Ensimmäiset ovat segmenttejä, jotka ovat oikean kulman vieressä, ja hypotenuusa on kuvan pisin osa ja on vastapäätä 90 asteen kulmaa. Pythagoraan kolmio on kolmio, jonka sivut ovat yhtä suuret luonnolliset luvut; niiden pituuksia kutsutaan tässä tapauksessa "Pythagoran kolmioksi".

egyptin kolmio

Jotta nykyinen sukupolvi voisi oppia geometrian siinä muodossa, jossa sitä nyt opetetaan koulussa, sitä on kehitetty useita vuosisatoja. Peruskohta on Pythagoraan lause. Suorakulmion sivut ovat koko maailman tiedossa) ovat 3, 4, 5.

Harvat ihmiset eivät tunne lausetta "Pythagoran housut ovat tasa-arvoisia kaikkiin suuntiin." Itse asiassa lause kuulostaa kuitenkin tältä: c 2 (hypotenuusan neliö) \u003d a 2 + b 2 (jalkojen neliöiden summa).

Matemaatikoiden keskuudessa kolmiota, jonka sivut ovat 3, 4, 5 (cm, m jne.), kutsutaan "egyptiläiseksi". On mielenkiintoista, että kuvioon kirjoitettu on yhtä suuri kuin yksi. Nimi syntyi noin 500-luvulla eKr., kun kreikkalaiset filosofit matkustivat Egyptiin.

Pyramideja rakentaessaan arkkitehdit ja katsastajat käyttivät suhdetta 3:4:5. Tällaiset rakenteet osoittautuivat suhteellisiksi, miellyttäviksi katsottaviksi ja tilaviksi, ja myös harvoin romahtaneet.

Suorakulman rakentamiseksi rakentajat käyttivät köyttä, johon oli sidottu 12 solmua. Tässä tapauksessa todennäköisyys rakentaa tarkasti suorakulmainen kolmio nousi 95 prosenttiin.

Merkkejä lukujen tasa-arvosta

• Suorakulmaisen kolmion terävä kulma ja suuri sivu, jotka ovat yhtä suuria kuin samat elementit toisessa kolmiossa, on kiistaton merkki kuvioiden yhtäläisyydestä. Kulmien summa huomioon ottaen on helppo todistaa, että myös toiset terävät kulmat ovat yhtä suuret. Siten kolmiot ovat identtisiä toisessa kriteerissä.
• Kun kaksi hahmoa asetetaan päällekkäin, käännämme niitä siten, että yhdistettynä niistä tulee yksi tasakylkinen kolmio. Ominaisuutensa mukaan sivut tai pikemminkin hypotenukset ovat yhtä suuret, samoin kuin kulmat pohjassa, mikä tarkoittaa, että nämä luvut ovat samat.

Ensimmäisellä merkillä on erittäin helppo todistaa, että kolmiot ovat todella yhtä suuret, pääasia, että kaksi pienempää sivua (eli jalat) ovat keskenään yhtä suuret.

Kolmiot ovat samat II-merkin mukaan, jonka ydin on jalan ja terävän kulman yhtäläisyys.

Suorakulmaisen kolmion ominaisuudet

Korkeus laskettu oikea kulma, jakaa hahmon kahteen yhtä suureen osaan.

Suorakulmaisen kolmion sivut ja sen mediaani on helppo tunnistaa säännöllä: hypotenuusaan laskettu mediaani on puolet siitä. voidaan löytää sekä Heronin kaavalla että väittämällä, että se on yhtä suuri kuin puolet jalkojen tulosta.

Suorakulmaisessa kolmiossa pätevät kulmien ominaisuudet 30 o, 45 o ja 60 o.

• Kulmassa, joka on 30 °, on muistettava, että vastakkainen jalka on yhtä suuri kuin 1/2 suurimmasta sivusta.
• Jos kulma on 45 o, niin toinen terävä kulma myös 45 o. Tämä viittaa siihen, että kolmio on tasakylkinen ja sen jalat ovat samat.
• 60 asteen kulman ominaisuus on, että kolmannen kulman mitta on 30 astetta.

Alue on helppo löytää jollakin kolmesta kaavasta:

1. korkeuden ja sen puolen läpi, jolle se laskeutuu;
2. Heronin kaavan mukaan;
3. sivuilla ja niiden välisessä kulmassa.

Suorakulmaisen kolmion sivut tai pikemminkin jalat yhtyvät kahteen korkeuteen. Kolmannen löytämiseksi on otettava huomioon tuloksena oleva kolmio ja laskettava sitten Pythagoraan lauseen avulla tarvittava pituus. Tämän kaavan lisäksi on olemassa myös hypotenuusan pinta-alan ja pituuden kaksinkertainen suhde. Opiskelijoiden keskuudessa yleisin ilmaus on ensimmäinen, koska se vaatii vähemmän laskelmia.

Lauseet, jotka pätevät suorakulmaiseen kolmioon

Suorakulmaisen kolmion geometriaan sisältyy lauseiden käyttö, kuten:

Suorakulmainen kolmio löytyy todellisuudessa melkein joka kulmasta. Tämän hahmon ominaisuuksien tuntemus sekä kyky laskea sen pinta-ala ovat epäilemättä hyödyllisiä sinulle geometrian ongelmien ratkaisemisen lisäksi myös elämäntilanteissa.

kolmion geometria

Alkeisgeometriassa suorakulmainen kolmio on kuvio, joka koostuu kolmesta toisiinsa yhdistetystä segmentistä, jotka muodostavat kolme kulmaa (kaksi terävää ja yksi suora). Suorakulmainen kolmio on alkuperäinen kuvio, jolle on tunnusomaista useita tärkeitä ominaisuuksia, jotka muodostavat trigonometrian perustan. Toisin kuin tavallisessa kolmiossa, suorakaiteen muotoisen hahmon sivuilla on omat nimensä:

• Hypotenuusa on kolmion pisin sivu, joka on oikeaa kulmaa vastapäätä.
• Jalat - segmentit, jotka muodostavat suoran kulman. Harkittavasta kulmasta riippuen jalka voi olla sen vieressä (muodostaa tämän kulman hypotenuusan kanssa) tai vastapäätä (makaa kulmaa vastapäätä). Ei-suorakulmaisille kolmioille ei ole jalkoja.

Jalkojen ja hypotenuusan suhde muodostaa trigonometrian perustan: sinit, tangentit ja sekantit määritellään suorakulmaisen kolmion sivujen suhteeksi.

Oikea kolmio todellisuudessa

Tämä luku vastaanotettiin laaja käyttö todellisuudessa. Kolmioita käytetään suunnittelussa ja tekniikassa, joten insinöörien, arkkitehtien ja suunnittelijoiden on tehtävä hahmon pinta-alan laskeminen. Tetraedrien tai prismien pohjat ovat kolmion muotoisia - kolmiulotteisia hahmoja, jotka on helppo tavata jokapäiväisessä elämässä. Lisäksi neliö on "litteän" suorakulmaisen kolmion yksinkertaisin esitys todellisuudessa. Neliö on lukkosepän, ​​piirustus-, rakennus- ja puusepän työkalu, jota käyttävät sekä koululaiset että insinöörit rakentamaan kulmia.

Kolmion pinta-ala

Geometrisen kuvion pinta-ala on kvantitatiivinen arvio siitä, kuinka suuri osa tasosta on kolmion sivujen rajaama. Tavallisen kolmion pinta-ala voidaan löytää viidellä tavalla, käyttämällä Heronin kaavaa tai toimimalla laskelmissa sellaisilla muuttujilla kuin piirretyn tai rajatun ympyrän kanta, sivu, kulma ja säde. Eniten yksinkertainen kaava alue ilmaistaan ​​seuraavasti:

missä a on kolmion sivu, h on sen korkeus.

Suorakulmaisen kolmion pinta-alan laskentakaava on vielä yksinkertaisempi:

missä a ja b ovat jalkoja.

Työskentelemällä online-laskimellamme voit laskea kolmion alueen kolmella parametriparilla:

• kaksi jalkaa;
• jalka ja viereinen kulma;
• jalka ja vastakkainen kulma.

Tehtävissä tai jokapäiväisissä tilanteissa sinulle annetaan erilaisia ​​muuttujien yhdistelmiä, joten tämän muodon laskimen avulla voit laskea kolmion pinta-alan useilla tavoilla. Katsotaanpa pari esimerkkiä.

Esimerkkejä tosielämästä

Keraaminen tiili

Oletetaan, että haluat vuorata keittiön seinät keraamisilla laatoilla, jotka ovat suorakulmaisen kolmion muotoisia. Laattojen kulutuksen määrittämiseksi sinun on selvitettävä päällysteen yhden elementin pinta-ala ja käsiteltävän pinnan kokonaispinta-ala. Oletetaan, että sinun on käsiteltävä 7 neliömetriä. Yhden elementin jalkojen pituus on 19 cm, jolloin laatan pinta-ala on yhtä suuri:

Tämä tarkoittaa, että yhden elementin pinta-ala on 24,5 neliösenttimetriä tai 0,01805 neliömetriä. Kun tiedät nämä parametrit, voit laskea, että 7 neliömetrin seinän viimeistelyyn tarvitset 7 / 0,01805 = 387 pintalaatta.

koulutehtävä

Oletetaan, että koulun geometriatehtävässä on löydettävä suorakulmaisen kolmion pinta-ala, kun tiedetään vain, että yhden jalan sivu on 5 cm ja vastakkaisen kulman arvo on 30 astetta. Verkkolaskimemme mukana on kuva, joka näyttää suorakulmaisen kolmion sivut ja kulmat. Jos sivu a = 5 cm, niin sen vastakkainen kulma on kulma alfa, joka on 30 astetta. Syötä nämä tiedot laskurilomakkeeseen ja saat tuloksen:

Näin ollen laskin ei vain laske tietyn kolmion pinta-alaa, vaan määrittää myös viereisen jalan ja hypotenuusan pituuden sekä toisen kulman arvon.

Johtopäätös

Suorakaiteen muotoisia kolmioita löytyy elämässämme kirjaimellisesti joka kulmasta. Tällaisten lukujen pinta-alan määrittäminen on hyödyllistä sinulle paitsi geometrian koulutehtävien ratkaisemisessa, myös jokapäiväisessä ja ammatillisessa toiminnassa.

Online-laskin.
Kolmioiden ratkaisu.

Kolmion ratkaisu on sen kaikkien kuuden elementin (eli kolme sivua ja kolme kulmaa) löytäminen millä tahansa kolmella kolmion määrittävällä elementillä.

Tämä matemaattinen ohjelma löytää sivut \(c \), kulmat \(\alpha \) ja \(\beta \) käyttäjän määrittämillä sivuilla \(a, b \) ja niiden välisen kulman \(\gamma \)

Ohjelma ei vain anna vastausta ongelmaan, vaan näyttää myös ratkaisun löytämisprosessin.

Tämä online-laskin voi olla hyödyllinen lukiolaisille valmistautuessaan valvoa työtä ja tentit, kun testataan tietoja ennen tenttiä, vanhemmat hallitsevat monien matematiikan ja algebran ongelmien ratkaisua. Tai ehkä sinulle on liian kallista palkata tutor tai ostaa uusia oppikirjoja? Vai haluatko vain saada matematiikan tai algebran kotitehtäväsi valmiiksi mahdollisimman nopeasti? Tässä tapauksessa voit myös käyttää ohjelmiamme yksityiskohtaisen ratkaisun kanssa.

Tällä tavalla voit suorittaa oman harjoittelusi ja/tai kouluttaa omasi nuoremmat veljet tai sisaruksia, kun taas koulutustaso ratkaistavien tehtävien alalla nousee.

Jos et tunne numeroiden syöttämistä koskevia sääntöjä, suosittelemme, että tutustut niihin.

Säännöt numeroiden syöttämiseen

Numerot voidaan asettaa paitsi kokonaisina myös murtolukuina.
Desimaalimurtolukujen kokonaisluku- ja murto-osat voidaan erottaa joko pisteellä tai pilkulla.
Voit esimerkiksi syöttää desimaalit siis 2,5 tai niin 2,5

Syötä sivut \(a, b \) ja niiden välinen kulma \(\gamma \)

\(a = \)
\(b = \)
\(\gamma = \)	(asteina)

Ratkaise kolmio

Havaittiin, että joitain tämän tehtävän ratkaisemiseen tarvittavia komentosarjoja ei ladattu, eikä ohjelma välttämättä toimi.
AdBlock voi olla käytössä.
Tässä tapauksessa poista se käytöstä ja päivitä sivu.

JavaScript on poistettu käytöstä selaimessasi.
JavaScriptin on oltava käytössä, jotta ratkaisu tulee näkyviin.
Tässä on ohjeet JavaScriptin käyttöönottoon selaimessasi.

Koska On paljon ihmisiä, jotka haluavat ratkaista ongelman, pyyntösi on jonossa.
Muutaman sekunnin kuluttua ratkaisu tulee näkyviin alle.
Odota, ole hyvä sek...

Jos sinä huomasi ratkaisussa virheen, voit kirjoittaa siitä palautelomakkeeseen.
Älä unohda ilmoittaa mikä tehtävä sinä päätät mitä syötä kenttiin.

Pelimme, palapelimme, emulaattorimme:

Vähän teoriaa.

Sinilause

Lause

Kolmion sivut ovat verrannollisia vastakkaisten kulmien sineihin:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

Kosinilause

Lause
Olkoon kolmiossa ABC AB = c, BC = a, CA = b. Sitten
Kolmion sivun neliö on yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöiden summa miinus kaksi kertaa näiden sivujen tulo kertaa niiden välisen kulman kosini.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Kolmioiden ratkaiseminen

Kolmion ratkaisu on sen kaikkien kuuden elementin löytäminen (ts. kolme puolta ja kolme kulmaa) joidenkin kolmen kolmion määrittävän elementin mukaan.

Harkitse kolmea kolmion ratkaisutehtävää. Tässä tapauksessa käytämme seuraavaa merkintää kolmion ABC sivuille: AB = c, BC = a, CA = b.

Kolmion ratkaisu, jossa on kaksi sivua ja niiden välinen kulma

Annettu: \(a, b, \kulma C \). Etsi \(c, \kulma A, \kulma B \)

Ratkaisu
1. Kosinusten lain mukaan löydämme \(c\):

$$ c = \sqrt( a^2+b^2-2ab \cos C ) $$ 2. Käyttämällä kosinilausetta meillä on:
$$ \cos A = \frac( b^2+c^2-a^2 )(2bc) $$

3. \(\kulma B = 180^\circ -\angle A -\angle C \)

Kolmion ratkaisu, jossa on sivu ja viereiset kulmat

Annettu: \(a, \kulma B, \kulma C \). Etsi \(\kulma A, b, c \)

Ratkaisu
1. \(\kulma A = 180^\circ -\angle B -\angle C \)

2. Laskemme sinilauseen avulla b ja c:
$$ b = a \frac(\sin B)(\sin A), \quad c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Kolmen sivun kolmion ratkaiseminen

Annettu: \(a, b, c\). Etsi \(\kulma A, \kulma B, \kulma C \)

Ratkaisu
1. Kosinilauseen mukaan saamme:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

Kohdalla \(\cos A \) löydämme \(\kulma A \) mikrolaskimella tai taulukosta.

2. Samalla tavalla löydämme kulman B.
3. \(\kulma C = 180^\circ -\angle A -\angle B \)

Kolmion ratkaiseminen, kun on annettu kaksi sivua ja tunnettua sivua vastapäätä oleva kulma

Annettu: \(a, b, \kulma A\). Etsi \(c, \kulma B, \kulma C \)

Ratkaisu
1. Sinilauseella löydämme \(\sin B \) saamme:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

Otetaan käyttöön merkintä: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). Numerosta D riippuen seuraavat tapaukset ovat mahdollisia:
Jos D > 1, tällaista kolmiota ei ole olemassa, koska \(\sin B \) ei voi olla suurempi kuin 1
Jos D = 1, on olemassa yksilöllinen \(\angle B: \quad \sin B = 1 \rightarrow \angle B = 90^\circ \)
Jos D Jos D 2. \(\kulma C = 180^\circ -\angle A -\angle B \)

3. Laskemme sinilauseen avulla sivun c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Kirjat (oppikirjat) Yhtenäisen valtiontutkinnon tiivistelmät ja OGE-testit verkossa Pelit, palapelit Toimintokaavioiden rakentaminen Oikeinkirjoitus Venäjän kielen sanakirja Nuorten slangin sanakirja Venäläisten koulujen luettelo Venäjän toisen asteen koulujen luettelo Venäjän yliopistojen luettelo Tehtäväluettelo

Elämässä joudumme usein käsittelemään matemaattisia ongelmia: koulussa, yliopistossa ja sitten auttamalla lastasi läksyissä. Tiettyjen ammattien ihmiset kohtaavat matematiikan päivittäin. Siksi on hyödyllistä muistaa tai muistaa matemaattiset säännöt. Tässä artikkelissa analysoimme yhtä niistä: suorakulmaisen kolmion jalan löytämistä.

Mikä on suorakulmainen kolmio

Ensin muistellaan, mikä on suorakulmainen kolmio. Oikea kolmio on geometrinen kuvio kolmesta segmentistä, jotka yhdistävät pisteitä, jotka eivät ole samalla suoralla, ja yksi tämän kuvan kulmista on 90 astetta. Suoran kulman muodostavia sivuja kutsutaan jaloiksi, ja oikeaa kulmaa vastapäätä olevaa puolta kutsutaan hypotenuusaksi.

Suorakulmaisen kolmion haaran löytäminen

On olemassa useita tapoja selvittää jalan pituus. Haluaisin tarkastella niitä tarkemmin.

Pythagoraan lause suorakulmaisen kolmion haaran löytämiseksi

Jos tunnemme hypotenuusan ja jalan, voimme löytää tuntemattoman jalan pituuden Pythagoraan lauseen avulla. Se kuulostaa tältä: "Hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa." Kaava: c²=a²+b², missä c on hypotenuusa, a ja b jalat. Muunnamme kaavan ja saamme: a²=c²-b².

Esimerkki. Hypotenuusa on 5 cm ja jalka 3 cm Muunnetaan kaava: c²=a²+b² → a²=c²-b². Seuraavaksi päätämme: a²=5²-3²; a² = 25-9; a² = 16; a = √16; a = 4 (cm).

Trigonometriset suhteet suorakulmaisen kolmion haaran löytämiseksi

On myös mahdollista löytää tuntematon haara, jos tunnetaan suorakulmaisen kolmion toinen sivu ja mikä tahansa terävä kulma. Jalan löytämiseen trigonometristen funktioiden avulla on neljä vaihtoehtoa: sini, kosini, tangentti, kotangentti. Alla oleva taulukko auttaa meitä ratkaisemaan ongelmat. Harkitse näitä vaihtoehtoja.

Etsi suorakulmaisen kolmion jalka käyttämällä siniä

Kulman sini (sini) on vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan. Kaava: sin \u003d a / c, missä a on annettua kulmaa vastapäätä oleva jalka ja c on hypotenuusa. Seuraavaksi muunnetaan kaava ja saadaan: a=sin*c.

Esimerkki. Hypotenuusa on 10 cm ja kulma A on 30 astetta. Taulukon mukaan laskemme kulman A sinin, se on yhtä suuri kuin 1/2. Sitten, käyttämällä muunnettua kaavaa, ratkaisemme: a=sin∠A*c; a = 1/2*10; a = 5 (cm).

Etsi suorakulmaisen kolmion jalka kosinin avulla

Kulman kosini (cos) on viereisen haaran suhde hypotenuusaan. Kaava: cos \u003d b / c, missä b on annetun kulman vieressä oleva jalka ja c on hypotenuusa. Muunnetaan kaava ja saadaan: b=cos*c.

Esimerkki. Kulma A on 60 astetta, hypotenuusa 10 cm. Taulukon mukaan lasketaan kulman A kosini, se on 1/2. Seuraavaksi ratkaisemme: b=cos∠A*c; b = 1/2 * 10, b = 5 (cm).

Etsi suorakulmaisen kolmion jalka tangentin avulla

Kulman tangentti (tg) on ​​vastakkaisen jalan suhde viereiseen. Kaava: tg \u003d a / b, jossa a on nurkkaa vastapäätä oleva jalka ja b on vieressä. Muunnetaan kaava ja saadaan: a=tg*b.

Esimerkki. Kulma A on 45 astetta, hypotenuusa 10 cm. Laskemme taulukon mukaan kulman A tangentin, se on yhtä kuin Ratkaise: a=tg∠A*b; a = 1*10; a = 10 (cm).

Etsi suorakulmaisen kolmion jalka kotangentin avulla

Kulman kotangentti (ctg) on ​​viereisen jalan suhde vastakkaiseen haaraan. Kaava: ctg \u003d b / a, jossa b on kulman vieressä oleva jalka ja on vastapäätä. Toisin sanoen kotangentti on "käänteinen tangentti". Saamme: b=ctg*a.

Esimerkki. Kulma A on 30 astetta, vastakkainen jalka on 5 cm. Taulukon mukaan kulman A tangentti on √3. Laske: b=ctg∠A*a; b = √3*5; b = 5√3 (cm).

Joten nyt tiedät kuinka löytää jalka suorakulmaisesta kolmiosta. Kuten näet, se ei ole niin vaikeaa, tärkeintä on muistaa kaavat.