V tejto téme zvážime všetky tri vyššie uvedené skupiny limitov s iracionalitou. Začnime s limitami obsahujúcimi neistotu tvaru $\frac(0)(0)$.

Zverejnenie neistoty $\frac(0)(0)$.

Schéma riešenia štandardných príkladov tohto typu zvyčajne pozostáva z dvoch krokov:

• Iracionality, ktorá spôsobila neistotu, sa zbavíme násobením takzvaným „adjointovým“ výrazom;
• V prípade potreby výraz v čitateli alebo menovateli (prípadne v oboch) rozložíme na faktory;
• Znížime faktory, ktoré vedú k neistote a vypočítame požadovanú hodnotu limitu.

Vyššie použitý výraz "pridružený výraz" bude podrobne vysvetlený v príkladoch. Zatiaľ nie je dôvod sa tomu podrobne venovať. Vo všeobecnosti môžete ísť opačným smerom, bez použitia konjugovaného výrazu. Niekedy vás dobre zvolená náhrada dokáže zbaviť iracionality. Takéto príklady sú v štandarde zriedkavé kontrolná práca, preto budeme uvažovať iba o jednom príklade č. 6 na použitie náhrady (pozri druhú časť tejto témy).

Budeme potrebovať niekoľko vzorcov, ktoré napíšem nižšie:

\začiatok(rovnica) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \koniec(rovnica) \začiatok(rovnica) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \koniec(rovnica) \začiatok(rovnica) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \koniec(rovnica) \začiatok (rovnica) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(rovnica)

Okrem toho predpokladáme, že čitateľ pozná vzorce na riešenie kvadratických rovníc. Ak $x_1$ a $x_2$ sú korene štvorcový trojčlen$ax^2+bx+c$, potom sa môže faktorizovať pomocou nasledujúceho vzorca:

\začiatok(rovnica) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(rovnica)

Vzorce (1)-(5) úplne postačujú na riešenie štandardných problémov, na ktoré sa teraz obrátime.

Príklad č. 1

Nájdite $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

Pretože $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ a $\lim_(x\ to 3) (x-3)=3-3=0$, potom v danej limite máme neistotu tvaru $\frac(0)(0)$. Rozdiel $\sqrt(7-x)-2$ nám bráni odhaliť túto neistotu. Aby sme sa zbavili takýchto iracionalít, používa sa násobenie takzvaným „prídavným výrazom“. Teraz zvážime, ako takéto násobenie funguje. Vynásobte $\sqrt(7-x)-2$ $\sqrt(7-x)+2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

Ak chcete rozbaliť zátvorky, použite nahradenie pravá strana spomínaný vzorec $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Ako vidíte, ak vynásobíte čitateľa $\sqrt(7-x)+2$, potom koreň (t.j. iracionalita) v čitateli zmizne. Tento výraz $\sqrt(7-x)+2$ bude konjugovať na výraz $\sqrt(7-x)-2$. Nemôžeme však jednoducho vziať a vynásobiť čitateľa $\sqrt(7-x)+2$, pretože to zmení zlomok $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$, ktorý je pod limitom . Musíte vynásobiť čitateľa aj menovateľa súčasne:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Teraz si pamätajte, že $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ a rozbaľte zátvorky. A po otvorení zátvoriek a malej transformácii $3-x=-(x-3)$ zlomok znížime o $x-3$:

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\to 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

Neistota $\frac(0)(0)$ je preč. Teraz môžete ľahko získať odpoveď na tento príklad:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Všimol som si, že konjugovaný výraz môže zmeniť svoju štruktúru - v závislosti od toho, aký druh iracionality by mal odstrániť. V príkladoch #4 a #5 (pozri druhú časť tejto témy) sa použije iný druh konjugovaného výrazu.

