Agwat ng kumpiyansa. Mga agwat ng kumpiyansa para sa pag-asa sa matematika, pagkakaiba, posibilidad

Mga palatandaan ng pagbubuntis pagkatapos ng pagtatanim ng embryo

Hayaan ang isang random na variable (maaari nating pag-usapan ang tungkol sa pangkalahatang populasyon) ay ibinahagi ayon sa normal na batas, kung saan ang pagkakaiba D = 2 (> 0) ay kilala. Mula sa pangkalahatang populasyon (sa hanay ng mga bagay kung saan tinutukoy ang isang random na variable), isang sample ng laki n ang ginawa. Ang sample na x 1 , x 2 ,..., x n ay itinuturing bilang isang set ng n independiyenteng random na mga variable na ibinahagi sa parehong paraan tulad ng (ang diskarte na ipinaliwanag sa itaas sa teksto).

Noong nakaraan, ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay ay tinalakay at napatunayan din:

Mx 1 = Mx 2 = ... = Mx n = M;

Dx 1 = Dx 2 = ... = Dx n = D;

Sapat na lamang na patunayan (inaalis namin ang patunay) na ang random variable sa kasong ito ay ipinamamahagi din ayon sa normal na batas.

Tukuyin natin ang hindi kilalang halaga ng M sa pamamagitan ng a at piliin ang numerong d > 0 ayon sa ibinigay na pagiging maaasahan upang ang sumusunod na kondisyon ay masiyahan:

P(-a< d) = (1)

Dahil ang random na variable ay ibinahagi ayon sa normal na batas na may inaasahan sa matematika M = M = a at ang variance D = D / n = 2 / n, nakukuha namin:

P(-a< d) =P(a - d < < a + d) =

Ito ay nananatiling pumili d tulad na ang pagkakapantay-pantay

Para sa sinuman, mahahanap ng isang tao ang gayong numero t mula sa talahanayan na (t) \u003d / 2. Ang numerong ito ay tinatawag minsan dami.

Ngayon mula sa pagkakapantay-pantay

tukuyin ang halaga ng d:

Nakukuha namin ang huling resulta sa pamamagitan ng pagpapakita ng formula (1) sa form:

Ang kahulugan ng huling formula ay ang mga sumusunod: may pagiging maaasahan agwat ng kumpiyansa

sumasaklaw sa hindi kilalang parameter a = M ng populasyon. Maaari itong masabi nang iba: tinutukoy ng pagtatantya ng punto ang halaga ng parameter M na may katumpakan ng d= t / at pagiging maaasahan.

Gawain. Hayaang magkaroon ng pangkalahatang populasyon na may ilang katangian na ipinamahagi ayon sa normal na batas na may dispersion na katumbas ng 6.25. Isang sample ng volume n = 27 ang ginawa at nakuha ang average na sample value ng characteristic = 12. Hanapin ang confidence interval na sumasaklaw sa hindi alam na mathematical expectation ng pinag-aralan na katangian ng pangkalahatang populasyon na may reliability = 0.99.

Solusyon. Una, ayon sa talahanayan para sa Laplace function hanapin ang halaga t mula sa equation (t) = / 2 = 0.495. Batay sa nakuhang halaga t = 2.58, tinutukoy namin ang katumpakan ng pagtatantya (o kalahati ng haba ng agwat ng kumpiyansa) d: d = 2.52.58 / 1.24. Mula dito makuha natin ang ninanais na agwat ng kumpiyansa: (10.76; 13.24).

istatistikal na hypothesis pangkalahatang variasyonal

Agwat ng kumpiyansa para sa inaasahan ng isang normal na distribusyon na may hindi kilalang pagkakaiba

Hayaan ang isang random na variable na ibinahagi ayon sa normal na batas na may hindi kilalang matematikal na inaasahan M, na tinutukoy namin ng titik a . Gumawa tayo ng sample ng laki n. Alamin natin ang average na sample at naitama ang sample variance s 2 gamit ang mga kilalang formula.

