Mga formula at katangian ng pyramid. Mga geometric na figure

Panimula

Nang magsimula kaming mag-aral ng mga stereometric figure, hinawakan namin ang paksang "Pyramid". Nagustuhan namin ang temang ito dahil ang pyramid ay kadalasang ginagamit sa arkitektura. At dahil ang aming propesyon sa hinaharap bilang isang arkitekto, na inspirasyon ng figure na ito, sa palagay namin ay magagawa niya kaming itulak sa magagandang proyekto.

Ang lakas ng mga istruktura ng arkitektura, ang kanilang pinakamahalagang kalidad. Ang pag-uugnay ng lakas, una, sa mga materyales kung saan sila nilikha, at, pangalawa, sa mga tampok ng mga solusyon sa disenyo, lumalabas na ang lakas ng isang istraktura ay direktang nauugnay sa geometric na hugis na pangunahing para dito.

Sa madaling salita, pinag-uusapan natin ang geometric figure na maaaring ituring bilang isang modelo ng kaukulang anyo ng arkitektura. Lumalabas na tinutukoy din ng geometric na hugis ang lakas ng istraktura ng arkitektura.

Ang Egyptian pyramids ay matagal nang itinuturing na pinaka matibay na istraktura ng arkitektura. Tulad ng alam mo, mayroon silang hugis ng regular na quadrangular pyramids.

Ito ang geometriko na hugis na nagbibigay ng pinakamalaking katatagan dahil sa malaking lugar ng base. Sa kabilang banda, tinitiyak ng hugis ng pyramid na bumababa ang masa habang tumataas ang taas sa ibabaw ng lupa. Ang dalawang katangiang ito ang nagpapatatag sa pyramid, at samakatuwid ay malakas sa mga kondisyon ng grabidad.

Layunin ng proyekto: matuto ng bago tungkol sa mga pyramids, palalimin ang kaalaman at maghanap ng mga praktikal na aplikasyon.

Upang makamit ang layuning ito, kinakailangan upang malutas ang mga sumusunod na gawain:

Alamin ang makasaysayang impormasyon tungkol sa pyramid

Isaalang-alang ang pyramid bilang isang geometric na pigura

Maghanap ng aplikasyon sa buhay at arkitektura

Maghanap ng mga pagkakatulad at pagkakaiba sa pagitan ng mga pyramids na matatagpuan sa iba't ibang bahagi ng mundo

Teoretikal na bahagi

Makasaysayang impormasyon

Ang simula ng geometry ng pyramid ay inilatag sa sinaunang Egypt at Babylon, ngunit ito ay aktibong binuo sa sinaunang Greece. Ang unang nagtaguyod kung ano ang katumbas ng dami ng pyramid ay si Democritus, at pinatunayan ito ni Eudoxus ng Cnidus. Ang sinaunang Greek mathematician na si Euclid ay nag-systematize ng kaalaman tungkol sa pyramid sa XII volume ng kanyang "Beginnings", at inilabas din ang unang kahulugan ng pyramid: isang katawan na pigura na napapalibutan ng mga eroplano na nagtatagpo mula sa isang eroplano sa isang punto.

Ang mga libingan ng mga pharaoh ng Egypt. Ang pinakamalaki sa kanila - ang mga pyramids ng Cheops, Khafre at Mikerin sa El Giza noong sinaunang panahon ay itinuturing na isa sa Pitong Kababalaghan ng Mundo. Ang pagtatayo ng pyramid, kung saan nakita na ng mga Griyego at Romano ang isang monumento sa walang uliran na pagmamataas ng mga hari at kalupitan, na nagpahamak sa buong mga tao ng Ehipto sa walang kabuluhang pagtatayo, ay ang pinakamahalagang kilos ng kulto at dapat na ipahayag, tila, ang mystical identity ng bansa at ang pinuno nito. Ang populasyon ng bansa ay nagtrabaho sa pagtatayo ng libingan sa bahagi ng taon na walang trabaho sa agrikultura. Ang ilang mga teksto ay nagpapatotoo sa atensyon at pagmamalasakit na ibinayad ng mga hari mismo (bagaman sa ibang pagkakataon) sa pagtatayo ng kanilang libingan at ng mga tagapagtayo nito. Ito ay kilala rin tungkol sa mga espesyal na parangal sa kulto na naging mismong pyramid.

Pangunahing konsepto

Pyramid Ang isang polyhedron ay tinatawag, ang base nito ay isang polygon, at ang natitirang mga mukha ay mga tatsulok na may isang karaniwang vertex.

Apothem- ang taas ng gilid na mukha ng isang regular na pyramid, na iginuhit mula sa tuktok nito;

Mga mukha sa gilid- mga tatsulok na nagtatagpo sa itaas;

Mga tadyang sa gilid- karaniwang mga gilid ng mga gilid na mukha;

tuktok ng pyramid- isang punto na nagkokonekta sa mga gilid ng gilid at hindi nakahiga sa eroplano ng base;

taas- isang segment ng isang patayo na iginuhit sa tuktok ng pyramid hanggang sa eroplano ng base nito (ang mga dulo ng segment na ito ay ang tuktok ng pyramid at ang base ng patayo);

Diagonal na seksyon ng isang pyramid- seksyon ng pyramid na dumadaan sa tuktok at ang dayagonal ng base;

Base- isang polygon na hindi kabilang sa tuktok ng pyramid.

Ang mga pangunahing katangian ng tamang pyramid

Ang mga gilid ng gilid, mga mukha sa gilid at mga apothem ay pantay, ayon sa pagkakabanggit.

Ang mga anggulo ng dihedral sa base ay pantay.

Ang mga anggulo ng dihedral sa mga gilid ng gilid ay pantay.

Ang bawat taas na punto ay katumbas ng layo mula sa lahat ng base vertices.

Ang bawat taas na punto ay katumbas ng layo mula sa lahat ng panig na mukha.

Mga pangunahing pormula ng pyramid

Ang lugar ng lateral at buong ibabaw ng pyramid.

Ang lugar ng lateral surface ng pyramid (puno at pinutol) ay ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga lateral na mukha nito, ang kabuuang lugar ng ibabaw ay ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga mukha nito.

Theorem: Ang lugar ng lateral surface ng isang regular na pyramid ay katumbas ng kalahati ng produkto ng perimeter ng base at ang apothem ng pyramid.

p- perimeter ng base;

h- apothem.

Ang lugar ng lateral at buong ibabaw ng isang pinutol na pyramid.

p1, p 2 - base perimeter;

h- apothem.

R- kabuuang lugar sa ibabaw ng isang regular na pinutol na pyramid;

S gilid- lugar ng lateral surface ng isang regular na pinutol na pyramid;

S1 + S2- base na lugar

Dami ng Pyramid

Form Ang sukat ng volume ay ginagamit para sa mga pyramids ng anumang uri.

H ay ang taas ng pyramid.

Mga anggulo ng pyramid

Ang mga anggulo na nabuo sa gilid ng mukha at base ng pyramid ay tinatawag na dihedral na mga anggulo sa base ng pyramid.

Ang isang dihedral na anggulo ay nabuo sa pamamagitan ng dalawang perpendicular.

Upang matukoy ang anggulong ito, madalas mong kailangang gamitin ang tatlong perpendicular theorem.

Ang mga anggulo na nabuo sa pamamagitan ng isang gilid na gilid at ang projection nito sa eroplano ng base ay tinatawag mga anggulo sa pagitan ng lateral edge at ng eroplano ng base.

Ang anggulo na nabuo ng dalawang panig na mukha ay tinatawag dihedral angle sa lateral edge ng pyramid.

Ang anggulo, na nabuo sa pamamagitan ng dalawang gilid na gilid ng isang mukha ng pyramid, ay tinatawag sulok sa tuktok ng pyramid.

Mga seksyon ng pyramid

Ang ibabaw ng isang pyramid ay ang ibabaw ng isang polyhedron. Ang bawat mukha nito ay isang eroplano, kaya ang seksyon ng pyramid na ibinigay ng secant plane ay isang putol na linya na binubuo ng magkahiwalay na tuwid na linya.

Diagonal na seksyon

Ang seksyon ng isang pyramid sa pamamagitan ng isang eroplano na dumadaan sa dalawang gilid na gilid na hindi nakahiga sa parehong mukha ay tinatawag na diagonal na seksyon mga pyramid.

Mga parallel na seksyon

Teorama:

Kung ang pyramid ay tinawid ng isang eroplano na kahanay sa base, kung gayon ang mga gilid ng gilid at taas ng pyramid ay hinati ng eroplanong ito sa mga proporsyonal na bahagi;

Ang seksyon ng eroplanong ito ay isang polygon na katulad ng base;

Ang mga lugar ng seksyon at ang base ay nauugnay sa isa't isa bilang mga parisukat ng kanilang mga distansya mula sa itaas.

Mga uri ng pyramid

Tamang pyramid- isang pyramid, ang base nito ay isang regular na polygon, at ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng base.

Sa tamang pyramid:

1. magkapantay ang side ribs

2. magkapantay ang mga mukha sa gilid

3. pantay-pantay ang mga apothems

4. pantay ang mga anggulo ng dihedral sa base

5. pantay ang mga anggulo ng dihedral sa mga gilid ng gilid

6. ang bawat taas na punto ay katumbas ng layo mula sa lahat ng base vertices

7. ang bawat taas na punto ay katumbas ng layo mula sa lahat ng panig na mukha

Pinutol na pyramid- ang bahagi ng pyramid na nakapaloob sa pagitan ng base nito at ng cutting plane na kahanay ng base.

Ang base at kaukulang seksyon ng isang pinutol na pyramid ay tinatawag mga base ng isang pinutol na pyramid.

Ang isang patayo na iginuhit mula sa anumang punto ng isang base patungo sa eroplano ng isa pa ay tinatawag ang taas ng pinutol na pyramid.

Mga gawain

No. 1. Sa isang regular na quadrangular pyramid, ang point O ay ang sentro ng base, SO=8 cm, BD=30 cm. Hanapin ang gilid na gilid SA.

Pagtugon sa suliranin

No. 1. Sa isang regular na pyramid, lahat ng mga mukha at gilid ay pantay.

Isaalang-alang natin ang OSB: OSB-rectangular rectangle, dahil.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Pyramid sa arkitektura

Pyramid - isang monumental na istraktura sa anyo ng isang ordinaryong regular na geometric pyramid, kung saan ang mga gilid ay nagtatagpo sa isang punto. Ayon sa functional purpose, ang mga pyramid noong sinaunang panahon ay isang lugar ng libingan o pagsamba. Ang base ng isang pyramid ay maaaring triangular, quadrangular, o polygonal na may arbitrary na bilang ng vertices, ngunit ang pinakakaraniwang bersyon ay ang quadrangular base.

Ang isang malaking bilang ng mga pyramid ay kilala, na binuo ng iba't ibang kultura ng Sinaunang Mundo, pangunahin bilang mga templo o monumento. Ang pinakamalaking pyramids ay ang Egyptian pyramids.

Sa buong Earth maaari mong makita ang mga istrukturang arkitektura sa anyo ng mga pyramids. Ang mga pyramid na gusali ay nakapagpapaalaala sa sinaunang panahon at napakaganda ng hitsura.

Ang Egyptian pyramids ay ang pinakadakilang architectural monuments ng Sinaunang Egypt, kung saan ang isa sa "Seven Wonders of the World" ay ang pyramid ng Cheops. Mula sa paa hanggang sa tuktok, umabot ito sa 137.3 m, at bago mawala ang tuktok, ang taas nito ay 146.7 m.

Ang gusali ng istasyon ng radyo sa kabisera ng Slovakia, na kahawig ng isang baligtad na pyramid, ay itinayo noong 1983. Bilang karagdagan sa mga tanggapan at lugar ng serbisyo, mayroong isang medyo maluwang na bulwagan ng konsiyerto sa loob ng volume, na may isa sa pinakamalaking mga organo sa Slovakia .

Ang Louvre, na "kasing tahimik at kahanga-hanga tulad ng isang pyramid" ay dumaan sa maraming pagbabago sa paglipas ng mga siglo bago naging pinakadakilang museo sa mundo. Ito ay ipinanganak bilang isang kuta, na itinayo ni Philip Augustus noong 1190, na sa lalong madaling panahon ay naging isang maharlikang tirahan. Noong 1793 ang palasyo ay naging museo. Ang mga koleksyon ay pinayaman sa pamamagitan ng mga pamana o pagbili.

Nalaman ng mga mag-aaral ang konsepto ng isang pyramid bago pa mag-aral ng geometry. Sisihin ang sikat na dakilang Egyptian wonders of the world. Samakatuwid, simula sa pag-aaral ng kahanga-hangang polyhedron na ito, ang karamihan sa mga mag-aaral ay malinaw na naiisip ito. Ang lahat ng mga tanawin sa itaas ay nasa tamang hugis. Anong nangyari kanang pyramid, at kung anong mga katangian mayroon ito at tatalakayin pa.

Sa pakikipag-ugnayan sa

Kahulugan

Mayroong maraming mga kahulugan ng isang pyramid. Mula noong sinaunang panahon, ito ay napakapopular.

Halimbawa, tinukoy ito ni Euclid bilang isang solidong pigura, na binubuo ng mga eroplano, na, simula sa isa, ay nagtatagpo sa isang tiyak na punto.

Nagbigay si Heron ng mas tumpak na pagbabalangkas. Iginiit niya na ito ay isang pigura na ay may base at mga eroplano sa anyo ng mga tatsulok, nagtatagpo sa isang punto.

Batay sa modernong interpretasyon, ang pyramid ay ipinakita bilang isang spatial polyhedron, na binubuo ng isang tiyak na k-gon at k flat triangular figure, na mayroong isang karaniwang punto.

Tingnan natin nang maigi, Anong mga elemento ang binubuo nito?

• k-gon ay itinuturing na batayan ng figure;
• Ang mga 3-angled na figure ay nakausli habang ang mga gilid ng gilid na bahagi;
• ang itaas na bahagi, kung saan nagmula ang mga elemento sa gilid, ay tinatawag na tuktok;
• lahat ng mga segment na nagkokonekta sa vertex ay tinatawag na mga gilid;
• kung ang isang tuwid na linya ay ibinaba mula sa itaas hanggang sa eroplano ng figure sa isang anggulo ng 90 degrees, kung gayon ang bahagi nito na nakapaloob sa panloob na espasyo ay ang taas ng pyramid;
• sa anumang panig na elemento sa gilid ng aming polyhedron, maaari kang gumuhit ng patayo, na tinatawag na apothem.

Ang bilang ng mga gilid ay kinakalkula gamit ang formula na 2*k, kung saan ang k ay ang bilang ng mga gilid ng k-gon. Kung gaano karaming mga mukha ang isang polyhedron tulad ng isang pyramid ay maaaring matukoy ng expression na k + 1.

Mahalaga! Ang regular na hugis na pyramid ay isang stereometric figure na ang base plane ay isang k-gon na may pantay na panig.

Mga pangunahing katangian

Tamang pyramid ay maraming katangian na kakaiba sa kanya. Ilista natin sila:

1. Ang base ay isang pigura ng tamang anyo.
2. Ang mga gilid ng pyramid, na nililimitahan ang mga elemento sa gilid, ay may pantay na mga halaga ng numero.
3. Ang mga elemento sa gilid ay isosceles triangles.
4. Ang base ng taas ng figure ay nahuhulog sa gitna ng polygon, habang ito ay sabay-sabay na gitnang punto ng inscribed at inilarawan.
5. Ang lahat ng mga tadyang sa gilid ay nakakiling sa base plane sa parehong anggulo.
6. Ang lahat ng mga gilid na ibabaw ay may parehong anggulo ng pagkahilig na may paggalang sa base.

Salamat sa lahat ng nakalistang katangian, ang pagganap ng mga kalkulasyon ng elemento ay lubos na pinasimple. Batay sa mga katangian sa itaas, binibigyang pansin namin dalawang palatandaan:

1. Sa kaso kapag ang polygon ay magkasya sa isang bilog, ang mga gilid na mukha ay magkakaroon ng pantay na mga anggulo sa base.
2. Kapag naglalarawan ng isang bilog sa paligid ng isang polygon, ang lahat ng mga gilid ng pyramid na nagmumula sa vertex ay magkakaroon ng parehong haba at pantay na mga anggulo sa base.

Nakabatay ang parisukat

Regular na quadrangular pyramid - isang polyhedron batay sa isang parisukat.

Mayroon itong apat na gilid na mukha, na isosceles ang hitsura.

Sa isang eroplano, ang isang parisukat ay inilalarawan, ngunit ang mga ito ay batay sa lahat ng mga katangian ng isang regular na may apat na gilid.

Halimbawa, kung kinakailangan upang ikonekta ang gilid ng isang parisukat na may dayagonal nito, pagkatapos ay ginagamit ang sumusunod na formula: ang dayagonal ay katumbas ng produkto ng gilid ng parisukat at ang parisukat na ugat ng dalawa.

Batay sa isang regular na tatsulok

Ang regular na triangular na pyramid ay isang polyhedron na ang base ay isang regular na 3-gon.

Kung ang base ay isang regular na tatsulok, at ang mga gilid ng gilid ay katumbas ng mga gilid ng base, kung gayon ang isang figure tinatawag na tetrahedron.

Ang lahat ng mga mukha ng isang tetrahedron ay equilateral 3-gons. Sa kasong ito, kailangan mong malaman ang ilang mga punto at huwag mag-aksaya ng oras sa mga ito kapag kinakalkula:

• ang anggulo ng pagkahilig ng mga buto-buto sa anumang base ay 60 degrees;
• ang halaga ng lahat ng panloob na mukha ay 60 degrees din;
• anumang mukha ay maaaring kumilos bilang isang base;
• iginuhit sa loob ng pigura ay pantay na elemento.

Mga seksyon ng isang polyhedron

Sa anumang polyhedron mayroong ilang uri ng mga seksyon eroplano. Kadalasan sa isang kursong geometry ng paaralan ay nagtatrabaho sila sa dalawa:

• ng ehe;
• parallel na batayan.

Ang isang seksyon ng axial ay nakuha sa pamamagitan ng intersecting isang polyhedron na may isang eroplano na dumadaan sa vertex, gilid gilid at axis. Sa kasong ito, ang axis ay ang taas na iginuhit mula sa vertex. Ang cutting plane ay limitado sa pamamagitan ng mga linya ng intersection sa lahat ng mga mukha, na nagreresulta sa isang tatsulok.

Pansin! Sa isang regular na pyramid, ang axial section ay isang isosceles triangle.

Kung ang cutting plane ay tumatakbo parallel sa base, kung gayon ang resulta ay ang pangalawang pagpipilian. Sa kasong ito, mayroon kami sa konteksto ng isang figure na katulad ng base.

Halimbawa, kung ang base ay isang parisukat, kung gayon ang seksyon na parallel sa base ay magiging isang parisukat din, na may mas maliit na sukat.

Kapag nilutas ang mga problema sa ilalim ng kondisyong ito, ginagamit ang mga palatandaan at katangian ng pagkakatulad ng mga numero, batay sa Thales theorem. Una sa lahat, kinakailangan upang matukoy ang koepisyent ng pagkakatulad.

Kung ang eroplano ay iginuhit parallel sa base, at pinutol nito ang itaas na bahagi ng polyhedron, pagkatapos ay ang isang regular na pinutol na pyramid ay nakuha sa ibabang bahagi. Pagkatapos ang mga base ng pinutol na polyhedron ay sinasabing magkatulad na mga polygon. Sa kasong ito, ang mga gilid na mukha ay isosceles trapezoids. Ang seksyon ng axial ay isosceles din.

Upang matukoy ang taas ng isang pinutol na polyhedron, kinakailangan upang iguhit ang taas sa isang seksyon ng axial, iyon ay, sa isang trapezoid.

Mga lugar sa ibabaw

Ang mga pangunahing problemang geometriko na kailangang lutasin sa kursong geometry ng paaralan ay paghahanap ng surface area at volume ng isang pyramid.

Mayroong dalawang uri ng surface area:

• lugar ng mga elemento sa gilid;
• ang buong lugar sa ibabaw.

Mula sa pamagat mismo ay malinaw kung tungkol saan ito. Ang gilid na ibabaw ay kinabibilangan lamang ng mga elemento sa gilid. Mula dito ay sumusunod na upang mahanap ito, kailangan mo lamang na magdagdag ng mga lugar ng mga lateral na eroplano, iyon ay, ang mga lugar ng isosceles 3-gons. Subukan nating makuha ang formula para sa lugar ng mga elemento sa gilid:

1. Ang lugar ng isang isosceles 3-gon ay Str=1/2(aL), kung saan ang a ay ang gilid ng base, ang L ay ang apothem.
2. Ang bilang ng mga side plane ay depende sa uri ng k-gon sa base. Halimbawa, ang isang regular na quadrangular pyramid ay may apat na lateral planes. Samakatuwid, kinakailangang pagsamahin ang mga lugar ng apat na figure Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Ang expression ay pinasimple sa ganitong paraan dahil ang halaga 4a=POS, kung saan ang POS ay ang perimeter ng base. At ang expression na 1/2 * Rosn ay ang semi-perimeter nito.
3. Kaya, napagpasyahan namin na ang lugar ng mga elemento sa gilid ng isang regular na pyramid ay katumbas ng produkto ng semi-perimeter ng base at ang apothem: Sside \u003d Rosn * L.

Ang lugar ng buong ibabaw ng pyramid ay binubuo ng kabuuan ng mga lugar ng lateral planes at ang base: Sp.p. = Sside + Sbase.

Tulad ng para sa lugar ng base, narito ang formula ay ginagamit ayon sa uri ng polygon.

Dami ng isang regular na pyramid ay katumbas ng produkto ng base plane area at ang taas na hinati sa tatlo: V=1/3*Sbase*H, kung saan ang H ay ang taas ng polyhedron.

Ano ang isang regular na pyramid sa geometry

Mga katangian ng isang regular na quadrangular pyramid

Ang triangular pyramid ay isang pyramid na nakabatay sa isang tatsulok. Ang taas ng pyramid na ito ay ang patayo, na ibinababa mula sa tuktok ng pyramid hanggang sa mga base nito.

Paghahanap ng Taas ng isang Pyramid

Paano mahahanap ang taas ng isang pyramid? Napakasimple! Upang mahanap ang taas ng anumang triangular na pyramid, maaari mong gamitin ang volume formula: V = (1/3)Sh, kung saan S ang base area, V ang volume ng pyramid, h ang taas nito. Mula sa formula na ito, kunin ang formula ng taas: upang mahanap ang taas ng isang tatsulok na pyramid, kailangan mong i-multiply ang dami ng pyramid sa 3, at pagkatapos ay hatiin ang resultang halaga sa base area, ito ay magiging: h \u003d (3V ) / S. Dahil ang base ng isang triangular pyramid ay isang tatsulok, maaari mong gamitin ang formula para sa pagkalkula ng lugar ng isang tatsulok. Kung alam natin: ang lugar ng tatsulok S at ang gilid nito z, pagkatapos ay ayon sa formula ng lugar S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, kung saan ang h ay ang taas ng pyramid, γ ay ang gilid ng tatsulok; ang anggulo sa pagitan ng mga gilid ng tatsulok at ang dalawang panig mismo, pagkatapos ay ginagamit ang sumusunod na formula: S = (1/2)γφsinQ, kung saan ang γ, φ ay ang mga gilid ng tatsulok, nakita namin ang lugar ng tatsulok. Ang halaga ng sine ng anggulo Q ay dapat tingnan sa talahanayan ng mga sine, na nasa Internet. Susunod, pinapalitan namin ang halaga ng lugar sa formula ng taas: h = (2S)/γ. Kung ang gawain ay nangangailangan ng pagkalkula ng taas ng isang tatsulok na pyramid, kung gayon ang dami ng pyramid ay kilala na.

Regular na triangular na pyramid

Hanapin ang taas ng isang regular na triangular na pyramid, i.e. isang pyramid kung saan ang lahat ng mga mukha ay equilateral triangles, alam ang laki ng gilid γ. Sa kasong ito, ang mga gilid ng pyramid ay ang mga gilid ng equilateral triangles. Ang taas ng isang regular na triangular na pyramid ay magiging: h = γ√(2/3), kung saan ang γ ay ang gilid ng isang equilateral triangle, ang h ay ang taas ng pyramid. Kung ang lugar ng base (S) ay hindi alam, at ang haba lamang ng gilid (γ) at ang dami (V) ng polyhedron ay ibinigay, kung gayon ang kinakailangang variable sa formula mula sa nakaraang hakbang ay dapat mapalitan sa pamamagitan ng katumbas nito, na ipinahayag sa mga tuntunin ng haba ng gilid. Ang lugar ng isang tatsulok (regular) ay katumbas ng 1/4 ng produkto ng haba ng gilid ng tatsulok na ito, na naka-square sa square root ng 3. Pinapalitan namin ang formula na ito sa halip na ang base area sa nakaraang formula , at nakukuha namin ang sumusunod na formula: h \u003d 3V4 / (γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Ang dami ng isang tetrahedron ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng haba ng gilid nito, pagkatapos ang lahat ng mga variable ay maaaring alisin mula sa formula para sa pagkalkula ng taas ng isang figure at tanging ang gilid ng tatsulok na mukha ng figure ay maaaring iwanang. Ang dami ng naturang pyramid ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng paghahati ng 12 mula sa produkto ang haba ng mukha nito na na-cubed ng square root ng 2.

Pinapalitan namin ang expression na ito sa nakaraang formula, nakukuha namin ang sumusunod na formula para sa pagkalkula: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ√(2 /3) = (1/3)γ√6. Gayundin, ang isang regular na triangular na prisma ay maaaring isulat sa isang globo, at alam lamang ang radius ng globo (R), maaari mong mahanap ang pinakataas ng tetrahedron. Ang haba ng gilid ng tetrahedron ay: γ = 4R/√6. Pinapalitan natin ang variable na γ ng expression na ito sa nakaraang formula at makuha ang formula: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Ang parehong formula ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pag-alam sa radius (R) ng isang bilog na nakasulat sa isang tetrahedron. Sa kasong ito, ang haba ng gilid ng tatsulok ay magiging katumbas ng 12 ratios sa pagitan ng square root ng 6 at ang radius. Pinapalitan natin ang expression na ito sa nakaraang formula at mayroong: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Paano mahahanap ang taas ng isang regular na quadrangular pyramid

Upang masagot ang tanong kung paano hanapin ang haba ng taas ng pyramid, kailangan mong malaman kung ano ang isang regular na pyramid. Ang quadrangular pyramid ay isang pyramid na nakabatay sa quadrilateral. Kung sa mga kondisyon ng problema mayroon tayo: ang dami (V) at ang lugar ng base (S) ng pyramid, kung gayon ang formula para sa pagkalkula ng taas ng polyhedron (h) ay magiging ang mga sumusunod - hatiin ang volume na pinarami ng 3 sa lugar S: h \u003d (3V) / S. Sa isang parisukat na base ng isang pyramid na may kilala: ibinigay na volume (V) at haba ng gilid γ, palitan ang lugar (S) sa nakaraang formula ng parisukat ng haba ng gilid: S = γ 2 ; H = 3V/γ 2 . Ang taas ng regular na pyramid h = SO ay dumadaan lamang sa gitna ng bilog, na nakapaligid malapit sa base. Dahil ang base ng pyramid na ito ay isang parisukat, ang punto O ay ang punto ng intersection ng mga diagonal AD at BC. Mayroon kaming: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Dagdag pa, makikita natin sa isang right triangle SOC (ayon sa Pythagorean theorem): SO = √(SC 2 -OC 2). Ngayon alam mo na kung paano hanapin ang taas ng isang regular na pyramid.

Narito ang mga nakolektang pangunahing impormasyon tungkol sa mga pyramids at mga kaugnay na formula at konsepto. Lahat sila ay pinag-aaralan sa isang tutor sa matematika bilang paghahanda sa pagsusulit.

Isaalang-alang ang isang eroplano, isang polygon nakahiga dito at isang punto S na hindi nakahiga dito. Ikonekta ang S sa lahat ng vertices ng polygon. Ang nagresultang polyhedron ay tinatawag na isang pyramid. Ang mga segment ay tinatawag na lateral edges. Ang polygon ay tinatawag na base, at ang puntong S ay tinatawag na tuktok ng pyramid. Depende sa bilang n, ang pyramid ay tinatawag na triangular (n=3), quadrangular (n=4), pentagonal (n=5) at iba pa. Alternatibong pangalan para sa triangular na pyramid - tetrahedron. Ang taas ng isang pyramid ay ang perpendikular na iginuhit mula sa tuktok nito hanggang sa base plane.

Ang isang pyramid ay tinatawag na tama kung isang regular na polygon, at ang base ng taas ng pyramid (ang base ng patayo) ay ang sentro nito.

Komento ng tutor:
Huwag malito ang konsepto ng "regular pyramid" at "regular tetrahedron". Sa isang regular na pyramid, ang mga gilid ng gilid ay hindi kinakailangang katumbas ng mga gilid ng base, ngunit sa isang regular na tetrahedron, lahat ng 6 na gilid ng mga gilid ay pantay. Ito ang kanyang kahulugan. Madaling patunayan na ang pagkakapantay-pantay ay nagpapahiwatig na ang sentro P ng polygon na may base ng taas, kaya ang regular na tetrahedron ay isang regular na pyramid.

Ano ang apothem?
Ang apothem ng isang pyramid ay ang taas ng gilid ng mukha nito. Kung regular ang pyramid, pantay ang lahat ng apothems nito. Ang kabaligtaran ay hindi totoo.

Tutor sa matematika tungkol sa kanyang terminolohiya: ang pagtatrabaho sa mga pyramids ay 80% na binuo sa pamamagitan ng dalawang uri ng mga tatsulok:
1) Naglalaman ng apothem SK at taas SP
2) Naglalaman ng lateral edge SA at ang projection na PA nito

Upang gawing simple ang mga sanggunian sa mga tatsulok na ito, mas maginhawa para sa isang math tutor na pangalanan ang una sa mga ito apothemic, at pangalawa costal. Sa kasamaang palad, hindi mo makikita ang terminolohiya na ito sa alinman sa mga aklat-aralin, at kailangang ipakilala ito ng guro nang unilaterally.

Pyramid volume formula:
1) , kung saan ang lugar ng base ng pyramid, at ang taas ng pyramid
2) , nasaan ang radius ng inscribed sphere, at ang kabuuang surface area ng pyramid.
3) , kung saan ang MN ay ang distansya ng alinmang dalawang crossing edge, at ang lugar ng parallelogram na nabuo ng mga midpoint ng apat na natitirang mga gilid.

Pyramid Height Base Property:

Ang punto P (tingnan ang figure) ay tumutugma sa gitna ng nakasulat na bilog sa base ng pyramid kung ang isa sa mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:
1) Ang lahat ng apothems ay pantay
2) Ang lahat ng mga gilid na mukha ay pantay na nakahilig patungo sa base
3) Ang lahat ng apothems ay pantay na nakahilig sa taas ng pyramid
4) Ang taas ng pyramid ay pantay na nakahilig sa lahat ng panig na mukha

komento ng math tutor: tandaan na ang lahat ng mga punto ay pinagsama ng isang karaniwang pag-aari: sa isang paraan o iba pa, ang mga mukha sa gilid ay nakikilahok sa lahat ng dako (ang mga apothem ay ang kanilang mga elemento). Samakatuwid, ang tagapagturo ay maaaring mag-alok ng isang hindi gaanong tumpak, ngunit mas maginhawang pagbabalangkas para sa pagsasaulo: ang puntong P ay tumutugma sa gitna ng naka-inscribe na bilog, ang base ng pyramid, kung mayroong anumang pantay na impormasyon tungkol sa mga lateral na mukha nito. Upang patunayan ito, sapat na upang ipakita na ang lahat ng apothemic triangles ay pantay.

Ang puntong P ay tumutugma sa gitna ng circumscribed na bilog malapit sa base ng pyramid, kung ang isa sa tatlong kundisyon ay totoo:
1) Ang lahat ng gilid ng gilid ay pantay
2) Ang lahat ng mga tadyang sa gilid ay pantay na nakahilig patungo sa base
3) Ang lahat ng mga tadyang sa gilid ay pantay na nakahilig sa taas