Odpoveď: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

Príklad č. 2

Nájdite $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

Pretože $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ a $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, potom sa zaoberajú neurčitosťou tvaru $\frac(0)(0)$. Zbavme sa iracionality v menovateli tohto zlomku. Aby sme to urobili, pridajme čitateľa aj menovateľa zlomku $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ do výraz $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ konjugovaný s menovateľom:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0 )(0)\vpravo|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Opäť, ako v príklade č. 1, musíte na rozšírenie použiť zátvorky. Dosadením $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ do pravej strany uvedeného vzorca dostaneme nasledujúci výraz pre menovateľa:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ right)=\\ =\left(\sqrt(x^2+5)\right)^2-\left(\sqrt(7x^2-19)\right)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Vráťme sa k nášmu limitu:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

V príklade č. 1 sa frakcia znížila takmer okamžite po vynásobení expresiou konjugátu. Tu je potrebné pred redukciou faktorizovať výrazy $3x^2-5x-2$ a $x^2-4$ a až potom pristúpiť k redukcii. Na faktorizáciu výrazu $3x^2-5x-2$ musíte použiť . Najprv vyriešme kvadratickú rovnicu $3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \začiatok(zarovnané) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(zarovnané) $$

Nahradením $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ za , získame:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\vpravo)(x-2)=\vľavo(3\cbodka x+3\cbodka\frac(1)(3)\vpravo)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

Teraz je čas vyňať výraz $x^2-4$. Použime , pričom doň nahradíme $a=x$, $b=2$:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Využime získané výsledky. Keďže $x^2-4=(x-2)(x+2)$ a $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, potom:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2 -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

Znížením o zátvorku $ x-2 $ dostaneme:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

Všetky! Neistota je preč. Ešte jeden krok a dostávame sa k odpovedi:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2 ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

Odpoveď: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4) $.

V nasledujúcom príklade zvážte prípad, keď bude iracionalita prítomná v čitateli aj v menovateli zlomku.

Príklad č. 3

Nájdite $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 )) $.

Pretože $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ a $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, potom máme neurčitosť tvaru $ \frac (0) (0) $. Keďže v tomto prípade sú korene prítomné v menovateli aj v čitateli, aby ste sa zbavili neistoty, budete musieť násobiť dvoma zátvorkami naraz. Najprv k výrazu $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ konjugujte s čitateľom. A po druhé, k výrazu $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ konjugovať s menovateľom.

$$ \lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2) -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2 -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \začiatok (zarovnané) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(zarovnané) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

Pre výraz $x^2-8x+15$ dostaneme:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \začiatok(zarovnané) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10)(2)=5. \end(zarovnané)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

Nahradením získaných expanzií $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ a $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ do uvažovaného limit, bude mať:

$$ \lim_(x\to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2 -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\to 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\to 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Odpoveď: $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 )) = -6 $.

V ďalšej (druhej) časti zvážime niekoľko ďalších príkladov, v ktorých bude mať konjugovaný výraz inú formu ako v predchádzajúcich úlohách. Hlavná vec na zapamätanie je, že účelom použitia konjugovaného výrazu je zbaviť sa iracionality, ktorá spôsobuje neistotu.

\začiatok(rovnica) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\koniec(rovnica)

Príklad č. 4

Nájdite $\lim_(x\to 4)\frac(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4))(16-x^2)$.

Pretože $\lim_(x\to 4)\left(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)\right)=0$ a $\lim_(x\to 4)(16-x^ 2 )=0$, potom máme čo do činenia s neurčitosťou tvaru $\frac(0)(0)$. Aby ste sa zbavili iracionality, ktorá spôsobila túto neistotu, musíte vynásobiť čitateľa a menovateľa výrazom spojeným s čitateľom. tu už nepomôže, pretože násobenie $\sqrt(5x-12)+\sqrt(x+4)$ povedie k tomuto výsledku:

$$ \left(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)\right)\left(\sqrt(5x-12)+\sqrt(x+4)\right)=\sqrt((5x) -12)^2)-\sqrt((x+4)^2) $$

Ako vidíte, takéto násobenie nás nezachráni pred rozdielom koreňov, ktorý spôsobuje neurčitosť $\frac(0)(0)$. Musíme vynásobiť iným výrazom. Tento výraz musí byť taký, aby po vynásobení ním rozdiel v odmocninách zmizol. A koreň kocky dokáže "odstrániť" len tretí stupeň, takže treba použiť . Nahradením $a=\sqrt(5x-12)$, $b=\sqrt(x+4)$ do pravej strany tohto vzorca dostaneme:

$$ \left(\sqrt(5x-12)- \sqrt(x+4)\right)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt( x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right)=\\ =\sqrt((5x-12)^3)-\sqrt((x+4)^3)=5x-12 -(x+4)=4x-16. $$

Takže po vynásobení $\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2)$, rozdiel kockových koreňov zmizli. Je to výraz $\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2)$, ktorý bude konjugovaný na výraz $\ sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)$. Vráťme sa k nášmu limitu a vynásobme čitateľa a menovateľa výrazom spojeným s čitateľom $\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)$:

$$ \lim_(x\to 4)\frac(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4))(16-x^2)=\left|\frac(0)(0)\right |=\\ =\lim_(x\to 4)\frac(\left(\sqrt(5x-12)- \sqrt(x+4)\right)\left(\sqrt((5x-12)^2 )+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right))((16-x^2)\left(\sqrt((5x) -12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right))=\\ =\lim_(x\to 4 )\frac(4x-16)((16-x^2)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt ((x+4)^2) \vpravo)) $$

Úloha je prakticky vyriešená. Zostáva len vziať do úvahy, že $16-x^2=-(x^2-16)=-(x-4)(x+4)$ (pozri ). Navyše, $4x-16=4(x-4)$, takže posledný limit prepíšeme do tohto tvaru:

$$ \lim_(x\to 4)\frac(4x-16)((16-x^2)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \ sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right))=\\ =\lim_(x\to 4)\frac(4(x-4))(-(x-4 )(x+4)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \ vpravo))=\\ =-4\cdot\lim_(x\to 4)\frac(1)((x+4)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x- 12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right))=\\ =-4\cdot\frac(1)((4+4)\left(\ sqrt((5\cdot4-12)^2)+\sqrt(5\cdot4-12)\cdot \sqrt(4+4)+\sqrt((4+4)^2) \right))=-\ frac(1)(24). $$

Odpoveď: $\lim_(x\to 4)\frac(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4))(16-x^2)=-\frac(1)(24)$.

Zvážte ešte jeden príklad (príklad č. 5) v tejto časti, kde aplikujeme . Schéma riešenia sa v zásade nelíši od predchádzajúcich príkladov, okrem toho, že konjugovaný výraz bude mať inú štruktúru. Mimochodom, stojí za zmienku, že v typických výpočtoch a testoch sa často vyskytujú úlohy, keď napríklad výrazy s odmocninou sú umiestnené v čitateli a výrazy s druhou odmocninou sú umiestnené v menovateli. V tomto prípade musíte vynásobiť čitateľa aj menovateľa rôznymi konjugovanými výrazmi. Napríklad pri výpočte limity $\lim_(x\to 8)\frac(\sqrt(x)-2)(\sqrt(x+1)-3)$ obsahujúcej neistotu tvaru $\frac(0 )(0 )$, násobenie bude vyzerať takto:

$$ \lim_(x\to 8)\frac(\sqrt(x)-2)(\sqrt(x+1)-3)=\left|\frac(0)(0)\right|= \lim_ (x\to 8)\frac(\left(\sqrt(x)-2\right)\cdot \left(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4\right)\cdot\left (\sqrt(x+1)+3\vpravo))(\vľavo(\sqrt(x+1)-3\vpravo)\cdot\vľavo(\sqrt(x+1)+3\vpravo)\cdot\ left(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4\right))=\\= \lim_(x\to 8)\frac((x-8)\cdot\left(\sqrt( x+1)+3\vpravo))(\vľavo(x-8\vpravo)\cdot\vľavo(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4\vpravo))= \lim_(x \to 8)\frac(\sqrt(x+1)+3)(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4)=\frac(3+3)(4+4+4) =\frac(1)(2). $$

Všetky vyššie aplikované transformácie už boli zvážené skôr, takže predpokladám, že tu nie sú žiadne zvláštne nejasnosti. Ak však riešenie vášho podobného príkladu vyvoláva otázky, odhláste sa o ňom na fóre.

Príklad č. 5

Nájdite $\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)$.

Keďže $\lim_(x\to 2)(\sqrt(5x+6)-2)=0$ a $\lim_(x\to 2)(x^3-8)=0$, máme s neistotou $ \frac(0)(0)$. Na odhalenie tejto neistoty používame . Konjugovaný výraz pre čitateľa má tvar

$$\sqrt((5x+6)^3)+\sqrt((5x+6)^2)\cdot 2+\sqrt(5x+6)\cdot 2^2+2^3=\sqrt(( 5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8,$$

Vynásobením čitateľa a menovateľa zlomku $\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)$ vyššie uvedeným konjugovaným výrazom dostaneme:

$$\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\ lim_(x\to 2)\frac(\left(\sqrt(5x+6)-2\right)\cdot \left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x +6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\vpravo))((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\ cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right))=\\ =\lim_(x\to 2)\frac(5x+6-16) ((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6) +8\right))=\\ =\lim_(x\to 2)\frac(5x-10)((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+ 2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right)) $$

Keďže $5x-10=5\cdot(x-2)$ a $x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)$ (pozri ), že:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(5x-10)((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x) +6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\vpravo))=\\ =\lim_(x\to 2)\frac(5(x-2))((x-2 )(x^2+2x+4)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+ 6 )+8\right))=\\ \lim_(x\to 2)\frac(5)((x^2+2x+4)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3) + 2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\vpravo))=\\ \frac(5)((2^2+2\cdot 2 + 4)\cdot\left(\sqrt((5\cdot 2+6)^3)+2\cdot\sqrt((5\cdot 2+6)^2)+4\cdot\sqrt(5\cdot 2 +6)+8\vpravo))=\frac(5)(384). $$

Odpoveď: $\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)=\frac(5)(384)$.

Príklad č. 6

Nájdite $\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(3x-5)-1)(\sqrt(3x-5)-1)$.

Keďže $\lim_(x\to 2)(\sqrt(3x-5)-1)=0$ a $\lim_(x\to 2)(\sqrt(3x-5)-1)=0$, potom máme do činenia s neistotou $\frac(0)(0)$. V takýchto situáciách, keď sú výrazy pod koreňmi rovnaké, môžete použiť metódu nahradenia. Je potrebné nahradiť výraz pod koreňom (t.j. $3x-5$) zavedením nejakej novej premennej. Jednoduché použitie nového písmena však nič neurobí. Predstavte si, že sme jednoducho nahradili výraz $3x-5$ písmenom $t$. Potom zlomok pod limitom bude: $\frac(\sqrt(t)-1)(\sqrt(t)-1)$. Iracionalita nikam nezmizla, len sa trochu zmenila, čo úlohu nijako neuľahčilo.

Tu je vhodné pripomenúť, že koreň môže odstrániť iba stupeň. Ale aký stupeň použiť? Otázka nie je triviálna, pretože máme dva korene. Jeden koreň piateho a druhý - tretieho rádu. Stupeň musí byť taký, aby sa oba korene odstránili súčasne! Potrebujeme prirodzené číslo, ktorý by bol súčasne deliteľný 3 $ a 5 $. Takýchto čísel je nekonečne veľa, no najmenšie z nich je číslo 15$. Volá sa najmenší spoločný násobokčísla $ 3 $ a $ 5 $. A náhrada by mala byť takáto: $t^(15)=3x-5$. Pozrite sa, čo takáto náhrada robí s korienkami.

Metódy riešenia limitov. Neistoty.
Poradie rastu funkcie. Metóda výmeny

Príklad 4

Nájdite hranicu

Toto je jednoduchší príklad riešenia „urob si sám“. V navrhovanom príklade opäť neistota (vyššieho rádu rastu ako koreň).

Ak „x“ smeruje k „mínus nekonečnu“

V tomto článku sa už dlho vznáša duch „mínus nekonečna“. Zvážte limity s polynómami, v ktorých . Princípy a metódy riešenia budú úplne rovnaké ako v prvej časti lekcie, s výnimkou niekoľkých nuancií.

Zvážte 4 čipy, ktoré budú potrebné na riešenie praktických úloh:

1) Vypočítajte limit

Hodnota limitu závisí len od termínu , keďže má najviac vysoký poriadok rast. Ak potom nekonečne veľké modulo záporné číslo na mocninu PÁRNE, v tomto prípade - vo štvrtom, sa rovná "plus nekonečno": . konštantný ("dva") pozitívne, Preto:

2) Vypočítajte limit

Tu je opäť vyšší titul dokonca, Preto: . Ale vpredu je "mínus" ( negatívne konštanta –1), teda:

3) Vypočítajte limit

Hodnota limitu závisí len od . Ako si pamätáte zo školy, „mínus“ „vyskakuje“ spod nepárneho stupňa, takže nekonečne veľké modulo záporné číslo na mocninu ODD rovná sa "mínus nekonečno", v tomto prípade: .
Konštantný ("štyri") pozitívne, Znamená:

4) Vypočítajte limit

Prvý chlap v dedine má opäť zvláštny stupňa, navyše v lone negatívne konštanta, čo znamená: Teda:
.

Príklad 5

Nájdite hranicu

Použitím vyššie uvedených bodov sme dospeli k záveru, že tu existuje neistota. Čitateľ a menovateľ sú rovnakého rádu rastu, čo znamená, že v limite dostaneme konečné číslo. Odpoveď sa dozvieme tak, že vyhodíme všetok poter:

Riešenie je triviálne:

Príklad 6

Nájdite hranicu

Toto je príklad „urob si sám“. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

A teraz možno najzávažnejší prípad:

Príklad 7

Nájdite hranicu

Vzhľadom na vyššie uvedené pojmy sme dospeli k záveru, že tu existuje neistota. Čitateľ je vyššieho rádu rastu ako menovateľ, takže môžeme okamžite povedať, že limit je nekonečno. Ale aké nekonečno, „plus“ alebo „mínus“? Recepcia je rovnaká - v čitateli a menovateli sa zbavíme maličkostí:

Rozhodujeme sa:

Vydeľte čitateľa a menovateľa podľa

Príklad 15

Nájdite hranicu

Toto je príklad „urob si sám“. Približná ukážka dokončovania na konci hodiny.

Niekoľko ďalších zaujímavých príkladov na tému premennej substitúcie:

Príklad 16

Nájdite hranicu

Nahradenie jedného do limitu vedie k neistote. Nahradenie premennej už naznačuje, ale najprv prevedieme tangens pomocou vzorca. Naozaj, prečo potrebujeme tangentu?

Všimnite si, že preto. Ak to nie je úplne jasné, pozrite sa na sínusové hodnoty v trigonometrická tabuľka. Okamžite sa teda zbavíme faktora , navyše dostaneme známejšiu neistotu 0:0. Bolo by pekné, keby aj naša hranica smerovala k nule.

Poďme nahradiť:

Ak potom

Pod kosínusom máme "x", ktoré je tiež potrebné vyjadriť pomocou "te".
Z náhrady vyjadrujeme: .

Dokončujeme riešenie:

(1) Vykonanie suplovania

(2) Rozbaľte zátvorky pod kosínusom.

(4) Organizovať prvá úžasná limitka, umelo vynásobte čitateľa a prevrátenú hodnotu .

Úloha na nezávislé riešenie:

Príklad 17

Nájdite hranicu

Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

V ich triede to boli jednoduché úlohy, v praxi je všetko horšie a navyše redukčné vzorce, treba použiť iné trigonometrické vzorce, ako aj iné triky. V článku Komplexné limity som rozobral pár reálnych príkladov =)

V predvečer sviatku si situáciu konečne vyjasníme ešte jednou bežnou neistotou:

Odstránenie neistoty „jeden k sile nekonečna“

Táto neistota je „servírovaná“ druhá úžasná hranica a v druhej časti tejto lekcie sme sa veľmi podrobne pozreli na štandardné príklady riešení, ktoré sa vo väčšine prípadov nachádzajú v praxi. Teraz bude obrázok s vystavovateľmi dokončený, navyše záverečné úlohy lekcie budú venované limitom - „trikom“, v ktorých sa zdá, že je potrebné uplatniť 2. nádherný limit, hoci to vôbec nie je prípad.

Nevýhodou dvoch pracovných vzorcov 2. pozoruhodnej limity je, že argument musí smerovať k „plus nekonečnu“ alebo k nule. Čo ak však argument smeruje k inému číslu?

Pomoc prichádza univerzálny vzorec(čo je vlastne dôsledok druhého pozoruhodného limitu):

Neistotu možno odstrániť pomocou vzorca:

Niekde, ako som už vysvetlil, čo znamenajú hranaté zátvorky. Nič zvláštne, zátvorky sú len zátvorky. Zvyčajne sa používajú na jasné zvýraznenie matematického zápisu.

Zdôraznime základné body vzorca:

1) Ide o len o neistote a o nicom inom.

2) Argument "x" môže mať tendenciu ľubovoľná hodnota(a nielen na nulu alebo ), najmä na "mínus nekonečno" alebo na ktokoľvek konečné číslo.

Pomocou tohto vzorca môžete vyriešiť všetky príklady lekcie Pozoruhodné limity, ktoré patria do 2. pozoruhodnej hranice. Vypočítajme napríklad limit:

V tomto prípade a podľa vzorca :

Je pravda, že vám to neodporúčam, v tradícii stále používate „obvyklý“ dizajn riešenia, ak sa dá použiť. Avšak pomocou vzorca je veľmi pohodlné kontrolovať"klasické" príklady do 2. nádhernej hranice.

