Mikä on suorakulmaisen kolmion kulman sini. Terävän kulman sini, kosini, tangentti, kotangentti

Kuinka löytää sini?

Geometrian opiskelu auttaa kehittämään ajattelua. Tämä aine sisältyy opetussuunnitelmaan. Elämässä tämän asian tuntemisesta voi olla hyötyä - esimerkiksi asuntoa suunniteltaessa.

Historiasta

Osana geometriakurssia opiskellaan myös trigonometriaa, joka tutkii trigonometrisiä funktioita. Trigonometriassa tutkimme kulman sinejä, kosineja, tangentteja ja kotangentteja.

Mutta aloitetaan nyt yksinkertaisimmasta - sinistä. Katsotaanpa tarkemmin aivan ensimmäistä käsitettä - kulman siniä geometriassa. Mikä on sini ja miten se löydetään?

Käsite "kulman sini" ja sinilasit

Kulman sini on vastakkaisen haaran ja suorakulmaisen kolmion hypotenuusan arvojen suhde. Tämä on suora trigonometrinen funktio, joka kirjoitetaan kirjallisesti "sin (x)", missä (x) on kolmion kulma.

Kuvaajalla kulman sini on ilmaistu sinimuodolla, jolla on omat ominaisuudet. Sinimuoto näyttää jatkuvalta aaltoviivalta, joka on koordinaattitason tietyissä rajoissa. Funktio on pariton, joten se on symmetrinen koordinaattitason 0:n suhteen (poistuu koordinaattien origosta).

Tämän funktion toimialue on suorakulmaisessa koordinaatistossa alueella -1 - +1. Sinikulmafunktion jakso on 2 Pi. Tämä tarkoittaa, että joka 2 Pi: n kuvio toistetaan ja siniaalto käy läpi täyden syklin.

Sinusoidiyhtälö

• sin x = a / c
• missä a on kolmion kulman vastainen jalka
• c - suorakulmaisen kolmion hypotenuusa

Kulman sinin ominaisuudet

1. sin(x) = - sin(x). Tämä ominaisuus osoittaa, että funktio on symmetrinen, ja jos arvot x ja (-x) on asetettu sivuun koordinaattijärjestelmässä molempiin suuntiin, näiden pisteiden ordinaatit ovat vastakkaisia. Ne ovat yhtä etäisyydellä toisistaan.
2. Toinen tämän funktion ominaisuus on, että funktion kuvaaja kasvaa segmentillä [- P / 2 + 2 Pn]; [P/2 + 2Pn], jossa n on mikä tahansa kokonaisluku. Kulman sinin kuvaajan pieneneminen havaitaan segmentillä: [P / 2 + 2 Pn]; [ 3P/2 + 2Pn].
3. sin (x) > 0, kun x on alueella (2Pn, P + 2Pn)
4. (x)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

Kulman sinien arvot määritetään erityisillä taulukoilla. Tällaisia ​​taulukoita on luotu helpottamaan monimutkaisten kaavojen ja yhtälöiden laskentaa. Se on helppokäyttöinen ja sisältää sin(x)-funktion lisäksi myös muiden funktioiden arvot.

Lisäksi näiden funktioiden standardiarvojen taulukko sisältyy pakolliseen muistitutkimukseen, kuten kertotaulukko. Tämä pätee erityisesti luokkiin, joissa on fyysinen ja matemaattinen harha. Taulukosta näet trigonometriassa käytettävien pääkulmien arvot: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 ja 360 astetta.

Siellä on myös taulukko, joka määrittelee epästandardien kulmien trigonometristen funktioiden arvot. Eri taulukoiden avulla voit helposti laskea joidenkin kulmien sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin.

Yhtälöt tehdään trigonometrisilla funktioilla. Näiden yhtälöiden ratkaiseminen on helppoa, jos tiedät yksinkertaiset trigonometriset identiteetit ja funktioiden pelkistykset, kuten sin (P / 2 + x) \u003d cos (x) ja muut. Tällaisia ​​heittoja varten on myös koottu erillinen taulukko.

Kuinka löytää kulman sini

Kun tehtävänä on löytää kulman sini ja ehdolla meillä on vain kulman kosini, tangentti tai kotangentti, voimme helposti laskea tarvitsemamme trigonometristen identiteettien avulla.

• sin 2 x + cos 2 x = 1

Tästä yhtälöstä voimme löytää sekä sinin että kosinin riippuen siitä, mikä arvo on tuntematon. Saamme trigonometrisen yhtälön, jossa on yksi tuntematon:

• sin 2 x = 1 - cos 2 x
• sin x = ± √ 1 - cos 2 x
• ctg 2 x + 1 = 1 / sin 2 x

Tästä yhtälöstä voit löytää sinin arvon, kun tiedät kulman kotangentin arvon. Yksinkertaistamiseksi korvaa sin 2 x = y, ja sitten sinulla on yksinkertainen yhtälö. Esimerkiksi kotangentin arvo on 1, jolloin:

• 1 + 1 = 1/v
• 2 = 1/v
• 2v = 1
• y = 1/2

Nyt suoritamme soittimen käänteisen vaihdon:

• sin 2 x = ½
• sin x = 1 / √2

Koska otimme kotangentin arvon standardikulmalle (45 0), saadut arvot voidaan tarkistaa taulukosta.

Jos sinulla on tangentin arvo, mutta sinun on löydettävä sini, toinen trigonometrinen identiteetti auttaa:

• tg x * ctg x = 1

Seuraa, että:

• ctg x = 1 / tg x

Epästandardin kulman, esimerkiksi 240 0, sinin löytämiseksi sinun on käytettävä kulman pienennyskaavoja. Tiedämme, että π vastaa meille 180 0. Siten ilmaisemme yhtäläisyytemme standardikulmien avulla laajentamalla.

• 240 0 = 180 0 + 60 0

Meidän on löydettävä seuraava: synti (180 0 + 60 0). Trigonometriassa on pelkistyskaavoja, jotka ovat hyödyllisiä tässä tapauksessa. Tämä on kaava:

• sin (π + x) = - sin (x)

Siten 240 asteen kulman sini on:

• sin (180 0 + 60 0) = - sin (60 0) = - √3/2

Meidän tapauksessamme x = 60 ja P, vastaavasti, 180 astetta. Löysimme arvon (-√3/2) standardikulmien funktioiden arvotaulukosta.

Tällä tavalla voidaan hajottaa epätyypilliset kulmat, esimerkiksi: 210 = 180 + 30.

Viitetiedot tangentille (tg x) ja kotangentille (ctg x). Geometrinen määritelmä, ominaisuudet, kuvaajat, kaavat. Taulukko tangenteista ja kotangenteista, derivaatoista, integraaleista, sarjalaajennuksista. Lausekkeet monimutkaisten muuttujien kautta. Yhteys hyperbolisiin funktioihin.

Geometrinen määritelmä

|BD| - pisteen A keskipisteen ympyrän kaaren pituus.
α on radiaaneina ilmaistu kulma.

Tangentti ( tgα) on trigonometrinen funktio, joka riippuu suorakulmaisen kolmion hypotenuusan ja haaran välisestä kulmasta α, joka on yhtä suuri kuin vastakkaisen haaran pituuden suhde |BC| viereisen haaran pituuteen |AB| .

Kotangentti ( ctgα) on trigonometrinen funktio, joka riippuu suorakulmaisen kolmion hypotenuusan ja haaran välisestä kulmasta α, joka on yhtä suuri kuin viereisen haaran pituuden suhde |AB| vastakkaisen jalan pituuteen |BC| .

Tangentti

Missä n-kokonainen.

Länsimaisessa kirjallisuudessa tangenttia merkitään seuraavasti:
.
;
;
.

Tangenttifunktion kuvaaja, y = tg x

Kotangentti

Missä n-kokonainen.

Länsimaisessa kirjallisuudessa kotangentti merkitään seuraavasti:
.
Myös seuraava merkintä on otettu käyttöön:
;
;
.

Kotangenttifunktion kuvaaja, y = ctg x

Tangentin ja kotangentin ominaisuudet

Jaksoisuus

Funktiot y= tg x ja y= ctg x ovat jaksollisia jaksolla π.

Pariteetti

Funktiot tangentti ja kotangentti ovat parittomia.

