Numerické charakteristiky náhodných premenných.

Móda- hodnota v súbore pozorovaní, ktorá sa vyskytuje najčastejšie

Mo = X Mo + h Mo * (f Mo - f Mo-1): ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo-1)),

tu X Mo je ľavá hranica modálneho intervalu, h Mo je dĺžka modálneho intervalu, f Mo-1 je frekvencia premodálneho intervalu, f Mo je frekvencia modálneho intervalu, f Mo+1 je frekvencia postmodálneho intervalu.

Režim absolútne spojitého rozdelenia je ľubovoľný bod lokálneho maxima hustoty rozloženia. Pre diskrétne distribúcie za mod sa považuje každá hodnota a i, ktorej pravdepodobnosť p i je väčšia ako pravdepodobnosti susedných hodnôt

Medián spojitá náhodná premenná X volá sa jej hodnota Me, pre ktorú je rovnako pravdepodobné, že náhodná premenná bude menšia alebo väčšia Meh, t.j.

Me = (n+l)/2 P(X < Ja) = P(X > Meh)

Rovnomerne distribuovaný NSV

Rovnomerné rozdelenie. Spojitá náhodná veličina sa nazýva rovnomerne rozložená na segmente (), ak jej funkcia hustoty rozdelenia (obr. 1.6, A) má tvar:

Označenie: – SV je rozložené rovnomerne po .

Podľa toho distribučná funkcia na segmente (obr. 1.6, b):

Ryža. 1.6. Funkcie náhodnej premennej rovnomerne rozložené na [ a,b]: A– hustoty pravdepodobnosti f(X); b– distribúcie F(X)

Matematické očakávanie a rozptyl daného SV sú určené výrazmi:

Vďaka symetrii funkcie hustoty sa zhoduje s mediánom. Režimy nemajú rovnomerné rozdelenie

Príklad 4. Čas čakania na odpoveď hovor– náhodná premenná, ktorá sa riadi zákonom rovnomerného rozdelenia v intervale od 0 do 2 minút. Nájdite integrál a diferenciálna funkcia rozdelenie tejto náhodnej premennej.

27.Normálny zákon rozdelenia pravdepodobnosti

Spojitá náhodná premenná x má normálne rozdelenie s parametrami: m,s > 0, ak hustota rozdelenia pravdepodobnosti má tvar:

kde: m - očakávaná hodnota, s – priemer smerodajná odchýlka.

Normálne rozdelenie sa nazýva aj Gaussovo podľa nemeckého matematika Gaussa. Skutočnosť, že náhodná premenná má normálne rozdelenie s parametrami: m, je označená nasledovne: N (m,s), kde: m=a=M[X];

Pomerne často sa vo vzorcoch matematické očakávanie označuje ako A . Ak je náhodná premenná rozdelená podľa zákona N(0,1), potom sa nazýva normalizovaná alebo štandardizovaná normálna premenná. Distribučná funkcia pre ňu má tvar:

Graf hustoty normálne rozdelenie, ktorá sa nazýva normálna krivka alebo Gaussova krivka, je znázornená na obr. 5.4.

Ryža. 5.4. Normálna hustota distribúcie

vlastnosti náhodná premenná so zákonom normálneho rozdelenia.

1. Ak , potom nájsť pravdepodobnosť, že táto hodnota spadne do daného intervalu ( x 1; x 2) používa sa vzorec:

2. Pravdepodobnosť, že odchýlka náhodnej premennej od jej matematického očakávania nepresiahne hodnotu (v absolútnej hodnote), je rovnaká.

Očakávaná hodnota. Matematické očakávanie diskrétna náhodná premenná X s konečným počtom hodnôt Xi s pravdepodobnosťami Ri, suma sa volá:

Matematické očakávanie spojitá náhodná premenná X sa nazýva integrál súčinu jeho hodnôt X na hustote rozdelenia pravdepodobnosti f(X):

(6b)

Nesprávny integrál (6 b) sa považuje za absolútne konvergentné (inak hovoria, že matematické očakávanie M(X) neexistuje). Charakterizuje matematické očakávanie priemerná hodnota náhodná premenná X. Jeho rozmer sa zhoduje s rozmerom náhodnej premennej.

Vlastnosti matematického očakávania:

Disperzia. Rozptyl náhodná premenná Xčíslo sa volá:

Rozptyl je rozptylová charakteristika hodnoty náhodných premenných X v pomere k jeho priemernej hodnote M(X). Dimenzia rozptylu sa rovná dimenzii druhej mocniny náhodnej premennej. Na základe definícií rozptylu (8) a matematického očakávania (5) pre diskrétnu náhodnú premennú a (6) pre spojitú náhodnú premennú získame podobné výrazy pre rozptyl:

(9)

Tu m = M(X).

Disperzné vlastnosti:

štandardná odchýlka:

(11)

Od rozmeru priemer štvorcová odchýlka rovnako ako pri náhodnej premennej sa častejšie používa ako miera rozptylu ako rozptylu.

Momenty distribúcie. Koncepty matematického očakávania a rozptylu sú špeciálnymi prípadmi viacerých všeobecný pojem pre číselné charakteristiky náhodné premenné – distribučné momenty. Momenty rozdelenia náhodnej premennej sú predstavené ako matematické očakávania niektorých jednoduchých funkcií náhodnej premennej. Takže moment objednávky k vzhľadom na bod X 0 sa nazýva matematické očakávanie M(X–X 0 )k. Momenty o pôvode X= 0 sa volajú počiatočné momenty a sú určené:

(12)

Počiatočný moment prvého rádu je stredom rozdelenia uvažovanej náhodnej premennej:

(13)

Momenty o centre distribúcie X= m sa volajú centrálne body a sú určené:

(14)

Z (7) vyplýva, že centrálny moment prvého rádu je vždy rovný nule:

Centrálne momenty nezávisia od pôvodu hodnôt náhodnej premennej, pretože keď sú posunuté o konštantnú hodnotu S jeho distribučné centrum sa posunie o rovnakú hodnotu S a odchýlka od stredu sa nemení: X – m = (X – S) – (m – S).
Teraz je to už zrejmé disperzia- Toto centrálny moment druhého rádu:

Asymetria. Centrálny moment tretieho rádu:

(17)

slúži na vyhodnotenie distribučné asymetrie. Ak je rozdelenie symetrické okolo bodu X= m, potom sa centrálny moment tretieho rádu bude rovnať nule (ako všetky centrálne momenty nepárnych rádov). Preto, ak je centrálny moment tretieho rádu odlišný od nuly, potom rozdelenie nemôže byť symetrické. Veľkosť asymetrie sa hodnotí pomocou bezrozmerného koeficient asymetrie:

(18)

Znamienko koeficientu asymetrie (18) označuje pravostrannú alebo ľavostrannú asymetriu (obr. 2).

Ryža. 2. Typy distribučnej asymetrie.

Prebytok. Centrálny moment štvrtého rádu:

(19)

slúži na vyhodnotenie tzv prebytok, ktorý určuje mieru strmosti (vrcholov) krivky rozdelenia v blízkosti stredu rozdelenia vo vzťahu ku krivke normálneho rozdelenia. Pretože pre normálne rozdelenie je hodnota braná ako špičatosť:

(20)

Na obr. 3 ukazuje príklady distribučných kriviek s rôzne významy prebytok. Pre normálnu distribúciu E= 0. Krivky, ktoré sú špicatejšie ako normálne, majú kladnú špičatosť, krivky s plochým vrcholom majú zápornú špičatosť.

Ryža. 3. Distribučné krivky s rôznym stupňom strmosti (kurtóza).

Momenty vyššieho rádu sa zvyčajne nepoužívajú v inžinierskych aplikáciách matematickej štatistiky.

Móda diskrétne náhodná premenná je jej najpravdepodobnejšou hodnotou. Móda nepretržitý náhodná veličina je jej hodnota, pri ktorej je hustota pravdepodobnosti maximálna (obr. 2). Ak má distribučná krivka jedno maximum, potom sa rozdelenie nazýva unimodálne. Ak má distribučná krivka viac ako jedno maximum, potom sa nazýva rozdelenie multimodálne. Niekedy existujú distribúcie, ktorých krivky majú skôr minimum ako maximum. Takéto distribúcie sú tzv antimodálne. IN všeobecný prípad modus a matematické očakávanie náhodnej premennej sa nezhodujú. V špeciálnom prípade pre modálny, t.j. majúce modus, symetrické rozdelenie a za predpokladu, že existuje matematické očakávanie, toto druhé sa zhoduje s módom a stredom symetrie rozdelenia.

Medián náhodná premenná X- toto je jeho význam Meh, pre ktoré platí rovnosť: t.j. je rovnako pravdepodobné, že náhodná premenná X bude menej alebo viac Meh. Geometricky medián je úsečka bodu, v ktorom je plocha pod distribučnou krivkou rozdelená na polovicu (obr. 2). V prípade symetrického modálneho rozdelenia sú medián, modus a matematické očakávanie rovnaké.

Okrem matematického očakávania a disperzie využíva teória pravdepodobnosti množstvo numerických charakteristík, ktoré odrážajú určité črty rozdelenia.

Definícia. Mód Mo(X) náhodnej premennej X je jej najpravdepodobnejšia hodnota(pre ktoré je pravdepodobnosť r g alebo hustota pravdepodobnosti

Ak pravdepodobnosť alebo hustota pravdepodobnosti dosiahne maximum vo viac ako jednom bode, nazýva sa rozdelenie multimodálne(obr. 3.13).

Móda mach), pri akej pravdepodobnosti R ( alebo sa nazýva hustota pravdepodobnosti (p(x) dosiahne globálne maximum s najväčšou pravdepodobnosťou význam náhodná premenná (na obr. 3.13 je to Mo(X) 2).

Definícia. Medián Ме(Х) spojitej náhodnej premennej X je jej hodnota, pre ktoré

tie. pravdepodobnosť, že náhodná premenná X bude mať hodnotu nižšiu ako je medián kožušina) alebo väčší ako on, je rovnaký a rovný 1/2. Geometricky zvislá priamka X = Kožušina), ktorý prechádza bodom s úsečkou rovnajúcou sa Kožušina), rozdeľuje plochu čísla jódu distribučnej krivky na dve rovnaké časti (obr. 3.14). Samozrejme, v bode X = kožušina) distribučná funkcia sa rovná 1/2, t.j. P(Ja(X))= 1/2 (obr. 3.15).

Poznámka dôležitý majetok medián náhodnej premennej: matematické očakávanie absolútnej hodnoty odchýlky náhodnej veličiny X od konštantnej hodnoty C je vtedy minimálne, keď sa táto konštanta C rovná mediánu Me(X) = m, t.j.

(vlastnosť je podobná vlastnosti (3,10") minimálneho štvorca odchýlky náhodnej premennej od jej matematického očakávania).

O Príklad 3.15. Nájdite režim, medián a matematické očakávanie náhodnej premennej X s hustota pravdepodobnosti f(x) = 3x 2 pre xx.

Riešenie. Distribučná krivka je znázornená na obr. 3.16. Je zrejmé, že hustota pravdepodobnosti φ(x) je maximálna pri X= Mo(X) = 1.

Medián kožušina) = b z podmienky (3.28) zistíme:

kde

Vypočítajme matematické očakávanie pomocou vzorca (3.25):

Vzájomné usporiadanie bodov M(X)>Ja(X) A Moss) vo vzostupnom poradí na úsečke je znázornené na obr. 3.16. ?

Spolu s numerickými charakteristikami uvedenými vyššie sa na opis náhodnej premennej používa koncept kvantilov a percentuálnych bodov.

Definícia. Kvantilná úroveň y-kvantil )

táto hodnota x q náhodnej premennej sa nazýva , pri ktorej jeho distribučná funkcia nadobúda hodnotu rovnú d, t.j.

Niektoré kvantily dostali špeciálny názov. Je zrejmé, že vyššie uvedené zavedené medián náhodná premenná je kvantil úrovne 0,5, t.j. Me(X) = x 05. Boli pomenované kvantily dg 0 2 5 a x 075 nižšie A horný kvartilK

S pojmom kvantil úzko súvisí pojem percentuálny bod. Pod YuOuHo-noy bod kvantil je implikovaný x x (( , tie. je hodnota náhodnej premennej X, na ktorom

0 Príklad 3.16. Na základe údajov v príklade 3.15 nájdite kvantil x 03 a 30 % bod náhodnej premennej X.

Riešenie. Podľa vzorca (3.23) distribučná funkcia

Kvantil 0 s nájdeme z rovnice (3.29), t.j. x $ 3 =0,3, odkiaľ L "oz -0,67. Nájdime 30% bod náhodnej premennej X, alebo kvantil x 0 7, z rov. x $ 7 = 0,7, odkiaľ x 0 7 «0,89. ?

Medzi číselné charakteristiky náhodnej premennej zvláštny význam majú momenty - počiatočné a centrálne.

Definícia. Počiatočný momentK-tý rád náhodnej premennej X sa nazýva matematické očakávanie stupeň túto hodnotu :

Definícia. Centrálny momentk-tý rád náhodnej premennej X je matematické očakávanie k-tého stupňa odchýlky náhodnej premennej X od jej matematického očakávania.:

Vzorce na výpočet momentov pre diskrétne náhodné premenné (nadobudnutie hodnôt x 1 s pravdepodobnosťami p,) a spojité (s hustotou pravdepodobnosti cp(x)) sú uvedené v tabuľke. 3.1.

Tabuľka 3.1

Je ľahké si všimnúť, že kedy k = 1 prvý počiatočný moment náhodnej premennej X je jeho matematické očakávanie, t.j. h x = M[X) = a, pri Komu= 2 sekundy centrálny moment - disperzia, t.j. p 2 = T)(X).

Centrálne momenty p A možno vyjadriť pomocou počiatočných momentov, ale pomocou vzorcov:

atď.

Napríklad c 3 = M(X-a)* = M(X*-ZaX2 +Za2 X-a->) = M(X*)~ -ZaM(X2)+Za2 M(X)~ a3 = y 3 -Зу^ + Зу(у, -у^ = y 3 - Зу^ + 2у^ (pri odvodzovaní sme brali do úvahy, že A = M(X)= V, je nenáhodná hodnota). ?

Vyššie bolo uvedené, že matematické očakávanie M(X), alebo prvý počiatočný moment, charakterizuje priemernú hodnotu alebo polohu, stred distribúcie náhodnej premennej X na číselnej osi; disperzia och), alebo druhý centrálny moment p 2, - s t s - rozdeľovací disperzný pahýľ X pomerne M(X). Pre viac Detailný popis distribúcie slúžia ako momenty vyšších rádov.

Tretí centrálny bod p 3 slúži na charakterizáciu asymetrie (šikmosti) rozloženia. Má rozmer náhodnej kocky. Na získanie bezrozmernej veličiny sa delí o 3, kde a je smerodajná odchýlka náhodnej veličiny X. Výsledná hodnota A volal koeficient asymetrie náhodnej veličiny.

Ak je rozdelenie symetrické vzhľadom na matematické očakávanie, potom koeficient asymetrie A = 0.

Na obr. Obrázok 3.17 ukazuje dve distribučné krivky: I a II. Krivka I má pozitívnu (pravostrannú) asymetriu (L > 0) a krivka II má negatívnu (ľavostrannú) asymetriu (L

Štvrtý centrálny bod p 4 slúži na charakterizáciu strmosti (ostrosti alebo rovinnosti) rozloženia.

Z číselných charakteristík náhodných veličín si treba v prvom rade všimnúť tie, ktoré charakterizujú polohu náhodnej veličiny na číselnej osi, t.j. označujú nejakú priemernú, približnú hodnotu, okolo ktorej sú zoskupené všetky možné hodnoty náhodnej premennej.

Priemerná hodnota náhodnej premennej je určité číslo, ktoré je akoby jej „reprezentantom“ a nahrádza ho v zhruba približných výpočtoch. Keď hovoríme: „priemerná doba prevádzky lampy je 100 hodín“ alebo „priemerný bod dopadu je posunutý vzhľadom na cieľ o 2 m doprava“, označujeme tým určitú číselnú charakteristiku náhodnej premennej, ktorá opisuje jej polohu. na číselnej osi, t.j. „charakteristiky polohy“.

Z charakteristík pozície v teórii pravdepodobnosti zohráva najdôležitejšiu úlohu matematické očakávanie náhodnej premennej, ktorá sa niekedy nazýva jednoducho priemerná hodnota náhodnej premennej.

Uvažujme diskrétnu náhodnú premennú s možnými hodnotami s pravdepodobnosťou. Musíme nejakým číslom charakterizovať polohu hodnôt náhodnej premennej na osi x, berúc do úvahy skutočnosť, že tieto hodnoty majú rôzne pravdepodobnosti. Na tento účel je prirodzené používať takzvaný „vážený priemer“ hodnôt a každá hodnota by sa mala pri priemerovaní brať do úvahy s „váhou“ úmernou pravdepodobnosti tejto hodnoty. Vypočítame teda priemer náhodnej premennej, ktorý označíme:

alebo vzhľadom na to,

. (5.6.1)

Tento vážený priemer sa nazýva matematické očakávanie náhodnej premennej. Uviedli sme teda do úvahy jeden z najdôležitejších konceptov teórie pravdepodobnosti – koncept matematického očakávania.

