Diagonaalityyppiset matriisit järjestetään yksinkertaisimmin. Herää kysymys, onko mahdollista löytää kanta, jossa lineaarioperaattorin matriisilla olisi diagonaalinen muoto. Tällainen perusta on olemassa.
Olkoon lineaarinen avaruus R n ja siinä toimiva lineaarinen operaattori A; tässä tapauksessa operaattori A ottaa R n itseensä, eli A:R n → R n .

Määritelmä. Nollasta poikkeavaa vektoria kutsutaan operaattorin A ominaisvektoriksi, jos operaattori A muuttuu sille kollineaariseksi vektoriksi, eli . Lukua λ kutsutaan ominaisvektoria vastaavan operaattorin A ominaisarvoksi tai ominaisarvoksi.
Huomaamme joitain ominaisarvojen ja ominaisvektorien ominaisuuksia.
1. Mikä tahansa ominaisvektorien lineaarinen yhdistelmä Samaa ominaisarvoa λ vastaavan operaattorin A ominaisuusvektori on sama ominaisarvo.
2. Ominaisvektorit Operaattori A, jolla on pareittain erilliset ominaisarvot λ 1 , λ 2 , …, λ m, ovat lineaarisesti riippumattomia.
3. Jos ominaisarvot λ 1 =λ 2 = λ m = λ, niin ominaisarvo λ vastaa enintään m lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria.

Eli jos on n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria jotka vastaavat erilaisia ​​ominaisarvoja λ 1 , λ 2 , …, λ n , niin ne ovat lineaarisesti riippumattomia, joten ne voidaan ottaa avaruuden R n perustaksi. Etsitään lineaarisen operaattorin A matriisin muoto sen ominaisvektorien perusteella, jolle toimimme operaattorin A kanssa kantavektoreiden perusteella: sitten .
Siten lineaarioperaattorin A matriisilla sen ominaisvektorien perusteella on diagonaalimuoto ja operaattorin A ominaisarvot ovat diagonaalissa.
Onko olemassa muuta perustaa, jossa matriisilla on diagonaalinen muoto? Vastaus tähän kysymykseen saadaan seuraavalla lauseella.

Lause. Lineaarisen operaattorin A matriisilla kannassa (i = 1..n) on diagonaalimuoto silloin ja vain, jos kaikki kannan vektorit ovat operaattorin A ominaisvektoreita.

Sääntö ominaisarvojen ja ominaisvektorien löytämiseksi

Anna vektorin , missä x 1 , x 2 , …, x n - vektorin koordinaatit kantaan nähden ja on ominaisarvoa λ vastaavan lineaarisen operaattorin A ominaisvektori, eli . Tämä relaatio voidaan kirjoittaa matriisimuotoon

. (*)

Yhtälöä (*) voidaan pitää yhtälönä , ja eli olemme kiinnostuneita ei-triviaalisista ratkaisuista, koska ominaisvektori ei voi olla nolla. Tiedetään, että homogeenisen järjestelmän ei-triviaaleja ratkaisuja lineaariset yhtälöt olemassa, jos ja vain jos det(A - λE) = 0. Jotta λ olisi siis operaattorin A ominaisarvo, on välttämätöntä ja riittävää, että det(A - λE) = 0.
Jos yhtälö (*) kirjoitetaan yksityiskohtaisesti koordinaattimuodossa, saadaan lineaaristen homogeenisten yhtälöiden järjestelmä:

(1)
missä on lineaarisen operaattorin matriisi.

Järjestelmällä (1) on nollasta poikkeava ratkaisu, jos sen determinantti D on nolla

Saimme yhtälön ominaisarvojen löytämiseksi.
Tätä yhtälöä kutsutaan ominaisyhtälöksi ja sen vasen puoli- matriisin (operaattorin) A karakteristinen polynomi. Jos ominaispolynomilla ei ole todellisia juuria, niin matriisilla A ei ole ominaisvektoreita eikä sitä voida pelkistää diagonaalimuotoon.
Olkoon λ 1 , λ 2 , …, λ n todellisia juuria ominaisyhtälö, ja niitä voi olla useita. Korvaamalla nämä arvot vuorostaan ​​järjestelmäksi (1), löydämme ominaisvektorit.

