Lagrangeova metóda variácie ľubovoľných konštánt. Metóda variácie ľubovoľných konštánt

Metóda variácie ľubovoľných konštánt sa používa na riešenie nehomogénnych diferenciálnych rovníc. Táto lekcia je určená tým žiakom, ktorí sa už v danej téme viac či menej orientujú. Ak sa s diaľkovým ovládačom ešte len začínate zoznamovať, t.j. Ak ste čajník, odporúčam začať prvou lekciou: Diferenciálne rovnice prvého rádu. Príklady riešení. A ak už končíte, zahoďte, prosím, možnú predpojatú predstavu, že metóda je náročná. Pretože je jednoduchý.

V akých prípadoch sa používa metóda variácie ľubovoľných konštánt?

1) Na riešenie možno použiť metódu variácie ľubovoľnej konštanty lineárny nehomogénny DE 1. rádu. Keďže rovnica je prvého rádu, potom konštanta (konštanta) je tiež jedna.

2) Metóda variácie ľubovoľných konštánt sa používa na riešenie niektorých lineárne nehomogénne rovnice druhého rádu. Tu sa menia dve konštanty (konštanty).

Je logické predpokladať, že lekcia bude pozostávať z dvoch odsekov .... Tak som napísal tento návrh a 10 minút som bolestne premýšľal, aké ďalšie inteligentné svinstvo pridať hladký prechod Komu praktické príklady. Ale z nejakého dôvodu po sviatkoch nie sú žiadne myšlienky, hoci sa zdá, že som nič nezneužil. Poďme teda rovno na prvý odsek.

Metóda ľubovoľnej konštantnej variácie
pre lineárnu nehomogénnu rovnicu prvého rádu

Pred zvážením metódy variácie ľubovoľnej konštanty je žiaduce oboznámiť sa s článkom Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu. Na tej hodine sme cvičili prvý spôsob riešenia nehomogénne DE 1. rádu. Toto prvé riešenie, pripomínam, sa volá náhradná metóda alebo Bernoulliho metóda(nezamieňať s Bernoulliho rovnica!!!)

Teraz zvážime druhý spôsob riešenia– metóda variácie ľubovoľnej konštanty. Uvediem len tri príklady a vezmem ich z vyššie uvedenej lekcie. Prečo tak málo? Pretože v skutočnosti riešenie druhým spôsobom bude veľmi podobné riešeniu prvým spôsobom. Okrem toho sa podľa mojich pozorovaní metóda variácie ľubovoľných konštánt používa menej často ako metóda náhrady.

Príklad 1

(Odlišuje sa od príkladu č. 2 lekcie Lineárne nehomogénne DE 1. rádu)

Riešenie: Táto rovnica je lineárna nehomogénna a má známy tvar:

Prvým krokom je vyriešiť jednoduchšiu rovnicu:
To znamená, že hlúpo anulujeme pravá strana Namiesto toho napíšeme nulu.
Rovnica zavolám pomocná rovnica.

V tomto príklade musíte vyriešiť nasledujúcu pomocnú rovnicu:

Pred nami oddeliteľná rovnica, ktorého riešenie (dúfam) už pre vás nie je ťažké:

Takto:
je všeobecné riešenie pomocnej rovnice .

Na druhom kroku nahradiť stálica niektorých ešte neznáma funkcia, ktorá závisí od "x":

Odtiaľ pochádza názov metódy - variujeme konštantu . Alternatívne môže byť konštanta nejaká funkcia, ktorú teraz musíme nájsť.

IN originálny nehomogénna rovnica Poďme nahradiť:

Nahradiť a do rovnice :

kontrolný moment - dva výrazy na ľavej strane sa rušia. Ak sa tak nestane, mali by ste hľadať chybu vyššie.

V dôsledku nahradenia sa získa rovnica s oddeliteľnými premennými. Oddeľte premenné a integrujte.

Aké požehnanie, aj exponenty sa zmenšujú:

K nájdenej funkcii pridáme „normálnu“ konštantu:

V záverečnej fáze si pripomíname našu náhradu:

Funkcia práve nájdená!

Takže všeobecné riešenie je:

odpoveď: spoločné rozhodnutie:

Ak si vytlačíte dve riešenia, ľahko si všimnete, že v oboch prípadoch sme našli rovnaké integrály. Jediný rozdiel je v algoritme riešenia.

Teraz niečo zložitejšie, vyjadrím sa aj k druhému príkladu:

Príklad 2

Nájdite všeobecné riešenie Diferenciálnej rovnice
(Odlišuje sa od príkladu č. 8 lekcie Lineárne nehomogénne DE 1. rádu)

Riešenie: Prinášame rovnicu do formulára :

Nastavte pravú stranu na nulu a vyriešte pomocnú rovnicu:

Všeobecné riešenie pomocnej rovnice:

V nehomogénnej rovnici vykonáme substitúciu:

Podľa pravidla diferenciácie produktov:

Nahradiť a k originálu homogénna rovnica :

Dva výrazy na ľavej strane sa rušia, čo znamená, že sme na správnej ceste:

Integrujeme po častiach. Chutné písmeno zo vzorca na integráciu po častiach je už zahrnuté v riešení, takže používame napríklad písmená "a" a "be":

Teraz sa pozrime na náhradu:

odpoveď: spoločné rozhodnutie:

A jeden príklad pre vlastné riešenie:

Príklad 3

Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice zodpovedajúce danej počiatočnej podmienke.

,
(Rozdiel z príkladu lekcie 4 Lineárne nehomogénne DE 1. rádu)
Riešenie:
Toto DE je lineárne nehomogénne. Používame metódu variácie ľubovoľných konštánt. Poďme vyriešiť pomocnú rovnicu:

Oddeľujeme premenné a integrujeme:

Spoločné rozhodnutie:
V nehomogénnej rovnici vykonáme substitúciu:

Urobme náhradu:

Takže všeobecné riešenie je:

Nájdite konkrétne riešenie zodpovedajúce danej počiatočnej podmienke:

odpoveď: súkromné ​​riešenie:

Riešenie na konci hodiny môže slúžiť ako približný model na dokončenie zadania.

Metóda variácie ľubovoľných konštánt
pre lineárnu nehomogénnu rovnicu druhého rádu
s konštantné koeficienty

Často bolo počuť názor, že metóda variácie ľubovoľných konštánt pre rovnicu druhého rádu nie je jednoduchá vec. Ale myslím si, že toto: s najväčšou pravdepodobnosťou sa táto metóda mnohým zdá ťažká, pretože nie je taká bežná. V skutočnosti však neexistujú žiadne zvláštne ťažkosti - priebeh rozhodnutia je jasný, transparentný a zrozumiteľný. A krásny.

Pre zvládnutie metódy je žiadúce vedieť riešiť nehomogénne rovnice druhého rádu výberom konkrétneho riešenia podľa tvaru pravej strany. Táto metóda podrobne rozobraté v článku. Nehomogénne DE 2. rádu. Pripomíname, že lineárna nehomogénna rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi má tvar:

Metóda výberu, ktorá bola uvažovaná v predchádzajúcej lekcii, funguje len v obmedzenom počte prípadov, keď sú polynómy, exponenty, sínusy, kosínusy na pravej strane. Ale čo robiť, keď je na pravej strane napríklad zlomok, logaritmus, dotyčnica? V takejto situácii prichádza na pomoc metóda variácie konštánt.

Príklad 4

Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice druhého rádu

Riešenie: Na pravej strane tejto rovnice je zlomok, takže môžeme okamžite povedať, že metóda výberu konkrétneho riešenia nefunguje. Používame metódu variácie ľubovoľných konštánt.

Nič nepredstavuje búrku, začiatok riešenia je celkom obyčajný:

Poďme nájsť spoločné rozhodnutie zodpovedajúce homogénne rovnice:

Zostavíme a vyriešime charakteristickú rovnicu:


– získajú sa korene konjugovaného komplexu, takže všeobecné riešenie je:

Venujte pozornosť záznamu všeobecného riešenia - ak existujú zátvorky, otvorte ich.

Teraz urobíme takmer rovnaký trik ako pri rovnici prvého poriadku: meníme konštanty a nahrádzame ich neznámymi funkciami. teda všeobecné riešenie nehomogénneho Budeme hľadať rovnice v tvare:

Kde - ešte neznáme funkcie.

Vyzerá to ako smetisko, ale teraz všetko vytriedime.

Deriváty funkcií pôsobia ako neznáme. Naším cieľom je nájsť derivácie a nájdené derivácie musia spĺňať prvú aj druhú rovnicu systému.

Odkiaľ pochádzajú „hry“? Prináša ich bocian. Pozrieme sa na predtým získané všeobecné riešenie a napíšeme:

Poďme nájsť deriváty:

Zaoberal sa ľavou stranou. Čo je napravo?

je pravá strana pôvodnej rovnice, v tomto prípade:

Koeficient je koeficient pri druhej derivácii:

V praxi takmer vždy a náš príklad nie je výnimkou.

Všetko je vyčistené, teraz môžete vytvoriť systém:

Systém je zvyčajne vyriešený podľa Cramerových vzorcov pomocou štandardného algoritmu. Jediný rozdiel je v tom, že namiesto čísel máme funkcie.

Nájdite hlavný determinant systému:

Ak ste zabudli, ako sa odhalí determinant „dva po dvoch“, pozrite si lekciu Ako vypočítať determinant? Odkaz vedie na tabuľu hanby =)

Takže: , takže systém má jedinečné riešenie.

Nájdeme derivát:

To však nie je všetko, zatiaľ sme našli len derivát.
Samotná funkcia sa obnoví integráciou:

Pozrime sa na druhú funkciu:

Tu pridáme „normálnu“ konštantu

V záverečnej fáze riešenia si pripomenieme, v akej forme sme hľadali všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice? V takej:

Požadované funkcie práve nájdené!

Zostáva vykonať náhradu a zapísať odpoveď:

odpoveď: spoločné rozhodnutie:

V zásade by odpoveď mohla otvárať zátvorky.

Úplná kontrola odpoveď sa vykonáva podľa štandardnej schémy, ktorá bola zohľadnená v lekcii Nehomogénne DE 2. rádu. Overenie však nebude jednoduché, pretože musíme nájsť dosť ťažké deriváty a vykonať ťažkopádnu substitúciu. Toto je nepríjemná funkcia, keď riešite takéto rozdiely.

Príklad 5

Riešte diferenciálnu rovnicu metódou variácie ľubovoľných konštánt

Toto je príklad „urob si sám“. V skutočnosti je aj pravá strana zlomkom. Pamätáme si trigonometrický vzorec, mimochodom, bude potrebné ho aplikovať v priebehu riešenia.

Metóda variácie ľubovoľných konštánt je najviac univerzálna metóda. Môžu vyriešiť akúkoľvek rovnicu, ktorá sa dá vyriešiť spôsob výberu konkrétneho riešenia podľa tvaru pravej strany. Vynára sa otázka, prečo aj tam nepoužiť metódu variácie ľubovoľných konštánt? Odpoveď je zrejmá: výber konkrétneho riešenia, o ktorom sa v lekcii uvažovalo Nehomogénne rovnice druhého rádu, výrazne urýchľuje riešenie a redukuje zápis - žiadne motanie sa s determinantmi a integrálmi.

Zvážte dva príklady s Cauchy problém.

Príklad 6

Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice zodpovedajúce daným počiatočným podmienkam

,

Riešenie: Opäť zlomok a exponent v zaujímavé miesto.
Používame metódu variácie ľubovoľných konštánt.

Poďme nájsť spoločné rozhodnutie zodpovedajúce homogénne rovnice:



– získajú sa rôzne skutočné korene, takže všeobecné riešenie je:

Všeobecné riešenie nehomogénnych hľadáme rovnice v tvare: , kde - ešte neznáme funkcie.

Vytvorme si systém:

V tomto prípade:
,
Hľadanie derivátov:
,

Takto:

Systém riešime pomocou Cramerových vzorcov:
, takže systém má jedinečné riešenie.

Funkciu obnovíme integráciou:

Používa sa tu spôsob uvedenia funkcie pod diferenciálne znamienko.

Obnovíme druhú funkciu integráciou:

Takýto integrál je vyriešený variabilná substitučná metóda:

Zo samotnej výmeny vyjadrujeme:

Takto:

Tento integrál možno nájsť metóda výberu plného štvorca, ale v príkladoch s difúrmi preferujem rozšírenie zlomku metóda neurčitých koeficientov:

Našli sa obe funkcie:

Výsledkom je, že všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice je:

Nájdite konkrétne riešenie, ktoré spĺňa počiatočné podmienky .

Technicky sa hľadanie riešenia uskutočňuje štandardným spôsobom, o ktorom sa hovorilo v článku. Nehomogénne diferenciálne rovnice druhého rádu.

Počkajte, teraz nájdeme derivát nájdeného všeobecného riešenia:

Tu je taká hanba. Netreba to zjednodušovať, jednoduchšie je hneď zostaviť sústavu rovníc. Podľa počiatočných podmienok :

Nahraďte nájdené hodnoty konštánt do všeobecného riešenia:

V odpovedi môžu byť logaritmy trochu zabalené.

odpoveď: súkromné ​​riešenie:

Ako vidíte, ťažkosti môžu nastať v integráloch a deriváciách, ale nie v algoritme metódy variácie ľubovoľných konštánt. Nebol som to ja, kto ťa zastrašil, toto všetko je zbierka Kuznecova!

Na uvoľnenie posledný, jednoduchší, samoriešiaci príklad:

Príklad 7

Vyriešte Cauchyho problém

,

Príklad je jednoduchý, ale kreatívny, keď robíte systém, pred rozhodnutím si ho pozorne pozrite ;-),




V dôsledku toho je všeobecné riešenie:

Nájdite konkrétne riešenie zodpovedajúce počiatočným podmienkam .



Nájdené hodnoty konštánt dosadíme do všeobecného riešenia:

odpoveď: súkromné ​​riešenie:

Prejdime k úvahe o lineárnych nehomogénnych diferenciálnych rovniciach tvaru

Kde - požadovaná argumentačná funkcia a funkcie



sú dané a pokračujú v nejakom intervale
.

Zavedme do úvahy lineárnu homogénnu rovnicu, ľavá strana ktorá sa zhoduje s ľavou stranou nehomogénnej rovnice (2.31),

Zavolá sa rovnica tvaru (2.32). homogénna rovnica zodpovedajúca nehomogénnej rovnici (2.31).

Platí nasledujúca veta o štruktúre všeobecného riešenia nehomogénnej lineárnej rovnice (2.31).

Veta 2.6. Všeobecné riešenie lineárnej nehomogénnej rovnice (2.31) v obore

je súčet ktoréhokoľvek z jej partikulárnych riešení a všeobecného riešenia zodpovedajúcej homogénnej rovnice (2.32) v obore (2.33), t.j.

Kde - konkrétne riešenie rovnice (2.31),
je fundamentálny systém riešení homogénnej rovnice (2.32), a
sú ľubovoľné konštanty.

Dôkaz tejto vety možno nájsť v .

Na príklade diferenciálnej rovnice druhého rádu uvádzame metódu, pomocou ktorej možno nájsť konkrétne riešenie lineárnej nehomogénnej rovnice. Táto metóda sa nazýva Variácie ľubovoľných konštánt Lagrangeovou metódou.

Dajme teda nehomogénnu lineárnu rovnicu

(2.35)

kde koeficienty
a pravú stranu
nepretržite v nejakom intervale
.

Označiť podľa
A
základná sústava riešení homogénnej rovnice

(2.36)

Potom má jeho všeobecné riešenie formu

(2.37)

Kde A sú ľubovoľné konštanty.

Budeme hľadať riešenie rovnice (2.35) v rovnakom tvare , ako aj všeobecné riešenie zodpovedajúcej homogénnej rovnice, nahradenie ľubovoľných konštánt niektorými diferencovateľnými funkciami (meníme ľubovoľné konštanty), tie.

Kde
A
sú niektoré odlíšiteľné funkcie , ktoré sú zatiaľ neznáme a ktoré sa pokúsime určiť tak, aby funkcia (2.38) bola riešením nehomogénnej rovnice (2.35). Diferencovaním oboch strán rovnosti (2.38) dostaneme

Takže pri výpočte žiadne deriváty druhého rádu
A
, požadujeme to všade v
kondícia

Potom pre bude mať

Vypočítajte druhú deriváciu

Nahradenie výrazov za ,,z (2.38), (2.40), (2.41) do rovnice (2.35) dostaneme

Výrazy v hranatých zátvorkách sa rovnajú nule všade
, pretože A - partikulárne riešenia rovnice (2.36). V tomto prípade má (2.42) tvar Spojením tejto podmienky s podmienkou (2.39) dostaneme sústavu rovníc na určenie
A

(2.43)

Posledný systém je systémom dvoch algebraických lineárnych nehomogénnych rovníc vzhľadom na
A
. Determinant tohto systému je Wronského determinantom pre fundamentálny systém riešení ,a preto je všade iná ako nula
. To znamená, že systém (2.43) má jedinečné riešenie. Vyriešiť to akýmkoľvek spôsobom ohľadom
,
Nájsť

Kde
A
sú dobre známe funkcie.

Vykonanie integrácie a zohľadnenie toho, že ako
,
jeden by mal vziať ľubovoľnú jednu dvojicu funkcií, nastavíme konštanty integrácie na nulu. Získajte

Dosadením výrazov (2.44) do vzťahov (2.38) môžeme zapísať požadované riešenie nehomogénnej rovnice (2.35) v tvare

Túto metódu možno zovšeobecniť na nájdenie konkrétneho riešenia lineárnej nehomogénnej rovnice - poradie.

Príklad 2.6. vyriešiť rovnicu
pri
ak funkcie

tvoria základný systém riešení zodpovedajúcej homogénnej rovnice.

Nájdime konkrétne riešenie tejto rovnice. Aby sme to dosiahli, v súlade s Lagrangeovou metódou je potrebné najskôr vyriešiť systém (2.43), ktorý má v našom prípade tvar
Zníženie oboch strán každej z rovníc o dostaneme

Odčítaním prvej rovnice po členoch od druhej rovnice zistíme
a potom to vyplýva z prvej rovnice
Vykonaním integrácie a nastavením integračných konštánt na nulu máme

Konkrétne riešenie tejto rovnice môže byť reprezentované ako

Všeobecné riešenie tejto rovnice má potom tvar

Kde A sú ľubovoľné konštanty.

Nakoniec si všimneme jednu pozoruhodnú vlastnosť, ktorá sa často nazýva princíp ukladania riešení a je opísaná nasledujúcou vetou.

Veta 2.7. Ak medzi tým
funkciu
- partikulárne riešenie rovnice funkcie
konkrétne riešenie rovnice na rovnakom intervale, funkcia
je konkrétne riešenie rovnice

Zvážte teraz lineárnu nehomogénnu rovnicu
. (2)
Nech y 1 ,y 2 ,.., y n je základná sústava riešení a je všeobecným riešením zodpovedajúcej homogénnej rovnice L(y)=0 . Podobne ako v prípade rovníc prvého rádu budeme hľadať riešenie rovnice (2) v tvare
. (3)
Overme si, že riešenie v tejto forme existuje. Aby sme to dosiahli, dosadíme funkciu do rovnice. Na dosadenie tejto funkcie do rovnice nájdeme jej derivácie. Prvý derivát je
. (4)
Pri výpočte druhej derivácie sa na pravej strane (4) objavia štyri členy, pri výpočte tretej derivácie osem členov atď. Preto sa pre uľahčenie ďalších výpočtov predpokladá, že prvý člen v (4) sa rovná nule. S ohľadom na to sa druhá derivácia rovná
. (5)
Z rovnakých dôvodov ako predtým, aj v (5) nastavíme prvý člen rovný nule. nakoniec n-tý derivát rovná sa
. (6)
Nahradením získaných hodnôt derivácií do pôvodnej rovnice máme
. (7)
Druhý člen v (7) sa rovná nule, pretože funkcie y j, j=1,2,..,n sú riešeniami zodpovedajúcej homogénnej rovnice L(y)=0. Kombináciou s predchádzajúcim dostaneme systém algebraické rovnice nájsť funkcie C" j (x)
(8)
Determinant tejto sústavy je Wronského determinant fundamentálnej sústavy riešení y 1 ,y 2 ,..,y n zodpovedajúcej homogénnej rovnice L(y)=0 a preto sa nerovná nule. Preto existuje jedinečné riešenie systému (8). Po jeho nájdení dostaneme funkcie C "j (x), j=1,2,…,n, a následne C j (x), j=1,2,…,n nahradením týchto hodnôt do (3) dostaneme riešenie lineárnej nehomogénnej rovnice.
Opísaná metóda sa nazýva metóda variácie ľubovoľnej konštanty alebo Lagrangeova metóda.

Maximálny odvodený stupeň 2 3 4 5 6

Príklad #1. Nájdite všeobecné riešenie rovnice y "" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Uvažujme zodpovedajúcu homogénnu rovnicu y "" + 4y" + 3y = 0. Jej korene charakteristická rovnica r2 + 4r + 3 = 0 sú -1 a -3. Preto základný systém riešení homogénnej rovnice pozostáva z funkcií y 1 = e - x a y 2 = e -3 x. Hľadáme riešenie nehomogénnej rovnice v tvare y \u003d C 1 (x) e - x + C 2 (x) e -3 x. Na nájdenie derivátov C " 1 , C" 2 zostavíme sústavu rovníc (8)

riešenie, ktoré nájdeme , Integráciou získaných funkcií máme
Konečne sa dostávame

Príklad č. 2. Riešte lineárne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi metódou variácie ľubovoľných konštánt:

y(0) = 1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Riešenie:
Táto diferenciálna rovnica patrí medzi lineárne diferenciálne rovnice s konštantnými koeficientmi.
Riešenie rovnice budeme hľadať v tvare y = e rx . Na tento účel zostavíme charakteristickú rovnicu lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientmi:
r2-6 r + 8 = 0
D = (-6)2 - 418 = 4

Korene charakteristickej rovnice: r 1 = 4, r 2 = 2
Preto základný systém riešení pozostáva z nasledujúcich funkcií:
y 1 \u003d e 4x, y 2 \u003d e 2x
Všeobecné riešenie homogénnej rovnice má tvar:

Hľadajte konkrétne riešenie metódou variácie ľubovoľnej konštanty.
Aby sme našli deriváty C "i, zostavíme systém rovníc:

C" 1 (4e 4x) + C" 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Vyjadrite C" 1 z prvej rovnice:
C" 1 \u003d -c 2 e -2x
a nahradiť v druhom. V dôsledku toho dostaneme:
C" 1 \u003d 2 / (e 2x + 2e 4x)
C" 2 \u003d -2e 2x / (e 2x + 2e 4x)
Integrujeme získané funkcie C" i:
C1 = 2ln(e-2x +2) - e-2x + C*1
C2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Pretože , potom zapíšeme výsledné výrazy v tvare:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice má teda tvar:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
alebo
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Konkrétne riešenie nájdeme za podmienky:
y(0) = 1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Dosadením x = 0 do nájdenej rovnice dostaneme:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3 ln3
Nájdeme prvú deriváciu získaného všeobecného riešenia:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Nahradením x = 0 dostaneme:
y'(0) = 2(2C1+C2+4ln(3)+ln(3)-2) = 4C1+2C2+10ln(3)-4 = 10ln3

Dostaneme systém dvoch rovníc:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3 ln3
4C 1 + 2C 2 +10ln(3) -4 = 10ln3
alebo
C*1 + C*2 = 2
4C1 + 2C2 = 4
alebo
C*1 + C*2 = 2
2C1 + C2 = 2
Kde:
C1=0, C*2=2
Konkrétne riešenie bude napísané takto:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

Uvažujme lineárnu nehomogénnu diferenciálnu rovnicu s konštantnými koeficientmi ľubovoľného n-tého rádu:
(1) .
Metóda konštantnej variácie, ktorú sme uvažovali pre rovnicu prvého rádu, je použiteľná aj pre rovnice vyšších rádov.

Riešenie sa uskutočňuje v dvoch etapách. V prvej fáze zahodíme pravú stranu a vyriešime homogénnu rovnicu. Výsledkom je riešenie obsahujúce n ľubovoľných konštánt. V druhom kroku meníme konštanty. To znamená, že uvažujeme, že tieto konštanty sú funkciami nezávislej premennej x a nájdeme tvar týchto funkcií.

Síce tu uvažujeme o rovniciach s konštantnými koeficientmi, ale Lagrangeova metóda je tiež použiteľná na riešenie akýchkoľvek lineárnych nehomogénnych rovníc. Na to však treba poznať fundamentálny systém riešení homogénnej rovnice.

Krok 1. Riešenie homogénnej rovnice

Rovnako ako v prípade rovníc prvého rádu, najprv hľadáme všeobecné riešenie homogénnej rovnice, pričom pravú nehomogénnu časť priradíme k nule:
(2) .
Všeobecné riešenie takejto rovnice má tvar:
(3) .
Tu sú ľubovoľné konštanty; - n lineárne nezávislých riešení homogénnej rovnice (2), ktoré tvoria základnú sústavu riešení tejto rovnice.

Krok 2. Variácia konštánt - Nahradenie konštánt funkciami

V druhom kroku sa budeme zaoberať variáciou konštánt. Inými slovami, konštanty nahradíme funkciami nezávislej premennej x :
.
To znamená, že hľadáme riešenie pôvodnej rovnice (1) v nasledujúcom tvare:
(4) .

Ak dosadíme (4) do (1), dostaneme jednu diferenciálnu rovnicu pre n funkcií. V tomto prípade môžeme tieto funkcie spojiť s ďalšími rovnicami. Potom dostanete n rovníc, z ktorých môžete určiť n funkcií. Je možné vytvoriť ďalšie rovnice rôzne cesty. Ale urobíme to tak, aby riešenie malo najjednoduchšiu formu. Aby ste to dosiahli, musíte pri diferencovaní rovnať nule členov obsahujúcich deriváty funkcií. Poďme si to ukázať.

Na dosadenie navrhovaného riešenia (4) do pôvodnej rovnice (1) potrebujeme nájsť derivácie prvých n rádov funkcie zapísanej v tvare (4). Odlíšte (4) aplikáciou pravidlá diferenciácie súčtu a funguje:
.
Poďme zoskupiť členov. Najprv napíšeme výrazy s derivátmi , a potom výrazy s derivátmi :

.
Na funkcie kladieme prvú podmienku:
(5.1) .
Potom výraz pre prvú deriváciu vzhľadom na bude mať jednoduchší tvar:
(6.1) .

Rovnakým spôsobom nájdeme druhú deriváciu:

.
Na funkcie kladieme druhú podmienku:
(5.2) .
Potom
(6.2) .
A tak ďalej. Za ďalších podmienok prirovnávame členy obsahujúce deriváty funkcií k nule.

Ak teda pre funkcie zvolíme nasledujúce dodatočné rovnice:
(5.k) ,
potom prvé deriváty vzhľadom na budú mať najjednoduchší tvar:
(6.k) .
Tu .

Nájdeme n-tú deriváciu:
(6.n)
.

Do pôvodnej rovnice (1) dosadíme:
(1) ;






.
Berieme do úvahy, že všetky funkcie spĺňajú rovnicu (2):
.
Potom súčet členov, ktoré obsahujú, dáva nulu. V dôsledku toho dostaneme:
(7) .

Výsledkom je, že máme systém lineárne rovnice pre deriváty:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Pri riešení tohto systému nájdeme výrazy pre derivácie ako funkcie x . Integráciou získame:
.
Tu sú konštanty, ktoré už nezávisia od x. Dosadením do (4) dostaneme všeobecné riešenie pôvodnej rovnice.

Všimnite si, že sme nikdy nepoužili skutočnosť, že koeficienty ai sú konštantné na určenie hodnôt derivácií. Preto Lagrangeova metóda je použiteľná na riešenie akýchkoľvek lineárnych nehomogénnych rovníc, ak je známa základná sústava riešení homogénnej rovnice (2).

Príklady

Riešiť rovnice metódou variácie konštánt (Lagrange).

Uvažujme lineárnu nehomogénnu diferenciálnu rovnicu prvého rádu:
(1) .
Existujú tri spôsoby riešenia tejto rovnice:

• metóda konštantnej variácie (Lagrange).

Uvažujme o riešení lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu Lagrangeovou metódou.

Metóda konštantnej variácie (Lagrange)

V metóde konštantnej variácie riešime rovnicu v dvoch krokoch. V prvej fáze zjednodušíme pôvodnú rovnicu a vyriešime homogénnu rovnicu. V druhej fáze nahradíme integračnú konštantu získanú v prvej fáze riešenia funkciou. Potom hľadáme všeobecné riešenie pôvodnej rovnice.

Zvážte rovnicu:
(1)

Krok 1 Riešenie homogénnej rovnice

Hľadáme riešenie homogénnej rovnice:

Toto je oddeliteľná rovnica

Samostatné premenné - vynásobte dx, vydeľte y:

Integrujeme:

Integrál nad y - tabuľkový:

Potom

Zosilniť:

Konštantu e C nahraďme C a odstránime znamienko modulu, ktoré sa redukuje na násobenie konštantou ±1, ktoré zaraďujeme do C :

Krok 2 Nahraďte konštantu C funkciou

Teraz nahradíme konštantu C funkciou x:
c → u (X)
To znamená, že budeme hľadať riešenie pôvodnej rovnice (1) ako:
(2)
Nájdeme derivát.

Podľa pravidla diferenciácie komplexnej funkcie:
.
Podľa pravidla diferenciácie produktov:

.
Dosadíme do pôvodnej rovnice (1) :
(1) ;

.
Dva termíny sa redukujú:
;
.
Integrujeme:
.
Nahradiť v (2) :
.
Výsledkom je všeobecné riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu:
.

Príklad riešenia lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu Lagrangeovou metódou

vyriešiť rovnicu

Riešenie

Riešime homogénnu rovnicu:

Oddelenie premenných:

Vynásobme:

Integrujeme:

Tabuľkové integrály:

Zosilniť:

Nahraďme konštantu e C za C a odstránime znamienka modulu:

Odtiaľ:

Nahraďme konštantu C funkciou x :
c → u (X)

Nájdeme derivát:
.
Do pôvodnej rovnice dosadíme:
;
;
alebo:
;
.
Integrujeme:
;
Riešenie rovnice:
.