.

Husté balenie guličiek typu 1:4 nám teda poskytne pravidelný poloktaedrón.

Prečo si ju však mnohé pyramídy, ktoré tiahnu k podobnej forme, nezachovajú? Pravdepodobne pyramídy starnú. Na rozdiel od známeho výroku:

"Všetko na svete sa bojí času a čas sa bojí pyramíd", stavby pyramíd musia starnúť, môžu a majú prebiehať nielen procesy vonkajšieho zvetrávania, ale aj procesy vnútorného "zmršťovania" , z ktorého sa môžu pyramídy znížiť. Zmršťovanie je možné aj preto, že ako zistili práce D. Davidovitsa, starí Egypťania používali technológiu výroby blokov z vápenných triesok, inými slovami, z „betónu“. Práve tieto procesy by mohli vysvetliť dôvod zničenia pyramídy Medum, ktorá sa nachádza 50 km južne od Káhiry. Má 4600 rokov, rozmery základne 146 x 146 m, výška 118 m. „Prečo je taký zmrzačený?" pýta sa V. Zamarovský. „Zvyčajné odkazy na deštruktívne pôsobenie času a „použitie kameňa na iné stavby" sa sem nehodia.

Koniec koncov, väčšina jeho blokov a obkladových dosiek stále zostáva na svojom mieste, v ruinách na jeho úpätí. „Ako uvidíme, podľa mnohých ustanovení sa dokonca zdá, že aj slávna Cheopsova pyramída sa „scvrkla“. , na všetkých starovekých obrazoch sú pyramídy špicaté ...

Tvar pyramíd by sa dal vytvoriť aj napodobňovaním: niektoré prírodné vzory, „zázračná dokonalosť“, povedzme nejaké kryštály vo forme osemstenu.

Takýmito kryštálmi môžu byť diamantové a zlaté kryštály. Charakteristicky veľké množstvo"pretínajúce sa" znaky pre také pojmy ako faraón, slnko, zlato, diamant. Všade - vznešené, brilantné (brilantné), skvelé, bezchybné a tak ďalej. Podobnosti nie sú náhodné.

Slnečný kult, ako viete, bol dôležitou súčasťou náboženstva starovekého Egypta. „Bez ohľadu na to, ako preložíme názov najväčšej z pyramíd,“ jedna z moderných učebníc hovorí „Sky Khufu“ alebo „Sky Khufu“, znamenalo to, že kráľom je slnko. Ak si Chufu v lesku svojej sily predstavoval, že je druhým slnkom, potom sa jeho syn Jedef-Ra stal prvým z egyptských kráľov, ktorý sa začal nazývať „synom Ra“, teda synom Slnko. Slnko symbolizovali takmer všetky národy ako „slnečný kov“, zlato. "Veľký disk jasného zlata" - tak Egypťania nazývali naše denné svetlo. Egypťania poznali zlato veľmi dobre, poznali jeho pôvodné formy, kde sa zlaté kryštály môžu objaviť v podobe osemstenov.

Ako „vzorka foriem“ je tu zaujímavý aj „slnečný kameň“ – diamant. Názov diamantu pochádza práve z arabského sveta, „almas“ – najtvrdší, najtvrdší, nezničiteľný. Starovekí Egypťania poznali diamant a jeho vlastnosti sú celkom dobré. Podľa niektorých autorov dokonca na vŕtanie používali bronzové rúry s diamantovými frézami.

Hlavným dodávateľom diamantov je teraz Južná Afrika, no na diamanty je bohatá aj západná Afrika. Územie Republiky Mali sa tam dokonca nazýva „Diamantová krajina“. Medzitým na území Mali žijú Dogoni, s ktorými priaznivci paleovisitovej hypotézy vkladajú veľa nádejí (pozri nižšie). Diamanty nemohli byť dôvodom kontaktov starých Egypťanov s týmto regiónom. Tak či onak je však možné, že práve kopírovaním osemstenov diamantu a zlatých kryštálov starí Egypťania zbožštili faraónov, „nezničiteľných“ ako diamant a „brilantných“ ako zlato, synov Slnka, porovnateľných len s najúžasnejšími výtvormi prírody.

Záver:

Po štúdiu pyramídy ako geometrického telesa, oboznámení sa s jej prvkami a vlastnosťami sme sa presvedčili o platnosti názoru o kráse tvaru pyramídy.

Ako výsledok nášho výskumu sme dospeli k záveru, že Egypťania, ktorí zozbierali najcennejšie matematické poznatky, ich stelesnili do pyramídy. Preto je pyramída skutočne najdokonalejším výtvorom prírody a človeka.

BIBLIOGRAFIA

"Geometria: Proc. pre 7 - 9 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie \ atď - 9. vydanie - M .: Školstvo, 1999

Dejiny matematiky v škole, M: "Osvietenie", 1982

Geometria ročník 10-11, M: "Osvietenie", 2000

Peter Tompkins "Tajomstvá Veľkej Cheopsovej pyramídy", M: "Centropoligraph", 2005

Internetové zdroje

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Študenti sa stretávajú s pojmom pyramída dávno pred štúdiom geometrie. Obviňujte slávne veľké egyptské divy sveta. Preto si väčšina študentov už pri začatí štúdia tohto nádherného mnohostenu jasne predstavuje. Všetky vyššie uvedené mieridlá sú v správnom tvare. Čo sa stalo pravá pyramída, a aké vlastnosti má a o ktorých sa bude ďalej diskutovať.

V kontakte s

Definícia

Existuje mnoho definícií pyramídy. Od dávnych čias bol veľmi populárny.

Napríklad Euclid to definoval ako pevnú postavu pozostávajúcu z rovín, ktoré sa začínajúc od jednej zbiehajú v určitom bode.

Heron poskytol presnejšiu formuláciu. Trval na tom, že ide o postavu, ktorá má základňu a roviny v tvare trojuholníkov, zbiehajúce sa v jednom bode.

Spoliehajúc sa na moderná interpretácia pyramída je znázornená ako priestorový mnohosten, pozostávajúci z určitého k-uholníka a k plochých figúrok trojuholníkového tvaru, ktoré majú jeden spoločný bod.

Pozrime sa bližšie, Z akých prvkov pozostáva?

• k-uholník sa považuje za základ obrázku;
• 3-uholníkové postavy vyčnievajú ako boky bočnej časti;
• horná časť, z ktorej pochádzajú bočné prvky, sa nazýva vrchol;
• všetky segmenty spájajúce vrchol sa nazývajú hrany;
• ak je priamka spustená zhora do roviny obrázku pod uhlom 90 stupňov, potom jej časť uzavretá vo vnútornom priestore je výška pyramídy;
• v ktoromkoľvek bočnom prvku na stranu nášho mnohostena môžete nakresliť kolmicu, nazývanú apotém.

Počet hrán sa vypočíta pomocou vzorca 2*k, kde k je počet strán k-uholníka. Koľko stien má mnohosten, ako je pyramída, sa dá určiť výrazom k + 1.

Dôležité! Pyramída správna forma nazývaný stereometrický útvar, ktorého základná rovina je k-uholník s rovnakými stranami.

Základné vlastnosti

Správna pyramída má veľa vlastností ktoré sú pre ňu jedinečné. Poďme si ich vymenovať:

1. Základom je postava správneho tvaru.
2. Okraje pyramídy, obmedzujúce bočné prvky, majú rovnaké číselné hodnoty.
3. Bočné prvky sú rovnoramenné trojuholníky.
4. Základňa výšky postavy spadá do stredu mnohouholníka, pričom je súčasne stredovým bodom vpísaného a opísaného.
5. Všetky bočné rebrá sú naklonené k základnej rovine pod rovnakým uhlom.
6. Všetky bočné plochy majú rovnaký uhol sklonu vzhľadom na základňu.

Vďaka všetkým uvedeným vlastnostiam je výkon výpočtov prvkov výrazne zjednodušený. Na základe vyššie uvedených vlastností venujeme pozornosť dva znaky:

1. V prípade, že mnohouholník zapadá do kruhu, bočné strany budú mať rovnaké uhly so základňou.
2. Pri opise kruhu okolo mnohouholníka budú mať všetky okraje pyramídy vychádzajúce z vrcholu rovnakú dĺžku a rovnaké uhly so základňou.

Námestie je založené

Pravidelná štvorhranná pyramída - mnohosten založený na štvorci.

Má štyri bočné plochy, ktoré majú rovnoramenný vzhľad.

Na rovine je znázornený štvorec, ale sú založené na všetkých vlastnostiach pravidelného štvoruholníka.

Napríklad, ak je potrebné spojiť stranu štvorca s jeho uhlopriečkou, potom sa použije nasledujúci vzorec: uhlopriečka sa rovná súčinu strany štvorca a druhej odmocniny z dvoch.

Na základe pravidelného trojuholníka

Pravidelný trojuholníkový ihlan je mnohosten, ktorého základňa je pravidelný 3-uholník.

Ak je základňa pravidelný trojuholník a bočné okraje sa rovnajú okrajom základne, potom je to také číslo nazývaný štvorsten.

Všetky strany štvorstenu sú rovnostranné 3-uholníky. V tomto prípade musíte poznať niektoré body a nestrácať čas pri výpočte:

• uhol sklonu rebier k akejkoľvek základni je 60 stupňov;
• hodnota všetkých vnútorných plôch je tiež 60 stupňov;
• ako základ môže pôsobiť akákoľvek tvár;
• nakreslené vo vnútri obrázku sú rovnaké prvky.

Úseky mnohostenu

V každom mnohostene sú niekoľko typov sekcií lietadlo. Na kurze školskej geometrie často pracujú s dvoma:

• axiálne;
• paralelný základ.

Osový rez sa získa pretínaním mnohostenu s rovinou, ktorá prechádza cez vrchol, bočné hrany a os. V tomto prípade je osou výška nakreslená od vrcholu. Rovina rezu je obmedzená priesečníkmi so všetkými plochami, výsledkom čoho je trojuholník.

Pozor! V pravidelnej pyramíde je osový rez rovnoramenný trojuholník.

Ak rovina rezu prebieha rovnobežne so základňou, výsledkom je druhá možnosť. V tomto prípade máme v kontexte postavu podobnú základni.

Napríklad, ak je základňa štvorec, potom časť rovnobežná so základňou bude tiež štvorec, len s menšou veľkosťou.

Pri riešení problémov za tejto podmienky sa používajú znaky a vlastnosti podobnosti obrázkov, na základe Thalesovej vety. V prvom rade je potrebné určiť koeficient podobnosti.

Ak je rovina nakreslená rovnobežne so základňou a odreže vyššia časť mnohosten, potom sa v spodnej časti získa pravidelný zrezaný ihlan. Potom sa hovorí, že základne skráteného mnohostenu sú podobné mnohouholníky. V tomto prípade sú bočné steny rovnoramenné lichobežníky. Axiálny rez je tiež rovnoramenný.

Aby bolo možné určiť výšku zrezaného mnohostenu, je potrebné nakresliť výšku v osovom reze, to znamená v lichobežníku.

Plochy povrchu

Hlavné geometrické problémy, ktoré je potrebné vyriešiť v školskom kurze geometrie, sú zistenie povrchu a objemu pyramídy.

Existujú dva typy povrchovej plochy:

• plocha bočných prvkov;
• celú plochu povrchu.

Už z názvu je jasné, o čo ide. Bočný povrch obsahuje iba bočné prvky. Z toho vyplýva, že na jeho nájdenie stačí sčítať plochy bočných rovín, teda plochy rovnoramenných 3-uholníkov. Pokúsme sa odvodiť vzorec pre oblasť bočných prvkov:

1. Plocha rovnoramenného 3-uholníka je Str=1/2(aL), kde a je strana základne, L je apotém.
2. Počet bočných rovín závisí od typu k-uholníka na základni. Napríklad pravidelná štvorhranná pyramída má štyri bočné roviny. Preto je potrebné sčítať plochy štyroch číslic Sstrana=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Výraz je takto zjednodušený, pretože hodnota 4a=POS, kde POS je obvod základne. A výraz 1/2 * Rosn je jeho polobvod.
3. Dospeli sme teda k záveru, že plocha bočných prvkov pravidelnej pyramídy sa rovná súčinu polobvodu základne a apotému: Sside \u003d Rosn * L.

Plocha celého povrchu pyramídy pozostáva zo súčtu plôch bočných rovín a základne: Sp.p. = Sside + Sbase.

Pokiaľ ide o oblasť základne, tu sa vzorec používa podľa typu polygónu.

Objem pravidelnej pyramídy sa rovná súčinu plochy základnej roviny a výšky delenej tromi: V=1/3*Sbase*H, kde H je výška mnohostenu.

Čo je pravidelná pyramída v geometrii

Vlastnosti pravidelnej štvoruholníkovej pyramídy