Satunnaismuuttujien numeeriset ominaisuudet.

Muoti- useimmin esiintyvä arvo havaintojoukossa

Ma \u003d X Mo + h Mo * (f Mo - f Mo-1) : ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo + 1)),

tässä X Mo on modaalivälin vasen raja, h Mo on modaalivälin pituus, f Mo-1 on premodaalivälin taajuus, f Mo on modaalivälin taajuus, f Mo+1 on modaalivälin taajuus. postmodaalisen intervallin taajuus.

Absoluuttisen jatkuvan jakauman moodi on mikä tahansa piste jakautumistiheyden paikallisesta maksimista. varten diskreetit jakaumat muoti on mikä tahansa arvo a i, jonka todennäköisyys p i on suurempi kuin viereisten arvojen todennäköisyydet

Mediaani jatkuva satunnaismuuttuja X sen arvoa Me kutsutaan sellaiseksi, jolle on yhtä todennäköistä, tuleeko satunnaismuuttuja pienemmäksi vai suuremmaksi Minä, eli

M e \u003d (n + 1) / 2 P(X < Minä) = P(X > Minä)

Tasaisesti jakautunut UUSI

Tasainen jakelu. Jatkuvaa satunnaismuuttujaa kutsutaan tasaisesti jakautuneeksi segmentissä (), jos sen jakautumistiheysfunktio (kuva 1.6, a) näyttää:

Nimitys: - SW on jaettu tasaisesti .

Vastaavasti segmentin jakautumisfunktio (kuva 1.6, b):

Riisi. 1.6. Tasaisesti jakautuneen satunnaismuuttujan funktiot [ a,b]: a– todennäköisyystiheydet f(x); b– jakelut F(x)

Tämän RV:n matemaattiset odotukset ja varianssi määräytyvät lausekkeilla:

Tiheysfunktion symmetriasta johtuen se osuu mediaaniin. Muodilla ei ole yhtenäistä jakautumista

Esimerkki 4 Vastauksen odotusaika puhelu on satunnaismuuttuja, joka noudattaa yhtenäistä jakautumislakia välillä 0 - 2 minuuttia. Etsi integraali ja differentiaalitoiminto tämän satunnaismuuttujan jakauma.

27. Todennäköisyysjakauman normaalilaki

Jatkuvalla satunnaismuuttujalla x on normaalijakauma parametrein: m,s > 0, jos todennäköisyysjakauman tiheys on muotoa:

missä: m - odotettu arvo, s – keskimäärin keskihajonta.

Normaalijakaumaa kutsutaan myös Gaussiseksi saksalaisen matemaatikon Gaussin mukaan. Sitä, että satunnaismuuttujalla on normaalijakauma parametrein: m, , merkitään seuraavasti: N (m, s), missä: m=a=M[X];

Melko usein kaavoissa matemaattinen odotus on merkitty a . Jos satunnaismuuttuja jakautuu lain N(0,1) mukaan, niin sitä kutsutaan normalisoiduksi tai standardoiduksi normaaliarvoksi. Sen jakelufunktiolla on muoto:

Tiheyskaavio normaalijakauma, jota kutsutaan normaaliksi tai Gaussin käyräksi, on esitetty kuvassa 5.4.

Riisi. 5.4. Normaalijakauman tiheys

ominaisuuksia satunnaismuuttuja, jolla on normaalijakauman laki.

1. Jos , niin todennäköisyys, että tämä arvo osuu tiettyyn väliin ( x 1; x 2) käytetään kaavaa:

2. Todennäköisyys, että satunnaismuuttujan poikkeama sen matemaattisesta odotuksesta ei ylitä arvoa (absoluuttisena arvona), on yhtä suuri kuin.

Odotettu arvo. matemaattinen odotus diskreetti satunnaismuuttuja X, joka ottaa rajallisen määrän arvoja Xi todennäköisyyksien kanssa Ri, kutsutaan summaksi:

matemaattinen odotus jatkuva satunnaismuuttuja X kutsutaan sen arvojen tuotteen integraaliksi X todennäköisyysjakauman tiheydestä f(x):

(6b)

Väärä integraali (6 b) oletetaan olevan ehdottoman konvergentti (muuten sanomme, että odotus M(X) ei ole olemassa). Matemaattinen odotus luonnehtii tarkoittaa Satunnaismuuttuja X. Sen ulottuvuus on sama kuin satunnaismuuttujan ulottuvuus.

