Asteen n juuri: perusmääritelmät. Root n: Basic Definitions Online Root Test

Jotta juuren purkamistoimintoa voidaan käyttää onnistuneesti käytännössä, sinun on tutustuttava tämän toiminnon ominaisuuksiin.
Kaikki ominaisuudet on muotoiltu ja todistettu vain juurimerkkien alla olevien muuttujien ei-negatiivisille arvoille.

Lause 1. Juuri n astetta(n=2, 3, 4,...) kahden ei-negatiivisen sirun tulosta on yhtä suuri kuin tulo n:nnen juuret astetta näistä luvuista:

Kommentti:

1. Lause 1 pätee myös silloin, kun radikaalilauseke on useamman kuin kahden ei-negatiivisen luvun tulo.

Lause 2.Jos, ja n- luonnollinen luku suurempi kuin 1, sitten yhtäläisyys

Lyhyt(vaikkakin epätarkka) formulaatio, jota on helpompi käyttää käytännössä: fraktion juuri on yhtä suuri kuin juurien osuus.

Lauseen 1 avulla voimme kertoa m vain saman asteen juuret , eli vain juuret, joilla on sama eksponentti.

Lause 3. Jos ,k on luonnollinen luku ja n on luonnollinen luku, joka on suurempi kuin 1, silloin yhtälö

Toisin sanoen juurtua luonnollinen tutkinto, riittää nostaa radikaali ilmaisu tähän voimaan.
Tämä on seurausta Lauseesta 1. Todellakin, esimerkiksi k = 3 saamme

Lause 4. Jos ,k, n ovat luonnollisia lukuja, jotka ovat suurempia kuin 1, silloin yhtälö

Toisin sanoen juuren erottamiseksi juuresta riittää kertoa juurien eksponentit.
Esimerkiksi,

Ole varovainen! Opimme, että juurille voidaan suorittaa neljä operaatiota: kerto-, jako-, eksponentio- ja juuren erottaminen (juuresta). Mutta entä juurien yhteen- ja vähennyslasku? Ei onnistu.
Et voi esimerkiksi kirjoittaa Indeedin sijaan, mutta se on selvää

Lause 5. Jos juuren ja juurilausekkeen indikaattorit kerrotaan tai jaetaan samalla luonnollisella luvulla, jolloin juuren arvo ei muutu, ts.

Esimerkkejä ongelmanratkaisusta

Esimerkki 1 Laskea

Ratkaisu. Käyttämällä juurien ensimmäistä ominaisuutta (Lause 1), saamme:

Esimerkki 2 Laskea
Ratkaisu. Käännettävä sekoitettu numero väärään murto-osaan.
Meillä on Käyttäen juurien toista ominaisuutta ( lause 2 ), saamme:

Esimerkki 3 Laskea:

Ratkaisu. Mitä tahansa algebran kaavaa, kuten hyvin tiedät, ei käytetä vain "vasemmalta oikealle", vaan myös "oikealta vasemmalle". Joten juurien ensimmäinen ominaisuus tarkoittaa, että se voidaan esittää lausekkeella ja päinvastoin se voidaan korvata lausekkeella. Sama koskee juurien toista ominaisuutta. Tehdään laskelmat tämän mielessä.

Oppitunti ja esitys aiheesta: "N:nnen asteen juuren ominaisuudet. Lauseet"

Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommentteja, palautetta, ehdotuksia! Kaikki materiaalit tarkistetaan virustorjuntaohjelmalla.

Opetusvälineet ja simulaattorit verkkokaupassa "Integral" luokalle 11
Interaktiivinen käsikirja luokille 9-11 "Trigonometria"
Interaktiivinen opas luokille 10-11 "Logaritmit"

N:nnen asteen juuren ominaisuudet. Lauseet

Kaverit, jatkamme reaaliluvun n:nnen asteen juurien tutkimista. Kuten melkein kaikilla matemaattisilla esineillä, n:nnen asteen juurilla on joitain ominaisuuksia, tänään tutkimme niitä.
Kaikki tarkastelemamme ominaisuudet on muotoiltu ja todistettu vain juurimerkin alla olevien muuttujien ei-negatiivisille arvoille.
Parittoman juurieksponentin tapauksessa ne pätevät myös negatiivisille muuttujille.

Lause 1. Kahden ei-negatiivisen luvun tulon n:s juuri on yhtä suuri kuin näiden lukujen n:nnen juuren tulo: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n](b) $ .

Todistetaan lause.
Todiste. Kaverit, lauseen todistamiseksi esittelemme uusia muuttujia, merkitse:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
Meidän on todistettava, että $x=y*z$.
Huomaa, että myös seuraavat identiteetit ovat voimassa:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Tällöin pätee myös seuraava identiteetti: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Kahden ei-negatiivisen luvun asteet ja niiden eksponentit ovat yhtä suuret, silloin itse asteiden kanta ovat yhtä suuret. Tästä syystä $x=y*z$, mikä oli todistettava.

Lause 2. Jos $a≥0$, $b>0$ ja n on luonnollinen luku, joka on suurempi kuin 1, niin seuraava yhtälö pätee: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](a))(\sqrt[n](b))$.

Toisin sanoen osamäärän n:s juuri on yhtä suuri kuin n:nnen juurien osamäärä.

Todiste.
Tämän todistamiseksi käytämme yksinkertaistettua kaaviota taulukon muodossa:

Esimerkkejä n:nnen juuren laskemisesta

Esimerkki.
Laske: $\sqrt(16*81*256)$.
Ratkaisu. Käytetään lausetta 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.

Esimerkki.
Laske: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
Ratkaisu. Esitetään radikaalilauseke vääränä murtolukuna: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
Käytetään lausetta 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.

Esimerkki.
Laskea:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
Ratkaisu:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.

Lause 3. Jos $a≥0$, k ja n ovat luonnollisia lukuja, jotka ovat suurempia kuin 1, niin yhtälö on tosi: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.

Juuren nostamiseksi luonnolliseksi voimaksi riittää nostaa radikaali ilmaisu tähän voimaan.

Todiste.
harkitaan erikoistapaus$k = 3 $. Käytetään lausetta 1.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
Sama voidaan todistaa missä tahansa muussa tapauksessa. Kaverit, todista se itse tapauksessa, jossa $k=4$ ja $k=6$.

Lause 4. Jos $a≥0$ b n,k ovat luonnollisia lukuja, jotka ovat suurempia kuin 1, yhtälö on tosi: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.

Juuren erottamiseksi juuresta riittää kertoa juurien eksponentit.

Todiste.
Todistakaamme vielä lyhyesti taulukon avulla. Tämän todistamiseksi käytämme yksinkertaistettua kaaviota taulukon muodossa:

Esimerkki.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

Lause 5. Jos juuren ja juurilausekkeen indeksit kerrotaan samalla luonnollisella luvulla, niin juuren arvo ei muutu: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) $.

Todiste.
Lauseen todistuksen periaate on sama kuin muissa esimerkeissä. Otetaan käyttöön uusia muuttujia:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (määritelmän mukaan).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (määritelmän mukaan).
Nostetaan viimeinen yhtälö potenssiin p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
Sain:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
Eli $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, joka oli todistettava.

Esimerkkejä:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (jaettuna 5:llä).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (jaettuna 2:lla).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ ( kerrottuna 3:lla).

Esimerkki.
Suorita toiminnot: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
Ratkaisu.
Juurieksponentit ovat eri numerot, joten emme voi käyttää Lauseen 1, mutta soveltamalla Lauseen 5 voimme saada yhtä suuret eksponentit.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ ( kerrottuna 3:lla).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (kerrottu 4:llä).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun

1. Laske: $\sqrt(32*243*1024)$.
2. Laske: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. Laske:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Yksinkertaista:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Suorita toiminnot: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.

Onnittelut: tänään analysoimme juuria - yksi 8. luokan järkyttävimmistä aiheista. :)

Monet ihmiset hämmentyvät juurista ei siksi, että ne ovat monimutkaisia ​​(mikä on monimutkaista - pari määritelmää ja pari muuta ominaisuutta), vaan koska useimmissa koulukirjoissa juuret määritellään sellaisilla wildeilla, että vain oppikirjojen kirjoittajat itse voivat ymmärrä tämä kirjoittelu. Ja silloinkin vain pullon kanssa hyvää viskiä. :)

Siksi annan nyt juuri oikean ja pätevimmän määritelmän - ainoan, joka sinun on todella muistettava. Ja vasta sitten selitän: miksi tämä kaikki on välttämätöntä ja miten sitä sovelletaan käytännössä.

Mutta muista ensin yksi tärkeä pointti, josta monet oppikirjojen kokoajat jostain syystä "unohtavat":

Juuret voivat olla parillisia (suosikkimme $\sqrt(a)$, samoin kuin mikä tahansa $\sqrt(a)$ ja parillinen $\sqrt(a)$) ja pariton (mikä tahansa $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ jne.). Ja parittoman asteen juuren määritelmä on hieman erilainen kuin parillinen.

Tässä vitun "hieman erilainen" on piilossa luultavasti 95% kaikista juuriin liittyvistä virheistä ja väärinkäsityksistä. Selvitetään siis terminologia lopullisesti:

Määritelmä. Jopa juuri n numerosta $a$ on mikä tahansa ei-negatiivinen luku $b$ siten, että $((b)^(n))=a$. Ja parittoman asteen juuri samasta luvusta $a$ on yleensä mikä tahansa luku $b$, jolle sama yhtälö pätee: $((b)^(n))=a$.

Joka tapauksessa juuri on merkitty näin:

\(a)\]

Lukua $n$ tällaisessa merkinnässä kutsutaan juurieksponentiksi ja lukua $a$ radikaalilausekkeeksi. Erityisesti arvolle $n=2$ saamme "suosikki" neliöjuuremme (muuten, tämä on parillisen asteen juuri), ja $n=3$:lle saamme kuutiojuuren (pariton aste), joka löytyy usein myös ongelmista ja yhtälöistä.

Esimerkkejä. Klassisia esimerkkejä neliöjuuret:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(tasaa)\]

Muuten, $\sqrt(0)=0$ ja $\sqrt(1)=1$. Tämä on varsin loogista, koska $((0)^(2))=0$ ja $((1)^(2))=1$.

Kuutiojuuret ovat myös yleisiä - älä pelkää niitä:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(tasaa)\]

No, pari "eksoottista esimerkkiä":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(tasaa)\]

Jos et ymmärrä, mikä ero on parillisen ja parittoman asteen välillä, lue määritelmä uudelleen. Se on erittäin tärkeää!

Sillä välin tarkastelemme yhtä epämiellyttävää juurien ominaisuutta, jonka vuoksi jouduimme laatimaan erillisen määritelmän parillisille ja parittomille eksponenteille.

Miksi me ylipäätään tarvitsemme juuria?

Lukettuaan määritelmän monet opiskelijat kysyvät: "Mitä matemaatikot polttivat, kun he keksivät tämän?" Ja todella: miksi tarvitsemme kaikkia näitä juuria?

Vastataksemme tähän kysymykseen, palataanpa hetkeksi peruskouluun. Muista: niinä kaukaisina aikoina, kun puut olivat vihreämpiä ja nyytit maukkaampia, tärkein huolenaiheemme oli numeroiden kertominen oikein. No, jotain "viisi kertaa viisi - kaksikymmentäviisi" -hengessä, siinä kaikki. Mutta loppujen lopuksi voit kertoa numeroita ei pareittain, vaan kolmosina, neljänä ja yleensä kokonaisina sarjoina:

\[\begin(tasaa) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Tästä ei kuitenkaan ole kysymys. Temppu on erilainen: matemaatikot ovat laiskoja ihmisiä, joten heidän piti kirjoittaa kymmenen viidennen kertolasku seuraavasti:

Joten he keksivät tutkinnot. Mikset kirjoita tekijöiden lukumäärää yläindeksinä pitkän merkkijonon sijaan? Niinkuin tämä:

Se on erittäin kätevää! Kaikki laskelmat pienenevät useita kertoja, etkä voi kuluttaa kasaa pergamenttiarkkeja muistivihkojen kirjoittamiseen noin 5 183 . Tällaista merkintää kutsuttiin luvun asteeksi, siitä löydettiin joukko ominaisuuksia, mutta onnellisuus osoittautui lyhytaikaiseksi.

Suurenmoisen viinan jälkeen, joka järjestettiin vain asteiden "löytöksi", eräs erityisen kiivas matemaatikko kysyi yhtäkkiä: "Entä jos tiedämme luvun asteen, mutta emme itse lukua?" Todellakin, jos tiedämme, että esimerkiksi tietty luku $b$ antaa 243:n viidenteen potenssiin, niin kuinka voimme arvata, mikä itse luku $b$ on yhtä suuri?

Tämä ongelma osoittautui paljon globaalimmaksi kuin miltä ensi silmäyksellä näyttää. Koska kävi ilmi, että suurimmalle osalle "valmiista" tutkinnoista ei ole sellaisia ​​"alkulukuja". Tuomari itse:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(tasaa)\]

Entä jos $((b)^(3)) = 50 $? Osoittautuu, että sinun on löydettävä tietty luku, joka kerrottuna itsellään kolme kertaa antaa meille 50. Mutta mikä tämä luku on? Se on selvästi suurempi kuin 3, koska 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Eli tämä luku on jossain kolmen ja neljän välillä, mutta mitä se on - KUVIO, ymmärrät.

Juuri tästä syystä matemaatikot keksivät $n$:nnen juuren. Tästä syystä radikaalikuvake $\sqrt(*)$ otettiin käyttöön. Merkitsemään samaa numeroa $b$, joka määritetyllä potenssilla antaa meille aiemmin tunnetun arvon

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

En kiistä: usein näitä juuria harkitaan helposti - näimme useita tällaisia ​​esimerkkejä edellä. Mutta useimmissa tapauksissa, jos ajattelet mielivaltaista lukua ja yrität sitten poimia siitä mielivaltaisen asteen juuren, olet törmännyt julmaan.

Mitä siellä on! Edes yksinkertaisinta ja tutuinta $\sqrt(2)$ ei voida esittää tavallisessa muodossamme - kokonaislukuna tai murtolukuna. Ja jos kirjoitat tämän numeron laskimeen, näet tämän:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Kuten näet, desimaalipilkun jälkeen on loputon numerosarja, joka ei noudata mitään logiikkaa. Voit tietysti pyöristää tämän luvun verrataksesi nopeasti muihin numeroihin. Esimerkiksi:

\[\sqrt(2)=1,4142...\noin 1,4 \lt 1,5\]

Tai tässä toinen esimerkki:

\[\sqrt(3)=1,73205...\noin 1,7 \gt 1,5\]

Mutta kaikki nämä pyöristykset ovat ensinnäkin melko karkeita; ja toiseksi, sinun on myös kyettävä työskentelemään likimääräisten arvojen kanssa, muuten voit saada joukon ei-ilmeisiä virheitä (muuten, vertailun ja pyöristyksen taito tarkistetaan välttämättä profiilikokeessa).

Siksi vakavassa matematiikassa ei voi tehdä ilman juuria - ne ovat samoja tasa-arvoisia edustajia kaikkien reaalilukujen joukolle $\mathbb(R)$, kuten murto- ja kokonaisluvut, jotka olemme jo kauan tunteneet.

Mahdottomuus esittää juuria muodon $\frac(p)(q)$ murto-osana tarkoittaa, että tämä juuri ei ole rationaalinen luku. Tällaisia ​​lukuja kutsutaan irrationaalisiksi, eikä niitä voida esittää tarkasti muutoin kuin radikaalin tai muun tähän tarkoitukseen suunnitellun konstruktion avulla (logaritmit, asteet, rajat jne.). Mutta siitä lisää toisella kertaa.

Harkitse muutamia esimerkkejä, joissa kaikkien laskelmien jälkeen irrationaaliset luvut jäävät edelleen vastaukseen.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\noin 2 236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\noin -1 2599... \\ \end(align)\]

Luonnollisesti, mukaan ulkomuoto juuri on lähes mahdotonta arvata, mitkä luvut tulevat desimaalipilkun jälkeen. Laskeminen on kuitenkin mahdollista laskimella, mutta edistyneinkin päivämäärälaskin antaa meille vain irrationaalisen luvun ensimmäiset numerot. Siksi on paljon oikeampaa kirjoittaa vastaukset muodossa $\sqrt(5)$ ja $\sqrt(-2)$.

Sitä varten ne on keksitty. Jotta vastausten kirjoittaminen olisi helppoa.

Miksi tarvitaan kaksi määritelmää?

Huomaavainen lukija on luultavasti jo huomannut, että kaikki esimerkeissä annetut neliöjuuret on otettu positiivisista luvuista. No, ainakin nollasta. Mutta kuutiojuuret poimitaan rauhallisesti täysin mistä tahansa numerosta - jopa positiivisista, jopa negatiivisista.

Miksi tämä tapahtuu? Katso funktion $y=((x)^(2))$ kuvaaja:

Ajoittaa neliöfunktio antaa kaksi juurta: positiivinen ja negatiivinen

Yritetään laskea $\sqrt(4)$ käyttämällä tätä kuvaajaa. Tätä varten kaavioon piirretään vaakaviiva $y=4$ (merkitty punaisella), joka leikkaa paraabelin kahdessa pisteessä: $((x)_(1))=2$ ja $((x) _(2)) = -2 $. Tämä on varsin loogista, koska

Kaikki on selvää ensimmäisellä numerolla - se on positiivinen, joten se on juuri:

Mutta mitä sitten tehdä toiselle pisteelle? Onko neljällä kaksi juuria kerralla? Jos neliöimme luvun −2, saamme myös 4. Miksei sitten kirjoiteta $\sqrt(4)=-2$? Ja miksi opettajat katsovat sellaisia ​​levyjä kuin haluaisivat syödä sinut? :)

Ongelmana on, että jos lisäehtoja ei aseteta, neljällä on kaksi neliöjuurta - positiivinen ja negatiivinen. Ja missä tahansa positiivisessa luvussa on myös niitä kaksi. Mutta negatiivisilla luvuilla ei ole juuria ollenkaan - tämä voidaan nähdä samasta kaaviosta, koska paraabeli ei koskaan putoa akselin alapuolelle y, eli ei ota negatiivisia arvoja.

Samanlainen ongelma esiintyy kaikille juurille, joilla on parillinen eksponentti:

1. Tarkkaan ottaen jokaisella positiivisella luvulla on kaksi juuria, joiden eksponentti on parillinen $n$;
2. Negatiivisista luvuista juuria, jossa on parillinen $n$, ei eroteta ollenkaan.

Siksi parillisen juuren $n$ määritelmässä määrätään, että vastauksen on oltava ei-negatiivinen luku. Näin pääsemme eroon epäselvyydestä.

Mutta parittomilla $n$:lla ei ole sellaista ongelmaa. Nähdäksesi tämän, katsotaanpa funktion $y=((x)^(3))$ kaaviota:

Kuutioparaabeli saa minkä tahansa arvon, joten kuutiojuuri voidaan ottaa mistä tahansa luvusta

Tästä kaaviosta voidaan tehdä kaksi johtopäätöstä:

1. Kuutioparaabelin oksat, toisin kuin tavalliset, menevät äärettömyyteen molempiin suuntiin - sekä ylös että alas. Siksi, millä tahansa korkeudella piirrämme vaakasuuntaisen viivan, tämä viiva leikkaa ehdottomasti kaaviomme kanssa. Siksi kuutiojuuri voidaan aina ottaa, ehdottomasti mistä tahansa numerosta;
2. Lisäksi tällainen risteys on aina ainutlaatuinen, joten sinun ei tarvitse miettiä, mitä numeroa pitää "oikeana" juurena ja mikä pisteyttää. Siksi parittoman asteen juurien määritelmä on yksinkertaisempi kuin parillisen (ei-negatiivisuusvaatimusta ei ole).

Harmi, että näitä yksinkertaisia ​​asioita ei selitetä useimmissa oppikirjoissa. Sen sijaan aivomme alkavat kohota kaikenlaisilla aritmeettisilla juurilla ja niiden ominaisuuksilla.

Kyllä, en väitä: mikä on aritmeettinen juuri - sinun on myös tiedettävä. Ja puhun tästä yksityiskohtaisesti erillisessä oppitunnissa. Tänään puhumme myös siitä, koska ilman sitä kaikki pohdinnat $n$:nnen multipliciteetin juurista olisivat epätäydellisiä.

Mutta ensin sinun on ymmärrettävä selvästi edellä antamani määritelmä. Muuten, termien runsauden vuoksi, päässäsi alkaa sellainen sotku, että et lopulta ymmärrä yhtään mitään.

Ja kaikki mitä sinun tarvitsee ymmärtää, on parillisten ja parittomien lukujen välinen ero. Siksi keräämme jälleen kerran kaiken, mitä sinun todella tarvitsee tietää juurista:

1. Parillinen juuri on olemassa vain ei-negatiivisesta luvusta ja on itse aina ei-negatiivinen luku. Negatiivisille luvuille tällainen juuri on määrittelemätön.
2. Mutta parittoman asteen juuri on mistä tahansa luvusta ja voi itse olla mikä tahansa luku: positiivisille luvuille se on positiivinen ja negatiivisille luvuille, kuten yläosa vihjaa, negatiivinen.

Se on vaikeaa? Ei, se ei ole vaikeaa. Se on selvää? Kyllä, se on selvää! Siksi nyt harjoittelemme hieman laskelmien kanssa.

Perusominaisuudet ja rajoitukset

Juureilla on paljon outoja ominaisuuksia ja rajoituksia - tämä on erillinen oppitunti. Siksi tarkastelemme nyt vain tärkeintä "sirua", joka koskee vain juuria, joilla on tasainen eksponentti. Kirjoitamme tämän ominaisuuden kaavan muodossa:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\oikea|\]

Toisin sanoen, jos nostamme luvun parilliseen potenssiin ja sitten erotamme tästä saman asteen juuren, emme saa alkuperäinen numero ja sen moduuli . Tämä on yksinkertainen lause, joka on helppo todistaa (riittää tarkastella erikseen ei-negatiivisia $x$ ja sitten erikseen tarkastella negatiivisia). Opettajat puhuvat siitä jatkuvasti, se annetaan jokaisessa koulukirjassa. Mutta heti kun tulee irrationaalisten yhtälöiden (eli radikaalin merkin sisältävien yhtälöiden) ratkaisemiseen, oppilaat unohtavat tämän kaavan yhdessä.

Ymmärtääksemme ongelman yksityiskohtaisesti, unohdamme kaikki kaavat minuutiksi ja yritämme laskea kaksi numeroa eteenpäin:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Tämä on erittäin yksinkertaisia ​​esimerkkejä. Suurin osa ihmisistä ratkaisee ensimmäisen esimerkin, mutta toisessa monet jäävät kiinni. Sellaisen paskan ratkaisemiseksi ilman ongelmia harkitse aina menettelyä:

1. Ensin luku nostetaan neljänteen potenssiin. No, se on jotenkin helppoa. Saadaan uusi numero, joka löytyy jopa kertotaulukosta;
2. Ja nyt tästä uudesta numerosta on tarpeen erottaa neljännen asteen juuri. Nuo. juurien ja asteiden "vähentämistä" ei tapahdu - nämä ovat peräkkäisiä toimia.

Käsittelemme ensimmäistä lauseketta: $\sqrt(((3)^(4)))$. Ilmeisesti sinun on ensin laskettava lauseke juuren alla:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Sitten erotamme luvun 81 neljännen juuren:

Tehdään nyt sama toisen lausekkeen kanssa. Ensin nostetaan luku −3 neljänteen potenssiin, jota varten meidän on kerrottava se itsellään 4 kertaa:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ vasen(-3 \oikea)=81\]

Saimme positiivisen luvun, koska miinusten kokonaismäärä tuotteessa on 4 kappaletta, ja ne kaikki kumoavat toisensa (miinus miinuksella antaa plussan). Pura seuraavaksi juuri uudelleen:

Periaatteessa tätä riviä ei voitu kirjoittaa, koska ei ole aavistustakaan, että vastaus on sama. Nuo. saman tasaisen tehon parillinen juuri "polttaa" miinukset, ja tässä mielessä tulos on mahdoton erottaa tavallisesta moduulista:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\oikea|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \oikea|=3. \\ \end(tasaa)\]

Nämä laskelmat sopivat hyvin parillisen asteen juuren määritelmän kanssa: tulos on aina ei-negatiivinen, ja radikaalimerkki on myös aina ei-negatiivinen luku. Muussa tapauksessa juurta ei ole määritelty.

Huomautus toimintojen järjestyksestä

1. Merkintä $\sqrt(((a)^(2)))$ tarkoittaa, että neliöimme ensin luvun $a$ ja otamme sitten neliöjuuren tuloksena olevasta arvosta. Siksi voimme olla varmoja, että ei-negatiivinen luku istuu aina juurimerkin alla, koska $((a)^(2))\ge 0$ joka tapauksessa;
2. Mutta merkintä $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ päinvastoin tarkoittaa, että poimimme ensin juuren tietystä luvusta $a$ ja vasta sitten neliöimme tuloksen. Siksi luku $a$ ei voi missään tapauksessa olla negatiivinen - tämä on määritelmään sisällytetty pakollinen vaatimus.

Näin ollen ei missään tapauksessa pidä ajattelemattomasti pienentää juuria ja asteita, mikä oletettavasti "yksinkertaistaa" alkuperäistä ilmaisua. Koska jos juuren alla on negatiivinen luku ja sen eksponentti on parillinen, saamme paljon ongelmia.

Kaikki nämä ongelmat koskevat kuitenkin vain tasaisia ​​​​indikaattoreita.

Miinusmerkin poistaminen juurimerkin alta

Luonnollisesti juurilla, joissa on parittomat eksponentit, on myös oma piirteensä, jota parillisilla ei periaatteessa ole. Nimittäin:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Lyhyesti sanottuna voit ottaa miinuksen pois parittoman asteen juurten merkin alta. Tämä on erittäin hyödyllinen omaisuus, jonka avulla voit "heittää" kaikki miinukset pois:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(tasaa)\]

Tämä yksinkertainen ominaisuus yksinkertaistaa huomattavasti monia laskelmia. Nyt sinun ei tarvitse huolehtia: entä jos negatiivinen lauseke päätyisi juuren alle ja juuren aste osoittautuisi parilliseksi? Riittää "heittää pois" kaikki miinukset juurien ulkopuolelta, minkä jälkeen ne voidaan kertoa keskenään, jakaa ja yleensä tehdä monia epäilyttäviä asioita, jotka "klassisten" juurien tapauksessa johtavat taatusti virheeseen. .

Ja tässä näkyy toinen määritelmä - juuri se, jolla useimmat koulut aloittavat irrationaalisten ilmaisujen tutkimuksen. Ja ilman sitä perustelumme olisi epätäydellinen. Tavata!

aritmeettinen juuri

Oletetaan hetkeksi, että juurimerkin alla voivat olla vain positiiviset luvut tai äärimmäisissä tapauksissa nolla. Tehdään pisteet parillisille / parittomille indikaattoreille, pisteytetään kaikki edellä mainitut määritelmät - työskentelemme vain ei-negatiivisten lukujen kanssa. Mitä sitten?

Ja sitten saamme aritmeettisen juuren - se leikkaa osittain "standardi" määritelmiemme kanssa, mutta eroaa silti niistä.

Määritelmä. Ei-negatiivisen luvun $n$. asteen aritmeettinen juuri on ei-negatiivinen luku $b$ siten, että $((b)^(n))=a$.

Kuten näette, emme ole enää kiinnostuneita tasa-arvosta. Sen sijaan ilmestyi uusi rajoitus: radikaalilauseke on nyt aina ei-negatiivinen, ja juuri itse on myös ei-negatiivinen.

Ymmärtääksesi paremmin, kuinka aritmeettinen juuri eroaa tavallisesta, katso meille jo tuttuja neliön ja kuutioparaabelin kuvaajia:

Juurihakualue - ei-negatiiviset luvut

Kuten näette, olemme tästä lähtien kiinnostuneita vain niistä kaavioista, jotka sijaitsevat ensimmäisessä koordinaattineljänneksessä - missä koordinaatit $x$ ja $y$ ovat positiivisia (tai ainakin nolla). Sinun ei enää tarvitse katsoa indikaattoria ymmärtääksesi, onko meillä oikeus juurtaa negatiivinen luku vai ei. Koska negatiivisia lukuja ei periaatteessa enää oteta huomioon.

Saatat kysyä: "No, miksi tarvitsemme niin kastroitua määritelmää?" Tai: "Miksi emme tule toimeen yllä annetulla vakiomääritelmällä?"

No, annan vain yhden ominaisuuden, jonka vuoksi uusi määritelmä tulee sopivaksi. Esimerkiksi eksponentiointisääntö:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Huomaa: voimme nostaa radikaalilausekkeen mihin tahansa potenssiin ja samalla kertoa juurieksponentti samalla potenssilla - ja tulos on sama luku! Tässä on joitain esimerkkejä:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]

No mitä vikaa siinä on? Miksi emme voineet tehdä sitä aiemmin? Tässä on syy. Harkitse yksinkertaista lauseketta: $\sqrt(-2)$ on luku, joka on aivan normaali klassisessa mielessämme, mutta täysin mahdoton hyväksyä aritmeettisen juuren kannalta. Yritetään muuntaa se:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Kuten näette, ensimmäisessä tapauksessa otimme miinuksen pois radikaalin alta (meillä on täysi oikeus, koska indikaattori on pariton), ja toisessa käytimme yllä olevaa kaavaa. Nuo. matematiikan näkökulmasta kaikki tehdään sääntöjen mukaan.

MITÄ VITTUU?! Miten sama luku voi olla sekä positiivinen että negatiivinen? Ei onnistu. Se on vain, että eksponentiointikaava, joka toimii hyvin positiivisille luvuille ja nollalle, alkaa antaa täydellistä harhaoppia negatiivisten lukujen tapauksessa.

Täällä päästäkseen eroon sellaisesta epäselvyydestä he keksivät aritmeettiset juuret. Heille on omistettu erillinen suuri oppitunti, jossa tarkastelemme yksityiskohtaisesti kaikkia niiden ominaisuuksia. Joten nyt emme viivyttele niitä - oppitunti osoittautui joka tapauksessa liian pitkäksi.

Algebrallinen juuri: niille, jotka haluavat tietää enemmän

Ajattelin pitkään: tehdä tästä aiheesta erillinen kappale vai ei. Lopulta päätin lähteä täältä. Tämä materiaali on tarkoitettu niille, jotka haluavat ymmärtää juuria entistä paremmin - ei enää keskimääräisellä "koulutasolla", vaan tasolla, joka on lähellä olympialaista.

Joten: "klassisen" määritelmän $n $:nnen asteen juuresta luvusta ja siihen liittyvän jaon parillisiin ja parittoihin indikaattoreihin lisäksi on olemassa "aikuisempi" määritelmä, joka ei riipu pariteetista ja muita hienouksia ollenkaan. Tätä kutsutaan algebralliseksi juureksi.

Määritelmä. Minkä tahansa $a$:n algebrallinen $n$-juuri on joukko lukuja $b$ siten, että $((b)^(n))=a$. Tällaisille juurille ei ole vakiintunutta nimitystä, joten laita vain viiva päälle:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\(b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \oikea. \oikea\) \]

Perimmäinen ero oppitunnin alussa annettuun standardimäärittelyyn on se, että algebrallinen juuri ei ole tietty luku, vaan joukko. Ja koska työskentelemme reaalilukujen kanssa, tätä sarjaa on vain kolmenlaisia:

1. Tyhjä setti. Esiintyy, kun negatiivisesta luvusta on löydettävä parillisen asteen algebrallinen juuri;
2. Setti, joka koostuu yhdestä elementistä. Kaikki parittomien voimien juuret, samoin kuin parillisten voimien juuret nollasta, kuuluvat tähän luokkaan;
3. Lopuksi joukko voi sisältää kaksi numeroa - samat $((x)_(1))$ ja $((x)_(2))=-((x)_(1))$, jotka näimme kaavion neliöfunktio. Vastaavasti tällainen kohdistus on mahdollista vain erotettaessa parillisen asteen juuri positiivisesta luvusta.

Viimeinen tapaus ansaitsee tarkemman tarkastelun. Lasketaanpa muutama esimerkki eron ymmärtämiseksi.

Esimerkki. Laske lausekkeet:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Ratkaisu. Ensimmäinen lauseke on yksinkertainen:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Se on kaksi numeroa, jotka ovat osa sarjaa. Koska jokainen niistä neliöitynä antaa neljän.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Tässä näemme joukon, joka koostuu vain yhdestä numerosta. Tämä on varsin loogista, koska juuren eksponentti on pariton.

Lopuksi viimeinen lauseke:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Meillä on tyhjä setti. Koska ei ole yhtäkään reaalilukua, joka neljänteen (eli parilliseen!) potenssiin nostettuna antaa meille negatiivisen luvun −16.

Loppuhuomautus. Huomaa: ei ollut sattumaa, että huomasin kaikkialla, että työskentelemme reaalilukujen kanssa. Koska on olemassa myös kompleksilukuja - siellä on täysin mahdollista laskea $\sqrt(-16)$ ja monia muita outoja asioita.

Nykyaikaisessa matematiikan koulun opetussuunnitelmassa kompleksilukuja ei kuitenkaan juuri koskaan löydy. Ne on jätetty pois useimmista oppikirjoista, koska virkailijamme pitävät aihetta "liian vaikeasti ymmärrettävänä".

Siinä kaikki. Seuraavalla oppitunnilla tarkastelemme kaikkia juurien keskeisiä ominaisuuksia ja opimme lopulta yksinkertaistamaan irrationaalisia lausekkeita. :)