הזווית בין קווים מצטלבים: הגדרה, דוגמאות למציאת.

א. תנו שני קווים, קווים אלו, כפי שצוין בפרק 1, יוצרים זוויות חיוביות ושליליות שונות, שיכולות להיות חדות או קהות. הכרת אחת מהזוויות הללו, נוכל למצוא בקלות כל אחת אחרת.

אגב, לכל הזוויות האלה הערך המספרי של המשיק זהה, ההבדל יכול להיות רק בסימן

משוואות של קווים. המספרים הם הקרנות של הווקטורים המכוונים של הקו הראשון והשני.הזווית בין הוקטורים הללו שווה לאחת מהזוויות שנוצרות על ידי קווים ישרים. לכן, הבעיה מצטמצמת לקביעת הזווית בין הוקטורים, אנחנו מקבלים

לשם הפשטות, נוכל להסכים על זווית בין שני קווים ישרים כדי להבין זווית חיובית חדה (כמו, למשל, באיור 53).

אז הטנגנס של זווית זו תמיד יהיה חיובי. לפיכך, אם מתקבל סימן מינוס בצד ימין של נוסחה (1), אז עלינו לבטל אותו, כלומר לשמור רק על הערך המוחלט.

דוגמא. קבע את הזווית בין השורות

לפי נוסחה (1) יש לנו

עם. אם מצוין איזו מצלעות הזווית היא ההתחלה שלה ואיזה הסוף שלה, אז, אם סופרים תמיד את כיוון הזווית נגד כיוון השעון, נוכל לחלץ עוד משהו מנוסחאות (1). כפי שקל לראות באיור. 53 הסימן המתקבל בצד ימין של הנוסחה (1) יציין איזה מהם - חד או קהה - הזווית יוצרת את הקו השני עם הראשון.

(אכן, מאיור 53 אנו רואים שהזווית בין וקטור הכיוון הראשון והשני שווה לזווית הרצויה בין הקווים, או שונה ממנה ב-±180°).

ד. אם הקווים מקבילים אז גם וקטורי הכיוון שלהם מקבילים.החלת תנאי ההקבלה של שני וקטורים, נקבל!

זהו תנאי הכרחי ומספיק כדי ששני קווים יהיו מקבילים.

דוגמא. ישיר

מקבילים כי

ה. אם הקווים מאונכים, אז גם וקטורי הכיוון שלהם מאונכים. בהחלת תנאי הניצב של שני וקטורים, נקבל את תנאי הניצב של שני קווים, כלומר

דוגמא. ישיר

מאונך כי

בהקשר לתנאי המקבילות והניצב, נפתור את שתי הבעיות הבאות.

ו. צייר קו מקביל לישר נתון דרך נקודה

ההחלטה מתקבלת כך. מכיוון שהקו הרצוי מקביל לזה הנתון, אז עבור וקטור הכיוון שלו נוכל לקחת את אותו קו הנתון, כלומר, וקטור עם היטל A ו-B. ואז תיכתב המשוואה של הישר הרצוי. בצורה (§ 1)

דוגמא. משוואת ישר העובר דרך נקודה (1; 3) במקביל לישר

יהיה הבא!

ז. צייר קו דרך נקודה מאונך לישר הנתון

כאן כבר לא מתאים לקחת וקטור עם תחזיות A וכווקטור מכוון, אלא יש צורך לזכות בוקטור מאונך אליו. יש לבחור אפוא את ההשלכות של וקטור זה לפי התנאי ששני הוקטורים מאונכים, כלומר לפי התנאי

ניתן למלא תנאי זה במספר אינסופי של דרכים, שכן כאן יש משוואה אחת עם שני לא ידועים. אבל הדרך הקלה ביותר היא לקחת אותה. ואז משוואת הקו הרצוי תיכתב בצורה

דוגמא. משוואת ישר העובר דרך נקודה (-7; 2) בישר מאונך

יהיה הבא (לפי הנוסחה השנייה)!

ח. במקרה שהקווים ניתנים על ידי משוואות הצורה

הַגדָרָה.אם ניתן לשני קווים y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , אזי הזווית החדה בין הקווים הללו תוגדר כ

שני קווים מקבילים אם k 1 = k 2. שני קווים מאונכים אם k 1 = -1/ k 2 .

מִשׁפָּט.הקווים הישרים Ax + Vy + C \u003d 0 ו-A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 מקבילים כאשר המקדמים A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB הם פרופורציונליים. אם גם С 1 = λС, אז הקווים חופפים. הקואורדינטות של נקודת החיתוך של שני ישרים נמצאות כפתרון למערכת המשוואות של ישרים אלו.

משוואת הישר העובר דרך נקודה נתונה

בניצב לקו זה

הַגדָרָה.הקו העובר דרך הנקודה M 1 (x 1, y 1) ומאונך לישר y \u003d kx + b מיוצג על ידי המשוואה:

מרחק מנקודה לקו

מִשׁפָּט.אם ניתנת נקודה M(x 0, y 0), אז המרחק לישר Ax + Vy + C \u003d 0 מוגדר כ

.

הוכחה.תן לנקודה M 1 (x 1, y 1) להיות הבסיס של האנך שירד מהנקודה M לישר הנתון. ואז המרחק בין נקודות M ו-M 1:

(1)

ניתן למצוא את הקואורדינטות x 1 ו-y 1 כפתרון למערכת המשוואות:

המשוואה השנייה של המערכת היא משוואת ישר העובר דרך נקודה נתונה M 0 בניצב לישר נתון. אם נהפוך את המשוואה הראשונה של המערכת לצורה:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

ואז, בפתרון, נקבל:

החלפת ביטויים אלה במשוואה (1), אנו מוצאים:

המשפט הוכח.

דוגמא. קבע את הזווית בין הקווים: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

דוגמא. הראה שהקווים 3x - 5y + 7 = 0 ו- 10x + 6y - 3 = 0 מאונכים.

פִּתָרוֹן. אנו מוצאים: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, לכן, הקווים מאונכים.

דוגמא. נתונים קודקודי המשולש A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). מצא את המשוואה לגובה המצויר מקודקוד C.

פִּתָרוֹן. נמצא את המשוואה של הצלע AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

משוואת הגובה הרצויה היא: Ax + By + C = 0 או y = kx + b. k = . ואז y = . כי הגובה עובר דרך נקודה C, ואז הקואורדינטות שלו מקיימות את המשוואה הזו: מנין b = 17. סך הכל:.

תשובה: 3x + 2y - 34 = 0.

משוואת הישר העובר דרך נקודה נתונה בכיוון נתון. משוואת ישר העובר דרך שתי נקודות נתונות. זווית בין שני קווים. מצב של מקביליות וניצב של שני קווים. קביעת נקודת החיתוך של שני קווים

1. משוואת הישר העובר דרך נקודה נתונה א(איקס 1 , y 1) בכיוון נתון, הנקבע לפי השיפוע ק,

y - y 1 = ק(איקס - איקס 1). (1)

משוואה זו מגדירה עיפרון של קווים העוברים דרך נקודה א(איקס 1 , y 1), הנקרא מרכז הקורה.

2. משוואת ישר העובר בשתי נקודות: א(איקס 1 , y 1) ו ב(איקס 2 , y 2) נכתב כך:

השיפוע של קו ישר העובר דרך שתי נקודות נתונות נקבע על ידי הנוסחה

3. זווית בין קווים ישרים או בהיא הזווית שבה יש לסובב את הקו הישר הראשון אסביב נקודת החיתוך של קווים אלה נגד כיוון השעון עד שהיא חופפת לקו השני ב. אם שני קווים ניתנים על ידי משוואות שיפוע

y = ק 1 איקס + ב 1 ,

y = ק 2 איקס + ב 2 , (4)

ואז הזווית ביניהם נקבעת על ידי הנוסחה

יש לציין שבמונה של השבר, שיפוע הישר הראשון מופחת מהשיפוע של הישר השני.

אם משוואות של ישר ניתנות בצורה כללית

א 1 איקס + ב 1 y + ג 1 = 0,

א 2 איקס + ב 2 y + ג 2 = 0, (6)

הזווית ביניהם נקבעת על ידי הנוסחה

4. תנאים להקבלה של שני קווים:

א) אם הקווים ניתנים במשוואות (4) עם שיפוע, אז התנאי ההכרחי והמספיק להקבלה שלהם הוא שוויון המדרונות שלהם:

ק 1 = ק 2 . (8)

ב) במקרה שבו הקווים ניתנים על ידי משוואות בצורה כללית (6), התנאי ההכרחי והמספיק להקבלה שלהם הוא שהמקדמים בקואורדינטות הזרם המתאימות במשוואות שלהם יהיו פרופורציונליים, כלומר.

5. תנאים לניצול של שני קווים:

א) במקרה שהקווים ניתנים על ידי משוואות (4) עם שיפוע, התנאי ההכרחי והמספיק לניצבותם הוא שהשיפועים שלהם הם הדדיים בגודלם ומנוגדים בסימן, כלומר.

תנאי זה יכול להיכתב גם בטופס

ק 1 ק 2 = -1. (11)

ב) אם משוואות הישרים ניתנות בצורה כללית (6), אזי התנאי לניצבותן (הכרחי ומספיק) הוא למלא את השוויון

א 1 א 2 + ב 1 ב 2 = 0. (12)

6. הקואורדינטות של נקודת החיתוך של שני ישרים נמצאות על ידי פתרון מערכת המשוואות (6). קווים (6) מצטלבים אם ורק אם

1. כתוב את משוואות הישרים העוברים בנקודה M, שאחד מהם מקביל והשני מאונך לישר הנתון l.

הוראה

הערה

התקופה של משיק הפונקציה הטריגונומטרית היא 180 מעלות, כלומר זוויות הנטייה של הקווים הישרים אינן יכולות, בערך המוחלט, לחרוג מערך זה.

עצה שימושית

אם מקדמי השיפוע שווים זה לזה, אזי הזווית בין ישרים כאלה היא 0, מכיוון שקווים כאלה חופפים או מקבילים.

כדי לקבוע את הזווית בין הקווים החוצים, יש צורך להעביר את שני הקווים (או אחד מהם) למיקום חדש בשיטה של ​​העברה מקבילה לצומת. לאחר מכן, עליך למצוא את הזווית בין הקווים המצטלבים המתקבלים.

אתה תצטרך

• סרגל, משולש ישר זווית, עיפרון, מד זווית.

הוראה

אז תן לוקטור V = (a, b, c) ולמישור A x + B y + C z = 0, כאשר A, B ו-C הם הקואורדינטות של הנורמלי N. ואז הקוסינוס של הזווית α בין הווקטורים V ו-N הוא: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

כדי לחשב את ערך הזווית במעלות או ברדיאנים, עליך לחשב את הפונקציה הפוכה לקוסינוס מהביטוי המתקבל, כלומר. arccosine: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

דוגמה: מצא פינהבֵּין וֶקטוֹר(5, -3, 8) ו מָטוֹס, הניתנת על ידי המשוואה הכללית 2 x - 5 y + 3 z = 0. פתרון: רשום את הקואורדינטות של הווקטור הנורמלי של המישור N = (2, -5, 3). החלף את כל הערכים המוכרים בנוסחה לעיל: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°.

סרטונים קשורים

ישר שיש לו נקודה משותפת אחת עם מעגל משיק למעגל. תכונה נוספת של המשיק היא שהוא תמיד מאונך לרדיוס הנמשך לנקודת המגע, כלומר המשיק והרדיוס יוצרים קו ישר פינה. אם שני משיקים למעגל AB ו-AC נמשכים מנקודה אחת A, אז הם תמיד שווים זה לזה. הגדרת הזווית בין משיקים ( פינה ABC) מופק באמצעות משפט פיתגורס.

הוראה

כדי לקבוע את הזווית, עליך לדעת את רדיוס המעגל OB ו-OS ואת המרחק של נקודת המוצא של המשיק ממרכז המעגל - O. אז, הזוויות ABO ו-ACO שוות, הרדיוס OB , למשל, 10 ס"מ, והמרחק למרכז המעגל AO הוא 15 ס"מ. קבע את אורך המשיק לפי נוסחה בהתאם למשפט פיתגורס: AB \u003d שורש ריבועי של AO2 - OB2 או 152 - 102 \ u003d 225 - 100 \u003d 125;

אני אקצר. הזווית בין שני קווים שווה לזווית בין וקטורי הכיוון שלהם. לפיכך, אם תצליחו למצוא את הקואורדינטות של וקטורי הכיוון a \u003d (x 1; y 1; z 1) ו-b \u003d (x 2; y 2; z 2), תוכלו למצוא את הזווית. ליתר דיוק, הקוסינוס של הזווית לפי הנוסחה:

בואו נראה כיצד הנוסחה הזו פועלת על דוגמאות ספציפיות:

משימה. נקודות E ו-F מסומנות בקובייה ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - נקודות האמצע של הקצוות A 1 B 1 ו-B 1 C 1, בהתאמה. מצא את הזווית בין הקווים AE ו-BF.

מכיוון שקצה הקובייה אינו מצוין, אנו מגדירים AB = 1. אנו מציגים מערכת קואורדינטות סטנדרטית: המקור נמצא בנקודה A, וצירי x, y, z מכוונים לאורך AB, AD ו-AA 1, בהתאמה . קטע היחידה שווה ל-AB = 1. כעת נמצא את הקואורדינטות של וקטורי הכיוון של הקווים שלנו.

מצא את הקואורדינטות של הווקטור AE. לשם כך, אנו זקוקים לנקודות A = (0; 0; 0) ו-E = (0.5; 0; 1). מכיוון שהנקודה E היא אמצע הקטע A 1 B 1, הקואורדינטות שלו שוות לממוצע האריתמטי של קואורדינטות הקצוות. שימו לב שהמקור של הווקטור AE עולה בקנה אחד עם המקור, אז AE = (0.5; 0; 1).

עכשיו בואו נעסוק בווקטור BF. באופן דומה, אנו מנתחים את הנקודות B = (1; 0; 0) ו-F = (1; 0.5; 1), מכיוון F - אמצע הקטע B 1 C 1 . יש לנו:
BF = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1).

אז, וקטורי הכיוון מוכנים. הקוסינוס של הזווית בין הקווים הוא הקוסינוס של הזווית בין וקטורי הכיוון, אז יש לנו:

משימה. בפריזמה תלת-תדרלית רגילה ABCA 1 B 1 C 1, שכל הקצוות שלה שווים ל-1, מסומנים נקודות D ו-E - נקודות האמצע של הקצוות A 1 B 1 ו- B 1 C 1, בהתאמה. מצא את הזווית בין קווים AD ל-BE.

אנו מציגים מערכת קואורדינטות סטנדרטית: המוצא נמצא בנקודה A, ציר ה-x מכוון לאורך AB, z - לאורך AA 1. אנו מכוונים את ציר ה-y כך שמישור ה-OXY חופף למישור ABC. קטע היחידה שווה ל-AB = 1. מצא את הקואורדינטות של וקטורי הכיוון עבור הקווים הרצויים.

ראשית, בואו נמצא את הקואורדינטות של וקטור AD. שקול את הנקודות: A = (0; 0; 0) ו-D = (0.5; 0; 1), מכיוון D - אמצע הקטע A 1 B 1 . מכיוון שתחילת הווקטור AD חופפת למקור, נקבל AD = (0.5; 0; 1).

כעת נמצא את הקואורדינטות של הווקטור BE. נקודה B = (1; 0; 0) קלה לחישוב. עם נקודה E - אמצע הקטע C 1 B 1 - קצת יותר מסובך. יש לנו:

נותר למצוא את הקוסינוס של הזווית:

משימה. במנסרה משושה רגילה ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, שכל הקצוות שלה שווים ל-1, הנקודות K ו-L מסומנות - נקודות האמצע של הקצוות A 1 B 1 ו- B 1 C 1, בהתאמה. מצא את הזווית בין הקווים AK ו-BL.

אנו מציגים מערכת קואורדינטות סטנדרטית למנסרה: אנו מניחים את מקור הקואורדינטות במרכז הבסיס התחתון, מכוונים את ציר ה-x לאורך FC, את ציר ה-y דרך נקודות האמצע של המקטעים AB ו-DE, וציר z. אנכית כלפי מעלה. קטע היחידה שווה שוב ל-AB = 1. הבה נכתוב את הקואורדינטות של הנקודות המעניינות אותנו:

נקודות K ו-L הן נקודות האמצע של הקטעים A 1 B 1 ו- B 1 C 1, בהתאמה, ולכן הקואורדינטות שלהן נמצאות דרך הממוצע האריתמטי. בהכרת הנקודות, נמצא את הקואורדינטות של וקטורי הכיוון AK ו-BL:

עכשיו בואו נמצא את הקוסינוס של הזווית:

משימה. בפירמידה מרובעת רגילה SABCD, שכל הקצוות שלה שווים ל-1, מסומנות נקודות E ו-F - נקודות האמצע של הצלעות SB ו-SC, בהתאמה. מצא את הזווית בין הקווים AE ו-BF.

אנו מציגים מערכת קואורדינטות סטנדרטית: המקור נמצא בנקודה A, צירי x ו-y מכוונים לאורך AB ו-AD, בהתאמה, וציר z מופנה אנכית כלפי מעלה. קטע היחידה שווה ל-AB = 1.

נקודות E ו-F הן נקודות האמצע של הקטעים SB ו-SC, בהתאמה, ולכן הקואורדינטות שלהן נמצאות כממוצע האריתמטי של הקצוות. אנו רושמים את הקואורדינטות של הנקודות המעניינים אותנו:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

בהכרת הנקודות, נמצא את הקואורדינטות של וקטורי הכיוון AE ו-BF:

הקואורדינטות של הווקטור AE חופפות לקואורדינטות של נקודה E, שכן נקודה A היא המקור. נותר למצוא את הקוסינוס של הזווית: