Riešenie lineárnych systémov algebraické rovnice(SLAE) je nepochybne najdôležitejšou témou kurzu lineárnej algebry. Obrovské množstvo problémov zo všetkých odvetví matematiky sa týka systémov riešenia lineárne rovnice. Tieto faktory vysvetľujú dôvod tohto článku. Materiál článku je vybraný a štruktúrovaný tak, aby ste s jeho pomocou mohli

• zvoliť optimálnu metódu riešenia vášho systému lineárnych algebraických rovníc,
• študovať teóriu zvolenej metódy,
• vyriešte svoj systém lineárnych rovníc zvážením podrobných riešení typických príkladov a problémov.

Stručný popis materiálu článku.

Najprv uvedieme všetky potrebné definície, pojmy a zavedieme notácie.

Ďalej sa budeme zaoberať metódami riešenia systémov lineárnych algebraických rovníc, v ktorých sa počet rovníc rovná počtu neznámych premenných a ktoré majú jedinečné riešenie. Po prvé sa zameriame na Cramerovu metódu, po druhé si ukážeme maticovú metódu riešenia takýchto sústav rovníc, po tretie rozoberieme Gaussovu metódu (metóda sekvenčná eliminácia neznáme premenné). Pre upevnenie teórie určite vyriešime niekoľko SLAE rôznymi spôsobmi.

Potom prejdeme k riešeniu sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecný pohľad, v ktorom sa počet rovníc nezhoduje s počtom neznámych premenných alebo je hlavná matica systému singulárna. Sformulujme Kroneckerovu-Capelliho vetu, ktorá nám umožňuje stanoviť kompatibilitu SLAE. Analyzujme riešenie systémov (ak sú kompatibilné) pomocou konceptu minoritnej bázy matice. Zvážime aj Gaussovu metódu a podrobne popíšeme riešenia príkladov.

Určite sa zastavíme pri štruktúre všeobecného riešenia homogénnych a nehomogénnych systémov lineárnych algebraických rovníc. Uveďme koncept základného systému riešení a ukážme, ako písať spoločné rozhodnutie SLAE pomocou vektorov systému základného riešenia. Pre lepšie pochopenie sa pozrime na niekoľko príkladov.

Na záver zvážime systémy rovníc, ktoré možno redukovať na lineárne, ako aj rôzne problémy, pri riešení ktorých vznikajú SLAE.

Navigácia na stránke.

Definície, pojmy, označenia.

Budeme uvažovať sústavy p lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi premennými (p sa môže rovnať n) tvaru

Neznáme premenné, - koeficienty (niektoré reálne alebo komplexné čísla), - voľné členy (aj reálne alebo komplexné čísla).

Táto forma záznamu sa nazýva SLAE koordinovať.

IN matricový formulár písanie tohto systému rovníc má tvar,
Kde - hlavná matica systému, - stĺpcová matica neznámych premenných, - stĺpcová matica voľných členov.

Ak k matici A pridáme maticu-stĺpec voľných členov ako (n+1)-tý stĺpec, dostaneme tzv. rozšírená matica sústavy lineárnych rovníc. Rozšírená matica je zvyčajne označená písmenom T a stĺpec voľných výrazov je oddelený zvislou čiarou od zostávajúcich stĺpcov, tj.

Riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc nazývaný súbor hodnôt neznámych premenných, ktorý premieňa všetky rovnice systému na identity. Maticová rovnica pre dané hodnoty neznámych premenných sa tiež stáva identita.

Ak má sústava rovníc aspoň jedno riešenie, potom sa nazýva kĺb.

Ak systém rovníc nemá riešenia, potom sa nazýva nekĺbový.

Ak má SLAE jedinečné riešenie, potom sa nazýva istý; ak existuje viac ako jedno riešenie, potom - neistý.

Ak sa voľné členy všetkých rovníc sústavy rovnajú nule , potom sa zavolá systém homogénne, inak - heterogénne.

Riešenie elementárnych sústav lineárnych algebraických rovníc.

Ak sa počet rovníc systému rovná počtu neznámych premenných a determinant jeho hlavnej matice sa nerovná nule, potom sa takéto SLAE budú nazývať elementárne. Takéto sústavy rovníc majú jedinečné riešenie a v prípade homogénny systém všetky neznáme premenné sú nulové.

Takéto SLAE sme začali študovať na strednej škole. Pri ich riešení sme zobrali jednu rovnicu, jednu neznámu premennú sme vyjadrili inými a dosadili ju do zvyšných rovníc, potom sme zobrali ďalšiu rovnicu, vyjadrili ďalšiu neznámu premennú a dosadili ju do iných rovníc atď. Alebo použili metódu sčítania, to znamená, že pridali dve alebo viac rovníc na odstránenie niektorých neznámych premenných. Nebudeme sa týmito metódami podrobne zaoberať, keďže ide v podstate o modifikácie Gaussovej metódy.

Hlavnými metódami riešenia elementárnych sústav lineárnych rovníc sú Cramerova metóda, maticová metóda a Gaussova metóda. Poďme si ich roztriediť.

Riešenie sústav lineárnych rovníc Cramerovou metódou.

Predpokladajme, že potrebujeme vyriešiť systém lineárnych algebraických rovníc

v ktorej sa počet rovníc rovná počtu neznámych premenných a determinant hlavnej matice systému je odlišný od nuly, teda .

Nech je determinant hlavnej matice systému a - determinanty matíc, ktoré sa získajú z A nahradením 1., 2., …, n-tý stĺpec respektíve stĺpec voľných členov:

S týmto zápisom sa neznáme premenné počítajú pomocou vzorcov Cramerovej metódy as . Takto sa nájde riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc pomocou Cramerovej metódy.

Príklad.

Cramerova metóda .

Riešenie.

Hlavná matica systému má tvar . Vypočítajme jeho determinant (ak je to potrebné, pozri článok):

Keďže determinant hlavnej matice systému je nenulový, systém má jedinečné riešenie, ktoré možno nájsť Cramerovou metódou.

Poskladajme a vypočítajme potrebné determinanty (determinant získame nahradením prvého stĺpca v matici A stĺpcom voľných členov, determinant nahradením druhého stĺpca stĺpcom voľných členov a nahradením tretieho stĺpca matice A stĺpcom voľných členov) :

Hľadanie neznámych premenných pomocou vzorcov :

odpoveď:

Hlavnou nevýhodou Cramerovej metódy (ak ju možno nazvať nevýhodou) je zložitosť výpočtu determinantov pri počte rovníc v sústave viac ako tri.

Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou (pomocou inverznej matice).

Nech je daná sústava lineárnych algebraických rovníc v maticovom tvare, kde matica A má rozmer n x n a jej determinant je nenulový.

Keďže matica A je invertibilná, to znamená, že existuje inverzná matica. Ak obe strany rovnosti vynásobíme ľavou, dostaneme vzorec na nájdenie matice-stĺpca neznámych premenných. Takto sme získali riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc maticová metóda.

Príklad.

Riešiť sústavu lineárnych rovníc maticová metóda.

Riešenie.

Prepíšme sústavu rovníc do maticového tvaru:

Pretože

potom možno SLAE vyriešiť pomocou maticovej metódy. Používaním inverzná matica riešenie tohto systému možno nájsť ako .

Zostrojme inverznú maticu pomocou matice z algebraických sčítaní prvkov matice A (ak je to potrebné, pozri článok):

Zostáva vypočítať maticu neznámych premenných vynásobením inverznej matice do maticového stĺpca voľných členov (ak je to potrebné, pozri článok):

odpoveď:

alebo v inom zápise x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Hlavným problémom pri hľadaní riešení sústav lineárnych algebraických rovníc pomocou maticovej metódy je zložitosť hľadania inverznej matice, najmä pre štvorcové matice poradie vyššie ako tretie.

Riešenie sústav lineárnych rovníc Gaussovou metódou.

Predpokladajme, že potrebujeme nájsť riešenie systému n lineárnych rovníc s n neznámymi premennými
ktorého determinant hlavnej matice je odlišný od nuly.

Podstata Gaussovej metódy pozostáva z postupného vylúčenia neznámych premenných: najprv sa x 1 vylúči zo všetkých rovníc systému, počnúc druhou, potom sa x 2 vylúči zo všetkých rovníc, počnúc treťou atď., až kým nebude známa iba neznáma premenná x n zostáva v poslednej rovnici. Tento proces transformácie systémových rovníc na sekvenčnú elimináciu neznámych premenných sa nazýva priama Gaussova metóda. Po dokončení dopredného zdvihu Gaussovej metódy sa z poslednej rovnice zistí x n, pomocou tejto hodnoty z predposlednej rovnice sa vypočíta x n-1 atď., Z prvej rovnice sa zistí x 1. Proces výpočtu neznámych premenných pri prechode od poslednej rovnice sústavy k prvej sa nazýva inverzná ku Gaussovej metóde.

Stručne popíšme algoritmus na elimináciu neznámych premenných.

Budeme predpokladať, že , pretože to môžeme vždy dosiahnuť preskupením rovníc systému. Vylúčme neznámu premennú x 1 zo všetkých rovníc systému, počnúc druhou. Aby sme to dosiahli, do druhej rovnice systému pridáme prvú, vynásobenú , do tretej rovnice pridáme prvú, vynásobenú , atď., K n-tej rovnici pridáme prvú, vynásobenú . Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar

kde a .

K rovnakému výsledku by sme dospeli, ak by sme x 1 vyjadrili pomocou iných neznámych premenných v prvej rovnici systému a výsledný výraz dosadili do všetkých ostatných rovníc. Premenná x 1 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc druhou.

Ďalej postupujeme podobne, ale len s časťou výslednej sústavy, ktorá je vyznačená na obrázku

Aby sme to dosiahli, do tretej rovnice systému pridáme druhú, vynásobenú , do štvrtej rovnice pridáme druhú, vynásobenú , atď., K n-tej rovnici pridáme druhú, vynásobenú . Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar

kde a . Premenná x 2 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc treťou.

Ďalej pristúpime k eliminácii neznámeho x 3, pričom podobne postupujeme aj s časťou systému označenou na obr.

Pokračujeme teda v priamom postupe Gaussovej metódy, kým systém nezíska formu

Od tohto momentu začíname obrátene Gaussovej metódy: x n vypočítame z poslednej rovnice ako , pomocou získanej hodnoty x n nájdeme x n-1 z predposlednej rovnice atď., Z prvej rovnice nájdeme x 1 .

Príklad.

Riešiť sústavu lineárnych rovníc Gaussova metóda.

Riešenie.

Vylúčme neznámu premennú x 1 z druhej a tretej rovnice sústavy. Aby sme to dosiahli, k obom stranám druhej a tretej rovnice pridáme zodpovedajúce časti prvej rovnice, vynásobené, resp.

Teraz odstránime x 2 z tretej rovnice tak, že k jej ľavej a pravej strane pridáme ľavú a pravú stranu druhej rovnice, vynásobíme:

Tým sa dokončí dopredný ťah Gaussovej metódy, začneme spätný ťah.

Z poslednej rovnice výslednej sústavy rovníc zistíme x 3:

Z druhej rovnice dostaneme .

Z prvej rovnice nájdeme zostávajúcu neznámu premennú a tým dokončíme opak Gaussovej metódy.

odpoveď:

Xi = 4, x2 = 0, x3 = -1.

Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.

IN všeobecný prípad počet rovníc systému p sa nezhoduje s počtom neznámych premenných n:

Takéto SLAE nemusia mať žiadne riešenia, môžu mať jediné riešenie alebo mať nekonečne veľa riešení. Toto tvrdenie platí aj pre systémy rovníc, ktorých hlavná matica je štvorcová a singulárna.

Kroneckerova-Capelliho veta.

Pred nájdením riešenia systému lineárnych rovníc je potrebné zistiť jeho kompatibilitu. Odpoveď na otázku, kedy je SLAE kompatibilný a kedy nekonzistentný, dáva Kroneckerova-Capelliho veta:
Aby bol systém p rovníc s n neznámymi (p sa môže rovnať n) konzistentný, je potrebné a postačujúce, aby sa hodnosť hlavnej matice systému rovnala hodnosti rozšírenej matice, tj. , Poradie (A) = Poradie (T).

Uvažujme ako príklad použitie Kronecker-Capelliho vety na určenie kompatibility systému lineárnych rovníc.

Príklad.

Zistite, či má sústava lineárnych rovníc riešenia.

Riešenie.

. Využime metódu ohraničenia maloletých. Minor druhého rádu odlišný od nuly. Pozrime sa na maloletých tretieho rádu, ktorí s ním hraničia:

Keďže všetky hraničiace neplnoleté osoby tretieho rádu sa rovnajú nule, poradie hlavnej matice sa rovná dvom.

Na druhej strane, hodnosť rozšírenej matice sa rovná trom, keďže maloletý je tretieho rádu

odlišný od nuly.

teda Rang(A) teda pomocou Kronecker-Capelliho vety môžeme konštatovať, že pôvodný systém lineárnych rovníc je nekonzistentný.

odpoveď:

Systém nemá riešenia.

Takže sme sa naučili určiť nekonzistentnosť systému pomocou Kronecker-Capelliho vety.

Ako však nájsť riešenie pre SLAE, ak je preukázaná jeho kompatibilita?

Na to potrebujeme koncept minoritnej bázy matice a vetu o hodnosti matice.

Menší najvyššieho rádu matica A, odlišná od nuly, sa nazýva základné.

Z definície základu minor vyplýva, že jej poradie sa rovná hodnosti matice. Pre nenulovú maticu A môže byť niekoľko vedľajších základov;

Zoberme si napríklad maticu .

Všetky minority tretieho rádu tejto matice sú rovné nule, pretože prvky tretieho riadku tejto matice sú súčtom zodpovedajúcich prvkov prvého a druhého riadku.

Nasledujúce maloletí druhého poriadku sú základné, pretože sú nenulové

maloletí nie sú základné, pretože sa rovnajú nule.

Veta o poradí matice.

Ak sa poradie matice rádu p x n rovná r, potom všetky riadkové (a stĺpcové) prvky matice, ktoré netvoria zvolenú základňu minor, sú lineárne vyjadrené v zmysle zodpovedajúcich riadkových (a stĺpcových) prvkov tvoriacich základ minor.

Čo nám hovorí veta o poradí matice?

Ak sme podľa Kronecker-Capelliho vety stanovili kompatibilitu systému, potom zvolíme ľubovoľnú menšiu bázu hlavnej matice systému (jej poradie sa rovná r) a vylúčime zo systému všetky rovnice, ktoré netvoria vybraný základ moll. Takto získaný SLAE bude ekvivalentný pôvodnému, keďže vyradené rovnice sú stále nadbytočné (podľa vety o poradí matice sú lineárnou kombináciou zostávajúcich rovníc).

Výsledkom je, že po vyradení nepotrebných rovníc systému sú možné dva prípady.

Ak sa počet rovníc r vo výslednej sústave rovná počtu neznámych premenných, potom bude určitý a jediné riešenie možno nájsť Cramerovou metódou, maticovou metódou alebo Gaussovou metódou.

Príklad.

.

Riešenie.

Hodnosť hlavnej matice systému sa rovná dvom, keďže maloletý je druhého rádu odlišný od nuly. Hodnosť rozšírenej matice sa tiež rovná dvom, keďže jediný menší stupeň tretieho rádu je nula

a vyššie uvažovaná neplnoletá osoba druhého poriadku sa líši od nuly. Na základe Kronecker-Capelliho vety môžeme tvrdiť kompatibilitu pôvodného systému lineárnych rovníc, keďže Rank(A)=Rank(T)=2.

Ako základ berieme drobné . Tvoria ju koeficienty prvej a druhej rovnice:


Tretia rovnica systému sa nezúčastňuje na tvorbe bázy moll, preto ju vylúčime zo systému na základe vety o hodnosti matice:


Takto sme získali elementárny systém lineárnych algebraických rovníc. Poďme to vyriešiť Cramerovou metódou:


odpoveď:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ak je počet rovníc r vo výslednom SLAE menší ako počet neznámych premenných n, potom na ľavých stranách rovníc ponecháme členy tvoriace základ menšie a zvyšné členy prenesieme na pravé strany rovnice. rovnice sústavy s opačným znamienkom.

Neznáme premenné (z nich r), ktoré zostávajú na ľavej strane rovníc, sa nazývajú Hlavná.

Neznáme premenné (existuje n - r kusov), ktoré sú na pravej strane, sa nazývajú zadarmo.

Teraz veríme, že voľné neznáme premenné môžu nadobudnúť ľubovoľné hodnoty, zatiaľ čo hlavné neznáme premenné budú vyjadrené prostredníctvom voľných neznámych premenných jedinečným spôsobom. Ich vyjadrenie možno nájsť riešením výsledného SLAE pomocou Cramerovej metódy, maticovej metódy alebo Gaussovej metódy.

Pozrime sa na to na príklade.

Príklad.

Vyriešte sústavu lineárnych algebraických rovníc .

Riešenie.

Poďme nájsť hodnosť hlavnej matice systému metódou ohraničenia maloletých. Zoberme si a 1 1 = 1 ako nenulovú mollovú hodnotu prvého rádu. Začnime hľadať nenulovú moll druhého rádu ohraničujúcu tento moll:


Takto sme našli nenulovú moll druhého rádu. Začnime hľadať nenulový hraničný moll tretieho rádu:


Hodnosť hlavnej matice je teda tri. Hodnosť rozšírenej matice sa tiež rovná trom, to znamená, že systém je konzistentný.

Za základ berieme nájdený nenulový moll tretieho rádu.

Pre prehľadnosť uvádzame prvky, ktoré tvoria základ moll:


Na ľavej strane systémových rovníc necháme výrazy zapojené do základnej menšej časti a zvyšok prenesieme s opačnými znamienkami na pravú stranu:


Dajme voľným neznámym premenným x 2 a x 5 ľubovoľné hodnoty, teda akceptujeme , kde sú ľubovoľné čísla. V tomto prípade bude mať SLAE formu


Vyriešme výsledný elementárny systém lineárnych algebraických rovníc Cramerovou metódou:


Preto, .

Vo svojej odpovedi nezabudnite uviesť voľné neznáme premenné.

odpoveď:

Kde sú ľubovoľné čísla.

Zhrnúť.

Aby sme vyriešili systém všeobecných lineárnych algebraických rovníc, najprv určíme jeho kompatibilitu pomocou Kronecker-Capelliho vety. Ak sa pozícia hlavnej matice nerovná hodnote rozšírenej matice, potom dospejeme k záveru, že systém je nekompatibilný.

Ak sa hodnosť hlavnej matice rovná hodnosti rozšírenej matice, vyberieme vedľajšiu bázu a zahodíme rovnice systému, ktoré sa nezúčastňujú na tvorbe vybranej vedľajšej bázy.

Ak sa poradie základnej minor rovná počtu neznámych premenných, potom má SLAE jedinečné riešenie, ktoré možno nájsť akoukoľvek nám známou metódou.

Ak je poradie menšieho základu menšie ako počet neznámych premenných, potom na ľavej strane systémových rovníc ponecháme výrazy s hlavnými neznámymi premennými, zvyšné výrazy prenesieme na pravé strany a zadáme ľubovoľné hodnoty. voľné neznáme premenné. Z výslednej sústavy lineárnych rovníc nájdeme pomocou Cramerovej metódy, maticovej metódy alebo Gaussovej metódy hlavné neznáme premenné.

Gaussova metóda na riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.

Gaussovu metódu možno použiť na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc akéhokoľvek druhu bez toho, aby sa najprv testovala ich konzistencia. Proces postupnej eliminácie neznámych premenných umožňuje vyvodiť záver o kompatibilite aj nekompatibilite SLAE a ak existuje riešenie, umožňuje ho nájsť.

Z výpočtového hľadiska je výhodnejšia Gaussova metóda.

Sledujte to Detailný popis a analyzoval príklady v článku Gaussova metóda na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.

Zápis všeobecného riešenia homogénnych a nehomogénnych lineárnych algebraických systémov pomocou vektorov základného systému riešení.

V tejto časti budeme hovoriť o simultánnych homogénnych a nehomogénnych systémoch lineárnych algebraických rovníc, ktoré majú nekonečný počet riešení.

Poďme sa najprv zaoberať homogénnymi systémami.

Základný systém riešení homogénna sústava p lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi premennými je súborom (n – r) lineárne nezávislých riešení tejto sústavy, kde r je rád malej bázy hlavnej matice sústavy.

Ak lineárne nezávislé riešenia homogénneho SLAE označíme ako X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) sú stĺpcové matice rozmeru n pomocou 1), potom je všeobecné riešenie tohto homogénneho systému reprezentované ako lineárna kombinácia vektorov základného systému riešení s ľubovoľným konštantné koeficienty C1, C2, ..., C (n-r), to znamená .

Čo znamená všeobecné riešenie homogénnej sústavy lineárnych algebraických rovníc (oroslau)?

Význam je jednoduchý: vzorec určuje všetko možné riešenia pôvodný SLAE, inými slovami, ak vezmeme ľubovoľnú množinu hodnôt ľubovoľných konštánt C 1, C 2, ..., C (n-r), podľa vzorca dostaneme jedno z riešení pôvodného homogénneho SLAE.

Ak teda nájdeme fundamentálny systém riešení, potom môžeme definovať všetky riešenia tohto homogénneho SLAE ako .

Ukážme si proces konštrukcie základného systému riešení homogénneho SLAE.

Z pôvodného systému lineárnych rovníc vyberieme minoritný základ, vylúčime zo systému všetky ostatné rovnice a všetky členy obsahujúce voľné neznáme premenné prenesieme na pravú stranu rovníc systému s opačnými znamienkami. Dajme voľným neznámym premenným hodnoty 1,0,0,...,0 a vypočítajme hlavné neznáme riešením výslednej elementárnej sústavy lineárnych rovníc akýmkoľvek spôsobom, napríklad pomocou Cramerovej metódy. Výsledkom bude X (1) - prvé riešenie základného systému. Ak dáme voľným neznámym hodnoty 0,1,0,0,…,0 a vypočítame hlavné neznáme, dostaneme X (2) . A tak ďalej. Ak voľným neznámym premenným priradíme hodnoty 0,0,…,0,1 a vypočítame hlavné neznáme, dostaneme X (n-r) . Týmto spôsobom bude skonštruovaný základný systém riešení homogénneho SLAE a jeho všeobecné riešenie môže byť zapísané v tvare .

Pre nehomogénne systémy lineárnych algebraických rovníc je všeobecné riešenie reprezentované v tvare , kde je všeobecné riešenie zodpovedajúceho homogénneho systému a je partikulárnym riešením pôvodného nehomogénneho SLAE, ktoré získame tak, že voľným neznámym dáme hodnoty ​​0,0,...,0 a výpočet hodnôt hlavných neznámych.

Pozrime sa na príklady.

Príklad.

Nájdite základnú sústavu riešení a všeobecné riešenie homogénnej sústavy lineárnych algebraických rovníc .

Riešenie.

Hodnosť hlavnej matice homogénnych sústav lineárnych rovníc sa vždy rovná hodnosti rozšírenej matice. Pomocou metódy ohraničenia maloletých nájdime hodnosť hlavnej matice. Ako nenulovú minoritu prvého rádu berieme prvok a 1 1 = 9 hlavnej matice systému. Nájdime hraničnú nenulovú moll druhého rádu:

Bol nájdený minor druhého rádu, odlišný od nuly. Poďme cez neplnoletých tretieho rádu, ktorí s ním hraničia, pri hľadaní nenulovej jednotky:

Všetky neplnoleté osoby tretieho rádu sa rovnajú nule, preto sa poradie hlavnej a rozšírenej matice rovná dvom. Vezmime . Pre prehľadnosť si všimnime prvky systému, ktoré ho tvoria:

Tretia rovnica pôvodného SLAE sa nezúčastňuje na tvorbe základnej moll, preto ju možno vylúčiť:

Ponecháme členy obsahujúce hlavné neznáme na pravej strane rovníc a prenesieme členy s voľnými neznámymi na pravú stranu:

Zostavme základnú sústavu riešení pôvodného homogénneho systému lineárnych rovníc. Základný systém riešení tohto SLAE pozostáva z dvoch riešení, keďže pôvodný SLAE obsahuje štyri neznáme premenné a poradie jeho základu minor je rovné dvom. Na nájdenie X (1) dáme voľným neznámym premenným hodnoty x 2 = 1, x 4 = 0, potom nájdeme hlavné neznáme zo systému rovníc
.

Kde X* - jedno z riešení nehomogénneho systému (2) (napríklad (4)), (E-A+A) tvorí jadro (nulový priestor) matice A.

Urobme skeletálny rozklad matrice (E-A+A):

E-A + A=Q·S

Kde Q n×n−r- hodnostná matica (Q) = n-r, S n-r×n-radová matica (S) = n-r.

Potom je možné zapísať (13). nasledujúci formulár:

x=x*+Q·k, ∀ k ∈ Rn-r.

Kde k=Sz.

takže, postup pri hľadaní všeobecného riešenia sústavy lineárnych rovníc využívajúce pseudoinverznú maticu možno znázorniť v tejto forme:

1. Výpočet pseudoinverznej matice A + .
2. Vypočítame konkrétne riešenie nehomogénneho systému lineárnych rovníc (2): X*=A + b.
3. Kontrolujeme kompatibilitu systému. Aby sme to dosiahli, vypočítame A.A. + b. Ak A.A. + b≠b, potom je systém nekonzistentný. V opačnom prípade pokračujeme v postupe.
4. Poďme na to E-A+A.
5. Robí rozklad kostry E-A + A=Q·S.
6. Budovanie riešenia

x=x*+Q·k, ∀ k ∈ Rn-r.

Riešenie systému lineárnych rovníc online

Online kalkulačka vám umožňuje nájsť všeobecné riešenie systému lineárnych rovníc s podrobným vysvetlením.

V praxi sú však rozšírené ďalšie dva prípady:

– Systém je nekonzistentný (nemá žiadne riešenia);
– Systém je konzistentný a má nekonečne veľa riešení.

Poznámka : Pojem „konzistentnosť“ znamená, že systém má aspoň nejaké riešenie. Pri mnohých problémoch je potrebné najprv preskúmať kompatibilitu systému, ako to urobiť, pozri článok o hodnosť matrík.

Pre tieto systémy sa používa najuniverzálnejšia zo všetkých metód riešenia - Gaussova metóda. V skutočnosti „školská“ metóda tiež povedie k odpovedi, ale v vyššia matematika Je zvykom používať Gaussovu metódu postupnej eliminácie neznámych. Tí, ktorí nie sú oboznámení s algoritmom Gaussovej metódy, si najskôr preštudujte lekciu Gaussova metóda pre figuríny.

Samotné transformácie elementárnej matice sú úplne rovnaké, rozdiel bude v zakončení riešenia. Najprv sa pozrime na pár príkladov, keď systém nemá žiadne riešenia (nekonzistentné).

Príklad 1

Čo vám na tomto systéme okamžite padne do oka? Počet rovníc je menší ako počet premenných. Ak je počet rovníc menší ako počet premenných, potom môžeme okamžite povedať, že systém je buď nekonzistentný, alebo má nekonečne veľa riešení. A ostáva už len zistiť.

Začiatok riešenia je úplne obyčajný - napíšeme rozšírenú maticu systému a pomocou elementárne transformácie Uveďme to do postupnej formy:

(1) V ľavom hornom kroku musíme získať +1 alebo –1. V prvom stĺpci nie sú žiadne takéto čísla, takže preusporiadanie riadkov nič nedá. Jednotka sa bude musieť zorganizovať sama, a to sa dá urobiť niekoľkými spôsobmi. Urobil som toto: K prvému riadku pridáme tretí riadok, vynásobený -1.

(2) Teraz dostaneme dve nuly v prvom stĺpci. Do druhého riadku pridáme prvý riadok vynásobený 3. Do tretieho riadku pridáme prvý riadok vynásobený 5.

(3) Po dokončení transformácie je vždy vhodné zistiť, či je možné zjednodušiť výsledné reťazce? Môcť. Druhý riadok vydelíme 2 a zároveň získame požadovanú hodnotu –1 v druhom kroku. Tretí riadok vydeľte –3.

(4) Pridajte druhý riadok k tretiemu riadku.

Pravdepodobne každý si všimol zlú líniu, ktorá vyplynula z elementárnych transformácií: . Je jasné, že to tak nemôže byť. Skutočne, prepíšme výslednú maticu späť k systému lineárnych rovníc:

Ak sa v dôsledku elementárnych transformácií získa reťazec tvaru, kde je číslo iné ako nula, potom je systém nekonzistentný (nemá riešenia).

Ako zapísať koniec úlohy? Nakreslime bielou kriedou: „ako výsledok elementárnych transformácií sa získa reťazec tvaru , kde “ a daj odpoveď: systém nemá žiadne riešenia (nekonzistentné).

Ak sa podľa podmienky vyžaduje PRESKÚMANIE kompatibility systému, potom je potrebné formalizovať riešenie v pevnejšom štýle pomocou konceptu poradie matice a Kronecker-Capelliho veta.

Upozorňujeme, že tu nedochádza k žiadnemu obráteniu Gaussovho algoritmu – neexistujú žiadne riešenia a jednoducho nie je čo nájsť.

Príklad 2

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny. Znovu vám pripomínam, že vaše riešenie sa môže líšiť od môjho riešenia, Gaussov algoritmus nemá silnú „tuhosť“.

Ďalšia technická vlastnosť riešenia: elementárne transformácie je možné zastaviť Naraz, akonáhle riadok ako , kde . Uvažujme podmienený príklad: predpokladajme, že po prvej transformácii sa získa matica . Matica ešte nebola zredukovaná na echelónovú formu, ale nie sú potrebné ďalšie elementárne transformácie, keďže sa objavila čiara formy, kde . Okamžite treba odpovedať, že systém je nekompatibilný.

Keď systém lineárnych rovníc nemá riešenia, je to takmer dar, pretože sa získa krátke riešenie, niekedy doslova v 2-3 krokoch.

Ale všetko na tomto svete je vyvážené a problém, v ktorom má systém nekonečne veľa riešení, je len dlhší.

Príklad 3

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc

Existujú 4 rovnice a 4 neznáme, takže systém môže mať buď jediné riešenie, alebo nemá žiadne riešenia, alebo môže mať nekonečne veľa riešení. Nech je to akokoľvek, Gaussova metóda nás v každom prípade privedie k odpovedi. Toto je jeho všestrannosť.

Začiatok je opäť štandardný. Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju priveďme do stupňovitého tvaru:

To je všetko a báli ste sa.

(1) Upozorňujeme, že všetky čísla v prvom stĺpci sú deliteľné 2, takže 2 je v poriadku v ľavom hornom kroku. K druhému riadku pridáme prvý riadok, vynásobený –4. Do tretieho riadku pridáme prvý riadok, vynásobený –2. Do štvrtého riadku pridáme prvý riadok, vynásobený –1.

Pozor! Mnohých môže zlákať štvrtý riadok odčítať prvá línia. Dá sa to urobiť, ale nie je to potrebné, skúsenosti ukazujú, že pravdepodobnosť chyby vo výpočtoch sa niekoľkokrát zvyšuje. Stačí pridať: Do štvrtého riadku pridajte prvý riadok vynásobený –1 – presne tak!

(2) Posledné tri riadky sú pomerné, dva z nich možno vypustiť.

Tu musíme opäť ukázať zvýšená pozornosť, ale sú čiary skutočne proporcionálne? Pre istotu (najmä v prípade čajníka) by bolo dobré vynásobiť druhý riadok číslom –1 a štvrtý riadok vydeliť dvoma, výsledkom čoho budú tri rovnaké riadky. A až potom odstráňte dve z nich.

V dôsledku elementárnych transformácií sa rozšírená matica systému redukuje na stupňovitú formu:

Pri písaní úlohy do zošita je vhodné robiť si rovnaké poznámky ceruzkou kvôli prehľadnosti.

Prepíšme zodpovedajúci systém rovníc:

Nie je tu cítiť „obyčajné“ riešenie systému. Neexistuje ani zlá línia. To znamená, že toto je tretí zostávajúci prípad – systém má nekonečne veľa riešení. Niekedy je podľa podmienky potrebné preskúmať kompatibilitu systému (t.j. dokázať, že riešenie vôbec existuje), o tom sa dočítate v poslednom odseku článku Ako zistiť hodnosť matice? Ale teraz prejdime k základom:

Nekonečná množina riešení systému je stručne zapísaná vo forme tzv všeobecné riešenie systému .

Všeobecné riešenie sústavy nájdeme pomocou inverznej metódy Gaussovej metódy.

Najprv musíme definovať, aké premenné máme základné a aké premenné zadarmo. Nemusíte sa obťažovať pojmami lineárnej algebry, len si pamätajte, že také existujú základné premenné A voľné premenné.

Základné premenné vždy „sedia“ striktne na krokoch matice.
V tomto príklade sú základnými premennými a

Voľné premenné sú všetko zostávajúce premenné, ktoré nedostali krok. V našom prípade sú to dve z nich: – voľné premenné.

Teraz potrebujete Všetky základné premenné expresné len cez voľné premenné.

Opačná strana Gaussovho algoritmu tradične funguje zdola nahor.
Z druhej rovnice systému vyjadríme základnú premennú:

Teraz sa pozrite na prvú rovnicu: . Najprv doň dosadíme nájdený výraz:

Zostáva vyjadriť základnú premennú pomocou voľných premenných:

Nakoniec sme dostali, čo sme potrebovali... Všetky sú vyjadrené základné premenné ( a ). len cez voľné premenné:

V skutočnosti je všeobecné riešenie pripravené:

Ako správne napísať všeobecné riešenie?
Voľné premenné sa zapisujú do všeobecného riešenia „sami“ a striktne na svoje miesta. V tomto prípade by sa voľné premenné mali zapísať na druhú a štvrtú pozíciu:
.

Výsledné výrazy pre základné premenné a samozrejme musí byť napísané na prvom a treťom mieste:

Poskytovanie voľných premenných ľubovoľné hodnoty, nájdete ich nekonečne veľa súkromné ​​riešenia. Najpopulárnejšie hodnoty sú nuly, pretože konkrétne riešenie je najjednoduchšie získať. Dosadíme do všeobecného riešenia:

– súkromné ​​riešenie.

Ďalším sladkým párom sú jedničky, nahraďme ich do všeobecného riešenia:

– ďalšie súkromné ​​riešenie.

Je ľahké vidieť, že systém rovníc má nekonečne veľa riešení(keďže môžeme dať voľné premenné akýkoľvek hodnoty)

Každý konkrétne riešenie musí spĺňať každému rovnica systému. To je základ pre „rýchlu“ kontrolu správnosti riešenia. Vezmite si napríklad konkrétne riešenie a nahraďte ho ľavá strana každá rovnica pôvodného systému:

Všetko sa musí spojiť. A s akýmkoľvek konkrétnym riešením, ktoré dostanete, by malo všetko súhlasiť.

Ale prísne vzaté, kontrola konkrétneho riešenia je niekedy klamlivá, t.j. nejaké konkrétne riešenie môže vyhovovať každej rovnici systému, ale samotné všeobecné riešenie sa v skutočnosti nájde nesprávne.

Preto je overenie všeobecného riešenia dôkladnejšie a spoľahlivejšie. Ako skontrolovať výsledné všeobecné riešenie ?

Nie je to ťažké, ale dosť únavné. Musíme prijať výrazy základné premenné, v tomto prípade a , a dosaďte ich na ľavú stranu každej rovnice systému.

Naľavo od prvej rovnice systému:

Na ľavú stranu druhej rovnice systému:


Prijaté pravá časť pôvodná rovnica.

Príklad 4

Vyriešte systém pomocou Gaussovej metódy. Nájdite všeobecné riešenie a dve konkrétne. Skontrolujte všeobecné riešenie.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Tu je, mimochodom, opäť počet rovníc menší ako počet neznámych, čo znamená, že je okamžite jasné, že systém bude buď nekonzistentný, alebo bude mať nekonečný počet riešení. Čo je dôležité v samotnom rozhodovacom procese? Pozor a ešte raz pozornosť. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

A ešte pár príkladov na posilnenie materiálu

Príklad 5

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc. Ak má systém nekonečne veľa riešení, nájdite dve konkrétne riešenia a skontrolujte všeobecné riešenie

Riešenie: Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju priveďme do stupňovitého tvaru:

(1) Pridajte prvý riadok k druhému riadku. Do tretieho riadku pridáme prvý riadok vynásobený 2. Do štvrtého riadku pridáme prvý riadok vynásobený 3.
(2) K tretiemu riadku pridáme druhý riadok, vynásobený –5. Do štvrtého riadku pridáme druhý riadok, vynásobený –7.
(3) Tretí a štvrtý riadok sú rovnaké, jeden z nich vymažeme.

Toto je taká nádhera:

Základné premenné sedia na schodoch, teda - základné premenné.
Existuje iba jedna voľná premenná, ktorá nezískala krok:

Obrátené:
Vyjadrime základné premenné prostredníctvom voľnej premennej:
Z tretej rovnice:

Zoberme si druhú rovnicu a dosaďte do nej nájdený výraz:

Zoberme si prvú rovnicu a dosaďte nájdené výrazy a do nej:

Áno, kalkulačka, ktorá počíta obyčajné zlomky, je stále pohodlná.

Takže všeobecné riešenie je:

Ešte raz, ako to dopadlo? Voľná ​​premenná je sama na svojom právoplatnom štvrtom mieste. Výsledné výrazy pre základné premenné tiež zaujali svoje poradové miesto.

Okamžite skontrolujte všeobecné riešenie. Práca je pre černochov, ale už som to robil, tak sa chyťte =)

Do ľavej strany každej rovnice systému dosadíme troch hrdinov , :

Získajú sa zodpovedajúce pravé strany rovníc, takže všeobecné riešenie sa nájde správne.

Teraz z nájdeného všeobecného riešenia dostaneme dve konkrétne riešenia. Jedinou voľnou premennou je tu šéfkuchár. Netreba si lámať hlavu.

Nech je to potom – súkromné ​​riešenie.
Nech je to potom – ďalšie súkromné ​​riešenie.

Odpoveď: Spoločné rozhodnutie: , súkromné ​​riešenia: , .

Nemal som si spomínať na černochov... ...pretože sa mi v hlave vynárali najrôznejšie sadistické motívy a spomenul som si na slávny photoshop, v ktorom Ku Klux Klansmen v bielych róbach behajú po ihrisku za čiernym futbalistom. Sedím a potichu sa usmievam. Vieš aké rušivé...

Veľa matematiky škodí, takže podobný záverečný príklad, ako si to vyriešiť sám.

Príklad 6

Nájdite všeobecné riešenie sústavy lineárnych rovníc.

Všeobecné riešenie som už skontroloval, na odpoveď sa dá spoľahnúť. Vaše riešenie sa môže líšiť od môjho riešenia, hlavná vec je, že všeobecné riešenia sa zhodujú.

Mnoho ľudí si pravdepodobne všimlo nepríjemný moment v riešeniach: veľmi často sme sa pri obrátení Gaussovej metódy museli pohrať s bežné zlomky. V praxi je to skutočne prípad, keď nie sú žiadne zlomky, oveľa menej bežné. Pripravte sa psychicky a hlavne technicky.

Pozastavím sa pri niektorých vlastnostiach riešenia, ktoré sa v riešených príkladoch nenašli.

Všeobecné riešenie systému môže niekedy obsahovať konštantu (alebo konštanty), napríklad: . Tu sa jedna zo základných premenných rovná konštantnému číslu: . Na tom nie je nič exotické, to sa stáva. Je zrejmé, že v tomto prípade bude každé konkrétne riešenie obsahovať päťku na prvej pozícii.

Zriedkavo, ale existujú systémy, v ktorých počet rovníc väčšie množstvo premenných. Gaussova metóda funguje v najnáročnejších podmienkach, treba pokojne zredukovať rozšírenú maticu systému na stupňovitú formu pomocou štandardného algoritmu. Takýto systém môže byť nekonzistentný, môže mať nekonečne veľa riešení a napodiv môže mať jediné riešenie.

SYSTÉMY LINEÁRNYCH ROVNIC

I. Vyjadrenie problému.

II. Kompatibilita homogénnych a heterogénnych systémov.

III. systém T rovnice s T neznámy. Cramerovo pravidlo.

IV. Maticová metóda riešenia sústav rovníc.

V. Gaussova metóda.

I. Vyjadrenie problému.

Systém rovníc tvaru

nazývaný systém m lineárne rovnice s n neznámy
. Koeficienty rovníc tohto systému sú zapísané vo forme matice

ktorá sa volá matice systému (1).

Čísla na pravej strane rovníc tvoria stĺpec voľných členov {B}:

.

Ak stĺpec ( B}={0 ), potom sa nazýva sústava rovníc homogénne. V opačnom prípade, keď ( B}≠{0 ) - systém heterogénne.

Sústavu lineárnych rovníc (1) je možné zapísať v maticovom tvare

[A]{X}={B}. (2)

Tu - stĺpec neznámych.

Riešenie sústavy rovníc (1) znamená nájdenie množiny n čísla
také, že pri dosadzovaní do systému (1) namiesto neznámych
Každá rovnica systému sa zmení na identitu. čísla
sa nazývajú riešenie sústavy rovníc.

Systém lineárnych rovníc môže mať jedno riešenie

,

môže mať nespočetné množstvo riešení

alebo nemajú žiadne riešenia

.

Nazývame sústavy rovníc, ktoré nemajú riešenia nezlučiteľné. Ak má sústava rovníc aspoň jedno riešenie, potom sa nazýva kĺb. Sústava rovníc je tzv istý, ak má jedinečné riešenie a neistý, ak má nekonečne veľa riešení.

II. Kompatibilita homogénnych a heterogénnych systémov.

Podmienka kompatibility pre sústavu lineárnych rovníc (1) je formulovaná v Kronecker-Capelliho veta: systém lineárnych rovníc má aspoň jedno riešenie vtedy a len vtedy, ak sa hodnosť systémovej matice rovná hodnote rozšírenej matice:
.

Rozšírená systémová matica je matica získaná zo systémovej matice pridaním stĺpca voľných výrazov k nej vpravo:

.

Ak Rg AA* , potom je sústava rovníc nekonzistentná.

Homogénne sústavy lineárnych rovníc sú v súlade s Kronecker-Capelliho vetou vždy konzistentné. Uvažujme prípad homogénneho systému, v ktorom sa počet rovníc rovná počtu neznámych, tj. t = p. Ak sa determinant matice takéhoto systému nerovná nule, t.j.
, homogénna sústava má unikátne riešenie, ktoré je triviálne (nulové). Homogénne sústavy majú nekonečný počet riešení, ak medzi rovnicami sústavy sú lineárne závislé, t.j.
.

