Mesatarja aritmetike është një tregues statistikor që tregon vlerën mesatare të një grupi të dhënash të dhëna. Ky tregues llogaritet si një fraksion, numëruesi i të cilit është shuma e të gjitha vlerave në grup, dhe emëruesi është numri i tyre. Mesatarja aritmetike është një koeficient i rëndësishëm që përdoret në llogaritjet e përditshme.

Kuptimi i koeficientit

Mesatarja aritmetike është një tregues elementar për krahasimin e të dhënave dhe llogaritjen e një vlere të pranueshme. Për shembull, dyqane të ndryshme shesin një kanaçe birre nga një prodhues specifik. Por në një dyqan kushton 67 rubla, në një tjetër - 70 rubla, në një të tretë - 65 rubla, dhe në të fundit - 62 rubla. Një gamë mjaft e gjerë çmimesh, kështu që blerësi do të jetë i interesuar kosto mesatare bankat në mënyrë që gjatë blerjes së një produkti të mund të krahasojë kostot e tij. Çmimi mesatar për një kanaçe birre në qytet është:

Çmimi mesatar = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 rubla.

Duke ditur çmimi mesatar, është e lehtë të përcaktohet se ku është fitimprurëse për të blerë mallra dhe ku do të duhet të paguani tepër.

Mesatarja aritmetike përdoret vazhdimisht në llogaritjet statistikore në rastet kur analizohet një grup homogjen i të dhënave. Në shembullin e mësipërm, ky është çmimi i një kanaçe birre të së njëjtës markë. Megjithatë, ne nuk mund të krahasojmë çmimin e birrës nga prodhues të ndryshëm apo çmimet e birrës dhe limonadës, pasi në këtë rast shpërndarja e vlerave do të jetë më e madhe, çmimi mesatar do të jetë i paqartë dhe jo i besueshëm dhe vetë kuptimi i llogaritjeve. do të shtrembërohet në një karikaturë të "temperaturës mesatare në spital". Për të llogaritur grupet heterogjene të të dhënave, përdoret një mesatare aritmetike e ponderuar, kur secila vlerë merr koeficientin e vet të peshimit.

Llogaritja e mesatares aritmetike

Formula për llogaritjet është jashtëzakonisht e thjeshtë:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

ku an është vlera e sasisë, n është numri total i vlerave.

Për çfarë mund të përdoret? këtë tregues? Përdorimi i parë dhe i dukshëm i tij është në statistika. Pothuajse çdo studim statistikor përdor mesataren aritmetike. Mund te jete Mosha mesatare martesa në Rusi, nota mesatare në një lëndë për një nxënës shkolle ose shpenzimi mesatar për sende ushqimore në ditë. Siç u përmend më lart, pa marrë parasysh peshat, llogaritja e mesatareve mund të prodhojë vlera të çuditshme ose absurde.

Për shembull, presidenti Federata Ruse bëri një deklaratë se sipas statistikave, paga mesatare e një rus është 27,000 rubla. Për shumicën e banorëve të Rusisë, ky nivel i pagës dukej absurd. Nuk është për t'u habitur nëse, kur llogaritim, marrim parasysh të ardhurat e oligarkëve, drejtuesve të ndërmarrjeve industriale, bankierëve të mëdhenj nga njëra anë dhe pagat e mësuesve, pastruesve dhe shitësve nga ana tjetër. Edhe pagat mesatare në një specialitet, për shembull, kontabilist, do të kenë dallime serioze në Moskë, Kostroma dhe Yekaterinburg.

Si të llogaritni mesataret për të dhëna heterogjene

Në situatat e numërimit pagatËshtë e rëndësishme të merret parasysh pesha e secilës vlerë. Kjo do të thotë që pagat e oligarkëve dhe bankierëve do të merrnin një peshë prej, për shembull, 0.00001, dhe pagat e shitësve - 0.12. Këto janë shifra të paqarta, por ato përafërsisht ilustrojnë mbizotërimin e oligarkëve dhe shitësve në shoqërinë ruse.

Kështu, për të llogaritur mesataren e mesatareve ose vlerave mesatare në një grup të dhënash heterogjene, kërkohet të përdoret mesatarja e ponderuar aritmetike. Përndryshe, ju do të merrni një pagë mesatare në Rusi prej 27,000 rubla. Nëse doni të dini tuajën vleresim mesatar në matematikë ose numrin mesatar të golave ​​të shënuar nga lojtari i zgjedhur i hokejit, atëherë llogaritësi mesatare aritmetike do t'ju përshtatet.

Programi ynë është një kalkulator i thjeshtë dhe i përshtatshëm për llogaritjen e mesatares aritmetike. Për të kryer llogaritjet, duhet vetëm të futni vlerat e parametrave.

Le të shohim disa shembuj

Llogaritja e rezultatit mesatar

Shumë mësues përdorin metodën mesatare aritmetike për të përcaktuar notën vjetore për një lëndë. Le të imagjinojmë se fëmija ka marrë notat e mëposhtme tremujore në matematikë: 3, 3, 5, 4. Çfarë note vjetore do t'i japë mësuesi? Le të përdorim një kalkulator dhe të llogarisim mesataren aritmetike. Për të filluar, zgjidhni numrin e duhur të fushave dhe vendosni vlerat e vlerësimit në qelizat që shfaqen:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Mësuesi do të rrumbullakos vlerën në favor të studentit dhe studenti do të marrë një B solid për vitin.

Llogaritja e ëmbëlsirave të ngrënë

Le të ilustrojmë disa nga absurditeti i mesatares aritmetike. Le të imagjinojmë që Masha dhe Vova kishin 10 karamele. Masha hëngri 8 karamele, dhe Vova vetëm 2. Sa karamele ka ngrënë mesatarisht secili fëmijë? Duke përdorur një kalkulator është e lehtë të llogaritet se mesatarisht fëmijët kanë ngrënë 5 karamele, gjë që është plotësisht e pavërtetë dhe sens të përbashkët. Ky shembull tregon se mesatarja aritmetike është e rëndësishme për grupe të dhënash kuptimplotë.

konkluzioni

Llogaritja e mesatares aritmetike përdoret gjerësisht në shumë fusha shkencore. Ky tregues është i popullarizuar jo vetëm në llogaritjet statistikore, por edhe në fizikë, mekanikë, ekonomi, mjekësi apo financa. Përdorni llogaritësit tanë si ndihmës për të zgjidhur problemet që përfshijnë llogaritjen e mesatares aritmetike.

Në statistika, përdoren lloje të ndryshme mesataresh, të cilat ndahen në dy klasa të mëdha:

Mjetet e fuqisë (mesatare harmonike, mesatare gjeometrike, mesatare aritmetike, mesatare kuadratike, mesatare kubike);

Mjetet strukturore (mode, mediane).

Për të llogaritur mesataret e fuqisëështë e nevojshme të përdoren të gjitha vlerat karakteristike të disponueshme. Moda Dhe mesatare përcaktohen vetëm nga struktura e shpërndarjes, prandaj quhen mesatare strukturore, pozicionale. Mesatarja dhe modaliteti përdoren shpesh si një karakteristikë mesatare në ato popullata ku llogaritja e mesatares së fuqisë është e pamundur ose jopraktike.

Lloji më i zakonshëm i mesatares është mesatarja aritmetike. Nën mesatare aritmetike kuptohet si vlera e një karakteristike që do të kishte çdo njësi e popullsisë nëse shuma totale e të gjitha vlerave të karakteristikës do të shpërndahej në mënyrë të barabartë midis të gjitha njësive të popullsisë. Llogaritja e kësaj vlere zbret në mbledhjen e të gjitha vlerave të karakteristikës së ndryshme dhe ndarjen e shumës që rezulton me numrin e përgjithshëm të njësive në popullatë. Për shembull, pesë punëtorë kanë përmbushur një porosi për prodhimin e pjesëve, ndërsa i pari ka bërë 5 pjesë, i dyti – 7, i treti – 4, i katërti – 10, i pesti – 12. Meqenëse në të dhënat burimore vlera e secilit opsioni ka ndodhur vetëm një herë, për të përcaktuar

Për të përcaktuar produktin mesatar të një punonjësi, duhet të zbatohet formula e thjeshtë mesatare aritmetike:

dmth në shembullin tonë, prodhimi mesatar i një punëtori është i barabartë me

Së bashku me mesataren e thjeshtë aritmetike, ata studiojnë mesatare aritmetike e ponderuar. Për shembull, le të llogarisim moshën mesatare të studentëve në një grup prej 20 personash, moshat e të cilëve variojnë nga 18 deri në 22 vjeç, ku xi- variantet e karakteristikës që mesatarizohet, fi– frekuenca, e cila tregon sa herë ndodh i-të vlera në agregat (Tabela 5.1).

Tabela 5.1

Mosha mesatare e nxënësve

Duke aplikuar formulën mesatare aritmetike të ponderuar, marrim:

Ekziston një rregull i caktuar për zgjedhjen e një mesatareje aritmetike të ponderuar: nëse ka një seri të dhënash për dy tregues, për njërin prej të cilëve duhet të llogaritni

vlera mesatare, dhe në të njëjtën kohë vlerat numerike të emëruesit të formulës së saj logjike janë të njohura, dhe vlerat e numëruesit janë të panjohura, por mund të gjenden si produkt i këtyre treguesve, atëherë vlera mesatare duhet të të llogaritet duke përdorur formulën mesatare të ponderuar aritmetike.

Në disa raste, natyra e të dhënave fillestare statistikore është e tillë që llogaritja e mesatares aritmetike humbet kuptimin e saj dhe i vetmi tregues përgjithësues mund të jetë vetëm një lloj tjetër i vlerës mesatare - mesatare harmonike. Aktualisht, vetitë llogaritëse të mesatares aritmetike kanë humbur rëndësinë e tyre në llogaritjen e treguesve të përgjithshëm statistikorë për shkak të prezantimit të gjerë të teknologjisë së llogaritjes elektronike. Vlera mesatare harmonike, e cila gjithashtu mund të jetë e thjeshtë dhe e peshuar, ka marrë një rëndësi të madhe praktike. Nëse vlerat numerike të numëruesit të një formule logjike janë të njohura, dhe vlerat e emëruesit janë të panjohura, por mund të gjenden si një ndarje e pjesshme e një treguesi me një tjetër, atëherë vlera mesatare llogaritet duke përdorur harmonikën. formula mesatare e ponderuar.

Për shembull, le të dihet se makina i ka kaluar 210 km të para me një shpejtësi prej 70 km/h, dhe 150 km të mbetura me një shpejtësi prej 75 km/h. Është e pamundur të përcaktohet shpejtësia mesatare e një makine gjatë gjithë udhëtimit prej 360 km duke përdorur formulën mesatare aritmetike. Meqenëse opsionet janë shpejtësi në seksione individuale xj= 70 km/h dhe X2= 75 km/h, dhe peshat (fi) konsiderohen se janë seksionet përkatëse të shtegut, atëherë produktet e opsioneve dhe peshave nuk do të kenë as kuptim fizik dhe as ekonomik. Në këtë rast, koeficientët marrin kuptim nga ndarja e seksioneve të shtegut në shpejtësitë përkatëse (opsionet xi), d.m.th., koha e kaluar për kalimin e seksioneve individuale të shtegut (fi / xi). Nëse pjesët e shtegut shënohen me fi, atëherë e gjithë shtegu do të shprehet si?fi dhe koha e kaluar në të gjithë shtegun do të shprehet si?fi. fi / xi , Atëherë shpejtësia mesatare mund të gjendet si koeficient i pjesëtimit të të gjithë shtegut me kostot totale koha:

Në shembullin tonë marrim:

Nëse, kur përdorni mesataren harmonike, peshat e të gjitha opsioneve (f) janë të barabarta, atëherë në vend të asaj të ponderuar mund të përdorni mesatare harmonike e thjeshtë (e papeshuar):

ku xi janë opsione individuale; n– numri i varianteve të karakteristikës që mesatarizohet. Në shembullin e shpejtësisë, mesatarja e thjeshtë harmonike mund të zbatohet nëse segmentet e rrugës që udhëtohen me shpejtësi të ndryshme janë të barabarta.

Çdo vlerë mesatare duhet të llogaritet në mënyrë që kur zëvendëson çdo variant të karakteristikës mesatare, vlera e ndonjë treguesi përfundimtar, të përgjithshëm që shoqërohet me treguesin mesatar të mos ndryshojë. Kështu, kur zëvendësohen shpejtësitë aktuale në seksione individuale të rrugës me vlerën e tyre mesatare ( Shpejtësia mesatare) distanca totale nuk duhet të ndryshojë.

Forma (formula) e vlerës mesatare përcaktohet nga natyra (mekanizmi) i marrëdhënies së këtij treguesi përfundimtar me atë mesatar, prandaj treguesi përfundimtar, vlera e të cilit nuk duhet të ndryshojë kur zëvendësohen opsionet me vlerën e tyre mesatare, është thirrur tregues përcaktues. Për të nxjerrë formulën për mesataren, duhet të krijoni dhe zgjidhni një ekuacion duke përdorur marrëdhënien midis treguesit mesatar dhe atij përcaktues. Ky ekuacion ndërtohet duke zëvendësuar variantet e karakteristikës (treguesit) që mesatarizohet me vlerën mesatare të tyre.

Përveç mesatares aritmetike dhe mesatares harmonike, në statistika përdoren lloje (forma) të tjera të mesatares. Janë të gjitha raste të veçanta fuqia mesatare. Nëse llogarisim të gjitha llojet e mesatareve të fuqisë për të njëjtat të dhëna, atëherë vlerat

do të rezultojnë të njëjta, rregulli vlen këtu norma madhore mesatare. Me rritjen e eksponentit të mesatares, rritet vetë vlera mesatare. Formulat e llogaritjes më të përdorura në kërkimin praktik lloje të ndryshme vlerat mesatare të fuqisë janë paraqitur në tabelë. 5.2.

Tabela 5.2

Llojet e mjeteve të fuqisë

Mesatarja gjeometrike përdoret kur ka n koeficientët e rritjes, ndërsa vlerat individuale të karakteristikës janë, si rregull, vlera të dinamikës relative, të ndërtuara në formën e vlerave zinxhir, si raport me nivelin e mëparshëm të çdo niveli në serinë e dinamikës. Mesatarja karakterizon kështu normën mesatare të rritjes. Mesatarja e thjeshtë gjeometrike llogaritur me formulë

Formula mesatare gjeometrike e ponderuar Ajo ka pamje tjetër:

Formulat e mësipërme janë identike, por njëra aplikohet për koeficientët aktual ose normat e rritjes dhe e dyta zbatohet për vlerat absolute të niveleve të serisë.

Sheshi mesatar përdoret në llogaritjet me vlerat e funksioneve kuadratike, përdoret për të matur shkallën e luhatjes së vlerave individuale të një karakteristike rreth mesatares aritmetike në serinë e shpërndarjes dhe llogaritet me formulën

Katrori mesatar i ponderuar llogaritet duke përdorur një formulë tjetër:

Kub mesatar përdoret gjatë llogaritjes me vlerat e funksioneve kub dhe llogaritet me formulë

Kub mesatar i peshuar:

Të gjitha vlerat mesatare të diskutuara më sipër mund të paraqiten si një formulë e përgjithshme:

ku është vlera mesatare; – kuptimi individual; n– numri i njësive të popullsisë që studiohet; k– eksponent që përcakton llojin e mesatares.

Kur përdorni të njëjtat të dhëna burimore, aq më shumë k në formulën mesatare të fuqisë së përgjithshme, aq më e madhe është vlera mesatare. Nga kjo rrjedh se ekziston një marrëdhënie e natyrshme midis vlerave të mesatareve të fuqisë:

Vlerat mesatare të përshkruara më sipër japin një ide të përgjithësuar të popullsisë që studiohet dhe nga ky këndvështrim, rëndësia e tyre teorike, aplikative dhe edukative është e padiskutueshme. Por ndodh që vlera e mesatares të mos përputhet me asnjë nga opsionet ekzistuese në të vërtetë, prandaj, përveç mesatareve të konsideruara në analizën statistikore, këshillohet që të përdoren vlerat e opsioneve specifike që zënë mjaft në seritë e renditura (të renditura) të vlerave të atributeve pozicion të caktuar. Ndër këto sasi, më të përdorurat janë strukturore, ose përshkrues, mesatar– modaliteti (Mo) dhe mesatarja (Me).

Moda– vlera e një karakteristike që gjendet më shpesh në një popullatë të caktuar. Në lidhje me një seri variacionale, modaliteti është vlera më e shpeshtë e serisë së renditur, domethënë opsioni me frekuencën më të lartë. Moda mund të përdoret në përcaktimin e dyqaneve që vizitohen më shpesh, çmimi më i zakonshëm për çdo produkt. Ai tregon madhësinë e një veçorie karakteristike për një pjesë të konsiderueshme të popullsisë dhe përcaktohet nga formula

ku x0 është kufiri i poshtëm i intervalit; h– madhësia e intervalit; fm– frekuenca e intervalit; fm_ 1 – frekuenca e intervalit të mëparshëm; fm+ 1 - frekuenca e intervalit të ardhshëm.

mesatare thirret opsioni që ndodhet në qendër të rreshtit të renditur. Medianaja e ndan serinë në dy pjesë të barabarta në mënyrë që të ketë të njëjtin numër njësish popullsie në të dyja anët e saj. Në këtë rast, gjysma e njësive në popullatë ka një vlerë të karakteristikës së ndryshueshme që është më e vogël se mesatarja, ndërsa gjysma tjetër ka një vlerë më të madhe se ajo. Mesatarja përdoret kur studiohet një element vlera e të cilit është më e madhe ose e barabartë, ose në të njëjtën kohë më e vogël ose e barabartë me gjysmën e elementeve të një serie shpërndarjeje. Mediana jep një ide të përgjithshme se ku janë të përqendruara vlerat e atributeve, me fjalë të tjera, ku është qendra e tyre.

Natyra përshkruese e mesatares manifestohet në faktin se karakterizon kufirin sasior të vlerave të një karakteristike të ndryshueshme që zotërojnë gjysma e njësive në popullatë. Problemi i gjetjes së mesatares për një seri variacion diskrete zgjidhet lehtësisht. Nëse të gjitha njësive të serisë u jepen numra serialë, atëherë numri i serisë së opsionit median përcaktohet si (n + 1) / 2 me një numër tek anëtarësh të n-së , atëherë mediana do të jetë vlera mesatare e dy opsioneve që kanë numra serialë n/ 2 dhe n/ 2 + 1.

Kur përcaktoni mesataren në seritë e variacionit të intervalit, së pari përcaktoni intervalin në të cilin ndodhet (intervali mesatar). Ky interval karakterizohet nga fakti se shuma e akumuluar e tij e frekuencave është e barabartë ose tejkalon gjysmën e shumës së të gjitha frekuencave të serisë. Medianaja e një serie variacionesh intervali llogaritet duke përdorur formulën

Ku X0– kufiri i poshtëm i intervalit; h– madhësia e intervalit; fm– frekuenca e intervalit; f– numri i anëtarëve të serisë;

M -1 – shuma e termave të grumbulluar të serisë që i paraprin asaj të dhënë.

Së bashku me mesataren për më shumë karakteristikat e plota strukturat e popullsisë në studim përdorin edhe vlera të tjera opsionesh që zënë një pozicion shumë specifik në seritë e renditura. Kjo perfshin kuartilët Dhe decilat. Kuartilët e ndajnë serinë sipas shumës së frekuencave në 4 pjesë të barabarta, dhe decilat - në 10 pjesë të barabarta. Janë tre kuartilë dhe nëntë decila.

Mesatarja dhe mënyra, ndryshe nga mesatarja aritmetike, nuk eliminojnë dallimet individuale në vlerat e një karakteristike të ndryshueshme dhe për këtë arsye janë karakteristika shtesë dhe shumë të rëndësishme të popullsisë statistikore. Në praktikë, ato shpesh përdoren në vend të mesatares ose së bashku me të. Është veçanërisht e këshillueshme që të llogaritet mesatarja dhe mënyra në rastet kur popullsia në studim përmban një numër të caktuar njësish me një vlerë shumë të madhe ose shumë të vogël të karakteristikës së ndryshme. Këto vlera të opsioneve, të cilat nuk janë shumë karakteristike për popullatën, ndërkohë që ndikojnë në vlerën e mesatares aritmetike, nuk ndikojnë në vlerat e mesatares dhe modës, gjë që e bën këtë të fundit tregues shumë të vlefshëm për ekonominë dhe statistikën. analiza.

vlera mesatare- ky është një tregues i përgjithshëm që karakterizon një popullsi homogjene cilësore sipas një karakteristike të caktuar sasiore. Për shembull, mosha mesatare e personave të dënuar për vjedhje.

Në statistikat gjyqësore, vlerat mesatare përdoren për të karakterizuar:

Koha mesatare për shqyrtimin e rasteve të kësaj kategorie;

Madhësia mesatare e kërkesës;

Numri mesatar i të pandehurve për rast;

Dëmi mesatar;

Ngarkesa mesatare e gjyqtarëve, etj.

Mesatarja është gjithmonë një vlerë e emërtuar dhe ka të njëjtin dimension me karakteristikat e një njësie individuale të popullsisë. Çdo vlerë mesatare karakterizon popullsinë që studiohet sipas një karakteristike të ndryshme, prandaj, pas çdo vlere mesatare qëndron një sërë shpërndarjesh të njësive të kësaj popullate sipas karakteristikës që studiohet. Zgjedhja e llojit të mesatares përcaktohet nga përmbajtja e treguesit dhe të dhënat fillestare për llogaritjen e vlerës mesatare.

Të gjitha llojet e mesatareve të përdorura në kërkimin statistikor ndahen në dy kategori:

1) mesataret e fuqisë;

2) mesataret strukturore.

Kategoria e parë e mesatareve përfshin: mesatare aritmetike, mesatare harmonike, mesatare gjeometrike Dhe rrënja mesatare katrore . Kategoria e dytë është modës Dhe mesatare. Për më tepër, secili nga llojet e listuara të mesatareve të fuqisë mund të ketë dy forma: thjeshtë Dhe të peshuara . Forme e thjeshte Vlera mesatare përdoret për të marrë vlerën mesatare të karakteristikës që studiohet, kur llogaritja kryhet duke përdorur të dhëna statistikore të pagrupuara, ose kur çdo opsion në total ndodh vetëm një herë. Mesataret e ponderuara janë vlera që marrin parasysh se variantet e vlerave të atributeve mund të kenë numra të ndryshëm, dhe për këtë arsye çdo variant duhet të shumëzohet me frekuencën përkatëse. Me fjalë të tjera, çdo opsion "peshohet" nga frekuenca e tij. Frekuenca quhet pesha statistikore.

Mesatarja e thjeshtë aritmetike- lloji më i zakonshëm i mesatares. Është e barabartë me shumën e vlerave individuale të atributit të ndarë me numrin e përgjithshëm të këtyre vlerave:

Ku x 1, x 2, …, x N janë vlerat individuale të karakteristikës së ndryshme (variantet), dhe N është numri i njësive në popullatë.

Mesatarja aritmetike e ponderuar përdoret në rastet kur të dhënat paraqiten në formën e serive ose grupimeve të shpërndarjes. Ai llogaritet si shuma e produkteve të opsioneve dhe frekuencave të tyre përkatëse, pjesëtuar me shumën e frekuencave të të gjitha opsioneve:

Ku x i- kuptimi i th variantet e karakteristikës; f i- frekuenca i opsionet.

Kështu, çdo vlerë variante peshohet me frekuencën e saj, prandaj frekuencat quhen ndonjëherë pesha statistikore.

Komentoni. Kur po flasim për rreth mesatares aritmetike pa treguar llojin e saj, mesatarja aritmetike është e thjeshtë.

Tabela 12.

Zgjidhje. Për të llogaritur, ne përdorim formulën mesatare aritmetike të ponderuar:

Kështu, mesatarisht janë dy të pandehur për çështje penale.

Nëse llogaritja e vlerës mesatare kryhet duke përdorur të dhëna të grupuara në formën e serive të shpërndarjes së intervalit, atëherë së pari duhet të përcaktoni vlerat e mesme të secilit interval x"i, dhe më pas të llogaritni vlerën mesatare duke përdorur mesataren e ponderuar aritmetike. formula, në të cilën x"i zëvendësohet në vend të xi.

Shembull. Të dhënat për moshën e kriminelëve të dënuar për vjedhje janë paraqitur në tabelë:

Tabela 13.

Përcaktoni moshën mesatare të kriminelëve të dënuar për vjedhje.

Zgjidhje. Për të përcaktuar moshën mesatare të kriminelëve bazuar në një seri variacionesh intervali, është e nevojshme që fillimisht të gjenden vlerat e mesme të intervaleve. Meqenëse na jepet një seri intervali me hapni së pari dhe intervalet e fundit, atëherë vlerat e këtyre intervaleve merren të barabarta me vlerat e intervaleve të mbyllura ngjitur. Në rastin tonë, vlerat e intervalit të parë dhe të fundit janë të barabarta me 10.

Tani gjejmë moshën mesatare të kriminelëve duke përdorur formulën mesatare aritmetike të ponderuar:

Kështu, mosha mesatare e kriminelëve të dënuar për vjedhje është afërsisht 27 vjeç.

Do të thotë harmonike e thjeshtë përfaqëson reciprocitetin e mesatares aritmetike të vlerave të anasjellta të karakteristikës:

ku 1/ x i janë vlerat e kundërta të opsioneve, dhe N është numri i njësive në popullatë.

Shembull. Për përcaktimin e ngarkesës mesatare vjetore të gjyqtarëve të një gjykate të rrethit gjatë shqyrtimit të çështjeve penale, u krye një studim i ngarkesës së 5 gjyqtarëve të kësaj gjykate. Koha mesatare e shpenzuar në një çështje penale për secilin nga gjyqtarët e anketuar doli të jetë e barabartë (në ditë): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Gjeni kostot mesatare për një çështjen penale dhe ngarkesën mesatare vjetore të gjyqtarëve të një gjykate të caktuar rrethi kur shqyrtohen çështjet penale.

Zgjidhje. Për të përcaktuar kohën mesatare të shpenzuar në një çështje penale, ne përdorim formulën mesatare harmonike:

Për të thjeshtuar llogaritjet, në shembull marrim numrin e ditëve në vit në 365, duke përfshirë fundjavat (kjo nuk ndikon në metodologjinë e llogaritjes, dhe kur llogaritet një tregues i ngjashëm në praktikë, është e nevojshme të zëvendësohet numri i punës ditë në një vit të caktuar në vend të 365 ditëve). Atëherë ngarkesa mesatare vjetore për gjyqtarët e një gjykate të caktuar rrethi gjatë shqyrtimit të çështjeve penale do të jetë: 365 (ditë) : 5,56 ≈ 65,6 (çështje).

Nëse do të përdornim formulën e thjeshtë mesatare aritmetike për të përcaktuar kohën mesatare të shpenzuar në një çështje penale, do të merrnim:

365 (ditë): 5,64 ≈ 64,7 (raste), d.m.th. ngarkesa mesatare e gjyqtarëve doli të ishte më e vogël.

Le të kontrollojmë vlefshmërinë e kësaj qasjeje. Për ta bërë këtë, ne do të përdorim të dhëna për kohën e kaluar për një çështje penale për çdo gjyqtar dhe do të llogarisim numrin e çështjeve penale të shqyrtuara nga secili prej tyre në vit.

Ne marrim në përputhje me rrethanat:

365 (ditë): 6 ≈ 61 (raste), 365 (ditë): 5.6 ≈ 65.2 (raste), 365 (ditë): 6.3 ≈ 58 (raste),

365 (ditë) : 4,9 ≈ 74,5 (raste), 365 (ditë) : 5,4 ≈ 68 (raste).

Tani le të llogarisim ngarkesën mesatare vjetore për gjyqtarët e një gjykate të caktuar rrethi kur shqyrtojmë çështjet penale:

Ato. ngarkesa mesatare vjetore është e njëjtë me atë kur përdoret mesatarja harmonike.

Pra, përdorimi i mesatares aritmetike në këtë rast është i paligjshëm.

Në rastet kur variantet e një karakteristike dhe vlerat e tyre vëllimore (produkti i varianteve dhe frekuencave) janë të njohura, por vetë frekuencat janë të panjohura, përdoret formula mesatare harmonike e ponderuar:

,

Ku x i janë vlerat e opsioneve të atributeve, dhe w i janë vlerat vëllimore të opsioneve ( w i = x i f i).

Shembull. Të dhënat për çmimin e një njësie të të njëjtit lloj produkti të prodhuar nga institucione të ndryshme të sistemit penal dhe për vëllimin e shitjeve të tij jepen në tabelën 14.

Tabela 14

Gjeni çmimin mesatar të shitjes së produktit.

Zgjidhje. Gjatë llogaritjes së çmimit mesatar, duhet të përdorim raportin e shumës së shitjeve me numrin e njësive të shitura. Ne nuk e dimë numrin e njësive të shitura, por dimë sasinë e shitjeve të mallrave. Prandaj, për të gjetur çmimin mesatar të mallrave të shitura, do të përdorim formulën mesatare harmonike të ponderuar. marrim

Nëse përdorni formulën mesatare aritmetike këtu, mund të merrni një çmim mesatar që do të jetë joreal:

Mesatarja gjeometrike llogaritet duke nxjerrë rrënjën e shkallës N nga produkti i të gjitha vlerave të varianteve të atributeve:

,

Ku x 1, x 2, …, x N- vlerat individuale të karakteristikës së ndryshme (variantet), dhe

N- numri i njësive në popullsi.

Ky lloj i mesatares përdoret për të llogaritur normat mesatare të rritjes së serive kohore.

Sheshi mesatar përdoret për të llogaritur mesataren devijimi katror, i cili është një tregues i variacionit dhe do të diskutohet më poshtë.

Për të përcaktuar strukturën e popullsisë, përdoren tregues të veçantë mesatarë, të cilët përfshijnë mesatare Dhe modës , ose të ashtuquajturat mesataret strukturore. Nëse mesatarja aritmetike llogaritet në bazë të përdorimit të të gjitha varianteve të vlerave të atributeve, atëherë mesatarja dhe mënyra karakterizojnë vlerën e variantit që zë një pozicion të caktuar mesatar në serinë e renditur (të renditur). Njësitë e një popullate statistikore mund të renditen në rend rritës ose zbritës të varianteve të karakteristikës që studiohet.

mesatare (unë)- kjo është vlera që korrespondon me opsionin e vendosur në mes të serisë së renditur. Kështu, mesatarja është ai version i serisë së renditur, në të dyja anët e së cilës në këtë seri duhet të ketë një numër të barabartë njësish popullsie.

Për të gjetur mesataren, së pari duhet të përcaktoni numrin e tij serial në serinë e renditur duke përdorur formulën:

ku N është vëllimi i serisë (numri i njësive në popullatë).

Nëse seria përbëhet nga një numër tek termash, atëherë mediana është e barabartë me opsionin me numër N Me. Nëse seria përbëhet nga një numër çift termash, atëherë mediana përcaktohet si mesatarja aritmetike e dy opsioneve ngjitur të vendosura në mes.

Shembull. Jepet një seri e renditur 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Vëllimi i serisë është N = 9, që do të thotë N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Prandaj, unë = 6, d.m.th. opsioni i pestë. Nëse rreshtit i jepet 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, d.m.th. seri me numër çift termash (N = 8), pastaj N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Kjo do të thotë se mediana është e barabartë me gjysmën e shumës së opsionit të katërt dhe të pestë, d.m.th. Unë = (9 + 11) / 2 = 10.

Në një seri variacionesh diskrete, mesatarja përcaktohet nga frekuencat e grumbulluara. Frekuencat e opsionit, duke filluar nga e para, përmblidhen derisa të tejkalohet numri mesatar. Vlera e opsioneve të fundit të përmbledhura do të jetë mesatarja.

Shembull. Gjeni numrin mesatar të të akuzuarve për çështje penale duke përdorur të dhënat në Tabelën 12.

Zgjidhje. Në këtë rast, vëllimi i serisë së variacionit është N = 154, prandaj, N Me = (154 + 1) / 2 = 77.5. Pasi të kemi përmbledhur frekuencat e opsioneve të parë dhe të dytë, marrim: 75 + 43 = 118, d.m.th. ne kemi tejkaluar numrin mesatar. Pra unë = 2.

Në një seri variacionesh intervali, shpërndarja së pari tregon intervalin në të cilin do të vendoset mediana. Ai quhet mesatare . Ky është intervali i parë, frekuenca e akumuluar e të cilit tejkalon gjysmën e vëllimit të serisë së variacionit të intervalit. Pastaj vlera numerike e mesatares përcaktohet nga formula:

Ku x Unë- kufiri i poshtëm i intervalit mesatar; i është vlera e intervalit mesatar; S Me-1- frekuenca e akumuluar e intervalit që i paraprin mesatares; f Mua- frekuenca e intervalit mesatar.

Shembull. Gjeni moshën mesatare të shkelësve të dënuar për vjedhje bazuar në statistikat e paraqitura në Tabelën 13.

Zgjidhje. Të dhënat statistikore paraqiten nga një seri e variacionit të intervalit, që do të thotë se ne fillimisht përcaktojmë intervalin mesatar. Vëllimi i popullsisë është N = 162, prandaj, intervali mesatar është intervali 18-28, sepse ky është intervali i parë, frekuenca e akumuluar e të cilit (15 + 90 = 105) tejkalon gjysmën e vëllimit (162: 2 = 81) të serisë së variacionit të intervalit. Tani përcaktojmë vlerën numerike të mesatares duke përdorur formulën e mësipërme:

Kështu, gjysma e të dënuarve për vjedhje janë nën 25 vjeç.

Moda (Moda) Ata e quajnë vlerën e një karakteristike që më së shpeshti gjendet në njësi të popullsisë. Moda përdoret për të identifikuar vlerën e një karakteristike që është më e përhapur. Për seri diskrete Moda do të jetë opsioni me frekuencën më të lartë. Për shembull, për seritë diskrete të paraqitura në Tabelën 3 Mo= 1, pasi kjo vlerë korrespondon me frekuencën më të lartë - 75. Për të përcaktuar mënyrën seri intervali së pari përcaktoni modale intervali (intervali që ka frekuencën më të lartë). Më pas, brenda këtij intervali, gjendet vlera e veçorisë, e cila mund të jetë një modalitet.

Vlera e saj gjendet duke përdorur formulën:

Ku x Mo- kufiri i poshtëm i intervalit modal; i është vlera e intervalit modal; f Mo- frekuenca e intervalit modal; f Mo-1- frekuenca e intervalit që i paraprin atij modal; f Mo+1- frekuenca e intervalit pas atij modal.

Shembull. Gjeni moshën e kriminelëve të dënuar për vjedhje, të dhënat për të cilat janë paraqitur në tabelën 13.

Zgjidhje. Frekuenca më e lartë korrespondon me intervalin 18-28, prandaj, modaliteti duhet të jetë në këtë interval. Vlera e tij përcaktohet nga formula e mësipërme:

Kështu, numri më i madh i kriminelëve të dënuar për vjedhje janë 24 vjeç.

Vlera mesatare jep një karakteristikë të përgjithshme të tërësisë së fenomenit që studiohet. Megjithatë, dy popullata që kanë të njëjtat vlera mesatare mund të ndryshojnë ndjeshëm nga njëra-tjetra në shkallën e luhatjes (ndryshimit) në vlerën e karakteristikës që studiohet. Për shembull, në një gjykatë ata caktuan datat në vijim burgim: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 vjet, dhe në një tjetër - 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8 vjet. Në të dyja rastet, mesatarja aritmetike është 6.7 vjet. Megjithatë, këto popullata ndryshojnë ndjeshëm nga njëra-tjetra në përhapjen e vlerave individuale të afatit të caktuar të burgimit në raport me vlerën mesatare.

Dhe për gjykatën e parë, ku kjo përhapje është mjaft e madhe, afati mesatar i burgimit nuk pasqyron të gjithë popullsinë. Kështu, nëse vlerat individuale të një karakteristike ndryshojnë pak nga njëra-tjetra, atëherë mesatarja aritmetike do të jetë një karakteristikë mjaft treguese e vetive të një popullate të caktuar. Përndryshe, mesatarja aritmetike do të jetë një karakteristikë jo e besueshme e kësaj popullate dhe përdorimi i saj në praktikë do të jetë joefektiv. Prandaj, është e nevojshme të merret parasysh ndryshimi në vlerat e karakteristikës që studiohet.

Variacion- këto janë ndryshime në vlerat e çdo karakteristike midis njësive të ndryshme të një popullsie të caktuar në të njëjtën periudhë ose pikë në kohë. Termi "variacion" është me origjinë latine - variatio, që do të thotë ndryshim, ndryshim, luhatje. Ajo lind si rezultat i faktit se vlerat individuale të një karakteristike formohen nën ndikimin e kombinuar të faktorëve (kushteve) të ndryshme, të cilat kombinohen ndryshe në secilin rast individual. Për të matur ndryshimin e një karakteristike, përdoren tregues të ndryshëm absolutë dhe relativë.

Treguesit kryesorë të variacionit përfshijnë si më poshtë:

1) fushëveprimi i variacionit;

2) devijimi mesatar linear;

3) dispersion;

4) devijimi standard;

5) koeficienti i variacionit.

Le të shohim shkurtimisht secilën prej tyre.

Gama e variacionit R është treguesi absolut më i arritshëm për sa i përket lehtësisë së llogaritjes, i cili përcaktohet si ndryshimi midis vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një karakteristike për njësitë e një popullsie të caktuar:

Gama e variacionit (gama e luhatjeve) është një tregues i rëndësishëm i ndryshueshmërisë së një tipari, por bën të mundur që të shihen vetëm devijime ekstreme, gjë që kufizon shtrirjen e zbatimit të saj. Për të karakterizuar më saktë ndryshimin e një tipari bazuar në ndryshueshmërinë e tij, përdoren tregues të tjerë.

Devijimi mesatar linear përfaqëson mesataren aritmetike të vlerave absolute të devijimeve të vlerave individuale të një karakteristike nga mesatarja dhe përcaktohet nga formula:

1) Për të dhëna të pagrupuara

2) Për seri variacionesh

Megjithatë, matja më e përdorur e variacionit është dispersion . Ai karakterizon masën e shpërndarjes së vlerave të karakteristikës që studiohet në lidhje me vlerën mesatare të saj. Dispersioni përkufizohet si mesatarja e devijimeve në katror.

Variancë e thjeshtë për të dhëna të pagrupuara:

.

Varianca e ponderuar për serinë e variacioneve:

Komentoni. Në praktikë, është më mirë të përdoren formulat e mëposhtme për të llogaritur variancën:

Për variancë të thjeshtë

.

Për variancën e ponderuar

Devijimi standardështë rrënja katrore e variancës:

Devijimi standard është një masë e besueshmërisë së mesatares. Sa më i vogël të jetë devijimi standard, aq më homogjen është popullata dhe aq më mirë mesatarja aritmetike pasqyron të gjithë popullsinë.

Masat e shpërndarjes të diskutuara më sipër (gama e variacionit, dispersioni, devijimi standard) janë tregues absolut, sipas të cilëve nuk është gjithmonë e mundur të gjykohet shkalla e ndryshueshmërisë së një karakteristike. Në disa probleme është e nevojshme të përdoren indekset e shpërndarjes relative, një prej të cilëve është koeficienti i variacionit.

Koeficienti i variacionit- raporti i devijimit standard me mesataren aritmetike, i shprehur në përqindje:

Koeficienti i variacionit përdoret jo vetëm për një vlerësim krahasues të variacionit shenja të ndryshme ose të njëjtën karakteristikë në popullata të ndryshme, por edhe për të karakterizuar homogjenitetin e popullsisë. Një popullatë statistikore konsiderohet sasiorisht homogjene nëse koeficienti i variacionit nuk kalon 33% (për shpërndarjet afër shpërndarjes normale).

Shembull. Për kushtet e dënimit me burgim të 50 të dënuarve të dorëzuar në vuajtje të dënimit të vendosur nga gjykata në një institucion korrektues të sistemit penal disponohen këto të dhëna: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2. , 5, 6, 4, 3, 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1, 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Ndërtoni një sërë shpërndarjesh sipas kushteve të burgimit.

2. Gjeni mesataren, variancën dhe devijimin standard.

3. Njehsoni koeficientin e variacionit dhe nxirrni një përfundim për homogjenitetin ose heterogjenitetin e popullsisë që studiohet.

Zgjidhje. Për të ndërtuar një seri diskrete të shpërndarjes, është e nevojshme të përcaktohen opsionet dhe frekuencat. Opsioni në këtë problem është afati i burgimit, dhe shpeshtësia është numri i opsioneve individuale. Pasi kemi llogaritur frekuencat, marrim seritë e mëposhtme diskrete të shpërndarjes:

Le të gjejmë mesataren dhe variancën. Meqenëse të dhënat statistikore përfaqësohen nga një seri variacionesh diskrete, ne do të përdorim formulat për mesataren aritmetike të ponderuar dhe dispersionin për t'i llogaritur ato. Ne marrim:

= = 4,1;

= 5,21.

Tani ne llogarisim devijimin standard:

Gjetja e koeficientit të variacionit:

Për rrjedhojë, popullsia statistikore është heterogjene në aspektin sasior.

Vlera mesatare është një tregues i përgjithshëm që karakterizon nivelin tipik të një dukurie. Ai shpreh vlerën e një karakteristike për njësi të popullsisë.

Vlera mesatare është:

1) vlera më tipike e atributit për popullatën;

2) vëllimi i atributit të popullsisë, i shpërndarë në mënyrë të barabartë midis njësive të popullsisë.

Karakteristika për të cilën llogaritet vlera mesatare quhet "mesatare" në statistika.

Mesatarja gjithmonë përgjithëson variacionin sasior të një tipari, d.m.th. në vlera mesatare eliminohen diferencat individuale ndërmjet njësive në popullatë për shkak të rrethanave të rastësishme. Në ndryshim nga mesatarja, vlera absolute që karakterizon nivelin e një karakteristike të një njësie individuale të një popullsie nuk lejon që të krahasohen vlerat e një karakteristike midis njësive që i përkasin popullsive të ndryshme. Pra, nëse duhet të krahasoni nivelet e shpërblimit të punëtorëve në dy ndërmarrje, atëherë nuk mund të krahasoni dy punonjës të ndërmarrjeve të ndryshme mbi këtë bazë. Kompensimi i punëtorëve të përzgjedhur për krahasim mund të mos jetë tipik për këto ndërmarrje. Nëse krahasojmë madhësinë e fondeve të pagave në ndërmarrjet në shqyrtim, numri i punonjësve nuk merret parasysh dhe, për rrjedhojë, është e pamundur të përcaktohet se ku niveli i pagave është më i lartë. Në fund të fundit, mund të krahasohen vetëm treguesit mesatarë, d.m.th. Sa fiton mesatarisht një punonjës në çdo ndërmarrje? Kështu, lind nevoja për të llogaritur vlerën mesatare si një karakteristikë përgjithësuese e popullsisë.

Është e rëndësishme të theksohet se gjatë procesit të mesatares, vlera totale e niveleve të atributeve ose vlera e saj përfundimtare (në rastin e llogaritjes së niveleve mesatare në një seri dinamike) duhet të mbetet e pandryshuar. Me fjalë të tjera, gjatë llogaritjes së vlerës mesatare, vëllimi i karakteristikës në studim nuk duhet të shtrembërohet dhe shprehjet e përpiluara gjatë llogaritjes së mesatares duhet domosdoshmërisht të kenë kuptim.

Llogaritja e mesatares është një nga teknikat e zakonshme të përgjithësimit; mesatare mohon atë që është e zakonshme (tipike) për të gjitha njësitë e popullsisë që studiohet, ndërsa në të njëjtën kohë injoron dallimet e njësive individuale. Në çdo fenomen dhe zhvillimin e tij ka një kombinim të rastësisë dhe domosdoshmërisë. Gjatë llogaritjes së mesatareve, në bazë të ligjit numra të mëdhenj aksidentet janë të anuluara, të balancuara, kështu që është e mundur të abstragohen nga tiparet e parëndësishme të fenomenit, nga vlerat sasiore të atributit në çdo rast specifik. Aftësia për të abstraguar nga rastësia e vlerave dhe luhatjeve individuale qëndron në vlerën shkencore të mesatareve si karakteristika përgjithësuese të agregateve.

Në mënyrë që mesatarja të jetë realisht përfaqësuese, ajo duhet të llogaritet duke marrë parasysh disa parime.

Le të shohim disa parimet e përgjithshme aplikimi i vlerave mesatare.

1. Mesatarja duhet të përcaktohet për popullatat që përbëhen nga njësi cilësore homogjene.

2. Mesatarja duhet të llogaritet për një popullsi që përbëhet nga mjaftueshëm numer i madh njësi.

3. Mesatarja duhet të llogaritet për një popullsi, njësitë e së cilës janë në gjendje normale, natyrore.

4. Mesatarja duhet të llogaritet duke marrë parasysh përmbajtjen ekonomike të treguesit në studim.

5.2. Llojet e mesatareve dhe metodat e llogaritjes së tyre

Le të shqyrtojmë tani llojet e vlerave mesatare, tiparet e llogaritjes së tyre dhe fushat e aplikimit. Vlerat mesatare ndahen në dy klasa të mëdha: mesataret e fuqisë, mesataret strukturore.

Mjetet e fuqisë përfshijnë llojet më të njohura dhe më të përdorura, të tilla si mesatarja gjeometrike, mesatarja aritmetike dhe mesatarja katrore.

Modaliteti dhe mesatarja konsiderohen si mesatare strukturore.

Le të përqendrohemi në mesataret e fuqisë. Mesatarja e fuqisë, në varësi të paraqitjes së të dhënave burimore, mund të jetë e thjeshtë ose e peshuar. Mesatarja e thjeshtë Ai llogaritet në bazë të të dhënave të pagrupuara dhe ka formën e përgjithshme të mëposhtme:

,

ku X i është varianti (vlera) e karakteristikës që mesatarizohet;

n – opsioni i numrit.

Mesatarja e ponderuar llogaritet në bazë të të dhënave të grupuara dhe ka një pamje të përgjithshme

,

ku X i është varianti (vlera) e karakteristikës që mesatarizohet ose vlera e mesme e intervalit në të cilin matet varianti;

m – indeksi mesatar i shkallës;

f i – frekuenca që tregon sa herë ndodh i-e vlera karakteristikë mesatare.

Nëse llogaritni të gjitha llojet e mesatareve për të njëjtat të dhëna fillestare, atëherë vlerat e tyre do të rezultojnë të jenë të ndryshme. Rregulli i shumicës së mesatareve zbatohet këtu: me rritjen e eksponentit m, rritet edhe vlera mesatare përkatëse:

Në praktikën statistikore, mesataret aritmetike dhe mesataret e ponderuara harmonike përdoren më shpesh se llojet e tjera të mesatareve të ponderuara.

Llojet e mjeteve të fuqisë

Një lloj pushteti mesatare	Indeksi shkallë (m)	Formula e llogaritjes
		E thjeshtë	I peshuar
Harmonike
Gjeometrike
Aritmetika
kuadratike
Kubik

Mesatarja harmonike ka një strukturë më komplekse sesa mesatarja aritmetike. Mesatarja harmonike përdoret për llogaritjet kur si pesha nuk përdoren njësitë e popullsisë - bartësit e karakteristikës, por produkti i këtyre njësive me vlerat e karakteristikës (d.m.th. m = Xf). E thjeshta harmonike mesatare duhet të përdoret në rastet e përcaktimit, për shembull, kostos mesatare të punës, kohës, materialeve për njësi prodhimi, për një pjesë për dy (tre, katër, etj.) ndërmarrje, punëtorë të angazhuar në prodhim. i të njëjtit lloj produkti, e njëjta pjesë, produkt.

Kërkesa kryesore për formulën për llogaritjen e vlerës mesatare është që të gjitha fazat e llogaritjes të kenë një justifikim real domethënës; vlera mesatare që rezulton duhet të zëvendësojë vlerat individuale të atributit për secilin objekt pa ndërprerë lidhjen midis treguesve individualë dhe përmbledhës. Me fjalë të tjera, vlera mesatare duhet të llogaritet në atë mënyrë që kur çdo vlerë individuale e treguesit mesatar të zëvendësohet me vlerën e tij mesatare, një tregues përmbledhës përfundimtar, i lidhur në një mënyrë ose në një tjetër me treguesin mesatar, të mbetet i pandryshuar. Ky total quhet duke përcaktuar pasi natyra e marrëdhënies së saj me vlerat individuale përcakton formulën specifike për llogaritjen e vlerës mesatare. Le ta demonstrojmë këtë rregull duke përdorur shembullin e mesatares gjeometrike.

Formula mesatare gjeometrike

përdoret më shpesh gjatë llogaritjes së vlerës mesatare bazuar në dinamikën relative individuale.

Mesatarja gjeometrike përdoret nëse jepet një sekuencë e dinamikës relative të zinxhirit, që tregon, për shembull, një rritje të vëllimit të prodhimit në krahasim me nivelin e një viti më parë: i 1, i 2, i 3,…, i n. Është e qartë se vëllimi i prodhimit në vitin e kaluar përcaktohet nga niveli i tij fillestar (q 0) dhe rritja pasuese me kalimin e viteve:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×…×i n .

Duke marrë q n si tregues përcaktues dhe duke zëvendësuar vlerat individuale të treguesve të dinamikës me ato mesatare, arrijmë në relacionin

Nga këtu

Një lloj i veçantë i mesatareve - mesataret strukturore - përdoret për të studiuar strukturën e brendshme seritë e shpërndarjes së vlerave të atributeve, si dhe për vlerësimin e vlerës mesatare (lloji i fuqisë), nëse llogaritja e saj nuk mund të kryhet sipas të dhënave statistikore të disponueshme (për shembull, nëse në shembullin e konsideruar nuk kishte të dhëna për të dy vëllimin të prodhimit dhe sasisë së kostove për grupet e ndërmarrjeve) .

Më shpesh, treguesit përdoren si mesatare strukturore modë - vlera më e përsëritur e atributit – dhe mesatare - vlera e një karakteristike që ndan sekuencën e renditur të vlerave të saj në dy pjesë të barabarta. Si rezultat, për gjysmën e njësive në popullatë, vlera e atributit nuk e kalon nivelin mesatar, dhe për gjysmën tjetër nuk është më pak se ai.

Nëse karakteristika që studiohet ka vlera diskrete, atëherë nuk ka vështirësi të veçanta në llogaritjen e modës dhe mesatares. Nëse të dhënat për vlerat e atributit X paraqiten në formën e intervaleve të renditura të ndryshimit të tij (seritë e intervalit), llogaritja e modalitetit dhe mesatares bëhet disi më e ndërlikuar. Meqenëse vlera mesatare e ndan të gjithë popullsinë në dy pjesë të barabarta, ajo përfundon në një nga intervalet e karakteristikës X. Duke përdorur interpolimin, vlera e mesatares gjendet në këtë interval mesatar:

,

ku X Me është kufiri i poshtëm i intervalit mesatar;

h Me – vlera e tij;

(Shuma m)/2 – gjysma e numri total vrojtimet ose gjysma e vëllimit të treguesit që përdoret si peshim në formulat për llogaritjen e vlerës mesatare (në terma absolutë ose relativë);

S Me-1 – shuma e vëzhgimeve (ose vëllimi i atributit të peshimit) të grumbulluar përpara fillimit të intervalit mesatar;

m Me – numri i vëzhgimeve ose vëllimi i karakteristikës së peshimit në intervalin mesatar (gjithashtu në terma absolute ose relative).

Gjatë llogaritjes kuptimi modal karakteristike sipas të dhënave të një serie intervali, është e nevojshme t'i kushtohet vëmendje faktit që intervalet janë identike, pasi treguesi i përsëritshmërisë së vlerave të karakteristikës X varet nga kjo për një seri intervali me intervale të barabarta. madhësia e mënyrës përcaktohet si

,

ku X Mo është vlera më e ulët e intervalit modal;

m Mo – numri i vëzhgimeve ose vëllimi i karakteristikës së peshimit në intervalin modal (në terma absolutë ose relativë);

m Mo-1 - e njëjta gjë për intervalin që i paraprin atij modal;

m Mo+1 – e njëjta gjë për intervalin pas atij modal;

h – vlera e intervalit të ndryshimit të karakteristikës në grupe.

DETYRA 1

Të dhënat e mëposhtme janë të disponueshme për grupin e ndërmarrjeve industriale për vitin raportues

№ ndërmarrjeve	Vëllimi i produktit, milion rubla.		Numri mesatar i punonjësve, njerëzve.	Fitimi, mijëra rubla
	197,7	10,0		13,5
		22,8	1500	136,2
	465,5	18,4	1412	97,6
	296,2	12,6	1200	44,4
	584,1	22,0	1485	146,0
	480,0	119,0	1420	110,4
	57805	21,6	1390	138,7
	204,7			30,6
	466,8	19,4	1375	111,8
	292,2	113,6	1200	49,6
	423,1	17,6	1365	105,8
	192,6			30,7
	360,5	14,0	1290	64,8
	280,3	10,2		33,3

Kërkohet grupimi i ndërmarrjeve për shkëmbimin e produkteve, duke marrë intervalet e mëposhtme:

deri në 200 milion rubla


nga 200 në 400 milion rubla.


1. nga 400 në 600 milion rubla.
   

   Për secilin grup dhe për të gjithë së bashku, përcaktoni numrin e ndërmarrjeve, vëllimin e prodhimit, numrin mesatar të punonjësve, produktin mesatar për punonjës. Paraqisni rezultatet e grupimit në formën e një tabele statistikore. Formuloni një përfundim.
   

   ZGJIDHJE
   

   Ne do të grupojmë ndërmarrjet sipas shkëmbimit të produkteve, do të llogarisim numrin e ndërmarrjeve, vëllimin e prodhimit dhe numrin mesatar të punonjësve duke përdorur formulën e thjeshtë mesatare. Rezultatet e grupimit dhe llogaritjeve janë përmbledhur në një tabelë.
   

   Grupet sipas vëllimit të produktit	№ ndërmarrjeve	Vëllimi i produktit, milion rubla.	Kostoja mesatare vjetore e aktiveve fikse, milion rubla.	Gjumi mesatar numër i lëngshëm i punonjësve, njerëzve.	Fitimi, mijëra rubla	Prodhimi mesatar për punonjës
   1 grup deri në 200 milion rubla	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
   			28,2	2567	74,8	0,23
   Niveli mesatar		198,3			24,9
   Grupi i 2-të nga 200 në 400 milion rubla.	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
   		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
   Niveli mesatar		282,3	37,6	1530	64,0
   3 grup nga 400 në 600 milionë	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
   		3590	240,8	9974	846,5	0,36
   Niveli mesatar		512,9	34,4	1421	120,9
   Gjithsej në total		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
   Mesatarisht		379,6	59,9	1223,6	79,5

   konkluzioni. Kështu, në popullsinë në shqyrtim, numri më i madh i ndërmarrjeve për nga vëllimi i prodhimit ra në grupin e tretë - shtatë, ose gjysma e ndërmarrjeve. Në këtë grup është edhe kostoja mesatare vjetore e mjeteve fikse, si dhe numri mesatar i madh i punonjësve - 9974 persona janë ndërmarrjet e grupit të parë;
   

   DETYRA 2
   

   Të dhënat e mëposhtme janë të disponueshme për ndërmarrjet e kompanisë
   

   Numri i ndërmarrjes së përfshirë në kompani	I tremujori		tremujori II
   	Prodhimi i produktit, mijëra rubla.		Ditë njeriu të punuar nga punëtorët	Prodhimi mesatar për punëtor në ditë, fshij.
   	59390,13

Vetia më e rëndësishme e mesatares është se ajo pasqyron atë që është e përbashkët për të gjitha njësitë e popullsisë në studim. Vlerat e karakteristikave të njësive individuale të popullsisë ndryshojnë nën ndikimin e shumë faktorëve, ndër të cilët mund të ketë edhe bazë dhe të rastësishëm. Thelbi i mesatares qëndron në faktin se ai kompenson reciprokisht devijimet në vlerat e atributit, të cilat shkaktohen nga veprimi i faktorëve të rastësishëm, dhe grumbullon (merr parasysh) ndryshimet e shkaktuara nga veprimi i faktorëve kryesorë. . Kjo lejon që mesatarja të pasqyrojë nivelin tipik të tiparit dhe të abstraktojë nga karakteristikat individuale, e natyrshme në njësi individuale.

Në mënyrë që mesatarja të jetë realisht përfaqësuese, ajo duhet të llogaritet duke marrë parasysh disa parime.

Parimet bazë të përdorimit të mesatareve.

1. Mesatarja duhet të përcaktohet për popullatat që përbëhen nga njësi cilësore homogjene.

2. Mesatarja duhet të llogaritet për një popullsi të përbërë nga një numër mjaftueshëm i madh njësish.

3. Mesatarja duhet të llogaritet për popullsinë në kushte stacionare (kur faktorët ndikues nuk ndryshojnë ose nuk ndryshojnë ndjeshëm).

4. Mesatarja duhet të llogaritet duke marrë parasysh përmbajtjen ekonomike të treguesit në studim.

Llogaritja e treguesve më specifikë statistikorë bazohet në përdorimin e:

· agregat mesatar;

· fuqia mesatare (harmonike, gjeometrike, aritmetike, kuadratike, kubike);

· mesatare kronologjike (shih seksionin).

Të gjitha mesataret, me përjashtim të mesatares totale, mund të llogariten në dy mënyra - si të ponderuara ose të paponderuara.

Agregat mesatar. Formula e përdorur është:

Ku w i= x i* f i;

x i- opsioni i-të mesatarja e karakteristikave;

f i, - peshë i- opsioni.

Fuqi mesatare. NË pamje e përgjithshme formula për llogaritjen:

ku është diploma k- Lloji i fuqisë mesatare.

Vlerat e mesatareve të llogaritura në bazë të mesatareve të fuqisë për të njëjtat të dhëna fillestare nuk janë të njëjta. Me rritjen e eksponentit k, rritet edhe vlera mesatare përkatëse:

Mesatare kronologjike. Për një seri kohore momentale me intervale të barabarta ndërmjet datave, ajo llogaritet duke përdorur formulën:

,

Ku x 1 Dhe Xn vlera e treguesit në datën e fillimit dhe të përfundimit.

Formulat për llogaritjen e mesatareve të fuqisë

Shembull. Sipas tabelës. 2.1 kërkon llogaritjen e pagës mesatare për të tre ndërmarrjet në tërësi.

Tabela 2.1

Pagat e ndërmarrjeve SHA

Kompania	Numri i industrial prodhimitpersoneli (PPP), pers.	Fondi mujor pagat, fshij.	Mesatare pagë, fshij.
		564840	2092
		332750	2750
		517540	2260
Total		1415130

Formula specifike e llogaritjes varet nga të dhënat në tabelë. 7 janë ato origjinale. Prandaj, opsionet e mëposhtme janë të mundshme: të dhënat nga kolonat 1 (numri i punonjësve) dhe 2 (lista e pagave mujore); ose - 1 (numri i PPP) dhe 3 (paga mesatare); ose 2 (lista e pagave mujore) dhe 3 (paga mesatare).

Nëse janë të disponueshme vetëm të dhënat e kolonave 1 dhe 2. Rezultatet e këtyre kolonave përmbajnë vlerat e nevojshme për llogaritjen e mesatares së dëshiruar. Përdoret formula mesatare e agregatit:

Nëse janë të disponueshme vetëm të dhënat e kolonave 1 dhe 3, atëherë dihet emëruesi i raportit origjinal, por nuk dihet numëruesi i tij. Megjithatë, fondi i pagave mund të merret duke shumëzuar pagën mesatare me numrin e personelit mësimor. Prandaj, mesatarja e përgjithshme mund të llogaritet duke përdorur formulën mesatare aritmetike e ponderuar:

Duhet pasur parasysh se pesha ( f i) në disa raste mund të jetë prodhim i dy ose edhe tre vlerave.

Përveç kësaj, mesatarja përdoret edhe në praktikën statistikore. aritmetike e papeshuar:

ku n është vëllimi i popullsisë.

Kjo mesatare përdoret kur peshat ( f i) mungojnë (çdo variant i karakteristikës ndodh vetëm një herë) ose janë të barabartë me njëri-tjetrin.

Nëse ka vetëm të dhëna nga kolonat 2 dhe 3., pra numëruesi i raportit origjinal është i njohur, por emëruesi i tij nuk dihet. Numri i punonjësve të çdo ndërmarrje mund të merret duke pjesëtuar listën e pagave me pagën mesatare. Më pas, paga mesatare për të tre ndërmarrjet në tërësi llogaritet duke përdorur formulën mesatare harmonike e ponderuar:

Nëse peshat janë të barabarta ( f i) llogaritja e mesatares mund të bëhet nga mesatare harmonike e papeshuar:

Në shembullin tonë kemi përdorur forma të ndryshme mesatare, por mori të njëjtën përgjigje. Kjo për faktin se për të dhëna specifike çdo herë është zbatuar i njëjti raport fillestar i mesatares.

Treguesit mesatarë mund të llogariten duke përdorur seritë e variacioneve diskrete dhe intervale. Në këtë rast, llogaritja bëhet duke përdorur mesataren aritmetike të ponderuar. Për një seri diskrete, kjo formulë përdoret në të njëjtën mënyrë si në shembullin e mësipërm. Në serinë e intervalit, pikat e mesit të intervaleve përcaktohen për llogaritje.

Shembull. Sipas tabelës. 2.2 ne përcaktojmë shumën e të ardhurave monetare mesatare për frymë në muaj në një rajon të kushtëzuar.

Tabela 2.2

Të dhënat fillestare (seritë e variacioneve)

Të ardhurat mesatare për frymë në para në muaj, x, rubla.	Popullsia, % e totalit/
Deri në 400	30,2
400 — 600	24,4
600 — 800	16,7
800 — 1000	10,5
1000-1200	6,5
1200 — 1600	6,7
1600 — 2000	2,7
2000 e lart	2,3
Total	100