Esimerkki 12. Lineaarinen operaattori A toimii R 3:ssa lain mukaan, missä x 1 , x 2 , .., x n ovat kantavektorin koordinaatit , , . Etsi tämän operaattorin ominaisarvot ja ominaisvektorit.
Ratkaisu. Rakennamme tämän operaattorin matriisin:
.
Luomme järjestelmän ominaisvektorien koordinaattien määrittämiseksi:

Muodostamme ominaisyhtälön ja ratkaisemme sen:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Korvaamalla λ = -1 järjestelmään, meillä on:
tai
Koska , silloin on kaksi riippuvaa muuttujaa ja yksi vapaa muuttuja.
Olkoon siis x 1 vapaa tuntematon Ratkaisemme tämän järjestelmän millä tahansa tavalla ja löydämme yhteinen päätös Tämän järjestelmän: Perusratkaisujen järjestelmä koostuu yhdestä ratkaisusta, koska n - r = 3 - 2 = 1.
Ominaisarvoa λ = -1 vastaavalla ominaisvektorijoukolla on muoto: , jossa x 1 on mikä tahansa muu luku kuin nolla. Valitaan yksi vektori tästä joukosta esimerkiksi asettamalla x 1 = 1: .
Väittelemällä samalla tavalla, löydämme ominaisarvoa λ = 3 vastaavan ominaisvektorin: .
Avaruudessa R3 kanta koostuu kolmesta lineaarisesti riippumattomasta vektorista, mutta olemme saaneet vain kaksi lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria, joista ei voida muodostaa kantaa R3:ssa. Näin ollen lineaarioperaattorin matriisia A ei voida pelkistää diagonaalimuotoon.

Esimerkki 13 Annettu matriisi .
1. Todista, että vektori on matriisin A ominaisvektori. Etsi tätä ominaisvektoria vastaava ominaisarvo.
2. Etsi kanta, jossa matriisilla A on diagonaalinen muoto.
Ratkaisu.
1. Jos , niin on ominaisvektori

.
Vektori (1, 8, -1) on ominaisvektori. Ominaisarvo λ = -1.
Matriisin kantassa on diagonaalimuoto, joka koostuu ominaisvektoreista. Yksi heistä on kuuluisa. Etsitään loput.
Etsimme ominaisvektoreita järjestelmästä:

Ominaisuusyhtälö: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Etsi ominaisarvoa λ = -3 vastaava ominaisvektori:

Tämän järjestelmän matriisin arvo on kaksi ja se on yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä, joten tällä järjestelmällä on vain nollaratkaisu x 1 = x 3 = 0. x 2 voi tässä olla mitä tahansa muuta kuin nolla, esim. x 2 = 1. Siten vektori (0 ,1,0) on ominaisvektori, joka vastaa arvoa λ = -3. Tarkistetaan:
.
Jos λ = 1, niin saamme järjestelmän
Matriisin sijoitus on kaksi. Yliviivaa viimeinen yhtälö.
Olkoon x 3 vapaa tuntematon. Sitten x 1 \u003d -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 \u003d -30x 3 - 6x 3, x 2 = 9x 3.
Olettaen, että x 3 = 1, meillä on (-3,-9,1) - ominaisarvoa λ = 1 vastaava ominaisvektori. Tarkista:

.
Koska ominaisarvot ovat todellisia ja erilaisia, niitä vastaavat vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia, joten ne voidaan ottaa R3:n perustaksi. Perusteessa siis , , matriisilla A on muoto:
.
Lineaarisen operaattorin A:R n → R n jokaista matriisia ei voida pelkistää diagonaalimuotoon, koska joillakin lineaarisilla operaattoreilla voi olla vähemmän kuin n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria. Kuitenkin, jos matriisi on symmetrinen, täsmälleen m lineaarisesti riippumatonta vektoria vastaa multiplisisuuden m ominaisyhtälön juuria.

Määritelmä. Symmetrinen matriisi on neliömatriisi, jossa päälävistäjän suhteen symmetriset alkiot ovat yhtä suuret, eli jossa .
Huomautukset. 1. Kaikki symmetrisen matriisin ominaisarvot ovat todellisia.
2. Pareittain eri ominaisarvoja vastaavan symmetrisen matriisin ominaisvektorit ovat ortogonaalisia.
Yhtenä tutkitun laitteen lukuisista sovelluksista tarkastelemme ongelmaa toisen asteen käyrän muodon määrittämisessä.

Ominaisarvot(luvut) ja ominaisvektorit.
Ratkaisuesimerkkejä

Ole oma itsesi

Molemmista yhtälöistä seuraa, että .

Laitetaan sitten: .

Tuloksena: on toinen ominaisvektori.

Toistetaan tärkeitä kohtia ratkaisut:

– tuloksena olevalla järjestelmällä on varmasti yleinen ratkaisu (yhtälöt ovat lineaarisesti riippuvaisia);

- "Y" valitaan siten, että se on kokonaisluku ja ensimmäinen "x"-koordinaatti on kokonaisluku, positiivinen ja mahdollisimman pieni.

– tarkistamme, että tietty ratkaisu täyttää järjestelmän jokaisen yhtälön.

Vastaus .

Välitason "tarkistuspisteet" riittivät, joten tasa-arvojen tarkistus on periaatteessa tarpeeton.

Eri tietolähteissä ominaisvektorien koordinaatit kirjoitetaan usein ei sarakkeisiin, vaan riveihin, esimerkiksi: (ja ollakseni rehellinen, minulla oli tapana kirjoittaa ne riveinä). Tämä vaihtoehto on hyväksyttävä, mutta aiheen valossa lineaariset muunnokset teknisesti kätevämpi käyttää sarakevektorit.

Ehkä ratkaisu tuntui sinusta hyvin pitkältä, mutta se johtuu vain siitä, että kommentoin ensimmäistä esimerkkiä erittäin yksityiskohtaisesti.

Esimerkki 2

matriiseja

Treenaamme itse! Likimääräinen näyte tehtävän lopullisesta suunnittelusta oppitunnin lopussa.

Joskus sinun on suoritettava lisätehtävä, nimittäin:

kirjoita matriisin kanoninen hajotus

Mikä se on?

Jos matriisin ominaisvektorit muodostuvat perusta, niin se voidaan esittää seuraavasti:

Missä on ominaisvektorien koordinaateista koostuva matriisi, - diagonaalinen matriisi vastaavilla ominaisarvoilla.

Tätä matriisin hajottamista kutsutaan kanoninen tai diagonaalinen.

Harkitse ensimmäisen esimerkin matriisia. Hänen omat vektorit lineaarisesti riippumaton(ei-kollineaarinen) ja muodostavat perustan. Tehdään matriisi niiden koordinaateista:

Käytössä päädiagonaali matriiseja oikeassa järjestyksessä ominaisarvot sijaitsevat, ja loput elementit ovat yhtä suuria kuin nolla:
- Korostan vielä kerran järjestyksen tärkeyttä: "kaksi" vastaa ensimmäistä vektoria ja sijaitsee siksi ensimmäisessä sarakkeessa, "kolme" - toisessa vektorissa.

Tavallisen etsintäalgoritmin mukaan käänteinen matriisi tai Gauss-Jordan menetelmä löytö . Ei, se ei ole kirjoitusvirhe! - edessäsi on harvinaista, kuten auringonpimennys tapahtuma, kun käänteinen täsmäsi alkuperäisen matriisin kanssa.

Jäljelle jää kirjoittaa matriisin kanoninen hajottelu:

Järjestelmä voidaan ratkaista alkeellisia muunnoksia ja seuraavissa esimerkeissä turvaudumme tätä menetelmää. Mutta täällä "koulu" -menetelmä toimii paljon nopeammin. Kolmannesta yhtälöstä ilmaisemme: - korvaa toisen yhtälön:

Koska ensimmäinen koordinaatti on nolla, saadaan järjestelmä , jonka jokaisesta yhtälöstä seuraa, että .

Ja uudelleen kiinnitä huomiota lineaarisen suhteen pakolliseen olemassaoloon. Jos saadaan vain triviaali ratkaisu , sitten joko ominaisarvo löydettiin väärin tai järjestelmä on käännetty / ratkaistu virheellä.

Pienet koordinaatit antavat arvoa

Omavektori:

Ja vielä kerran tarkistamme, että ratkaisu löytyi täyttää järjestelmän jokaisen yhtälön. Seuraavissa kappaleissa ja myöhemmissä tehtävissä suosittelen tämän toiveen hyväksymistä pakolliseksi säännöksi.

2) Ominaisarvolle saadaan samaa periaatetta noudattaen seuraava järjestelmä:

Järjestelmän 2. yhtälöstä ilmaisemme: - korvaa kolmanteen yhtälöön:

Koska "zeta"-koordinaatti on yhtä suuri kuin nolla, saamme järjestelmän, jonka jokaisesta yhtälöstä se seuraa lineaarinen riippuvuus.

Päästää

Tarkistamme, että ratkaisu täyttää järjestelmän jokaisen yhtälön.

Siten ominaisvektori: .

