Satunnaismuuttujan x jakautumislaki on muotoa. Diskreetti satunnaismuuttuja: esimerkkejä ongelmanratkaisuista

Esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta aiheesta "Satunnaiset muuttujat".

Tehtävä 1 . Arvonnassa jaetaan 100 lippua. Pelattiin yksi voitto 50 USD. ja kymmenen 10 dollarin voittoa. Etsi arvon X jakautumislaki - mahdollisen voiton hinta.

Ratkaisu. X:n mahdolliset arvot: x 1 = 0; x 2 = 10 ja x 3 = 50. Koska "tyhjiä" lippuja on 89, niin s 1 = 0,89, voiton todennäköisyys on 10 c.u. (10 lippua) – s 2 = 0,10 ja voitosta 50 c.u. -s 3 = 0,01. Täten:

	0,89	0,10	0,01

Helppo hallita: .

Tehtävä 2. Todennäköisyys, että ostaja on tutustunut tuotteen ilmoitukseen etukäteen, on 0,6 (p = 0,6). Mainonnan valikoiva laadunvalvonta suoritetaan ostajakyselyllä ennen ensimmäistä ilmoitukseen tutustunutta. Tee sarja jakauma haastateltujen ostajien määrästä.

Ratkaisu. Tehtävän ehdon mukaan p = 0,6. Alkaen: q=1 -p = 0,4. Korvaamalla nämä arvot, saamme: ja rakentaa jakelusarja:

pi		0,24

Tehtävä 3. Tietokone koostuu kolmesta itsenäisesti toimivasta elementistä: järjestelmäyksiköstä, näytöstä ja näppäimistöstä. Yhdellä jyrkällä jännitteen nousulla kunkin elementin vian todennäköisyys on 0,1. Laadi Bernoullin jakauman perusteella jakautumislaki epäonnistuneiden elementtien lukumäärälle verkon tehopiikin aikana.

Ratkaisu. Harkitse Bernoullin jakelu(tai binomi): todennäköisyys, että sisään n testit, tapahtuma A näkyy tarkalleen k kerran: , tai:

	q n					s n

SISÄÄN palataan tehtävään.

X:n mahdolliset arvot (vikojen määrä):

x 0 =0 - mikään elementeistä ei epäonnistunut;

x 1 =1 - yhden elementin vika;

x 2 =2 - kahden elementin vika;

x 3 =3 - kaikkien elementtien vika.

Koska ehdon mukaan p = 0,1, niin q = 1 – p = 0,9. Bernoullin kaavalla saadaan

, ,

, .

Ohjaus: .

Siksi haluttu jakelulaki:

	0,729	0,243	0,027	0,001

Tehtävä 4. Valmistettu 5000 kierrosta. Todennäköisyys, että yksi kasetti on viallinen . Millä todennäköisyydellä koko erässä on täsmälleen 3 viallista patruunaa?

Ratkaisu. Sovellettava Poisson-jakauma: tätä jakaumaa käytetään määrittämään todennäköisyys, että erittäin suuri

kokeiden määrä (massakokeet), joissa kussakin tapahtuman A todennäköisyys on hyvin pieni, tapahtuma A tapahtuu k kertaa: , Missä .

Tässä n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Löydämme sitten halutun todennäköisyyden: .

Tehtävä 5. Ammuttaessa ennen ensimmäistä osumaa osuman todennäköisyydellä p = 0,6 laukausta varten, sinun on löydettävä todennäköisyys, että osuma tapahtuu kolmannella laukauksella.

Ratkaisu. Käytetään geometristä jakaumaa: suoritetaan riippumattomia kokeita, joissa jokaisessa tapahtumalla A on todennäköisyys p:n (ja ei-toistumisen q = 1 - p) esiintymiselle. Kokeilut päättyvät heti, kun tapahtuma A tapahtuu.

Tällaisissa olosuhteissa todennäköisyys, että tapahtuma A tapahtuu k:nnessä testissä, määritetään kaavalla: . Tässä p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k \u003d 3. Siksi .

Tehtävä 6. Olkoon jakelulaki annettu Satunnaismuuttuja X:

löytö odotettu arvo.

Ratkaisu. .

Huomaa, että matemaattisen odotuksen todennäköisyysmerkitys on satunnaismuuttujan keskiarvo.

Tehtävä 7. Etsi satunnaismuuttujan X varianssi seuraavalla jakautumissäännöllä:

Ratkaisu. Tässä .

X:n neliön jakautumislaki 2 :

X 2

Vaadittu varianssi: .

Dispersio kuvaa satunnaismuuttujan poikkeaman (sironta) astetta sen matemaattisesta odotuksesta.

Tehtävä 8. Anna satunnaismuuttuja jakauman avulla:

			10 m

Löydä hänet numeeriset ominaisuudet.

Ratkaisu: m, m 2 ,

M 2 , m.

Satunnaismuuttujasta X voidaan sanoa joko - sen matemaattinen odotus on 6,4 m ja varianssi 13,04 m 2 , tai - sen matemaattinen odotusarvo on 6,4 m ja poikkeama m. Toinen muotoilu on selvästi selkeämpi.

Tehtävä 9. Satunnainen arvo X jakautumisfunktion antama:
.

Määritä todennäköisyys, että arvo X saa testin tuloksena intervallin sisältämän arvon .

Ratkaisu. Todennäköisyys, että X ottaa arvon tietystä intervallista, on yhtä suuri kuin integraalifunktion inkrementti tässä välissä, ts. . Meidän tapauksessamme ja siksi

.

Tehtävä 10. Diskreetti satunnaismuuttuja X jakelulain mukaan:

Etsi jakelufunktio F(x ) ja rakentaa sen kaavio.

Ratkaisu. Koska jakelutoiminto,

varten , Tuo

osoitteessa ;

osoitteessa ;

osoitteessa ;

osoitteessa ;

Asiaankuuluva kaavio:

Tehtävä 11. Jatkuva satunnaismuuttuja X differentiaalijakaumafunktion antama: .

Selvitä osumisen todennäköisyys X väliin

Ratkaisu. Huomaa, että tämä on eksponentiaalisen jakauman lain erikoistapaus.

Käytetään kaavaa: .

Tehtävä 12. Etsi jakaumalain antaman diskreetin satunnaismuuttujan X numeeriset ominaisuudet:

	–5
	X 2 : x2 . , Missä on Laplace-funktio. Tämän funktion arvot löytyvät taulukon avulla. Meidän tapauksessamme: . Taulukon mukaan löydämme:, siis:

Todennäköisyysteorian sovelluksissa kokeen kvantitatiivinen karakterisointi on ensiarvoisen tärkeää. Määrä, joka voidaan mitata ja joka voi kokeen tuloksena kestää tapauskohtaisesti erilaisia ​​merkityksiä, kutsutaan satunnaismuuttuja.

Esimerkkejä satunnaismuuttujista:

1. Parillisen pistemäärän heittojen määrä kymmenessä heitossa noppaa.

2. Sarjan laukaussarjan ampuneen ampujan maaliin osumien määrä.

3. Räjähtävän ammuksen sirpaleiden lukumäärä.

Jokaisessa yllä olevissa esimerkeissä satunnaismuuttuja voi ottaa vain eristettyjä arvoja, toisin sanoen arvoja, jotka voidaan laskea käyttämällä luonnollista numerosarjaa.

Sellaista satunnaismuuttujaa, jonka mahdolliset arvot ovat erillisiä eristettyjä lukuja, jotka tämä muuttuja ottaa tietyillä todennäköisyyksillä, kutsutaan diskreetti.

Diskreetin satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen määrä voi olla äärellinen tai ääretön (laskettavissa).

jakelulaki Diskreettiä satunnaismuuttujaa kutsutaan luetteloksi sen mahdollisista arvoista ja niitä vastaavista todennäköisyyksistä. Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki voidaan määrittää taulukon muodossa (todennäköisyysjakaumasarja), analyyttisesti ja graafisesti (todennäköisyysjakaumapolygoni).

Tätä tai toista koetta suoritettaessa on tarpeen arvioida tutkittava arvo "keskimäärin". Satunnaismuuttujan keskiarvon roolia esittää numeerinen ominaisuus ns matemaattinen odotus, joka määritellään kaavalla

Missä x 1 , x 2 ,.. , x n– satunnaismuuttujan arvot X, A s 1 ,s 2 , ... , s n ovat näiden arvojen todennäköisyydet (huomaa, että s 1 + s 2 +…+ s n = 1).

Esimerkki. Ammunta suoritetaan maaliin (kuva 11).

Osuma I:ssä antaa kolme pistettä, II:ssa kaksi pistettä, III:ssa yhden pisteen. Yhden ampujan yhdellä laukauksella tyrmättyjen pisteiden määrällä on muotoinen jakautumislaki

Ampujien taitojen vertaamiseksi riittää, kun verrataan saavutettujen pisteiden keskiarvoja, ts. matemaattiset odotukset M(X) Ja M(Y):

M(X) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

M(Y) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

Toinen ampuja antaa keskimäärin hieman suuremman pistemäärän, ts. toistuvalla kuvauksella se antaa parhaan tuloksen.

Huomaa matemaattisen odotuksen ominaisuudet:

1. Vakion arvon matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin itse vakio:

M(C) =C.

2. Satunnaismuuttujien summan matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin termien matemaattisten odotusten summa:

M=(X 1 + X 2 +…+ X n)= M(X 1)+ M(X 2)+…+ M(X n).

3. Toisistaan ​​riippumattomien satunnaismuuttujien tulon matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin tekijöiden matemaattisten odotusten tulo

M(X 1 X 2 … X n) = M(X 1)M(X 2)… M(X n).

4. Binomijakauman matemaattinen negaatio on yhtä suuri kuin kokeiden lukumäärän ja tapahtuman todennäköisyyden tulo yhdessä kokeessa (tehtävä 4.6).

M(X) = pr.

Arvioida kuinka satunnaismuuttuja "keskimäärin" poikkeaa matemaattisista odotuksistaan, ts. todennäköisyysteorian satunnaismuuttujien arvojen leviämisen karakterisoimiseksi käytetään dispersion käsitettä.

dispersio Satunnaismuuttuja X kutsutaan neliön poikkeaman matemaattiseksi odotukseksi:

D(X) = M[(X - M(X)) 2 ].

Dispersio on satunnaismuuttujan dispersion numeerinen ominaisuus. Määritelmästä voidaan nähdä, että mitä pienempi satunnaismuuttujan varianssi on, sitä tarkemmin sen mahdolliset arvot sijaitsevat matemaattisen odotuksen ympärillä, eli sitä paremmin satunnaismuuttujan arvot luonnehtivat sen matemaattisella odotus.

Määritelmästä seuraa, että varianssi voidaan laskea kaavalla

.

On kätevää laskea dispersio toisella kaavalla:

D(X) = M(X 2) - (M(X)) 2 .

Dispersiolla on seuraavat ominaisuudet:

1. Vakion dispersio on nolla:

D(C) = 0.

2. Dispersiomerkistä voidaan ottaa vakiokerroin neliöimällä se:

D(CX) = C 2 D(X).

3. Riippumattomien satunnaismuuttujien summan varianssi on yhtä suuri kuin termien varianssien summa:

D(X 1 + X 2 + X 3 +…+ X n)= D(X 1)+ D(X 2)+…+ D(X n)

4. Binomijakauman varianssi on yhtä suuri kuin kokeiden lukumäärän ja tapahtuman esiintymistodennäköisyyden ja toistumisen todennäköisyyden tulo yhdessä kokeessa:

D(X) = npq.

Todennäköisyysteoriassa käytetään usein numeerista ominaisuutta, joka on yhtä suuri kuin satunnaismuuttujan varianssin neliöjuuri. Tätä numeerista ominaisuutta kutsutaan standardipoikkeamaksi ja sitä merkitään symbolilla

.

Se kuvaa satunnaismuuttujan keskiarvosta poikkeaman likimääräistä kokoa ja sillä on sama ulottuvuus kuin satunnaismuuttujalla.

4.1. Ampuja ampuu kolme laukausta maaliin. Todennäköisyys osua maaliin jokaisella laukauksella on 0,3.

Muodosta jakelusarja osumien määrästä.

Ratkaisu. Osumien määrä on diskreetti satunnaismuuttuja X. Jokainen arvo x n Satunnaismuuttuja X vastaa tiettyä todennäköisyyttä P n .

Tässä tapauksessa diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki voidaan asettaa jakelun lähellä.

Tässä tehtävässä X ottaa arvot 0, 1, 2, 3. Bernoullin kaavan mukaan

,

etsi satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen todennäköisyydet:

R 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

R 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

R 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

R 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

Järjestettyään satunnaismuuttujan arvot X nousevassa järjestyksessä saamme jakelusarjan:

X n

Huomaa, että summa

tarkoittaa todennäköisyyttä, että satunnaismuuttuja X ottaa ainakin yhden arvon mahdollisista, ja siksi tämä tapahtuma on varma

.

4.2 .Urnassa on neljä palloa, numeroitu 1-4. Kaksi palloa otetaan ulos. Satunnainen arvo X on pallojen lukujen summa. Muodosta satunnaismuuttujan jakaumasarja X.

Ratkaisu. Satunnaismuuttujan arvot X ovat 3, 4, 5, 6, 7. Etsi vastaavat todennäköisyydet. Arvo 3 satunnaismuuttuja X voi ottaa vain siinä tapauksessa, että yksi valituista palloista on numero 1 ja toinen 2. Testin mahdollisten tulosten määrä on yhtä suuri kuin neljän yhdistelmien lukumäärä (mahdollisten palloparien lukumäärä) kahdella.

Klassisen todennäköisyyskaavan mukaan saamme

Samoin

R(X= 4) =R(X= 6) =R(X= 7) = 1/6.

Summa 5 voi esiintyä kahdessa tapauksessa: 1 + 4 ja 2 + 3, joten

.

X näyttää:

Etsi jakelufunktio F(x) Satunnaismuuttuja X ja piirtää sen. Laske varten X sen matemaattinen odotus ja varianssi.

Ratkaisu. Satunnaismuuttujan jakautumislaki voidaan antaa jakaumafunktiolla

F(x) = P(X x).

jakelutoiminto F(x) on ei-pienenevä, vasemmalle jatkuva funktio, joka on määritetty koko reaaliakselille, while

F (- )= 0,F (+ )= 1.

Diskreetille satunnaismuuttujalle tämä funktio ilmaistaan ​​kaavalla

.

Siksi tässä tapauksessa

Jakaumafunktiokaavio F(x) on porrastettu viiva (kuva 12)

	F(x)

Odotettu arvoM(X) on arvojen painotettu keskiarvo X 1 , X 2 ,……X n Satunnaismuuttuja X painojen kanssa ρ 1, ρ 2, …… , ρ n ja sitä kutsutaan satunnaismuuttujan keskiarvoksi X. Kaavan mukaan

M(X)= x 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 + ……+ x n ρ n

M(X) = 3 0,14 + 5 0,2 + 7 0,49 + 11 0,17 = 6,72.

Dispersio kuvaa satunnaismuuttujan arvojen hajaantumisastetta sen keskiarvosta ja on merkitty D(X):

D(X)=M[(HM(X)) 2 ]= M(X 2) –[M(X)] 2 .

Diskreetin satunnaismuuttujan varianssilla on muoto

tai se voidaan laskea kaavalla

Korvaamalla tehtävän numeeriset tiedot kaavaan, saamme:

M(X 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D(X) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. Kaksi noppaa heitetään kahdesti samaan aikaan. Kirjoita diskreetille satunnaismuuttujalle binomijakauman laki X- parillisen pistemäärän esiintymisten määrä kahdella noppaa.

Ratkaisu. Otetaan huomioon satunnainen tapahtuma

A= (kahdella noppaa yhdellä heitolla putosi yhteensä parillinen määrä pisteitä).

Käyttämällä klassista todennäköisyyden määritelmää löydämme

R(A)= ,

Missä n - testin mahdollisten tulosten lukumäärä selviää säännöllä

kertolaskuja:

n = 6∙6 =36,

m - myönteisten tapahtumien määrä A tulokset - yhtäläiset

m= 3∙6=18.

Siten onnistumisen todennäköisyys yhdessä kokeessa on

ρ = P(A)= 1/2.

Ongelma ratkaistaan ​​käyttämällä Bernoullin testikaaviota. Yksi haaste tässä on heittää kaksi noppaa kerran. Tällaisten testien määrä n = 2. Satunnaismuuttuja X ottaa arvot 0, 1, 2 todennäköisyyksien kanssa

R 2 (0) =,R 2 (1) =∙,R 2 (2) =

Satunnaismuuttujan haluttu binomijakauma X voidaan esittää jakelusarjana:

X n
ρ n

4.5 . Kuuden osan erässä on neljä vakioosaa. Kolme kohdetta valittiin sattumanvaraisesti. Laadi diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma X- vakioosien lukumäärä valittujen joukosta ja löytää sen matemaattinen odotus.

Ratkaisu. Satunnaismuuttujan arvot X ovat luvut 0,1,2,3. Se on selvää R(X=0)=0, koska on vain kaksi epätyypillistä osaa.

R(X=1) =
=1/5,

R(X= 2) =
= 3/5,

R(X=3) =
= 1/5.

Satunnaismuuttujan jakautumislaki X edustaa jakelusarjana:

X n
ρ n

Odotettu arvo

M(X)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Todista, että diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus X- tapahtuman esiintymisten määrä A V nriippumattomat testit, joissa jokaisessa tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri ρ - on yhtä suuri kuin kokeiden määrän tulo yhdessä kokeessa tapahtuvan tapahtuman todennäköisyydellä, toisin sanoen todistaakseen, että binomijakauman matemaattinen odotus

M(X) =n . ρ ,

kun taas varianssi

D(X) =np .

Ratkaisu. Satunnainen arvo X voi ottaa arvot 0, 1, 2…, n. Todennäköisyys R(X= k) löytyy Bernoullin kaavasta:

R(X=k)= R n(k) = ρ Vastaanottaja (1-ρ ) n- Vastaanottaja

Satunnaismuuttujajakauman sarjat X näyttää:

X n
ρ n	q n	ρq n- 1	ρq n- 2		ρ n

Missä q= 1- ρ .

Matemaattista odotusta varten meillä on lauseke:

M(X)=ρq n - 1 +2 ρ 2 q n - 2 +…+.n ρ n

Yhden testin tapauksessa, eli kanssa n= 1 satunnaismuuttujalle X 1 - tapahtuman esiintymisten lukumäärä A- jakelusarjan muoto on:

X n
ρ n

M(X 1)= 0 q + 1 ∙ s = s

D(X 1) = s – s 2 = s(1- s) = pq.

Jos X k - tapahtuman esiintymisten lukumäärä A missä testissä sitten R(X Vastaanottaja)= ρ Ja

X = X 1 +X 2 +….+X n .

Täältä saamme

M(X)=M(X 1 )+M(X 2)+ … +M(X n)= nρ,

D(X)=D(X 1)+D(X 2)+ ... +D(X n)=npq.

4.7. QCD tarkistaa tuotteiden standardoinnin. Todennäköisyys, että kohde on vakio, on 0,9. Jokainen erä sisältää 5 tuotetta. Etsi diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus X- erien lukumäärä, joista jokainen vastaa 4 vakiotuotetta - jos 50 erää on tarkastettava.

Ratkaisu. Todennäköisyys, että jokaisessa satunnaisesti valitussa erässä on 4 vakiotuotetta, on vakio; merkitään se ρ .Sitten satunnaismuuttujan matemaattinen odotus X on yhtä suuri M(X)= 50∙ρ.

Etsitään todennäköisyys ρ Bernoullin kaavan mukaan:

ρ = P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

M(X)= 50∙0,32=16.

4.8 . Kolme noppaa heitetään. Etsi laskettujen pisteiden summan matemaattinen odotus.

Ratkaisu. Löydät satunnaismuuttujan jakauman X- pudonneiden pisteiden summa ja sitten sen matemaattinen odotus. Tämä tapa on kuitenkin liian hankala. On helpompi käyttää toista temppua, joka edustaa satunnaismuuttujaa X, jonka matemaattinen odotus on laskettava useiden yksinkertaisempien satunnaismuuttujien summana, joiden matemaattinen odotus on helpompi laskea. Jos satunnaismuuttuja X i on saatujen pisteiden määrä i- luut ( i= 1, 2, 3), sitten pisteiden summa X muodossa ilmaistuna

X = X 1 + X 2 + X 3 .

Alkuperäisen satunnaismuuttujan matemaattisen odotuksen laskemiseksi jää vain käyttää matemaattisen odotuksen ominaisuutta

M(X 1 + X 2 + X 3 )= M(X 1 )+ M(X 2)+ M(X 3 ).

Se on selvää

R(X i = K)= 1/6, TO= 1, 2, 3, 4, 5, 6, i= 1, 2, 3.

Siksi satunnaismuuttujan matemaattinen odotus X i on muotoa

M(X i) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

M(X) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Määritä testin aikana epäonnistuneiden laitteiden lukumäärän matemaattinen odotus, jos:

a) Vian todennäköisyys kaikille laitteille on sama R, ja testattavien laitteiden määrä on yhtä suuri kuin n;

b) epäonnistumisen todennäköisyys for i – instrumentti on yhtä suuri kuin s i , i= 1, 2, … , n.

Ratkaisu. Olkoon satunnaismuuttuja X on viallisten laitteiden määrä

X = X 1 + X 2 + … + X n ,

X i =

Se on selvää

R(X i = 1)= R i , R(X i = 0)= 1– R i ,i= 1, 2, … ,n.

M(X i)= 1∙R i + 0∙(1-R i)=P i ,

M(X)=M(X 1)+M(X 2)+ … +M(X n)=P 1 +P 2 + ... + P n .

Tapauksessa "a" laitevian todennäköisyys on sama, ts.

R i =p,i= 1, 2, … ,n.

M(X)= np.

Tämä vastaus voitaisiin saada välittömästi, jos huomaisi, että satunnaismuuttuja X Sillä on binomiaalinen jakauma parametreilla ( n, s).

4.10. Kaksi noppaa heitetään kahdesti samaan aikaan. Kirjoita diskreetille satunnaismuuttujalle binomijakauman laki X - parillisen määrän pisteitä esiintymisten määrä kahdella noppaa.

Ratkaisu. Antaa

A=(parillisen luvun menetys ensimmäisellä noppaa),

B =(parillisen luvun menetys toisessa noppassa).

Parillisen luvun menetys molemmilla nopoilla yhdellä heitolla ilmaistaan ​​tuotteella AB. Sitten

R (AB) = R(A)∙R(SISÄÄN) =
.

Kahden nopan toisen heiton tulos ei riipu ensimmäisestä, joten Bernoullin kaavaa voidaan soveltaa, kun

n = 2,p = 1/4, q = 1– p = 3/4.

Satunnainen arvo X voi ottaa arvot 0, 1, 2 , jonka todennäköisyyden löydämme Bernoullin kaavalla:

R(X= 0)= P 2 (0) = q 2 = 9/16,

R(X= 1)= P 2 (1)= C ,R∙q = 6/16,

R(X= 2)= P 2 (2)= C , R 2 = 1/16.

Satunnaismuuttujajakauman sarjat X:

4.11. Laite koostuu suuresta määrästä itsenäisesti toimivia elementtejä, joilla on sama erittäin pieni todennäköisyys, että jokainen elementti rikkoutuu ajan myötä. t. Etsi vikojen keskimääräinen määrä ajan kuluessa t elementtejä, jos todennäköisyys, että ainakin yksi elementti epäonnistuu tänä aikana, on 0,98.

Ratkaisu. Vikojen määrä ajan kuluessa t elementit - satunnaismuuttuja X, joka jakautuu Poissonin lain mukaan, koska elementtien lukumäärä on suuri, elementit toimivat itsenäisesti ja kunkin elementin epäonnistumisen todennäköisyys on pieni. Tapahtuman keskimääräinen esiintymismäärä vuonna n koettelemukset ovat yhtä suuria

M(X) = np.

Epäonnistumisen todennäköisyydestä lähtien TO elementtejä n ilmaistaan ​​kaavalla

R n (TO)
,

missä  = np, niin todennäköisyys, että mikään elementti ei vioittu ajoissa t päästään K = 0:

R n (0)= e -  .

Siksi päinvastaisen tapahtuman todennäköisyys on ajan mittaan t vähintään yksi elementti epäonnistuu - yhtä suuri kuin 1 - e - . Tehtävän ehdon mukaan tämä todennäköisyys on 0,98. Yhtälöstä

1 - e -  = 0,98,

e -  = 1 – 0,98 = 0,02,

täältä  = - ln 0,02  4.

Siis ajan takia t laitteen toiminta epäonnistuu keskimäärin 4 elementillä.

4.12 . Noppia heitetään, kunnes "kaksi" heitetään. Etsi keskimääräinen heittojen määrä.

Ratkaisu. Esittelemme satunnaismuuttujan X- testien määrä, joka on suoritettava, kunnes meitä kiinnostava tapahtuma tapahtuu. Todennäköisyys, että X= 1 on yhtä suuri kuin todennäköisyys, että yhdellä nopanheitolla "kaksi" putoaa, ts.

R(X= 1) = 1/6.

Tapahtuma X= 2 tarkoittaa, että ensimmäisellä kokeilulla "kaksi" ei pudonnut, mutta toisella se putosi. Tapahtuman todennäköisyys X= 2 löydämme riippumattomien tapahtumien todennäköisyyksien kertolaskusäännöllä:

R(X= 2) = (5/6)∙(1/6)

Samoin

R(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

jne. Saamme sarjan todennäköisyysjakaumia:

					(5/6) Vastaanottaja ∙1/6

Keskimääräinen heittojen määrä (kokeet) on matemaattinen odotus

M(X) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + TO (5/6) TO -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + TO (5/6) TO -1 + …)

Katsotaanpa sarjan summa:

TOg TO -1 = (g TO) g 
.

Siten,

M(X) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

Siksi on tarpeen suorittaa keskimäärin 6 nopanheittoa, kunnes "kakkonen" putoaa.

4.13. Riippumattomat testit suoritetaan samalla tapahtuman todennäköisyydellä A jokaisessa testissä. Selvitä tapahtuman todennäköisyys A jos tapahtuman esiintymismäärän varianssi kolmessa riippumattomassa kokeessa on 0,63 .

Ratkaisu. Tapahtuman esiintymisten määrä kolmessa kokeessa on satunnaismuuttuja X jaetaan binomiaalilain mukaan. Tapahtuman esiintymistodennäköisyyden varianssi riippumattomissa kokeissa (samalla todennäköisyydellä tapahtuma kussakin kokeessa) on yhtä suuri kuin kokeiden lukumäärän ja tapahtuman esiintymistodennäköisyyden ja toistumisen todennäköisyyden tulo ( Tehtävä 4.6)

D(X) = npq.

Ehdon mukaan n = 3, D(X) = 0,63, joten voit R löytää yhtälöstä

0,63 = 3∙R(1-R),

jossa on kaksi ratkaisua R 1 = 0,7 ja R 2 = 0,3.

Määritelmä 2.3. X:llä merkittyä satunnaismuuttujaa kutsutaan diskreetiksi, jos se ottaa äärellisen tai laskettavan joukon arvoja, ts. joukko on äärellinen tai laskettava joukko.

Harkitse esimerkkejä diskreeteistä satunnaismuuttujista.

1. Kaksi kolikkoa heitetään kerran. Tässä kokeessa vaakunoiden lukumäärä on satunnaismuuttuja X. Sen mahdolliset arvot ovat 0,1,2, ts. on rajallinen joukko.

2. Ambulanssipuheluiden määrä tietyn ajanjakson aikana kirjataan. Satunnainen arvo X– puheluiden määrä. Sen mahdolliset arvot ovat 0, 1, 2, 3, ..., ts. =(0,1,2,3,...) on laskettava joukko.

3. Ryhmässä on 25 opiskelijaa. Jonakin päivänä tunnille tulleiden oppilaiden määrä kirjataan - satunnaismuuttuja X. Sen mahdolliset arvot ovat: 0, 1, 2, 3, ..., 25 eli. =(0, 1, 2, 3, ..., 25).

Vaikka kaikki 25 henkilöä esimerkissä 3 eivät voi jättää luokkia, mutta satunnaismuuttuja X voi ottaa tämän arvon. Tämä tarkoittaa, että satunnaismuuttujan arvoilla on erilaiset todennäköisyydet.

Harkitse matemaattinen malli diskreetti satunnaismuuttuja.

Tehdään satunnainen koe, joka vastaa alkeistapahtumien äärellistä tai laskettavaa avaruutta . Tarkastellaan tämän avaruuden yhdistämistä reaalilukujen joukkoon, eli liitetään jokainen alkeistapahtuma johonkin reaalilukuon , . Lukujoukko voi tässä tapauksessa olla äärellinen tai laskettava, ts. tai

Osajoukkojärjestelmä, joka sisältää minkä tahansa osajoukon, mukaan lukien yksipisteisen, muodostaa numeerisen joukon -algebran (-äärellisesti tai laskettavasti).

Koska kaikki alkeistapahtumat liittyvät tiettyihin todennäköisyyksiin p i(jos kyseessä on äärellinen kaikki ), ja , silloin voimme määrittää tietyn todennäköisyyden kullekin satunnaismuuttujan arvolle p i, sellainen että.

Antaa X on mielivaltainen reaaliluku. Merkitse R X (x) todennäköisyys, että satunnaismuuttuja X sai arvon, joka on yhtä suuri kuin X, eli P X (x) \u003d P (X \u003d x). Sitten toiminto R X (x) voi ottaa positiivisia arvoja vain niille arvoille X, jotka kuuluvat äärelliseen tai laskettavaan joukkoon , ja kaikille muille arvoille tämän arvon todennäköisyys P X (x) = 0.

Joten olemme määrittäneet arvojoukon, -algebran minkä tahansa osajoukkojen järjestelmäksi ja jokaiselle tapahtumalle ( X = x) vertasi todennäköisyyttä mille tahansa, ts. rakensi todennäköisyysavaruuden.

Esimerkiksi symmetrisen kolikon kahdesti heittämisestä koostuvan kokeen alkeistapahtumien tila koostuu neljästä alkeistapahtumasta: , jossa

Kun kolikkoa heitettiin kahdesti, kaksi ristikkoa putosi; kun kolikkoa heitettiin kahdesti, kaksi vaakunaa putosi ulos;

Ensimmäisestä kolikonheitosta putosi arina ja toisessa vaakuna;

Ensimmäisellä kolikonheitolla vaakuna putosi ja toisella ritilä.

Olkoon satunnaismuuttuja X on hilan keskeytysten lukumäärä. Se on määritelty ja sen arvot . Kaikki mahdolliset osajoukot, mukaan lukien yksipisteiset, muodostavat - algebran, ts. =(Ø, (1), (2), (0,1), (0,2), (1,2), (0,1,2)).

Tapahtuman todennäköisyys ( X = x i}, і = 1,2,3 , määrittelemme sen tapahtuman todennäköisyydeksi, joka on sen prototyyppi:

Näin ollen alkeistapahtumissa ( X = x i) aseta numeerinen funktio R X, Joten .

Määritelmä 2.4. Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki on joukko lukupareja (x i , p i), missä x i ovat satunnaismuuttujan mahdolliset arvot ja p i ovat todennäköisyydet, joilla se saa nämä arvot, ja .

Yksinkertaisin muoto diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislain asettaminen on taulukko, jossa luetellaan satunnaismuuttujan mahdolliset arvot ja vastaavat todennäköisyydet:

			…		…
			…		…

Tällaista taulukkoa kutsutaan jakaumasarjaksi. Jotta jakelusarja olisi visuaalisempi, se on kuvattu graafisesti: akselilla vai niin laita pisteitä x i ja piirrä niistä pituudeltaan kohtisuorat p i. Tuloksena olevat pisteet yhdistetään ja saadaan monikulmio, joka on yksi jakautumislain muodoista (kuva 2.1).

Siksi diskreetin satunnaismuuttujan asettamiseksi sinun on asetettava sen arvot ja vastaavat todennäköisyydet.

Esimerkki 2.2. Koneen käteisvastaanotin laukeaa aina, kun kolikon pudotetaan todennäköisyydellä R. Kun se on toiminut, kolikoita ei lasketa alas. Antaa X- kolikoiden määrä, joka on laskettava, ennen kuin koneen käteisvastaanotin laukeaa. Muodosta diskreetin satunnaismuuttujan jakauman sarja X.

Ratkaisu. Satunnaismuuttujan mahdolliset arvot X: x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2, ..., x k = k, ... Etsitään näiden arvojen todennäköisyydet: p 1 on todennäköisyys, että kassalaatikko toimii ensimmäisellä laskulla, ja p 1 = p; p 2 - todennäköisyys, että tehdään kaksi yritystä. Tätä varten on välttämätöntä, että: 1) rahan vastaanottaja ei toimi ensimmäisellä kerralla; 2) toisella yrityksellä - se toimi. Tämän tapahtuman todennäköisyys on (1–r)r. samalla lailla ja niin edelleen, . Jakelualue X ottaa muodon

	1	2	3	…	Vastaanottaja	…
	R	qp	q 2 p		q r -1 p

Huomaa, että todennäköisyydet r to muodosta geometrinen progressio nimittäjällä: 1–p=q, q<1, joten tätä todennäköisyysjakaumaa kutsutaan geometrinen.

Oletetaan edelleen, että matemaattinen malli on rakennettu diskreetillä satunnaismuuttujalla kuvattu kokeilu X ja harkitse mielivaltaisten tapahtumien todennäköisyyksien laskemista.

Olkoon mielivaltainen tapahtuma sisältää äärellisen tai laskettavan joukon arvoja x i: A= {x 1 , x 2 ,..., x i , ...) .Tapahtuma A voidaan esittää yhteensopimattomien tapahtumien yhdistelmänä muodossa : . Sitten sovelletaan Kolmogorovin aksioomaa 3 , saamme

koska olemme määrittäneet tapahtumien esiintymistodennäköisyydet yhtä suureksi kuin niiden prototyyppejä olevien tapahtumien todennäköisyydet. Tämä tarkoittaa, että minkä tahansa tapahtuman todennäköisyys , , voidaan laskea kaavalla, koska tämä tapahtuma voidaan esittää tapahtumien liittona, jossa .

Sitten jakelufunktio F(х) = Р(–<Х<х) löytyy kaavan mukaan. Tästä seuraa, että diskreetin satunnaismuuttujan jakaumafunktio X on epäjatkuva ja lisääntyy hyppyissä, eli se on askelfunktio (kuva 2.2):

Jos joukko on äärellinen, niin kaavan termien määrä on äärellinen, jos se on laskettavissa, niin termien määrä on myös laskettavissa.

Esimerkki 2.3. Tekninen laite koostuu kahdesta toisistaan ​​riippumattomasti toimivasta elementistä. Ensimmäisen elementin rikkoutumisen todennäköisyys ajassa T on 0,2 ja toisen elementin epäonnistumisen todennäköisyys on 0,1. Satunnainen arvo X- epäonnistuneiden elementtien lukumäärä ajassa T. Etsi satunnaismuuttujan jakaumafunktio ja rakenna sen graafi.

Ratkaisu. Kokeilun alkeistapahtumien tila, joka koostuu teknisen laitteen kahden elementin luotettavuuden tutkimisesta, määräytyy neljällä alkeistapahtumalla , , , : – molemmat elementit ovat hyvässä kunnossa; - ensimmäinen elementti on huollettavissa, toinen on viallinen; - ensimmäinen elementti on viallinen, toinen on huollettavissa; – molemmat elementit ovat viallisia. Jokainen alkeistapahtuma voidaan ilmaista tilojen alkeistapahtumilla Ja , jossa – ensimmäinen elementti on huollettavissa; - ensimmäinen elementti on epäkunnossa; – toinen elementti on huollettavissa; - Toinen elementti on epäkunnossa. Silloin , ja koska teknisen laitteen elementit toimivat toisistaan ​​riippumatta, niin

8. Millä todennäköisyydellä diskreetin satunnaismuuttujan arvot kuuluvat väliin?

Satunnaismuuttuja kutsutaan muuttujaksi, joka voi saada tietyt arvot eri olosuhteista riippuen, ja vuorostaan ​​satunnaismuuttujaa kutsutaan diskreetti jos sen arvojen joukko on äärellinen tai laskettava.

Diskreettien satunnaismuuttujien lisäksi on olemassa myös jatkuvia satunnaismuuttujia.

Tarkastellaanpa tarkemmin satunnaismuuttujan käsitettä. Käytännössä on usein suureita, jotka voivat saada tietyt arvot, mutta on mahdotonta ennustaa luotettavasti, minkä arvon kukin niistä saa tarkasteltavana olevassa kokeessa, ilmiössä, havainnossa. Esimerkiksi Moskovassa seuraavana päivänä syntyvien poikien määrä voi olla erilainen. Se voi olla nolla (ei synny yhtäkään poikaa: kaikki tytöt syntyvät tai vastasyntyneitä ei tule ollenkaan), yksi, kaksi ja niin edelleen johonkin äärelliseen lukuun n. Tällaisia ​​arvoja ovat: sokerijuurikkaan juurien massa työmaalla, tykistökuoren lentoetäisyys, viallisten osien määrä erässä ja niin edelleen. Tällaisia ​​arvoja kutsutaan satunnaisiksi. Ne kuvaavat kaikkia mahdollisia kokeen tai havainnon tuloksia kvantitatiivisesta näkökulmasta.

Esimerkkejä diskreeteistä satunnaismuuttujista rajallisella määrällä arvoja voivat palvella paikkakunnalla päivän aikana syntyneiden lasten lukumäärää, bussimatkustajien lukumäärää, Moskovan metrolla vuorokaudessa kuljetettujen matkustajien lukumäärää jne.

Diskreetin satunnaismuuttujan arvojen määrä voi olla ääretön, mutta se on laskettava joukko. Mutta joka tapauksessa ne voidaan numeroida jossain järjestyksessä, tai tarkemmin sanottuna, satunnaismuuttujan arvojen ja luonnollisten lukujen 1, 2, 3, ..., välinen vastaavuus voidaan muodostaa yksi-yhteen. n.

Huomio: uusi, erittäin tärkeä todennäköisyysteorian käsite - jakelulaki . Antaa X voi ottaa n arvot: . Oletetaan, että ne ovat kaikki erilaisia ​​(muuten sama on yhdistettävä) ja nousevaan järjestykseen. Diskreetin satunnaismuuttujan täydellinen karakterisointi on annettava paitsi kaikki sen arvot myös todennäköisyydet , jolla satunnaismuuttuja ottaa jokaisen arvon, ts. .

Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki mitä tahansa sääntöä (funktiota, taulukkoa) kutsutaan s(x), jonka avulla voit löytää kaikenlaisten satunnaismuuttujaan liittyvien tapahtumien todennäköisyydet (esimerkiksi todennäköisyyden, että se on esimerkki jostain arvosta tai osuu johonkin väliin).

Yksinkertaisin ja kätevin diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki on annettu seuraavan taulukon muodossa:

Merkitys			...
Todennäköisyys			...

Tällaista taulukkoa kutsutaan lähellä diskreetin satunnaismuuttujan jakaumaa. Jakaumasarjan ylärivillä on nousevassa järjestyksessä kaikki diskreetin satunnaismuuttujan (x) mahdolliset arvot ja alimmalla rivillä näiden arvojen todennäköisyydet ( s).