Random na halaga

ibinahagi ayon sa batas ng Mag-aaral na may n - 1 antas ng kalayaan.

Ang gawain ay upang mahanap ang gayong numero t ayon sa ibinigay na pagiging maaasahan at ang bilang ng mga antas ng kalayaan n - 1 upang ang pagkakapantay-pantay

o katumbas na pagkakapantay-pantay

Dito, sa mga panaklong, nakasulat ang kundisyon na ang halaga ng hindi kilalang parameter a ay kabilang sa isang tiyak na agwat, na siyang agwat ng kumpiyansa. Ang mga hangganan nito ay nakasalalay sa pagiging maaasahan, pati na rin sa mga parameter ng sampling at s.

Upang matukoy ang halaga ng t ayon sa magnitude, binabago namin ang pagkakapantay-pantay (2) sa anyo:

Ngayon, ayon sa talahanayan para sa isang random na variable t, na ibinahagi ayon sa batas ng Mag-aaral, ayon sa posibilidad na 1 - at ang bilang ng mga antas ng kalayaan n - 1, nakita namin ang t. Ang Formula (3) ay nagbibigay ng sagot sa problema.

Gawain. Sa control test ng 20 electric lamp, ang average na tagal ng kanilang operasyon ay katumbas ng 2000 oras na may standard deviation (kinakalkula bilang square root ng corrected sample variance) na katumbas ng 11 oras. Ito ay kilala na ang tagal ng pagpapatakbo ng lamp ay isang normal na ibinahagi na random na variable. Tukuyin na may reliability na 0.95 ang confidence interval para sa mathematical expectation ng random variable na ito.

Solusyon. Ang halaga 1 - sa kasong ito ay katumbas ng 0.05. Ayon sa talahanayan ng pamamahagi ng Estudyante, na may bilang ng mga antas ng kalayaan na katumbas ng 19, makikita natin ang: t = 2.093. Kalkulahin natin ngayon ang katumpakan ng pagtatantya: 2.093121/ = 56.6. Mula dito nakukuha natin ang ninanais na agwat ng kumpiyansa: (1943.4; 2056.6).

Maaari mong gamitin ang form sa paghahanap na ito upang mahanap ang tamang gawain. Maglagay ng salita, parirala mula sa gawain o numero nito kung alam mo ito.


Maghanap lamang sa seksyong ito


Mga Pagitan ng Kumpiyansa: Listahan ng Mga Solusyon sa Problema

Mga pagitan ng kumpiyansa: teorya at mga problema

Pag-unawa sa Mga Pagitan ng Kumpiyansa

Ipakilala natin sa madaling sabi ang konsepto ng agwat ng kumpiyansa, na
1) tinatantya ang ilang parameter ng isang numerical na sample nang direkta mula sa data ng sample mismo,
2) sumasaklaw sa halaga ng parameter na ito na may posibilidad na γ.

Agwat ng kumpiyansa para sa parameter X(na may posibilidad na γ) ay tinatawag na isang pagitan ng anyo , tulad na , at ang mga halaga ay kinukuwenta sa ilang paraan mula sa sample .

Karaniwan, sa mga inilapat na problema, ang posibilidad ng kumpiyansa ay kinuha katumbas ng γ = 0.9; 0.95; 0.99.

Isaalang-alang ang ilang sample ng laki n, na ginawa mula sa pangkalahatang populasyon, na ipinamahagi siguro ayon sa normal na batas sa pamamahagi. Ipakita natin kung anong mga formula ang matatagpuan mga agwat ng kumpiyansa para sa mga parameter ng pamamahagi- pag-asa sa matematika at pagpapakalat (standard deviation).

Agwat ng kumpiyansa para sa inaasahan sa matematika

Kaso 1 Ang pagkakaiba-iba ng pamamahagi ay kilala at katumbas ng . Pagkatapos ang agwat ng kumpiyansa para sa parameter a mukhang:
t ay tinutukoy mula sa talahanayan ng pamamahagi ng Laplace sa pamamagitan ng ratio

Kaso 2 Ang pagkakaiba-iba ng pamamahagi ay hindi alam; ang isang punto ng pagtatantya ng pagkakaiba ay kinakalkula mula sa sample. Pagkatapos ang agwat ng kumpiyansa para sa parameter a mukhang:
, kung saan kinakalkula ang sample mean mula sa sample, parameter t tinutukoy mula sa talahanayan ng pamamahagi ng Mag-aaral

Halimbawa. Batay sa data ng 7 mga sukat ng isang tiyak na halaga, ang average ng mga resulta ng pagsukat ay natagpuan na katumbas ng 30 at ang sample na pagkakaiba-iba ay katumbas ng 36. Hanapin ang mga hangganan kung saan ang tunay na halaga ng sinusukat na halaga ay nakapaloob na may pagiging maaasahan na 0.99 .

Solusyon. Hanapin natin . Pagkatapos ang mga limitasyon ng kumpiyansa para sa pagitan na naglalaman ng tunay na halaga ng sinusukat na halaga ay makikita ng formula:
, kung saan ang sample mean, ay ang sample variance. Ang pag-plug sa lahat ng mga halaga, makakakuha tayo ng:

Agwat ng kumpiyansa para sa pagkakaiba

Naniniwala kami na, sa pangkalahatan, hindi alam ang inaasahan sa matematika, at isang puntong walang pinapanigan na pagtatantya ng pagkakaiba ang nalalaman. Pagkatapos ang agwat ng kumpiyansa ay ganito ang hitsura:
, Saan - mga dami ng pamamahagi na tinutukoy mula sa mga talahanayan.

Halimbawa. Batay sa data ng 7 pagsubok, natagpuan ang halaga ng pagtatantya para sa karaniwang paglihis s=12. Hanapin na may probabilidad na 0.9 ang lapad ng confidence interval na binuo upang tantyahin ang pagkakaiba.

Solusyon. Ang agwat ng kumpiyansa para sa hindi kilalang pagkakaiba-iba ng populasyon ay matatagpuan gamit ang formula:

Palitan at makuha:


Pagkatapos ang lapad ng confidence interval ay 465.589-71.708=393.881.

Agwat ng kumpiyansa para sa posibilidad (porsiyento)

Kaso 1 Hayaang malaman ang sample size at sample fraction (relative frequency) sa problema. Kung gayon ang agwat ng kumpiyansa para sa pangkalahatang bahagi (tunay na posibilidad) ay:
, kung saan ang parameter t ay tinutukoy mula sa talahanayan ng pamamahagi ng Laplace sa pamamagitan ng ratio .

Kaso 2 Kung alam din ng problema ang kabuuang sukat ng populasyon kung saan kinuha ang sample, ang agwat ng kumpiyansa para sa pangkalahatang fraction (tunay na probabilidad) ay makikita gamit ang adjusted formula:
.

Halimbawa. Ito ay kilala na Hanapin ang mga hangganan kung saan ang pangkalahatang bahagi ay natapos na may posibilidad.

Solusyon. Ginagamit namin ang formula:

Hanapin natin ang parameter mula sa kundisyon , nakakakuha tayo ng Substitute sa formula:


Makakakita ka ng iba pang mga halimbawa ng mga problema sa mga istatistika ng matematika sa pahina

Agwat ng kumpiyansa ay ang mga limitasyon ng halaga ng istatistikal na dami, na, na may ibinigay na probabilidad ng kumpiyansa γ, ay nasa pagitan na ito na may mas malaking sukat ng sample. Tinutukoy bilang P(θ - ε . Sa pagsasagawa, ang probabilidad ng kumpiyansa na γ ay pinili mula sa mga halagang γ = 0.9 , γ = 0.95 , γ = 0.99 na sapat na malapit sa pagkakaisa.

