Tento odsek bude diskutovať špeciálny prípad lineárne rovnice druhého rádu, keď sú koeficienty rovnice konštantné, teda sú to čísla. Takéto rovnice sa nazývajú rovnice s konštantnými koeficientmi. Tento typ rovníc nachádza obzvlášť široké uplatnenie.

1. Lineárne homogénne diferenciálne rovnice

druhého rádu s konštantnými koeficientmi

Zvážte rovnicu

v ktorých sú koeficienty konštantné. Za predpokladu, že delenie všetkých členov rovnice a označovanie

Zapíšme túto rovnicu do tvaru

Ako je známe, na nájdenie všeobecného riešenia lineárnej homogénnej rovnice druhého rádu stačí poznať jej základný systém čiastočných riešení. Ukážme si, ako nájsť fundamentálny systém parciálnych riešení pre homogénnu lineárnu diferenciálnu rovnicu s konštantnými koeficientmi. Budeme hľadať konkrétne riešenie tejto rovnice vo forme

Dvojnásobným derivovaním tejto funkcie a dosadením výrazov do rovnice (59) dostaneme

Od , potom znížením o dostaneme rovnicu

Z tejto rovnice sú určené tie hodnoty k, pre ktoré bude funkcia riešením rovnice (59).

Algebraická rovnica (61) na určenie koeficientu k sa nazýva charakteristická rovnica tejto diferenciálnej rovnice (59).

Charakteristická rovnica je rovnica druhého stupňa, a preto má dva korene. Tieto korene môžu byť buď skutočne odlišné, skutočné a rovnaké, alebo môžu byť komplexne konjugované.

Uvažujme, akú formu má základný systém jednotlivých riešení v každom z týchto prípadov.

1. Korene charakteristickej rovnice sú skutočné a rôzne: . V tomto prípade pomocou vzorca (60) nájdeme dve čiastkové riešenia:

Tieto dve konkrétne riešenia tvoria základný systém riešení na celej číselnej osi, keďže Wronského determinant nikde nezaniká:

teda spoločné rozhodnutie rovnica podľa vzorca (48) má tvar

2. Korene charakteristickej rovnice sa rovnajú: . V tomto prípade budú oba korene skutočné. Pomocou vzorca (60) dostaneme len jedno konkrétne riešenie

Ukážme, že druhé partikulárne riešenie, ktoré spolu s prvým tvorí fundamentálny systém, má formu

Najprv si overme, že funkcia je riešením rovnice (59). naozaj,

Ale keďže existuje koreň charakteristickej rovnice (61). Okrem toho, podľa Vietovej vety, Preto . V dôsledku toho, t.j. funkcia je skutočne riešením rovnice (59).

Ukážme teraz, že nájdené čiastkové riešenia tvoria základný systém riešení. naozaj,

V tomto prípade má teda všeobecné riešenie homogénnej lineárnej rovnice tvar

3. Korene charakteristickej rovnice sú zložité. Ako je známe, komplexné korene kvadratickej rovnice s reálnymi koeficientmi sú konjugované komplexné čísla, to znamená, že majú tvar: . V tomto prípade budú mať čiastkové riešenia rovnice (59) podľa vzorca (60) tvar:

Pomocou Eulerových vzorcov (pozri kapitolu XI, § 5, odsek 3) možno výrazy zapísať ako:

Tieto riešenia sú komplexné. Ak chcete získať platné riešenia, zvážte nové funkcie

Sú to lineárne kombinácie riešení, a preto sú sami riešením rovnice (59) (pozri § 3, bod 2, veta 1).

Je ľahké ukázať, že Wronského determinant pre tieto riešenia je nenulový, a preto riešenia tvoria základný systém riešení.

Všeobecné riešenie homogénnej lineárnej diferenciálnej rovnice v prípade komplexných koreňov charakteristickej rovnice má teda tvar

Na záver uvádzame tabuľku vzorcov pre všeobecné riešenie rovnice (59) v závislosti od typu koreňov charakteristickej rovnice.

