הזווית בין קווים מצטלבים: הגדרה, דוגמאות למציאת. הבעיות הפשוטות ביותר עם קו ישר במטוס

אוי-אוי-אוי-אוי... ובכן, זה פח, כאילו קראת לעצמך את המשפט =) עם זאת, אז הרפיה תעזור, במיוחד שקניתי היום אביזרים מתאימים. לכן, בואו נמשיך לחלק הראשון, אני מקווה, עד סוף המאמר אשמור על מצב רוח עליז.

סידור הדדי של שני קווים ישרים

המקרה שבו האולם שר יחד במקהלה. שני קווים יכולים:

1) התאמה;

2) להיות מקביל: ;

3) או להצטלב בנקודה אחת:.

עזרה לבובות : אנא זכור את הסימן המתמטי של הצומת, הוא יתרחש לעתים קרובות מאוד. משמעות הערך היא שהקו מצטלב עם הקו בנקודה.

כיצד לקבוע את המיקום היחסי של שני קווים?

נתחיל מהמקרה הראשון:

שני קווים חופפים אם ורק אם המקדמים בהתאמה הם פרופורציונליים, כלומר יש מספר כזה "למבדה" שהשוויון

הבה נשקול קווים ישרים ונרכיב שלוש משוואות מהמקדמים המתאימים: . מכל משוואה עולה כי, לפיכך, קווים אלו חופפים.

אכן, אם כל המקדמים של המשוואה להכפיל ב-1 (שנה סימנים), ואת כל המקדמים של המשוואה הפחת ב-2, אתה מקבל את אותה משוואה: .

המקרה השני כאשר הקווים מקבילים:

שני קווים מקבילים אם ורק אם המקדמים שלהם במשתנים הם פרופורציונליים: , אבל.

כדוגמה, שקול שני קווים ישרים. אנו בודקים את המידתיות של המקדמים המתאימים עבור המשתנים:

עם זאת, ברור ש.

והמקרה השלישי, כאשר הקווים מצטלבים:

שני קווים מצטלבים אם ורק אם מקדמי המשתנים שלהם אינם פרופורציונלייםכלומר, אין ערך כזה של "למבדה" שהשוויון יתממש

אז, עבור קווים ישרים נרכיב מערכת:

מהמשוואה הראשונה עולה כי , ומהמשוואה השנייה: , ומכאן, המערכת לא עקבית(אין פתרונות). לפיכך, המקדמים במשתנים אינם פרופורציונליים.

מסקנה: קווים מצטלבים

בבעיות מעשיות, ניתן להשתמש בסכימת הפתרון שזה עתה נשקללה. אגב, זה מאוד דומה לאלגוריתם לבדיקת וקטורים לקולינאריות, עליו שקלנו בשיעור. המושג של תלות ליניארית (לא) של וקטורים. בסיס וקטור. אבל יש חבילה מתורבתת יותר:

דוגמה 1

גלה את המיקום היחסי של הקווים:

פִּתָרוֹןמבוסס על מחקר של כיוון וקטורים של קווים ישרים:

א) מהמשוואות נמצא את וקטורי הכיוון של הישרים: .

, כך שהווקטורים אינם קולינאריים והקווים מצטלבים.

ליתר בטחון, אני אשים אבן עם מצביעים על פרשת דרכים:

השאר קופצים מעל האבן וממשיכים, ישר לקשצ'י חסר המוות =)

ב) מצא את וקטורי הכיוון של הקווים:

לקווים יש אותו וקטור כיוון, כלומר הם מקבילים או זהים. כאן הקובע אינו הכרחי.

ברור, המקדמים של הלא ידועים הם פרופורציונליים, בעוד .

בואו לגלות אם השוויון נכון:

בדרך זו,

ג) מצא את וקטורי הכיוון של הקווים:

הבה נחשב את הקובע, המורכב מהקואורדינטות של הוקטורים הללו:
לכן, וקטורי הכיוון הם קולינאריים. הקווים הם מקבילים או חופפים.

קל לראות את גורם המידתיות "למבדה" ישירות מהיחס בין וקטורי הכיוון הקולינארי. עם זאת, ניתן למצוא אותו גם דרך המקדמים של המשוואות עצמן: .

עכשיו בואו נגלה אם השוויון נכון. שני התנאים החופשיים הם אפס, אז:

הערך המתקבל עונה על המשוואה הזו (כל מספר בדרך כלל עומד בה).

לפיכך, הקווים חופפים.

תשובה:

בקרוב מאוד תלמדו (או אפילו כבר למדתם) לפתור את הבעיה הנחשבת מילולית תוך שניות ספורות. בהקשר זה, אני לא רואה סיבה להציע משהו לפתרון עצמאי, עדיף להניח לבנה חשובה נוספת בבסיס הגיאומטרי:

איך לצייר קו מקביל לקו נתון?

בגלל בורות במשימה הפשוטה ביותר הזו, הזמיר השודד מעניש בחומרה.

דוגמה 2

הקו הישר ניתן על ידי המשוואה. כתבו משוואה לישר מקביל שעובר דרך הנקודה.

פִּתָרוֹן: סמן את השורה הלא ידועה באות . מה אומר התנאי על כך? הקו עובר דרך הנקודה. ואם הקווים מקבילים, אז ברור שהווקטור המכוון של הישר "ce" מתאים גם לבניית הקו "te".

נוציא את וקטור הכיוון מהמשוואה:

תשובה:

הגיאומטריה של הדוגמה נראית פשוטה:

אימות אנליטי מורכב מהשלבים הבאים:

1) נבדוק שלקווים יש אותו וקטור כיוון (אם משוואת הישר לא מפושטת כראוי, אז הוקטורים יהיו קולינאריים).

2) בדוק אם הנקודה עומדת במשוואה שהתקבלה.