Príklad. Uvažujme homogénny systém troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi:

a skúmať otázku počtu jej riešení. Každú z rovníc možno považovať za rovnicu roviny prechádzajúcej počiatkom súradníc ( D=0 ). Systém rovníc má jedinečné riešenie, keď sa všetky tri roviny pretínajú v jednom bode. Navyše ich normálne vektory nie sú koplanárne, a preto je podmienka splnená

.

Riešenie systému v tomto prípade X=0, r=0, z=0 .

Ak sú aspoň dve z troch rovín, napríklad prvá a druhá, rovnobežné, t.j. , potom sa determinant matice systému rovná nule a systém má nekonečný počet riešení. Riešením budú navyše súradnice X, r, z všetky body ležiace na priamke

Ak sa všetky tri roviny zhodujú, systém rovníc sa zredukuje na jednu rovnicu

,

a riešením budú súradnice všetkých bodov ležiacich v tejto rovine.

Pri štúdiu nehomogénnych systémov lineárnych rovníc sa otázka kompatibility rieši pomocou Kronecker-Capelliho vety. Ak sa počet rovníc v takomto systéme rovná počtu neznámych, potom systém má jedinečné riešenie, ak jeho determinant nie je rovný nule. V opačnom prípade je systém buď nekonzistentný, alebo má nekonečné množstvo riešení.

Príklad. Poďme študovať nehomogénnu sústavu dvoch rovníc s dvoma neznámymi

.

Rovnice sústavy možno považovať za rovnice dvoch priamok v rovine. Systém je nekonzistentný, keď sú čiary rovnobežné, t.j.
,
. V tomto prípade je poradie matice systému 1:

Rg A=1 , pretože
,

a hodnosť rozšírenej matice
sa rovná dvom, pretože pre ňu možno ako základ moll zvoliť druhoradý druh obsahujúci tretí stĺpec.

V posudzovanom prípade Rg AA * .

Ak sa čiary zhodujú, t.j. , potom má sústava rovníc nekonečný počet riešení: súradnice bodov na priamke
. V tomto prípade Rg A= Rg A * =1.

Systém má unikátne riešenie, keď čiary nie sú rovnobežné, t.j.
. Riešením tohto systému sú súradnice priesečníka čiar

III. systémT rovnice sT neznámy. Cramerovo pravidlo.

Uvažujme o najjednoduchšom prípade, keď sa počet rovníc sústavy rovná počtu neznámych, t.j. m= n. Ak je determinant matice systému nenulový, riešenie systému možno nájsť pomocou Cramerovho pravidla:

(3)

Tu
- determinant matice systému,

je determinant matice získanej z [ A] výmena i stĺpec do stĺpca voľných členov:

.

Príklad. Riešte sústavu rovníc Cramerovou metódou.

Riešenie :

1) nájdite determinant systému

2) nájsť pomocné determinanty

3) nájdite riešenie systému pomocou Cramerovho pravidla:

Výsledok riešenia možno skontrolovať dosadením do sústavy rovníc

Získajú sa správne identity.

IV. Maticová metóda riešenia sústav rovníc.

Napíšme sústavu lineárnych rovníc v maticovom tvare (2)

[A]{X}={B}

a vynásobte pravú a ľavú stranu vzťahu (2) vľavo maticou [ A -1 ], inverzná matica systému:

[A -1 ][A]{X}=[A -1 ]{B}. (2)

Podľa definície inverznej matice je súčin [ A -1 ][A]=[E] a podľa vlastností matice identity [ E]{X}={X). Potom zo vzťahu (2") dostaneme

{X}=[A -1 ]{B}. (4)

Vzťah (4) je základom maticovej metódy riešenia sústav lineárnych rovníc: je potrebné nájsť maticu inverznú k matici sústavy a vynásobiť ňou stĺpcový vektor pravých častí sústavy vľavo.

Príklad. Riešime sústavu rovníc uvažovanú v predchádzajúcom príklade pomocou maticovej metódy.

Systémová matica
jeho determinant det A==183 .

Pravý bočný stĺpec
.

Ak chcete nájsť maticu [ A -1 ], nájdite maticu pripojenú k [ A]:

alebo

Vzorec na výpočet inverznej matice obsahuje
, Potom

Teraz môžeme nájsť riešenie systému

Potom sa konečne dostaneme .

V. Gaussova metóda.

Pri veľkom počte neznámych zahŕňa riešenie systému rovníc Cramerovou metódou alebo maticovou metódou výpočet determinantov vysokého rádu alebo invertovanie veľkých matíc. Tieto postupy sú veľmi náročné na prácu aj pre moderné počítače. Preto sa na riešenie systémov veľkého počtu rovníc často používa Gaussova metóda.

Gaussova metóda spočíva v postupnom odstraňovaní neznámych pomocou elementárnych transformácií rozšírenej matice systému. Elementárne maticové transformácie zahŕňajú permutáciu riadkov, sčítanie riadkov, násobenie riadkov inými číslami ako nula. V dôsledku transformácií je možné zredukovať maticu sústavy na hornú trojuholníkovú, na ktorej hlavnej uhlopriečke sú jednotky a pod hlavnou uhlopriečkou sú nuly. Toto je priamy prístup Gaussovej metódy. Opačná metóda spočíva v priamom určovaní neznámych, počnúc poslednou.

Ilustrujme si Gaussovu metódu na príklade riešenia sústavy rovníc

Pri prvom kroku dopredného zdvihu je zaistené, že koeficient
transformovaný systém sa stal rovnocenným 1 a koeficienty
A
otočil na nulu. Ak to chcete urobiť, vynásobte prvú rovnicu 1/10 , vynásobte druhú rovnicu číslom 10 a pridajte ju k prvej, vynásobte tretiu rovnicu -10/2 a pridajte ho k prvému. Po týchto premenách dostaneme

V druhom kroku zabezpečíme, aby po transformáciách koeficient
sa stal rovnocenným 1 a koeficient
. Ak to chcete urobiť, vydeľte druhú rovnicu o 42 a vynásobte tretiu rovnicu číslom -42/27 a pridajte ho s druhým. Získame sústavu rovníc

V treťom kroku by sme mali dostať koeficient
. Ak to chcete urobiť, vydeľte tretiu rovnicu o (37 - 84/27) ; dostaneme

Tu sa priamy postup Gaussovej metódy končí, pretože matica systému je redukovaná na hornú trojuholníkovú:

Vykonaním spätného pohybu nájdeme neznáme

Príklad 1. Nájdite všeobecné riešenie a nejaké konkrétne riešenie systému

Riešenie Robíme to pomocou kalkulačky. Vypíšme rozšírené a hlavné matice:

Hlavná matica A je oddelená bodkovanou čiarou Neznáme sústavy píšeme hore, pričom treba pamätať na možné preusporiadanie členov v rovniciach sústavy. Určením hodnosti rozšírenej matice súčasne nájdeme hodnosť hlavnej. V matici B sú prvý a druhý stĺpec proporcionálne. Z dvoch proporčných stĺpcov môže do základnej mollovej spadať iba jeden, preto presuňte napríklad prvý stĺpec za bodkovanú čiaru s opačným znamienkom. Pre systém to znamená prenos členov z x 1 na pravú stranu rovníc.

Zredukujeme maticu na trojuholníkový tvar. Budeme pracovať len s riadkami, keďže vynásobiť riadok matice iným číslom ako nula a pridať ho do iného riadku pre sústavu znamená vynásobiť rovnicu rovnakým číslom a pripočítať ju ďalšou rovnicou, čím sa nezmení riešenie rovnice. systém. Pracujeme s prvým riadkom: prvý riadok matice vynásobíme (-3) a postupne pridáme k druhému a tretiemu riadku. Potom vynásobte prvý riadok (-2) a pridajte ho k štvrtému.

Druhý a tretí riadok sú proporcionálne, preto je možné jeden z nich, napríklad druhý, prečiarknuť. To je ekvivalentné prečiarknutiu druhej rovnice systému, pretože je dôsledkom tretej.

Teraz pracujeme s druhým riadkom: vynásobíme ho (-1) a pripočítame k tretiemu.

Vedľajšia zakrúžkovaná bodkovanou čiarou má najvyššie poradie (z možných vedľajších) a je nenulová (rovná sa súčinu prvkov na hlavnej diagonále), pričom táto vedľajšia patrí do hlavnej aj rozšírenej matice. , preto rangA = rangB = 3.
Menší je základný. Zahŕňa koeficienty pre neznáme x 2 , x 3 , x 4 , čo znamená, že neznáme x 2 , x 3 , x 4 sú závislé a x 1 , x 5 sú voľné.
Transformujme maticu, pričom na ľavej strane ponecháme iba základnú minoritu (čo zodpovedá bodu 4 vyššie uvedeného algoritmu riešenia).

Systém s koeficientmi tejto matice je ekvivalentný pôvodnému systému a má tvar

Pomocou metódy eliminácie neznámych zistíme:
, ,

Získali sme vzťahy vyjadrujúce závislé premenné x 2, x 3, x 4 cez voľné x 1 a x 5, čiže sme našli všeobecné riešenie:

Priradením ľubovoľných hodnôt voľným neznámym získame ľubovoľný počet konkrétnych riešení. Poďme nájsť dve konkrétne riešenia:
1) nech x 1 = x 5 = 0, potom x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) dajte x 1 = 1, x 5 = -1, potom x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Našli sme teda dve riešenia: (0,1,-3,3,0) – jedno riešenie, (1,4,-7,7,-1) – iné riešenie.

Príklad 2. Preskúmajte kompatibilitu, nájdite všeobecné a jedno konkrétne riešenie systému

Riešenie. Preusporiadajme prvú a druhú rovnicu tak, aby bola jedna v prvej rovnici a napíšme maticu B.

Nuly vo štvrtom stĺpci dostaneme operáciou s prvým riadkom:

Teraz získame nuly v treťom stĺpci pomocou druhého riadku:

Tretí a štvrtý riadok sú proporcionálne, takže jeden z nich možno prečiarknuť bez zmeny poradia:
Vynásobte tretí riadok (–2) a pridajte ho k štvrtému:

Vidíme, že poradie hlavnej a rozšírenej matice je rovné 4 a poradie sa zhoduje s počtom neznámych, preto má systém jedinečné riešenie:
;
x 4 = 10 – 3 x 1 – 3 x 2 – 2 x 3 = 11.

Príklad 3. Skontrolujte kompatibilitu systému a nájdite riešenie, ak existuje.

Riešenie. Zostavíme rozšírenú maticu systému.

Preusporiadame prvé dve rovnice tak, aby v ľavom hornom rohu bola 1:
Vynásobte prvý riadok (-1) a pridajte ho k tretiemu:

Vynásobte druhý riadok (-2) a pridajte ho k tretiemu:

Systém je nekonzistentný, keďže v hlavnej matici sme dostali riadok pozostávajúci z núl, ktorý sa pri nájdení poradia prečiarkne, no v rozšírenej matici zostáva posledný riadok, teda r B > r A .

Cvičenie. Preskúmajte tento systém rovníc z hľadiska kompatibility a vyriešte ho pomocou maticového počtu.
Riešenie

Príklad. Dokážte kompatibilitu sústavy lineárnych rovníc a riešte ju dvoma spôsobmi: 1) Gaussovou metódou; 2) Cramerova metóda. (odpoveď zadajte v tvare: x1,x2,x3)
Riešenie :doc :doc :xls
odpoveď: 2,-1,3.

Príklad. Je daná sústava lineárnych rovníc. Dokážte jeho kompatibilitu. Nájdite všeobecné riešenie systému a jedno konkrétne riešenie.
Riešenie
odpoveď: x3 = -1 + x4 + x5; x2 = 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3 x 5

Cvičenie. Nájdite všeobecné a konkrétne riešenia každého systému.
Riešenie. Poďme študovať tento systém pomocou Kronecker-Capelliho vety.
Vypíšme rozšírené a hlavné matice:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Tu je matica A zvýraznená tučným písmom.
Zredukujeme maticu na trojuholníkový tvar. Budeme pracovať len s riadkami, keďže vynásobiť riadok matice iným číslom ako nula a pridať ho do iného riadku pre sústavu znamená vynásobiť rovnicu rovnakým číslom a pripočítať ju ďalšou rovnicou, čím sa nezmení riešenie rovnice. systém.
Vynásobme 1. riadok (3). Vynásobte 2. riadok (-1). Pridajme 2. riadok k 1.:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

Vynásobme 2. riadok (2). Vynásobte 3. riadok (-3). Pridajme 3. riadok k 2.:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Vynásobte 2. riadok (-1). Pridajme 2. riadok k 1.:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Vybraná vedľajšia má najvyššie poradie (z možných vedľajších) a je nenulová (rovná sa súčinu prvkov na obrátenej diagonále) a táto vedľajšia patrí do hlavnej aj rozšírenej matice, preto zazvonilo( A) = rang(B) = 3 Keďže poradie hlavnej matice sa rovná hodnote rozšírenej matice, potom systém je kolaboratívny.
Táto minorita je základná. Zahŕňa koeficienty pre neznáme x 1 , x 2 , x 3 , čo znamená, že neznáme x 1 , x 2 , x 3 sú závislé (základné) a x 4 , x 5 sú voľné.
Transformujme maticu, pričom vľavo ponecháme iba základnú vedľajšiu.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x 1	x 2	x 3		x 4	x 5

Systém s koeficientmi tejto matice je ekvivalentný pôvodnému systému a má tvar:
27 x 3 =
- x 2 + 13 x 3 = - 1 + 3 x 4 - 6 x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Pomocou metódy eliminácie neznámych zistíme:
Získali sme vzťahy vyjadrujúce závislé premenné x 1 , x 2 , x 3 cez voľné x 4 , x 5 , čiže sme zistili spoločné rozhodnutie:
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3 x 4 + 6 x 5
x 1 = - 1 + 3 x 4 - 8 x 5
neistý, pretože má viac ako jedno riešenie.

Cvičenie. Vyriešte sústavu rovníc.
Odpoveď:x 2 = 2 – 1,67 x 3 + 0,67 x 4
x 1 = 5 - 3,67 x 3 + 0,67 x 4
Priradením ľubovoľných hodnôt voľným neznámym získame ľubovoľný počet konkrétnych riešení. Systém je neistý