Aká je celková plocha. Bočná plocha pyramídy

- Toto je mnohostenná postava, na ktorej základni leží mnohouholník a zvyšné plochy sú znázornené trojuholníkmi so spoločným vrcholom.

Ak je základňa štvorec, potom sa nazýva pyramída štvoruholníkový, ak je trojuholník trojuholníkový. Výška pyramídy je nakreslená z jej vrcholu kolmo na základňu. Používa sa aj na výpočet plochy apotéma je výška bočnej plochy zníženej od jej vrcholu.
Vzorec pre plochu bočného povrchu pyramídy je súčtom plôch jej bočných plôch, ktoré sú si navzájom rovné. Tento spôsob výpočtu sa však používa veľmi zriedkavo. V podstate sa plocha pyramídy počíta cez obvod základne a apotému:

Zvážte príklad výpočtu plochy bočného povrchu pyramídy.

Nech je daná pyramída so základňou ABCDE a vrcholom F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm. Apotéma a = 5 cm. Nájdite plochu bočného povrchu pyramídy.
Nájdeme obvod. Pretože všetky plochy základne sú rovnaké, obvod päťuholníka sa bude rovnať:
Teraz môžete nájsť bočnú oblasť pyramídy:

Plocha pravidelnej trojuholníkovej pyramídy

Pravidelná trojuholníková pyramída pozostáva zo základne, v ktorej leží pravidelný trojuholník, a troch bočných plôch, ktoré majú rovnakú plochu.
Vzorec pre bočný povrch pravidelnej trojuholníkovej pyramídy možno vypočítať mnohými spôsobmi. Môžete použiť obvyklý vzorec na výpočet cez obvod a apotém, alebo môžete nájsť oblasť svojej tváre a vynásobiť ju tromi. Pretože tvár pyramídy je trojuholník, použijeme vzorec pre oblasť trojuholníka. Bude to vyžadovať apotém a dĺžku základne. Zvážte príklad výpočtu plochy bočného povrchu pravidelnej trojuholníkovej pyramídy.

Daná pyramída s apotémou a = 4 cm a základnou plochou b = 2 cm. Nájdite plochu bočného povrchu pyramídy.
Najprv nájdite oblasť jednej z bočných plôch. V tomto prípade to bude:
Nahraďte hodnoty vo vzorci:
Pretože v bežnej pyramíde sú všetky strany rovnaké, plocha bočného povrchu pyramídy sa bude rovnať súčtu plôch troch plôch. Respektíve:

Oblasť zrezanej pyramídy

skrátený Pyramída je mnohosten tvorený ihlanom a jeho rezom rovnobežným so základňou.
Vzorec pre bočnú plochu zrezanej pyramídy je veľmi jednoduchý. Plocha sa rovná súčinu polovice súčtu obvodov základní a apotému:

Plocha bočného povrchu ľubovoľnej pyramídy sa rovná súčtu plôch jej bočných plôch. V prípade pravidelnej pyramídy má zmysel uviesť špeciálny vzorec na vyjadrenie tejto oblasti. Dajme teda pravidelnú pyramídu, na základni ktorej leží pravidelný n-uholník so stranou rovnou a. Nech h je výška bočnej steny, nazývaná tiež apotéma pyramídy. Plocha jednej bočnej plochy je 1/2ah a celý bočný povrch pyramídy má plochu rovnajúcu sa n/2ha. Keďže na je obvod základne pyramídy, nájdený vzorec môžeme zapísať nasledovne :

Bočný povrch pravidelnej pyramídy sa rovná súčinu jej apotému o polovicu obvodu podstavy.

Čo sa týka celková plocha povrchu, potom jednoducho pridajte oblasť základne na stranu.

Popísaná a opísaná guľa a guľa. Je potrebné poznamenať, že stred gule vpísanej do pyramídy leží v priesečníku rovín osí vnútorných dihedrálnych uhlov pyramídy. Stred gule opísanej v blízkosti pyramídy leží v priesečníku rovín prechádzajúcich stredmi okrajov pyramídy a kolmých na ne.