Matemaattisen odotuksen ominaisuudet:

Dispersio. dispersio Satunnaismuuttuja X numeroa kutsutaan:

Hajautus on sirontaominaisuus satunnaismuuttujan arvot X suhteessa sen keskiarvoon M(X). Varianssin ulottuvuus on yhtä suuri kuin satunnaismuuttujan neliöinti. Varianssin (8) ja matemaattisen odotuksen (5) määritelmien perusteella diskreetille satunnaismuuttujalle ja (6) jatkuvalle satunnaismuuttujalle saadaan samanlaiset lausekkeet varianssille:

(9)

Tässä m = M(X).

Dispersioominaisuudet:

Vakiopoikkeama:

(11)

Koska ulottuvuus keskiarvon keskihajonta Sama kuin satunnaismuuttuja, sitä käytetään useammin dispersion mittana kuin varianssia.

jakeluhetkiä. Matemaattisen odotuksen ja varianssin käsitteet ovat erikoistapauksia enemmän yleinen käsite numeerisia ominaisuuksia varten satunnaismuuttujia – jakeluhetkiä. Satunnaismuuttujan jakautumismomentit esitetään matemaattisina odotuksina joillekin satunnaismuuttujan yksinkertaisille funktioille. Eli tilaushetki k suhteessa pisteeseen X 0 kutsutaan odotukseksi M(X–X 0 )k. Hetkiä suhteessa alkuperään X= 0 kutsutaan alkuhetkiä ja on merkitty:

(12)

Ensimmäisen kertaluvun alkuhetki on tarkasteltavan satunnaismuuttujan jakautumiskeskus:

(13)

Hetkiä suhteessa jakelukeskukseen X= m nimeltään keskeiset hetket ja on merkitty:

(14)

Kohdasta (7) seuraa, että ensimmäisen kertaluvun keskimomentti on aina nolla:

Keskeiset hetket eivät riipu satunnaismuuttujan arvojen alkuperästä, koska siirrolla vakioarvolla FROM sen jakelukeskus on siirtynyt samalla arvolla FROM, ja poikkeama keskustasta ei muutu: X – m = (X – FROM) – (m – FROM).
Nyt se on selvää dispersio- Tämä on toisen asteen keskeinen hetki:

Epäsymmetria. Kolmannen tilauksen keskeinen hetki:

(17)

palvelee arvioimista jakautumisen vinous. Jos jakauma on symmetrinen pisteen suhteen X= m, silloin kolmannen kertaluvun keskimomentti on yhtä suuri kuin nolla (samoin kuin kaikki parittomien kertalukujen keskeiset momentit). Siksi, jos kolmannen kertaluvun keskimomentti on eri kuin nolla, jakauma ei voi olla symmetrinen. Epäsymmetrian suuruus on arvioitu käyttämällä dimensiota epäsymmetriakerroin:

(18)

Epäsymmetriakertoimen etumerkki (18) osoittaa oikean- tai vasemmanpuoleista epäsymmetriaa (kuva 2).

Riisi. 2. Jakaumien epäsymmetrian tyypit.

Ylimääräinen. Neljännen tilauksen keskeinen hetki:

(19)

palvelee arvioimaan ns kurtosis, joka määrittää jakaumakäyrän jyrkkyyden (pistemäisyyden) lähellä jakautumiskeskusta suhteessa normaalijakaumakäyrään. Koska normaalijakaumassa kurtoosiksi otettu määrä on:

(20)

Kuvassa Kuvassa 3 on esimerkkejä jakautumiskäyristä erilaisia ​​merkityksiä kurtosis. Normaalijakaumaa varten E= 0. Normaalia huipuisemmilla käyrillä on positiivinen kurtoosi ja tasaisemmilla käyrillä negatiivinen kurtoosi.

Riisi. 3. Jakaumakäyrät eri jyrkkyysasteilla (kurtoosi).

Matemaattisten tilastojen teknisissä sovelluksissa korkeamman asteen momentteja ei yleensä käytetä.

Muoti diskreetti satunnaismuuttuja on sen todennäköisin arvo. Muoti jatkuva satunnaismuuttuja on sen arvo, jolla todennäköisyystiheys on suurin (kuva 2). Jos jakaumakäyrällä on yksi maksimi, niin jakauma kutsutaan yksimuotoinen. Jos jakaumakäyrällä on useampi kuin yksi maksimi, niin jakauma kutsutaan polymodaalinen. Joskus on jakaumia, joiden käyrillä ei ole maksimi, vaan minimi. Tällaisia ​​jakaumia kutsutaan antimodaalinen. AT yleinen tapaus satunnaismuuttujan tila ja matemaattinen odotus eivät täsmää. Tietyssä tapauksessa varten modaalinen, eli jolla on moodi, symmetrinen jakauma, ja edellyttäen, että on olemassa matemaattinen odotus, jälkimmäinen osuu jakauman moodin ja symmetriakeskuksen kanssa.

Mediaani Satunnaismuuttuja X on sen merkitys Minä, joille tasa-arvo pätee: ts. on yhtä todennäköistä, että satunnaismuuttuja X tulee olemaan vähemmän tai enemmän Minä. Geometrisesti mediaani on sen pisteen abskissa, jossa jakautumiskäyrän alla oleva pinta-ala on jaettu puoliksi (kuva 2). Symmetrisen modaalijakauman tapauksessa mediaani, muoto ja keskiarvo ovat samat.

Todennäköisyysteoriassa käytetään matemaattisen odotuksen ja hajonnan lisäksi useita numeerisia ominaisuuksia, jotka heijastavat tiettyjä jakauman piirteitä.

Määritelmä. Satunnaismuuttujan X moodi Mo(X) on sen todennäköisin arvo(jolle todennäköisyys r r tai todennäköisyystiheys

Jos todennäköisyys tai todennäköisyystiheys saavuttaa maksiminsa ei yhdessä, vaan useassa pisteessä, jakauma ns. polymodaalinen(Kuva 3.13).

Muoti sammal), jolla todennäköisyys R ( tai todennäköisyystiheyttä (p(x) saavuttaa globaali maksimi, kutsutaan todennäköisin arvo satunnaismuuttuja (kuvassa 3.13 tämä Mo(X) 2).

Määritelmä. Jatkuvan satunnaismuuttujan X mediaani Me(X) on sen arvo, mille

nuo. todennäköisyys, että satunnaismuuttuja X saa arvon, joka on pienempi kuin mediaani turkis) tai suurempi kuin se, sama ja yhtä suuri kuin 1/2. Geometrisesti pystysuora viiva X = Turkista) kulkee pisteen läpi, jonka abskissa on yhtä suuri kuin Turkista), jakaa jakautumiskäyrän kuvan alueen kahteen yhtä suureen osaan (kuva 3.14). Ilmeisesti pisteessä X = turkis) jakaumafunktio on yhtä suuri kuin 1/2, ts. P(Minä(X))= 1/2 (kuva 3.15).

Merkintä tärkeä omaisuus satunnaismuuttujan mediaani: matemaattinen odotus satunnaismuuttujan X poikkeaman itseisarvosta vakioarvosta C on minimaalinen silloin, kun tämä vakio C on yhtä suuri kuin mediaani Me(X) = m, eli

(ominaisuus on samanlainen kuin satunnaismuuttujan matemaattisesta odotuksesta poikkeaman keskineliön minimaalisuuden ominaisuus (3.10").

O Esimerkki 3.15. Etsi satunnaismuuttujan tila, mediaani ja keskiarvo X s todennäköisyystiheys φ(x) = 3x 2 xx:lle.

Ratkaisu. Jakaumakäyrä on esitetty kuvassa. 3.16. Ilmeisesti todennäköisyystiheys φ(x) on suurin at X= Mo(X) = 1.

mediaani turkis) = b löydämme ehdosta (3.28):

missä

Matemaattinen odotus lasketaan kaavalla (3.25):

Pisteiden keskinäinen järjestely M(X) > Minä(X) ja sammal) abskissan nousevassa järjestyksessä on esitetty kuvassa. 3.16. ?

Yllä mainittujen numeeristen ominaisuuksien ohella satunnaismuuttujan kuvaamiseen käytetään kvantiilien ja prosenttipisteiden käsitettä.

Määritelmä. Tasokvantiili y-kvantiili )

kutsutaan sellaiseksi satunnaismuuttujan arvoksi x q , jossa sen jakautumisfunktio saa arvon, joka on yhtä suuri kuin d, ts.

Jotkut kvantiilit ovat saaneet erityisen nimen. Ilmeisesti edellä mainittu mediaani satunnaismuuttuja on 0,5-tason kvantiili, ts. Minä (X) \u003d x 05. Kvantiilit dg 0 2 5 ja x 075 on nimetty vastaavasti alempi ja ylempi kvartiiliK

Kvantiilin käsitteeseen liittyy läheisesti käsite prosenttiyksikköä. Alla YuOuHo-noi piste implisiittinen kvantiili x x (( , nuo. tällainen satunnaismuuttujan arvo x, jonka alla

0 Esimerkki 3.16. Etsi kvantiili esimerkin 3.15 mukaisesti x 03 ja 30 % satunnaismuuttujan piste x.

Ratkaisu. Kaavan (3.23) mukaan jakaumafunktio

Kvantiili r 0 z saadaan yhtälöstä (3.29), ts. x 3 dollaria \u003d 0,3, josta L "oz -0,67. Etsi satunnaismuuttujan 30 % piste x, tai kvantiili x 0 7, yhtälöstä x 7 dollaria = 0,7, josta x 0 7 "0,89. ?

Satunnaismuuttujan numeeristen ominaisuuksien joukossa erityinen merkitys on hetkiä - alku- ja keskeisiä.

Määritelmä. AloitushetkiSatunnaismuuttujan X k:nnettä kertalukua kutsutaan matemaattiseksi odotukseksi k-aste tämä arvo :

Määritelmä. Keskeinen hetkisatunnaismuuttujan X k:nnes kertaluku on satunnaismuuttujan X k:nnen poikkeamaasteen matemaattinen odotus sen matemaattisesta odotuksesta:

Kaavat diskreettien satunnaismuuttujien momenttien laskemiseen (arvot otetaan huomioon x 1 todennäköisyyksillä p,) ja jatkuvalla (todennäköisyystiheydellä cp(x)) on annettu taulukossa. 3.1.

Taulukko 3.1

Se on helppo nähdä milloin k = 1 satunnaismuuttujan ensimmäinen alkuhetki X on sen matemaattinen odotus, ts. h x \u003d M [X) \u003d a, klo to= 2 toinen keskusmomentti on dispersio, ts. p 2 = T)(X).

Keskeiset momentit p A voidaan ilmaista alkumomenteina käyttämällä kaavoja:

jne.

Esimerkiksi c 3 \u003d M (X-a) * \u003d M (X * -ZaX 2 + Za 2 X-a-\u003e) \u003d M (X *) ~ -ZaM (X 2) + Za 2 M (X) ~ a3 \u003d y 3 -Zy ^ + Zy (y, -y ^ \u003d y 3 - Zy ^ + 2y ^ (johtaessamme otimme huomioon, että a = M(X)= V, - ei-satunnainen arvo). ?

Kuten edellä todettiin, matemaattinen odotus M(X), tai ensimmäinen alkuhetki, luonnehtii satunnaismuuttujan keskiarvoa tai sijaintia, jakauman keskustaa X numerorivillä; dispersio VAI NIIN), tai toinen keskusmomentti p 2 , - s t s - jakauman sironta X suhteellisesti M(X). Lisää Yksityiskohtainen kuvaus jakaumat ovat korkeamman asteen hetkiä.

Kolmas keskeinen hetki p 3 kuvaa jakauman epäsymmetriaa (vinoutumista). Sillä on satunnaismuuttujan kuution koko. Dimensiottoman arvon saamiseksi se jaetaan noin kolmella, missä a on satunnaismuuttujan keskihajonta x. Vastaanotettu arvo MUTTA nimeltään satunnaismuuttujan epäsymmetriakerroin.