אימות אנליטי ברוב המקרים קל לביצוע בעל פה. הסתכלו על שתי המשוואות ורבים מכם יבינו במהירות כיצד הקווים מקבילים ללא כל ציור.

דוגמאות לפתרון עצמי היום יהיו יצירתיות. כי אתה עדיין צריך להתחרות עם באבא יאגה, והיא, אתה יודע, חובבת כל מיני חידות.

דוגמה 3

כתוב משוואה לישר העובר דרך נקודה מקבילה לישר אם

יש דרך רציונלית ולא רציונלית במיוחד לפתור. הדרך הקצרה ביותר היא בסוף השיעור.

עשינו עבודה קטנה עם קווים מקבילים ונחזור אליהם בהמשך. המקרה של קווים חופפים אינו מעניין במיוחד, אז הבה נבחן בעיה המוכרת לך היטב מתוכנית הלימודים בבית הספר:

איך למצוא את נקודת החיתוך של שני קווים?

אם ישר מצטלבים בנקודה , אז הקואורדינטות שלו הן הפתרון מערכות של משוואות ליניאריות

איך למצוא את נקודת החיתוך של קווים? פתור את המערכת.

לחייך משמעות גיאומטרית של מערכת של שתי משוואות ליניאריות עם שני לא ידועיםהם שני קווים ישרים מצטלבים (לרוב) במישור.

דוגמה 4

מצא את נקודת החיתוך של קווים

פִּתָרוֹן: ישנן שתי דרכים לפתור - גרפית ואנליטית.

הדרך הגרפית היא פשוט לצייר את הקווים הנתונים ולגלות את נקודת החיתוך ישירות מהציור:

הנה הנקודה שלנו: . כדי לבדוק, עליך להחליף את הקואורדינטות שלו בכל משוואה של קו ישר, הן צריכות להתאים גם שם וגם שם. במילים אחרות, הקואורדינטות של נקודה הן הפתרון של המערכת. למעשה, שקלנו דרך גרפית לפתרון מערכות של משוואות ליניאריותעם שתי משוואות, שני לא ידועים.

השיטה הגרפית, כמובן, לא רעה, אבל יש חסרונות בולטים. לא, העניין הוא לא שתלמידי כיתה ז' מחליטים כך, העניין הוא שיקח זמן לעשות ציור נכון ומדויק. בנוסף, יש קווים שלא כל כך קלים לבנייה, ונקודת ההצטלבות עצמה יכולה להיות איפשהו בממלכה השלושים מחוץ לגיליון המחברת.

לכן, כדאי יותר לחפש את נקודת ההצטלבות בשיטה האנליטית. בואו נפתור את המערכת:

כדי לפתור את המערכת, נעשה שימוש בשיטה של ​​חיבור מונחי של משוואות. כדי לפתח את המיומנויות הרלוונטיות, בקר בשיעור איך פותרים מערכת משוואות?

תשובה:

האימות הוא טריוויאלי - הקואורדינטות של נקודת החיתוך חייבות לעמוד בכל משוואה של המערכת.

דוגמה 5

מצא את נקודת החיתוך של הקווים אם הם נחתכים.

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך. ניתן לחלק את המשימה בצורה נוחה למספר שלבים. ניתוח המצב מצביע על כך שזה הכרחי:
1) כתוב את המשוואה של ישר.
2) כתוב את המשוואה של ישר.
3) גלה את המיקום היחסי של הקווים.
4) אם הקווים מצטלבים, אז מצא את נקודת החיתוך.

פיתוח של אלגוריתם פעולה אופייני לבעיות גיאומטריות רבות, ואני אתמקד בזה שוב ושוב.

פתרון מלא ותשובה בסוף המדריך:

זוג נעליים עדיין לא נשחקו, כשהגענו לחלק השני של השיעור:

קווים מאונכים. המרחק מנקודה לקו.
זווית בין השורות

נתחיל במשימה טיפוסית וחשובה מאוד. בחלק הראשון, למדנו איך לבנות קו ישר במקביל לקו הנתון, ועכשיו הצריף על רגלי תרנגולת יפנה 90 מעלות:

איך לצייר קו מאונך לקו נתון?

דוגמה 6

הקו הישר ניתן על ידי המשוואה. כתבו משוואה לישר מאונך העובר בנקודה.

פִּתָרוֹן: ידוע בהנחה ש. זה יהיה נחמד למצוא את וקטור הכיוון של הקו הישר. מכיוון שהקווים מאונכים, הטריק הוא פשוט:

מהמשוואה אנו "מסירים" את הווקטור הנורמלי: , שיהיה הווקטור המכוון של הישר.

אנו מרכיבים את המשוואה של ישר על ידי נקודה ווקטור מכוון:

תשובה:

בואו נפרוש את הסקיצה הגיאומטרית:

הממ... שמיים כתומים, ים כתום, גמל כתום.

אימות אנליטי של הפתרון:

1) חלץ את וקטורי הכיוון מהמשוואות ועם העזרה מכפלת נקודה של וקטוריםאנו מסיקים שהקווים אכן מאונכים: .

אגב, אפשר להשתמש בוקטורים רגילים, זה אפילו יותר קל.

2) בדוק אם הנקודה עומדת במשוואה שהתקבלה .

אימות, שוב, קל לביצוע מילולית.

דוגמה 7

מצא את נקודת החיתוך של קווים מאונכים, אם המשוואה ידועה ונקודה.

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך. במשימה יש מספר פעולות ולכן נוח לסדר את הפתרון נקודה אחר נקודה.

המסע המרגש שלנו ממשיך:

מרחק מנקודה לקו

לפנינו רצועה ישרה של הנהר ומשימתנו היא להגיע אליו בדרך הקצרה ביותר. אין מכשולים, והמסלול האופטימלי ביותר יהיה תנועה לאורך הניצב. כלומר, המרחק מנקודה לישר הוא אורך הקטע הניצב.

המרחק בגיאומטריה מסומן באופן מסורתי באות היוונית "ro", למשל: - המרחק מהנקודה "em" לקו הישר "de".

מרחק מנקודה לקו מתבטא בנוסחה

דוגמה 8

מצא את המרחק מנקודה לישר

פִּתָרוֹן: כל מה שאתה צריך הוא להחליף בזהירות את המספרים בנוסחה ולבצע את החישובים:

תשובה:

בוא נבצע את הציור:

המרחק שנמצא מהנקודה לישר הוא בדיוק אורך הקטע האדום. אם אתה עושה ציור על נייר משובץ בקנה מידה של 1 יחידה. \u003d 1 ס"מ (2 תאים), אז ניתן למדוד את המרחק עם סרגל רגיל.

שקול משימה אחרת לפי אותו ציור:

המשימה היא למצוא את הקואורדינטות של הנקודה, שהיא סימטרית לנקודה ביחס לישר. . אני מציע לבצע את הפעולות בעצמך, עם זאת, אתאר את אלגוריתם הפתרון עם תוצאות ביניים:

1) מצא קו מאונך לישר.

2) מצא את נקודת החיתוך של הקווים: .

שתי הפעולות נדונות בפירוט בשיעור זה.

3) הנקודה היא נקודת האמצע של הקטע. אנחנו יודעים את הקואורדינטות של האמצע ואחד הקצוות. על ידי נוסחאות לקואורדינטות של אמצע הקטעלמצוא .

לא יהיה מיותר לבדוק שגם המרחק שווה ל-2.2 יחידות.

קשיים כאן עשויים להתעורר בחישובים, אבל במגדל מיקרו מחשבון עוזר מאוד, ומאפשר לך לספור שברים רגילים. ייעצתי פעמים רבות ואמליץ שוב.

כיצד למצוא את המרחק בין שני קווים מקבילים?

דוגמה 9

מצא את המרחק בין שני קווים מקבילים

זוהי דוגמה נוספת לפתרון עצמאי. רמז קטן: יש אינסוף דרכים לפתור. תחקיר בסוף השיעור, אבל מוטב שתנסה לנחש בעצמך, אני חושב שהצלחת לפזר היטב את כושר ההמצאה שלך.

זווית בין שני קווים

לא משנה מה הפינה, אז המשקוף:


בגיאומטריה, הזווית בין שני קווים ישרים נלקחת בתור הזווית SMALLER, שממנה נובע אוטומטית שהיא לא יכולה להיות קהה. באיור, הזווית המצוינת על ידי הקשת האדומה אינה נחשבת לזווית בין קווים מצטלבים. והשכן ה"ירוק" שלו או בכיוון הפוךפינת ארגמן.

אם הקווים מאונכים, ניתן לקחת כל אחת מארבע הזוויות בתור הזווית ביניהן.

במה זוויות שונות? נטייה. ראשית, כיוון ה"גלילה" בפינה חשוב מהותית. שנית, זווית בעלת אוריינטציה שלילית נכתבת עם סימן מינוס, למשל, אם .

למה אמרתי את זה? נראה שאפשר להסתדר עם הקונספט הרגיל של זווית. העובדה היא שבנוסחאות שלפיהן נמצא את הזוויות, ניתן בקלות לקבל תוצאה שלילית, וזה לא אמור להפתיע אותך. זווית עם סימן מינוס אינה גרועה יותר, ויש לה משמעות גיאומטרית מאוד ספציפית. בציור עבור זווית שלילית, חובה לציין את הכיוון שלה (בכיוון השעון) עם חץ.

איך למצוא את הזווית בין שני קווים?ישנן שתי נוסחאות עבודה:

דוגמה 10

מצא את הזווית בין השורות

פִּתָרוֹןו שיטה ראשונה

שקול שני ישרים שניתנו על ידי משוואות בצורה כללית:

אם ישר לא מאונך, לאחר מכן מכווןניתן לחשב את הזווית ביניהם באמצעות הנוסחה:

בואו נשים לב היטב למכנה – זה בדיוק מוצר סקלריוקטורי כיוון של קווים ישרים:

אם , אז המכנה של הנוסחה נעלם, והווקטורים יהיו אורתוגונליים והקווים יהיו מאונכים. לכן ניתנה הסתייגות על אי-ניצבות הקווים בניסוח.

בהתבסס על האמור לעיל, הפתרון מנוסח בצורה נוחה בשני שלבים:

1) חשב את המכפלה הסקלרית של הכוונת וקטורים של קווים ישרים:
כך שהקווים אינם מאונכים.

2) נמצא את הזווית בין הקווים לפי הנוסחה:

באמצעות הפונקציה ההפוכה, קל למצוא את הזווית עצמה. במקרה זה, אנו משתמשים במוזרות של משיק הקשת (ראה איור. גרפים ומאפיינים של פונקציות יסודיות):

תשובה:

בתשובה, אנו מציינים את הערך המדויק, וכן את הערך המשוער (רצוי הן במעלות והן ברדיאנים), המחושבים באמצעות מחשבון.

ובכן, מינוס, אז מינוס, זה בסדר. הנה איור גיאומטרי:

אין זה מפתיע שהזווית התבררה כבעלת כיוון שלילי, מכיוון שבמצב הבעיה המספר הראשון הוא קו ישר ו"הפיתול" של הזווית התחיל בדיוק ממנו.

אם אתה באמת רוצה לקבל זווית חיובית, אתה צריך להחליף את הקווים הישרים, כלומר לקחת את המקדמים מהמשוואה השנייה , ולקחת את המקדמים מהמשוואה הראשונה . בקיצור, אתה צריך להתחיל עם ישיר .

פינהבין ישרים במרחב נקרא לכל אחת מהזוויות הסמוכות שנוצרות על ידי שני ישרים הנמשכים דרך נקודה שרירותית במקביל לנתונים.

תנו שני קווים ישרים במרחב:

ברור שניתן לקחת את הזווית φ בין הקווים בתור הזווית בין וקטורי הכיוון שלהם לבין . מאז , אז לפי הנוסחה לקוסינוס של הזווית בין הוקטורים נקבל

תנאי ההקבלה והניצב של שני קווים שווים לתנאי ההקבלה והניצב של וקטורי הכיוון שלהם ו:

שניים ישרים מקביליםאם ורק אם המקדמים בהתאמה הם פרופורציונליים, כלומר. ל 1 מקבילה ל 2 אם ורק אם מקבילים .

שניים ישרים אֲנָכִיאם ורק אם סכום המכפלות של המקדמים המתאימים שווה לאפס:.

בְּ מטרה בין קו למטוס

תן לקו ד- לא מאונך למישור θ;
ד′− הקרנה של קו ישר דלמישור θ;
הקטנה מבין הזוויות בין קווים ישרים דו ד"נתקשר זווית בין קו למישור.
בוא נסמן את זה כ-φ=( ד,θ)
אם ד⊥θ , ואז ( ד,θ)=π/2

אוי→י→ק→− מערכת קואורדינטות מלבנית.
משוואת מישור:

θ: גַרזֶן+על ידי+cz+ד=0

אנו רואים שהקו ניתן על ידי נקודה ווקטור כיוון: ד[M 0,ע→]
וֶקטוֹר נ→(א,ב,ג)⊥θ
אז נשאר לגלות את הזווית בין הוקטורים נ→ ו ע→, סמן אותו כ- γ=( נ→,ע→).

אם הזווית γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

אם הזווית γ>π/2, אזי הזווית הנדרשת φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

לאחר מכן, זווית בין קו למישורניתן לחשב באמצעות הנוסחה:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ אפ 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √א 2+ב 2+ג 2√ע 21+ע 22+ע 23

שאלה 29. הרעיון של צורה ריבועית. מדוייקות הסימנים של צורות ריבועיות.

צורה ריבועית j (x 1, x 2, ..., x n) n משתנים אמיתיים x 1, x 2, ..., x nנקרא סכום הצורה
, (1)

איפה aij הם מספרים שנקראים מקדמים. ללא אובדן כלליות, אנו יכולים להניח זאת aij = ג'י.

הצורה הריבועית נקראת תָקֵף,אם aij О GR. מטריצה ​​של צורה ריבועיתנקראת המטריצה ​​המורכבת מהמקדמים שלה. צורה ריבועית (1) מתאימה למטריצה ​​סימטרית ייחודית
כְּלוֹמַר A T = A. לכן, צורה ריבועית (1) יכולה להיכתב בצורה מטריצה ​​j ( איקס) = x T אה, איפה x T = (איקס 1 איקס 2 … x n). (2)

ולהיפך, כל מטריצה ​​סימטרית (2) מתאימה לצורה ריבועית ייחודית עד לסימון המשתנים.

דרגת הצורה הריבועיתנקראת דרגת המטריצה ​​שלו. הצורה הריבועית נקראת לא מנוון,אם המטריצה ​​שלו אינה יחידה אבל. (זכור כי המטריצה אבלנקרא לא מנוון אם הקובע שלו אינו אפס). אחרת, הצורה הריבועית מנוונת.

חיובי מובהק(או חיובי למהדרין) אם

j ( איקס) > 0 , לכל אחד איקס = (איקס 1 , איקס 2 , …, x n), חוץ מזה איקס = (0, 0, …, 0).

מַטרִיצָה אבלצורה ריבועית מוגדרת חיובית j ( איקס) נקרא גם חיובי מוגדר. לכן, צורה ריבועית מוגדרת חיובית מתאימה למטריצה ​​מוגדרת חיובית ייחודית ולהיפך.

הצורה הריבועית (1) נקראת שלילי מובהק(או שלילי למהדרין) אם

j ( איקס) < 0, для любого איקס = (איקס 1 , איקס 2 , …, x n), חוץ מזה איקס = (0, 0, …, 0).

בדומה לעיל, מטריצה ​​ריבועית שלילי-מוגדרת נקראת גם שלילית-מוגדרת.

לכן, צורה ריבועית מוגדרת באופן חיובי (שלילי) j ( איקס) מגיע לערך המינימלי (המקסימלי) j ( איקס*) = 0 עבור איקס* = (0, 0, …, 0).

שימו לב שרוב הצורות הריבועיות אינן מוגדרות בסימן, כלומר הן אינן חיוביות ולא שליליות. צורות ריבועיות כאלה נעלמות לא רק במקור מערכת הקואורדינטות, אלא גם בנקודות אחרות.

מתי נ> 2, נדרשים קריטריונים מיוחדים כדי לבדוק את הגדרת הסימן של צורה ריבועית. בואו נתחשב בהם.

קטינים גדוליםצורה ריבועית נקראת קטינים:

כלומר, מדובר בקטינים בסדר 1, 2, …, נמטריצות אבל, הממוקם בפינה השמאלית העליונה, האחרון שבהם עולה בקנה אחד עם הקובע של המטריצה אבל.

קריטריון להגדרה חיובית (קריטריון סילבסטר)

איקס) = x T אההוא חיובי מובהק, יש צורך ומספיק שכל הקטינים העיקריים של המטריצה אבלהיו חיוביים, כלומר: M 1 > 0, M 2 > 0, …, מ נ > 0. קריטריון של ודאות שלילית כדי לקבל את הצורה הריבועית j ( איקס) = x T אההוא שלילי מוגדר, יש צורך ומספיק שהקטינים העיקריים שלו בסדר זוגי יהיו חיוביים, ואלה בסדר אי זוגי הם שליליים, כלומר: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)נ

יהיה שימושי עבור כל תלמיד שמתכונן לבחינה במתמטיקה לחזור על הנושא "מציאת הזווית בין השורות". כפי שמראה סטטיסטיקה, כאשר עוברים מבחן אישור, משימות בקטע זה של סטריאומטריה גורמות לקשיים עבור מספר רב של תלמידים. במקביל, משימות הדורשות מציאת הזווית בין קווים ישרים נמצאות ב-USE הן ברמת הבסיס והן ברמת הפרופיל. זה אומר שכל אחד צריך להיות מסוגל לפתור אותם.

רגעים בסיסיים

ישנם 4 סוגים של סידור הדדי של קווים במרחב. הם יכולים לחפוף, להצטלב, להיות מקבילים או מצטלבים. הזווית ביניהם יכולה להיות חדה או ישרה.

כדי למצוא את הזווית בין השורות בבחינת המדינה המאוחדת או, למשל, בפתרון, תלמידי בית ספר במוסקבה ובערים אחרות יכולים להשתמש במספר שיטות לפתרון בעיות בחלק זה של סטריאומטריה. אתה יכול להשלים את המשימה על ידי קונסטרוקציות קלאסיות. לשם כך, כדאי ללמוד את האקסיומות והמשפטים הבסיסיים של הסטריאומטריה. התלמיד צריך להיות מסוגל לבנות הגיון הגיוני וליצור שרטוטים על מנת להביא את המשימה לבעיה פלנימטרית.

ניתן גם להשתמש בשיטת הקואורדינטות הווקטוריות, תוך שימוש בנוסחאות, כללים ואלגוריתמים פשוטים. העיקר במקרה זה הוא לבצע נכון את כל החישובים. הפרויקט החינוכי של שקולקובו יעזור לך לחדד את כישוריך בפתרון בעיות בסטריאומטריה ובחלקים אחרים של הקורס בבית הספר.

חומר זה מוקדש למושג כמו הזווית בין שני קווים ישרים מצטלבים. בפסקה הראשונה נסביר מה זה ונראה את זה באיורים. לאחר מכן ננתח כיצד ניתן למצוא את הסינוס, הקוסינוס של זווית זו והזווית עצמה (נשקול בנפרד מקרים עם מישור ומרחב תלת מימדי), ניתן את הנוסחאות הדרושות ונראה בעזרת דוגמאות כיצד בדיוק הן מיושמות בפועל.

Yandex.RTB R-A-339285-1

כדי להבין מהי זווית שנוצרת במפגש בין שני קווים, עלינו להיזכר בעצם ההגדרה של זווית, ניצב ונקודת חיתוך.

הגדרה 1

אנו קוראים לשני קווים מצטלבים אם יש להם נקודה משותפת אחת. נקודה זו נקראת נקודת החיתוך של שני הקווים.

כל קו מחולק לפי נקודת החיתוך לקרניים. במקרה זה, שני הקווים יוצרים 4 זוויות, מתוכן שתיים אנכיות ושתיים צמודות. אם אנו יודעים את המידה של אחד מהם, נוכל לקבוע את יתר הנותרים.

נניח שאנו יודעים שאחת מהזוויות שווה ל-α. במקרה כזה, גם הזווית האנכית אליו תהיה שווה ל-α. כדי למצוא את שאר הזוויות, עלינו לחשב את ההפרש 180° - α . אם α שווה ל-90 מעלות, אז כל הזוויות יהיו ישרות. קווים המצטלבים בזוויות ישרות נקראים בניצב (מאמר נפרד מוקדש למושג הניצב).

תסתכל על התמונה:

הבה נמשיך לניסוח ההגדרה העיקרית.

הגדרה 2

הזווית שנוצרת על ידי שני קווים מצטלבים היא מידת הזווית הקטנה מבין 4 הזוויות היוצרות את שני הקווים הללו.

יש להסיק מסקנה חשובה מההגדרה: גודל הזווית במקרה זה יבוא לידי ביטוי בכל מספר ממשי במרווח (0 , 90 ] . אם הקווים מאונכים אזי הזווית ביניהם תהיה בכל מקרה שווה ל-90 מעלות.

היכולת למצוא את מידת הזווית בין שני קווים מצטלבים שימושית לפתרון בעיות מעשיות רבות. ניתן לבחור את שיטת הפתרון ממספר אפשרויות.

בתור התחלה, אנחנו יכולים לקחת שיטות גיאומטריות. אם אנחנו יודעים משהו על זוויות נוספות, אז נוכל לחבר אותן לזווית שאנו צריכים באמצעות תכונות של צורות שוות או דומות. לדוגמה, אם אנו מכירים את צלעותיו של משולש וצריך לחשב את הזווית בין הקווים שעליהם ממוקמות הצלעות הללו, אז משפט הקוסינוס מתאים לפתרון. אם יש לנו משולש ישר זווית בתנאי, אז לצורך חישובים נצטרך לדעת גם את הסינוס, הקוסינוס והטנגנס של הזווית.

שיטת הקואורדינטות נוחה מאוד גם לפתרון בעיות מסוג זה. בואו נסביר איך להשתמש בו נכון.

יש לנו מערכת קואורדינטות מלבנית (קרטזית) O x y עם שני קווים ישרים. נסמן אותם באותיות a ו-b. במקרה זה, ניתן לתאר קווים ישרים באמצעות כל משוואות. לקווים המקוריים יש נקודת חיתוך M. כיצד לקבוע את הזווית הרצויה (בואו נסמן אותה α) בין הקווים הללו?

נתחיל בניסוח העיקרון הבסיסי של מציאת זווית בתנאים נתונים.

אנו יודעים שמושגים כמו בימוי ווקטור נורמלי קשורים קשר הדוק למושג קו ישר. אם יש לנו את המשוואה של ישר כלשהו, ​​נוכל לקחת ממנה את הקואורדינטות של הוקטורים האלה. אנחנו יכולים לעשות זאת עבור שני קווים מצטלבים בבת אחת.

ניתן למצוא את הזווית שנוצרה על ידי שני קווים מצטלבים באמצעות:

• זווית בין וקטורי כיוון;
• זווית בין וקטורים נורמליים;
• הזווית בין הווקטור הנורמלי של קו אחד לווקטור הכיוון של השני.

עכשיו בואו נסתכל על כל שיטה בנפרד.

1. נניח שיש לנו ישר a עם וקטור כיוון a → = (a x , a y) וקו b עם וקטור כיוון b → (b x , b y) . כעת נניח שני וקטורים a → ו- b → מנקודת החיתוך. לאחר מכן, נראה שכל אחד ימוקם בקו שלו. אז יש לנו ארבע אפשרויות למיקום היחסי שלהם. ראה איור:

אם הזווית בין שני וקטורים אינה קהה, אזי זו תהיה הזווית שאנו צריכים בין הקווים a ו-b המצטלבים. אם הוא קהה, אזי הזווית הרצויה תהיה שווה לזווית הסמוכה לזווית a → , b → ^ . לפיכך, α = a → , b → ^ אם a → , b → ^ ≤ 90 ° ו- α = 180 ° - a → , b → ^ אם a → , b → ^ > 90 ° .

בהתבסס על העובדה שהקוסינוסים של זוויות שוות שווים, נוכל לכתוב מחדש את השוויון המתקבל באופן הבא: cos α = cos a → , b → ^ אם a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ אם a → , b → ^ > 90 ° .

במקרה השני, נעשה שימוש בנוסחאות הפחתה. בדרך זו,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

בוא נכתוב את הנוסחה האחרונה במילים:

הגדרה 3

הקוסינוס של הזווית שנוצרת על ידי שני קווים מצטלבים יהיה שווה למודול הקוסינוס של הזווית בין וקטורי הכיוון שלה.

הצורה הכללית של הנוסחה לקוסינוס של הזווית בין שני וקטורים a → = (a x, a y) ו-b → = (b x, b y) נראית כך:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

ממנו נוכל לגזור את הנוסחה לקוסינוס של הזווית בין שני קווים נתונים:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

אז ניתן למצוא את הזווית עצמה באמצעות הנוסחה הבאה:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

כאן a → = (a x , a y) ו- b → = (b x , b y) הם וקטורי הכיוון של הקווים הנתונים.

תנו דוגמה לפתרון הבעיה.

דוגמה 1

במערכת קואורדינטות מלבנית, שני ישרים מצטלבים a ו-b ניתנים במישור. ניתן לתאר אותם באמצעות משוואות פרמטריות x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R ו-x 5 = y - 6 - 3 . חשב את הזווית בין הקווים הללו.

פִּתָרוֹן

יש לנו משוואה פרמטרית בתנאי, כלומר עבור הישר הזה נוכל לרשום מיד את הקואורדינטות של וקטור הכיוון שלו. לשם כך, עלינו לקחת את ערכי המקדמים בפרמטר, כלומר. לישר x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R יהיה וקטור כיוון a → = (4 , 1) .

הישר השני מתואר באמצעות המשוואה הקנונית x 5 = y - 6 - 3 . כאן נוכל לקחת את הקואורדינטות מהמכנים. לפיכך, לקו זה יש וקטור כיוון b → = (5 , - 3) .

לאחר מכן, נמשיך ישירות למציאת הזווית. כדי לעשות זאת, פשוט החליפו את הקואורדינטות הזמינות של שני הווקטורים בנוסחה לעיל α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . אנחנו מקבלים את הדברים הבאים:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

תשובה: קווים אלו יוצרים זווית של 45 מעלות.

נוכל לפתור בעיה דומה על ידי מציאת הזווית בין וקטורים נורמליים. אם יש לנו ישר a עם וקטור נורמלי n a → = (n a x , n a y) וקו b עם וקטור נורמלי n b → = (n b x , n b y) , אז הזווית ביניהם תהיה שווה לזווית שבין n a → ל n b → או הזווית שתהיה צמודה ל n a → , n b → ^ . שיטה זו מוצגת בתמונה:

הנוסחאות לחישוב הקוסינוס של הזווית בין קווים חותכים לזווית זו עצמה באמצעות קואורדינטות של וקטורים נורמליים נראות כך:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n by y 2

כאן n a → ו-n b → מציינים את הוקטורים הנורמליים של שני קווים נתונים.

דוגמה 2

שני קווים ישרים ניתנים במערכת קואורדינטות מלבנית באמצעות המשוואות 3 x + 5 y - 30 = 0 ו- x + 4 y - 17 = 0. מצא את הסינוס, הקוסינוס של הזווית ביניהם, ואת גודל הזווית עצמה.

פִּתָרוֹן

הקווים הישרים המקוריים ניתנים באמצעות משוואות ישר רגילות בצורה A x + B y + C = 0 . סמן את הווקטור הנורמלי n → = (A , B) . בוא נמצא את הקואורדינטות של הווקטור הנורמלי הראשון לישר אחד ונכתוב אותן: n a → = (3 , 5) . עבור הישר השני x + 4 y - 17 = 0 לוקטור הנורמלי יהיו קואורדינטות n b → = (1 , 4) . כעת הוסף את הערכים שהתקבלו לנוסחה וחשב את הסכום הכולל:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

אם אנו יודעים את הקוסינוס של זווית, אז נוכל לחשב את הסינוס שלה באמצעות הזהות הטריגונומטרית הבסיסית. מכיוון שהזווית α שנוצרת על ידי קווים ישרים אינה קהה, אז sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

במקרה זה, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

תשובה: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

בואו ננתח את המקרה האחרון - מציאת הזווית בין הקווים, אם אנחנו יודעים את הקואורדינטות של וקטור הכיוון של ישר אחד והווקטור הנורמלי של השני.

נניח שלקו a יש וקטור כיוון a → = (a x , a y), ולקו b יש וקטור נורמלי n b → = (n b x , n b y) . עלינו לדחות את הווקטורים הללו מנקודת החיתוך ולשקול את כל האפשרויות למיקום היחסי שלהם. לראות תמונה:

אם הזווית בין הוקטורים הנתונים היא לא יותר מ-90 מעלות, מסתבר שהיא תשלים את הזווית בין a ל-b לזווית ישרה.

a → , n b → ^ = 90 ° - α אם a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

אם זה פחות מ-90 מעלות, נקבל את הדברים הבאים:

a → , n b → ^ > 90 ° , ואז a → , n b → ^ = 90 ° + α

באמצעות כלל השוויון של קוסינוסים בעלי זוויות שוות, אנו כותבים:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α עבור a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α ב- a → , n b → ^ > 90 ° .

בדרך זו,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

בואו ננסח מסקנה.

הגדרה 4

כדי למצוא את הסינוס של הזווית בין שני קווים המצטלבים במישור, עליך לחשב את מודול הקוסינוס של הזווית בין וקטור הכיוון של הישר הראשון לווקטור הנורמלי של השני.

בואו נרשום את הנוסחאות הדרושות. מציאת הסינוס של זווית:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

מציאת הפינה עצמה:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

כאן a → הוא וקטור הכיוון של הישר הראשון, ו-n b → הוא הווקטור הנורמלי של השני.

דוגמה 3

שני קווים חותכים ניתנים על ידי המשוואות x-5 = y-6 3 ו-x + 4 y-17 = 0. מצא את זווית הצומת.

פִּתָרוֹן

אנו לוקחים את הקואורדינטות של הווקטור המכוון והנורמלי מהמשוואות הנתונות. מסתבר ש- → = (- 5 , 3) ​​ו- n → b = (1 , 4) . ניקח את הנוסחה α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 וניקח בחשבון:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

שימו לב שלקחנו את המשוואות מהבעיה הקודמת וקיבלנו בדיוק את אותה תוצאה, אבל בצורה אחרת.

תשובה:α = a r c sin 7 2 34

הנה דרך נוספת למצוא את הזווית הרצויה באמצעות מקדמי השיפוע של קווים נתונים.

יש לנו ישר a , שמוגדר במערכת קואורדינטות מלבנית באמצעות המשוואה y = k 1 · x + b 1 , וקו b , המוגדר כ y = k 2 · x + b 2 . אלו הן משוואות של ישרים עם שיפוע. כדי למצוא את זווית החיתוך, השתמש בנוסחה:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , כאשר k 1 ו- k 2 הם המדרונות של הקווים הנתונים. כדי להשיג רשומה זו, נעשה שימוש בנוסחאות לקביעת הזווית דרך הקואורדינטות של וקטורים נורמליים.

דוגמה 4

ישנם שני קווים ישרים המצטלבים במישור, הניתנים על ידי המשוואות y = - 3 5 x + 6 ו- y = - 1 4 x + 17 4 . חשב את זווית החיתוך.

פִּתָרוֹן

המדרונות של הקווים שלנו שווים ל- k 1 = - 3 5 ו- k 2 = - 1 4 . נוסיף אותם לנוסחה α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 ונחשב:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

תשובה:α = a r c cos 23 2 34

במסקנות פסקה זו יש לציין כי הנוסחאות למציאת הזווית הניתנות כאן אינן חייבות להילמד בעל פה. לשם כך, מספיק להכיר את הקואורדינטות של המדריכים ו/או הוקטורים הנורמליים של הקווים הנתונים ולהיות מסוגלים לקבוע אותם באמצעות סוגים שונים של משוואות. אבל את הנוסחאות לחישוב הקוסינוס של זווית עדיף לזכור או לרשום.

כיצד לחשב את הזווית בין קווים מצטלבים במרחב

ניתן לצמצם את החישוב של זווית כזו לחישוב הקואורדינטות של וקטורי הכיוון ולקביעת גודל הזווית שנוצרת על ידי וקטורים אלו. עבור דוגמאות כאלה, אנו משתמשים באותו נימוק שהבאנו בעבר.

נניח שיש לנו מערכת קואורדינטות מלבנית הממוקמת בחלל תלת מימדי. הוא מכיל שני קווים a ו-b עם נקודת החיתוך M. כדי לחשב את הקואורדינטות של וקטורי הכיוון, עלינו להכיר את משוואות הקווים הללו. סמן את וקטורי הכיוון a → = (a x , a y , a z) ו- b → = (b x , b y , b z) . כדי לחשב את הקוסינוס של הזווית ביניהם, אנו משתמשים בנוסחה:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

כדי למצוא את הזווית עצמה, אנחנו צריכים את הנוסחה הזו:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

דוגמה 5

יש לנו קו ישר המוגדר במרחב התלת-ממדי באמצעות המשוואה x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . ידוע שהוא מצטלב עם ציר O z. חשב את זווית החיתוך ואת הקוסינוס של זווית זו.

פִּתָרוֹן

נסמן את הזווית שיש לחשב באות α. נרשום את הקואורדינטות של וקטור הכיוון עבור הישר הראשון - a → = (1 , - 3 , - 2) . עבור ציר היישום, נוכל לקחת את וקטור הקואורדינטות k → = (0 , 0 , 1) כמדריך. קיבלנו את הנתונים הדרושים ונוכל להוסיף אותם לנוסחה הרצויה:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

כתוצאה מכך, קיבלנו שהזווית שאנו צריכים תהיה שווה ל-a r c cos 1 2 = 45 °.

תשובה: cos α = 1 2, α = 45°.

אם אתה מבחין בטעות בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

אני אקצר. הזווית בין שני קווים שווה לזווית בין וקטורי הכיוון שלהם. לפיכך, אם תצליחו למצוא את הקואורדינטות של וקטורי הכיוון a \u003d (x 1; y 1; z 1) ו-b \u003d (x 2; y 2; z 2), תוכלו למצוא את הזווית. ליתר דיוק, הקוסינוס של הזווית לפי הנוסחה:

בואו נראה כיצד הנוסחה הזו פועלת על דוגמאות ספציפיות:

משימה. נקודות E ו-F מסומנות בקובייה ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - נקודות האמצע של הקצוות A 1 B 1 ו-B 1 C 1, בהתאמה. מצא את הזווית בין הקווים AE ו-BF.

מכיוון שקצה הקובייה אינו מצוין, אנו מגדירים AB = 1. אנו מציגים מערכת קואורדינטות סטנדרטית: המקור נמצא בנקודה A, וצירי x, y, z מכוונים לאורך AB, AD ו-AA 1, בהתאמה . קטע היחידה שווה ל-AB = 1. כעת נמצא את הקואורדינטות של וקטורי הכיוון של הקווים שלנו.

מצא את הקואורדינטות של הווקטור AE. לשם כך, אנו זקוקים לנקודות A = (0; 0; 0) ו-E = (0.5; 0; 1). מכיוון שהנקודה E היא אמצע הקטע A 1 B 1, הקואורדינטות שלו שוות לממוצע האריתמטי של קואורדינטות הקצוות. שימו לב שהמקור של הווקטור AE עולה בקנה אחד עם המקור, אז AE = (0.5; 0; 1).

עכשיו בואו נעסוק בווקטור BF. באופן דומה, אנו מנתחים את הנקודות B = (1; 0; 0) ו-F = (1; 0.5; 1), מכיוון F - אמצע הקטע B 1 C 1 . יש לנו:
BF = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1).

אז, וקטורי הכיוון מוכנים. הקוסינוס של הזווית בין הקווים הוא הקוסינוס של הזווית בין וקטורי הכיוון, אז יש לנו:

משימה. בפריזמה תלת-תדרלית רגילה ABCA 1 B 1 C 1, שכל הקצוות שלה שווים ל-1, מסומנים נקודות D ו-E - נקודות האמצע של הקצוות A 1 B 1 ו- B 1 C 1, בהתאמה. מצא את הזווית בין קווים AD ל-BE.

אנו מציגים מערכת קואורדינטות סטנדרטית: המוצא נמצא בנקודה A, ציר ה-x מכוון לאורך AB, z - לאורך AA 1. אנו מכוונים את ציר ה-y כך שמישור ה-OXY חופף למישור ABC. קטע היחידה שווה ל-AB = 1. מצא את הקואורדינטות של וקטורי הכיוון עבור הקווים הרצויים.

ראשית, בואו נמצא את הקואורדינטות של וקטור AD. שקול את הנקודות: A = (0; 0; 0) ו-D = (0.5; 0; 1), מכיוון D - אמצע הקטע A 1 B 1 . מכיוון שתחילת הווקטור AD חופפת למקור, נקבל AD = (0.5; 0; 1).

כעת נמצא את הקואורדינטות של הווקטור BE. נקודה B = (1; 0; 0) קלה לחישוב. עם נקודה E - אמצע הקטע C 1 B 1 - קצת יותר מסובך. יש לנו:

נותר למצוא את הקוסינוס של הזווית:

משימה. במנסרה משושה רגילה ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, שכל הקצוות שלה שווים ל-1, הנקודות K ו-L מסומנות - נקודות האמצע של הקצוות A 1 B 1 ו- B 1 C 1, בהתאמה. מצא את הזווית בין הקווים AK ו-BL.

אנו מציגים מערכת קואורדינטות סטנדרטית למנסרה: אנו מניחים את מקור הקואורדינטות במרכז הבסיס התחתון, מכוונים את ציר ה-x לאורך FC, את ציר ה-y דרך נקודות האמצע של המקטעים AB ו-DE, וציר z. אנכית כלפי מעלה. קטע היחידה שווה שוב ל-AB = 1. הבה נכתוב את הקואורדינטות של הנקודות המעניינות אותנו:

נקודות K ו-L הן נקודות האמצע של הקטעים A 1 B 1 ו- B 1 C 1, בהתאמה, ולכן הקואורדינטות שלהן נמצאות דרך הממוצע האריתמטי. בהכרת הנקודות, נמצא את הקואורדינטות של וקטורי הכיוון AK ו-BL:

עכשיו בואו נמצא את הקוסינוס של הזווית:

משימה. בפירמידה מרובעת רגילה SABCD, שכל הקצוות שלה שווים ל-1, מסומנות נקודות E ו-F - נקודות האמצע של הצלעות SB ו-SC, בהתאמה. מצא את הזווית בין הקווים AE ו-BF.

אנו מציגים מערכת קואורדינטות סטנדרטית: המקור נמצא בנקודה A, צירי x ו-y מכוונים לאורך AB ו-AD, בהתאמה, וציר z מופנה אנכית כלפי מעלה. קטע היחידה שווה ל-AB = 1.

נקודות E ו-F הן נקודות האמצע של הקטעים SB ו-SC, בהתאמה, ולכן הקואורדינטות שלהן נמצאות כממוצע האריתמטי של הקצוות. אנו רושמים את הקואורדינטות של הנקודות המעניינים אותנו:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

בהכרת הנקודות, נמצא את הקואורדינטות של וקטורי הכיוון AE ו-BF:

הקואורדינטות של הווקטור AE חופפות לקואורדינטות של נקודה E, שכן נקודה A היא המקור. נותר למצוא את הקוסינוס של הזווית: