Luottamusväli. Matemaattisen odotuksen, varianssin, todennäköisyyden luottamusvälit

Raskauden merkit alkion istutuksen jälkeen

Olkoon normaalin lain mukaan jakautunut satunnaismuuttuja (voidaan puhua yleisestä populaatiosta), jonka varianssi D = 2 (> 0) tunnetaan. Yleisestä populaatiosta (josta objektijoukosta määritetään satunnaismuuttuja) tehdään n-kokoinen näyte. Otos x 1 , x 2 ,..., x n katsotaan n itsenäisen satunnaismuuttujan joukoksi, joka jakautuu samalla tavalla kuin (tekstissä edellä selostettu lähestymistapa).

Aiemmin keskusteltiin ja todistettiin myös seuraavat yhtäläisyydet:

Mx1 = Mx2 = ... = Mx n = M;

Dx1 = Dx2 = ... = Dx n = D;

Riittää, kun yksinkertaisesti todistamme (jätämme todistuksen pois), että satunnaismuuttuja on myös tässä tapauksessa jakautunut normaalin lain mukaan.

Merkitään tuntematon arvo M a:lla ja valitaan luku d > 0 annetun luotettavuuden mukaan siten, että seuraava ehto täyttyy:

P(-a< d) = (1)

Koska satunnaismuuttuja jakautuu normaalin lain mukaan matemaattisella odotuksella M = M = a ja varianssilla D = D /n = 2 /n, saadaan:

P(-a< d) =P(a - d < < a + d) =

Jäljelle jää valita d siten, että tasa-arvo

Jokaiselle voidaan löytää taulukosta sellainen luku t, että (t) \u003d / 2. Tätä lukua t kutsutaan joskus kvantiili.

Nyt tasa-arvosta

määritä d:n arvo:

Lopputuloksen saamme esittämällä kaavan (1) muodossa:

Viimeisen kaavan merkitys on seuraava: luotettavuudella luottamusväli

kattaa populaation tuntemattoman parametrin a = M. Voidaan sanoa toisin: pisteestimaatti määrittää parametrin M arvon tarkkuudella d= t / ja luotettavuudella.

Tehtävä. Olkoon yleispopulaatio, jolla on jokin ominaispiirre, joka jakautuu normaalin lain mukaan ja jonka dispersio on 6,25. Tehtiin näyte tilavuudesta n = 27 ja saatiin ominaisuuden keskimääräinen otosarvo = 12. Etsi luottamusväli, joka kattaa yleisen populaation tutkitun ominaisuuden tuntemattoman matemaattisen odotuksen luotettavuudella = 0,99.

Ratkaisu. Ensinnäkin Laplace-funktion taulukon mukaan löytää arvo t yhtälöstä (t) = / 2 = 0,495. Saadun arvon t = 2,58 perusteella määritetään estimaatin tarkkuus (tai puolet luottamusvälin pituudesta) d: d = 2,52,58 / 1,24. Tästä saadaan haluttu luottamusväli: (10,76; 13,24).

tilastollinen hypoteesi yleinen vaihtelu

Luottamusväli normaalijakauman odotukselle, jonka varianssi on tuntematon

Olkoon normaalin lain mukaan jakautunut satunnaismuuttuja, jolla on tuntematon matemaattinen odotus M, jota merkitään kirjaimella a . Tehdään näyte, jonka koko on n. Määritetään keskimääräinen näyte ja korjattu otosvarianssi s 2 tunnetuilla kaavoilla.

Satunnainen arvo

jaettu Studentin lain mukaan n - 1 vapausasteilla.

Tehtävänä on löytää sellainen luku t annetun luotettavuuden ja vapausasteiden lukumäärän n - 1 mukaan niin, että yhtälö

tai vastaavaa tasa-arvoa

Täällä suluissa kirjoitetaan ehto, että tuntemattoman parametrin a arvo kuuluu tiettyyn väliin, joka on luottamusväli. Sen rajat riippuvat luotettavuudesta sekä näytteenottoparametreista ja s:stä.

Määrittääksemme t:n arvon suuruuden mukaan muunnamme yhtälön (2) muotoon:

Nyt Studentin lain mukaan jakautuneen satunnaismuuttujan t taulukon mukaan todennäköisyydellä 1 - ja vapausasteiden lukumäärällä n - 1 saadaan t. Kaava (3) antaa vastauksen ongelmaan.