Jos jakauma on symmetrinen suhteessa matemaattiseen odotukseen, niin vinouskerroin on A = 0.

Kuvassa 3.17 näyttää kaksi jakautumiskäyrää: I ja II. Käyrällä I on positiivinen (oikeanpuoleinen) epäsymmetria (L > 0), ja käyrällä II on negatiivinen (vasen puolinen) (L

Neljäs keskeinen hetki p 4 kuvaa jakauman jyrkkyyttä (huipun huippu tai tasainen yläosa - tolppa).

Satunnaismuuttujien numeerisista ominaisuuksista on ennen kaikkea huomioitava ne, jotka kuvaavat satunnaismuuttujan paikkaa lukuakselilla, ts. osoittavat jonkin keskimääräisen, likimääräisen arvon, jonka ympärille kaikki mahdolliset satunnaismuuttujan arvot on ryhmitelty.

Satunnaismuuttujan keskiarvo on tietty luku, joka on ikään kuin sen "edustaja" ja korvaa sen karkeissa likimääräisissä laskelmissa. Kun sanomme: "lampun keskimääräinen toiminta-aika on 100 tuntia" tai "keskimääräinen törmäyspiste siirtyy kohteeseen nähden 2 m oikealle", osoitamme tällä satunnaismuuttujan tietyn numeerisen ominaisuuden, joka kuvaa sen sijainti numeerisella akselilla, ts. sijainnin kuvaus.

Aseman ominaisuuksista todennäköisyysteoriassa tärkein rooli on satunnaismuuttujan matemaattinen odotus, jota joskus kutsutaan yksinkertaisesti satunnaismuuttujan keskiarvoksi.

Harkitse diskreettiä satunnaismuuttujaa, jolla on mahdollisia arvoja todennäköisyyksien kanssa. Meidän on karakterisoitava jollakin numerolla satunnaismuuttujan arvojen sijainti x-akselilla ottaen huomioon, että näillä arvoilla on erilaiset todennäköisyydet. Tätä tarkoitusta varten on luonnollista käyttää arvojen ns. "painotettua keskiarvoa", ja jokainen arvo tulee huomioida keskiarvon laskennassa tämän arvon todennäköisyyteen verrannollisella "painolla". Näin ollen laskemme satunnaismuuttujan keskiarvon, jota merkitsemme:

tai sen huomioon ottaen,

. (5.6.1)

Tätä painotettua keskiarvoa kutsutaan satunnaismuuttujan matemaattiseksi odotukseksi. Näin ollen otimme huomioon yhden tärkeimmistä todennäköisyysteorian käsitteistä - matemaattisen odotuksen käsitteen.

Satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on satunnaismuuttujan kaikkien mahdollisten arvojen tulojen ja näiden arvojen todennäköisyyksien summa.

Huomaa, että yllä olevassa muotoilussa matemaattisen odotuksen määritelmä pätee tarkasti ottaen vain diskreeteille satunnaismuuttujille; Alla yleistetään tämä käsite jatkuvien määrien tapauksessa.

Jotta matemaattisen odotuksen käsite olisi havainnollistavampi, käännytään diskreetin satunnaismuuttujan jakauman mekaaniseen tulkintaan. Olkoon pisteet, joissa on abskissat, sijaitsevat abskissa-akselilla, johon massat ovat keskittyneet, ja . Silloin kaavalla (5.6.1) määritelty matemaattinen odotus on ilmeisesti vain tietyn ainepistejärjestelmän painopisteen abskissa.

Satunnaismuuttujan matemaattista odotusta yhdistää erikoinen riippuvuus satunnaismuuttujan havaittujen arvojen aritmeettiseen keskiarvoon suuret numerot kokeiluja. Tämä riippuvuus on samaa tyyppiä kuin taajuuden ja todennäköisyyden välinen riippuvuus, nimittäin: suurella määrällä kokeita satunnaismuuttujan havaittujen arvojen aritmeettinen keskiarvo lähestyy (konvergoi todennäköisyydellä) sen matemaattista odotusta. Frekvenssin ja todennäköisyyden välisen suhteen olemassaolosta voidaan päätellä samanlaisen suhteen olemassaolo aritmeettisen keskiarvon ja matemaattisen odotuksen välillä.

