Matice diagonálneho typu sú najjednoduchšie usporiadané. Vzniká otázka, či je možné nájsť základ, v ktorom by matica lineárneho operátora mala diagonálny tvar. Takýto základ existuje.
Nech je daný lineárny priestor R n a v ňom pôsobiaci lineárny operátor A; v tomto prípade operátor A berie do seba R n, teda A:R n → R n .

Definícia. Nenulový vektor sa nazýva vlastný vektor operátora A, ak sa operátor A preloží do vektora, ktorý je s ním kolineárny, to znamená . Číslo λ sa nazýva vlastná hodnota alebo vlastná hodnota operátora A zodpovedajúceho vlastnému vektoru .
Zaznamenávame niektoré vlastnosti vlastných hodnôt a vlastných vektorov.
1. Ľubovoľná lineárna kombinácia vlastných vektorov operátora A zodpovedajúceho rovnakej vlastnej hodnote λ je vlastný vektor s rovnakou vlastnou hodnotou.
2. Vlastné vektory operátor A s párovo odlišnými vlastnými hodnotami λ 1 , λ 2 , …, λ m sú lineárne nezávislé.
3. Ak vlastné hodnoty λ 1 =λ 2 = λ m = λ, potom vlastná hodnota λ zodpovedá nie viac ako m lineárne nezávislým vlastným vektorom.

Ak teda existuje n lineárne nezávislých vlastných vektorov zodpovedajúce rôznym vlastným hodnotám λ 1 , λ 2 , …, λ n , potom sú lineárne nezávislé, preto ich možno považovať za základ priestoru R n . Nájdite tvar matice lineárneho operátora A na základe jeho vlastných vektorov, pre ktoré pôsobíme s operátorom A na vektoroch báz: Potom .
Matica lineárneho operátora A má teda na základe svojich vlastných vektorov diagonálny tvar a vlastné hodnoty operátora A sú na diagonále.
Existuje iný základ, v ktorom má matica diagonálny tvar? Odpoveď na túto otázku dáva nasledujúca veta.

Veta. Matica lineárneho operátora A v báze (i = 1..n) má diagonálny tvar práve vtedy, ak všetky vektory bázy sú vlastné vektory operátora A.

Pravidlo na nájdenie vlastných hodnôt a vlastných vektorov

Nechajte vektor , kde x 1 , x 2 , …, x n - súradnice vektora vzhľadom na bázu a je vlastným vektorom lineárneho operátora A zodpovedajúcim vlastnej hodnote λ, t.j. Tento vzťah je možné zapísať v maticovom tvare

. (*)

Rovnicu (*) možno považovať za rovnicu na nájdenie , a to znamená, že nás zaujímajú netriviálne riešenia, pretože vlastný vektor nemôže byť nula. Je známe, že netriviálne riešenia homogénneho systému lineárne rovnice existujú práve vtedy, ak det(A - λE) = 0. Aby teda λ bolo vlastnou hodnotou operátora A, je potrebné a postačujúce, aby det(A - λE) = 0.
Ak je rovnica (*) napísaná podrobne v súradnicovom tvare, dostaneme systém lineárnych homogénnych rovníc:

(1)
Kde je matica lineárneho operátora.

Sústava (1) má nenulové riešenie, ak sa jej determinant D rovná nule

Dostali sme rovnicu na nájdenie vlastných hodnôt.
Táto rovnica sa nazýva charakteristická rovnica a jej ľavá strana- charakteristický polynóm matice (operátor) A. Ak charakteristický polynóm nemá reálne korene, potom matica A nemá žiadne vlastné vektory a nemôže byť redukovaná do diagonálneho tvaru.
Nech λ 1 , λ 2 , …, λ n sú skutočné korene charakteristická rovnica a môžu byť medzi nimi násobky. Nahradením týchto hodnôt do systému (1) nájdeme vlastné vektory.

Príklad 12. Lineárny operátor A pôsobí v R 3 podľa zákona , kde x 1 , x 2 , .., x n sú súradnice vektora v zákl. , , . Nájdite vlastné hodnoty a vlastné vektory tohto operátora.
Riešenie. Vytvoríme maticu tohto operátora:
.
Zostavíme systém na určenie súradníc vlastných vektorov:

Zostavíme charakteristickú rovnicu a vyriešime ju:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Dosadením λ = -1 do systému máme:
alebo
Pretože , potom existujú dve závislé premenné a jedna voľná premenná.
Nech je x 1 voľná neznáma Tento systém riešime akýmkoľvek spôsobom a nájdeme spoločné rozhodnutie tejto sústavy: Základná sústava riešení pozostáva z jedného riešenia, keďže n - r = 3 - 2 = 1.
Množina vlastných vektorov zodpovedajúcich vlastnej hodnote λ = -1 má tvar: , kde x 1 je ľubovoľné číslo iné ako nula. Vyberme si jeden vektor z tejto množiny, napríklad nastavením x 1 = 1: .
Ak budeme argumentovať podobne, nájdeme vlastný vektor zodpovedajúci vlastnej hodnote λ = 3: .
V priestore R 3 bázu tvoria tri lineárne nezávislé vektory, ale získali sme len dva lineárne nezávislé vlastné vektory, z ktorých bázu v R 3 nemožno vytvoriť. V dôsledku toho maticu A lineárneho operátora nemožno redukovať na diagonálny tvar.

Príklad 13 Daná matica .
1. Dokážte, že vektor je vlastný vektor matice A. Nájdite vlastnú hodnotu zodpovedajúcu tomuto vlastnému vektoru.
2. Nájdite základ, v ktorom má matica A diagonálny tvar.
Riešenie.
1. Ak je , potom je vlastný vektor

.
Vektor (1, 8, -1) je vlastný vektor. Vlastná hodnota λ = -1.
Matica má diagonálny tvar v základe pozostávajúcom z vlastných vektorov. Jeden z nich je známy. Poďme nájsť zvyšok.
Hľadáme vlastné vektory zo systému:

Charakteristická rovnica: ;
(3+A)[-2(2-A)(2+A)+3] = 0; (3+A)(A2-1) = 0
λ1 = -3, λ2 = 1, λ3 = -1.
Nájdite vlastný vektor zodpovedajúci vlastnej hodnote λ = -3:

Hodnosť matice tejto sústavy je rovná dvom a rovná sa počtu neznámych, preto má táto sústava len nulové riešenie x 1 = x 3 = 0. x 2 tu môže byť čokoľvek iné ako nula, napr. x 2 = 1. Vektor (0 ,1,0) je teda vlastný vektor zodpovedajúci λ = -3. Skontrolujme to:
.
Ak λ = 1, dostaneme systém
Poradie matice je dve. Prečiarknite poslednú rovnicu.
Nech x 3 je voľná neznáma. Potom x 1 \u003d -3x 3, 4x 2 \u003d 10x 1 - 6x 3 \u003d -30x 3 - 6x 3, x 2 \u003d -9x 3.
Za predpokladu, že x 3 = 1, máme (-3,-9,1) - vlastný vektor zodpovedajúci vlastnej hodnote λ = 1. Skontrolujte:

.
Keďže vlastné hodnoty sú skutočné a rôzne, vektory, ktoré im zodpovedajú, sú lineárne nezávislé, takže ich možno brať ako základ v R3. Teda v zákl , , matica A má tvar:
.
Nie každú maticu lineárneho operátora A:R n → R n možno redukovať na diagonálny tvar, pretože pre niektoré lineárne operátory môže existovať menej ako n lineárne nezávislých vlastných vektorov. Ak je však matica symetrická, potom presne m lineárne nezávislých vektorov zodpovedá koreňu charakteristickej rovnice násobnosti m.

Definícia. Symetrická matica je štvorcová matica, v ktorej sú prvky, ktoré sú symetrické vzhľadom na hlavnú uhlopriečku, rovnaké, to znamená, v ktorej .
Poznámky. 1. Všetky vlastné hodnoty symetrickej matice sú skutočné.
2. Vlastné vektory symetrickej matice zodpovedajúce párovo odlišným vlastným hodnotám sú ortogonálne.
Za jednu z početných aplikácií študovaného aparátu považujeme problém určenia tvaru krivky druhého rádu.

Vlastné hodnoty(čísla) a vlastné vektory.
Príklady riešení

Buď sám sebou

Z oboch rovníc vyplýva, že .

Dajme teda: .

Ako výsledok: je druhý vlastný vektor.

Zopakujme si dôležité body riešenia:

– výsledná sústava má určite všeobecné riešenie (rovnice sú lineárne závislé);

- "Y" je vybrané tak, že je celé číslo a prvá súradnica "x" je celá, kladná a čo najmenšia.

– skontrolujeme, či konkrétne riešenie vyhovuje každej rovnici systému.

Odpoveď .

Medziľahlých „kontrolných bodov“ bolo celkom dosť, takže kontrola rovnosti je v zásade zbytočná.

V rôznych zdrojoch informácií sú súradnice vlastných vektorov často zapísané nie v stĺpcoch, ale v riadkoch, napríklad: (a aby som bol úprimný, sám som ich písal do riadkov). Táto možnosť je prijateľná, ale vzhľadom na tému lineárne transformácie technicky pohodlnejšie na použitie stĺpcové vektory.

Možno sa vám riešenie zdalo veľmi dlhé, ale to len preto, že som veľmi podrobne komentoval prvý príklad.

Príklad 2

matice

Cvičíme sami! Približná ukážka konečného návrhu úlohy na konci hodiny.

Niekedy musíte vykonať ďalšiu úlohu, konkrétne:

napíšte kanonický rozklad matice

Čo to je?

Ak maticové vlastné vektory tvoria základ, potom to môže byť reprezentované ako:

Kde je matica zložená zo súradníc vlastných vektorov, – uhlopriečka matice so zodpovedajúcimi vlastnými hodnotami.

Tento maticový rozklad sa nazýva kanonický alebo uhlopriečka.

Zvážte maticu prvého príkladu. Jej vlastné vektory lineárne nezávislé(nekolineárne) a tvoria základ. Urobme maticu z ich súradníc:

Zapnuté hlavná uhlopriečka matice v riadnom poradí vlastné hodnoty sú umiestnené a zostávajúce prvky sa rovnajú nule:
- ešte raz zdôrazňujem dôležitosť poradia: "dva" zodpovedá 1. vektoru a preto sa nachádza v 1. stĺpci, "tri" - k 2. vektoru.

Podľa obvyklého algoritmu na vyhľadávanie inverzná matica alebo Gauss-Jordanova metóda Nájsť . Nie, to nie je preklep! - pred vami je vzácny, ako zatmenie Slnka udalosť, keď sa inverzná zhoduje s pôvodnou maticou.

Zostáva napísať kanonický rozklad matice:

Systém je možné vyriešiť pomocou elementárne transformácie a v nasledujúcich príkladoch sa uchýlime túto metódu. Ale tu „školská“ metóda funguje oveľa rýchlejšie. Z 3. rovnice vyjadríme: - dosadíme do druhej rovnice:

Keďže prvá súradnica je nulová, získame systém , z ktorej každej rovnice vyplýva, že .

A znova dávajte pozor na povinnú prítomnosť lineárneho vzťahu. Ak sa získa len triviálne riešenie , potom bola buď nesprávne nájdená vlastná hodnota, alebo bol systém zostavený/vyriešený s chybou.

Kompaktné súradnice dávajú hodnotu

Vlastný vektor:

A ešte raz skontrolujeme nájdené riešenie spĺňa každú rovnicu systému. V nasledujúcich odsekoch a v nasledujúcich úlohách odporúčam, aby sa toto želanie prijalo ako povinné pravidlo.

2) Pre vlastnú hodnotu podľa rovnakého princípu získame nasledujúci systém:

Z 2. rovnice sústavy vyjadríme: - dosadíme do tretej rovnice:

Keďže súradnica "zeta" sa rovná nule, získame sústavu , z ktorej každá rovnica vyplýva lineárna závislosť.

Nechaj

Kontrolujeme, že riešenie spĺňa každú rovnicu systému.

Teda vlastný vektor: .

3) A nakoniec, systém zodpovedá svojej vlastnej hodnote:

Druhá rovnica vyzerá najjednoduchšie, tak ju z nej vyjadríme a dosadíme do 1. a 3. rovnice:

Všetko je v poriadku - odhalila sa lineárna závislosť, ktorú dosadíme do výrazu:

V dôsledku toho boli „X“ a „Y“ vyjadrené prostredníctvom „Z“: . V praxi nie je potrebné dosahovať len takéto vzťahy, v niektorých prípadoch je vhodnejšie vyjadrovať sa cez alebo aj cez . Alebo dokonca „vlak“ – napríklad „X“ cez „Y“ a „Y“ cez „Z“

Dajme teda:

Skontrolujeme nájdené riešenie spĺňa každú rovnicu systému a zapíše tretí vlastný vektor

Odpoveď: vlastné vektory:

Geometricky tieto vektory definujú tri rôzne priestorové smery ("Tam a späť znova"), podľa ktorého lineárna transformácia transformuje nenulové vektory (vlastné vektory) na vektory s nimi kolineárne.

Ak sa podľa podmienky vyžadovalo nájsť kanonickú expanziu , potom je to možné, pretože rôzne vlastné hodnoty zodpovedajú rôznym lineárne nezávislým vlastným vektorom. Vytvárame matricu z ich súradníc, diagonálnej matice od relevantné vlastné hodnoty a nájsť inverzná matica .

Ak je podľa podmienky potrebné napísať lineárna transformačná matica na báze vlastných vektorov, potom dáme odpoveď v tvare . Je v tom rozdiel, a to podstatný rozdiel! Pre túto maticu je matica "de".

Úloha s jednoduchšími výpočtami pre nezávislé riešenie:

Príklad 5

Nájdite vlastné vektory lineárnej transformácie dané maticou

Pri hľadaní vlastných čísel sa snažte nedoviesť prípad k polynómu 3. stupňa. Okrem toho sa vaše systémové riešenia môžu líšiť od mojich riešení – tu nie je jednoznačnosť; a vektory, ktoré nájdete, sa môžu líšiť od vzorových vektorov až do úmernosti k ich príslušným súradniciam. Napríklad a . Estetickejšie je prezentovať odpoveď vo forme , ale nevadí, ak sa zastavíte pri druhej možnosti. Všetko má však rozumné hranice, verzia už nevyzerá veľmi dobre.

Približná záverečná ukážka zadania na konci hodiny.

Ako vyriešiť problém v prípade viacerých vlastných hodnôt?

Všeobecný algoritmus zostáva rovnaký, má však svoje zvláštnosti a je vhodné ponechať niektoré časti riešenia v prísnejšom akademickom štýle:

Príklad 6

Nájdite vlastné hodnoty a vlastné vektory

Riešenie

Samozrejme, povedzme veľkými písmenami báječný prvý stĺpec:

A po rozklade štvorcový trojčlen pre multiplikátory:

V dôsledku toho sa získajú vlastné hodnoty, z ktorých dve sú násobky.

Poďme nájsť vlastné vektory:

1) Budeme sa zaoberať osamelým vojakom podľa „zjednodušenej“ schémy:

Z posledných dvoch rovníc je jasne viditeľná rovnosť, ktorá by sa samozrejme mala dosadiť do 1. rovnice systému:

Lepšia kombinácia neexistuje:
Vlastný vektor:

2-3) Teraz odstránime pár strážcov. V tomto prípade môže byť buď dva alebo jeden vlastný vektor. Bez ohľadu na násobnosť koreňov dosadíme hodnotu v determinante , ktorý nám prináša nasledovné homogénna sústava lineárnych rovníc:

Vlastné vektory sú presne tie vektory
základný rozhodovací systém

V skutočnosti sme sa počas hodiny zaoberali len hľadaním vektorov základného systému. Len nateraz tento termín nebol nijak zvlášť vyžadovaný. Mimochodom, tí šikovní študenti, ktorí sa v maskáčoch homogénne rovnice, bude nútený ho teraz fajčiť.

Jedinou akciou bolo odstránenie nadbytočných riadkov. Výsledkom je matica „jedna po troch“ s formálnym „krokom“ uprostred.
– základná premenná, – voľná premenná. Existujú dve voľné premenné, takže existujú aj dva vektory základného systému.

Vyjadrime základnú premennú pomocou voľných premenných: . Nulový faktor pred „x“ mu umožňuje získať absolútne akékoľvek hodnoty (čo je tiež jasne viditeľné zo systému rovníc).

V kontexte tohto problému je vhodnejšie napísať všeobecné riešenie nie do riadku, ale do stĺpca:

Pár zodpovedá vlastnému vektoru:
Pár zodpovedá vlastnému vektoru:

Poznámka : sofistikovaní čitatelia môžu tieto vektory zachytiť ústne – len analýzou systému , ale tu sú potrebné určité znalosti: existujú tri premenné, systémová matica hodnosť- jednotkový prostriedok základný rozhodovací systém pozostáva z 3 – 1 = 2 vektorov. Nájdené vektory sú však dokonale viditeľné aj bez tejto znalosti, čisto na intuitívnej úrovni. V tomto prípade bude tretí vektor napísaný ešte „krásnejšie“: . Upozorňujem však, že v inom príklade nemusí ísť o jednoduchý výber, preto je rezervácia určená pre skúsených. Okrem toho, prečo nevziať ako tretí vektor, povedzme, ? Koniec koncov, jeho súradnice tiež spĺňajú každú rovnicu systému a vektory sú lineárne nezávislé. Táto možnosť je v zásade vhodná, ale „krivá“, pretože „iný“ vektor je lineárnou kombináciou vektorov základného systému.

Odpoveď: vlastné hodnoty: , vlastné vektory:

Podobný príklad riešenia „urob si sám“:

Príklad 7

Nájdite vlastné hodnoty a vlastné vektory

Približná ukážka dokončovania na konci hodiny.

Treba poznamenať, že v 6. aj 7. príklade sa získa trojica lineárne nezávislých vlastných vektorov, a preto môže byť pôvodná matica reprezentovaná v kanonickom expanzii . Takéto maliny sa však nestávajú vo všetkých prípadoch:

Príklad 8

Riešenie: zostavte a vyriešte charakteristickú rovnicu:

Rozšírime determinant o prvý stĺpec:

Ďalšie zjednodušenia vykonávame podľa uvažovanej metódy, pričom sa vyhýbame polynómu 3. stupňa:

sú vlastné hodnoty.

Poďme nájsť vlastné vektory:

1) S koreňom nie sú žiadne problémy:

Nečudujte sa, okrem stavebnice sa používajú aj premenné - tu nie je žiadny rozdiel.

Z 3. rovnice vyjadríme - dosadíme do 1. a 2. rovnice:

Z oboch rovníc vyplýva:

Potom nech:

2-3) Pre viaceré hodnoty dostaneme systém .

Zapíšme si maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju prenesme do stupňovitého tvaru:

S maticou A, ak existuje číslo l také, že AX = lX.

V tomto prípade sa volá číslo l vlastná hodnota operátor (matica A) zodpovedajúci vektoru X.

Inými slovami, vlastný vektor je vektor, ktorý sa pôsobením lineárneho operátora transformuje na kolineárny vektor, t.j. stačí vynásobiť nejakým číslom. Naproti tomu nevhodné vektory sa transformujú ťažšie.

Definíciu vlastného vektora napíšeme ako sústavu rovníc:

Presuňme všetky výrazy na ľavú stranu:

Posledný systém možno zapísať v maticovej forme takto:

(A - lE)X \u003d O

Výsledná sústava má vždy nulové riešenie X = O. Voláme také sústavy, v ktorých sa všetky voľné členy rovnajú nule homogénne. Ak je matica takéhoto systému štvorcová a jej determinant sa nerovná nule, potom podľa Cramerových vzorcov vždy dostaneme jedinečné riešenie - nulu. Dá sa dokázať, že systém má nenulové riešenia práve vtedy, ak je determinant tejto matice rovný nule, t.j.

|A – lE| = = 0

Táto rovnica s neznámym l sa nazýva charakteristická rovnica (charakteristický polynóm) matica A (lineárny operátor).

Dá sa dokázať, že charakteristický polynóm lineárneho operátora nezávisí od výberu bázy.

Napríklad nájdime vlastné hodnoty a vlastné vektory lineárneho operátora dané maticou A = .

Na tento účel zostavíme charakteristickú rovnicu |А - lЕ| = \u003d (1 - l) 2 - 36 \u003d 1 - 2 l + l 2 - 36 \u003d l 2 - 2 l - 35 \u003d 0; D \u003d 4 + 140 \u003d 144; vlastné hodnoty l 1 = (2 - 12)/2 = -5; l 2 \u003d (2 + 12) / 2 \u003d 7.

Aby sme našli vlastné vektory, riešime dve sústavy rovníc

(A + 5E) X = O

(A - 7E) X = O

Pre prvý z nich bude mať tvar rozšírená matica

,

odkiaľ x 2 \u003d c, x 1 + (2/3) c \u003d 0; x 1 \u003d - (2/3) s, t.j. X (1) \u003d (- (2/3) s; s).

Pre druhú z nich bude mať tvar rozšírená matica

,

odkiaľ x 2 \u003d c 1, x 1 - (2/3) c 1 \u003d 0; x 1 \u003d (2/3) s 1, t.j. X (2) \u003d ((2/3) s 1; s 1).

Vlastnými vektormi tohto lineárneho operátora sú teda všetky vektory tvaru (-(2/3)c; c) s vlastnou hodnotou (-5) a všetky vektory tvaru ((2/3)c 1 ; c 1) s vlastná hodnota 7.

Dá sa dokázať, že matica operátora A v báze pozostávajúcej z jeho vlastných vektorov je diagonálna a má tvar:

,

kde l i sú vlastné hodnoty tejto matice.

Platí to aj naopak: ak je matica A v nejakej báze diagonálna, potom všetky vektory tejto bázy budú vlastnými vektormi tejto matice.

Dá sa tiež dokázať, že ak má lineárny operátor n párovo odlišných vlastných hodnôt, potom zodpovedajúce vlastné vektory sú lineárne nezávislé a matica tohto operátora v zodpovedajúcej báze má diagonálny tvar.

Vysvetlime si to na predchádzajúcom príklade. Vezmime si ľubovoľné nenulové hodnoty c a c 1 , ale také, že vektory X (1) a X (2) sú lineárne nezávislé, t.j. by tvorili základ. Napríklad, nech c \u003d c 1 \u003d 3, potom X (1) \u003d (-2; 3), X (2) \u003d (2; 3).

Presvedčíme sa lineárna nezávislosť tieto vektory:

12 ≠ 0. V tomto novom základe bude mať matica A tvar A * = .

Aby sme to overili, použijeme vzorec A * = C -1 AC. Najprv nájdime C -1.

C-1 = ;

Kvadratické formy

kvadratická forma f (x 1, x 2, x n) z n premenných sa nazýva súčet, pričom každý člen je buď druhou mocninou jednej z premenných, alebo súčinom dvoch rôznych premenných, braných s určitým koeficientom: f (x 1 , x 2, x n) = (a ij = a ji).

Matica A zložená z týchto koeficientov sa nazýva maticekvadratická forma. To je vždy symetrické matica (t. j. matica symetrická podľa hlavnej uhlopriečky, a ij = a ji).

V maticovom zápise má kvadratická forma tvar f(X) = X T AX, kde

Naozaj

Napríklad napíšme matricový formulár kvadratická forma.

Na tento účel nájdeme maticu kvadratickej formy. Jeho diagonálne prvky sa rovnajú koeficientom na druhej mocnine premenných a zvyšné prvky sa rovnajú polovici zodpovedajúcich koeficientov kvadratickej formy. Preto

Maticový stĺpec premenných X nech získame nedegenerovanou lineárnou transformáciou maticového stĺpca Y, t.j. X = CY, kde C je nedegenerovaná matica rádu n. Potom kvadratická forma f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (CT AC)Y.

Pri nedegenerovanej lineárnej transformácii C má teda matica kvadratickej formy tvar: A * = CT AC.

Nájdime napríklad kvadratickú formu f(y 1, y 2) získanú z kvadratickej formy f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 lineárnou transformáciou.

Kvadratická forma je tzv kanonický(Má kanonický pohľad) ak všetky jeho koeficienty a ij = 0 pre i ≠ j, t.j.
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 =.

Jeho matica je diagonálna.

Veta(tu nie je uvedený dôkaz). Akákoľvek kvadratická forma môže byť redukovaná na kanonickú formu pomocou nedegenerovanej lineárnej transformácie.

Napríklad zredukujme na kanonickú formu kvadratickú formu
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Ak to chcete urobiť, najprv vyberte úplný štvorec pre premennú x 1:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2 ) 2 - 5 x 2 2 - x 2 x 3.

Teraz vyberieme celý štvorec pre premennú x 2:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 + 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) + (5/100) x 32 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 – 5 (x 2 – (1/10) x 3) 2 + (1/20) x 3 2.

Potom nedegenerovaná lineárna transformácia y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 + (1/10) x 3 a y 3 \u003d x 3 privedie túto kvadratickú formu do kanonickej formy f (y 1 y2, y3) = 2y12 - 5y22 + (1/20)y32.

Všimnite si, že kanonická forma kvadratickej formy je definovaná nejednoznačne (rovnaká kvadratická forma môže byť redukovaná na kanonickú formu rôzne cesty). Avšak, rôzne cesty kanonické formy majú číslo spoločné vlastnosti. Najmä počet členov s kladnými (zápornými) koeficientmi kvadratickej formy nezávisí od toho, ako je forma na túto formu redukovaná (napríklad v uvažovanom príklade budú vždy dva záporné a jeden kladný koeficient). Táto vlastnosť je tzv zákon zotrvačnosti kvadratické formy.

Overme si to zredukovaním tej istej kvadratickej formy na kanonickú formu iným spôsobom. Začnime transformáciu s premennou x 2:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3 (x 2 2 +
+ 2 * x 2 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2) + 3 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 2 x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 + (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
+ 3y 2 2 + 2y 3 2, kde y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6 ) x 3 a y3 = x 1. Tu platí, že záporný koeficient -3 pre y 1 a dva kladné koeficienty 3 a 2 pre y 2 a y 3 (a pomocou inej metódy sme dostali záporný koeficient (-5) pre y 2 a dva kladné koeficienty: 2 pre y 1 a 1/20 pre rok 3).

Treba si tiež uvedomiť, že hodnosť matice kvadratickej formy, tzv hodnosť kvadratickej formy, sa rovná počtu nenulových koeficientov kanonickej formy a pri lineárnych transformáciách sa nemení.

Kvadratická forma f(X) sa nazýva pozitívne (negatívne) istý, ak pre všetky hodnoty premenných, ktoré nie sú súčasne rovné nule, je kladné, t.j. f(X) > 0 (záporné, t.j.
f(X)< 0).

Napríklad kvadratická forma f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 je pozitívne definitívna, pretože je súčet štvorcov a kvadratická forma f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 je záporne určitá, pretože predstavuje to môže byť reprezentované ako f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

Vo väčšine praktických situácií je stanovenie znamienkovej určitosti kvadratickej formy o niečo ťažšie, preto sa na to používa jedna z nasledujúcich viet (formulujeme ich bez dôkazov).

Veta. Kvadratická forma je kladná (záporná) definitívna vtedy a len vtedy, ak sú všetky vlastné hodnoty jej matice kladné (záporné).

Veta(Sylvesterovo kritérium). Kvadratická forma je kladne definitívna vtedy a len vtedy, ak sú všetky hlavné minority matice tejto formy kladné.

Major (roh) moll K-tý rád matice A n-tého rádu sa nazýva determinant matice, zložený z prvých k riadkov a stĺpcov matice A ().

Všimnite si, že pri záporno-definičných kvadratických formách sa znamienka hlavných maloletých striedajú a vedľajší prvok prvého poriadku musí byť záporný.

Napríklad skúmame kvadratickú formu f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 na znamienkovú určitosť.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 \u003d (6 - 2 l - 3 l + l 2) - 4 \u003d l 2 - 5 l + 2 \u003d 0; D = 25 - 8 = 17;
. Preto je kvadratická forma pozitívne definitívna.

Metóda 2. Hlavná vedľajšia matica prvého rádu A D 1 = a 11 = 2 > 0. Hlavná vedľajšia matica druhého rádu D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Preto podľa Sylvesterovho kritéria, kvadratická forma je pozitívne definitívna.

Skúmame inú kvadratickú formu na určenie znamienka, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metóda 1. Zostrojme maticu kvadratickej formy А = . Charakteristická rovnica bude mať tvar = (-2 - l)*
*(-3 - 1) - 4 = (6 + 2 1 + 3 1 + 1 2) - 4 = 12 + 5 1 + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Preto je kvadratická forma negatívne definitívna.