Rovnica

kde a sú spojité funkcie v intervale sa nazýva nehomogénna lineárna diferenciálna rovnica druhého rádu, funkcie a sú jej koeficienty. Ak je v tomto intervale, rovnica má tvar:

a nazýva sa homogénna lineárna diferenciálna rovnica druhého rádu. Ak rovnica (**) má rovnaké koeficienty ako rovnica (*), potom sa nazýva homogénna rovnica zodpovedajúca nehomogénnej rovnici (*).

Homogénne lineárne diferenciálne rovnice druhého rádu

Vpustite lineárnu rovnicu

A sú konštantné reálne čísla.

Budeme hľadať konkrétne riešenie rovnice v tvare funkcie , kde je reálne alebo komplexné číslo, ktoré sa má určiť. Odlíšením podľa dostaneme:

Dosadením do pôvodnej diferenciálnej rovnice dostaneme:

Ak teda vezmeme do úvahy, že máme:

Táto rovnica sa nazýva charakteristická rovnica homogénnej lineárnej diferenciálnej rovnice. Charakteristická rovnica umožňuje nájsť. Toto je rovnica druhého stupňa, takže má dva korene. Označme ich pomocou a . Možné sú tri prípady:

1) Korene sú skutočné a odlišné. V tomto prípade je všeobecným riešením rovnice:

Príklad 1

2) Korene sú skutočné a rovnocenné. V tomto prípade je všeobecným riešením rovnice:

Príklad2

Ocitli ste sa na tejto stránke a pokúšate sa vyriešiť problém na skúšku alebo test? Ak ste skúšku stále nezvládli, nabudúce si vopred dohodnite stretnutie na webe o online pomoci z vyššej matematiky.

Charakteristická rovnica má tvar:

Riešenie charakteristickej rovnice:

Všeobecné riešenie pôvodnej diferenciálnej rovnice je:

3) Komplexné korene. V tomto prípade je všeobecným riešením rovnice:

Príklad 3

Charakteristická rovnica má tvar:

Riešenie charakteristickej rovnice:

Všeobecné riešenie pôvodnej diferenciálnej rovnice je:

Nehomogénne lineárne diferenciálne rovnice druhého rádu

Uvažujme teraz o riešení niektorých typov lineárnych nehomogénna rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi

kde a sú konštantné reálne čísla, je známa spojitá funkcia v intervale . Na nájdenie všeobecného riešenia takejto diferenciálnej rovnice je potrebné poznať všeobecné riešenie príslušnej homogénnej diferenciálnej rovnice a partikulárne riešenie. Pozrime sa na niektoré prípady:

Hľadáme aj čiastočné riešenie diferenciálnej rovnice v tvare kvadratického trinomu:

Ak 0 je jeden koreň charakteristickej rovnice, potom

Ak 0 je dvojitý koreň charakteristickej rovnice, potom

Situácia je podobná, ak ide o polynóm ľubovoľného stupňa

Príklad 4

Vyriešme zodpovedajúcu homogénnu rovnicu.

Charakteristická rovnica:

Všeobecné riešenie homogénnej rovnice:

Nájdime konkrétne riešenie nehomogénnej difúznej rovnice:

Dosadením nájdených derivácií do pôvodnej diferenciálnej rovnice dostaneme:

Požadované konkrétne riešenie:

Všeobecné riešenie pôvodnej diferenciálnej rovnice je:

Hľadáme konkrétne riešenie v tvare , kde je neurčený koeficient.

Dosadením a do pôvodnej diferenciálnej rovnice získame identitu, z ktorej nájdeme koeficient.

Ak je koreň charakteristickej rovnice, potom hľadáme konkrétne riešenie pôvodnej diferenciálnej rovnice v tvare , kedy je jednoduchý koreň a , kedy je dvojitý koreň.

Príklad 5

Charakteristická rovnica:

Všeobecné riešenie zodpovedajúcej homogénnej diferenciálnej rovnice je:

Nájdime konkrétne riešenie zodpovedajúcej nehomogénnej diferenciálnej rovnice:

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice:

V tomto prípade hľadáme konkrétne riešenie vo forme trigonometrického binomu:

kde a sú neurčené koeficienty

Dosadením a do pôvodnej diferenciálnej rovnice získame identitu, z ktorej nájdeme koeficienty.

Tieto rovnice určujú koeficienty a okrem prípadu, kedy (alebo kedy - korene charakteristickej rovnice). V druhom prípade hľadáme konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice v tvare:

Príklad6

Charakteristická rovnica:

Všeobecné riešenie zodpovedajúcej homogénnej diferenciálnej rovnice je:

Nájdime konkrétne riešenie nehomogénnej difúznej rovnice

Dosadením do pôvodnej diferenciálnej rovnice dostaneme:

Všeobecné riešenie pôvodnej diferenciálnej rovnice je:

Konvergencia číselných radov
Je uvedená definícia konvergencie radu a podrobne sú rozobraté problémy na štúdium konvergencie číselných radov – porovnávacie testy, d’Alembertov test konvergencie, Cauchyho test konvergencie a integrálny Cauchyho test konvergencie⁡.

Absolútna a podmienená konvergencia radov
Stránka rozoberá striedavé rady, ich podmienenú a absolútnu konvergenciu, Leibnizov test konvergencie pre striedavé rady - obsahuje stručnú teóriu k téme a príklad riešenia úlohy.

Tu použijeme metódu variácie Lagrangeových konštánt na riešenie lineárnych nehomogénnych diferenciálne rovnice druhá objednávka. Detailný popis táto metóda riešenia rovníc ľubovoľného poradia je popísaná na stránke
Riešenie lineárnych nehomogénnych diferenciálnych rovníc vyšších rádov Lagrangeovou metódou >>>.

Príklad 1

Vyriešte diferenciálnu rovnicu druhého rádu s konštantnými koeficientmi pomocou metódy variácie Lagrangeových konštánt:
(1)

Riešenie

Najprv vyriešime homogénnu diferenciálnu rovnicu:
(2)

Toto je rovnica druhého rádu.

Riešenie kvadratickej rovnice:
.
Viaceré korene: . Základný systém riešení rovnice (2) má tvar:
(3) .
Odtiaľ dostaneme všeobecné riešenie homogénnej rovnice (2):
(4) .

Zmena konštánt C 1 a C 2 . To znamená, že konštanty v (4) nahradíme funkciami:
.
Hľadáme riešenie pôvodnej rovnice (1) v tvare:
(5) .

Nájdenie derivátu:
.
Spojme funkcie a rovnicu:
(6) .
Potom
.

Nájdeme druhú deriváciu:
.
Dosaďte do pôvodnej rovnice (1):
(1) ;



.
Pretože a spĺňa homogénnu rovnicu (2), súčet členov v každom stĺpci posledných troch riadkov dáva nulu a predchádzajúca rovnica má tvar:
(7) .
Tu .

Spolu s rovnicou (6) získame sústavu rovníc na určenie funkcií a:
(6) :
(7) .

Riešenie sústavy rovníc

Riešime sústavu rovníc (6-7). Zapíšme si výrazy pre funkcie a:
.
Nájdeme ich deriváty:
;
.

Sústavu rovníc (6-7) riešime Cramerovou metódou. Vypočítame determinant matice systému:

.
Pomocou Cramerových vzorcov nájdeme:
;
.

Takže sme našli deriváty funkcií:
;
.
Poďme integrovať (pozri Metódy integrácie koreňov). Vykonanie náhrady
; ; ; .

.
.

;
.

Odpoveď

Príklad 2

Riešte diferenciálnu rovnicu metódou variácie Lagrangeových konštánt:
(8)

Riešenie

Krok 1. Riešenie homogénnej rovnice

Riešime homogénnu diferenciálnu rovnicu:

(9)
Hľadáme riešenie vo forme . Zostavovanie charakteristická rovnica:

Táto rovnica má zložité korene:
.
Základný systém riešení zodpovedajúci týmto koreňom má tvar:
(10) .
Všeobecné riešenie homogénnej rovnice (9):
(11) .

Krok 2. Variácia konštánt - nahradenie konštánt funkciami

Teraz zmeníme konštanty C 1 a C 2 . To znamená, že konštanty v (11) nahradíme funkciami:
.
Hľadáme riešenie pôvodnej rovnice (8) v tvare:
(12) .

Ďalej je postup riešenia rovnaký ako v príklade 1. Dostávame sa k nasledujúcej sústave rovníc na určenie funkcií a:
(13) :
(14) .
Tu .

Riešenie sústavy rovníc

Poďme vyriešiť tento systém. Zapíšme si výrazy pre funkcie a :
.
Z tabuľky derivátov zistíme:
;
.

Sústavu rovníc (13-14) riešime Cramerovou metódou. Determinant matice systému:

.
Pomocou Cramerových vzorcov nájdeme:
;
.

.
Pretože znamienko modulu pod logaritmickým znamienkom možno vynechať. Vynásobte čitateľa a menovateľa:
.
Potom
.

Všeobecné riešenie pôvodnej rovnice:


.

V niektorých problémoch fyziky nie je možné stanoviť priamu súvislosť medzi veličinami popisujúcimi proces. Je však možné získať rovnosť obsahujúcu deriváty skúmaných funkcií. Takto vznikajú diferenciálne rovnice a potreba ich riešenia nájsť neznámu funkciu.

Tento článok je určený pre tých, ktorí stoja pred problémom riešenia diferenciálnej rovnice, v ktorej je neznáma funkcia funkciou jednej premennej. Teória je štruktúrovaná tak, že s nulovými znalosťami diferenciálnych rovníc si dokážete poradiť so svojou úlohou.

Každý typ diferenciálnej rovnice je spojený s metódou riešenia s podrobným vysvetlením a riešením typických príkladov a problémov. Jediné, čo musíte urobiť, je určiť typ diferenciálnej rovnice vášho problému, nájsť podobný analyzovaný príklad a vykonať podobné akcie.

Na úspešné riešenie diferenciálnych rovníc budete potrebovať aj schopnosť nájsť množiny primitívnych integrálov (neurčité integrály) rôznych funkcií. V prípade potreby vám odporúčame pozrieť si časť.

Najprv zvážime typy obyčajných diferenciálnych rovníc prvého rádu, ktoré je možné vyriešiť vzhľadom na deriváciu, potom prejdeme k ODR druhého rádu, potom sa budeme venovať rovniciam vyššieho rádu a skončíme systémami diferenciálne rovnice.

Pripomeňme si, že ak y je funkciou argumentu x.

Diferenciálne rovnice prvého rádu.

Najjednoduchšie diferenciálne rovnice prvého rádu tvaru.

Poďme si napísať pár príkladov takéhoto diaľkového ovládania .

Diferenciálne rovnice možno vyriešiť vzhľadom na deriváciu vydelením oboch strán rovnosti f(x) . V tomto prípade dospejeme k rovnici, ktorá bude ekvivalentná tej pôvodnej pre f(x) ≠ 0. Príklady takýchto ODR sú .

Ak existujú hodnoty argumentu x, pri ktorých funkcie f(x) a g(x) súčasne zanikajú, objavia sa ďalšie riešenia. Dodatočné riešenia rovnice dané x sú ľubovoľné funkcie definované pre tieto hodnoty argumentov. Príklady takýchto diferenciálnych rovníc zahŕňajú:

Diferenciálne rovnice druhého rádu.

Lineárne homogénne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi.

LDE s konštantnými koeficientmi je veľmi bežným typom diferenciálnej rovnice. Ich riešenie nie je nijak zvlášť náročné. Najprv sa nájdu korene charakteristickej rovnice . Pre rôzne p a q sú možné tri prípady: korene charakteristickej rovnice môžu byť skutočné a rôzne, skutočné a zhodné alebo komplexné konjugáty. V závislosti od hodnôt koreňov charakteristickej rovnice je všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice napísané ako , alebo , resp.

Uvažujme napríklad lineárnu homogénnu diferenciálnu rovnicu druhého rádu s konštantnými koeficientmi. Korene jeho charakteristickej rovnice sú k 1 = -3 a k 2 = 0. Korene sú skutočné a rôzne, preto všeobecné riešenie LODE s konštantnými koeficientmi má tvar


Lineárne nehomogénne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi.