Tehtävä. 20 sähkölampun kontrollitesteissä niiden keskimääräinen toiminta-aika oli 2000 tuntia ja standardipoikkeama (laskettuna korjatun näytevarianssin neliöjuurena) oli 11 tuntia. On tunnettua, että lampun toiminnan kesto on normaalijakautunut satunnaismuuttuja. Määritä tämän satunnaismuuttujan matemaattisen odotuksen luottamusväli 0,95:n luotettavuudella.

Ratkaisu. Arvo 1 - tässä tapauksessa on 0,05. Studentin jakaumataulukon mukaan vapausasteiden lukumäärällä 19 saadaan: t = 2,093. Lasketaan nyt arvion tarkkuus: 2,093121/ = 56,6. Tästä saadaan haluttu luottamusväli: (1943.4; 2056.6).

Tämän hakulomakkeen avulla voit löytää oikean tehtävän. Kirjoita sana, lause tehtävästä tai sen numero, jos tiedät sen.


Hae vain tästä osiosta


Luottamusvälit: Luettelo ongelmanratkaisuista

Luottamusvälit: teoria ja ongelmat

Luottamusvälien ymmärtäminen

Esitellään lyhyesti luottamusvälin käsite, joka
1) arvioi jonkin numeerisen näytteen parametrin suoraan itse otoksen tiedoista,
2) kattaa tämän parametrin arvon todennäköisyydellä γ.

Luottamusväli parametrille X(todennäköisyydellä γ) kutsutaan muodon väliksi, jolloin , ja arvot lasketaan jollain tavalla näytteestä.

Yleensä sovelletuissa ongelmissa luottamustodennäköisyydeksi otetaan γ = 0,9; 0,95; 0,99.

Tarkastellaan jotakin n-kokoista otosta, joka on tehty yleisestä populaatiosta ja joka on jakaantunut oletettavasti normaalijakauman lain mukaan. Näytämme millä kaavoilla löydetään jakaumaparametrien luottamusvälit- matemaattinen odotus ja hajonta (keskihajonta).

Matemaattisen odotuksen luottamusväli

Tapaus 1 Jakauman varianssi tunnetaan ja yhtä suuri kuin . Sitten parametrin luottamusväli a näyttää:
t määräytyy Laplacen jakaumataulukosta suhteella

Tapaus 2 Jakauman varianssia ei tunneta, otoksesta laskettiin varianssin pisteestimaatti. Sitten parametrin luottamusväli a näyttää:
, missä on otoksen keskiarvo laskettu näytteen parametrista t määräytyy Studentin jakaumataulukosta

Esimerkki. Tietyn arvon 7 mittauksen tietojen perusteella mittaustulosten keskiarvoksi todettiin 30 ja otosvarianssiksi 36. Etsi rajat, joissa mitatun arvon todellinen arvo sisältyy luotettavuudella 0,99 .

Ratkaisu. Etsitään . Sitten mittausarvon todellisen arvon sisältävän aikavälin luottamusrajat löytyvät kaavasta:
, missä on otoksen keskiarvo, on otoksen varianssi. Kytkemällä kaikki arvot, saamme:

Varianssin luottamusväli

Uskomme, että yleisesti ottaen matemaattinen odotus on tuntematon ja vain pisteen puolueeton estimaatti varianssista tunnetaan. Sitten luottamusväli näyttää tältä:
, missä - taulukoista määritetyt jakautumakvantiilit.

Esimerkki. 7 kokeen tietojen perusteella löydettiin keskihajonnan estimaatin arvo s = 12. Etsi todennäköisyydellä 0,9 varianssin arvioimiseksi rakennetun luottamusvälin leveys.

Ratkaisu. Tuntemattoman populaation varianssin luottamusväli löytyy kaavasta:

Korvaa ja hanki:


Tällöin luottamusvälin leveys on 465,589-71,708=393,881.

Todennäköisyyden luottamusväli (prosentti)

Tapaus 1 Olkoon otoskoko ja otososuus (suhteellinen taajuus) tehtävässä tiedossa. Sitten yleisen murtoluvun (tosi todennäköisyys) luottamusväli on:
, jossa parametri t määräytyy Laplacen jakaumataulukosta suhteella .

Tapaus 2 Jos ongelma tietää lisäksi sen populaation kokonaiskoon, josta näyte on otettu, yleisen murto-osan (tosi todennäköisyys) luottamusväli voidaan löytää mukautetulla kaavalla:
.

Esimerkki. Tiedetään, että Etsi rajat, joissa yleinen osake päätetään todennäköisyydellä.

Ratkaisu. Käytämme kaavaa:

Etsitään parametri ehdosta , saamme Korvaa kaavassa:


Muita esimerkkejä matemaattisten tilastojen ongelmista löydät sivulta

Luottamusväli ovat tilastollisen suuren raja-arvot, jotka annetulla luottamustodennäköisyydellä γ ovat tässä välissä suuremmalla otoskoolla. Merkitään P(θ - ε . Käytännössä luottamustodennäköisyys γ valitaan arvoista γ = 0,9, γ = 0,95, γ = 0,99, joka on riittävän lähellä yksikköä.

Palvelutehtävä. Tämä palvelu määrittelee:

  • yleisen keskiarvon luottamusväli, varianssin luottamusväli;
  • keskihajonnan luottamusväli, yleisen murtoluvun luottamusväli;
Saatu liuos varastoidaan Word-tiedosto(katso esimerkki). Alla on video-ohjeet alkutietojen täyttämisestä.

Esimerkki #1. Kolhoosilla yhteensä 1000 lampaan karjasta 100 lampaalle tehtiin valikoiva kontrollileikkaus. Tuloksena vahvistettiin keskimääräinen villaleikkaus 4,2 kg lammasta kohti. Määritä todennäköisyydellä 0,99 näytteen keskivirhe määritettäessä keskimääräistä villan leikkausta lammasta kohti ja rajat, joissa leikkausarvo on, jos varianssi on 2,5. Näyte ei ole toistava.
Esimerkki #2. Moskovan pohjoisen tullin tuontituoteerästä otettiin 20 näytettä tuotteesta "A" satunnaisuudelleennäytteen järjestyksessä. Tarkastuksen tuloksena määritettiin tuotteen "A" keskimääräinen kosteuspitoisuus näytteessä, joka osoittautui 6 %:ksi keskihajonnan ollessa 1 %.
Määritä todennäköisyydellä 0,683 tuotteen keskimääräisen kosteuspitoisuuden rajat koko tuontituoteerässä.
Esimerkki #3. 36 opiskelijalle tehty kysely osoitti, että he lukevat keskimäärin oppikirjoja lukuvuosi, osoittautui yhtä suureksi kuin 6. Olettaen, että opiskelijan lukukautta kohti lukemien oppikirjojen lukumäärällä on normaalijakauman laki, jonka keskihajonna on 6, löydä: A) luotettavuudella 0,99, intervalliarvio matemaattiselle tämän satunnaismuuttujan odotus; B) Millä todennäköisyydellä voidaan väittää, että tälle otokselle laskettu opiskelijan lukukauden aikana lukemien oppikirjojen keskimääräinen lukumäärä poikkeaa itseisarvoltaan enintään 2:lla matemaattisesta odotuksesta.

Luottamusvälien luokittelu

Arvioitavan parametrin tyypin mukaan:

Näytteen tyypin mukaan:

  1. Luottamusväli äärettömälle näytteenotolle;
  2. Lopullisen näytteen luottamusväli;
Näytteenottoa kutsutaan uudelleennäytteenotoksi, jos valittu objekti palautetaan yleiseen populaatioon ennen seuraavan valitsemista. Näytettä kutsutaan ei-toistuvaksi. jos valittua objektia ei palauteta yleiseen populaatioon. Käytännössä käsitellään yleensä ei-toistuvia näytteitä.

Satunnaisvalinnan keskimääräisen näytteenottovirheen laskeminen

Otoksesta saatujen indikaattoreiden arvojen ja yleisen perusjoukon vastaavien parametrien välistä eroa kutsutaan edustavuusvirhe.
Yleisen ja otosjoukon pääparametrien nimitykset.
Esimerkki keskimääräisistä virhekaavoista
uudelleenvalintaei-toistuva valinta
keskimmäisellejakaa vartenkeskimmäisellejakaa varten
Näytteenottovirherajan (Δ) välinen suhde taattu jollain todennäköisyydellä P(t), ja keskimääräinen näytteenottovirhe on muotoa: tai Δ = t μ, missä t– luottamuskerroin, joka määritetään todennäköisyystason P(t) mukaan Laplacen integraalifunktion taulukon mukaan.

Kaavat otoskoon laskemiseen oikealla satunnaisvalintamenetelmällä

Matemaattisen odotuksen luottamusväli - tämä on sellainen tiedoista laskettu intervalli, joka tunnetulla todennäköisyydellä sisältää yleisen populaation matemaattisen odotuksen. Matemaattisen odotuksen luonnollinen estimaatti on sen havaittujen arvojen aritmeettinen keskiarvo. Siksi jatkossa oppitunnin aikana käytämme termejä "keskiarvo", "keskiarvo". Luottamusvälin laskentaongelmissa vaaditaan useimmin vastaus: "Keskimääräisen luvun [arvo tietyssä tehtävässä] luottamusväli on [pienempi arvo] - [ suurempi arvo]". Luottamusvälin avulla voit arvioida paitsi keskiarvoja myös jonkin ominaisuuden osuutta yleisestä populaatiosta. Keskiarvot, varianssi, keskihajonta ja virhe, jonka kautta pääsemme uusiin määritelmiin ja kaavoihin, analysoidaan oppitunnilla Näytteen ja populaation ominaisuudet .

Keskiarvon piste- ja intervalliestimaatit

Jos yleisen populaation keskiarvo on arvioitu luvulla (pisteellä), niin tuntemattoman estimaatti keskikokoinen yleisestä populaatiosta otetaan tietty keskiarvo, joka lasketaan havaintojen otoksesta. Tässä tapauksessa otoskeskiarvon - satunnaismuuttujan - arvo ei ole sama kuin yleisen perusjoukon keskiarvo. Siksi näytteen keskiarvoa ilmoitettaessa on samalla ilmoitettava myös näytevirhe. Näytteenottovirheen mitta on vakiovirhe, joka ilmaistaan ​​samoissa yksiköissä kuin keskiarvo. Siksi seuraavaa merkintää käytetään usein: .

Jos keskiarvon estimaatti vaaditaan liitettäväksi tiettyyn todennäköisyyteen, niin yleisen kiinnostuksen kohteena olevan populaation parametri ei tule estimoida yhdellä luvulla, vaan välillä. Luottamusväli on aikaväli, jossa tietyllä todennäköisyydellä P väestön estimoidun indikaattorin arvo löytyy. Luottamusväli, jossa todennäköisyydellä P = 1 - α on satunnaismuuttuja , lasketaan seuraavasti:

,

α = 1 - P, joka löytyy melkein minkä tahansa tilastokirjan liitteestä.

Käytännössä perusjoukon keskiarvoa ja varianssia ei tunneta, joten populaation varianssi korvataan otosvarianssilla ja perusjoukon keskiarvo otoksen keskiarvolla. Näin ollen luottamusväli lasketaan useimmissa tapauksissa seuraavasti:

.

Luottamusvälikaavaa voidaan käyttää populaation keskiarvon arvioimiseen jos

  • yleisen perusjoukon keskihajonta tunnetaan;
  • tai perusjoukon keskihajontaa ei tiedetä, mutta otoskoko on suurempi kuin 30.

Otoskeskiarvo on puolueeton arvio populaation keskiarvosta. Otosvarianssi puolestaan ei ole puolueeton arvio populaatiovarianssista. Jotta saadaan puolueeton arvio populaatiovarianssista otosvarianssikaavassa, otoskoko on n pitäisi korvata n-1.

Esimerkki 1 Tietyn kaupungin sadasta satunnaisesti valitusta kahvilasta kerätään tiedot, että niissä on keskimäärin 10,5 työntekijää keskihajonnan ollessa 4,6. Määritä 95 %:n luottamusväli kahvilan työntekijöiden lukumäärästä.

missä on standardin normaalijakauman kriittinen arvo merkitsevyystasolle α = 0,05 .

Näin ollen 95 %:n luottamusväli kahvilatyöntekijöiden keskimääräiselle lukumäärälle oli välillä 9,6-11,4.

Esimerkki 2 Satunnaisotokselle 64 havainnon yleisestä populaatiosta laskettiin seuraavat kokonaisarvot:

havaintojen arvojen summa,

arvojen keskiarvosta poikkeamien neliösumma .

Laske odotusarvon 95 %:n luottamusväli.

laske standardipoikkeama:

,

laske keskiarvo:

.

Korvaa lausekkeen arvot luottamusvälille:

missä on standardin normaalijakauman kriittinen arvo merkitsevyystasolle α = 0,05 .

Saamme:

Näin ollen tämän otoksen matemaattisen odotuksen 95 %:n luottamusväli vaihteli välillä 7,484-11,266.

Esimerkki 3 Satunnaisotokselle 100 havainnon yleisestä populaatiosta laskettiin keskiarvo 15,2 ja keskihajonta 3,2. Laske odotusarvon 95 % luottamusväli ja sitten 99 % luottamusväli. Jos otosteho ja sen vaihtelu pysyvät samoina, mutta luottamuskerroin kasvaa, kapeneeko vai leveneekö luottamusväli?

Korvaamme nämä arvot luottamusvälin lausekkeeseen:

missä on standardin normaalijakauman kriittinen arvo merkitsevyystasolle α = 0,05 .

Saamme:

.

Siten tämän otoksen keskiarvon 95 %:n luottamusväli oli 14,57 - 15,82.

Korvaamme jälleen nämä arvot luottamusvälin lausekkeeseen:

missä on standardin normaalijakauman kriittinen arvo merkitsevyystasolle α = 0,01 .

Saamme:

.

Siten tämän otoksen keskiarvon 99 %:n luottamusväli oli 14,37 - 16,02.

Kuten näette, luottamustekijän kasvaessa myös normaalin normaalijakauman kriittinen arvo kasvaa, ja siksi intervallin alku- ja loppupisteet sijaitsevat kauempana keskiarvosta ja siten matemaattisen odotuksen luottamusvälistä. lisääntyy.

Ominaispainon piste- ja intervalliarviot

Otoksen jonkin ominaisuuden ominaispaino voidaan tulkita seuraavasti pistearvio tietty painovoima s sama ominaisuus koko väestössä. Jos tämä arvo on liitettävä todennäköisyyteen, on ominaispainon luottamusväli laskettava s ominaisuus yleisessä populaatiossa todennäköisyydellä P = 1 - α :

.

Esimerkki 4 Tietyssä kaupungissa on kaksi ehdokasta A ja B ehdolle pormestariksi. Satunnaiskyselyyn osallistui 200 kaupungin asukasta, joista 46 % vastasi äänestävänsä ehdokasta A, 26 % - ehdokkaalle B ja 28 % ei tiedä ketä äänestää. Määritä 95 %:n luottamusväli ehdokasta kannattavien kaupunkilaisten osuudelle A.

Muodostakoon CB X yleisen perusjoukon ja β tuntematon parametri CB X. Jos *:n tilastollinen estimaatti on johdonmukainen, niin mitä suurempi otoskoko on, sitä tarkempi on β:n arvo. Käytännössä meillä ei kuitenkaan ole kovin suuria näytteitä, joten emme voi taata suurempaa tarkkuutta.

Olkoon s* tilastollinen arvio s:lle. Määrä |in* - in| kutsutaan estimoinnin tarkkuudella. On selvää, että tarkkuus on CB, koska s* on satunnaismuuttuja. Asetetaan pieni positiivinen luku 8 ja vaaditaan, että estimaatin tarkkuus |in* - in| oli alle 8, eli | in* - in |< 8.

Arvioinnin luotettavuus g tai luottamustodennäköisyys in by in * on todennäköisyys g, jolla epäyhtälö |in * - in|< 8, т. е.

Yleensä g:n luotettavuus asetetaan etukäteen, ja g:lle ne ovat lähellä yhtä lukua (0,9; 0,95; 0,99; ...).

Koska epäyhtälö |in * - in|< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:

Väliä (* - 8, * + 5) kutsutaan luottamusväliksi, eli luottamusväli kattaa tuntemattoman parametrin in todennäköisyydellä y. Huomaa, että luottamusvälin päät ovat satunnaisia ​​ja vaihtelevat otoksesta toiseen, joten on tarkempaa sanoa, että väli (kohdassa * - 8, kohdassa * + 8) kattaa tuntemattoman parametrin β, eikä β kuuluisi tähän väliin. .

Olkoon yleinen populaatio annettu satunnaismuuttujalla X, joka jakautuu normaalin lain mukaan, lisäksi keskiarvo keskihajonta mutta se tiedetään. Matemaattinen odotus a = M (X) on tuntematon. Tietylle luotettavuudelle y on löydettävä luottamusväli a:lle.

Esimerkki keskiarvo

On tilastollinen arviointi kun xr = a.

Lause. Satunnaismuuttuja xB on normaalijakauma jos X:llä on normaalijakauma ja M(XB) = a,

A (XB) \u003d a, missä a \u003d y / B (X), a \u003d M (X). l/i

A:n luottamusvälillä on muoto:

Löydämme 8.

Suhteen käyttäminen

missä Ф(г) on Laplace-funktio, meillä on:

P ( | XB - a |<8} = 2Ф

löydämme t:n arvon Laplace-funktion arvotaulukosta.

Merkitsee

T, saamme F(t) = g

Tasa-arvosta Etsi - arvion tarkkuus.

Joten a:n luottamusvälillä on muoto:

Jos näyte annetaan yleisestä populaatiosta X

ng " X2 xm
n. n1 n2 nm

n = U1 + ... + nm, niin luottamusväli on:

Esimerkki 6.35. Etsi luottamusväli normaalijakauman odotuksen a estimoimiseksi luotettavuudella 0,95, kun tiedät otoksen keskiarvon Xb = 10,43, otoskoon n = 100 ja keskihajonnan s = 5.

Käytetään kaavaa

Aiheeseen liittyvät julkaisut