Matematické očakávanie náhodnej premennej je súčet súčinov všetkých možných hodnôt náhodnej premennej a pravdepodobnosti týchto hodnôt.

Všimnite si, že vo vyššie uvedenej formulácii platí definícia matematického očakávania, prísne vzaté, len pre diskrétne náhodné premenné; Nižšie tento pojem zovšeobecníme na prípad spojitých veličín.

Aby bol koncept matematického očakávania jasnejší, obráťme sa na mechanickú interpretáciu rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej. Nech sú body s úsečkami na osi súradníc, v ktorých sú sústredené hmoty a . Potom je zrejmé, že matematické očakávanie definované vzorcom (5.6.1) nie je nič iné ako os osi ťažiska daného systému hmotných bodov.

Matematické očakávanie náhodnej premennej je spojené so zvláštnou závislosťou s aritmetickým priemerom pozorovaných hodnôt náhodnej premennej pri veľké číslo experimenty. Táto závislosť je rovnakého typu ako závislosť medzi frekvenciou a pravdepodobnosťou, a to: pri veľkom počte experimentov sa aritmetický priemer pozorovaných hodnôt náhodnej premennej približuje (pravdepodobne konverguje) k jej matematickému očakávaniu. Z prítomnosti spojenia medzi frekvenciou a pravdepodobnosťou možno v dôsledku toho odvodiť prítomnosť podobného spojenia medzi aritmetickým priemerom a matematickým očakávaním.

Uvažujme skutočne diskrétnu náhodnú premennú charakterizovanú distribučným radom:

Kde .

Nech sa uskutočnia nezávislé experimenty, v ktorých má množstvo určitú hodnotu. Predpokladajme, že hodnota sa objavila raz, hodnota sa objavila raz a hodnota sa objavila raz. samozrejme,

Vypočítajme aritmetický priemer pozorovaných hodnôt veličiny, ktorý na rozdiel od matematického očakávania označujeme:

Ale neexistuje nič viac ako frekvencia (alebo štatistická pravdepodobnosť) udalosti; táto frekvencia môže byť určená. Potom

,

tie. aritmetický priemer pozorovaných hodnôt náhodnej premennej sa rovná súčtu súčinov všetkých možných hodnôt náhodnej premennej a frekvencií týchto hodnôt.

Ako sa počet experimentov zvyšuje, frekvencie sa budú približovať (pravdepodobne sa zbližujú) k zodpovedajúcim pravdepodobnostiam. V dôsledku toho sa aritmetický priemer pozorovaných hodnôt náhodnej premennej bude pri narastajúcom počte experimentov približovať (pravdepodobne konvergovať) k svojmu matematickému očakávaniu.

Vyššie formulovaná súvislosť medzi aritmetickým priemerom a matematickým očakávaním tvorí obsah jednej z foriem zákona veľké čísla. Dôkladný dôkaz tohto zákona poskytneme v kapitole 13.

Už vieme, že všetky formy zákona veľkých čísel uvádzajú skutočnosť, že niektoré priemery sú stabilné počas veľkého počtu experimentov. Tu hovoríme o na stabilite aritmetického priemeru zo série pozorovaní tej istej veličiny. Pri malom počte experimentov je aritmetický priemer ich výsledkov náhodný; s dostatočným nárastom počtu experimentov sa stáva „takmer nenáhodným“ a stabilizujúc sa približuje konštantnej hodnote - matematickému očakávaniu.

Stabilitu priemerov vo veľkom počte experimentov možno ľahko overiť experimentálne. Napríklad váženie tela v laboratóriu pri presné váhy, ako výsledok váženia dostaneme zakaždým novú hodnotu; Aby sme znížili chybu pozorovania, teleso niekoľkokrát odvážime a použijeme aritmetický priemer získaných hodnôt. Je ľahké vidieť, že s ďalším zvyšovaním počtu experimentov (vážení) aritmetický priemer na tento nárast reaguje čoraz menej a pri dostatočne veľkom počte experimentov sa prakticky prestáva meniť.

Vzorec (5.6.1) pre matematické očakávanie zodpovedá prípadu diskrétnej náhodnej premennej. Pre spojitú veličinu je matematické očakávanie prirodzene vyjadrené nie ako súčet, ale ako integrál:

, (5.6.2)

kde je hustota rozloženia množstva .

Vzorec (5.6.2) sa získa zo vzorca (5.6.1), ak sú jednotlivé hodnoty v ňom nahradené plynule sa meniacim parametrom x, zodpovedajúce pravdepodobnosti - prvkom pravdepodobnosti a konečný súčet - integrálom. V budúcnosti budeme často využívať tento spôsob rozšírenia vzorcov odvodených pre nespojité veličiny na prípad spojitých veličín.

V mechanickej interpretácii si matematické očakávanie spojitej náhodnej premennej zachováva rovnaký význam - úsečka ťažiska v prípade, keď je hmota rozložená pozdĺž úsečky súvisle, s hustotou . Táto interpretácia často umožňuje nájsť matematické očakávanie bez výpočtu integrálu (5.6.2) z jednoduchých mechanických úvah.

Vyššie sme zaviedli zápis pre matematické očakávanie množstva. V mnohých prípadoch, keď je množstvo zahrnuté vo vzorcoch ako špecifické číslo, je vhodnejšie ho označiť jedným písmenom. V týchto prípadoch označíme matematické očakávanie hodnoty:

Zápis a pre matematické očakávania sa budú v budúcnosti používať paralelne, v závislosti od vhodnosti konkrétneho záznamu vzorcov. Dohodnime sa tiež, že v prípade potreby slová „matematické očakávanie“ skracujeme písmenami m.o.

Treba poznamenať, že najdôležitejšia charakteristika pozície – matematické očakávanie – neexistuje pre všetky náhodné premenné. Je možné zostaviť príklady takých náhodných premenných, pre ktoré neexistuje matematické očakávanie, pretože príslušný súčet alebo integrál sa líšia.

Zoberme si napríklad nespojitú náhodnú premennú s distribučným radom:

Je ľahké overiť, že t.j. distribučná séria má zmysel; súčet sa však v tomto prípade rozchádza, a preto neexistuje žiadne matematické očakávanie hodnoty. Pre prax však takéto prípady nie sú veľmi zaujímavé. Náhodné premenné, s ktorými sa zaoberáme, majú zvyčajne obmedzený rozsah možných hodnôt a, samozrejme, majú matematické očakávania.

Vyššie sme uviedli vzorce (5.6.1) a (5.6.2), ktoré vyjadrujú matematické očakávanie pre nespojitú a spojitú náhodnú premennú.

Ak množstvo patrí k množstvám zmiešaný typ, potom je jeho matematické očakávanie vyjadrené vzorcom v tvare:

, (5.6.3)

kde súčet siaha do všetkých bodov, v ktorých je distribučná funkcia nespojitá, a integrál sa rozširuje na všetky oblasti, v ktorých je distribučná funkcia spojitá.

Okrem najdôležitejších charakteristík pozície – matematického očakávania – sa v praxi niekedy používajú aj iné charakteristiky pozície, najmä modus a medián náhodnej premennej.

Mód náhodnej premennej je jej najpravdepodobnejšou hodnotou. Výraz „najpravdepodobnejšia hodnota“ sa striktne vzťahuje len na nespojité množstvá; pre spojitú veličinu je mod hodnota, pri ktorej je hustota pravdepodobnosti maximálna. Dohodneme sa, že režim budeme označovať písmenom . Na obr. 5.6.1 a 5.6.2 znázorňujú režim pre nespojité a spojité náhodné veličiny.

Ak má distribučný polygón (krivka rozdelenia) viac ako jedno maximum, rozdelenie sa nazýva „multimodálne“ (obr. 5.6.3 a 5.6.4).

Niekedy existujú distribúcie, ktoré majú v strede skôr minimum ako maximum (obr. 5.6.5 a 5.6.6). Takéto distribúcie sa nazývajú „antimodálne“. Príkladom antimodálnej distribúcie je distribúcia získaná v príklade 5, č. 5.1.

Vo všeobecnom prípade sa režim a matematické očakávanie náhodnej premennej nezhodujú. V konkrétnom prípade, keď je rozdelenie symetrické a modálne (t. j. má mód) a existuje matematické očakávanie, potom sa zhoduje s módom a stredom symetrie rozdelenia.

Často sa používa aj iná charakteristika polohy – takzvaný medián náhodnej premennej. Táto charakteristika sa zvyčajne používa iba pre spojité náhodné premenné, aj keď môže byť formálne definovaná pre nespojitú premennú.

Medián náhodnej premennej je jej hodnota, pre ktorú

tie. je rovnako pravdepodobné, že náhodná premenná bude menšia alebo väčšia ako . Geometricky je medián úsečkou bodu, v ktorom je plocha ohraničená distribučnou krivkou rozdelená na polovicu (obr. 5.6.7).