Všeobecné riešenie LDDE druhého rádu s konštantnými koeficientmi y sa hľadá v tvare súčtu všeobecného riešenia zodpovedajúcej LDDE. a konkrétne riešenie pôvodnej nehomogénnej rovnice, teda . Predchádzajúci odsek je venovaný hľadaniu všeobecného riešenia homogénnej diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientmi. A konkrétne riešenie je určené buď metódou neurčitých koeficientov pre určitý tvar funkcie f(x) na pravej strane pôvodnej rovnice, alebo metódou variácie ľubovoľných konštánt.

Ako príklady LDDE druhého rádu s konštantnými koeficientmi uvádzame


Pre pochopenie teórie a zoznámenie sa s podrobnými riešeniami príkladov vám na stránke ponúkame lineárne nehomogénne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi.

Lineárne homogénne diferenciálne rovnice (LODE) a lineárne nehomogénne diferenciálne rovnice (LNDE) druhého rádu.

Špeciálnym prípadom diferenciálnych rovníc tohto typu sú LODE a LDDE s konštantnými koeficientmi.

Všeobecné riešenie LODE na určitom segmente je reprezentované lineárnou kombináciou dvoch lineárne nezávislých čiastočných riešení y 1 a y 2 tejto rovnice, tj. .

Hlavný problém spočíva práve v hľadaní lineárne nezávislých čiastkových riešení diferenciálnej rovnice tohto typu. Typicky sa konkrétne riešenia vyberajú z nasledujúcich systémov lineárne nezávislých funkcií:


Konkrétne riešenia však nie sú vždy prezentované v tejto forme.

Príkladom LOD je .

Všeobecné riešenie LDDE sa hľadá v tvare , kde je všeobecné riešenie zodpovedajúcej LDDE a je partikulárnym riešením pôvodnej diferenciálnej rovnice. Práve sme hovorili o jej nájdení, ale dá sa určiť pomocou metódy variácie ľubovoľných konštánt.

Môže byť uvedený príklad LNDU .

Diferenciálne rovnice vyšších rádov.

Diferenciálne rovnice, ktoré umožňujú redukciu poriadku.

Poradie diferenciálnej rovnice , ktorá neobsahuje požadovanú funkciu a jej derivácie do k-1 rádu, možno redukovať na n-k nahradením .

V tomto prípade sa pôvodná diferenciálna rovnica zredukuje na . Po nájdení jeho riešenia p(x) zostáva vrátiť sa k zámene a určiť neznámu funkciu y.

Napríklad diferenciálna rovnica po nahradení sa stane rovnicou s oddeliteľnými premennými a jej poradie sa zníži z tretieho na prvé.

Diferenciálne rovnice druhého a vyššieho rádu.
Lineárne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi.
Príklady riešení.

Prejdime k úvahám o diferenciálnych rovniciach druhého rádu a diferenciálnych rovniciach vyššieho rádu. Ak máte nejasnú predstavu o tom, čo je diferenciálna rovnica (alebo vôbec nerozumiete, čo to je), odporúčam začať lekciou Diferenciálne rovnice prvého rádu. Príklady riešení. Mnoho princípov riešenia a základných konceptov difúzií prvého rádu sa automaticky rozširuje na diferenciálne rovnice vyššieho rádu, preto je veľmi dôležité najprv pochopiť rovnice prvého poriadku.

Mnohí čitatelia môžu mať predsudok, že diaľkové ovládanie 2., 3. a ďalších rádov je niečo veľmi ťažké a nedostupné na zvládnutie. Toto je nesprávne . Naučte sa riešiť difúzy vyššia moc sotva komplikovanejšie ako „obyčajné“ DE 1. rádu. A na niektorých miestach je to ešte jednoduchšie, keďže riešenia aktívne využívajú učivo zo školských osnov.

Najpopulárnejší diferenciálne rovnice druhého rádu. K diferenciálnej rovnici druhého rádu Nevyhnutne zahŕňa druhý derivát a nezahŕňa

Treba si uvedomiť, že niektoré bábätká (a dokonca všetky naraz) môžu v rovnici chýbať, dôležité je, aby bol otec doma. Najprimitívnejšia diferenciálna rovnica druhého rádu vyzerá takto:

Diferenciálne rovnice tretieho rádu v praktických úlohách sú podľa mojich subjektívnych pozorovaní oveľa menej bežné, v Štátnej dume by získali asi 3 – 4 % hlasov.