Tarkastellaan todellakin diskreettiä satunnaismuuttujaa, jolle on ominaista jakaumasarja:

missä .

Tehdään itsenäisiä kokeita, joissa jokaisessa määrä saa tietyn arvon. Oletetaan, että arvo ilmestyi kerran, arvo ilmestyi kerran, yleensä arvo ilmestyi kerran. Ilmeisesti

Lasketaan suuren havaittujen arvojen aritmeettinen keskiarvo, jota, toisin kuin matemaattinen odotus, merkitsemme:

Mutta ei ole mitään muuta kuin tapahtuman taajuus (tai tilastollinen todennäköisyys); tätä taajuutta voidaan kutsua . Sitten

,

nuo. satunnaismuuttujan havaittujen arvojen aritmeettinen keskiarvo on yhtä suuri kuin satunnaismuuttujan kaikkien mahdollisten arvojen ja näiden arvojen frekvenssien tulojen summa.

Kokeiden lukumäärän kasvaessa taajuudet lähestyvät (konvergoivat todennäköisyydellä) vastaavia todennäköisyyksiä. Näin ollen satunnaismuuttujan havaittujen arvojen aritmeettinen keskiarvo kokeiden lukumäärän kasvaessa lähestyy (konvergoi todennäköisyydellä) sen matemaattista odotusta.

Aritmeettisen keskiarvon ja edellä muotoillun matemaattisen odotuksen välinen suhde muodostaa yhden lain muodoista suuria lukuja. Annamme tiukan todisteen tästä laista luvussa 13.

Tiedämme jo, että kaikki suurten lukujen lain muodot ilmaisevat sen tosiasian, että tietyt keskiarvot ovat stabiileja useissa kokeissa. Tässä me puhumme aritmeettisen keskiarvon stabiilisuudesta samanarvoisten havaintojen sarjasta. Pienellä määrällä kokeita niiden tulosten aritmeettinen keskiarvo on satunnainen; kun kokeiden lukumäärää kasvaa riittävästi, siitä tulee "lähes ei satunnaista" ja stabiloituessaan lähestyy vakioarvoa - matemaattista odotusta.

Useiden kokeiden keskiarvojen stabiilisuusominaisuus on helppo todentaa kokeellisesti. Esimerkiksi kehon punnitseminen laboratoriossa tarkat vaa'at, punnituksen tuloksena saamme joka kerta uuden arvon; havaintovirheen vähentämiseksi punnitsemme kehon useita kertoja ja käytämme saatujen arvojen aritmeettista keskiarvoa. On helppo nähdä, että kokeiden (punnitusten) määrän lisääntyessä aritmeettinen keskiarvo reagoi tähän lisäykseen yhä harvemmin ja riittävän suurella koemäärällä se käytännössä lakkaa muuttumasta.

Matemaattisen odotuksen kaava (5.6.1) vastaa diskreetin satunnaismuuttujan tapausta. Jatkuvalle arvolle matemaattista odotusta ei tietenkään enää ilmaista summana, vaan integraalina:

, (5.6.2)

missä on suuren jakautumistiheys.

Kaava (5.6.2) saadaan kaavasta (5.6.1), jos korvaamme yksittäiset arvot siinä jatkuvasti muuttuvalla parametrilla x, vastaavat todennäköisyydet - todennäköisyyselementillä ja loppusumma - integraalilla. Seuraavassa käytämme usein tätä menetelmää laajentaaksemme epäjatkuville suureille johdettuja kaavoja jatkuviin suureisiin.

Mekaanisessa tulkinnassa jatkuvan satunnaismuuttujan matemaattinen odotus säilyttää saman merkityksen - painopisteen abskissa siinä tapauksessa, että massa jakautuu abskissa-akselia pitkin jatkuvasti, tiheydellä . Tämä tulkinta mahdollistaa usein matemaattisen odotuksen löytämisen ilman integraalin laskemista (5.6.2), yksinkertaisista mekaanisista näkökohdista.

Yllä esittelimme määrän matemaattisen odotuksen merkinnän. Joissakin tapauksissa, kun arvo sisältyy kaavoihin tiettynä numerona, on helpompi merkitä se yhdellä kirjaimella. Näissä tapauksissa merkitsemme arvon matemaattista odotusta seuraavasti:

Merkintätapaa ja matemaattista odotusta käytetään jatkossa rinnakkain, riippuen kaavojen yhden tai toisen merkintätavan mukavuudesta. Sovitaan myös, että sanat "matemaattinen odotus" lyhennetään tarvittaessa kirjaimilla m.o.

On huomattava, että aseman tärkein ominaisuus - matemaattinen odotus - ei ole olemassa kaikille satunnaismuuttujille. On mahdollista tehdä esimerkkejä sellaisista satunnaismuuttujista, joille ei ole matemaattista odotusta, koska vastaava summa tai integraali hajoaa.

Tarkastellaan esimerkiksi epäjatkuvaa satunnaismuuttujaa, jolla on jakaumasarja:

On helppo varmistaa, että ts. jakelusarjassa on järkeä; summa kuitenkin tässä tapauksessa poikkeaa, ja siksi arvon matemaattista odotusta ei ole olemassa. Käytännössä tällaiset tapaukset eivät kuitenkaan ole merkittäviä. Yleensä käsittelemillämme satunnaismuuttujilla on rajoitettu valikoima mahdollisia arvoja, ja niillä on tietysti odotuksia.

Yllä annoimme kaavat (5.6.1) ja (5.6.2), jotka ilmaisevat epäjatkuvan ja jatkuvan satunnaismuuttujan matemaattisen odotuksen.

Jos määrä kuuluu määriin sekoitettu tyyppi, niin sen matemaattinen odotus ilmaistaan ​​kaavalla, jonka muoto on:

, (5.6.3)

jossa summa ulottuu kaikkiin pisteisiin, joissa jakaumafunktio katkeaa, ja integraali ulottuu kaikkiin osiin, joilla jakaumafunktio on jatkuva.

Paikkaominaisuuksista tärkeimmän - matemaattisen odotuksen - lisäksi käytännössä käytetään joskus muitakin sijaintiominaisuuksia, erityisesti satunnaismuuttujan moodia ja mediaania.

Satunnaismuuttujan moodi on sen todennäköisin arvo. Termi "todennäköisin arvo" koskee tarkasti ottaen vain epäjatkuvia määriä; jatkuvalle suurelle moodi on arvo, jolla todennäköisyystiheys on suurin. Hyväksymme tilan merkitsemisen kirjaimella . Kuvassa 5.6.1 ja 5.6.2 näyttävät epäjatkuvien ja jatkuvien satunnaismuuttujien tilan, vastaavasti.

Jos jakautumispolygonilla (jakaumakäyrällä) on useampi kuin yksi maksimi, jakaumaa kutsutaan "polymodaaliseksi" (kuvat 5.6.3 ja 5.6.4).

Joskus on jakaumia, joiden keskellä ei ole maksimi, vaan minimi (kuvat 5.6.5 ja 5.6.6). Tällaisia ​​jakaumia kutsutaan "antimodaaliseksi". Esimerkki antimodaalisesta jakaumasta on esimerkissä 5, nro 5.1 saatu jakauma.

Yleisessä tapauksessa satunnaismuuttujan moodi ja matemaattinen odotus eivät täsmää. Tietyssä tapauksessa, kun jakauma on symmetrinen ja modaalinen (eli sillä on moodi) ja on olemassa matemaattinen odotus, niin se osuu yhteen jakauman moodin ja symmetriakeskuksen kanssa.

Usein käytetään myös toista sijainnin ominaisuutta - niin sanottua satunnaismuuttujan mediaania. Tätä ominaisuutta käytetään yleensä vain jatkuville satunnaismuuttujille, vaikka se voidaan määritellä muodollisesti myös epäjatkuvalle muuttujalle.

Satunnaismuuttujan mediaani on sen arvo, jolle

nuo. on yhtä todennäköistä, että satunnaismuuttuja on pienempi tai suurempi kuin . Geometrisesti mediaani on sen pisteen abskissa, jossa jakautumiskäyrän rajaama alue jaetaan kahtia (kuva 5.6.7).