Määritelmä- ja arvoalueet, nouseva, laskeva

Funktiot tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia määrittelyalueellaan (katso jatkuvuuden todiste). Tangentin ja kotangentin pääominaisuudet on esitetty taulukossa ( n- kokonaisluku).

	y= tg x	y= ctg x
Laajuus ja jatkuvuus
Arvoalue	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Nouseva		-
Laskeva	-
Äärimmäisyydet	-	-
Nollat, y= 0
Leikkauspisteet y-akselin kanssa, x = 0	y= 0	-

Kaavat

Lausekkeet sinin ja kosinin suhteen

; ;
; ;
;

Summan ja erotuksen tangentin ja kotangentin kaavat

Muut kaavat ovat esimerkiksi helppoja saada

Tangenttien tulo

Tangenttien summan ja erotuksen kaava

Tämä taulukko näyttää tangenttien ja kotangenttien arvot joillekin argumentin arvoille.

Lausekkeet kompleksilukuina

Hyperbolisten funktioiden lausekkeet

;
;

Johdannaiset

; .

.
N:nnen kertaluvun johdannainen funktion muuttujan x suhteen:
.
Tangentin > > > kaavojen johtaminen ; kotangentille >>>

Integraalit

Laajennukset sarjoiksi

Saadaksesi tangentin laajennuksen potenssien x, sinun on otettava useita funktioiden laajennuksen termejä potenssisarjassa synti x ja cos x ja jakaa nämä polynomit toisiinsa , . Tämä johtaa seuraaviin kaavoihin.

klo .

osoitteessa .
missä B n- Bernoullin numerot. Ne määritetään joko toistuvuussuhteesta:
;
;
missä .
Tai Laplacen kaavan mukaan:

Käänteiset funktiot

Tangentin ja kotangentin käänteisfunktiot ovat vastaavasti arktangentti ja arkotangentti.

Arktangentti, arktg

, missä n-kokonainen.

Kaaretangentti, arcctg

, missä n-kokonainen.

Viitteet:
SISÄÄN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematiikan käsikirja insinööreille ja korkeakouluopiskelijoille, Lan, 2009.
G. Korn, Matematiikan käsikirja tutkijoille ja insinööreille, 2012.

Sinus Suorakulmaisen kolmion terävä kulma α on suhde vastapäätä katetri hypotenuusaan.
Se merkitään seuraavasti: sin α.

Kosini Suorakulmaisen kolmion terävä kulma α on viereisen haaran suhde hypotenuusaan.
Se merkitään seuraavasti: cos α.

Tangentti terävä kulma α on vastakkaisen jalan suhde viereiseen jalkaan.
Se merkitään seuraavasti: tg α.

Kotangentti terävä kulma α on viereisen jalan suhde vastakkaiseen.
Se on merkitty seuraavasti: ctg α.

Kulman sini, kosini, tangentti ja kotangentti riippuvat vain kulman suuruudesta.

Säännöt:

Trigonometriset perusidentiteetit suorakulmaisessa kolmiossa:

(α - terävä kulma jalkaa vastapäätä b ja jalan vieressä a . Sivu Kanssa - hypotenuusa. β - toinen terävä kulma).

b sinα = - c	sin 2 α + cos 2 α = 1
a cosα = - c	1 1 + tg 2 α = -- cos 2 α
b tgα = - a	1 1 + ctg 2 α = -- sin2α
a ctgα = - b	1 1 1 + -- = -- tg 2 α sin 2 α
sinα tgα = -- cosα

Terävän kulman kasvaessasinα jatg α:n nousu jacos α pienenee.

Kaikille terävälle kulmille α:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

Selittävä esimerkki:

Päästä sisään suorakulmainen kolmio ABC
AB = 6,
BC = 3,
kulma A = 30º.

Etsi kulman A sini ja kulman B kosini.

Ratkaisu .

1) Ensin löydämme kulman B arvon. Tässä kaikki on yksinkertaista: koska suorakulmaisessa kolmiossa terävien kulmien summa on 90º, niin kulma B \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) Laske sini A. Tiedämme, että sini on yhtä suuri kuin vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan. Kulman A vastakkainen jalka on sivu BC. Niin:

eKr. 3 1
sin A = -- = - = -
AB 6 2

3) Nyt lasketaan cos B. Tiedämme, että kosini on yhtä suuri kuin viereisen haaran suhde hypotenuusaan. Kulman B viereinen haara on sama sivu BC. Tämä tarkoittaa, että meidän on jälleen jaettava BC AB:ksi - eli suoritettava samat toiminnot kuin laskettaessa kulman A siniä:

eKr. 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Tulos on:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Tästä seuraa, että suorakulmaisessa kolmiossa yhden terävän kulman sini on yhtä suuri kuin toisen terävän kulman kosini - ja päinvastoin. Tämä on juuri sitä, mitä kaksi kaavaamme tarkoittavat:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

Katsotaanpa uudestaan:

1) Olkoon α = 60º. Korvaamalla α:n arvon sinikaavaan saamme:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Olkoon α = 30º. Korvaamalla α:n arvon kosinikaavaan, saamme:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30°.

(Lisätietoja trigonometriasta on Algebra-osiossa)

Trigonometria tieteenä syntyi muinaisessa idässä. Tähtitieteilijät kehittivät ensimmäiset trigonometriset suhteet luodakseen tarkan kalenterin ja suuntautuakseen tähtien mukaan. Nämä laskelmat liittyivät pallomaiseen trigonometriaan, kun taas koulukurssilla ne tutkivat tasaisen kolmion sivujen ja kulman suhdetta.

Trigonometria on matematiikan haara, joka käsittelee trigonometristen funktioiden ominaisuuksia ja kolmioiden sivujen ja kulmien välistä suhdetta.

Kulttuurin ja tieteen kukoistuskaudella 1. vuosituhannella jKr. tieto levisi muinaisesta idästä Kreikkaan. Mutta trigonometrian tärkeimmät löydöt ovat arabikalifaatin miesten ansioita. Erityisesti Turkmenistanin tiedemies al-Marazvi esitteli tangentin ja kotangentin funktiot, laati ensimmäiset sinien, tangenttien ja kotangenttien arvotaulukot. Intialaiset tiedemiehet ottivat käyttöön sinin ja kosinin käsitteen. Trigonometriaan on kiinnitetty paljon huomiota sellaisten antiikin suurhahmojen kuin Eukleides, Arkhimedes ja Eratosthenes teoksissa.

Trigonometrian perussuureet

Numeerisen argumentin trigonometriset perusfunktiot ovat sini, kosini, tangentti ja kotangentti. Jokaisella niistä on oma graafi: sini, kosini, tangentti ja kotangentti.

Näiden suureiden arvojen laskentakaavat perustuvat Pythagoraan lauseeseen. Koululaiset tuntevat sen paremmin muotoilussa: "Pythagoran housut, tasa-arvoiset kaikkiin suuntiin", koska todiste on annettu tasakylkisen suorakulmaisen kolmion esimerkissä.

Sini, kosini ja muut riippuvuudet muodostavat suhteen minkä tahansa suorakulmaisen kolmion terävien kulmien ja sivujen välille. Annamme kaavat näiden suureiden laskemiseen kulman A ja jäljitetään trigonometristen funktioiden suhde:

Kuten näet, tg ja ctg ovat käänteisiä funktioita. Jos edustamme jalkaa a sin A:n ja hypotenuusan c tulona ja jalkaa b:nä cos A * c, saadaan seuraavat kaavat tangentille ja kotangentille:

trigonometrinen ympyrä

Graafisesti mainittujen määrien suhde voidaan esittää seuraavasti:

Ympyrä edustaa tässä tapauksessa kaikkia mahdollisia kulman α arvoja 0° - 360°. Kuten kuvasta voidaan nähdä, jokainen funktio saa negatiivisen tai positiivisen arvon kulmasta riippuen. Esimerkiksi sin α on "+"-merkillä, jos α kuuluu ympyrän I- ja II-neljänneksiin, eli se on alueella 0 ° - 180 °. Kun α on 180° - 360° (III ja IV neljännes), sin α voi olla vain negatiivinen arvo.

Yritetään rakentaa trigonometrisiä taulukoita tietyille kulmille ja selvitetään suureiden merkitys.

Arvoja α, jotka vastaavat 30°, 45°, 60°, 90°, 180° ja niin edelleen, kutsutaan erikoistapauksiksi. Niiden trigonometristen funktioiden arvot lasketaan ja esitetään erityisten taulukoiden muodossa.

Näitä kulmia ei valittu sattumalta. Taulukoiden merkintä π tarkoittaa radiaaneja. Rad on kulma, jossa ympyränkaaren pituus vastaa sen sädettä. Tämä arvo otettiin käyttöön universaalin suhteen luomiseksi; radiaaneissa laskettaessa säteen todellisella pituudella cm:ssä ei ole merkitystä.

Trigonometristen funktioiden taulukoiden kulmat vastaavat radiaaniarvoja:

Joten ei ole vaikea arvata, että 2π on täysi ympyrä tai 360°.

Trigonometristen funktioiden ominaisuudet: sini ja kosini

Sinin ja kosinin, tangentin ja kotangentin perusominaisuuksien tarkastelemiseksi ja vertailemiseksi on tarpeen piirtää niiden funktiot. Tämä voidaan tehdä käyrän muodossa, joka sijaitsee kaksiulotteisessa koordinaattijärjestelmässä.

Harkitse siniaallon ja kosiniaallon ominaisuuksien vertailutaulukkoa:

sinusoidi	kosiniaalto
y = sin x	y = cos x
ODZ [-1; yksi]	ODZ [-1; yksi]
sin x = 0, kun x = πk, missä k ϵ Z	cos x = 0, kun x = π/2 + πk, missä k ϵ Z
sin x = 1, kun x = π/2 + 2πk, missä k ϵ Z	cos x = 1, kun x = 2πk, missä k ϵ Z
sin x = - 1, kun x = 3π/2 + 2πk, missä k ϵ Z	cos x = - 1, kun x = π + 2πk, missä k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, eli pariton funktio	cos (-x) = cos x, eli funktio on parillinen
	funktio on jaksollinen, pienin jakso on 2π
sin x › 0, jossa x kuuluu neljänneksiin I ja II tai 0° - 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, jossa x kuuluu neljänneksiin I ja IV tai 270° - 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, kun x kuuluu neljänneksiin III ja IV tai 180° - 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, kun x kuuluu neljänneksiin II ja III tai 90° - 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
kasvaa välillä [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	kasvaa välillä [-π + 2πk, 2πk]
pienenee intervalleilla [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	pienenee väliajoin
derivaatta (sin x)' = cos x	derivaatta (cos x)’ = - sin x

Sen määrittäminen, onko funktio parillinen vai ei, on hyvin yksinkertaista. Riittää, kun kuvittelet trigonometrisen ympyrän, jossa on trigonometristen määrien merkkejä, ja henkisesti "taittaa" kaavion suhteessa OX-akseliin. Jos merkit ovat samat, funktio on parillinen, muuten se on pariton.

Radiaanien käyttöönotto ja siniaallon ja kosiniaallon pääominaisuuksien laskeminen mahdollistavat seuraavan kuvion:

Kaavan oikeellisuuden tarkistaminen on erittäin helppoa. Esimerkiksi kun x = π/2, sini on yhtä kuin 1, samoin kuin x = 0:n kosini. Tarkastus voidaan tehdä katsomalla taulukoita tai jäljittämällä funktiokäyriä annetuille arvoille.

Tangentoidin ja kotangentoidin ominaisuudet

Tangentti- ja kotangenttifunktioiden kaaviot eroavat merkittävästi sini- ja kosiniaalto-aalloista. Arvot tg ja ctg ovat käänteisiä toisilleen.

1. Y = tgx.
2. Tangentti pyrkii y:n arvoihin kohdassa x = π/2 + πk, mutta ei koskaan saavuta niitä.
3. Tangentoidin pienin positiivinen jakso on π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, eli funktio on pariton.
5. Tg x = 0, kun x = πk.
6. Toiminto lisääntyy.
7. Tg x › 0, kun x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, kun x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Johdannainen (tg x)' = 1/cos 2⁡x .

Harkitse kotangentoidin graafista esitystä alla tekstissä.

Kotangentoidin tärkeimmät ominaisuudet:

1. Y = ctgx.
2. Toisin kuin sini- ja kosinifunktiot, tangentoidissa Y voi ottaa kaikkien reaalilukujen joukon arvot.
3. Kotangentoidi pyrkii y:n arvoihin kohdassa x = πk, mutta ei koskaan saavuta niitä.
4. Kotangentoidin pienin positiivinen jakso on π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, eli funktio on pariton.
6. Ctg x = 0, kun x = π/2 + πk.
7. Toiminto vähenee.
8. Ctg x › 0, kun x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, kun x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Johdannainen (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Fix

Sini on yksi trigonometrisista perusfunktioista, jonka käyttö ei rajoitu pelkästään geometriaan. Trigonometristen funktioiden laskentataulukoita, kuten teknisiä laskimia, ei aina ole käsillä, ja sinin laskenta on joskus tarpeen erilaisten ongelmien ratkaisemiseksi. Yleensä sinin laskenta auttaa vahvistamaan piirustustaitoja ja tietoa trigonometrisista identiteeteistä.

Viivain- ja kynäpelit

Yksinkertainen tehtävä: kuinka löytää paperille piirretyn kulman sini? Ratkaisua varten tarvitset tavallisen viivaimen, kolmion (tai kompassin) ja kynän. Yksinkertaisin tapa laskea kulman sini on jakaa suorakulmaisen kolmion kauempi haara pitkällä sivulla - hypotenuusalla. Joten ensin sinun on täydennettävä terävä kulma suorakulmaisen kolmion kuvioon nähden piirtämällä viiva, joka on kohtisuorassa johonkin säteeseen mielivaltaisella etäisyydellä kulman kärjestä. On tarpeen tarkkailla täsmälleen 90 °:n kulmaa, jota varten tarvitsemme kirjallisen kolmion.

Kompassin käyttö on hieman tarkempaa, mutta kestää kauemmin. Yhdelle säteelle sinun on merkittävä 2 pistettä tietyllä etäisyydellä, asetettava kompassille säde, joka on suunnilleen yhtä suuri kuin pisteiden välinen etäisyys, ja piirrettävä puoliympyrät, joiden keskipisteet ovat näissä kohdissa, kunnes nämä viivat leikkaavat. Yhdistämällä ympyröidemme leikkauspisteet toisiinsa, saamme tiukan kohtisuoran kulmamme säteeseen nähden, jää vain jatkaa linjaa, kunnes se leikkaa toisen säteen.

Tuloksena olevassa kolmiossa sinun on mitattava viivaimella kulman vastainen sivu ja yhden säteen pitkä sivu. Ensimmäisen mittauksen suhde toiseen on haluttu terävän kulman sinin arvo.

Etsi sini kulmassa, joka on suurempi kuin 90°

Tylsällä kulmalla tehtävä ei ole paljon vaikeampi. On tarpeen piirtää säde kärjestä vastakkaiseen suuntaan viivaimen avulla muodostamaan suora viiva yhden meitä kiinnostavan kulman säteistä. Tuloksena olevalla terävällä kulmalla sinun tulee edetä edellä kuvatulla tavalla, vierekkäisten kulmien sinit, jotka muodostavat yhdessä kehittyneen 180 ° kulman, ovat yhtä suuret.

Sinin laskeminen muista trigonometrisista funktioista

Myös sinin laskeminen on mahdollista, jos kulman muiden trigonometristen funktioiden arvot tai ainakin kolmion sivujen pituus tunnetaan. Trigonometriset identiteetit auttavat meitä tässä. Katsotaanpa yleisiä esimerkkejä.

Kuinka löytää sini tunnetun kulman kosinin kanssa? Ensimmäinen trigonometrinen identiteetti, joka tulee Pythagoran lauseesta, sanoo, että saman kulman sinin ja kosinin neliöiden summa on yhtä suuri kuin yksi.

Kuinka löytää sini tunnetulla kulman tangentilla? Tangentti saadaan jakamalla kaukohaara lähimmäisellä tai jakamalla sini kosinilla. Siten sini on kosinin ja tangentin tulo, ja sinin neliö on tämän tulon neliö. Korvaamme neliön kosinin yksikön ja neliösinin välisellä erolla ensimmäisen trigonometrisen identiteetin mukaisesti ja tuomme yksinkertaisten manipulaatioiden avulla yhtälön neliösinin laskemiseksi tangentin kautta, sinin laskemiseksi sinun on irrota juuri saadusta tuloksesta.

Kuinka löytää sini tunnetun kulman kotangentin kanssa? Kotangentin arvo voidaan laskea jakamalla lähikulman pituus jalkakulman pituudella ja jakamalla myös kosini sinillä, eli kotangentti on tangentin käänteisfunktio suhteessa numeroon 1. Laskeaksesi sinin, voit laskea tangentin kaavalla tg α \u003d 1 / ctg α ja käyttää kaavaa toisessa vaihtoehdossa. Voit myös johtaa suoran kaavan analogisesti tangentin kanssa, joka näyttää tältä.

Kuinka löytää kolmion kolmen sivun sini

On olemassa kaava minkä tahansa kolmion, ei vain suoran kolmion, tuntemattoman sivun pituuden löytämiseksi, kun annetaan kaksi tunnettua sivua käyttämällä vastakkaisen kulman kosinin trigonometristä funktiota. Hän näyttää tältä.

No, sini voidaan edelleen laskea kosinista yllä olevien kaavojen mukaisesti.