Pre tých, ktorí sa chcú dozvedieť, ako nájsť limity v tomto článku, o tom budeme hovoriť. Nebudeme sa vŕtať v teórii, zvyčajne ju prednášajú učitelia. Takže „nudná teória“ by mala byť načrtnutá vo vašich zošitoch. Ak tomu tak nie je, môžete si prečítať učebnice prevzaté z knižnice vzdelávacej inštitúcie alebo z iných internetových zdrojov.

Takže koncept limitu je pri štúdiu kurzu dosť dôležitý vyššia matematika, najmä keď sa stretnete s integrálnym počtom a pochopíte vzťah medzi limitou a integrálom. V aktuálnom materiáli sa bude brať do úvahy jednoduché príklady, ako aj spôsoby ich riešenia.

Príklady riešení

Príklad 1

Vypočítajte a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Riešenie

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Tieto limity nám často posielajú so žiadosťou o pomoc pri riešení. Rozhodli sme sa ich poukázať na samostatný príklad a vysvetliť, že tieto limity si spravidla jednoducho treba pamätať. Ak nemôžete vyriešiť svoj problém, pošlite nám ho. Poskytneme podrobné riešenie. Budete sa môcť zoznámiť s priebehom výpočtu a získať informácie. To vám pomôže získať kredit od učiteľa včas!

Odpoveď

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac (1)(x) = 0 $$

Čo robiť s neurčitosťou tvaru: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Príklad 3

Vyriešte $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Riešenie

Ako vždy začneme dosadením hodnoty $ x $ do výrazu pod medzným znakom. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0) (0) $$ Čo bude ďalej? Aký by mal byť výsledok? Keďže ide o neistotu, toto ešte nie je odpoveď a pokračujeme vo výpočte. Keďže v čitateloch máme polynóm, rozložíme ho na faktory pomocou známeho vzorca $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Spomenul si? Skvelé! Teraz pokračujte a aplikujte to na pieseň :) Dostaneme, že čitateľ $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Pokračujeme v riešení vzhľadom na vyššie uvedenú transformáciu: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1 ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Odpoveď

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Zoberme si limitu v posledných dvoch príkladoch do nekonečna a zvážme neistotu: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Príklad 5

Vypočítajte $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Riešenie

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Čo robiť? Ako byť? Neprepadajte panike, pretože nemožné je možné. Je potrebné odstrániť zátvorky v čitateli aj v menovateli X a potom ho zmenšiť. Potom sa pokúste vypočítať limit. Skúšam... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Použitím definície z príkladu 2 a dosadením nekonečna za x dostaneme: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Odpoveď

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritmus na výpočet limitov

Poďme si teda stručne zhrnúť analyzované príklady a vytvoriť algoritmus na riešenie limitov:

1. Vo výraze za znamienkom limity dosaďte bod x. Ak sa získa určité číslo alebo nekonečno, potom je limita úplne vyriešená. V opačnom prípade máme neistotu: "nula delená nulou" alebo "nekonečno delené nekonečnom" a prejdite na ďalšie odseky inštrukcie.
2. Ak chcete odstrániť neistotu „nula deliť nulou“, musíte čitateľa a menovateľa rozložiť na faktor. Znížiť podobné. Dosaďte bod x vo výraze pod limitným znakom.
3. Ak je neistota "nekonečno delené nekonečnom", potom vyberieme v čitateli aj v menovateli x najväčšieho stupňa. Skrátime x. Do zvyšného výrazu dosadíme hodnoty x pod limitom.

V tomto článku ste sa zoznámili so základmi riešenia limitov, ktoré sa často používajú v kurze Calculus. Samozrejme, toto nie sú všetky typy problémov, ktoré ponúkajú skúšajúci, ale len tie najjednoduchšie limity. IN nasledujúce články Poďme sa baviť o iných typoch úloh, ale najprv sa musíte naučiť túto lekciu, aby ste mohli ísť ďalej. Budeme diskutovať o tom, čo robiť, ak existujú korene, stupne, budeme študovať nekonečne malé ekvivalentné funkcie, úžasné limity, L'Hopitalovo pravidlo.

Ak nedokážete určiť limity sami, neprepadajte panike. Vždy radi pomôžeme!

Funkčný limit- číslo a bude hranicou nejakej hodnoty premennej, ak sa v procese jej zmeny táto premenná približuje neurčito a.

Alebo inými slovami, číslo A je hranica funkcie y=f(x) v bode x0, ak sa pre ľubovoľnú postupnosť bodov z oblasti definície funkcie nerovná x0, a ktorý konverguje k pointe x 0 (limit x n = x0), postupnosť zodpovedajúcich hodnôt funkcie konverguje k číslu A.

Graf funkcie, ktorej limita s argumentom smerujúcim k nekonečnu je L:

Význam A je limit (limitná hodnota) funkcie f(x) v bode x0 ak pre akúkoľvek postupnosť bodov , ktorá konverguje k x0, ktorý však neobsahuje x0 ako jeden z jeho prvkov (t. j. v prerazenom susedstve x0), postupnosť funkčných hodnôt konverguje k A.

Limita funkcie podľa Cauchyho.

Význam A bude limit funkcie f(x) v bode x0 ak je pre akékoľvek dopredu prijaté nezáporné číslo ε nájde sa nezáporné zodpovedajúce číslo δ = δ(ε) tak, že pre každý argument X, splnenie podmienky 0 < | x - x0 | < δ , nerovnosť | f(x) A |< ε .

Bude to veľmi jednoduché, ak pochopíte podstatu limitu a základné pravidlá na jeho nájdenie. To je hranica funkcie f(X) pri X ašpirujúci na a rovná sa A, sa píše takto:

Navyše hodnota, ku ktorej premenná smeruje X, môže byť nielen číslo, ale aj nekonečno (∞), niekedy +∞ alebo -∞, alebo nemusí existovať žiadna hranica.

Aby ste pochopili ako nájsť limity funkcie, najlepšie je vidieť príklady riešení.

Musíme nájsť limity funkcie f(x) = 1/X na:

X→ 2, X→ 0, X→ ∞.

Poďme nájsť riešenie prvej limity. Ak to chcete urobiť, môžete jednoducho nahradiť Xčíslo, na ktoré ašpiruje, t.j. 2, dostaneme:

Nájdite druhú hranicu funkcie. Tu nahraďte v čistej forme 0 namiesto X je to nemožné, pretože nemožno deliť 0. Ale môžeme vziať hodnoty blízke nule, napríklad 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 a tak ďalej, s hodnotou funkcie f(X) zvýši sa: 100; 1000; 10 000; 100 000 a tak ďalej. Dá sa teda pochopiť, že keď X→ 0 hodnota funkcie, ktorá je pod medzným znakom, sa bude zvyšovať donekonečna, t.j. usilovať sa o nekonečno. Čo znamená:

Čo sa týka tretieho limitu. Rovnakú situáciu ako v predchádzajúcom prípade nie je možné nahradiť ∞ vo svojej najčistejšej forme. Musíme zvážiť prípad neobmedzeného zvýšenia X. Striedavo nahrádzame 1000; 10 000; 100 000 a tak ďalej, máme hodnotu funkcie f(x) = 1/X bude klesať: 0,001; 0,0001; 0,00001; a tak ďalej, sklon k nule. Preto:

Je potrebné vypočítať limitu funkcie

Keď začneme riešiť druhý príklad, vidíme neistotu. Odtiaľto nájdeme najvyšší stupeň čitateľa a menovateľa - to je x 3, vyberieme ho z hranatých zátvoriek v čitateli a menovateli a následne oň znížime:

Odpoveď

Prvý krok v nájsť túto hranicu, nahraďte hodnotu 1 namiesto Xčo má za následok neistotu. Aby sme to vyriešili, rozložíme čitateľa na faktory , urobíme to nájdením koreňov kvadratická rovnica x 2 + 2x - 3:

D \u003d 2 2 - 4 * 1 * (-3) \u003d 4 +12 \u003d 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2± 4) / 2→ x 1 \u003d -3;x2= 1.

Čitateľ by teda bol:

Odpoveď

Ide o definíciu jeho konkrétnej hodnoty alebo konkrétnej oblasti, kam funkcia spadá, ktorá je limitovaná.

Ak chcete určiť limity, postupujte podľa pravidiel:

Po pochopení podstaty a hlavného limitné pravidlá rozhodovania, získate základnú predstavu o tom, ako ich vyriešiť.