Skrátená pyramída. Ak je pyramída rozrezaná rovinou rovnobežnou s jej základňou, potom sa časť uzavretá medzi rovinou rezu a základňou nazýva zrezaná pyramída. Na obrázku je znázornená pyramída, ktorej časť leží nad rovinou rezu a dostaneme zrezanú pyramídu. Je jasné, že malá pyramída, ktorá sa má vyradiť, je homotetická s veľkou pyramídou so stredom homotety na vrchole. Koeficient podobnosti sa rovná pomeru výšok: k=h 2 /h 1, alebo bočných rebier, alebo iných zodpovedajúcich lineárnych rozmerov oboch ihlanov. Vieme, že plochy podobných útvarov sú spojené ako štvorce lineárnych rozmerov; takže plochy základne oboch pyramíd (t.j. náhradné základne zrezanej pyramídy) súvisia ako

Tu je S1 plocha spodnej základne a S2 je plocha hornej základne zrezanej pyramídy. Bočné plochy pyramíd sú v rovnakom pomere. Podobné pravidlo platí pre objemy.

Objemy podobných telies sú príbuzné ako kocky ich lineárnych rozmerov; napríklad objemy pyramíd sú spojené ako súčin ich výšok plochou základne, z čoho bezprostredne vyplýva naše pravidlo. Má úplne všeobecný charakter a priamo vyplýva z toho, že objem má vždy rozmer tretej mocniny dĺžky. Pomocou tohto pravidla odvodíme vzorec vyjadrujúci objem zrezaného ihlana z hľadiska výšky a plôch podstav.

Nech je daný zrezaný ihlan s výškou h a základnými plochami S 1 a S 2 . Ak si predstavíme, že je rozšírená na celú pyramídu, potom koeficient podobnosti celej pyramídy a malej pyramídy možno ľahko nájsť ako koreň pomeru S 2 /S 1. Výška zrezaného ihlana je vyjadrená ako h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Teraz máme pre objem zrezanej pyramídy (V 1 a V 2 označujú objemy plnej a malej pyramídy)

objemový vzorec skrátenej pyramídy

Vzorec pre plochu S bočnej plochy pravidelného zrezaného ihlana odvodíme cez obvody P 1 a P 2 podstavy a dĺžku apotémy a. Argumentujeme úplne rovnakým spôsobom ako pri odvodzovaní vzorca pre objem. Pyramídu dopĺňame hornou časťou, máme P 2 \u003d kP 1, S 2 \u003d k 2 S 1, kde k je koeficient podobnosti, P 1 a P 2 sú obvody základní a S 1 a S 2 sú kone bočných plôch celej výslednej pyramídy a jej vrcholu, resp. Pre bočný povrch nájdeme (a 1 a 2 - apotémy pyramíd, a \u003d a 1 - a 2 \u003d a 1 (1-k))

vzorec pre bočný povrch pravidelnej zrezanej pyramídy

Pri príprave na skúšku z matematiky si študenti musia systematizovať svoje vedomosti z algebry a geometrie. Chcel by som skombinovať všetky známe informácie, napríklad ako vypočítať plochu pyramídy. Navyše, počnúc od základne a bočných plôch až po celú plochu. Ak je situácia jasná s bočnými plochami, pretože sú to trojuholníky, základňa je vždy iná.

Čo robiť pri hľadaní oblasti základne pyramídy?

Môže to byť úplne akýkoľvek obrázok: od ľubovoľného trojuholníka po n-uholník. A táto základňa, okrem rozdielu v počte uhlov, môže byť pravidelná alebo nesprávna. V úlohách USE, ktoré zaujímajú školákov, sú na základni iba úlohy so správnymi figúrkami. Preto budeme hovoriť iba o nich.

správny trojuholník

To je rovnostranné. Taký, v ktorom sú všetky strany rovnaké a označuje sa písmenom „a“. V tomto prípade sa plocha základne pyramídy vypočíta podľa vzorca:

S = (a 2 * √3) / 4.