Pagtatalaga ng serbisyo. Tinutukoy ng serbisyong ito ang:

  • agwat ng kumpiyansa para sa pangkalahatang mean, agwat ng kumpiyansa para sa pagkakaiba;
  • confidence interval para sa standard deviation, confidence interval para sa general fraction;
Ang nagresultang solusyon ay naka-imbak sa Word file(tingnan ang halimbawa). Nasa ibaba ang isang video na pagtuturo kung paano punan ang paunang data.

Halimbawa #1. Sa isang kolektibong sakahan, sa kabuuang kawan ng 1,000 tupa, 100 tupa ang sumailalim sa selective control shearing. Bilang resulta, ang isang karaniwang gupit ng lana na 4.2 kg bawat tupa ay naitatag. Tukuyin na may posibilidad na 0.99 ang karaniwang error ng sample sa pagtukoy ng average na gupit ng lana bawat tupa at ang mga limitasyon kung saan ang halaga ng paggugupit ay namamalagi kung ang pagkakaiba ay 2.5. Ang sample ay hindi paulit-ulit.
Halimbawa #2. Mula sa batch ng mga imported na produkto sa post ng Moscow Northern Customs, 20 sample ng produkto na "A" ang kinuha sa pagkakasunud-sunod ng random na muling pag-sampling. Bilang resulta ng pagsusuri, ang average na nilalaman ng kahalumigmigan ng produkto na "A" sa sample ay itinatag, na naging 6% na may karaniwang paglihis ng 1%.
Tukuyin na may posibilidad na 0.683 ang mga limitasyon ng average na moisture content ng produkto sa buong batch ng mga imported na produkto.
Halimbawa #3. Ang isang survey sa 36 na mga mag-aaral ay nagpakita na ang average na bilang ng mga textbook na kanilang nabasa Taong panuruan, naging katumbas ng 6. Ipagpalagay na ang bilang ng mga aklat-aralin na binabasa ng isang mag-aaral bawat semestre ay may normal na batas sa pamamahagi na may karaniwang paglihis na katumbas ng 6, hanapin ang: A) na may pagiging maaasahan na 0.99, isang pagtatantya ng pagitan para sa matematikal inaasahan ng random variable na ito; B) sa anong posibilidad na mapagtatalunan na ang average na bilang ng mga aklat-aralin na binabasa ng isang mag-aaral bawat semestre, na kinakalkula para sa sample na ito, ay lumihis mula sa inaasahan sa matematika sa ganap na halaga ng hindi hihigit sa 2.

Pag-uuri ng mga agwat ng kumpiyansa

Sa pamamagitan ng uri ng parameter na sinusuri:

Ayon sa uri ng sample:

  1. Agwat ng kumpiyansa para sa walang katapusang sampling;
  2. Agwat ng kumpiyansa para sa huling sample;
Ang sampling ay tinatawag na re-sampling, kung ang napiling bagay ay ibinalik sa pangkalahatang populasyon bago pumili ng susunod. Ang sample ay tinatawag na hindi paulit-ulit. kung ang napiling bagay ay hindi ibinalik sa pangkalahatang populasyon. Sa pagsasagawa, ang isa ay karaniwang tumatalakay sa mga hindi umuulit na sample.

Pagkalkula ng mean sampling error para sa random na pagpili

Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga halaga ng mga tagapagpahiwatig na nakuha mula sa sample at ang kaukulang mga parameter ng pangkalahatang populasyon ay tinatawag pagkakamali sa pagiging kinatawan.
Mga pagtatalaga ng pangunahing mga parameter ng pangkalahatan at sample na populasyon.
Mga Sample ng Mean Error Formula
muling pagpilihindi paulit-ulit na pagpili
para sa gitnapara ibahagipara sa gitnapara ibahagi
Ang ratio sa pagitan ng limitasyon ng error sa sampling (Δ) na ginagarantiyahan na may ilang posibilidad P(t), at ang karaniwang error sa sampling ay may anyo: o Δ = t μ, kung saan t– koepisyent ng kumpiyansa, tinutukoy depende sa antas ng posibilidad na P(t) ayon sa talahanayan ng integral Laplace function.

Mga formula para sa pagkalkula ng laki ng sample na may wastong random na paraan ng pagpili

Agwat ng kumpiyansa para sa inaasahan sa matematika - ito ay tulad ng isang agwat na kinakalkula mula sa data, na may isang kilalang probabilidad ay naglalaman ng mathematical na inaasahan ng pangkalahatang populasyon. Ang natural na pagtatantya para sa mathematical na inaasahan ay ang arithmetic mean ng mga naobserbahang halaga nito. Samakatuwid, sa karagdagang panahon ng aralin ay gagamitin natin ang mga katagang "average", "average na halaga". Sa mga problema sa pagkalkula ng agwat ng kumpiyansa, ang sagot na kadalasang kinakailangan ay "Ang agwat ng kumpiyansa ng average na numero [halaga sa isang partikular na problema] ay mula sa [mas maliit na halaga] hanggang [ mas malaking halaga]". Gamit ang agwat ng kumpiyansa, maaari mong suriin hindi lamang ang mga average na halaga, kundi pati na rin ang bahagi ng isa o isa pang tampok ng pangkalahatang populasyon. Mga average na halaga, pagkakaiba, karaniwang lihis at ang pagkakamali kung saan tayo makakarating sa mga bagong kahulugan at pormula ay sinusuri sa aralin Sample at Populasyon na Katangian .

Mga pagtatantya ng punto at pagitan ng mean

Kung ang average na halaga ng pangkalahatang populasyon ay tinatantya ng isang numero (punto), pagkatapos ay para sa pagtatantya ng hindi alam katamtamang laki ng pangkalahatang populasyon, isang tiyak na mean ang kinuha, na kinakalkula mula sa isang sample ng mga obserbasyon. Sa kasong ito, ang halaga ng sample mean - isang random na variable - ay hindi tumutugma sa mean na halaga ng pangkalahatang populasyon. Samakatuwid, kapag nagpapahiwatig ng ibig sabihin ng halaga ng sample, kinakailangan ding ipahiwatig ang error sa sample sa parehong oras. Ang sukatan ng sampling error ay karaniwang error, na kung saan ay ipinahayag sa parehong mga yunit bilang ang ibig sabihin. Samakatuwid, ang sumusunod na notasyon ay kadalasang ginagamit: .

Kung ang pagtatantya ng ibig sabihin ay kinakailangang maiugnay sa isang tiyak na posibilidad, kung gayon ang parameter ng pangkalahatang populasyon ng interes ay dapat na tantyahin hindi sa pamamagitan ng isang solong numero, ngunit sa pamamagitan ng isang pagitan. Ang agwat ng kumpiyansa ay isang agwat kung saan, na may tiyak na posibilidad, P ang halaga ng tinantyang tagapagpahiwatig ng pangkalahatang populasyon ay matatagpuan. Agwat ng kumpiyansa kung saan may posibilidad P = 1 - α ay isang random na variable, ay kinakalkula tulad ng sumusunod:

,

α = 1 - P, na makikita sa apendiks sa halos anumang aklat sa mga istatistika.

Sa pagsasagawa, hindi alam ang ibig sabihin at pagkakaiba ng populasyon, kaya ang pagkakaiba ng populasyon ay pinapalitan ng sample na variance, at ang ibig sabihin ng populasyon ng sample mean. Kaya, ang agwat ng kumpiyansa sa karamihan ng mga kaso ay kinakalkula tulad ng sumusunod:

.

Ang formula ng confidence interval ay maaaring gamitin upang tantyahin ang ibig sabihin ng populasyon kung

  • ang karaniwang paglihis ng pangkalahatang populasyon ay kilala;
  • o ang karaniwang paglihis ng populasyon ay hindi alam, ngunit ang laki ng sample ay higit sa 30.

Ang sample mean ay isang walang pinapanigan na pagtatantya ng average ng populasyon. Sa turn, ang sample variance ay hindi isang walang pinapanigan na pagtatantya ng pagkakaiba-iba ng populasyon. Upang makakuha ng walang pinapanigan na pagtatantya ng pagkakaiba-iba ng populasyon sa formula ng sample na pagkakaiba, ang laki ng sample ay n dapat palitan ng n-1.

Halimbawa 1 Kinokolekta ang impormasyon mula sa 100 random na napiling mga cafe sa isang partikular na lungsod na ang average na bilang ng mga empleyado sa mga ito ay 10.5 na may karaniwang paglihis na 4.6. Tukuyin ang confidence interval ng 95% ng bilang ng mga empleyado ng cafe.

nasaan ang kritikal na halaga ng karaniwang normal na distribusyon para sa antas ng kabuluhan α = 0,05 .

Kaya, ang 95% confidence interval para sa average na bilang ng mga empleyado ng cafe ay nasa pagitan ng 9.6 at 11.4.

Halimbawa 2 Para sa isang random na sample mula sa isang pangkalahatang populasyon ng 64 na mga obserbasyon, ang mga sumusunod na kabuuang halaga ay kinakalkula:

kabuuan ng mga halaga sa mga obserbasyon,

kabuuan ng mga squared deviations ng mga halaga mula sa mean .

Kalkulahin ang 95% confidence interval para sa inaasahang halaga.

kalkulahin ang standard deviation:

,

kalkulahin ang average na halaga:

.

Palitan ang mga halaga sa expression para sa agwat ng kumpiyansa:

nasaan ang kritikal na halaga ng karaniwang normal na distribusyon para sa antas ng kabuluhan α = 0,05 .

Nakukuha namin:

Kaya, ang 95% na agwat ng kumpiyansa para sa inaasahan ng matematika ng sample na ito ay mula 7.484 hanggang 11.266.

Halimbawa 3 Para sa isang random na sample mula sa isang pangkalahatang populasyon ng 100 mga obserbasyon, isang mean na halaga ng 15.2 at isang karaniwang paglihis ng 3.2 ay kinakalkula. Kalkulahin ang 95% confidence interval para sa inaasahang halaga, pagkatapos ay ang 99% confidence interval. Kung ang sample power at ang variation nito ay mananatiling pareho, ngunit ang confidence factor ay tumataas, ang confidence interval ba ay paliit o lalawak?

Pinapalitan namin ang mga halagang ito sa expression para sa agwat ng kumpiyansa:

nasaan ang kritikal na halaga ng karaniwang normal na distribusyon para sa antas ng kabuluhan α = 0,05 .

Nakukuha namin:

.

Kaya, ang 95% confidence interval para sa average ng sample na ito ay mula 14.57 hanggang 15.82.

Muli, pinapalitan namin ang mga halagang ito sa expression para sa agwat ng kumpiyansa:

nasaan ang kritikal na halaga ng karaniwang normal na distribusyon para sa antas ng kabuluhan α = 0,01 .

Nakukuha namin:

.

Kaya, ang 99% confidence interval para sa average ng sample na ito ay mula 14.37 hanggang 16.02.

Tulad ng makikita mo, habang tumataas ang kumpiyansa factor, tumataas din ang kritikal na halaga ng karaniwang normal na distribusyon, at, samakatuwid, ang mga punto ng pagsisimula at pagtatapos ng pagitan ay matatagpuan sa malayo mula sa mean, at sa gayon ang agwat ng kumpiyansa para sa inaasahan sa matematika nadadagdagan.

Mga pagtatantya ng punto at pagitan ng tiyak na gravity

Ang tiyak na bigat ng ilang tampok ng sample ay maaaring bigyang-kahulugan bilang pagtatantya ng punto tiyak na gravity p ang parehong katangian sa pangkalahatang populasyon. Kung kailangang iugnay ang value na ito sa isang probabilidad, dapat kalkulahin ang confidence interval ng specific gravity p tampok sa pangkalahatang populasyon na may posibilidad P = 1 - α :

.

Halimbawa 4 Mayroong dalawang kandidato sa isang partikular na lungsod A At B tumatakbong mayor. 200 residente ng lungsod ang random na na-poll, kung saan 46% ang sumagot na iboboto nila ang kandidato A, 26% - para sa kandidato B at 28% ang hindi alam kung sino ang kanilang iboboto. Tukuyin ang 95% confidence interval para sa proporsyon ng mga residente ng lungsod na sumusuporta sa kandidato A.

Hayaang buuin ng CB X ang pangkalahatang populasyon at ang β ay isang hindi kilalang parameter CB X. Kung pare-pareho ang istatistikal na pagtatantya sa *, kung gayon mas malaki ang sukat ng sample, mas tumpak ang halaga ng β. Gayunpaman, sa pagsasagawa, wala kaming masyadong malalaking sample, kaya hindi namin magagarantiya ang higit na katumpakan.

Hayaang ang s* ay isang istatistikal na pagtatantya para sa s. Dami |sa* - sa| ay tinatawag na katumpakan ng pagtatantya. Malinaw na ang katumpakan ay CB, dahil ang s* ay isang random na variable. Magtakda tayo ng maliit na positibong numero 8 at kailanganin na ang katumpakan ng pagtatantya |in* - in| ay mas mababa sa 8, ibig sabihin. | sa* - sa |< 8.

Ang pagiging maaasahan g o ang posibilidad ng kumpiyansa ng pagtatantya sa by in * ay ang probabilidad na g kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay |in * - in|< 8, т. е.

Karaniwan, ang pagiging maaasahan ng g ay itinakda nang maaga, at, para sa g, kumukuha sila ng isang numero na malapit sa 1 (0.9; 0.95; 0.99; ...).

Dahil ang hindi pagkakapantay-pantay |sa * - sa|< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:

Ang interval (sa * - 8, sa * + 5) ay tinatawag na confidence interval, ibig sabihin, ang confidence interval ay sumasaklaw sa hindi alam na parameter sa may probability y. Tandaan na ang mga dulo ng agwat ng kumpiyansa ay random at nag-iiba-iba sa bawat sample, kaya mas tumpak na sabihin na ang agwat (sa * - 8, sa * + 8) ay sumasaklaw sa hindi kilalang parameter na β sa halip na β ay kabilang sa agwat na ito. .

Hayaang ibigay ang pangkalahatang populasyon ng isang random na variable X, na ibinahagi ayon sa normal na batas, bukod dito, ang average karaniwang lihis ngunit ito ay kilala. Ang inaasahan sa matematika a = M (X) ay hindi alam. Kinakailangang maghanap ng agwat ng kumpiyansa para sa a para sa isang naibigay na pagiging maaasahan y.

Sample ibig sabihin

ay istatistikal na pagsusuri para sa xr = a.

Teorama. Ang random variable na xB ay may normal na pamamahagi kung ang X ay may normal na distribusyon, at M(XB) = a,

A (XB) \u003d a, kung saan ang isang \u003d y / B (X), isang \u003d M (X). l/i

Ang agwat ng kumpiyansa para sa a ay may anyo:

Nahanap namin ang 8.

Gamit ang kaugnayan

kung saan ang Ф(г) ay ang Laplace function, mayroon kaming:

P ( | XB - isang |<8} = 2Ф

nakita namin ang halaga ng t sa talahanayan ng mga halaga ng Laplace function.

Nagpapahiwatig

T, nakukuha natin ang F(t) = g

Mula sa equality Find - ang katumpakan ng pagtatantya.

Kaya ang agwat ng kumpiyansa para sa a ay may anyo:

Kung ang isang sample ay ibinigay mula sa pangkalahatang populasyon X

ng kay" X2 xm
n. n1 n2 nm

n = U1 + ... + nm, kung gayon ang pagitan ng kumpiyansa ay magiging:

Halimbawa 6.35. Hanapin ang agwat ng kumpiyansa para sa pagtatantya ng inaasahan ng isang normal na distribusyon na may pagiging maaasahan na 0.95, alam ang sample mean na Xb = 10.43, ang laki ng sample n = 100, at ang standard deviation s = 5.

Gamitin natin ang formula

Mga kaugnay na publikasyon