Usaldusvahemik. Matemaatilise ootuse, dispersiooni, tõenäosuse usaldusvahemikud

Otsige ainult selles jaotises

Usaldusintervallid: probleemide lahenduste loend

Usaldusvahemikud: teooria ja probleemid

Usaldusintervallide mõistmine

Tutvustame lühidalt usaldusvahemiku mõistet, mis
1) hindab numbrilise valimi mõnda parameetrit otse valimi enda andmetest,
2) katab selle parameetri väärtuse tõenäosusega γ.

Usaldusvahemik parameetri jaoks X(tõenäosusega γ) nimetatakse intervalliks kujul , nii et ja väärtused arvutatakse mingil viisil valimi põhjal.

Tavaliselt võetakse rakendatud ülesannetes usalduse tõenäosuseks γ = 0,9; 0,95; 0,99.

Vaatleme mõnda üldkogumikust moodustatud valimit suurusega n, mis on jaotatud eeldatavasti normaaljaotuse seaduse järgi. Näitame, milliste valemite abil leitakse jaotusparameetrite usaldusvahemikud- matemaatiline ootus ja dispersioon (standardhälve).

Matemaatilise ootuse usaldusvahemik

Juhtum 1 Jaotuse dispersioon on teada ja võrdne . Seejärel parameetri usaldusvahemik a paistab nagu:
t määratakse Laplace'i jaotustabelist suhtega

Juhtum 2 Jaotuse dispersioon on teadmata, valimi põhjal arvutati dispersiooni punkthinnang. Seejärel parameetri usaldusvahemik a paistab nagu:
, kus on valimi, parameetri põhjal arvutatud valimi keskmine t määratakse Studenti jaotustabelist

Näide. 7 kindla väärtuse mõõtmise andmete põhjal leiti, et mõõtmistulemuste keskmine on võrdne 30 ja valimi dispersioon 36. Leia piirid, milles sisaldub mõõdetud väärtuse tegelik väärtus usaldusväärsusega 0,99 .

Lahendus. Otsime üles . Seejärel saab mõõdetud väärtuse tegelikku väärtust sisaldava intervalli usalduspiirid leida valemiga:
, kus on valimi keskmine, on valimi dispersioon. Ühendades kõik väärtused, saame:

Dispersiooni usaldusvahemik

Usume, et üldiselt on matemaatiline ootus teadmata ja dispersiooni kohta on teada ainult punkthinnang. Seejärel näeb usaldusvahemik välja järgmine:
, Kus - tabelitest määratud jaotuskvantiilid.

Näide. 7 katse andmete põhjal leiti standardhälbe hinnangu väärtus s = 12. Leidke tõenäosusega 0,9 dispersiooni hindamiseks loodud usaldusvahemiku laius.

Lahendus. Tundmatu populatsiooni dispersiooni usaldusvahemiku saab leida järgmise valemi abil:

Asendage ja hankige:


Siis on usaldusvahemiku laius 465,589-71,708=393,881.

Tõenäosuse usaldusvahemik (protsent)

Juhtum 1 Olgu ülesandes teada valimi suurus ja valimi osa (suhteline sagedus). Siis on üldmurru (tegeliku tõenäosuse) usaldusvahemik:
, kus parameeter t määratakse Laplace'i jaotustabelist suhtega .

Juhtum 2 Kui probleem teab lisaks üldkogumi suurust, millest valim võeti, saab üldmurru usaldusvahemiku (tõeline tõenäosus) leida kohandatud valemi abil:
.

Näide. On teada, et Leia piirid, milles üldaktsia tõenäosusega sõlmitakse.

Lahendus. Kasutame valemit:

Leiame tingimusest parameetri , saame valemis asendaja:

Teisi näiteid matemaatilise statistika probleemidest leiate lehelt

Teenindusülesanne. See teenus määratleb:

• üldkeskmise usaldusvahemik, dispersiooni usaldusvahemik;
• standardhälbe usaldusvahemik, üldmurru usaldusvahemik;

Näide nr 1. Kolhoosis tehti 1000-pealisest lambakarjast valikuline kontrollpügamine 100-le. Selle tulemusel määrati lamba keskmine villalõikus 4,2 kg. Määrake tõenäosusega 0,99 valimi standardviga keskmise villanihke määramisel lamba kohta ja nihkeväärtuse piirid, kui dispersioon on 2,5. Näidis ei ole korduv.
Näide nr 2. Moskva Põhjatolli postil imporditud toodete partiist võeti pistelise kordusproovi võtmise järjekorras 20 toote "A" proovi. Kontrolli tulemusena tehti kindlaks toote "A" keskmine niiskusesisaldus proovis, mis osutus 6% standardhälbega 1%.
Määrake tõenäosusega 0,683 toote keskmise niiskusesisalduse piirid kogu imporditud toodete partiis.
Näide nr 3. 36 õpilase seas läbi viidud küsitlus näitas, et keskmine õpikute arv, mida nad loevad õppeaasta, osutus võrdseks 6. Eeldades, et õpilase poolt semestris loetud õpikute arvul on normaaljaotuse seadus standardhälbega 6, leia: A) usaldusväärsusega 0,99, intervallhinnang matemaatilisele selle juhusliku muutuja ootus; B) kui suure tõenäosusega saab väita, et selle valimi jaoks arvutatud keskmine õpikute arv, mida üliõpilase loeb semestris, erineb absoluutväärtuses matemaatilisest ootusest mitte rohkem kui 2 võrra.

Usaldusvahemike klassifikatsioon

Proovi tüübi järgi:

1. Usaldusvahemik lõpmatu proovivõtu jaoks;
2. lõpliku proovi usaldusvahemik;

Juhusliku valiku keskmise valimivea arvutamine

Keskmiste veavalemite näidis
uuesti valik		mittekorduv valik
keskmise jaoks	jagamiseks	keskmise jaoks	jagamiseks

Valemid valimi suuruse arvutamiseks õige juhusliku valiku meetodiga

Matemaatilise ootuse usaldusvahemik - see on selline andmetest arvutatud intervall, mis teadaoleva tõenäosusega sisaldab üldkogumi matemaatilist ootust. Matemaatilise ootuse loomulik hinnang on selle vaadeldud väärtuste aritmeetiline keskmine. Seetõttu kasutame tunnis edaspidi mõisteid "keskmine", "keskmine väärtus". Usaldusvahemiku arvutamise ülesannete puhul nõutakse kõige sagedamini vastust "Keskmise arvu [väärtus konkreetses ülesandes] usaldusvahemik on [väiksem väärtus] kuni [ suurem väärtus]". Usaldusvahemiku abil on võimalik hinnata mitte ainult keskmisi väärtusi, vaid ka ühe või teise tunnuse osakaalu üldkogumis. Keskmised väärtused, dispersioon, standardhälve ja viga, mille kaudu jõuame uute definitsioonide ja valemiteni, analüüsitakse tunnis Valimi ja populatsiooni karakteristikud .

Keskmise punkti- ja intervallhinnangud

Kui üldkogumi keskmist väärtust hinnatakse arvuga (punktiga), siis tundmatu hinnangu puhul keskmise suurusegaüldkogumikust võetakse konkreetne keskmine, mis arvutatakse vaatluste valimi põhjal. Sel juhul ei lange valimi keskmise – juhusliku muutuja – väärtus kokku üldkogumi keskmise väärtusega. Seetõttu on valimi keskmise väärtuse näitamisel vajalik samaaegselt näidata ka valimi viga. Valimivea mõõt on standardviga, mida väljendatakse samades ühikutes kui keskmine. Seetõttu kasutatakse sageli järgmist tähistust: .

Kui keskmise hinnangut nõutakse siduma teatud tõenäosusega, siis huvipakkuva üldkogumi parameetrit tuleb hinnata mitte ühe arvu, vaid intervalli järgi. Usaldusvahemik on intervall, milles teatud tõenäosusega P leitakse üldkogumi hinnangulise näitaja väärtus. Usaldusvahemik, milles tõenäosusega P = 1 - α on juhuslik muutuja , arvutatakse järgmiselt:

,

α = 1 - P, mille võib leida peaaegu iga statistikat käsitleva raamatu lisast.

Praktikas ei ole üldkogumi keskmist ja dispersiooni teada, seega asendatakse üldkogumi dispersioon valimi dispersiooniga ja üldkogumi keskmine valimi keskmisega. Seega arvutatakse usaldusvahemik enamikul juhtudel järgmiselt:

.

Usaldusvahemiku valemit saab kasutada populatsiooni keskmise, kui hinnata

• üldkogumi standardhälve on teada;
• või üldkogumi standardhälve pole teada, kuid valimi suurus on suurem kui 30.

Valimi keskmine on üldkogumi keskmise erapooletu hinnang. Omakorda valimi dispersioon ei ole populatsiooni dispersiooni erapooletu hinnang. Valimi dispersiooni valemi populatsiooni dispersiooni erapooletu hinnangu saamiseks valimi suurus on n tuleks asendada n-1.

Näide 1 Teatud linna 100 juhuslikult valitud kohvikust kogutakse infot, et keskmine töötajate arv neis on 10,5 standardhälbega 4,6. Määrake usaldusvahemik 95% kohviku töötajate arvust.

kus on olulisuse taseme standardse normaaljaotuse kriitiline väärtus α = 0,05 .

Seega jäi kohvikutöötajate keskmise arvu 95% usaldusvahemik 9,6 ja 11,4 vahele.

Näide 2 Juhusliku valimi jaoks 64 vaatlusest koosnevast üldpopulatsioonist arvutati järgmised koguväärtused:

väärtuste summa vaatlustes,

väärtuste keskmisest kõrvalekallete ruudu summa .

Arvutage eeldatava väärtuse 95% usaldusvahemik.

arvutage standardhälve:

,

arvutage keskmine väärtus:

.

Asendage usaldusvahemiku väärtused avaldises:

kus on olulisuse taseme standardse normaaljaotuse kriitiline väärtus α = 0,05 .

Saame:

Seega jäi selle valimi matemaatilise ootuse 95% usaldusvahemik vahemikku 7,484 kuni 11,266.

Näide 3 Juhusliku valimi jaoks 100 vaatlusega üldpopulatsioonist arvutati keskmine väärtus 15,2 ja standardhälve 3,2. Arvutage eeldatava väärtuse 95% usaldusvahemik ja seejärel 99% usaldusvahemik. Kui valimi võimsus ja selle variatsioon jäävad samaks, kuid usaldustegur suureneb, kas siis usaldusvahemik kitseneb või laieneb?

Asendame need väärtused usaldusvahemiku avaldisesse:

kus on olulisuse taseme standardse normaaljaotuse kriitiline väärtus α = 0,05 .

Saame:

.

Seega oli selle valimi keskmise 95% usaldusvahemik 14,57 kuni 15,82.

Jällegi asendame need väärtused usaldusvahemiku avaldisega:

kus on olulisuse taseme standardse normaaljaotuse kriitiline väärtus α = 0,01 .

Saame:

.

Seega oli selle valimi keskmise 99% usaldusvahemik 14,37 kuni 16,02.

Nagu näete, suureneb usaldusteguri suurenedes ka standardse normaaljaotuse kriitiline väärtus ja seetõttu asuvad intervalli algus- ja lõpp-punktid keskmisest kaugemal ja seega ka matemaatilise ootuse usaldusvahemik. suureneb.

Erikaalu punkt- ja intervallhinnangud

Valimi mõne tunnuse erikaalu võib tõlgendada kui punkthinnang erikaal lk sama tunnus üldpopulatsioonis. Kui seda väärtust on vaja seostada tõenäosusega, tuleks arvutada erikaalu usaldusvahemik lk omadus üldpopulatsioonis suure tõenäosusega P = 1 - α :

.

Näide 4Ühes linnas on kaks kandidaati A Ja B kandideerib linnapeaks. Juhuslikult küsitleti 200 linnaelanikku, kellest 46% vastas, et hääletaks kandidaadi poolt A, 26% - kandidaadile B ja 28% ei tea, kelle poolt nad hääletavad. Määrake kandidaati toetavate linnaelanike osakaalu 95% usaldusvahemik A.

Olgu CB X üldkogumi ja β tundmatu parameeter CB X. Kui * statistiline hinnang on ühtlane, siis mida suurem on valimi suurus, seda täpsem on β väärtus. Praktikas pole meil aga väga suuri proove, mistõttu me ei saa garanteerida suuremat täpsust.

Olgu s* s statistiline hinnang. Kogus |in* - in| nimetatakse hinnangu täpsuseks. On selge, et täpsus on CB, kuna s* on juhuslik suurus. Määrame väikese positiivse arvu 8 ja nõuame, et hinnangu täpsus |in* - in| oli alla 8, st | sisse* - sisse |< 8.

Hinnangu usaldusväärsus g ehk usaldustõenäosus in by in * on tõenäosus g, millega ebavõrdsus |in * - in|< 8, т. е.

Tavaliselt määratakse g usaldusväärsus ette ja g jaoks on 1-le lähedane arv (0,9; 0,95; 0,99; ...).

Kuna ebavõrdsus |in * - in|< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:

Intervalli (* - 8, * + 5) nimetatakse usaldusvahemikuks, st usaldusvahemik katab tundmatu parameetri in tõenäosusega y. Pange tähele, et usaldusintervalli otsad on juhuslikud ja erinevad valimiti, seega on täpsem öelda, et intervall (* - 8, * + 8 juures) katab tundmatu parameetri β, mitte β kuulub sellesse intervalli. .

Olgu üldkogum antud juhusliku suuruse X abil, mis on jaotatud normaalseaduse järgi, pealegi keskmine standardhälve aga see on teada. Matemaatiline ootus a = M (X) on teadmata. Antud usaldusväärsuse y jaoks on vaja leida usaldusvahemik a jaoks.

Näidiskeskmine

on statistiline hindamine kui xr = a.

Teoreem. Juhuslikul muutujal xB on normaaljaotus kui X-l on normaaljaotus ja M(XB) = a,

A (XB) \u003d a, kus a \u003d y / B (X), a \u003d M (X). l/i

Usaldusvahemiku a vorm on järgmine:

Leiame 8.

Kasutades seost

kus Ф(г) on Laplace'i funktsioon, on meil:

P ( | XB - a |<8} = 2Ф

leiame t väärtuse Laplace'i funktsiooni väärtuste tabelist.

Tähistades

T, saame F(t) = g

Võrdsusest Find - hinnangu täpsus.

Seega on usaldusvahemiku a vorm:

Kui valim on antud üldkogumi X hulgast

n = U1 + ... + nm, siis on usaldusvahemik:

Näide 6.35. Leidke usaldusvahemik normaaljaotuse ootuse a hindamiseks, mille usaldusväärsus on 0,95, teades valimi keskmist Xb = 10,43, valimi suurust n = 100 ja standardhälvet s = 5.

Kasutame valemit