Nájdite moment sily okolo osi. Ako vypočítať krútiaci moment

Väčšina najlepšia definícia Krútiaci moment je tendencia sily otáčať objekt okolo osi, otočného bodu alebo otočného bodu. Krútiaci moment možno vypočítať pomocou sily a momentu ramena (kolmá vzdialenosť od osi k pôsobeniu sily), alebo pomocou momentu zotrvačnosti a uhlového zrýchlenia.

Kroky

Použitie sily a pákového efektu

1. Určte sily pôsobiace na teleso a zodpovedajúce momenty. Ak sila nie je kolmá na uvažované rameno momentu (t. j. pôsobí pod uhlom), možno budete musieť nájsť jej zložky pomocou goniometrických funkcií, ako je sínus alebo kosínus.

   • Uvažovaná zložka sily bude závisieť od ekvivalentu kolmej sily.
   • Predstavte si vodorovnú tyč, na ktorú je potrebné pôsobiť silou 10 N pod uhlom 30° nad vodorovnou rovinou, aby sa mohla otáčať okolo stredu.
   • Keďže musíte použiť silu, ktorá nie je kolmá na rameno momentu, na otáčanie tyče potrebujete vertikálnu zložku sily.
   • Preto je potrebné zvážiť zložku y alebo použiť F = 10sin30° N.

2. Použite momentovú rovnicu τ = Fr a jednoducho nahraďte premenné danými alebo prijatými údajmi.

   • Jednoduchý príklad: Predstavte si 30 kg vážiace dieťa, ktoré sedí na jednom konci hojdačky. Dĺžka jednej strany hojdačky je 1,5 m.
   • Pretože je čap hojdačky v strede, nemusíte dĺžku násobiť.
   • Musíte určiť silu vyvíjanú dieťaťom pomocou hmotnosti a zrýchlenia.
   • Keďže hmotnosť je daná, musíte ju vynásobiť tiažovým zrýchlením g, čo je 9,81 m/s 2 . Preto:
   • Teraz máte všetky potrebné údaje na použitie momentovej rovnice:

3. Použite znamienka (plus alebo mínus) na zobrazenie smeru momentu. Ak sila otáča telo v smere hodinových ručičiek, potom je moment záporný. Ak sila otáča telo proti smeru hodinových ručičiek, potom je moment kladný.

   • V prípade viacnásobného pôsobenia síl jednoducho spočítajte všetky momenty v tele.
   • Pretože každá sila má tendenciu spôsobovať iný smer otáčania, je dôležité používať značku otáčania na sledovanie smeru každej sily.
   • Napríklad dve sily pôsobili na ráfik kolesa s priemerom 0,050 m, F1 = 10,0 N, smeroval v smere hodinových ručičiek, a F2 = 9,0 N, smeroval proti smeru hodinových ručičiek.
   • Keďže daným telesom je kruh, pevnou osou je jeho stred. Ak chcete získať polomer, musíte rozdeliť priemer. Veľkosť polomeru bude slúžiť ako rameno okamihu. Preto je polomer 0,025 m.
   • Pre prehľadnosť môžeme pre každý z momentov vznikajúcich z príslušnej sily riešiť samostatné rovnice.
   • Pre silu 1 je akcia nasmerovaná v smere hodinových ručičiek, preto je moment jej vytvorenia záporný:
   • Pre silu 2 je akcia nasmerovaná proti smeru hodinových ručičiek, preto je moment, keď sa vytvorí, pozitívny:
   • Teraz môžeme sčítať všetky momenty, aby sme dostali výsledný krútiaci moment:

   Použitie momentu zotrvačnosti a uhlového zrýchlenia

   1. Ak chcete začať riešiť problém, pochopte, ako funguje moment zotrvačnosti tela. Moment zotrvačnosti telesa je odpor telesa voči rotačnému pohybu. Moment zotrvačnosti závisí od hmotnosti aj od charakteru jej rozloženia.

      • Aby ste to jasne pochopili, predstavte si dva valce rovnakého priemeru, ale rôznej hmotnosti.
      • Predstavte si, že potrebujete otáčať oba valce okolo ich stredovej osi.
      • Je zrejmé, že valec s väčšou hmotnosťou sa bude otáčať ťažšie ako iný valec, pretože je „ťažší“.
      • Teraz si predstavte dva valce rôznych priemerov, ale rovnakej hmotnosti. Aby vyzerali ako valcové a mali rôzne hmotnosti, ale zároveň mali rôzne priemery, tvar alebo rozloženie hmoty oboch valcov musí byť odlišné.
      • Valec s väčším priemerom bude vyzerať ako plochý, zaoblený tanier, zatiaľ čo menší bude vyzerať ako pevná hadica z látky.
      • Valec s väčším priemerom sa bude otáčať ťažšie, pretože na prekonanie dlhšieho momentu musíte vyvinúť väčšiu silu.

   2. Vyberte rovnicu, ktorú použijete na výpočet momentu zotrvačnosti. Na to je možné použiť niekoľko rovníc.

      • Prvá rovnica je najjednoduchšia: súčet hmotností a momentových ramien všetkých častíc.
      • Táto rovnica sa používa pre hmotné body alebo častice. Ideálna častica je teleso, ktoré má hmotnosť, ale nezaberá priestor.
      • Inými slovami, jedinou významnou charakteristikou tohto telesa je jeho hmotnosť; nepotrebujete poznať jeho veľkosť, tvar ani štruktúru.
      • Myšlienka materiálovej častice je vo fyzike široko používaná na zjednodušenie výpočtov a využitie ideálnych a teoretických schém.
      • Teraz si predstavte objekt ako dutý valec alebo pevná homogénna guľa. Tieto objekty majú jasný a definovaný tvar, veľkosť a štruktúru.
      • Preto ich nemôžete považovať za materiálny bod.
      • Našťastie sa dajú použiť vzorce, ktoré sa vzťahujú na niektoré bežné objekty:

   3. Nájdite moment zotrvačnosti. Ak chcete začať počítať krútiaci moment, musíte nájsť moment zotrvačnosti. Ako pomôcku použite nasledujúci príklad:

      • Dve malé „závažia“ s hmotnosťou 5,0 kg a 7,0 kg sú namontované vo vzdialenosti 4,0 m od seba na ľahkej tyči (ktorej hmotnosť možno zanedbať). Os otáčania je v strede tyče. Tyč sa roztočí z pokoja na uhlovú rýchlosť 30,0 rad/s za 3,00 s. Vypočítajte vytvorený krútiaci moment.
      • Keďže os otáčania je v strede tyče, momentové rameno oboch závaží sa rovná polovici jej dĺžky, t.j. 2,0 m
      • Keďže tvar, veľkosť a štruktúra „závaží“ nie je špecifikovaná, môžeme predpokladať, že závažia sú častice materiálu.
      • Moment zotrvačnosti možno vypočítať takto:

   4. Nájdite uhlové zrýchlenie α. Na výpočet uhlového zrýchlenia môžete použiť vzorec α= at/r.

      • Prvý vzorec, α= at/r, možno použiť, ak je dané tangenciálne zrýchlenie a polomer.
      • Tangenciálne zrýchlenie je zrýchlenie smerované tangenciálne k smeru pohybu.
      • Predstavte si, že sa objekt pohybuje po zakrivenej dráhe. Tangenciálne zrýchlenie je jednoducho jeho lineárne zrýchlenie v akomkoľvek bode na ceste.
      • V prípade druhého vzorca je najjednoduchšie ho ilustrovať jeho vzťahom k pojmom z kinematiky: posunutie, lineárna rýchlosť a lineárne zrýchlenie.
      • Posun je vzdialenosť, ktorú prejde objekt (jednotka SI - metre, m); lineárna rýchlosť je mierou zmeny posunu za jednotku času (jednotka SI - m / s); lineárne zrýchlenie je ukazovateľom zmeny lineárnej rýchlosti za jednotku času (jednotka SI - m / s 2).
      • Teraz sa pozrime na analógy týchto veličín počas rotačného pohybu: uhlové posunutie, θ - uhol natočenia určitého bodu alebo segmentu (jednotka SI - rad); uhlová rýchlosť, ω - zmena uhlového posunu za jednotku času (jednotka SI - rad/s); a uhlové zrýchlenie, α - zmena uhlovej rýchlosti za jednotku času (jednotka SI - rad / s 2).
      • Keď sa vrátime k nášmu príkladu, dostali sme údaje pre uhlovú hybnosť a čas. Keďže rotácia začala z pokoja, počiatočná uhlová rýchlosť je 0. Pomocou rovnice môžeme nájsť:

   5. Na zistenie krútiaceho momentu použite rovnicu τ = Iα. Stačí nahradiť premenné odpoveďami z predchádzajúcich krokov.

      • Môžete si všimnúť, že jednotka „rad“ sa nezhoduje s našimi meracími jednotkami, pretože sa považuje za bezrozmernú veličinu.
      • To znamená, že ho môžete ignorovať a pokračovať vo výpočtoch.
      • Pre jednotkovú analýzu môžeme vyjadriť uhlové zrýchlenie v s -2 .
   • V prvej metóde, ak je teleso kruh a jeho os rotácie je v strede, potom nie je potrebné počítať zložky sily (za predpokladu, že sila nepôsobí šikmo), pretože sila leží na dotyčnica ku kružnici, t.j. kolmo na rameno momentu.
   • Ak je pre vás ťažké si predstaviť, ako k rotácii dochádza, vezmite si pero a pokúste sa problém zopakovať. Pre presnejšiu reprodukciu nezabudnite skopírovať polohu osi otáčania a smer pôsobiacej sily.

Okamih dvojice síl

Moment sily voči nejakému bodu (stredu) je vektor číselne rovný súčinu modulu sily a ramena, t.j. najkratšia vzdialenosť od určeného bodu k čiare pôsobenia sily a je smerovaná kolmo na rovinu prechádzajúcu zvoleným bodom a čiaru pôsobenia sily v smere, z ktorého "rotácia" vykonávaná silou okolo bod sa zdá byť proti smeru hodinových ručičiek. Moment sily charakterizuje jeho rotačné pôsobenie.

Ak O- bod, voči ktorému sa nachádza moment sily F, potom je moment sily označený symbolom M o (F). Ukážme, že ak je bod pôsobenia sily F určený polomerovým vektorom r, potom vzťah

Mo (F) = r x F. (3.6)

Podľa tohto pomeru moment sily sa rovná vektorovému súčinu vektora r k vektoru F.

V skutočnosti je modul krížového produktu

M o ( F)=RF hriech= Fh, (3.7)

Kde h- rameno sily. Všimnite si tiež, že vektor M o (F) smerované kolmo na rovinu prechádzajúcu vektormi r A F, v smere, z ktorého je najkratšia zákruta vektora r do smeru vektora F sa zdá byť proti smeru hodinových ručičiek. Vzorec (3.6) teda úplne určuje modul a smer momentu sily F.