K diferenciálnej rovnici tretieho rádu Nevyhnutne zahŕňa tretiu deriváciu a nezahŕňa deriváty vyšších rádov:

Najjednoduchšia diferenciálna rovnica tretieho rádu vyzerá takto: – otec je doma, všetky deti sú na prechádzke.

Podobným spôsobom môžete definovať diferenciálne rovnice 4., 5. a vyšších rádov. V praktických problémoch takéto riadiace systémy málokedy zlyhajú, pokúsim sa však uviesť relevantné príklady.

Diferenciálne rovnice vyššieho rádu, ktoré sa navrhujú v praktických úlohách, možno rozdeliť do dvoch hlavných skupín.

1) Prvá skupina – tzv rovnice, ktoré je možné postupne redukovať. Poď!

2) Druhá skupina - lineárne rovnice vyšších rádov s konštantnými koeficientmi. Na ktoré sa začneme pozerať práve teraz.

Lineárne diferenciálne rovnice druhého rádu
s konštantnými koeficientmi

V teórii a praxi sa rozlišujú dva typy takýchto rovníc: homogénna rovnica A nehomogénna rovnica.

Homogénna DE druhého rádu s konštantnými koeficientmi Má ďalší pohľad:
, kde a sú konštanty (čísla) a na pravej strane – prísne nula.

Ako vidíte, s homogénnymi rovnicami nie sú žiadne zvláštne ťažkosti, hlavná vec je rozhodnúť sa správne kvadratická rovnica .

Niekedy existujú neštandardné homogénne rovnice, napríklad rovnica vo forme , kde pri druhej derivácii je nejaká konštanta odlišná od jednoty (a prirodzene odlišná od nuly). Algoritmus riešenia sa vôbec nemení, mali by ste pokojne zostaviť charakteristickú rovnicu a nájsť jej korene. Ak je charakteristická rovnica bude mať dva rôzne skutočné korene, napríklad: , potom bude všeobecné riešenie napísané podľa obvyklej schémy: .

V niektorých prípadoch môžu v dôsledku preklepu v podmienke vzniknúť „zlé“ korene, niečo ako . Čo robiť, odpoveď bude musieť byť napísaná takto:

So „zlými“ konjugovanými komplexnými koreňmi ako žiadny problém, všeobecné riešenie:

teda každopádne existuje všeobecné riešenie. Pretože každá kvadratická rovnica má dva korene.

V poslednom odseku, ako som sľúbil, stručne zvážime:

Lineárne homogénne rovnice vyšších rádov

Všetko je veľmi, veľmi podobné.

Lineárna homogénna rovnica tretieho rádu má nasledujúci tvar:
, kde sú konštanty.
Pre túto rovnicu je tiež potrebné vytvoriť charakteristickú rovnicu a nájsť jej korene. Charakteristická rovnica, ako mnohí uhádli, vyzerá takto:
, a to Každopádne Má presne tri koreň

Nech sú napríklad všetky korene skutočné a odlišné: , potom bude všeobecné riešenie napísané takto:

Ak je jeden koreň skutočný a ostatné dva sú konjugované komplexy, potom napíšeme všeobecné riešenie takto:

Špeciálny prípad, keď všetky tri korene sú násobky (rovnaké). Uvažujme o najjednoduchšom homogénnom DE 3. rádu s osamelým otcom: . Charakteristická rovnica má tri zhodné nulové korene. Všeobecné riešenie napíšeme takto:

Ak je charakteristická rovnica má napríklad tri viacnásobné korene, všeobecné riešenie je preto nasledovné:

Príklad 9

Vyriešte homogénnu diferenciálnu rovnicu tretieho rádu

Riešenie: Poďme zostaviť a vyriešiť charakteristickú rovnicu:

, – získa sa jeden skutočný koreň a dva konjugované komplexné korene.

odpoveď: spoločné rozhodnutie

Podobne môžeme uvažovať aj o lineárnej homogénnej rovnici štvrtého rádu s konštantnými koeficientmi: , kde sú konštanty.