Metóda 2. Hlavná vedľajšia matica prvého rádu A D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Podľa Sylvesterovho kritéria je teda kvadratická forma negatívne definitívna (znaky hlavných maloletých sa striedajú, začínajúc od mínusu).

A ako ďalší príklad skúmame kvadratickú formu f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 na určenie znamienka.

Metóda 1. Zostrojme maticu kvadratickej formy А = . Charakteristická rovnica bude mať tvar = (2 - l)*
*(-3 - 1) - 4 = ( - 6 - 2 1 + 3 1 + 1 2) - 4 = 12 + 1 - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Jedno z týchto čísel je záporné a druhé kladné. Znaky vlastných hodnôt sú rôzne. Preto kvadratická forma nemôže byť ani záporne, ani kladne definitívna, t.j. táto kvadratická forma nie je znamienkovo ​​definovaná (môže nadobúdať hodnoty akéhokoľvek znamienka).

Spôsob 2. Hlavná vedľajšia matica prvého rádu A D 1 = a 11 = 2 > 0. Hlavná vedľajšia matica druhého rádu D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

www.stránka vám umožní nájsť. Stránka vykoná výpočet. O niekoľko sekúnd server vydá správu správne riešenie. Charakteristická rovnica pre maticu bude algebraický výraz nájdený pravidlom na výpočet determinantu matice matice, pričom na hlavnej uhlopriečke budú rozdiely v hodnotách prvkov uhlopriečky a premennej. Pri výpočte charakteristická rovnica pre maticu online, každý prvok matice budú vynásobené zodpovedajúcimi ďalšími prvkami matice. Nájsť v režime online možné len pre štvorec matice. Nájsť operáciu charakteristická rovnica pre maticu online redukuje na výpočet algebraického súčtu súčinu prvkov matice v dôsledku nájdenia determinantu matice, len za účelom určenia charakteristická rovnica pre maticu online. Táto operácia zaujíma v teórii osobitné miesto matice, vám umožňuje nájsť vlastné hodnoty a vektory pomocou koreňov. Hľadanie úlohy charakteristická rovnica pre maticu online je množiť prvky matice s následným sčítaním týchto produktov podľa určitého pravidla. www.stránka nájde charakteristická rovnica pre maticu daný rozmer v režime online. kalkulácia charakteristická rovnica pre maticu online pre danú dimenziu je to nájdenie polynómu s číselnými alebo symbolickými koeficientmi nájdenými pravidlom na výpočet determinantu matice- ako súčet súčinov zodpovedajúcich prvkov matice, len za účelom určenia charakteristická rovnica pre maticu online. Nájdenie polynómu vzhľadom na premennú pre štvorec matice, ako definícia charakteristická rovnica pre maticu, teoreticky bežné matice. Hodnota koreňov polynómu charakteristická rovnica pre maticu online používa sa na definovanie vlastných vektorov a vlastných hodnôt pre matice. Ak však determinant matice bude teda nula maticová charakteristická rovnica bude stále existovať, na rozdiel od naopak matice. Aby bolo možné vypočítať charakteristická rovnica pre maticu alebo vyhľadajte niekoľko naraz matice charakteristické rovnice, musíte stráviť veľa času a úsilia, kým náš server nájde charakteristická rovnica pre online maticu. V tomto prípade odpoveď nájdením charakteristická rovnica pre maticu online budú správne a s dostatočnou presnosťou, aj keď čísla pri náleze charakteristická rovnica pre maticu online bude iracionálne. Na strane www.stránka v prvkoch sú povolené znaky matice, teda charakteristická rovnica pre online maticu môžu byť pri výpočte reprezentované vo všeobecnej symbolickej forme matica charakteristických rovníc online. Získanú odpoveď je užitočné skontrolovať pri riešení problému nájdenia charakteristická rovnica pre maticu online pomocou stránky www.stránka. Pri vykonávaní operácie výpočtu polynómu - charakteristická rovnica matice, je potrebné byť pri riešení tohto problému pozorný a mimoriadne koncentrovaný. Naša stránka vám zase pomôže skontrolovať vaše rozhodnutie o danej téme matica charakteristických rovníc online. Ak nemáte čas na dlhé kontroly vyriešených problémov, tak www.stránka bude určite pohodlnou pomôckou na kontrolu pri hľadaní a výpočte charakteristická rovnica pre maticu online.