Námestie

Vzorec na výpočet jeho plochy je najjednoduchší, tu je "a" opäť strana:

Ľubovoľný pravidelný n-uholník

Strana mnohouholníka má rovnaké označenie. Pre počet rohov sa používa latinské písmeno n.

S = (n*a2)/(4*tg (180°/n)).

Ako postupovať pri výpočte bočnej a celkovej plochy?

Keďže základňa je pravidelná postava, všetky strany pyramídy sú rovnaké. Okrem toho je každý z nich rovnoramenný trojuholník, pretože bočné okraje sú rovnaké. Potom, aby ste mohli vypočítať bočnú plochu pyramídy, potrebujete vzorec pozostávajúci zo súčtu identických monomiálov. Počet členov je určený počtom strán základne.

Plocha rovnoramenného trojuholníka sa vypočíta podľa vzorca, v ktorom sa polovica súčinu základne vynásobí výškou. Táto výška v pyramíde sa nazýva apotém. Jeho označenie je „A“. Všeobecný vzorec pre bočný povrch je:

S \u003d ½ P * A, kde P je obvod základne pyramídy.

Sú situácie, keď strany základne nie sú známe, ale sú dané bočné hrany (c) a plochý uhol v jej vrchole (α). Potom sa má použiť takýto vzorec na výpočet bočnej plochy pyramídy:

S = n/2 * v 2 sin α .

Úloha č.1

Podmienka. Nájdite celkovú plochu pyramídy, ak jej základňa leží na strane 4 cm a apotém má hodnotu √3 cm.

Riešenie. Musíte začať výpočtom obvodu základne. Keďže ide o pravidelný trojuholník, potom P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm. Keďže apotém je známy, môžete okamžite vypočítať plochu celého bočného povrchu: ½ * 12 * √3 = 6 √3 cm 2.

Pre trojuholník na základni sa získa nasledujúca hodnota plochy: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.

Ak chcete určiť celú plochu, budete musieť pridať dve výsledné hodnoty: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm2.

Odpoveď. 10√3 cm2.

Úloha č. 2

Podmienka. Je tu pravidelná štvoruholníková pyramída. Dĺžka strany základne je 7 mm, bočná hrana je 16 mm. Musíte poznať jeho povrch.

Riešenie. Pretože mnohosten je štvoruholníkový a pravidelný, jeho základňou je štvorec. Po naučení plôch základne a bočných plôch bude možné vypočítať plochu pyramídy. Vzorec pre štvorec je uvedený vyššie. A na bočných stranách sú známe všetky strany trojuholníka. Preto môžete použiť Heronov vzorec na výpočet ich plôch.

Prvé výpočty sú jednoduché a vedú k tomuto číslu: 49 mm 2. Pre druhú hodnotu budete musieť vypočítať polobvod: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Teraz môžete vypočítať plochu rovnoramenného trojuholníka: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Existujú iba štyri takéto trojuholníky, takže pri výpočte konečného čísla ho budete musieť vynásobiť 4.

Ukázalo sa: 49 + 4 * 54,644 \u003d 267,576 mm 2.

Odpoveď. Požadovaná hodnota je 267,576 mm2.

Úloha č. 3

Podmienka. Pre pravidelnú štvorhrannú pyramídu musíte vypočítať plochu. V ňom je strana štvorca 6 cm a výška 4 cm.

Riešenie. Najjednoduchšie je použiť vzorec so súčinom obvodu a apotému. Prvú hodnotu je ľahké nájsť. Druhý je trochu náročnejší.

Budeme si musieť zapamätať Pytagorovu vetu a zvážiť, že je tvorená výškou pyramídy a apotémom, čo je prepona. Druhá noha sa rovná polovici strany štvorca, pretože výška mnohostenu spadá do jeho stredu.

Požadovaná apotéma (prepona pravouhlého trojuholníka) je √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Teraz môžete vypočítať požadovanú hodnotu: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).

Odpoveď. 96 cm2.

Úloha č. 4

Podmienka. Správna strana jeho základne je 22 mm, bočné rebrá sú 61 mm. Aká je plocha bočného povrchu tohto mnohostenu?

Riešenie.Úvaha v nej je rovnaká ako v úlohe č.2. Iba tam bola daná pyramída so štvorcom na základni a teraz je to šesťuholník.

V prvom rade sa plocha základne vypočíta podľa vyššie uvedeného vzorca: (6 * 22 2) / (4 * tg (180 ° / 6)) \u003d 726 / (tg30 °) \u003d 726 ° 3 cm 2.

Teraz musíte zistiť polobvod rovnoramenného trojuholníka, ktorý je bočnou stenou. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. Zostáva vypočítať plochu každého takého trojuholníka pomocou Heronovho vzorca a potom ho vynásobiť šiestimi a pridať k tomu, ktorý sa ukázal pre základňu.

Výpočty pomocou Heronovho vzorca: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Výpočty, ktoré poskytnú plochu bočného povrchu: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Zostáva ich spočítať, aby ste zistili celý povrch: 5217,47≈5217 cm 2.

Odpoveď. Základňa - 726√3 cm 2, bočná plocha - 3960 cm 2, celá plocha - 5217 cm 2.

Typickými geometrickými problémami v rovine a v trojrozmernom priestore sú problémy určovania povrchových plôch rôznych útvarov. V tomto článku uvádzame vzorec pre oblasť bočného povrchu pravidelnej štvoruholníkovej pyramídy.

Čo je pyramída?

Uveďme prísnu geometrickú definíciu pyramídy. Predpokladajme, že existuje nejaký mnohouholník s n stranami a n rohmi. Vyberieme si ľubovoľný bod v priestore, ktorý nebude v rovine zadaného n-uholníka, a pripojíme ho ku každému vrcholu mnohouholníka. Dostaneme obrazec, ktorý má nejaký objem, ktorý sa nazýva n-gonálna pyramída. Ukážme si napríklad na obrázku nižšie, ako vyzerá päťuholníková pyramída.

Dva dôležité prvky každej pyramídy sú jej základňa (n-uholník) a vrchol. Tieto prvky sú navzájom spojené n trojuholníkmi, ktoré sa vo všeobecnosti navzájom nerovnajú. Kolmica spadnutá zhora na základňu sa nazýva výška postavy. Ak pretína základňu v geometrickom strede (zhoduje sa s ťažiskom mnohouholníka), potom sa takáto pyramída nazýva priamka. Ak je základňou okrem tejto podmienky pravidelný mnohouholník, potom sa celá pyramída nazýva pravidelná. Obrázok nižšie ukazuje, ako vyzerajú pravidelné pyramídy s trojuholníkovými, štvoruholníkovými, päťuholníkovými a šesťhrannými základňami.

Povrch pyramídy

Predtým, ako prejdeme k otázke plochy bočného povrchu pravidelnej štvoruholníkovej pyramídy, mali by sme sa podrobnejšie zaoberať koncepciou samotného povrchu.

Ako je uvedené vyššie a znázornené na obrázkoch, každá pyramída je tvorená súborom plôch alebo strán. Jedna strana je základňa a n strán sú trojuholníky. Povrch celej postavy je súčtom plôch každej z jej strán.

Je vhodné študovať povrch na príklade rozloženia postavy. Skenovanie pravidelnej štvorhrannej pyramídy je znázornené na obrázkoch nižšie.

Vidíme, že jeho plocha sa rovná súčtu štyroch oblastí identických rovnoramenných trojuholníkov a plochy štvorca.

Celková plocha všetkých trojuholníkov, ktoré tvoria strany obrázku, sa nazýva plocha bočného povrchu. Ďalej ukážeme, ako to vypočítať pre pravidelnú štvorhrannú pyramídu.

Bočný povrch obdĺžnikovej pravidelnej pyramídy

Na výpočet plochy bočného povrchu uvedeného obrázku sa opäť obrátime na vyššie uvedené zametanie. Predpokladajme, že poznáme stranu štvorcovej základne. Označme ho symbolom a. Je vidieť, že každý zo štyroch rovnakých trojuholníkov má základňu dĺžky a. Na výpočet ich celkovej plochy potrebujete poznať túto hodnotu pre jeden trojuholník. Z priebehu geometrie je známe, že plocha trojuholníka St sa rovná súčinu základne a výšky, ktorá by mala byť rozdelená na polovicu. To je:

Kde h b je výška rovnoramenného trojuholníka nakresleného k základni a. Pre pyramídu je táto výška apotémou. Teraz zostáva vynásobiť výsledný výraz číslom 4, aby sme dostali plochu Sb bočného povrchu pre príslušnú pyramídu:

Sb = 4*St = 2*hb*a.

Tento vzorec obsahuje dva parametre: apotém a stranu základne. Ak je vo väčšine podmienok problémov známy druhý, potom sa prvý musí vypočítať so znalosťou iných veličín. Tu sú vzorce na výpočet apotému h b pre dva prípady:

• keď je známa dĺžka bočného rebra;
• keď je známa výška pyramídy.

Ak označíme dĺžku bočnej hrany (strana rovnoramenného trojuholníka) symbolom L, potom apotéma h b je určená vzorcom:

h b \u003d √ (L 2 - a 2 / 4).

Tento výraz je výsledkom aplikácie Pytagorovej vety pre trojuholník s bočnou plochou.

Ak je známa výška h pyramídy, apotema h b sa môže vypočítať takto:

h b = √(h2 + a2/4).

Tiež nie je ťažké získať tento výraz, ak vezmeme do úvahy pravouhlý trojuholník vo vnútri pyramídy tvorenej nohami h a a / 2 a preponou h b.

Vyriešením dvoch zaujímavých úloh si ukážeme, ako tieto vzorce aplikovať.

Problém so známou oblasťou povrchu

Je známe, že plocha bočného povrchu štvoruholníka je 108 cm2. Je potrebné vypočítať hodnotu dĺžky jeho apotému h bi, ak je výška pyramídy 7 cm.

Vzorec pre plochu S b bočnej plochy napíšeme cez výšku. Máme:

Sb = 2*√(h2 + a2/4) *a.

Tu sme jednoducho dosadili zodpovedajúci vzorec apotému do výrazu pre S b . Odmocnime obe strany rovnice:

S b 2 \u003d 4 * a 2 * h 2 + a 4.

Aby sme našli hodnotu a, vykonáme zmenu premenných:

t2 + 4*h2*t - Sb2 = 0.

Teraz dosadíme známe hodnoty a vyriešime kvadratickú rovnicu:

t2 + 196*t - 11664 = 0.

Napísali sme iba kladný koreň tejto rovnice. Potom sa strany základne pyramídy budú rovnať:

a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.

Ak chcete získať dĺžku apotému, použite vzorec:

h b \u003d √ (h 2 + a 2 / 4) \u003d √ (7 2 + 6,916 2 / 4) ≈ 7,808 cm.

Bočný povrch Cheopsovej pyramídy

Určme hodnotu bočného povrchu pre najväčšiu egyptskú pyramídu. Je známe, že na jeho základni leží štvorec s dĺžkou strany 230,363 metra. Výška stavby bola pôvodne 146,5 metra. Dosaďte tieto čísla do zodpovedajúceho vzorca pre S b , dostaneme:

Sb \u003d 2 * √ (h 2 + a 2 / 4) * a \u003d 2 * √ (146,5 2 + 230,363 2 / 4) * 230,363 ≈ 85860 m 2.

Zistená hodnota je o niečo väčšia ako plocha 17 futbalových ihrísk.