3) Ja lopuksi järjestelmä vastaa omaa arvoaan:

Toinen yhtälö näyttää yksinkertaisimmalta, joten ilmaisemme sen siitä ja korvaamme sen 1. ja 3. yhtälöllä:

Kaikki on hyvin - lineaarinen riippuvuus paljastui, jonka korvaamme lausekkeella:

Tuloksena "X" ja "Y" ilmaistiin "Z":n kautta: . Käytännössä ei ole välttämätöntä saavuttaa vain tällaisia ​​​​suhteita, vaan joissain tapauksissa on kätevämpää ilmaista sekä kautta että läpi. Tai jopa "juna" - esimerkiksi "X" - "Y" ja "Y" - "Z"

Laitetaan sitten:

Tarkistamme, että ratkaisu löytyi täyttää jokaisen järjestelmän yhtälön ja kirjoittaa kolmannen ominaisvektorin

Vastaus: ominaisvektorit:

Geometrisesti nämä vektorit määrittelevät kolme erilaista tilasuuntaa ("Sinne ja takaisin"), jonka mukaan lineaarinen muunnos muuntaa nollasta poikkeavat vektorit (ominaisvektorit) niille kollineaarisiksi vektoreiksi.

Jos ehdon mukaan oli löydettävä kanoninen laajennus, niin tämä on mahdollista tässä, koska eri ominaisarvot vastaavat erilaisia ​​lineaarisesti riippumattomia ominaisvektoreita. Teemme matriisin niiden koordinaateista, diagonaalimatriisista alkaen asiaankuuluvaa ominaisarvot ja löydä käänteinen matriisi .

Jos ehdon mukaan on tarpeen kirjoittaa lineaarinen muunnosmatriisi ominaisvektorien perusteella, annamme vastauksen muodossa . Siinä on ero ja merkittävä ero! Tälle matriisille on matriisi "de".

Tehtävä yksinkertaisemmilla laskelmilla itsenäistä ratkaisua varten:

Esimerkki 5

Etsi matriisin antamat lineaarisen muunnoksen ominaisvektorit

Kun etsit omia lukujasi, yritä olla tuomatta tapausta 3. asteen polynomiin. Lisäksi järjestelmäratkaisusi voivat poiketa minun ratkaisuistani - tässä ei ole yksiselitteisyyttä; ja löytämäsi vektorit voivat erota näytevektoreista jopa suhteessa vastaaviin koordinaatteihinsa. Esimerkiksi ja. On esteettisesti miellyttävämpää esittää vastaus muodossa , mutta on hyvä, jos pysähdyt toiseen vaihtoehtoon. Kaikella on kuitenkin kohtuulliset rajat, versio ei näytä enää kovin hyvältä.

Likimääräinen lopullinen näyte tehtävästä oppitunnin lopussa.

Kuinka ratkaista ongelma, jos ominaisarvoja on useita?

Yleinen algoritmi pysyy samana, mutta sillä on omat erityispiirteensä, ja on suositeltavaa pitää jotkut ratkaisun osat tiukemmassa akateemisessa tyylissä:

Esimerkki 6

Etsi ominaisarvot ja ominaisvektorit

Ratkaisu

Käytetään tietysti isolla kirjaimella upea ensimmäinen sarake:

Ja hajoamisen jälkeen neliön trinomi kertoimille:

Tämän seurauksena saadaan ominaisarvot, joista kaksi on kerrannaisia.

Etsitään ominaisvektorit:

1) Käsittelemme yksinäistä sotilasta "yksinkertaistetun" järjestelmän mukaisesti:

Kahdesta viimeisestä yhtälöstä näkyy selvästi yhtälö, joka tietysti pitäisi korvata järjestelmän 1. yhtälöllä:

Ei ole parempaa yhdistelmää:
Omavektori:

2-3) Nyt poistamme pari vartijaa. Tässä tapauksessa se voi olla joko kaksi tai yksi ominaisvektori. Riippumatta juurien moninkertaisuudesta korvaamme arvon determinantissa , joka tuo meille seuraavan homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä:

Ominaisvektorit ovat täsmälleen vektoreita
perustavanlaatuinen päätösjärjestelmä

Itse asiassa koko oppitunnin ajan me vain etsimme perusjärjestelmän vektoreita. Toistaiseksi tätä termiä ei erityisesti vaadittu. Muuten, ne taitavat opiskelijat, jotka naamioituivat homogeeniset yhtälöt, joudun polttamaan sen nyt.

Ainoa toimenpide oli ylimääräisten rivien poistaminen. Tuloksena on "yksi kolmella" matriisi, jonka keskellä on muodollinen "askel".
– perusmuuttuja, – vapaat muuttujat. Ilmaisia ​​muuttujia on kaksi, joten perusjärjestelmän vektoria on myös kaksi.

Ilmaistaan ​​perusmuuttuja vapailla muuttujilla: . "x":n edessä oleva nollakerroin mahdollistaa sen, että se voi ottaa täysin mitkä tahansa arvot (mikä näkyy myös selvästi yhtälöjärjestelmästä).

Tämän ongelman yhteydessä on kätevämpää kirjoittaa yleinen ratkaisu ei riville, vaan sarakkeeseen:

Pari vastaa ominaisvektoria:
Pari vastaa ominaisvektoria:

Merkintä : kehittyneet lukijat voivat poimia nämä vektorit suullisesti - vain analysoimalla järjestelmää , mutta tässä tarvitaan tietoa: on kolme muuttujaa, järjestelmämatriisin arvo- yksikkö tarkoittaa perustavanlaatuinen päätösjärjestelmä koostuu 3 – 1 = 2 vektorista. Löydetyt vektorit ovat kuitenkin täysin näkyvissä myös ilman tätä tietoa, puhtaasti intuitiivisella tasolla. Tässä tapauksessa kolmas vektori kirjoitetaan vielä "kaunimmin": . Varoitan kuitenkin, että toisessa esimerkissä ei välttämättä ole yksinkertaista valintaa, minkä vuoksi varaus on tarkoitettu kokeneille ihmisille. Sitä paitsi, miksi ei oteta kolmantena vektorina, vaikkapa ? Loppujen lopuksi sen koordinaatit täyttävät myös järjestelmän jokaisen yhtälön ja vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia. Tämä vaihtoehto on periaatteessa sopiva, mutta "kiero", koska "toinen" vektori on perusjärjestelmän vektorien lineaarinen yhdistelmä.

Vastaus: ominaisarvot: , ominaisvektorit:

Samanlainen esimerkki tee-se-itse-ratkaisusta:

Esimerkki 7

Etsi ominaisarvot ja ominaisvektorit

Likimääräinen näyte viimeistelystä oppitunnin lopussa.

On huomattava, että sekä 6. että 7. esimerkissä saadaan lineaarisesti riippumattomien ominaisvektorien kolmoisosa, ja siksi alkuperäinen matriisi voidaan esittää kanonisessa laajennuksessa . Mutta tällaisia ​​vadelmia ei tapahdu kaikissa tapauksissa:

Esimerkki 8

Ratkaisu: muodosta ja ratkaise ominaisyhtälö:

Laajennamme determinantin ensimmäisellä sarakkeella:

Suoritamme lisäyksinkertaistuksia tarkasteltavan menetelmän mukaisesti välttäen 3. asteen polynomia:

ovat ominaisarvoja.

Etsitään ominaisvektorit:

1) Juuren kanssa ei ole vaikeuksia:

Älä ihmettele, pakkauksen lisäksi myös muuttujat ovat käytössä - tässä ei ole eroa.

Kolmannesta yhtälöstä ilmaisemme - korvaamme 1. ja 2. yhtälön:

Molemmista yhtälöistä seuraa:

Antaa sitten:

2-3) Useille arvoille saamme järjestelmän .

Kirjataan ylös järjestelmän matriisi ja saatetaan se alkeismuunnoksilla porrastettuun muotoon:

Jos matriisilla A on sellainen luku l, että AX = lX.

Tässä tapauksessa kutsutaan numeroa l ominaisarvo vektoria X vastaava operaattori (matriisi A).

Toisin sanoen ominaisvektori on vektori, joka lineaarioperaattorin vaikutuksesta muuttuu kollineaariseksi vektoriksi, ts. kerro vain jollain numerolla. Sitä vastoin sopimattomia vektoreita on vaikeampi muuntaa.

Kirjoitamme ominaisvektorin määritelmän yhtälöjärjestelmäksi:

Siirretään kaikki ehdot vasemmalle puolelle:

Viimeinen järjestelmä voidaan kirjoittaa matriisimuotoon seuraavasti:

(A - lE)X \u003d O

Tuloksena olevalla järjestelmällä on aina nollaratkaisu X = O. Sellaisia ​​järjestelmiä, joissa kaikki vapaat termit ovat yhtä suuret kuin nolla, kutsutaan homogeeninen. Jos tällaisen järjestelmän matriisi on neliö ja sen determinantti ei ole nolla, niin Cramerin kaavojen mukaan saamme aina ainutlaatuisen ratkaisun - nollan. Voidaan todistaa, että järjestelmässä on nollasta poikkeavia ratkaisuja, jos ja vain, jos tämän matriisin determinantti on yhtä suuri kuin nolla, ts.

|A - lE| = = 0

Tätä yhtälöä tuntemattomalla l:llä kutsutaan ominaisyhtälö (ominaispolynomi) matriisi A (lineaarinen operaattori).

Voidaan osoittaa, että lineaarioperaattorin karakteristinen polynomi ei riipu kantan valinnasta.

Etsitään esimerkiksi matriisin A = antaman lineaarisen operaattorin ominaisarvot ja ominaisvektorit.

Tätä varten laadimme ominaisyhtälön |А - lЕ| = \u003d (1 - l) 2 - 36 \u003d 1 - 2l + l 2 - 36 \u003d l 2 - 2l - 35 \u003d 0; D \u003d 4 + 140 \u003d 144; ominaisarvot l 1 = (2 - 12)/2 = -5; l 2 \u003d (2 + 12) / 2 \u003d 7.

Ominaisuusvektorien löytämiseksi ratkaisemme kaksi yhtälöjärjestelmää

(A + 5E) X = O

(A - 7E) X = O

Ensimmäiselle niistä laajennettu matriisi saa muodon

,

mistä x 2 \u003d c, x 1 + (2/3) c \u003d 0; x 1 \u003d - (2/3) s, ts. X (1) \u003d (- (2/3) s; s).

Toiselle niistä laajennettu matriisi saa muodon

,

mistä x 2 \u003d c 1, x 1 - (2/3) c 1 \u003d 0; x 1 \u003d (2/3) s 1, ts. X (2) \u003d ((2/3) s 1; s 1).

Siten tämän lineaarisen operaattorin ominaisvektorit ovat kaikki muotoa (-(2/3)c; c) olevat vektorit, joiden ominaisarvo on (-5) ja kaikki vektorit muotoa ((2/3)c 1 ; c 1) ominaisarvo 7.

Voidaan osoittaa, että operaattorin A matriisi sen ominaisvektoreista koostuvassa kannassa on diagonaalinen ja muotoa:

,

missä l i ovat tämän matriisin ominaisarvot.

Päinvastoin on myös totta: jos matriisi A jossakin kannassa on diagonaali, niin kaikki tämän kannan vektorit ovat tämän matriisin ominaisvektoreita.

Voidaan myös todistaa, että jos lineaarisella operaattorilla on n pareittain erillistä ominaisarvoa, niin vastaavat ominaisvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia ja tämän operaattorin matriisilla vastaavassa kannassa on diagonaalimuoto.

Selvitetään tämä edellisellä esimerkillä. Otetaan mielivaltaiset nollasta poikkeavat arvot c ja c 1 , mutta sellaisia, että vektorit X (1) ja X (2) ovat lineaarisesti riippumattomia, ts. muodostaisi pohjan. Oletetaan esimerkiksi c \u003d c 1 \u003d 3, sitten X (1) \u003d (-2; 3), X (2) \u003d (2; 3).

Varmistetaan lineaarinen riippumattomuus nämä vektorit:

12 ≠ 0. Tässä uudessa kannassa matriisi A saa muotoa A * = .

Tämän tarkistamiseksi käytämme kaavaa A * = C -1 AC. Etsitään ensin C -1.

C-1 = ;

Neliölliset muodot

neliöllinen muoto f (x 1, x 2, x n) n muuttujasta kutsutaan summaksi, jonka jokainen termi on joko yhden muuttujan neliö tai kahden eri muuttujan tulo tietyllä kertoimella: f (x 1) , x 2, x n) = (a ij = a ji).

Näistä kertoimista koostuvaa matriisia A kutsutaan matriisineliöllinen muoto. Se on aina symmetrinen matriisi (eli matriisi, joka on symmetrinen päädiagonaalin suhteen, a ij = a ji).

Matriisimerkinnässä toisen asteen muoto on f(X) = X T AX, missä

Todellakin

Esimerkiksi kirjoitetaan matriisimuoto neliöllinen muoto.

Tätä varten löydämme neliömuotoisen matriisin. Sen diagonaaliset alkiot ovat yhtä suuria kuin muuttujien neliöiden kertoimet, ja loput alkiot ovat yhtä suuria kuin puolet neliömuodon vastaavista kertoimista. Siksi

Olkoon muuttujien X matriisisarake saatu matriisi-sarakkeen Y ei-degeneroituneella lineaarisella muunnoksella, ts. X = CY, missä C on kertaluvun n ei-degeneroitunut matriisi. Sitten neliömuoto f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Siten ei-degeneroituneessa lineaarisessa muunnoksessa C neliömuodon matriisi saa muodon: A * = C T AC.

Etsitään esimerkiksi neliömuoto f(y 1, y 2), joka saadaan neliömuodosta f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 lineaarimuunnoksen avulla.

Kvadraattista muotoa kutsutaan kanoninen(Sillä on kanoninen näkemys) jos kaikki sen kertoimet a ij = 0 kun i ≠ j, ts.
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 =.

Sen matriisi on diagonaalinen.

Lause(todistetta ei anneta tässä). Mikä tahansa neliömuoto voidaan pelkistää kanoniseen muotoon käyttämällä ei-degeneroitunutta lineaarimuunnosa.

Pelkistetään esimerkiksi neliömuoto kanoniseen muotoon
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Voit tehdä tämän valitsemalla ensin muuttujan x 1 koko neliön:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2) ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Nyt valitsemme muuttujan x 2 koko neliön:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 + 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) + (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 + (1/20) x 3 2.

Sitten ei-degeneroitu lineaarinen muunnos y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 + (1/10) x 3 ja y 3 \u003d x 3 tuo tämän toisen asteen muodon kanoniseen muotoon f (y 1 , y 2, y 3) = 2 y 1 2 - 5 y 2 2 + (1/20) y 3 2 .

Huomaa, että neliömuodon kanoninen muoto on määritelty moniselitteisesti (sama neliömuoto voidaan pelkistää kanoniseksi muotoksi eri tavoilla). Kuitenkin eri tavoilla kanonisilla muodoilla on numero yhteisiä ominaisuuksia. Erityisesti neliömuodon positiivisilla (negatiivisilla) kertoimilla varustettujen termien määrä ei riipu siitä, kuinka muoto pelkistetään tähän muotoon (esimerkiksi tarkasteltavassa esimerkissä on aina kaksi negatiivista ja yksi positiivinen kerroin). Tätä ominaisuutta kutsutaan hitauslakia kvadraattiset muodot.

Varmistetaan tämä pelkistämällä sama neliömuoto kanoniseen muotoon eri tavalla. Aloitetaan muunnos muuttujalla x 2:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3(x 2 2 +
+ 2 * x 2 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2) + 3 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 + (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
+ 3y 2 2 + 2y 3 2, missä y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6) ) x 3 ja y 3 = x 1 . Tässä negatiivinen kerroin -3 kohdassa y 1 ja kaksi positiivista kerrointa 3 ja 2 kohdassa y 2 ja y 3 (ja käyttämällä toista menetelmää saimme negatiivisen kertoimen (-5) kohdassa y 2 ja kaksi positiivista kerrointa: 2 kohdassa y 1 ja 1/20 v 3).

On myös huomattava, että asteikolla matriisin neliömuotoinen, ns toisen asteen muodon arvo, on yhtä suuri kuin kanonisen muodon nollasta poikkeavien kertoimien lukumäärä, eikä se muutu lineaarisissa muunnoksissa.

Kutsutaan neliömuotoa f(X). positiivisesti (negatiivinen) varma, jos kaikille muuttujien arvoille, jotka eivät ole samanaikaisesti yhtä suuria kuin nolla, se on positiivinen, ts. f(X) > 0 (negatiivinen, ts.
f(X)< 0).

Esimerkiksi neliömuoto f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 on positiivinen määrätty, koska on neliöiden summa, ja neliömuoto f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 on negatiivinen määrätty, koska edustaa sitä voidaan esittää muodossa f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

Useimmissa käytännön tilanteissa toisen asteen muodon merkkimääräisyyden toteaminen on hieman vaikeampaa, joten tähän käytetään jotakin seuraavista lauseista (muotoilemme ne ilman todisteita).

Lause. Neliömuoto on positiivinen (negatiivinen) määrätty silloin ja vain, jos kaikki sen matriisin ominaisarvot ovat positiivisia (negatiivisia).

Lause(Sylvesterin kriteeri). Neliömuoto on positiivinen, jos ja vain jos kaikki tämän muodon matriisin päämollit ovat positiivisia.

Major (nurkka) molli N:nnen kertaluvun matriisin A k:nnettä kertalukua kutsutaan matriisin determinantiksi, joka koostuu matriisin A () ensimmäisestä k rivistä ja sarakkeesta.

Huomaa, että negatiivis-definitoiduissa kvadraattisissa muodoissa pää-mollin merkit vuorottelevat ja ensimmäisen asteen mollimerkin tulee olla negatiivinen.

Tarkastellaan esimerkiksi toisen asteen muotoa f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 merkkimäärän suhteen.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 \u003d (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 - 5l + 2 \u003d 0; D = 25 - 8 = 17;
. Siksi neliömuoto on positiivinen määrätty.

Menetelmä 2. Matriisin ensimmäisen kertaluvun pää-molli A D 1 = a 11 = 2 > 0. Toisen kertaluvun pää-molli D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Siksi Sylvester-kriteerin mukaan neliömuoto on positiivinen määrätty.

Tarkastelemme toista neliömuotoa merkkien määrittämiselle, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Menetelmä 1. Muodostetaan matriisi, jonka muoto on А = . Ominaisuusyhtälöllä on muoto = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = 12 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Siksi neliömuoto on negatiivinen definitiivinen.

Menetelmä 2. Matriisin ensimmäisen kertaluvun päämolli A D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Sylvester-kriteerin mukaan neliömuoto on siis negatiivinen definitiivinen (päämollien merkit vuorottelevat, alkaen miinuksesta).

Ja toisena esimerkkinä tarkastelemme neliömuotoa f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 merkkimäärän suhteen.

Menetelmä 1. Muodostetaan matriisi, jonka muoto on А = . Ominaisuusyhtälöllä on muoto = (2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Toinen näistä luvuista on negatiivinen ja toinen on positiivinen. Ominaisuusarvojen merkit ovat erilaisia. Siksi neliömuoto ei voi olla negatiivinen tai positiivinen definiitti, ts. tämä neliömuoto ei ole merkkimääräinen (se voi ottaa minkä tahansa merkin arvoja).

Menetelmä 2. Matriisin ensimmäisen kertaluvun pää-molli A D 1 = a 11 = 2 > 0. Toisen kertaluvun pää-molli D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

www.sivusto antaa sinun löytää. Sivusto tekee laskelman. Muutaman sekunnin kuluttua palvelin antaa ongelman oikea päätös. Matriisin ominaisyhtälö on algebrallinen lauseke, joka löytyy determinantin laskentasäännöstä matriiseja matriiseja, kun taas päädiagonaalissa diagonaalielementtien ja muuttujan arvoissa on eroja. Laskettaessa ominaisyhtälö matriisille verkossa, jokainen elementti matriiseja kerrotaan vastaavilla muilla elementeillä matriiseja. Etsi tilassa verkossa mahdollista vain neliölle matriiseja. Etsi toiminta ominaisyhtälö matriisille verkossa pelkistyy elementtien tulon algebrallisen summan laskemiseen matriiseja determinantin löytämisen seurauksena matriiseja, vain määrittämistä varten ominaisyhtälö matriisille verkossa. Tämä operaatio sillä on erityinen paikka teoriassa matriiseja, voit löytää ominaisarvoja ja vektoreita juurien avulla. Tehtävän löytäminen ominaisyhtälö matriisille verkossa on moninkertaistaa elementtejä matriiseja näiden tuotteiden myöhemmin laskemalla yhteen tietyn säännön mukaisesti. www.sivusto löytöjä matriisin ominaisyhtälö annettu mitta tilassa verkossa. laskeminen ominaisyhtälö matriisille verkossa annetulle ulottuvuudelle tämä on polynomin löytäminen numeerisilla tai symbolisilla kertoimilla, jotka löytyvät determinantin laskentasäännöstä matriiseja- vastaavien elementtien tulojen summana matriiseja, vain määrittämistä varten ominaisyhtälö matriisille verkossa. Polynomin löytäminen neliön muuttujan suhteen matriiseja, määritelmänä matriisin ominaisyhtälö, yleistä teoriassa matriiseja. Polynomin juurien arvo ominaisyhtälö matriisille verkossa käytetään ominaisvektorien ja ominaisarvojen määrittämiseen matriiseja. Kuitenkin, jos määräävä tekijä matriiseja on sitten nolla matriisin ominaisyhtälö on edelleen olemassa, toisin kuin päinvastoin matriiseja. Laskeakseen matriisin ominaisyhtälö tai etsi useita kerralla matriisien ominaisyhtälöt, sinun täytyy viettää paljon aikaa ja vaivaa, kun taas palvelimemme löytää ominaisyhtälö online-matriisille. Tässä tapauksessa vastaus etsimällä ominaisyhtälö matriisille verkossa on oikein ja riittävän tarkasti, vaikka numerot löydettäessä ominaisyhtälö matriisille verkossa tulee olemaan järjetöntä. Sivustolla www.sivusto merkkimerkinnät ovat sallittuja elementeissä matriiseja, tuo on ominaisyhtälö online-matriisille voidaan esittää yleisessä symbolisessa muodossa laskettaessa ominaisyhtälömatriisi verkossa. Saatu vastaus on hyödyllistä tarkistaa etsimisongelmaa ratkaistaessa ominaisyhtälö matriisille verkossa käyttämällä sivustoa www.sivusto. Suorittaessasi polynomin laskentatoimintoa - matriisin ominaisyhtälö, sinun on oltava tarkkaavainen ja erittäin keskittynyt tämän ongelman ratkaisemisessa. Sivustomme puolestaan ​​auttaa sinua tarkistamaan päätöksesi aiheesta ominaisyhtälömatriisi verkossa. Jos sinulla ei ole aikaa ratkaistujen ongelmien pitkiin tarkastuksiin, niin www.sivusto on varmasti kätevä työkalu etsimiseen ja laskemiseen ominaisyhtälö matriisille verkossa.