Tapahtumat ovat yhteensopimattomia ja ainoita mahdollisia: ne muodostavat täydellisen tapahtumajärjestelmän. Siksi niiden todennäköisyyksien summa on yhtä suuri kuin yksi:

.

Esimerkki 1 Opiskelijaryhmässä järjestettiin arpajaiset. Kaksi 1000 ruplan arvoista asiaa pelataan. ja yksi maksaa 3000 ruplaa. Laadi nettovoittojen määrän jakautumislaki opiskelijalle, joka osti yhden lipun 100 ruplalla. Lippuja on myyty yhteensä 50 kappaletta.

Ratkaisu. Satunnaismuuttuja, josta olemme kiinnostuneita X voi ottaa kolme arvoa: - 100 ruplaa. (jos opiskelija ei voita, mutta todella menettää lipusta maksamansa 100 ruplaa), 900 ruplaa. ja 2900 ruplaa. (todellisia voittoja vähennetään 100 ruplaa - lipun hinta). Ensimmäistä tulosta kannattaa 47 tapauksesta 50:stä, toista 2 ja kolmatta yksi. Joten niiden todennäköisyydet ovat: P(X=-100)=47/50=0,94 , P(X=900)=2/50=0,04 , P(X=2900)=1/50=0,02 .

Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki X on muotoa

Voittosumma	-100	900	2900
Todennäköisyys	0,94	0,04	0,02

Diskreetin satunnaismuuttujan jakaumafunktio: konstruktio

Jakaumasarja voidaan muodostaa vain diskreetille satunnaismuuttujalle (ei-diskreetille satunnaismuuttujalle sitä ei voida muodostaa, jos vain koska tällaisen satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen joukko on laskematon, niitä ei voi listata alkuun taulukon rivi).

Jakaumalain yleisin muoto, joka sopii kaikille satunnaismuuttujille (sekä diskreeteille että ei-diskreeteille), on jakautumisfunktio.

Diskreetin satunnaismuuttujan jakaumafunktio tai kiinteä toiminto kutsutaan funktioksi , joka määrittää todennäköisyyden, että satunnaismuuttujan arvo X pienempi tai yhtä suuri kuin raja-arvo X.

Minkä tahansa diskreetin satunnaismuuttujan jakaumafunktio on epäjatkuva askelfunktio, jonka hypyt tapahtuvat satunnaismuuttujan mahdollisia arvoja vastaavissa pisteissä ja ovat yhtä suuria kuin näiden arvojen todennäköisyydet.

Esimerkki 2 Diskreetti satunnaismuuttuja X on noppaa heittämällä saatujen pisteiden määrä. Rakenna sen jakelufunktio.

Ratkaisu. Diskreetin satunnaismuuttujan jakaumasarja X näyttää:

Merkitys	1	2	3	4	5	6
Todennäköisyys	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

jakelutoiminto F(x) sisältää 6 hyppyä, jotka ovat yhtä suuria kuin 1/6 (alla olevassa kuvassa).

Esimerkki 3 Urna sisältää 6 valkoista palloa ja 4 mustaa palloa. Urnasta otetaan 3 palloa. Valkoisten pallojen lukumäärä vedettyjen pallojen joukossa on diskreetti satunnaismuuttuja X. Laadi sitä vastaava jakautumislaki.

X voivat ottaa arvot 0, 1, 2, 3. Niitä vastaavat todennäköisyydet voidaan laskea helpoimmin todennäköisyyksien kertolasku sääntö. Saamme diskreetille satunnaismuuttujalle seuraavan jakautumislain:

Merkitys	0	1	2	3
Todennäköisyys	1/30	3/10	1/2	1/6

Esimerkki 4 Laadi jakautumislaki diskreetille satunnaismuuttujalle - neljällä laukauksella osumien maalimäärään, jos yhdellä laukauksella osumisen todennäköisyys on 0,1.

Ratkaisu. Diskreetti satunnaismuuttuja X voi ottaa viisi eri arvoa: 1, 2, 3, 4, 5. Löydämme vastaavat todennäköisyydet Bernoullin kaava . klo

n = 4 ,

s = 1,1 ,

q = 1 - s = 0,9 ,

m = 0, 1, 2, 3, 4

saamme

Siksi diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki X on muotoa

Jos diskreetin satunnaismuuttujan arvojen todennäköisyydet voidaan määrittää Bernoullin kaavalla, niin satunnaismuuttujalla on binomiaalinen jakauma .

Jos kokeiden määrä on tarpeeksi suuri, niin todennäköisyys, että näissä kokeissa kiinnostava tapahtuma tapahtuu täsmälleen m aika, noudata lakia Poisson-jakauma .

Diskreetin satunnaismuuttujan jakaumafunktio: laskenta

Diskreetin satunnaismuuttujan jakaumafunktion laskeminen F(X), on lisättävä kaikkien niiden arvojen todennäköisyydet, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin raja-arvo X.

Esimerkki 5 Taulukko sisältää tiedot vuoden aikana purettujen avioliittojen lukumäärän riippuvuudesta avioliiton kestosta. Laske todennäköisyys, että seuraava erotettu avioliitto kesti enintään 5 vuotta.

Avioliiton pituus (vuotta)	Määrä	Todennäköisyys	F(x)
0	10	0,002	0,002
1	80	0,013	0,015
2	177	0,029	0,044
3	209	0,035	0,079
4	307	0,051	0,130
5	335	0,056	0,186
6	358	0,060	0,246
7	413	0,069	0,314
8	432	0,072	0,386
9	402	0,067	0,453
10 tai enemmän	3287	0,547	1,000
Kaikki yhteensä	6010	1

Ratkaisu. Todennäköisyydet lasketaan jakamalla asiaankuuluvien erotettujen avioliittojen lukumäärä kokonaisluvulla 6010. Todennäköisyys, että seuraava erotettu avioliitto kesti 5 vuotta, on 0,056. Todennäköisyys, että seuraavan eronneen avioliiton kesto on enintään 5 vuotta, on 0,186. Saimme sen lisäämällä arvoa F(x) 4 vuotta kestäneiden avioliittojen osalta todennäköisyys solmia 5 vuotta kestäviä avioliittoja.

Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislain ja matemaattisen odotuksen ja varianssin välinen suhde

Usein diskreetin satunnaismuuttujan kaikkia arvoja ei tunneta, mutta joitain arvoja tai todennäköisyyksiä sarjasta tunnetaan ja myös satunnaismuuttujan matemaattinen odotus ja (tai) varianssi jolle on omistettu erillinen oppitunti.

Tässä on joitain tämän oppitunnin kaavoja, jotka voivat auttaa laatimaan diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislakia ja analysoimaan esimerkkejä tällaisten ongelmien ratkaisemisesta.

Diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on kaikkien sen mahdollisten arvojen ja näiden arvojen todennäköisyyksien tulojen summa:

(1)

Diskreetin satunnaismuuttujan dispersion kaava määritelmän mukaan on:

Usein seuraava varianssikaava on kätevämpi laskelmissa:

, (2)

Missä .

Esimerkki 6 Diskreetti satunnaismuuttuja X voi ottaa vain kaksi arvoa. Se ottaa pienemmän arvon todennäköisyydellä s= 0,6. Etsi diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki X, jos tiedetään, että sen matemaattinen odotus ja varianssi ovat .

Ratkaisu. Todennäköisyys, että satunnaismuuttuja saa suuremman arvon x2 , on yhtä suuri kuin 1 − 0,6 = 4 . Käyttämällä matemaattisen odotuksen kaavaa (1) muodostamme yhtälön, jossa tuntemattomat ovat diskreetin satunnaismuuttujamme arvoja:

Dispersion kaavalla (2) muodostetaan toinen yhtälö, jossa tuntemattomat ovat myös diskreetin satunnaismuuttujan arvoja:

Kahden saadun yhtälön järjestelmä

ratkaista korvausmenetelmällä. Ensimmäisestä yhtälöstä saamme

Korvaamalla tämän lausekkeen toiseen yhtälöön yksinkertaisten muunnosten jälkeen saamme toisen asteen yhtälö

,

jolla on kaksi juuria: 7/5 ja −1 . Ensimmäinen juuri ei täytä ongelman ehtoja, koska x2 < x 1 . Näin ollen arvot, jotka diskreetti satunnaismuuttuja voi saada X esimerkkimme ehtojen mukaan ovat yhtä suuret x1 = −1 Ja x2 = 2 .

Diskreetti satunnainen muuttujia kutsutaan satunnaismuuttujiksi, jotka ottavat vain toisistaan ​​etäällä olevia arvoja, jotka voidaan laskea etukäteen.
jakelulaki
Satunnaismuuttujan jakautumislaki on relaatio, joka määrittää suhteen satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen ja niitä vastaavien todennäköisyyksien välille.
Diskreetin satunnaismuuttujan jakauma-alue on luettelo sen mahdollisista arvoista ja niitä vastaavista todennäköisyyksistä.
Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumisfunktiota kutsutaan funktioksi:
,
joka määrittää jokaiselle argumentin x arvolle todennäköisyyden, että satunnaismuuttuja X saa arvon, joka on pienempi kuin tämä x.

Diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus
,
missä on diskreetin satunnaismuuttujan arvo; - satunnaismuuttujan X-arvojen hyväksymisen todennäköisyys.
Jos satunnaismuuttuja saa laskettavan joukon mahdollisia arvoja, niin:
.
Matemaattinen odotus tapahtuman esiintymistiheydestä n riippumattomassa kokeessa:
,

Diskreetin satunnaismuuttujan dispersio ja keskihajonta
Diskreetin satunnaismuuttujan dispersio:
tai .
Tapahtuman esiintymisten lukumäärän varianssi n riippumattomassa kokeessa
,
jossa p on tapahtuman todennäköisyys.
Diskreetin satunnaismuuttujan keskihajonta:
.

Esimerkki 1
Muodosta todennäköisyysjakauman laki diskreetille satunnaismuuttujalle (d.r.v.) X – vähintään yhden "kuuden" luku k n = 8 noppaparin heitossa. Piirrä jakautumispolygoni. Selvitä jakauman numeeriset ominaisuudet (jakaumamoodi, matemaattinen odotus M(X), varianssi D(X), keskihajonta s(X)). Ratkaisu: Esitetään merkintä: tapahtuma A - "noppaa heitettäessä kuusi esiintyi ainakin kerran." Tapahtuman A todennäköisyyden P(A) = p löytämiseksi on kätevämpää löytää ensin vastakkaisen tapahtuman todennäköisyys P(Ā) = q – ”noppaa heittäessä kuusi ei näyttänyt parillisilta. kerran".
Koska todennäköisyys sille, että "kuusi" ei ilmesty yhtä noppaa heitettäessä on 5/6, niin todennäköisyyskertolauseella
P(Ā) = q = = .
Vastaavasti,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Ongelman testit suoritetaan Bernoullin kaavion mukaisesti, joten d.r.v. suuruus X- numero k Vähintään yhden kuuden pudottaminen kahta noppaa heittäessä noudattaa todennäköisyysjakauman binomiaalista lakia:

missä = on yhdistelmien lukumäärä alkaen n Tekijä: k.

On kätevää järjestää tälle ongelmalle suoritetut laskelmat taulukon muodossa:
D.r.v.:n todennäköisyysjakauma X º k (n = 8; s = ; q = )

k
PN(k)

Diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauman monikulmio (polygoni). X näkyy kuvassa:

Riisi. D.r.v:n todennäköisyysjakauman monikulmio. X=k.
Pystyviiva näyttää jakauman matemaattisen odotuksen M(X).

Etsitään d.r.v:n todennäköisyysjakauman numeeriset ominaisuudet. X. Jakelutila on 2 (täällä P 8(2) = 0,2932 maksimi). Matemaattinen odotus on määritelmän mukaan:
M(X) = = 2,4444,
Missä xk = k on d.r.v.:n hyväksymä arvo. X. dispersio D(X) löydämme jakaumat kaavalla:
D(X) = = 4,8097.
Keskihajonta (RMS):
s( X) = = 2,1931.

Esimerkki2
Diskreetti satunnaismuuttuja X jakelulain mukaan

Etsi jakaumafunktio F(x) ja piirrä se.

Ratkaisu. Jos , niin (kolmas ominaisuus).
Jos sitten . Todella, X voi saada arvon 1 todennäköisyydellä 0,3.
Jos sitten . Todellakin, jos se tyydyttää eriarvoisuuden
, niin se on yhtä suuri kuin tapahtuman todennäköisyys, joka voidaan suorittaa milloin X ottaa arvon 1 (tämän tapahtuman todennäköisyys on 0,3) tai arvon 4 (tämän tapahtuman todennäköisyys on 0,1). Koska nämä kaksi tapahtumaa eivät ole yhteensopivia, niin summauslauseen mukaan tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin todennäköisyyksien summa 0,3 + 0,1=0,4. Jos sitten . Itse asiassa tapahtuma on varma, joten sen todennäköisyys on yhtä suuri. Jakaumafunktio voidaan siis kirjoittaa analyyttisesti seuraavasti:

Tämän funktion kaavio:
Etsitään näitä arvoja vastaavat todennäköisyydet. Ehdon mukaan laitteiden vioittumistodennäköisyydet ovat yhtä suuret: silloin todennäköisyys, että laitteet ovat toimintakunnossa takuuaikana, ovat yhtä suuret:




Jakelulain muoto on: