Funktion x derivaatta on yhtä suuri. Potenssifunktion derivaatta (potenssit ja juuret)

Määritelmä. Olkoon funktio \(y = f(x) \) määritelty jossain välissä, jonka sisällä on piste \(x_0 \). Kasvatetaan \(\Delta x \) argumenttiin, jotta tämä intervalli ei poistu. Etsi funktion \(\Delta y \) vastaava lisäys (siirrettäessä pisteestä \(x_0 \) pisteeseen \(x_0 + \Delta x \)) ja muodosta relaatio \(\frac(\Delta y) )(\Delta x) \). Jos tälle suhteelle on raja kohdassa \(\Delta x \rightarrow 0 \), niin määritetty raja kutsutaan johdannainen funktio\(y=f(x) \) pisteessä \(x_0 \) ja merkitse \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Symbolia y käytetään usein merkitsemään derivaatta. Huomaa, että y" = f(x) on uusi funktio, mutta liittyy luonnollisesti funktioon y = f(x), joka on määritelty kaikissa pisteissä x, joissa yllä oleva raja on olemassa. Tätä funktiota kutsutaan näin: funktion y \u003d f (x) derivaatta.

Derivaatan geometrinen merkitys koostuu seuraavista. Jos tangentti, joka ei ole yhdensuuntainen y-akselin kanssa, voidaan piirtää funktion y \u003d f (x) kuvaajaan pisteessä, jossa on abskissa x \u003d a, niin f (a) ilmaisee tangentin kulmakertoimen:
\(k = f"(a)\)

Koska \(k = tg(a) \), yhtälö \(f"(a) = tg(a) \) on tosi.

Ja nyt tulkitsemme derivaatan määritelmää likimääräisten yhtälöiden kannalta. Olkoon funktiolla \(y = f(x) \) derivaatta tietyssä pisteessä \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Tämä tarkoittaa, että pisteen x lähellä likimääräinen yhtälö \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), eli \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). Saadun likimääräisen yhtälön merkityksellinen merkitys on seuraava: funktion inkrementti on "melkein verrannollinen" argumentin lisäykseen ja suhteellisuuskerroin on derivaatan arvo annettu piste X. Esimerkiksi funktiolle \(y = x^2 \) likimääräinen yhtälö \(\Delta y \noin 2x \cdot \Delta x \) on tosi. Jos analysoimme derivaatan määritelmää huolellisesti, huomaamme, että se sisältää algoritmin sen löytämiseksi.

Muotoillaan se.

Kuinka löytää funktion y \u003d f (x) derivaatta?

1. Korjaa arvo \(x \), etsi \(f(x) \)
2. Kasvata \(x \) argumenttia \(\Delta x \), siirry uuteen pisteeseen \(x+ \Delta x \), etsi \(f(x+ \Delta x) \)
3. Etsi funktion inkrementti: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Muodosta relaatio \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Laske $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Tämä raja on funktion derivaatta kohdassa x.

Jos funktiolla y = f(x) on derivaatta pisteessä x, niin sitä kutsutaan differentioituvaksi pisteessä x. Kutsutaan menetelmä funktion y \u003d f (x) derivaatan löytämiseksi erilaistuminen funktiot y = f(x).

Tarkastellaan seuraavaa kysymystä: miten funktion jatkuvuus ja differentioituvuus pisteessä liittyvät toisiinsa?

Olkoon funktio y = f(x) differentioituva pisteessä x. Tällöin funktion kuvaajalle voidaan piirtää tangentti pisteessä M (x; f (x)) ja, muistaakseni, tangentin kaltevuus on yhtä suuri kuin f "(x). Tällainen graafi ei voi "murtua" kohdassa pisteen M eli funktion on oltava jatkuva kohdassa x.

Se oli päättelyä "sormilla". Esitetään tiukempi argumentti. Jos funktio y = f(x) on differentioituva pisteessä x, niin likimääräinen yhtälö \(\Delta y \noin f"(x) \cdot \Delta x \) pätee. nolla, sitten \(\Delta y \ ) pyrkii myös nollaan, ja tämä on ehto funktion jatkuvuudelle pisteessä.

Niin, jos funktio on differentioituva pisteessä x, niin se on myös jatkuva siinä pisteessä.

Päinvastoin ei pidä paikkaansa. Esimerkiksi: funktio y = |x| on jatkuva kaikkialla, erityisesti pisteessä x = 0, mutta funktion kaavion tangenttia "liitospisteessä" (0; 0) ei ole olemassa. Jos jossain vaiheessa on mahdotonta piirtää tangenttia funktiokaavioon, niin tässä vaiheessa ei ole derivaattia.

Vielä yksi esimerkki. Funktio \(y=\sqrt(x) \) on jatkuva koko lukuviivalla, mukaan lukien pisteessä x = 0. Ja funktion kaavion tangentti on olemassa missä tahansa pisteessä, myös pisteessä x = 0 Mutta tässä vaiheessa tangentti osuu yhteen y-akselin kanssa, eli se on kohtisuorassa abskissa-akselia vastaan, sen yhtälö on muotoa x \u003d 0. Kaltevuus tällaista riviä ei ole, mikä tarkoittaa, että \(f"(0) \) ei myöskään ole olemassa

Joten tutustuimme funktion uuteen ominaisuuteen - differentiaatioon. Mistä tiedät, onko funktio erotettavissa funktion kaaviosta?

Vastaus on itse asiassa annettu yllä. Jos funktion kuvaajaan voidaan jossain vaiheessa piirtää tangentti, joka ei ole kohtisuorassa x-akselia vastaan, niin tässä vaiheessa funktio on differentioituva. Jos jossain vaiheessa funktion kuvaajan tangenttia ei ole olemassa tai se on kohtisuorassa x-akselia vastaan, niin funktio ei tässä vaiheessa ole differentioituva.

Erottamisen säännöt

Operaatiota derivaatan löytämiseksi kutsutaan erilaistuminen. Tätä toimintoa suoritettaessa joudut usein työskentelemään osamäärien, summien, funktioiden tulojen sekä "funktioiden funktioiden" eli monimutkaisten funktioiden kanssa. Derivaatan määritelmän perusteella voimme johtaa tätä työtä helpottavia differentiointisääntöjä. Jos C on vakioluku ja f=f(x), g=g(x) ovat joitain differentioituvia funktioita, niin seuraavat ovat totta eriyttämissäännöt:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Yhdistelmäfunktion derivaatta:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Taulukko joidenkin funktioiden johdannaisista

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Jos noudatamme määritelmää, niin funktion derivaatta pisteessä on funktion Δ lisäyssuhteen raja. y argumentin Δ lisäykseen x:

Kaikki näyttää olevan selvää. Mutta yritä laskea tällä kaavalla esimerkiksi funktion derivaatta f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x synti x. Jos teet kaiken määritelmän mukaan, nukahdat vain muutaman sivun laskelmien jälkeen. Siksi on olemassa yksinkertaisempia ja tehokkaampia tapoja.

Aluksi huomautamme, että niin sanotut alkeisfunktiot voidaan erottaa funktioiden kokonaisuudesta. Nämä ovat suhteellisen yksinkertaisia ​​lausekkeita, joiden derivaatat on laskettu ja syötetty taulukkoon pitkään. Tällaiset funktiot ja niiden johdannaiset ovat riittävän helppoja muistaa.

Alkeisfunktioiden johdannaiset

Perustoiminnot ovat kaikki alla lueteltuja. Näiden funktioiden johdannaiset on tiedettävä ulkoa. Lisäksi niitä ei ole vaikea muistaa - siksi ne ovat alkeellisia.

Eli alkeisfunktioiden johdannaiset:

Nimi	Toiminto	Johdannainen
Jatkuva	f(x) = C, C ∈ R	0 (kyllä, kyllä, nolla!)
Aste rationaalisen eksponentin kanssa	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = synti x	cos x
Kosini	f(x) = cos x	- synti x(miinus sini)
Tangentti	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangentti	f(x) = ctg x	− 1/sin2 x
luonnollinen logaritmi	f(x) = loki x	1/x
Mielivaltainen logaritmi	f(x) = loki a x	1/(x ln a)
Eksponentti funktio	f(x) = e x	e x(mikään ei muuttunut)

Jos perusfunktio kerrotaan mielivaltaisella vakiolla, niin uuden funktion derivaatta on myös helppo laskea:

(C · f)’ = C · f ’.

Yleensä vakiot voidaan ottaa pois derivaatan etumerkistä. Esimerkiksi:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

On selvää, että perusfunktioita voidaan lisätä toisiinsa, kertoa, jakaa ja paljon muuta. Näin ilmaantuu uusia toimintoja, jotka eivät enää ole kovin alkeellisia, mutta myös erotettavissa tiettyjen sääntöjen mukaan. Näitä sääntöjä käsitellään alla.

Summan ja erotuksen johdannainen

Anna toiminnot f(x) ja g(x), joiden johdannaiset tunnemme. Voit esimerkiksi ottaa edellä käsitellyt perusfunktiot. Sitten voit löytää näiden funktioiden summan ja erotuksen derivaatan:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Joten kahden funktion summan (eron) derivaatta on yhtä suuri kuin derivaattojen summa (ero). Termejä voi olla enemmän. Esimerkiksi, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Tarkkaan ottaen algebrassa ei ole käsitettä "vähennys". On olemassa "negatiivisen elementin" käsite. Siksi ero f − g voidaan kirjoittaa uudelleen summaksi f+ (-1) g, ja sitten jäljellä on vain yksi kaava - summan derivaatta.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Toiminto f(x) on kahden perusfunktion summa, joten:

f ’(x) = (x 2+ synti x)’ = (x 2)' + (synti x)’ = 2x+ cosx;

Väittelemme samalla tavalla funktion puolesta g(x). Vain kolme termiä on jo olemassa (algebran näkökulmasta):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Vastaus:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Tuotteen johdannainen

Matematiikka on loogista tiedettä, joten monet ihmiset uskovat, että jos summan derivaatta on yhtä suuri kuin johdannaisten summa, niin tuotteen derivaatta lakko"\u003e yhtä suuri kuin johdannaisten tulo. Mutta viikunat sinulle! Tuotteen johdannainen lasketaan täysin eri kaavalla. Nimittäin:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Kaava on yksinkertainen, mutta usein unohtuu. Eikä vain koululaisia, vaan myös opiskelijoita. Tuloksena on virheellisesti ratkaistuja ongelmia.

Tehtävä. Etsi funktioiden johdannaiset: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x– 7) · e x .

Toiminto f(x) on kahden perusfunktion tulos, joten kaikki on yksinkertaista:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-sin x) = x 2 (3cos x − x synti x)

Toiminto g(x) ensimmäinen kerroin on hieman monimutkaisempi, mutta yleinen kaava tämä ei muutu. Ilmeisesti funktion ensimmäinen kerroin g(x) on polynomi, ja sen derivaatta on summan derivaatta. Meillä on:

g ’(x) = ((x 2 + 7x– 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x– 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Vastaus:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x synti x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Huomaa, että viimeisessä vaiheessa derivaatta faktoroidaan. Muodollisesti tämä ei ole välttämätöntä, mutta useimpia johdannaisia ​​ei lasketa yksinään, vaan funktion tutkimiseksi. Tämä tarkoittaa, että edelleen derivaatta rinnastetaan nollaan, sen merkit selvitetään ja niin edelleen. Tällaisessa tapauksessa on parempi, että lauseke on jaettu tekijöihin.

Jos toimintoja on kaksi f(x) ja g(x), ja g(x) ≠ 0 meitä kiinnostavassa joukossa, voimme määritellä uuden funktion h(x) = f(x)/g(x). Tällaista funktiota varten löydät myös johdannaisen:

Ei heikko, eihän? Mistä miinus tuli? Miksi g 2? Mutta näin! Tämä on yksi monimutkaisimmista kaavoista - et voi selvittää sitä ilman pulloa. Siksi on parempi tutkia sitä konkreettisia esimerkkejä.

Tehtävä. Etsi funktioiden johdannaiset:

Jokaisen murtoluvun osoittajassa ja nimittäjässä on alkeisfunktiot, joten tarvitsemme vain kaavan osamäärän derivaatalle:

Perinteisesti laskemme osoittajan tekijöihin - tämä yksinkertaistaa vastausta suuresti:

Monimutkainen funktio ei välttämättä ole puoli kilometriä pitkä kaava. Esimerkiksi funktio riittää f(x) = synti x ja vaihda muuttuja x, sano, päälle x 2+ln x. Se käy ilmi f(x) = synti ( x 2+ln x) on monimutkainen funktio. Hänellä on myös johdannainen, mutta sen löytäminen ei onnistu yllä käsiteltyjen sääntöjen mukaisesti.

Kuinka olla? Tällaisissa tapauksissa muuttujan korvaaminen ja kompleksisen funktion derivaatan kaava auttavat:

f ’(x) = f ’(t) · t', jos x korvataan t(x).

Pääsääntöisesti tilanne tämän kaavan ymmärtämisessä on vielä surullisempi kuin osamäärän derivaatan kanssa. Siksi on myös parempi selittää se konkreettisilla esimerkeillä, joilla Yksityiskohtainen kuvaus jokainen askel.

Tehtävä. Etsi funktioiden johdannaiset: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = synti ( x 2+ln x)

Huomaa, että jos funktiossa f(x) lausekkeen 2 sijaan x+3 tulee olemaan helppoa x, niin se toimii alkeistoiminto f(x) = e x. Siksi teemme korvauksen: olkoon 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Etsimme kompleksisen funktion johdannaista kaavalla:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Ja nyt - huomio! Käänteisen vaihdon suorittaminen: t = 2x+ 3. Saamme:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Katsotaan nyt toimintoa g(x). Ilmeisesti pitää vaihtaa. x 2+ln x = t. Meillä on:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (synti t)’ · t' = cos t · t ’

Käänteinen vaihto: t = x 2+ln x. Sitten:

g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Siinä kaikki! Kuten viimeisestä lausekkeesta voidaan nähdä, koko ongelma on rajoittunut summan derivaatan laskemiseen.

Vastaus:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2+ln x).

Hyvin usein tunneillani käytän sanan "johdannainen" sijaan sanaa "halvaus". Esimerkiksi summan veto on yhtä suuri kuin vetojen summa. Onko se selkeämpi? No se on hyvä.

Täten johdannaisen laskennassa päästään eroon juuri näistä vedoista edellä käsiteltyjen sääntöjen mukaisesti. Viimeisenä esimerkkinä palataan derivatiiviseen potenssiin rationaalisen eksponentin kanssa:

(x n)’ = n · x n − 1

Harva tietää sen roolissa n voi hyvin toimia murtoluku. Esimerkiksi juuri on x 0,5 . Mutta entä jos juuren alla on jotain hankalaa? Jälleen tulee monimutkainen toiminto - he haluavat antaa tällaisia ​​rakenteita valvoa työtä ja kokeet.

Tehtävä. Etsi funktion derivaatta:

Ensin kirjoitetaan juuri uudelleen potenssiksi rationaalisen eksponentin kanssa:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Nyt teemme vaihdon: anna x 2 + 8x − 7 = t. Löydämme johdannaisen kaavasta:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)" t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Teemme käänteisen vaihdon: t = x 2 + 8x− 7. Meillä on:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Lopuksi takaisin juurille:

Kun johdetaan taulukon aivan ensimmäistä kaavaa, lähdetään funktion derivaatan määritelmästä pisteessä. Otetaan minne x- mikä tahansa todellinen luku, eli x– mikä tahansa numero funktion määritysalueelta . Kirjoita funktion inkrementin ja argumentin inkrementin suhteen raja osoitteeseen:

On huomattava, että rajan merkin alla saadaan lauseke, joka ei ole nollan epävarmuus jaettuna nollalla, koska osoittaja ei sisällä äärettömän pientä arvoa, vaan täsmälleen nollan. Toisin sanoen vakiofunktion inkrementti on aina nolla.

Tällä tavalla, vakiofunktion derivaattaon yhtä suuri kuin nolla koko määritelmäalueella.

Tehofunktion johdannainen.

Johdannaiskaava tehotoiminto on muotoa , jossa eksponentti s on mikä tahansa todellinen luku.

Todistetaan ensin luonnollisen eksponentin, eli for:n, kaava p = 1, 2, 3, ...

Käytämme johdannaisen määritelmää. Kirjoitetaan tehofunktion inkrementin ja argumentin inkrementin suhteen raja:

Osoittajan lausekkeen yksinkertaistamiseksi siirrymme Newtonin binomiaalikaavaan:

Näin ollen

Tämä todistaa luonnollisen eksponentin potenssifunktion derivaatan kaavan.

Eksponentiaalifunktion johdannainen.

Johdamme johdannaiskaavan määritelmän perusteella:

Tuli epävarmuuteen. Laajentaaksemme sitä otamme käyttöön uuden muuttujan , ja . Sitten . Viimeisessä siirtymässä käytimme logaritmin uuteen kantaan siirtymisen kaavaa.

Suoritetaan korvaus alkuperäisessä rajassa:

Jos muistamme toisen merkittävän rajan, tulemme eksponentiaalisen funktion derivaatan kaavaan:

Logaritmisen funktion derivaatta.

Todistakaamme logaritmisen funktion derivaatan kaava kaikille x laajuudesta ja kaikista kelvollisista perusarvoista a logaritmi. Johdannaisen määritelmän mukaan meillä on:

Kuten huomasit, todistuksessa muunnokset suoritettiin käyttämällä logaritmin ominaisuuksia. Tasa-arvo on voimassa toisen merkittävän rajan vuoksi.

Trigonometristen funktioiden johdannaiset.

Kaavojen johtamiseksi trigonometristen funktioiden johdannaisille on muistettava joitain trigonometriakaavoja sekä ensimmäinen merkittävä raja.

Sinifunktion derivaatan määritelmän mukaan meillä on .

Käytämme kaavaa sinien erolle:

Jäljelle jää ensimmäinen merkittävä raja:

Siis funktion derivaatta synti x on cos x.

Kosinijohdannaisen kaava todistetaan täsmälleen samalla tavalla.

Siksi funktion derivaatta cos x on -sin x.

Tangentin ja kotangentin derivaattataulukon kaavojen johtaminen suoritetaan käyttäen hyväksi todettuja differentiaatiosääntöjä (murto-osan derivaatta).

Hyperbolisten funktioiden johdannaiset.

Differentiointisäännöt ja eksponentiaalisen funktion derivaatan kaava derivaattataulukosta antavat meille mahdollisuuden johtaa kaavoja hyperbolisen sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin derivaateille.

Käänteisfunktion derivaatta.

Jotta esityksessä ei olisi hämmennystä, merkitään alemmalla indeksillä funktion argumentti, jolla differentiointi suoritetaan, eli se on funktion derivaatta f(x) päällä x.

Nyt muotoillaan sääntö käänteisfunktion derivaatan löytämiseksi.

Anna toiminnot y = f(x) ja x = g(y) toistensa käänteinen, määritelty intervalleilla ja vastaavasti. Jos jossakin pisteessä on olemassa funktion äärellinen nollasta poikkeava derivaatta f(x), silloin pisteessä on käänteisfunktion äärellinen derivaatta g(y), ja . Toisessa merkinnässä .

Tämä sääntö voidaan muotoilla uudelleen mille tahansa x väliltä , niin saamme .

Tarkastetaan näiden kaavojen oikeellisuus.

Etsitään luonnollisen logaritmin käänteisfunktio (tässä y on toiminto ja x- Perustelu). Tämän yhtälön ratkaiseminen x, saamme (täältä x on toiminto ja y hänen argumenttinsa). Tuo on, ja keskenään käänteisiä funktioita.

Johdannaisten taulukosta näemme sen ja .

Varmistetaan, että kaavat käänteisfunktion derivaattojen löytämiseksi johtavat samoihin tuloksiin:

Sovellus

Sivuston johdannaisen ratkaisu opiskelijoiden ja koululaisten käsittelemän materiaalin yhdistämiseksi. Funktion derivaatan laskeminen muutamassa sekunnissa ei ole vaikeaa, jos käytät online-ongelmanratkaisupalveluamme. Anna yksityiskohtainen analyysi perusteelliselle tutkimukselle käytännön oppitunti joka kolmas opiskelija voi. Usein meihin kääntyy asianomaisen osaston osasto matematiikan edistämiseksi maan oppilaitoksissa. Tässä tapauksessa, kuinka puhumattakaan ratkaisusta derivaatan online-tilassa suljetulle tilalle numerosarjoja. Monet varakkaat ihmiset saavat ilmaista hämmennyksensä. Mutta sillä välin matemaatikot eivät istu paikallaan ja työskentelevät kovasti. Tuloparametrien muutoksen lineaaristen ominaisuuksien mukaan derivaatasaskin hyväksyy pääasiassa kuutioiden laskevien paikkojen ylivoiman vuoksi. Tulos on väistämätön pintana. Alkutietona online-johdannainen eliminoi tarpeettomia toimia. Paitsi kuvitteelliset kotitehtävät. Sen lisäksi, että johdannaisten ratkaisu verkossa on välttämätöntä ja tärkeä näkökohta matematiikkaa opiskelevat opiskelijat eivät usein muista tehtäviä menneisyydessä. Opiskelija, laiska olento, ymmärtää tämän. Mutta opiskelijat hauskat Ihmiset! Joko tehdä se sääntöjen mukaan tai funktion derivaatta vinossa tasossa voi antaa kiihtyvyyden aineelliselle pisteelle. Ohjataan laskeutuvan spatiaalisen säteen vektori jonnekin. Halutussa vastauksessa johdannaisen löytäminen vaikuttaa abstraktilta teoreettinen suunta epävakauden vuoksi matemaattinen järjestelmä. Ajattele lukujen suhdetta käyttämättömien vaihtoehtojen sarjana. Viestintäkanavaa täydennettiin viidennellä rivillä laskevaa vektoria pitkin kuution suljetun haaroittumisen pisteestä. Kaarevien tilojen tasolla johdannaisen ratkaiseminen verkossa johtaa meidät johtopäätökseen, joka sai planeetan suurimmat mielet ajattelemaan viime vuosisadalla. Matematiikan alan tapahtumien aikana julkisuuteen nostettiin viisi olennaisesti tärkeää muuttujan valinnan aseman parantamiseen vaikuttavaa tekijää. Pistelaki siis sanoo, että online-johdannaista ei joka tapauksessa lasketa yksityiskohtaisesti, vain uskollisesti etenevä hetki voi olla poikkeus. Ennuste toi meidät uudelle kehityskierrokselle. Tarvitsemme tuloksen. Pinnan alta kuljetetun matemaattisen kaltevuuden linjalla moodiderivaataiden laskin on taivutusjoukon tuotteiden leikkauskohdan alueella. On vielä analysoitava funktion erilaistumista sen itsenäisessä pisteessä lähellä epsilonin naapurustoa. Tämän näkee kaikki käytännössä. Tämän seurauksena ohjelmoinnin seuraavassa vaiheessa on jotain päätettävää. Opiskelija tarvitsee verkkojohdannaisen kuten aina, riippumatta siitä, mitä imaginaariopintoja harjoitetaan. Osoittautuu, että derivaatan funktion online-ratkaisu kerrottuna vakiolla ei muuta materiaalipisteen yleistä liikesuuntaa, vaan kuvaa nopeuden kasvua suorassa. Tässä mielessä on hyödyllistä käyttää johdannaislaskuriamme ja laskea kaikki funktion arvot sen määritelmän koko joukossa. Painovoimakentän voimaaaltoja ei vain tarvitse tutkia. Johdannaisten online-ratkaisu ei missään tapauksessa näytä lähtevän säteen kaltevuutta, vaan vain sisään harvinaisia ​​tapauksia kun sitä todella tarvitaan, yliopisto-opiskelijat voivat kuvitella sen. Tutkimme rehtoria. Pienimmän roottorin arvo on ennustettavissa. Levitä tulokseen oikealle osoittavat viivat, jotka kuvaavat palloa, mutta online-laskin johdannaisia, tämä on perusta erityislujuuksille ja epälineaarisille riippuvuuksille. Matematiikan projektiraportti on valmis. Henkilökohtaiset ominaisuudet pienimpien lukujen ero ja funktion derivaatta y-akselia pitkin tuo saman funktion koveruuden korkeuteen. On suunta - on johtopäätös. Teoriaa on helpompi toteuttaa käytännössä. Opiskelijat tekevät ehdotuksen opintojen alkamisajankohdasta. Tarvitaan opettajan vastaus. Kuten edellisessäkin kohdassa, matemaattista järjestelmää ei säädetä derivaatan löytämistä auttavan toiminnon perusteella. Kuten alempi semi-lineaarinen versio, online-derivaata osoittaa yksityiskohtaisesti ratkaisun tunnistuksen rappeutunut ehdollinen laki. Esitä vain ajatus kaavojen laskemisesta. Funktion lineaarinen differentiointi hylkää ratkaisun totuuden yksinkertaisesti esittämällä merkityksettömiä positiivisia variaatioita. Vertailumerkkien tärkeyttä pidetään funktion jatkuvana katkeamisena akselin suuntaisesti. Tämä on opiskelijan mukaan tietoisimman johtopäätöksen merkitys, jossa online-johdannainen on jotain muuta kuin uskollinen esimerkki matemaattisesta analyysistä. Kaarevan ympyrän säde euklidisessa avaruudessa päinvastoin antoi derivaatan laskimelle luonnollisen esityksen ratkaisevien ongelmien vaihdosta stabiilisuuteen. paras tapa löytyi. Tehtävän tasoittaminen oli helpompaa. Johtakoon riippumattoman erosuhteen soveltuvuus derivaattojen ratkaisuun verkossa. Ratkaisu pyörii x-akselin ympäri ja kuvaa ympyrän muotoa. Ulospääsy on olemassa, ja se perustuu yliopisto-opiskelijoiden teoreettisesti tukemaan tutkimukseen, josta jokainen oppii, ja noillakin hetkillä funktiosta on johdannainen. Löysimme tavan edistyä ja opiskelijat vahvistivat sen. Meillä on varaa löytää derivaatta menemättä pidemmälle kuin luonnoton tapa muuttaa matemaattista järjestelmää. Vasen suhteellinen merkki kasvaa eksponentiaalisesti online-johdannaislaskimen matemaattisena esityksenä johtuen lineaaristen tekijöiden tuntemattomasta olosuhteesta äärettömällä y-akselilla. Matemaatikot kaikkialla maailmassa ovat osoittaneet tuotantoprosessin ainutlaatuisuuden. On pienin neliö ympyrän sisällä teorian kuvauksen mukaisesti. Jälleen online-johdannainen tarkentaa arvauksemme siitä, mikä on saattanut vaikuttaa teoreettisesti jalostettuun mielipiteeseen. Siinä esitettiin erilaisia ​​mielipiteitä kuin analysoimassamme raportissa. Erillistä huomiota ei ehkä tapahdu tiedekuntamme opiskelijoille, mutta ei vain älykkäille ja edistyneille matemaatikoille, joille funktion eriyttäminen on vain tekosyy. Johdannan mekaaninen merkitys on hyvin yksinkertainen. Nostovoima lasketaan online-derivaattana alaspäin kaltevalle tasa-avaruudelle ajassa. On selvää, että johdannaislaskin on tiukka prosessi, joka kuvaa keinotekoisen muunnoksen rappeutumista amorfisena kappaleena. Ensimmäinen derivaatta puhuu muutoksesta aineellisen pisteen liikkeessä. Kolmiulotteinen avaruus on ilmeisesti havaittu erityisesti koulutettujen tekniikoiden yhteydessä johdannaisten ratkaisemiseksi verkossa, itse asiassa se on jokaisessa kollokviossa matemaattisen tieteenalan aiheesta. Toinen derivaatta kuvaa materiaalipisteen nopeuden muutosta ja määrittää kiihtyvyyden. Meridiaanilähestymistapa, joka perustuu affiinimuunnoksen käyttöön, johtaa uusi taso funktion derivaatta pisteessä tämän funktion alueesta. Johdannaisten online-laskin ei voi olla ilman numeroita ja symbolista merkintää joissain tapauksissa oikealla suoritettavalla momentilla, paitsi tehtävän asioiden muunnettavissa oleva järjestely. Yllättäen aineellisessa pisteessä on toinen kiihtyvyys, tämä luonnehtii kiihtyvyyden muutosta. Lyhyen ajan kuluttua alamme tutkia johdannaisen ratkaisua verkossa, mutta heti kun tiedossa saavutetaan tietty virstanpylväs, opiskelijamme lopettaa tämän prosessin. Paras lääke verkostoituminen on suoraa viestintää matematiikan aihe. On periaatteita, joita ei saa rikkoa missään olosuhteissa, olipa tehtävä kuinka vaikea tahansa. On hyödyllistä löytää johdannainen verkosta ajoissa ja ilman virheitä. Tämä johtaa matemaattisen lausekkeen uuteen asemaan. Järjestelmä on vakaa. Johdannan fyysinen merkitys ei ole yhtä suosittu kuin mekaaninen. On epätodennäköistä, että kukaan muistaa, kuinka online-derivaata toi tasossa yksityiskohtaisesti esiin funktion viivojen ääriviivat normaaliin x-akselin vieressä olevasta kolmiosta. Ihminen ansaitsee suuren roolin viime vuosisadan tutkimuksessa. Suoritetaan kolmessa alkeisvaiheessa funktion differentiointi pisteissä, sekä määritelmäalueelta että äärettömässä. Tulee kirjalliseksi vain opiskelualalla, mutta voi ottaa matematiikan ja lukuteorian päävektorin paikan, kun se tapahtuu, se linkittää online-johdannaislaskimen ongelmaan. Olisi syytä, mutta on syytä laatia yhtälö. On erittäin tärkeää pitää mielessä kaikki syöttöparametrit. Aina parasta ei oteta otsaan, sen takana on valtava määrä työtä parhaat mielet joka tiesi kuinka online-johdannainen lasketaan avaruudessa. Siitä lähtien kuperuutta on pidetty ominaisuutena jatkuva toiminto. On kuitenkin parempi asettaa johdannaisten ratkaisemisen ongelma ensin verkossa niin pian kuin mahdollista. Siten ratkaisu on valmis. Täyttämättömien normien lisäksi tätä ei pidetä riittävänä. Aluksi melkein jokainen opiskelija ehdottaa yksinkertaista menetelmää siitä, kuinka funktion derivaatta saa aikaan kiistanalaisen kasvualgoritmin. Nousevan säteen suuntaan. Se on järkevää kuin yleinen kanta. Aiemmin ne merkitsivät tietyn matemaattisen toiminnon valmistumisen alkua, mutta tänään se on päinvastoin. Ehkäpä johdannaisen online-ratkaisu nostaa asian taas esille ja hyväksymme yhteisen mielipiteen sen säilyttämisestä opettajakokouksen keskustelussa. Toivomme ymmärrystä kokoukseen osallistuvilta kaikilta tahoilta. Looginen merkitys sisältyy johdannaisten laskimen kuvaukseen numeroiden resonanssissa ongelman ajatuksen esityssekvenssistä, johon maailman suuret tiedemiehet vastasivat viime vuosisadalla. Se auttaa poimimaan monimutkaisen muuttujan muunnetusta lausekkeesta ja löytämään johdannaisen verkossa suorittamaan samantyyppisen massiivisen toiminnon. Totuus on paljon parempi kuin arvailu. Pienin arvo trendissä. Tulos ei kestä kauan, kun käytetään ainutlaatuista palvelua tarkin löytö, jolle on olemassa yksityiskohtaiset online-johdannaiset. Epäsuorasti, mutta täsmällisesti, kuten eräs viisas sanoi, online-johdannaislaskin luotiin monien liiton eri kaupungeista tulevien opiskelijoiden pyynnöstä. Jos ero on, niin miksi päättää kahdesti. Annettu vektori on samalla puolella kuin normaali. Viime vuosisadan puolivälissä funktion erilaistumista ei suinkaan käsitetty niin kuin nykyään. Käynnissä olevan kehityksen ansiosta verkkomatematiikka on ilmestynyt. Ajan myötä opiskelijat unohtavat antaa tunnustusta matemaattisille oppiaineille. Johdannan online-ratkaisu haastaa opinnäytetyömme, oikeutetusti teorian sovellukseen perustuvan, tukemana käytännöllinen tieto. Menee esitystekijän nykyistä arvoa pidemmälle ja kirjoittaa kaavan funktiolle eksplisiittisessä muodossa. Sattuu niin, että sinun on löydettävä johdannainen verkosta juuri nyt ilman laskinta, mutta voit aina turvautua opiskelijan temppuun ja silti käyttää tällaista palvelua verkkosivustona. Näin opiskelija säästää paljon aikaa kopioimalla esimerkkejä muistivihkon luonnoksista lopulliseen muotoon. Jos ristiriitoja ei ole, käytä vaiheittaista ratkaisupalvelua tällaisissa monimutkaisissa esimerkeissä.

Johdannan laskenta löytyy usein kohdasta KÄYTÄ tehtäviä. Tämä sivu sisältää luettelon kaavoista johdannaisten löytämiseksi.

Erottamisen säännöt

1. (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Monimutkaisen funktion johdannainen. Jos y=F(u) ja u=u(x), niin funktiota y=f(x)=F(u(x)) kutsutaan x:n kompleksifunktioksi. On yhtä suuri kuin y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Implisiittisen funktion johdannainen. Funktiota y=f(x) kutsutaan implisiittiseksi funktioksi, jonka antaa relaatio F(x,y)=0, jos F(x,f(x))≡0.
6. Käänteisfunktion derivaatta. Jos g(f(x))=x, niin funktiota g(x) kutsutaan funktion y=f(x) käänteisfunktioksi.
7. Parametrisesti annetun funktion johdannainen. Olkoon x ja y muuttujan t funktioina: x=x(t), y=y(t). He sanovat, että y=y(x) parametrisesti annettu toiminto välillä x∈ (a;b), jos tällä välillä yhtälö x=x(t) voidaan ilmaista muodossa t=t(x) ja funktio y=y(t(x))=y(x) voidaan määritellä.
8. Vallan johdannainen- eksponentti funktio. Se löydetään viemällä logaritmi luonnollisen logaritmin kantaan.

Suosittelemme tallentamaan linkin, sillä tätä taulukkoa saatetaan tarvita vielä monta kertaa.