Niekedy je užitočné napísať do formulára vzorec (3.7).

M o ( F)=2S, (3.8)

Kde S- oblasť trojuholníka OAB.

Nechaj X, r, z sú súradnice bodu pôsobenia sily a Fx, Fy, Fz sú projekcie síl na súradnicových osiach. Potom ak bod O umiestnený v počiatku, moment sily je vyjadrený takto:

Z toho vyplýva, že projekcie momentu sily na súradnicové osi sú určené vzorcami:

M Ox(F)=yF z -zF y,

M Oy(F)=zF x -xF z ,

M Oy(F)=xF y -yF x. (3.10)

Predstavme si teraz koncept priemetu sily na rovinu.

Nech sa dáva sila F a nejaké lietadlo. Pustime kolmice na túto rovinu od začiatku a konca vektora sily.

Projekcia sily na rovinu volal vektor , ktorej začiatok a koniec sa zhodujú s priemetom začiatku a priemetom konca sily na túto rovinu.

Ak vezmeme rovinu ako uvažovanú rovinu ahoj, potom projekcia sily F v tejto rovine bude vektor Fhu.

Moment sily Fhu vzhľadom na bod O(priesečníky osi z s lietadlom ahoj) možno vypočítať podľa vzorca (3.9), ak vezmeme z=0, Fz=0. Získajte

MO(Fhu)=(xF y -yF x)k.

Moment teda smeruje pozdĺž osi z a jeho premietanie na os z sa presne zhoduje s priemetom momentu sily na rovnakú os F vzhľadom na bod O. Inými slovami,

M Oz(F)=M Oz(Fhu)= xF y -yF x. (3.11)

Je zrejmé, že rovnaký výsledok možno dosiahnuť premietnutím sily F k akejkoľvek inej rovine rovnobežnej s ahoj. V tomto prípade je to priesečník osi z s rovinou bude iný (označíme nový priesečník cez O 1). Všetky však zahrnuté v pravá strana rovnosti (3.11) množstva X, pri, F x, F zostávajú nezmenené, a preto môžeme písať

M Oz(F)=M01z ( Fhu).

Inými slovami, priemet momentu sily okolo bodu na osi prechádzajúcej týmto bodom nezávisí od výberu bodu na osi . Preto v tom, čo nasleduje, namiesto symbolu M Oz(F) použijeme symbol Mz(F). Projekcia tohto momentu sa nazýva moment sily okolo osi z. Výpočet momentu sily okolo osi sa často pohodlnejšie vykonáva pomocou projekcie sily. F na rovinu kolmú na os a výpočet množstva Mz(Fhu).

V súlade so vzorcom (3.7) a pri zohľadnení znamienka projekcie získame:

Mz(F)=Mz(Fhu)=± F xy h*. (3.12)

Tu h*- rameno sily Fhu vzhľadom na bod O. Ak pozorovateľ vidí zo strany kladného smeru osi z, že sila Fhu má tendenciu otáčať telo okolo osi z proti smeru hodinových ručičiek, potom sa vezme znamienko "+" a inak - znamienko "-".

Vzorec (3.12) umožňuje formulovať nasledujúce pravidlo pre výpočet momentu sily okolo osi. Na to potrebujete:

vyberte ľubovoľný bod na osi a zostrojte rovinu kolmú na os;

premietnite silu na túto rovinu;

Určte premietacie rameno sily h*.

Moment sily okolo osi sa rovná súčinu modulu priemetu sily na jej rameno, braného s príslušným znamienkom (pozri vyššie uvedené pravidlo).

Zo vzorca (3.12) vyplýva, že moment sily okolo osi je nulový v dvoch prípadoch:

· keď sa priemet sily na rovinu kolmú na os rovná nule, t.j. keď sú sila a os rovnobežné ;

pri projekcii ramena h* rovná sa nule, t.j. keď akčná línia pretína os .

Oba tieto prípady je možné spojiť do jedného: moment sily okolo osi je nulový vtedy a len vtedy, ak línia pôsobenia sily a osi sú v rovnakej rovine .

Úloha 3.1. Vypočítajte vzhľadom na bod O moment moci F aplikovaný do bodky A a diagonálne orientovaná plocha kocky so stranou A.

Pri riešení takýchto problémov je vhodné najskôr vypočítať momenty sily F vzhľadom na súradnicové osi X, r, z. Súradnice bodu A použitie sily F bude

Silové projekcie F na súradnicových osiach:

Nahradením týchto hodnôt rovnosťami (3.10) zistíme

, , .

Rovnaké výrazy pre momenty sily F vzhľadom na súradnicové osi možno získať pomocou vzorca (3.12). Aby sme to dosiahli, navrhneme silu F v rovine kolmej na os X A pri. To je zrejmé . Použitím vyššie uvedeného pravidla dostaneme, ako sa očakávalo, rovnaké výrazy:

, , .

Momentový modul je určený rovnosťou

.

Predstavme si teraz pojem moment páru. Najprv zistime, aký je súčet momentov síl, ktoré tvoria dvojicu, vzhľadom na ľubovoľný bod. Nechaj O je ľubovoľný bod v priestore a F A F"- sily, ktoré tvoria pár.

Potom Mo (F)= OA × F, Mo (F") = OV × F",

Mo (F) + Mo (F") = OA × F+ OV × F",

ale odkedy F= -F", To

Mo (F) + Mo (F") = OA × F- OV × F=(OA-OV)× F.

Berúc do úvahy rovnosť OA-OV=VA , konečne nájdeme:

Mo (F) + Mo (F") = VA × F.

teda súčet momentov síl, ktoré tvoria dvojicu, nezávisí od polohy bodu, voči ktorému sú momenty brané .

vektorový produkt VA × F a volal párový moment . Okamih dvojice je označený symbolom M(F, F"), a

M(F, F")=VA × F= AB × F",

alebo v skratke

M=VA × F= AB × F". (3.13)

Vzhľadom na pravú stranu tejto rovnosti si to všimneme moment dvojice je vektor kolmý na rovinu dvojice, ktorý sa v absolútnej hodnote rovná súčinu modulu jednej zo síl dvojice a ramena dvojice (t.j. najkratšia vzdialenosť medzi čiarami pôsobenie síl, ktoré tvoria pár) a sú nasmerované v smere, z ktorého sa pozoruje „rotácia“ páru proti smeru hodinových ručičiek . Ak h je teda rameno dvojice M(F, F")=h × F.

Zo samotnej definície je vidieť, že moment dvojice síl je voľný vektor, ktorého pôsobisko nie je definované (dodatočné odôvodnenie tejto poznámky vyplýva z 2. a 3. vety tejto kapitoly).

Na to, aby dvojica síl vytvorila vyvážený systém (sústava síl ekvivalentná nule), je potrebné a postačujúce, aby moment dvojice bol rovný nule. Ak je moment páru nulový, M=h × F, potom buď F=0, t.j. žiadna sila, alebo rameno páru h rovná sa nule. Ale v tomto prípade budú sily páru pôsobiť v jednej priamke; keďže sú rovnaké v absolútnej hodnote a smerujú opačnými smermi, potom na základe axiómy 1 budú tvoriť vyvážený systém. Naopak, ak dve sily F1 A F2, ktoré tvoria pár, sú vyvážené, potom na základe rovnakej axiómy 1 pôsobia pozdĺž jednej priamky. Ale v tomto prípade pákový efekt páru h rovná sa nule a preto M=h × F=0.

Párové vety

Dokážme tri vety, pomocou ktorých sú možné ekvivalentné transformácie párov. Pri všetkých úvahách treba pamätať na to, že sa vzťahujú na dvojice pôsobiace na ľubovoľného pevný.

Veta 1. Dva páry ležiace v rovnakej rovine možno nahradiť jedným párom ležiacim v rovnakej rovine s momentom rovným súčtu momentov daných dvoch párov.

Ak chcete dokázať túto vetu, zvážte dve dvojice ( F1,F" 1) A ( F2,F" 2) a preneste body pôsobenia všetkých síl pozdĺž čiar ich pôsobenia na body A A IN resp. Sčítaním síl podľa axiómy 3 dostaneme

R=F1+F2 A R"=F" 1+F" 2,

ale F1=-F" 1 A F2=-F" 2.

teda R=-R", t.j. silu R A R" tvoria pár. Nájdite moment tejto dvojice pomocou vzorca (3.13):

M = M(R, R")=VA× R= VA× (F1+F2)=VA× F1+VA× F2. (3.14)

Keď sa sily, ktoré tvoria pár, prenášajú pozdĺž línií ich pôsobenia, nezmení sa ani rameno, ani smer otáčania párov, preto sa nemení ani moment páru. znamená,

VA × F 1 \u003d M(F1,F" 1)=M 1, VA× F 2 \u003d M(F2,F" 2)=M 2

a vzorec (3.14) má tvar

M \u003d M 1 + M 2, (3.15)

čo dokazuje platnosť vyššie uvedenej vety.

Urobme dve poznámky k tejto vete.

1. Línie pôsobenia síl, ktoré tvoria dvojice, sa môžu ukázať ako rovnobežné. Veta zostáva platná aj v tomto prípade, ale na jej dôkaz treba použiť pravidlo sčítania rovnobežných síl.

2. Po pridaní sa môže ukázať, že M(R, R")=0; Na základe vyššie uvedenej poznámky to znamená, že súbor dvoch párov ( F1,F" 1, F2,F" 2)=0.

Veta 2. Dva páry, ktoré majú geometricky rovnaké momenty, sú ekvivalentné.

Nechajte na tele v rovine ja pár ( F1,F" 1) s momentom M 1. Ukážme, že tento pár môže byť nahradený iným párom s párom ( F2,F" 2) umiestnený v rovine II, keby len jeho okamih M 2 rovná sa M 1(podľa definície (pozri 1.1) to bude znamenať, že páry ( F1,F" 1) A ( F2,F" 2) sú rovnocenné). V prvom rade si všimneme, že lietadlá ja A II musia byť rovnobežné, najmä sa môžu zhodovať. Vskutku, z paralelnosti momentov M 1 A M 2(v našom prípade M 1=M 2) vyplýva, že roviny pôsobenia dvojíc, kolmé na momenty, sú tiež rovnobežné.

Predstavme si nový pár ( F3,F" 3) a aplikujte ho spolu s párom ( F2,F" 2) k telu, pričom oba páry umiestnite do roviny II. Aby sme to dosiahli, podľa Axiom 2 si musíme vybrať pár ( F3,F" 3) s momentom M 3 takže aplikovaný systém síl ( F2,F" 2, F3,F" 3) bol vyrovnaný. Dá sa to urobiť napríklad takto: nastavíme F3=-F" 1 A F" 3 =-F1 a spojme body pôsobenia týchto síl s projekciami A 1 a IN 1 bod A A IN do lietadla II. Podľa konštrukcie budeme mať: M 3 \u003d - M 1 alebo vzhľadom na to M1 = M2,

M2 + M3= 0.

Ak vezmeme do úvahy druhú poznámku k predchádzajúcej vete, dostaneme ( F2,F" 2, F3,F" 3)=0. Takže páry ( F2,F" 2) A ( F3,F" 3) sú vzájomne vyvážené a ich pripútanie k telu nenarúša jeho stav (axióma 2), takže

(F1,F" 1)= (F1,F" 1, F2,F" 2, F3,F" 3). (3.16)

Na druhej strane sily F1 A F3, a F" 1 A F" 3 možno pridať podľa pravidla sčítania paralelných síl smerujúcich jedným smerom. Modulo, všetky tieto sily sú si navzájom rovné, teda ich výslednica R A R" musí byť aplikovaný v priesečníku uhlopriečok obdĺžnika ABB 1 A 1; okrem toho majú rovnakú absolútnu hodnotu a sú nasmerované opačnými smermi. To znamená, že tvoria systém ekvivalentný nule. takže,

(F1,F" 1, F3,F" 3)=(R, R")=0.

Teraz môžeme písať

(F1,F" 1, F2,F" 2, F3,F" 3)=(F3,F" 3). (3.17)

Porovnaním vzťahov (3.16) a (3.17) dostaneme ( F1,F" 1)=(F2,F" 2), čo malo byť preukázané.

Z tejto vety vyplýva, že dvojica síl sa môže pohybovať v rovine jej pôsobenia, prenášať do rovnobežnej roviny; nakoniec, vo dvojici môžete súčasne meniť sily a rameno, pričom zachováte iba smer otáčania dvojice a modul jej hybnosti ( F 1 h 1 =F 2 h 2).

V nasledujúcom texte budeme vo veľkej miere využívať takéto ekvivalentné transformácie páru.

Veta 3. Dve dvojice ležiace v pretínajúcich sa rovinách sú ekvivalentné jednej dvojici, ktorej moment sa rovná súčtu momentov dvoch daných dvojíc.

Nechajte páry ( F1,F" 1) A ( F2,F" 2) sa nachádzajú v pretínajúcich sa rovinách ja A II resp. Pomocou dôsledkov vety 2 zredukujeme oba páry na rameno AB umiestnený na priesečníku rovín ja A II. Označte transformované páry ( Q1,Q" 1) A ( Q2,Q" 2). V tomto prípade rovnosť

Mi = M(Q1,Q" 1)=M(F1,F" 1) A M2 = M(Q2,Q" 2)=M(F2,F" 2).

Pridajme podľa axiómy 3 sily pôsobiace v bodoch A A IN resp. Potom dostaneme R \u003d Q 1 + Q 2 A R" = Q" 1 + Q" 2. Vzhľadom na to Q" 1 \u003d -Q 1 A Q" 2 \u003d -Q 2, dostaneme R=-R". Dokázali sme teda, že systém dvoch párov je ekvivalentný jednému páru ( R,R").

Nájdime si chvíľu M tento pár. Na základe vzorca (3.13) máme

M(R,R")=VA× (Q1+Q2)=VA× Q1+ VA× Q2=

=M(Q1,Q" 1)+M(Q2,Q" 2)=M(F1,F" 1)+M(F2,F" 2)

M \u003d M 1 + M 2,

tie. veta je dokázaná.

Všimnite si, že získaný výsledok platí aj pre dvojice ležiace v rovnobežných rovinách. Podľa vety 2 možno takéto dvojice zredukovať na jednu rovinu a pomocou vety 1 ich nahradiť jednou dvojicou, ktorej moment sa rovná súčtu momentov dvojíc komponentov.

Vyššie dokázané párové teorémy vedú k dôležitému záveru: moment dvojice je voľný vektor a úplne určuje pôsobenie dvojice na absolútne tuhé teleso . V skutočnosti sme už dokázali, že ak majú dve dvojice rovnaké momenty (a teda ležia v rovnakej rovine alebo v rovnobežných rovinách), potom sú si navzájom ekvivalentné (Veta 2). Na druhej strane, dva páry ležiace v pretínajúcich sa rovinách nemôžu byť ekvivalentné, pretože by to znamenalo, že jeden z nich a pár opačný k druhému sú ekvivalentné nule, čo je nemožné, pretože súčet momentov takýchto párov je odlišný. od nuly.

Zavedený koncept momentu páru je teda mimoriadne užitočný, pretože plne odráža mechanické pôsobenie páru na telo. V tomto zmysle môžeme povedať, že moment taxatívne predstavuje pôsobenie dvojice na tuhé teleso.

Pre deformovateľné telesá vyššie uvedená teória párov neplatí. Dve protiľahlé dvojice, pôsobiace napríklad na konce tyče, sú z hľadiska statiky tuhého telesa ekvivalentné nule. Medzitým ich pôsobenie na deformovateľnú tyč spôsobuje jej krútenie, a to čím viac, tým väčšie sú moduly momentov.

Prejdime k riešeniu prvého a druhého problému statiky, kedy na teleso pôsobia len dvojice síl.

Vo fyzike sa zvažovanie problémov s rotujúcimi telesami alebo systémami, ktoré sú v rovnováhe, uskutočňuje pomocou konceptu "momentu sily". Tento článok sa bude zaoberať vzorcom pre moment sily, ako aj jeho použitím na vyriešenie tohto typu problému.

vo fyzike

Ako bolo uvedené v úvode, tento článok sa zameria na systémy, ktoré sa môžu otáčať okolo osi alebo okolo bodu. Zvážte príklad takéhoto modelu, ktorý je znázornený na obrázku nižšie.

Vidíme, že páka sivej farby upevnené na osi otáčania. Na konci páky je čierna kocka nejakej hmoty, na ktorú pôsobí sila (červená šípka). Je intuitívne jasné, že výsledkom tejto sily bude otáčanie páky okolo osi proti smeru hodinových ručičiek.

Moment sily je vo fyzike veličina, ktorá sa rovná vektorovému súčinu polomeru spájajúceho os otáčania a bodu pôsobenia sily (zelený vektor na obrázku) a samotnej vonkajšej sily. To znamená, že sila vo vzťahu k osi je napísaná takto:

Výsledkom tohto súčinu bude vektor M¯. Jeho smer je určený na základe znalosti multiplikačných vektorov, teda r¯ a F¯. Podľa definície krížového súčinu M¯ musí byť kolmé na rovinu tvorenú vektormi r¯ a F¯ a musí smerovať podľa pravidla pravá ruka(ak sú štyri prsty pravej ruky umiestnené pozdĺž prvého vynásobeného vektora ku koncu druhého, potom odložte nahor palec označuje, kam smeruje požadovaný vektor). Na obrázku môžete vidieť, kam smeruje vektor M¯ (modrá šípka).

Skalárna notácia M¯

Na obrázku v predchádzajúcom odseku sila (červená šípka) pôsobí na páku pod uhlom 90 o. Vo všeobecnom prípade môže byť aplikovaný úplne v akomkoľvek uhle. Zvážte obrázok nižšie.

Tu vidíme, že sila F už pôsobí na páku L pod určitým uhlom Φ. Pre tento systém má vzorec pre moment sily vzhľadom na bod (znázornený šípkou) v skalárnej forme:

M = L * F * sin (Φ)

Z výrazu vyplýva, že moment sily M bude tým väčší, čím bude smer pôsobenia sily F bližšie k uhlu 90 o vzhľadom na L. Naopak, ak F pôsobí pozdĺž L, potom sin(0) = 0 a sila nevytvára žiadny moment ( M = 0).

Pri zvažovaní momentu sily v skalárnej forme sa často používa pojem "páka sily". Táto hodnota je vzdialenosť medzi osou (bodom rotácie) a vektorom F. Aplikovaním tejto definície na obrázok vyššie môžeme povedať, že d = L * sin(Φ) je páka sily (rovnosť vyplýva z definície goniometrická funkcia"sínus"). Pomocou páky sily možno vzorec pre moment M prepísať takto:

Fyzikálny význam veličiny M

Zvážené fyzikálne množstvo určuje schopnosť vonkajšej sily F vyvíjať rotačný účinok na systém. Aby sa telo dostalo do rotačného pohybu, potrebuje udeliť určitý moment M.

Hlavným príkladom tohto procesu je otváranie alebo zatváranie dverí do miestnosti. Držiac kľučku, osoba vynaloží úsilie a otočí dvere na pántoch. Zvládne to každý. Ak sa pokúsite otvoriť dvere tak, že na ne budete pôsobiť v blízkosti pántov, budete musieť vynaložiť veľké úsilie, aby ste ich posunuli.

Ďalším príkladom je uvoľnenie matice pomocou kľúča. Čím kratší je tento kľúč, tým ťažšie je dokončiť úlohu.

Tieto vlastnosti demonštruje vzorec pre moment sily cez rameno, ktorý bol uvedený v predchádzajúcom odseku. Ak sa M považuje za konštantnú hodnotu, potom čím menšie d, tým väčšie F musí byť použité na vytvorenie daného momentu sily.

Niekoľko pôsobiacich síl v systéme

Boli uvažované vyššie uvedené prípady, keď na systém schopný rotácie pôsobí iba jedna sila F, ale čo ak existuje niekoľko takýchto síl? Táto situácia je skutočne častejšia, pretože na systém môžu pôsobiť sily rôzneho charakteru (gravitačné, elektrické, trecie, mechanické a iné). Vo všetkých týchto prípadoch možno výsledný moment sily M¯ získať pomocou vektorového súčtu všetkých momentov M i ¯, t.j.

M¯ = ∑ i (M i ¯), kde i je číslo sily F i

Dôležitý záver vyplýva z vlastnosti aditivity momentov, ktorá sa nazýva Varignonova veta, pomenovaná podľa matematika konca 17. a začiatku 18. storočia, Francúza Pierra Varignona. Znie: "Súčet momentov všetkých síl pôsobiacich na uvažovaný systém možno znázorniť ako moment jednej sily, ktorý sa rovná súčtu všetkých ostatných a pôsobí na určitý bod." Matematicky môže byť veta napísaná takto:

∑ i (M i ¯) = M¯ = d * ∑ i (F i ¯)

Táto dôležitá veta sa v praxi často používa pri riešení problémov o rotácii a rovnováhe telies.

Funguje moment sily?

