מרווח ביטחון. רווחי סמך לציפיות מתמטיות, שונות, הסתברות

תנו למשתנה אקראי (אפשר לדבר על האוכלוסייה הכללית) להתחלק לפי החוק הנורמלי, שעבורו ידועה השונות D = 2 (> 0). מהאוכלוסיה הכללית (על קבוצת האובייקטים שמהם נקבע משתנה מקרי), עושים מדגם בגודל n. המדגם x 1 , x 2 ,..., x n נחשב כקבוצה של n משתנים אקראיים בלתי תלויים המחולקים באותו אופן כמו (הגישה שהוסברה לעיל בטקסט).

בעבר נדונו והוכחו גם השוויון הבא:

Mx 1 = Mx 2 = ... = Mx n = M;

Dx 1 = Dx 2 = ... = Dx n = D;

מספיק פשוט להוכיח (נשמיט את ההוכחה) שגם המשתנה האקראי במקרה זה מתחלק לפי החוק הרגיל.

הבה נסמן את הערך הלא ידוע M ב-a ונבחר במספר d > 0 לפי המהימנות הנתונה כך שהתנאי הבא יתקיים:

P(- א< d) = (1)

מכיוון שהמשתנה האקראי מתחלק לפי החוק הנורמלי עם התוחלת המתמטית M = M = a והשונות D = D /n = 2 /n, אנו מקבלים:

P(- א< d) =P(a - d < < a + d) =

נותר לבחור ד כך שהשוויון

עבור כל אחד, אפשר למצוא מספר t כזה מהטבלה ש-(t) \u003d / 2. מספר זה t נקרא לפעמים כמות.

עכשיו משוויון

הגדר את הערך של d:

אנו משיגים את התוצאה הסופית על ידי הצגת נוסחה (1) בצורה:

המשמעות של הנוסחה האחרונה היא כדלקמן: עם מהימנות מרווח ביטחון

מכסה את הפרמטר הבלתי ידוע a = M של האוכלוסייה. אפשר לומר אחרת: אומדן נקודתי קובע את ערכו של הפרמטר M בדיוק של d=t / ומהימנות.

מְשִׁימָה. שתהיה אוכלוסיה כללית עם מאפיין כלשהו המפוזר לפי החוק הרגיל עם פיזור שווה ל-6.25. בוצע מדגם של נפח n = 27 והתקבל ערך המדגם הממוצע של המאפיין = 12. מצא את רווח הסמך המכסה את הציפייה המתמטית הלא ידועה של המאפיין הנחקר של האוכלוסייה הכללית עם מהימנות = 0.99.

פִּתָרוֹן. ראשית, לפי הטבלה עבור פונקציית Laplace למצוא את הערך t מהמשוואה (t) = / 2 = 0.495. בהתבסס על הערך המתקבל t = 2.58, אנו קובעים את דיוק האומדן (או מחצית מאורך רווח הסמך) d: d = 2.52.58 / 1.24. מכאן נקבל את רווח הסמך הרצוי: (10.76; 13.24).

השערה סטטיסטית וריאציה כללית

רווח בר סמך לציפיות להתפלגות נורמלית עם שונות לא ידועה

נהיה משתנה אקראי המופץ על פי החוק הנורמלי עם ציפייה מתמטית לא ידועה M, אותה אנו מציינים באות a . בואו נעשה דוגמה בגודל n. הבה נקבע את המדגם הממוצע ואת שונות המדגם המתוקנת s 2 באמצעות נוסחאות ידועות.

ערך אקראי

מופץ על פי חוק הסטודנט עם n - 1 דרגות חופש.

המשימה היא למצוא מספר כזה t לפי המהימנות הנתונה ומספר דרגות החופש n - 1 כך שהשוויון

או שוויון שווה ערך

כאן, בסוגריים, נכתב התנאי שהערך של הפרמטר הבלתי ידוע a שייך למרווח מסוים, שהוא רווח הסמך. גבולותיו תלויים באמינות, כמו גם בפרמטרי הדגימה ובס'.

כדי לקבוע את הערך של t לפי גודל, אנו הופכים את השוויון (2) לצורה:

כעת, לפי הטבלה של משתנה אקראי t, המופץ לפי חוק הסטודנט, לפי ההסתברות 1 - ומספר דרגות החופש n - 1, נמצא את t. נוסחה (3) נותנת את התשובה לבעיה.

מְשִׁימָה. בבדיקות בקרה של 20 מנורות חשמליות, משך פעולתן הממוצע היה שווה ל-2000 שעות עם סטיית תקן (המחושבת כשורש ריבועי של שונות המדגם המתוקנת) השווה ל-11 שעות. ידוע שמשך פעולת המנורה הוא משתנה אקראי המחולק נורמלי. קבע באמינות של 0.95 את רווח הסמך לתוחלת המתמטית של משתנה מקרי זה.

פִּתָרוֹן. הערך 1 - במקרה זה שווה ל-0.05. לפי טבלת ההתפלגות של הסטודנט, כאשר מספר דרגות החופש שווה ל-19, נמצא: t = 2.093. הבה נחשב כעת את דיוק האומדן: 2.093121/ = 56.6. מכאן נקבל את רווח הסמך הרצוי: (1943.4; 2056.6).

אתה יכול להשתמש בטופס חיפוש זה כדי למצוא את המשימה המתאימה. הזן מילה, ביטוי מהמשימה או מספרה אם אתה יודע זאת.

חפש רק בחלק זה

רווחי סמך: רשימת פתרונות לבעיות

רווחי סמך: תיאוריה ובעיות

הבנת מרווחי סמך

הבה נציג בקצרה את המושג של רווח סמך, אשר
1) אומד פרמטר כלשהו של מדגם מספרי ישירות מנתוני המדגם עצמו,
2) מכסה את הערך של פרמטר זה בהסתברות γ.

מרווח ביטחוןעבור פרמטר איקס(עם הסתברות γ) נקרא מרווח של הצורה , כך ש , והערכים מחושבים בדרך כלשהי מהמדגם.

בדרך כלל, בבעיות יישומיות, הסתברות הביטחון נלקחת שווה ל- γ = 0.9; 0.95; 0.99.

שקול מדגם כלשהו בגודל n, שנעשה מהאוכלוסייה הכללית, המופץ ככל הנראה לפי חוק ההתפלגות הנורמלית. הבה נראה לפי אילו נוסחאות נמצאות רווחי סמך לפרמטרים של הפצה- ציפייה מתמטית ופיזור (סטיית תקן).

רווח סמך לציפיות מתמטיות

תיק 1שונות ההתפלגות ידועה ושווה ל. ואז רווח הסמך של הפרמטר אנראה כמו:
טנקבע מטבלת התפלגות לפלס לפי היחס

מקרה 2שונות ההתפלגות אינה ידועה; אומדן נקודתי של השונות חושב מהמדגם. ואז רווח הסמך של הפרמטר אנראה כמו:
, היכן ממוצע המדגם מחושב מהמדגם, פרמטר טנקבע מטבלת החלוקה של התלמיד

דוגמא.בהתבסס על הנתונים של 7 מדידות של ערך מסוים, הממוצע של תוצאות המדידה נמצא שווה ל-30 ושונות המדגם שווה ל-36. מצא את הגבולות שבהם מצוי הערך האמיתי של הערך הנמדד במהימנות של 0.99 .

פִּתָרוֹן.בוא נמצא . אז ניתן למצוא את גבולות הביטחון עבור המרווח המכיל את הערך האמיתי של הערך הנמדד על ידי הנוסחה:
, היכן הוא ממוצע המדגם, הוא שונות המדגם. אם נחבר את כל הערכים, נקבל:

רווח סמך לשונות

אנו מאמינים שבאופן כללי, התוחלת המתמטית אינה ידועה, ורק הערכה נקודתית בלתי מוטה של ​​השונות ידועה. ואז רווח הסמך נראה כך:
, איפה - כמויות חלוקה שנקבעו מטבלאות.

דוגמא.בהתבסס על נתוני 7 ניסויים נמצא ערך האומדן לסטיית התקן s=12. מצא בהסתברות של 0.9 את רוחב רווח הסמך שנבנה כדי להעריך את השונות.

פִּתָרוֹן.ניתן למצוא את רווח הסמך לשונות האוכלוסייה הלא ידועה באמצעות הנוסחה:

תחליף וקבל:


אז רוחב רווח הסמך הוא 465.589-71.708=393.881.

רווח סמך להסתברות (אחוז)

תיק 1אפשר לדעת את גודל המדגם ושבר המדגם (תדירות יחסית) בבעיה. אז רווח הסמך עבור השבר הכללי (הסתברות אמיתית) הוא:
, שבו הפרמטר טנקבע מטבלת התפלגות לפלס לפי היחס.

מקרה 2אם הבעיה יודעת בנוסף את הגודל הכולל של האוכלוסייה שממנה נלקח המדגם, ניתן למצוא את רווח הסמך של השבר הכללי (הסתברות אמיתית) באמצעות הנוסחה המתואמת:
.

דוגמא.ידוע כי מצא את הגבולות שבהם מסתיים המניה הכללית בהסתברות.

פִּתָרוֹן.אנו משתמשים בנוסחה:

בוא נמצא את הפרמטר מהתנאי , נקבל Substitute בנוסחה:

ניתן למצוא דוגמאות נוספות לבעיות בסטטיסטיקה מתמטית בעמוד

מרווח ביטחוןהם הערכים המגבילים של הכמות הסטטיסטית, שבהסתברות ביטחון נתונה γ, תהיה במרווח זה עם גודל מדגם גדול יותר. מסומן כ-P(θ - ε . בפועל, הסתברות הביטחון γ נבחרת מתוך הערכים γ = 0.9 , γ = 0.95 , γ = 0.99 קרוב מספיק לאחדות.

הקצאת שירות. שירות זה מגדיר:

• רווח סמך עבור הממוצע הכללי, רווח סמך עבור השונות;
• רווח סמך עבור סטיית התקן, רווח סמך עבור השבר הכללי;

הפתרון המתקבל מאוחסן ב קובץ מילה(ראה דוגמה). להלן הנחיות וידאו כיצד למלא את הנתונים הראשוניים.

דוגמה מס' 1. במשק קיבוצי, מתוך עדר כולל של 1,000 כבשים, 100 כבשים עברו גזיזת בקרה סלקטיבית. כתוצאה מכך נקבעה גזירת צמר ממוצעת של 4.2 ק"ג לכבשה. קבעו בהסתברות של 0.99 את טעות התקן של המדגם בקביעת גזירת הצמר הממוצעת לכבשה ואת הגבולות שבהם נמצא ערך הגזירה אם השונות היא 2.5. המדגם אינו חוזר על עצמו.
דוגמה מס' 2. מתוך אצווה של מוצרים מיובאים בעמדת המכס הצפוני של מוסקבה, נלקחו 20 דגימות של מוצר "A" לפי סדר דגימה אקראית מחדש. כתוצאה מהבדיקה נקבעה תכולת הלחות הממוצעת של המוצר "A" בדגימה, שהתבררה כ-6% בסטיית תקן של 1%.
קבע בהסתברות של 0.683 את גבולות תכולת הלחות הממוצעת של המוצר בכל אצווה המוצרים המיובאים.
דוגמה מס' 3. סקר של 36 תלמידים הראה שהמספר הממוצע של ספרי לימוד שהם קוראים בהם שנה אקדמית, התברר כשווה ל-6. בהנחה שלמספר ספרי הלימוד הנקרא על ידי תלמיד בסמסטר יש חוק התפלגות נורמאלי עם סטיית תקן שווה ל-6, מצא: א) עם מהימנות של 0.99, אומדן מרווח למתמטי תוחלת למשתנה מקרי זה; ב) באיזו הסתברות ניתן לטעון שמספר ספרי הלימוד הממוצע שנקרא על ידי תלמיד בסמסטר, המחושב עבור מדגם זה, סוטה מהציפייה המתמטית בערך המוחלט בלא יותר מ-2.

סיווג רווחי סמך

לפי סוג הפרמטר הנבדק:

לפי סוג דוגמה:

1. רווח סמך לדגימה אינסופית;
2. רווח סמך למדגם הסופי;

דגימה נקראת דגימה מחדש, אם האובייקט שנבחר מוחזר לאוכלוסיה הכללית לפני בחירת האובייקט הבא. המדגם נקרא לא חוזר.אם האובייקט שנבחר לא יוחזר לאוכלוסיה הכללית. בפועל, בדרך כלל עוסקים בדגימות שאינן חוזרות על עצמן.

חישוב טעות הדגימה הממוצעת לבחירה אקראית

הפער בין ערכי האינדיקטורים המתקבלים מהמדגם לבין הפרמטרים המתאימים של האוכלוסייה הכללית נקראת טעות ייצוגיות.
ייעודי הפרמטרים העיקריים של האוכלוסייה הכללית והמדגם.

נוסחאות שגיאה ממוצעות לדוגמה
בחירה מחדש		בחירה שאינה חוזרת על עצמה
לאמצע	לשיתוף	לאמצע	לשיתוף

היחס בין גבול שגיאות הדגימה (Δ) מובטח בהסתברות מסוימת P(t),ולשגיאת הדגימה הממוצעת יש את הצורה: או Δ = t μ, שבו ט– מקדם ביטחון, נקבע בהתאם לרמת ההסתברות P(t) לפי הטבלה של פונקציית Laplace האינטגרלית.

נוסחאות לחישוב גודל המדגם בשיטת בחירה אקראית נכונה

רווח סמך לציפיות מתמטיות - זהו מרווח כזה המחושב מהנתונים, אשר בהסתברות ידועה מכיל את הציפייה המתמטית של האוכלוסייה הכללית. האומדן הטבעי לתוחלת המתמטית הוא הממוצע האריתמטי של ערכיה הנצפים. לכן, בהמשך השיעור נשתמש במונחים "ממוצע", ​​"ערך ממוצע". בבעיות של חישוב רווח הסמך, התשובה הנדרשת לרוב היא "רווח הסמך של המספר הממוצע [ערך בבעיה ספציפית] הוא מ-[ערך קטן יותר] ל-[ ערך גדול יותר]". באמצעות רווח הסמך, אתה יכול להעריך לא רק את הערכים הממוצעים, אלא גם את חלקה של תכונה כזו או אחרת באוכלוסייה הכללית. ערכים ממוצעים, שונות, סטיית תקןוהשגיאה שדרכה נגיע להגדרות ונוסחאות חדשות מנותחות בשיעור מדגם ומאפייני אוכלוסייה .

הערכות נקודות ומרווחים של הממוצע

אם הערך הממוצע של האוכלוסייה הכללית נאמד במספר (נקודה), אז לאומדן של הלא נודע מידה מדיוםשל האוכלוסייה הכללית, נלקח ממוצע ספציפי, אשר מחושב ממדגם של תצפיות. במקרה זה, הערך של ממוצע המדגם - משתנה מקרי - אינו עולה בקנה אחד עם הערך הממוצע של האוכלוסייה הכללית. לכן, כאשר מציינים את הערך הממוצע של המדגם, יש צורך גם לציין את שגיאת המדגם בו-זמנית. המדד לטעות הדגימה הוא שגיאת תקן, שמתבטא באותן יחידות כמו הממוצע. לכן, לעתים קרובות נעשה שימוש בסימון הבא: .

אם אומדן הממוצע נדרש להיות קשור בהסתברות מסוימת, אזי יש להעריך את הפרמטר של אוכלוסיית העניין הכללית לא במספר בודד, אלא לפי מרווח. רווח סמך הוא מרווח שבו, בהסתברות מסוימת, פנמצא הערך של המדד המשוער של האוכלוסייה הכללית. רווח סמך שבו בהסתברות פ = 1 - α הוא משתנה אקראי, מחושב באופן הבא:

,

α = 1 - פ, שניתן למצוא בנספח כמעט לכל ספר על סטטיסטיקה.

בפועל, ממוצע האוכלוסייה והשונות אינם ידועים, ולכן השונות באוכלוסייה מוחלפת בשונות המדגם, וממוצע האוכלוסייה בממוצע המדגם. לפיכך, רווח הסמך ברוב המקרים מחושב באופן הבא:

.

ניתן להשתמש בנוסחת רווחי הסמך כדי להעריך את ממוצע האוכלוסייה אם

• סטיית התקן של האוכלוסייה הכללית ידועה;
• או סטיית התקן של האוכלוסייה אינה ידועה, אך גודל המדגם גדול מ-30.

ממוצע המדגם הוא אומדן חסר פניות של ממוצע האוכלוסייה. בתורו, שונות המדגם אינו הערכה בלתי משוחדת של שונות האוכלוסייה. כדי לקבל אומדן חסר פניות של שונות האוכלוסייה בנוסחת שונות המדגם, גודל המדגם הוא ניש להחליף ב נ-1.

דוגמה 1מידע נאסף מ-100 בתי קפה שנבחרו באקראי בעיר מסוימת שמספר העובדים הממוצע בהם הוא 10.5 עם סטיית תקן של 4.6. קבע את רווח הסמך של 95% ממספר העובדים בבית הקפה.

היכן הערך הקריטי של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית עבור רמת המובהקות α = 0,05 .

לפיכך, רווח הסמך של 95% למספר הממוצע של עובדי בתי קפה היה בין 9.6 ל-11.4.

דוגמה 2עבור מדגם אקראי מאוכלוסיה כללית של 64 תצפיות, חושבו הערכים הכוללים הבאים:

סכום ערכים בתצפיות,

סכום הסטיות בריבוע של ערכים מהממוצע .

חשב את רווח הסמך של 95% עבור הערך הצפוי.

חשב את סטיית התקן:

,

חשב את הערך הממוצע:

.

החלף את הערכים בביטוי ברווח הסמך:

היכן הערך הקריטי של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית עבור רמת המובהקות α = 0,05 .

אנחנו מקבלים:

לפיכך, רווח הסמך של 95% עבור הציפייה המתמטית של מדגם זה נע בין 7.484 ל-11.266.

דוגמה 3עבור מדגם אקראי מאוכלוסיה כללית של 100 תצפיות, חושבו ערך ממוצע של 15.2 וסטיית תקן של 3.2. חשב את רווח הסמך של 95% עבור הערך הצפוי, ולאחר מכן את רווח הסמך של 99%. אם כוח המדגם והווריאציה שלו יישארו זהים, אך גורם הסמך גדל, האם רווח הסמך יצטמצם או יתרחב?

אנו מחליפים את הערכים האלה בביטוי עבור רווח הסמך:

היכן הערך הקריטי של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית עבור רמת המובהקות α = 0,05 .

אנחנו מקבלים:

.

לפיכך, רווח הסמך של 95% עבור הממוצע של מדגם זה היה מ-14.57 ל-15.82.

שוב, אנו מחליפים את הערכים הללו בביטוי עבור רווח הסמך:

היכן הערך הקריטי של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית עבור רמת המובהקות α = 0,01 .

אנחנו מקבלים:

.

לפיכך, רווח הסמך של 99% עבור הממוצע של מדגם זה היה בין 14.37 ל-16.02.

כפי שניתן לראות, ככל שגורם הביטחון גדל, הערך הקריטי של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית עולה, ולכן, נקודות ההתחלה והסיום של המרווח ממוקמות רחוק יותר מהממוצע, וכך גם רווח הסמך לתוחלת המתמטית. עולה.

הערכות נקודות ומרווחים של המשקל הסגולי

ניתן לפרש את המשקל הסגולי של תכונה כלשהי של המדגם הערכהמשקל סגולי עאותה תכונה באוכלוסייה הכללית. אם צריך לשייך ערך זה להסתברות, יש לחשב את רווח הסמך של המשקל הסגולי עתכונה באוכלוסייה הכללית עם הסתברות פ = 1 - α :

.

דוגמה 4יש שני מועמדים בעיר מסוימת או במתמודד לראשות העיר. 200 תושבי העיר נסקרו באקראי, מתוכם 46% השיבו כי יצביעו למועמד א, 26% - למועמד בו-28% לא יודעים למי יצביעו. קבע את רווח הסמך של 95% לשיעור תושבי העיר התומכים במועמד א.

תן ל-CB X ליצור את האוכלוסייה הכללית ול-β להיות פרמטר לא ידוע CB X. אם האומדן הסטטיסטי ב-* הוא עקבי, אזי ככל שגודל המדגם גדול יותר, כך הערך של β מדויק יותר. עם זאת, בפועל, אין לנו דגימות גדולות במיוחד, כך שאיננו יכולים להבטיח דיוק רב יותר.

תן s* להיות אומדן סטטיסטי עבור s. כמות |in* - in| נקרא דיוק האומדן. ברור שהדיוק הוא CB, שכן s* הוא משתנה אקראי. הבה נקבע מספר חיובי קטן 8 ונדרוש שהדיוק של האומדן |in* - in| היה פחות מ-8, כלומר | ב* - ב |< 8.

המהימנות g או הסתברות המהימנות של האומדן ב- in * היא ההסתברות g שבה אי השוויון |in * - in|< 8, т. е.

בדרך כלל, המהימנות של g מוגדרת מראש, ועבור g, הם לוקחים מספר קרוב ל-1 (0.9; 0.95; 0.99; ...).

מאז אי השוויון |in * - in|< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:

המרווח (ב-* - 8, ב-* + 5) נקרא רווח סמך, כלומר, רווח הסמך מכסה את הפרמטר הלא ידוע בסבירות y. שימו לב שהקצוות של רווח הסמך הם אקראיים ומשתנים ממדגם למדגם, לכן נכון יותר לומר שהמרווח (ב-* - 8, ב-* + 8) מכסה את הפרמטר הלא ידוע β ולא ש- β שייך למרווח זה .

תנו לאוכלוסיה הכללית להינתן על ידי משתנה אקראי X, המחולק לפי החוק הרגיל, יתר על כן, הממוצע סטיית תקןאבל זה ידוע. הציפייה המתמטית a = M (X) אינה ידועה. נדרש למצוא רווח סמך עבור a עבור מהימנות y נתונה.

ממוצע מדגם

הוא הערכה סטטיסטיתעבור xr = a.

מִשׁפָּט. למשתנה האקראי xB יש התפלגות נורמליתאם ל-X יש התפלגות נורמלית, ו-M(XB) = a,

A (XB) \u003d a, כאשר \u003d y / B (X), a \u003d M (X). l/i

לרווח הסמך עבור a יש את הצורה:

אנחנו מוצאים 8.

שימוש ביחס

כאשר Ф(г) היא הפונקציה לפלס, יש לנו:

P ( | XB - א |<8} = 2Ф

אנו מוצאים את הערך של t בטבלת הערכים של פונקציית Laplace.

מציין

T, נקבל F(t) = g

ממצא השוויון - דיוק האומדן.

אז לרווח הסמך עבור a יש את הצורה:

אם ניתן מדגם מהאוכלוסייה הכללית X

ng	ל"	X2	xm
נ.	n1	n2	נ"מ

n = U1 + ... + nm, אז רווח הסמך יהיה:

דוגמה 6.35. מצא את רווח הסמך להערכת הציפייה a להתפלגות נורמלית עם מהימנות של 0.95, תוך ידיעת ממוצע המדגם Xb = 10.43, גודל המדגם n = 100 וסטיית התקן s = 5.

בואו נשתמש בנוסחה