Analýzou vyššie uvedených vzorcov v skalárnej alebo vektorovej forme môžeme dospieť k záveru, že hodnota M je nejaká práca. Jeho rozmer je skutočne N * m, čo v SI zodpovedá joulu (J). Momentom sily v skutočnosti nie je práca, ale len množstvo, ktoré je toho schopné. Aby sa tak stalo, je potrebný kruhový pohyb v sústave a dlhodobé pôsobenie M. Preto je vzorec pre prácu momentu sily napísaný takto:

V tomto výraze je θ uhol, o ktorý sa otočil moment sily M. Výsledkom je, že jednotku práce možno zapísať ako N * m * rad alebo J * rad. Napríklad hodnota 60 J * rad znamená, že pri otočení o 1 radián (približne 1/3 kruhu) sila F, ktorá vytvára moment M, vykonala 60 joulov práce. Tento vzorec sa často používa pri riešení problémov v systémoch, kde pôsobia trecie sily, čo bude uvedené nižšie.

Moment sily a moment impulzu

Ako bolo ukázané, pôsobenie momentu M na systém vedie k vzniku rotačného pohybu v ňom. Ten je charakterizovaný veličinou nazývanou „hybnosť“. Dá sa vypočítať pomocou vzorca:

Tu je I moment zotrvačnosti (hodnota, ktorá hrá pri rotácii rovnakú úlohu ako hmotnosť pri priamočiarom pohybe telesa), ω je uhlová rýchlosť, súvisí s lineárnou rýchlosťou podľa vzorca ω = v / r .

Oba momenty (hybnosť a sila) sú navzájom spojené nasledujúcim výrazom:

M = I * α, kde α = dω / dt je uhlové zrýchlenie.

Tu je ďalší vzorec, ktorý je dôležitý pre riešenie problémov pre prácu momentov síl. Pomocou tohto vzorca môžete vypočítať kinetickú energiu rotujúceho telesa. Vyzerá takto:

Rovnováha viacerých telies

Prvý problém súvisí s rovnováhou sústavy, v ktorej pôsobí viacero síl. Obrázok nižšie zobrazuje systém, ktorý je vystavený trom silám. Je potrebné vypočítať, akú hmotnosť musí byť objekt na tejto páke zavesený a v akom bode to treba urobiť, aby bol tento systém v rovnováhe.

Zo stavu problému možno pochopiť, že na jeho vyriešenie je potrebné použiť Varignonovu vetu. Prvá časť problému môže byť zodpovedaná okamžite, pretože hmotnosť predmetu, ktorý sa má zavesiť na páku, sa bude rovnať:

P \u003d F 1 - F 2 + F 3 \u003d 20 - 10 + 25 \u003d 35 N

Značky sa tu vyberajú s prihliadnutím na to, že sila, ktorá otáča páku proti smeru hodinových ručičiek, vytvára negatívny moment.

Poloha bodu d, kde má byť toto závažie zavesené, sa vypočíta podľa vzorca:

M1 - M2 + M3 = d * P = 7 * 20 - 5 * 10 + 3 * 25 = d * 35 => d = 165/35 = 4,714 m

Všimnite si, že pomocou vzorca pre moment tiaže sme vypočítali ekvivalentnú hodnotu M k tej, ktorú vytvorili tri sily. Aby bol systém v rovnováhe, je potrebné zavesiť teleso s hmotnosťou 35 N v bode 4,714 m od osi na druhej strane páky.

Problém s pohyblivým diskom

Riešenie nasledujúceho problému je založené na použití vzorca pre moment trecej sily a kinetickú energiu rotačného telesa. Úloha: Daný kotúč s polomerom r = 0,3 metra, ktorý sa otáča rýchlosťou ω = 1 rad/s. Je potrebné vypočítať, ako ďaleko môže prejsť po povrchu, ak je koeficient valivého trenia μ = 0,001.

Tento problém je najjednoduchšie vyriešiť pomocou zákona zachovania energie. Máme počiatočnú kinetickú energiu disku. Keď sa začne valiť, všetka táto energia sa vynaloží na zahrievanie povrchu v dôsledku pôsobenia trecej sily. Porovnaním oboch veličín dostaneme výraz:

I * ω 2 /2 = μ * N/r * r * θ

Prvá časť vzorca je kinetická energia disku. Druhá časť je práca momentu trecej sily F = μ * N/r pôsobiacej na okraj disku (M=F * r).

Vzhľadom na to, že N = m * g a I = 1/2 m * r 2, vypočítame θ:

θ = m * r 2 * ω 2 / (4 * μ * m * g) = r 2 * ω 2 / (4 * μ * g) = 0,3 2 * 1 2 / (4 * 0,001 * 9,81) = 2,29358 rad

Pretože 2pi radiány zodpovedajú dĺžke 2pi * r, potom dostaneme, že požadovaná vzdialenosť, ktorú disk prejde, je:

s = θ * r = 2,29358 * 0,3 = 0,688 m alebo približne 69 cm

Všimnite si, že na daný výsledok Hmotnosť disku nemá žiadny vplyv.

Moment sily okolo osi otáčania je fyzikálna veličina rovnajúca sa súčinu sily a jej ramena.

Moment sily je určený vzorcom:

M - FI, kde F je sila, I je rameno sily.

Rameno sily je najkratšia vzdialenosť od čiary pôsobenia sily k osi rotácie telesa.

Na obr. 1.33 a ukazuje tuhé teleso, ktoré sa môže otáčať okolo osi. Os otáčania tohto telesa je kolmá na rovinu obrázku a prechádza bodom označeným písmenom O. Rameno sily F je tu vzdialenosť 1X od osi otáčania k pôsobisku sily. . Nájdite to nasledujúcim spôsobom. Najprv nakreslite čiaru pôsobenia sily. Potom sa z bodu O, ktorým prechádza os otáčania telesa, spustí kolmica na čiaru pôsobenia sily. Dĺžka tejto kolmice je rameno danej sily.

Moment sily charakterizuje rotačné pôsobenie sily. Táto akcia závisí od sily aj pákového efektu. Čím väčšie je rameno, tým menšia sila musí byť použitá, aby sa dosiahol požadovaný výsledok, t. j. rovnaký moment sily (pozri (1.33)). Preto je oveľa ťažšie otvárať dvere zatlačením v blízkosti pántov ako držaním za kľučku a vyskrutkovať maticu dlhým kľúčom je oveľa jednoduchšie ako krátkym kľúčom.

Za jednotku momentu sily v SI sa považuje moment sily 1 N, ktorého rameno je 1 m - newton meter (N m).

momentové pravidlo

Tuhé teleso schopné otáčania okolo pevnej osi je v rovnováhe, ak moment sily M, ktorý ho otáča v smere hodinových ručičiek, sa rovná momentu sily M2, ktorý ho otáča proti smeru hodinových ručičiek:

M1 \u003d -M2 alebo F 1 ll \u003d - F 2 l 2.

Pravidlo momentov je dôsledkom jednej z teorém mechaniky, ktorú v roku 1687 sformuloval francúzsky vedec P. Varignon.

Ak na teleso pôsobia dve rovnaké a opačne smerujúce sily, ktoré neležia na jednej priamke, potom také teleso nie je v rovnováhe, pretože výsledný moment týchto síl okolo žiadnej osi nie je rovný nule, pretože obe sily majú momenty nasmerovaný rovnakým smerom. Dve takéto sily súčasne pôsobiace na teleso sa nazývajú dvojice síl. Ak je teleso upevnené na osi, potom sa pôsobením dvojice síl bude otáčať. Ak na voľné teleso pôsobí dvojica síl, potom sa bude otáčať okolo osi prechádzajúcej ťažiskom telesa, obr. 1.33b.

Moment dvojice síl je rovnaký okolo akejkoľvek osi kolmej na rovinu dvojice. Celkový moment M dvojice sa vždy rovná súčinu jednej zo síl F a vzdialenosti I medzi silami, ktorá sa nazýva rameno dvojice, bez ohľadu na segmenty a /2, do ktorých sa nachádza poloha osi. rameno páru je rozdelené:

M = Fll + Fl2=F(11 + 12) = Fl.

Moment viacerých síl, ktorých výslednica je nula, bude rovnaký vzhľadom na všetky osi navzájom rovnobežné, takže pôsobenie všetkých týchto síl na teleso možno nahradiť pôsobením jednej dvojice síl rovnaký moment.

Moment sily okolo osi alebo jednoducho moment sily sa nazýva priemet sily na priamku, ktorá je kolmá na polomer a je nakreslená v bode pôsobenia sily vynásobená vzdialenosťou od tohto bodu k osi. . Alebo súčin sily na ramene jeho aplikácie. Rameno je v tomto prípade vzdialenosť od osi k bodu pôsobenia sily. Moment sily charakterizuje rotačné pôsobenie sily na teleso. Os je v tomto prípade miesto, kde je telo pripevnené, voči ktorému sa môže otáčať. Ak teleso nie je pevné, potom sa ťažisko môže považovať za os otáčania.

Formula 1 - Moment sily.

F - Sila pôsobiaca na teleso.

r - Sila ramien.

Obrázok 1 - Moment sily.

Ako je zrejmé z obrázku, rameno sily je vzdialenosť od osi k bodu pôsobenia sily. Ale to je prípad, ak je uhol medzi nimi 90 stupňov. Ak tomu tak nie je, potom je potrebné nakresliť čiaru pozdĺž pôsobenia sily a spustiť na ňu kolmicu z osi. Dĺžka tejto kolmice sa bude rovnať ramenu sily. A posunutie bodu pôsobenia sily v smere sily nemení jej hybnosť.

Je zvykom považovať za pozitívny taký moment sily, ktorý spôsobuje, že sa teleso otáča v smere hodinových ručičiek vzhľadom k bodu pozorovania. A negatívne, respektíve spôsobujúce rotáciu proti nemu. Moment sily sa meria v Newtonoch na meter. Jeden Newtonometer je sila 1 Newtona pôsobiaca na rameno dlhé 1 meter.

Ak sila pôsobiaca na teleso prechádza po priamke prechádzajúcej osou otáčania telesa, alebo ťažiskom, ak teleso nemá os otáčania. Potom bude moment sily v tomto prípade rovný nule. Pretože táto sila nespôsobí rotáciu tela, ale jednoducho ho posunie dopredu pozdĺž línie aplikácie.

Obrázok 2 - Moment sily je nulový.

Ak na teleso pôsobí viacero síl, tak moment sily bude určený ich výslednicou. Napríklad na teleso môžu pôsobiť dve sily rovnakej veľkosti a smerujúce opačne. V tomto prípade bude celkový moment sily rovný nule. Pretože tieto sily sa budú navzájom kompenzovať. Zjednodušene si predstavte detský kolotoč. Ak ho jeden chlapec tlačí v smere hodinových ručičiek a druhý rovnakou silou proti nemu, kolotoč zostane nehybný.