שיטת הממוצעים

3.1 מהות ומשמעות של ממוצעים בסטטיסטיקה. סוגי ממוצעים

ערך ממוצעבסטטיסטיקה, נקרא מאפיין כללי של תופעות ותהליכים הומוגניים איכותיים לפי תכונה משתנה כלשהי, המראה את רמת התכונה, הקשורה ליחידת האוכלוסייה. ערך ממוצע מופשט, כי מאפיין את ערך התכונה עבור יחידה לא אישית כלשהי של האוכלוסייה.מַהוּתבגודל ממוצע טמון בעובדה שהכלל וההכרחי, כלומר הנטייה והסדירות בהתפתחותן של תופעות המוניות, מתגלים דרך הפרט והמקרי. תכונות המסכמות בערכים ממוצעים טבועות בכל יחידות האוכלוסייה. בשל כך, לערך הממוצע חשיבות רבה לזיהוי דפוסים הטבועים בתופעות המוניות ואינם ניכרים ביחידות בודדות של האוכלוסייה.

עקרונות כלליים לשימוש בממוצעים:

יש צורך בבחירה סבירה של יחידת האוכלוסייה שעבורה מחושב הערך הממוצע;

בעת קביעת הערך הממוצע, יש צורך להמשיך מהתוכן האיכותי של התכונה הממוצעת, לקחת בחשבון את היחס בין התכונות הנלמדות, כמו גם את הנתונים הזמינים לחישוב;

יש לחשב ערכים ממוצעים על פי אגרגטים הומוגניים מבחינה איכותית, המתקבלים בשיטת הקיבוץ, הכוללת חישוב של מערכת של אינדיקטורים הכללה;

הממוצעים הכוללים צריכים להיות נתמכים על ידי ממוצעים קבוצתיים.

בהתאם לאופי הנתונים העיקריים, היקף ושיטת החישוב בסטטיסטיקה, נבדלים הבאים: סוגים עיקריים של ממוצעים:

1) ממוצעי כוח(ממוצע אריתמטי, הרמוני, גיאומטרי, ממוצע שורש ריבוע ומעוקב);

2) ממוצעים מבניים (לא פרמטריים).(מצב וחציון).

בסטטיסטיקה, האפיון הנכון של האוכלוסייה הנחקרת על בסיס מאפיינים משתנים בכל מקרה בודד ניתן רק על ידי סוג מוגדר היטב של ממוצע. השאלה איזה סוג של ממוצע יש ליישם במקרה מסוים נפתרת על ידי ניתוח ספציפי של האוכלוסייה הנחקרת, וכן על בסיס עקרון המשמעותיות של התוצאות בעת סיכום או שקילה. עקרונות אלו ואחרים באים לידי ביטוי בסטטיסטיקה תורת הממוצעים.

לדוגמה, הממוצע האריתמטי והממוצע ההרמוני משמשים לאפיון הערך הממוצע של תכונה משתנה באוכלוסייה הנחקרת. הממוצע הגיאומטרי משמש רק בעת חישוב הקצב הממוצע של דינמיקה, והריבוע הממוצע רק בעת חישוב מדדי השונות.

נוסחאות לחישוב ערכים ממוצעים מוצגות בטבלה 3.1.

טבלה 3.1 - נוסחאות לחישוב ערכים ממוצעים

סוגי ממוצעים	נוסחאות חישוב
	פָּשׁוּט	מְשׁוּקלָל
1. ממוצע אריתמטי
2. הרמוני ממוצע
3. ממוצע גיאומטרי
4. Root Mean Square

ייעודים:- כמויות שעבורן מחושב הממוצע; - ממוצע, כאשר השורה למעלה מציינת שמתבצע ממוצע של ערכים בודדים; - תדירות (חזרה על ערכי תכונה אינדיבידואלית).

ברור שממנו נגזרים ממוצעים שונים הנוסחה הכללית של ממוצע החזקה (3.1) :

, (3.1)

עבור k = + 1 - ממוצע אריתמטי; k = -1 - ממוצע הרמוני; k = 0 - ממוצע גיאומטרי; k = +2 - ריבוע ממוצע של שורש.

הממוצעים הם פשוטים או משוקללים. ממוצעים משוקללים נקראים ערכים שלוקחים בחשבון שחלק מהווריאציות של ערכי התכונה עשויות להיות עם מספרים שונים; בהקשר זה, יש להכפיל כל אפשרות במספר זה. במקרה זה, ה"משקלים" הם מספרי יחידות האוכלוסייה בקבוצות שונות, כלומר. כל אפשרות "שוקלת" לפי התדירות שלה. התדר f נקרא משקל סטטיסטיאוֹ משקל ממוצע.

בסופו של דבר בחירה נכונה של ממוצעמניח את הרצף הבא:

א) הקמת אינדיקטור מכליל של האוכלוסייה;

ב) קביעת יחס מתמטי של ערכים עבור אינדיקטור הכללה נתון;

ג) החלפת ערכים בודדים בערכים ממוצעים;

ד) חישוב הממוצע באמצעות המשוואה המתאימה.

3.2 ממוצע אריתמטי ותכונותיו וטכניקת החישוב שלו. הרמוניה ממוצעת

ממוצע אריתמטי- הסוג הנפוץ ביותר של גודל בינוני; זה מחושב במקרים שבהם נפח התכונה הממוצעת נוצר כסכום ערכיה עבור יחידות בודדות של האוכלוסייה הסטטיסטית הנחקרת.

המאפיינים החשובים ביותר של הממוצע האריתמטי:

1. המכפלה של הממוצע וסכום התדרים תמיד שווה לסכום התוצרים של הווריאציה (ערכים בודדים) והתדרים.

2. אם מספר שרירותי כלשהו יופחת (מוסף) מכל אפשרות, אז הממוצע החדש יקטן (יגדל) באותו מספר.

3. אם כל אפשרות מוכפלת (מחלקים) במספר שרירותי כלשהו, ​​אזי הממוצע החדש יגדל (יקטן) באותה כמות

4. אם כל התדרים (המשקלים) מחולקים או מוכפלים במספר כלשהו, ​​אז הממוצע האריתמטי לא ישתנה מזה.

5. סכום הסטיות של אפשרויות בודדות מהממוצע האריתמטי הוא תמיד אפס.

אפשר להחסיר ערך קבוע שרירותי מכל ערכי התכונה (טוב יותר הערך של האופציה האמצעית או האופציות בתדירות הגבוהה ביותר), להפחית את ההבדלים המתקבלים על ידי גורם משותף (רצוי לפי ערך המרווח ), ומבטאים את התדרים בפרטים (באחוזים) ומכפילים את הממוצע המחושב בגורם המשותף ומוסיפים ערך קבוע שרירותי. שיטה זו לחישוב הממוצע האריתמטי נקראת שיטת חישוב מאפס מותנה .

ממוצע גיאומטרימוצא את יישומו בקביעת קצב הצמיחה הממוצע (שיעורי צמיחה ממוצעים), כאשר הערכים האישיים של התכונה מוצגים כערכים יחסיים. הוא משמש גם אם יש צורך למצוא את הממוצע בין ערכי המינימום והמקסימום של מאפיין (לדוגמה, בין 100 ל-1000000).

שורש ממוצע ריבועיםמשמש למדידת השונות של תכונה באוכלוסייה (חישוב סטיית התקן).

בסטטיסטיקה זה עובד כלל הרוב לאמצעים:

X נזק.< Х геом. < Х арифм. < Х квадр. < Х куб.

3.3 אמצעים מבניים (מצב וחציון)

כדי לקבוע את מבנה האוכלוסייה, משתמשים בממוצעים מיוחדים, הכוללים את החציון והמוד, או את מה שנקרא ממוצעים מבניים. אם הממוצע האריתמטי מחושב על סמך השימוש בכל הווריאציות של ערכי התכונה, החציון והמצב מאפיינים את הערך של הווריאציה שתופס מיקום ממוצע מסוים בסדרת הווריאציות המדורגת

אופנה- הערך האופייני ביותר, הנפגש לרוב, של התכונה. ל סדרות בדידותהמצב יהיה זה עם התדר הגבוה ביותר. להגדיר אופנה סדרת מרווחיםתחילה קבע את המרווח המודאלי (המרווח בעל התדירות הגבוהה ביותר). לאחר מכן, בתוך מרווח זה, נמצא הערך של התכונה, שיכול להיות מצב.

כדי למצוא ערך ספציפי של מצב סדרת המרווחים, יש צורך להשתמש בנוסחה (3.2)

(3.2)

כאשר X Mo הוא הגבול התחתון של המרווח המודאלי; i Mo - הערך של המרווח המודאלי; f Mo הוא התדירות של המרווח המודאלי; f Mo-1 - תדירות המרווח שלפני המודאל; f Mo+1 - תדירות המרווח העוקב אחר המודאל.

אופנה נמצאת בשימוש נרחב בפעילויות שיווק בחקר הביקוש של הצרכנים, במיוחד בקביעת מידות הבגדים והנעליים המבוקשים ביותר, תוך הסדרת מדיניות התמחור.

חֲצִיוֹן - הערך של תכונת המשתנה, הנופלת באמצע אוכלוסיית הטווח. ל סדרה מדורגת עם מספר אי זוגיערכים בודדים (לדוגמה, 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10) החציון יהיה הערך שנמצא במרכז הסדרה, כלומר. הערך הרביעי הוא 6. עבור סדרה מדורגת עם מספר זוגיערכים בודדים (לדוגמה, 1, 5, 7, 10, 11, 14) החציון יהיה הערך הממוצע האריתמטי, אשר מחושב משני ערכים סמוכים. במקרה שלנו, החציון הוא (7+10)/2= 8.5.

לפיכך, כדי למצוא את החציון, תחילה יש צורך לקבוע את המספר הסידורי שלו (מיקומו בסדרה המדורגת) באמצעות נוסחאות (3.3):

(אם אין תדרים)

נאני=
(אם יש תדרים) (3.3)

כאשר n הוא מספר היחידות באוכלוסייה.

הערך המספרי של החציון סדרת מרווחיםנקבע על ידי התדרים המצטברים בסדרת וריאציות בדיד. לשם כך, תחילה עליך לציין את המרווח למציאת החציון בסדרת המרווחים של ההתפלגות. החציון הוא המרווח הראשון שבו סכום התדרים המצטברים עולה על מחצית ממספר התצפיות הכולל.

הערך המספרי של החציון נקבע בדרך כלל על ידי הנוסחה (3.4)

(3.4)

כאשר x Me - הגבול התחתון של המרווח החציוני; iMe - הערך של המרווח; SMe -1 - התדירות המצטברת של המרווח שלפני החציון; fMe היא התדירות של המרווח החציוני.

בתוך המרווח שנמצא, החציון מחושב גם באמצעות הנוסחה Me = xl e, כאשר הגורם השני בצד ימין של המשוואה מראה את מיקומו של החציון בתוך המרווח החציוני, ו-x הוא אורך המרווח הזה. החציון מחלק את סדרת הווריאציות לשניים לפי תדירות. תגדיר יותר רבעונים , המחלקים את סדרת הווריאציות ל-4 חלקים בגודל שווה בהסתברות, ו עשירונים חלוקת הסדרה ל-10 חלקים שווים.

עכשיו בואו נדבר על איך לחשב ממוצע.
בצורתה הקלאסית, התיאוריה הכללית של הסטטיסטיקה מציעה לנו גרסה אחת של הכללים לבחירת הערך הממוצע.
ראשית עליך להכין נוסחה לוגית נכונה לחישוב הערך הממוצע (LFS). לכל ערך ממוצע תמיד יש רק נוסחה לוגית אחת לחישוב שלו, כך שקשה לטעות כאן. אבל עלינו לזכור תמיד שבמונה (זה מה שנמצא על גבי השבר) נמצא סכום כל התופעות, ובמכנה (מה שנמצא בתחתית השבר) נמצא המספר הכולל של היסודות.

לאחר הרכבת הנוסחה הלוגית, תוכלו להשתמש בכללים (למען נוחות ההבנה, נפשט ונפחית אותם):
1. אם המכנה של הנוסחה הלוגית מוצג בנתונים הראשוניים (נקבעים לפי תדירות), אזי החישוב מתבצע לפי נוסחת הממוצע האריתמטי המשוקלל.
2. אם המונה של הנוסחה הלוגית מוצג בנתונים הראשוניים, החישוב מתבצע לפי הנוסחה של הממוצע המשוקלל ההרמוני.
3. אם גם המונה וגם המכנה של נוסחה לוגית נמצאים בבעיה בבת אחת (זה קורה לעתים רחוקות), אז החישוב מתבצע באמצעות נוסחה זו או באמצעות נוסחת הממוצע האריתמטי הפשוט.
זהו רעיון קלאסי של בחירת הנוסחה הנכונה לחישוב הערך הממוצע. לאחר מכן, נציג את רצף הפעולות בפתרון בעיות לחישוב הערך הממוצע.

אלגוריתם לפתרון בעיות לחישוב הערך הממוצע

א. קבע את השיטה לחישוב הערך הממוצע - פשוט או משוקלל . אם הנתונים מוצגים בטבלה, אז אנחנו משתמשים בשיטה משוקללת, אם הנתונים מוצגים בספירה פשוטה אז אנחנו משתמשים בשיטת חישוב פשוטה.

ב. הגדר או סדר סמלים - איקס - אפשרות, ו - תדירות . וריאנט היא התופעה שעבורה רוצים למצוא את הערך הממוצע. שאר הנתונים בטבלה יהיו התדירות.

ב. אנו קובעים את הטופס לחישוב הערך הממוצע - אריתמטי או הרמוני . ההגדרה מתבצעת בעמודת התדירות. הצורה האריתמטית משמשת אם התדרים ניתנים במספר מפורש (בתנאי, אתה יכול להחליף את המילה חתיכות, את מספר האלמנטים "חתיכות" עבורם). הצורה ההרמונית משמשת אם התדרים ניתנים לא על ידי מספר מפורש, אלא על ידי אינדיקטור מורכב (המכפלה של הערך הממוצע והתדר).

הדבר הקשה ביותר הוא לנחש היכן וכמה ניתן, במיוחד עבור תלמיד חסר ניסיון בעניינים כאלה. במצב כזה, אתה יכול להשתמש באחת מהשיטות הבאות. למשימות מסוימות (כלכליות), ההצהרה שפותחה במהלך שנות התרגול (סעיף ב.1) מתאימה. במצבים אחרים, תצטרך להשתמש בסעיף ב.2.

ג.1 אם התדר נקבע ביחידות כספיות (ברובלים), אז הממוצע ההרמוני משמש לחישוב, הצהרה כזו נכונה תמיד אם התדר שזוהה נקבע בכסף, במצבים אחרים כלל זה אינו חל.

ב.2 השתמש בכללים לבחירת הערך הממוצע המצוין לעיל במאמר זה. אם התדירות ניתנת על ידי המכנה של הנוסחה הלוגית לחישוב הערך הממוצע, אזי אנו מחשבים לפי הצורה הממוצעת האריתמטית, אם התדירות ניתנת על ידי המונה של הנוסחה הלוגית לחישוב הערך הממוצע, אזי אנו מחשבים לפי ה- צורת ממוצע הרמונית.

שקול את הדוגמאות לשימוש באלגוריתם זה.

א. מאחר שהנתונים מוצגים בשורה, אנו משתמשים בשיטת חישוב פשוטה.

B.V. יש לנו רק נתונים על כמות הפנסיה, והם יהיו הגרסה שלנו - x. הנתונים מוצגים כמספר פשוט (12 אנשים), לצורך החישוב אנו משתמשים בממוצע האריתמטי הפשוט.

הפנסיה הממוצעת של פנסיונר היא 9208.3 רובל.

ב.מכיוון שנדרש למצוא את סכום התשלום הממוצע לילד, האפשרויות נמצאות בעמודה הראשונה, שם את הייעוד x, העמודה השנייה הופכת אוטומטית לתדירות f.

ג. התדירות (מספר הילדים) ניתנת על ידי מספר מפורש (אתה יכול להחליף את המילה חתיכות של ילדים, מנקודת המבט של השפה הרוסית, הביטוי לא נכון, אבל, למעשה, זה מאוד נוח check), כלומר הממוצע המשוקלל האריתמטי משמש לחישוב.

זה אופנתי לפתור את אותה בעיה לא בצורה נוסחתית, אלא בטבלה, כלומר להזין את כל הנתונים של חישובי ביניים בטבלה.

כתוצאה מכך, כל מה שצריך לעשות כעת הוא להפריד בין שני הסכומים בסדר הנכון.

התשלום הממוצע לילד לחודש היה 1,910 רובל.

א. מאחר שהנתונים מוצגים בטבלה, אנו משתמשים בטופס המשוקלל לחישוב.

ב. התדירות (עלות הפלט) נקבעת על ידי כמות מרומזת (התדר נקבעת ב רובל אלגוריתם פריט B1), כלומר הממוצע המשוקלל ההרמוני משמש לחישוב. באופן כללי, למעשה, עלות הייצור היא אינדיקטור מורכב, אשר מתקבל על ידי הכפלת העלות של יחידה של מוצר במספר מוצרים כאלה, זוהי המהות של הערך ההרמוני הממוצע.

על מנת שבעיה זו תיפתר באמצעות נוסחת הממוצע האריתמטי, יש צורך שבמקום עלות הייצור, יהיה מספר המוצרים עם העלות המתאימה.

שימו לב שהסכום במכנה, המתקבל לאחר חישובים 410 (120 + 80 + 210) הוא המספר הכולל של המוצרים המיוצרים.

עלות היחידה הממוצעת של מוצר הייתה 314.4 רובל.

א. מאחר שהנתונים מוצגים בטבלה, אנו משתמשים בטופס המשוקלל לחישוב.

ב.מכיוון שנדרש למצוא את עלות היחידה הממוצעת, האפשרויות נמצאות בעמודה הראשונה, שם את הייעוד x, העמודה השנייה הופכת אוטומטית לתדר f.

ב. התדירות (מספר הפערים הכולל) ניתנת במספר מרומז (הוא מכפלה של שני אינדיקטורים של מספר הפערים ומספר התלמידים עם מספר פערים כזה), כלומר הממוצע המשוקלל ההרמוני הוא משמש לחישוב. נשתמש בנקודה של האלגוריתם B2.

על מנת שבעיה זו תיפתר באמצעות נוסחת הממוצע האריתמטי, יש צורך שבמקום סך הפערים יהיה מספר התלמידים.

אנו מכינים נוסחה הגיונית לחישוב מספר המעבר הממוצע לתלמיד.

תדירות לפי מצב הבעיה סך כל המעברים. בנוסחה הלוגית, מחוון זה נמצא במונה, מה שאומר שאנו משתמשים בנוסחת הממוצע ההרמוני.

שימו לב שהסכום במכנה לאחר חישוב 31 (18+8+5) הוא סך התלמידים.

ממוצע ההיעדרויות לתלמיד הוא 13.8 ימים.

ערך ממוצע- זהו אינדיקטור מכליל המאפיין אוכלוסייה הומוגנית מבחינה איכותית לפי תכונה כמותית מסוימת. למשל, הגיל הממוצע של אנשים שהורשעו בגניבה.

בסטטיסטיקה שיפוטית, ממוצעים משמשים לאפיון:

תנאי הבחינה הממוצעים של מקרים מקטגוריה זו;

תביעה בגודל בינוני;

מספר הנאשמים הממוצע לתיק;

כמות הנזק הממוצעת;

עומס עבודה ממוצע של שופטים וכו'.

הערך הממוצע מקבל תמיד שם ויש לו אותו ממד כמו התכונה של יחידה נפרדת של האוכלוסייה. כל ערך ממוצע מאפיין את האוכלוסייה הנחקרת לפי כל תכונה משתנה, ולכן מאחורי כל ממוצע, יש סדרה של התפלגות של יחידות של אוכלוסייה זו לפי התכונה הנחקרת. בחירת סוג הממוצע נקבעת לפי תוכן המדד והנתונים הראשוניים לחישוב הממוצע.

כל סוגי הממוצעים המשמשים במחקרים סטטיסטיים מתחלקים לשתי קטגוריות:

1) ממוצעי הספק;

2) ממוצעים מבניים.

הקטגוריה הראשונה של ממוצעים כוללת: ממוצע אריתמטי, ממוצע הרמוני, ממוצע גיאומטרי ו שורש ממוצע ריבועים . הקטגוריה השנייה היא אופנהו חֲצִיוֹן. יתר על כן, לכל אחד מהסוגים המפורטים של ממוצעי הספק יכולים להיות שתי צורות: פָּשׁוּט ו מְשׁוּקלָל . הצורה הפשוטה של ​​הממוצע משמשת כדי לקבל את הממוצע של התכונה הנחקרת כאשר החישוב מבוסס על סטטיסטיקה לא מקובצת, או כאשר כל וריאנט מתרחש רק פעם אחת באוכלוסייה. ממוצעים משוקללים נקראים ערכים שלוקחים בחשבון שלאפשרויות הערכים של תכונה יכולים להיות מספרים שונים, ולכן יש להכפיל כל אפשרות בתדירות המתאימה. במילים אחרות, כל אפשרות "נשקלת" לפי התדירות שלה. התדירות נקראת משקל סטטיסטי.

ממוצע אריתמטי פשוט- הסוג הנפוץ ביותר של מדיום. זה שווה לסכום של ערכי מאפיינים בודדים חלקי המספר הכולל של ערכים אלה:

איפה x 1 ,x 2 , … ,x N- ערכים בודדים של תכונת המשתנה (אפשרויות), ו-N - מספר יחידות האוכלוסייה.

ממוצע משוקלל אריתמטימשמש כאשר הנתונים מוצגים בצורה של סדרות תפוצה או קבוצות. הוא מחושב כסכום תוצרי האופציות והתדרים התואמים להן, חלקי סכום התדרים של כל האופציות:

איפה x i- משמעות אניגרסאות -ה של התכונה; fi- תדירות אניהאפשרויות.

לפיכך, כל ערך וריאציה משוקלל לפי התדירות שלו, וזו הסיבה שהתדרים נקראים לפעמים משקלים סטטיסטיים.

תגובה.כאשר מדובר בממוצע האריתמטי מבלי לציין את סוגו, הכוונה לממוצע האריתמטי הפשוט.

טבלה 12

פִּתָרוֹן.לחישוב, אנו משתמשים בנוסחה של הממוצע המשוקלל האריתמטי:

כך, בממוצע, ישנם שני נאשמים לכל תיק פלילי.

אם חישוב הערך הממוצע מתבצע על פי נתונים המקובצים בצורה של סדרת התפלגות מרווחים, תחילה עליך לקבוע את הערכים החציוניים של כל מרווח x "i, ולאחר מכן לחשב את הערך הממוצע באמצעות המשוקלל נוסחת ממוצע אריתמטי, שבה x" i מוחלף במקום x i.

דוגמא.נתונים על גילם של עבריינים שהורשעו בגניבה מוצגים בטבלה:

טבלה 13

קבע את הגיל הממוצע של עבריינים שהורשעו בגניבה.

פִּתָרוֹן.כדי לקבוע את הגיל הממוצע של פושעים על סמך סדרת וריאציות המרווחים, תחילה עליך למצוא את ערכי החציון של המרווחים. מכיוון וניתנת סדרת מרווחים עם מרווחים ראשונים ואחרונים פתוחים, ערכי המרווחים הללו נלקחים בשווים לערכים של מרווחים סגורים סמוכים. במקרה שלנו, הערך של המרווח הראשון והאחרון הוא 10.

כעת אנו מוצאים את הגיל הממוצע של פושעים באמצעות נוסחת הממוצע האריתמטי המשוקלל:

לפיכך, הגיל הממוצע של עבריינים שהורשעו בגניבה הוא כ-27 שנים.

הרמוני ממוצע פשוט הוא ההדדיות של הממוצע האריתמטי של הערכים ההדדיים של התכונה:

איפה 1/ x iהם ההדדיות של האפשרויות, ו-N הוא מספר יחידות האוכלוסייה.

דוגמא.על מנת לקבוע את עומס העבודה השנתי הממוצע של שופטי בית משפט מחוזי בבחינת תיקים פליליים, נערך סקר על עומס העבודה של 5 שופטי בית משפט זה. הזמן הממוצע שהושקע בתיק פלילי אחד עבור כל אחד מהשופטים שנסקרו התברר כשווה (בימים): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. מצא את העלויות הממוצעות עבור אחד תיק פלילי ועומס העבודה השנתי הממוצע על שופטי בית משפט מחוזי זה בבחינת תיקים פליליים.

פִּתָרוֹן.כדי לקבוע את הזמן הממוצע שהושקע בתיק פלילי אחד, אנו משתמשים בנוסחה הפשוטה ההרמונית:

כדי לפשט את החישובים בדוגמה, ניקח את מספר הימים בשנה השווה ל-365, כולל סופי שבוע (הדבר אינו משפיע על שיטת החישוב, וכאשר מחשבים אינדיקטור דומה בפועל, יש צורך להחליף את מספר העובדים ימים בשנה מסוימת במקום 365 ימים). אז עומס העבודה השנתי הממוצע על שופטי בית משפט מחוזי זה בבחינת תיקים פליליים יהיה: 365 (ימים): 5.56 ≈ 65.6 (תיקים).

אם היינו משתמשים בנוסחת הממוצע האריתמטי הפשוט כדי לקבוע את הזמן הממוצע שהושקע בתיק פלילי אחד, נקבל:

365 (ימים): 5.64 ≈ 64.7 (מקרים), כלומר. עומס העבודה הממוצע על שופטים היה נמוך יותר.

בואו נבדוק את תקפותה של גישה זו. לשם כך, אנו משתמשים בנתונים על משך הזמן שהושקע בתיק פלילי אחד עבור כל שופט ומחשבים את מספר התיקים הפליליים ששקלו כל אחד מהם בשנה.

אנחנו מקבלים בהתאם:

365 (ימים) : 6 ≈ 61 (מקרה), 365 (ימים) : 5.6 ≈ 65.2 (מקרה), 365 (ימים) : 6.3 ≈ 58 (מקרה),

365 (ימים) : 4.9 ≈ 74.5 (מקרים), 365 (ימים) : 5.4 ≈ 68 (מקרים).

כעת אנו מחשבים את עומס העבודה השנתי הממוצע עבור שופטי בית משפט מחוזי זה כאשר בוחנים תיקים פליליים:

הָהֵן. העומס השנתי הממוצע זהה לשימוש בממוצע ההרמוני.

לפיכך, השימוש בממוצע האריתמטי במקרה זה אינו חוקי.

במקרים בהם הווריאציות של תכונה ידועות, הערכים הנפחיים שלהן (המכפלה של הווריאציות לפי התדר), אך התדרים עצמם אינם ידועים, הנוסחה הממוצעת המשוקללת ההרמונית מיושמת:

,

איפה x iהם הערכים של אפשרויות התכונה, ו-w i הם הערכים הנפחיים של האפשרויות ( w i = x i f i).

דוגמא.נתונים על מחיר יחידה מאותו סוג של סחורה המיוצרים על ידי מוסדות שונים של מערכת הכליאה ועל היקף ביצועה מובאים בטבלה 14.

טבלה 14

מצא את מחיר המכירה הממוצע של המוצר.

פִּתָרוֹן.בחישוב המחיר הממוצע, עלינו להשתמש ביחס בין הכמות הנמכרת למספר היחידות הנמכרות. אנחנו לא יודעים את מספר היחידות שנמכרו, אבל אנחנו יודעים את כמות המכירות של הסחורה. לכן, כדי למצוא את המחיר הממוצע של סחורה שנמכרה, אנו משתמשים בנוסחת הממוצע המשוקלל ההרמוני. אנחנו מקבלים

אם תשתמש בנוסחה הממוצעת האריתמטית כאן, תוכל לקבל מחיר ממוצע שיהיה לא ריאלי:

ממוצע גיאומטרימחושב על ידי חילוץ השורש של תואר N מהמכפלה של כל הערכים של אפשרויות התכונה:

,

איפה x 1 ,x 2 , … ,x N- ערכים בודדים של התכונה המשתנה (אפשרויות), וכן

נ- מספר יחידות אוכלוסייה.

סוג זה של ממוצע משמש לחישוב שיעורי הצמיחה הממוצעים של סדרות זמן.

שורש ממוצע ריבועיםמשמש לחישוב סטיית התקן, המהווה אינדיקטור לשונות, ועליו נדון להלן.

כדי לקבוע את מבנה האוכלוסייה, משתמשים בממוצעים מיוחדים הכוללים חֲצִיוֹן ו אופנה , או מה שנקרא ממוצעים מבניים. אם הממוצע האריתמטי מחושב על סמך השימוש בכל הווריאציות של ערכי התכונה, אז החציון והמצב מאפיינים את הערך של הווריאציה שתופס מיקום ממוצע מסוים בסדרה המדורגת (המסודרת). סדר היחידות של האוכלוסייה הסטטיסטית יכול להתבצע בסדר עולה או יורד של הווריאציות של התכונה הנחקרת.

חציון (אני)הוא הערך המתאים לגרסה באמצע הסדרה המדורגת. לפיכך, החציון הוא אותו וריאנט של הסדרה המדורגת, שבשני צדדיה בסדרה זו צריך להיות מספר שווה של יחידות אוכלוסייה.

כדי למצוא את החציון, תחילה עליך לקבוע את המספר הסידורי שלו בסדרה המדורגת באמצעות הנוסחה:

כאשר N הוא נפח הסדרה (מספר יחידות האוכלוסייה).

אם הסדרה מורכבת ממספר אי זוגי של איברים, אז החציון שווה לווריאציה עם המספר N Me . אם הסדרה מורכבת ממספר זוגי של איברים, אז החציון מוגדר כממוצע האריתמטי של שתי אפשרויות סמוכות הממוקמות באמצע.

דוגמא.בהינתן סדרה מדורגת 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. נפח הסדרה הוא N = 9, כלומר N Me = (9 + 1) / 2 = 5. לכן, Me = 6, כלומר . אפשרות חמישית. אם שורה ניתנת 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, כלומר. סדרה עם מספר זוגי של איברים (N = 8), ואז N Me = (8 + 1) / 2 = 4.5. אז החציון שווה למחצית הסכום של האפשרויות הרביעית והחמישית, כלומר. אני = (9 + 11) / 2 = 10.

בסדרת וריאציות בדיד, החציון נקבע על פי התדרים המצטברים. תדרים וריאנטים, החל מהראשון, מסוכמים עד לחרוג מהמספר החציוני. הערך של האופציות האחרונות המסוכמות יהיה החציון.

דוגמא.מצא את המספר החציוני של נאשמים לכל תיק פלילי באמצעות הנתונים בטבלה 12.

פִּתָרוֹן.במקרה זה, הנפח של סדרת הווריאציות הוא N = 154, לכן, N Me = (154 + 1) / 2 = 77.5. לסכם את התדרים של האפשרויות הראשונה והשנייה, נקבל: 75 + 43 = 118, כלומר. עברנו את המספר החציוני. אז אני = 2.

בסדרת וריאציות המרווחים של ההתפלגות, ציין תחילה את המרווח שבו ימוקם החציון. הוא נקרא חֲצִיוֹן . זהו המרווח הראשון שהתדירות המצטברת שלו עולה על מחצית הנפח של סדרת וריאציות המרווחים. אז הערך המספרי של החציון נקבע על ידי הנוסחה:

איפה x אני- הגבול התחתון של המרווח החציוני; i - הערך של המרווח החציוני; S Me-1- התדירות המצטברת של המרווח שלפני החציון; f אני- תדירות המרווח החציוני.

דוגמא.מצא את הגיל החציוני של עבריינים שהורשעו בגניבה, בהתבסס על הנתונים הסטטיסטיים המוצגים בטבלה 13.

פִּתָרוֹן.נתונים סטטיסטיים מיוצגים על ידי סדרת וריאציות מרווחים, כלומר אנו קובעים תחילה את המרווח החציוני. נפח האוכלוסייה N = 162, לכן, המרווח החציוני הוא המרווח 18-28, מכיוון זהו המרווח הראשון, שהתדירות המצטברת שלו (15 + 90 = 105) עולה על מחצית הנפח (162: 2 = 81) של סדרת וריאציות המרווחים. כעת הערך המספרי של החציון נקבע על ידי הנוסחה לעיל:

כך, מחצית מהמורשעים בגניבה הם מתחת לגיל 25.

אופנה (מו)שם את הערך של התכונה, שנמצאת לרוב ביחידות של האוכלוסייה. אופנה משמשת לזיהוי הערך של התכונה בעלת התפוצה הגדולה ביותר. עבור סדרה בדידה, המצב יהיה הגרסה בעלת התדר הגבוה ביותר. לדוגמה, עבור סדרה בדיד המוצגת בטבלה 3 מו= 1, מכיוון שערך זה של האפשרויות מתאים לתדירות הגבוהה ביותר - 75. כדי לקבוע את מצב סדרת המרווחים, קבע תחילה מוֹדָלִי מרווח (מרווח בעל התדירות הגבוהה ביותר). לאחר מכן, בתוך מרווח זה, נמצא הערך של התכונה, שיכול להיות מצב.

ערכו נמצא בנוסחה:

איפה x מו- הגבול התחתון של המרווח המודאלי; i - הערך של המרווח המודאלי; ו מו- תדר מרווח מודאלי; f Mo-1- תדירות המרווח שלפני המודאלי; f Mo+1- תדירות המרווח העוקב אחר המודאל.

דוגמא.מצא את מצב הגיל של פושעים שהורשעו בגניבה, הנתונים עליהם מוצגים בטבלה 13.

פִּתָרוֹן.התדר הגבוה ביותר מתאים למרווח 18-28, לכן, המצב חייב להיות במרווח זה. ערכו נקבע על ידי הנוסחה לעיל:

לפיכך, המספר הגדול ביותר של עבריינים שהורשעו בגניבה הוא בני 24.

הערך הממוצע נותן מאפיין הכללה של מכלול התופעה הנחקרת. עם זאת, שתי אוכלוסיות בעלות ערכים ממוצעים זהים עשויות להיות שונות זו מזו באופן משמעותי מבחינת מידת התנודות (השונות) בערך התכונה הנחקרת. לדוגמה, בבית משפט אחד נקבעו עונשי המאסר הבאים: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 שנים, ובאחר - 5, 5, 6, 6, 7, 7 , 7, 8, 8, 8 שנים. בשני המקרים, הממוצע האריתמטי הוא 6.7 שנים. עם זאת, אגרגטים אלה שונים זה מזה באופן משמעותי בהתפשטות הערכים הבודדים של תקופת המאסר שנקבעה ביחס לערך הממוצע.

ולבית המשפט הראשון, שבו השונות הזו גדולה למדי, תקופת המאסר הממוצעת אינה משקפת היטב את כלל האוכלוסייה. לפיכך, אם הערכים האישיים של התכונה שונים מעט זה מזה, אז הממוצע האריתמטי יהיה מאפיין די אינדיקטיבי של המאפיינים של אוכלוסייה זו. אחרת, הממוצע האריתמטי יהיה מאפיין לא אמין של אוכלוסייה זו והיישום שלו בפועל אינו יעיל. לכן, יש צורך לקחת בחשבון את השונות בערכי התכונה הנחקרת.

וָרִיאַצִיָה- אלו הם הבדלים בערכים של מאפיין ביחידות שונות של אוכלוסייה נתונה באותה תקופה או נקודת זמן. המונח "וריאציה" הוא ממקור לטיני - variatio, שפירושו הבדל, שינוי, תנודה. זה נובע כתוצאה מהעובדה שהערכים האישיים של התכונה נוצרים בהשפעה משולבת של גורמים שונים (תנאים), המשולבים בדרכים שונות בכל מקרה לגופו. כדי למדוד את השונות של תכונה, נעשה שימוש באינדיקטורים מוחלטים ויחסיים שונים.

האינדיקטורים העיקריים לשונות כוללים את הדברים הבאים:

1) טווח שונות;

2) סטייה ליניארית ממוצעת;

3) פיזור;

4) סטיית תקן;

5) מקדם וריאציה.

הבה נתעכב בקצרה על כל אחד מהם.

וריאציה של טווח R הוא האינדיקטור המוחלט הנגיש ביותר מבחינת קלות החישוב, המוגדר כהפרש בין הערכים הגדולים והקטנים ביותר של התכונה עבור היחידות של אוכלוסייה זו:

טווח השונות (טווח התנודות) הוא אינדיקטור חשוב לשונות של תכונה, אך הוא מאפשר לראות רק סטיות קיצוניות, מה שמגביל את היקפה. לאפיון מדויק יותר של השונות של תכונה בהתבסס על התנודות שלה, נעשה שימוש באינדיקטורים אחרים.

סטייה ליניארית ממוצעתמייצג את הממוצע האריתמטי של הערכים המוחלטים של הסטיות של הערכים האישיים של התכונה מהממוצע ונקבע על ידי הנוסחאות:

1) ל נתונים לא מקובצים

2) ל סדרת וריאציות

עם זאת, המדד הנפוץ ביותר לשונות הוא פְּזִירָה . הוא מאפיין את מידת התפשטות ערכי התכונה הנחקרת ביחס לערכה הממוצע. השונות מוגדרת כממוצע הסטיות בריבוע.

שונות פשוטהעבור נתונים לא מקובצים:

.

שונות משוקללתעבור סדרת הווריאציות:

תגובה.בפועל, עדיף להשתמש בנוסחאות הבאות כדי לחשב את השונות:

לשונות פשוטה

.

לשונות משוקללת

סטיית תקןהוא השורש הריבועי של השונות:

סטיית התקן היא מדד לאמינות הממוצע. ככל שסטיית התקן קטנה יותר, האוכלוסייה הומוגנית יותר והממוצע האריתמטי משקף טוב יותר את כל האוכלוסייה.

מדדי הפיזור שנחשבו לעיל (טווח שונות, שונות, סטיית תקן) הם אינדיקטורים מוחלטים, שלפיהם לא תמיד ניתן לשפוט את מידת התנודות של תכונה. בחלק מהבעיות יש צורך להשתמש במדדי פיזור יחסי, אחד מהם הוא מקדם השונות.

מקדם השונות- מבוטא כאחוז מהיחס בין סטיית התקן לממוצע האריתמטי:

מקדם השונות משמש לא רק להערכה השוואתית של השונות של תכונות שונות או אותה תכונה באוכלוסיות שונות, אלא גם כדי לאפיין את ההומוגניות של האוכלוסייה. האוכלוסייה הסטטיסטית נחשבת הומוגנית כמותית אם מקדם השונות אינו עולה על 33% (עבור התפלגויות קרובות להתפלגות הנורמלית).

דוגמא.קיימים הנתונים הבאים על תנאי המאסר של 50 מורשעים שנמסרו לריצוי העונש שנגזר על ידי בית המשפט במוסד תיקון של מערכת העונשין: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3, 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1, 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. בניית סדרת הפצה לפי תקופות מאסר.

2. מצא את הממוצע, השונות וסטיית התקן.

3. חשב את מקדם השונות והסק מסקנה לגבי ההומוגניות או ההטרוגניות של האוכלוסייה הנחקרת.

פִּתָרוֹן.כדי לבנות סדרת הפצה בדידה, יש צורך לקבוע את הגרסאות והתדרים. הגרסה בבעיה זו היא תקופת המאסר, והתדירות היא מספר הגרסה הפרטנית. לאחר חישוב התדרים, אנו מקבלים את סדרת ההפצה הבדידה הבאה:

מצא את הממוצע והשונות. מכיוון שהנתונים הסטטיסטיים מיוצגים על ידי סדרת וריאציות נפרדת, נשתמש בנוסחאות של הממוצע המשוקלל האריתמטי והשונות כדי לחשב אותן. אנחנו מקבלים:

= = 4,1;

= 5,21.

כעת אנו מחשבים את סטיית התקן:

אנו מוצאים את מקדם השונות:

כתוצאה מכך, האוכלוסייה הסטטיסטית היא הטרוגנית מבחינה כמותית.

נושא: סטטיסטיקה

אפשרות מספר 2

ערכים ממוצעים בשימוש בסטטיסטיקה

מבוא ………………………………………………………………………………………………….3

משימה תיאורטית

הערך הממוצע בסטטיסטיקה, מהותו ותנאי היישום שלו.

1.1. מהות הערך הממוצע ותנאי השימוש………….4

1.2. סוגי ערכים ממוצעים………………………………………………………8

משימה מעשית

משימה 1,2,3………………………………………………………………………………………14

מסקנה……………………………………………………………………………………….21

רשימת ספרות משומשת………………………………………………………...23

מבוא

מבחן זה מורכב משני חלקים - עיוני ומעשי. בחלק התיאורטי תישקל בפירוט קטגוריה סטטיסטית חשובה כמו הערך הממוצע על מנת לזהות את מהותה ותנאי היישום שלה, וכן לזהות את סוגי הממוצעים והשיטות לחישובם.

סטטיסטיקה, כידוע, חוקרת תופעות סוציו-אקונומיות המוניות. לכל אחת מהתופעות הללו יכול להיות ביטוי כמותי שונה של אותה תכונה. למשל, השכר של אותו מקצוע של עובדים או המחירים בשוק לאותו מוצר וכו'. ערכים ממוצעים מאפיינים את האינדיקטורים האיכותיים של פעילות מסחרית: עלויות הפצה, רווח, רווחיות וכו'.

כדי ללמוד כל אוכלוסייה לפי מאפיינים משתנים (משתנים כמותית), הסטטיסטיקה משתמשת בממוצעים.

מהות בינונית

הערך הממוצע הוא מאפיין כמותי מכליל של מכלול אותו סוג של תופעות לפי תכונה אחת משתנה. בפרקטיקה הכלכלית, נעשה שימוש במגוון רחב של אינדיקטורים, המחושבים כממוצעים.

התכונה החשובה ביותר של הערך הממוצע היא שהוא מייצג את הערך של תכונה מסוימת בכל האוכלוסייה כמספר בודד, למרות ההבדלים הכמותיים שלו ביחידות בודדות של האוכלוסייה, ומבטא את הדבר המשותף הטבוע בכל היחידות של האוכלוסייה. האוכלוסייה הנחקרת. כך, באמצעות המאפיין של יחידת אוכלוסייה, היא מאפיינת את כלל האוכלוסייה כולה.

ממוצעים קשורים לחוק המספרים הגדולים. מהות הקשר הזה טמונה בכך שכאשר מבצעים ממוצע סטיות אקראיות של ערכים בודדים, עקב פעולת חוק המספרים הגדולים, הן מבטלות זו את זו ובממוצע מתגלה מגמת ההתפתחות העיקרית, ההכרח, הקביעות. ערכים ממוצעים מאפשרים השוואה של אינדיקטורים הקשורים לאוכלוסיות עם מספר יחידות שונה.

בתנאים מודרניים של התפתחות יחסי שוק במשק, הממוצעים משמשים כלי ללימוד הדפוסים האובייקטיביים של תופעות חברתיות-כלכליות. עם זאת, אין להגביל ניתוח כלכלי רק לאינדיקטורים ממוצעים, שכן ממוצעים נוחים כלליים יכולים להסתיר ליקויים גדולים וחמורים בפעילותם של ישויות כלכליות בודדות, והן נבטים של אחד חדש ומתקדם. למשל, התפלגות האוכלוסייה לפי הכנסה מאפשרת לזהות היווצרותן של קבוצות חברתיות חדשות. לכן, יחד עם נתונים סטטיסטיים ממוצעים, יש צורך לקחת בחשבון את המאפיינים של יחידות בודדות של האוכלוסייה.

הערך הממוצע הוא התוצאה של כל הגורמים המשפיעים על התופעה הנחקרת. כלומר, בעת חישוב הערכים הממוצעים, השפעתם של גורמים אקראיים (מפריעים, אינדיבידואלים) מבטלת זה את זה, וכך ניתן לקבוע את הדפוס הטמון בתופעה הנחקרת. אדולף קוויטלט הדגיש כי משמעותה של שיטת הממוצעים נעוצה באפשרות של מעבר מהיחיד לכללי, מאקראי לרגיל, וקיומם של ממוצעים הוא קטגוריה של מציאות אובייקטיבית.

סטטיסטיקה חוקרת תופעות ותהליכים המוניים. לכל אחת מהתופעות הללו יש גם משותף לכל הסט וגם תכונות מיוחדות ואינדיווידואליות. ההבדל בין תופעות בודדות נקרא וריאציה. תכונה נוספת של תופעות המוניות היא הקרבה המובנית למאפיינים של תופעות בודדות. אז, האינטראקציה של מרכיבי הסט מובילה להגבלה של הווריאציה של לפחות חלק מהמאפיינים שלהם. מגמה זו קיימת באופן אובייקטיבי. באובייקטיביות שלה הסיבה ליישום הרחב ביותר של ערכים ממוצעים בפועל ובתיאוריה נעוצה.

הערך הממוצע בסטטיסטיקה הוא אינדיקטור מכליל המאפיין את הרמה האופיינית של תופעה בתנאים ספציפיים של מקום וזמן, המשקף את גודלה של תכונה משתנה ליחידה של אוכלוסייה הומוגנית איכותית.

בפרקטיקה הכלכלית, נעשה שימוש במגוון רחב של אינדיקטורים, המחושבים כממוצעים.

בעזרת שיטת הממוצעים, הסטטיסטיקה פותרת בעיות רבות.

הערך העיקרי של הממוצעים הוא הפונקציה ההכללה שלהם, כלומר, החלפת ערכים בודדים רבים ושונים של תכונה בערך ממוצע המאפיין את כל מערך התופעות.

אם הערך הממוצע מכליל ערכים הומוגניים איכותיים של תכונה, אז זה מאפיין טיפוסי של תכונה באוכלוסייה נתונה.

עם זאת, זה לא נכון לצמצם את תפקידם של ערכים ממוצעים רק לאפיון הערכים האופייניים של תכונות באוכלוסיות שהן הומוגניות מבחינת תכונה זו. בפועל, לעתים קרובות יותר סטטיסטיקה מודרנית משתמשת בממוצעים שמכלילים תופעות הומוגניות בבירור.

הערך הממוצע של ההכנסה הלאומית לנפש, התשואה הממוצעת של גידולי התבואה בכל הארץ, הצריכה הממוצעת של מצרכי מזון שונים הם מאפייני המדינה כמערכת כלכלית אחת, אלו הם מה שנקרא ממוצעי מערכת.

ממוצעי מערכת יכולים לאפיין הן מערכות מרחביות או אובייקטים הקיימות בו זמנית (מדינה, תעשייה, אזור, כדור הארץ וכו') והן מערכות דינמיות הנמשכות לאורך זמן (שנה, עשור, עונה וכו').

המאפיין החשוב ביותר של הערך הממוצע הוא שהוא משקף את המשותף הטבוע בכל יחידות האוכלוסייה הנחקרת. ערכי התכונה של יחידות בודדות של האוכלוסייה משתנים בכיוון זה או אחר בהשפעת גורמים רבים, ביניהם יכולים להיות בסיסיים ואקראיים. לדוגמה, מחיר המניה של תאגיד בכללותו נקבע על פי מצבו הפיננסי. יחד עם זאת, בימים מסוימים ובבורסות מסוימות, בשל הנסיבות הקיימות, מניות אלו עשויות להימכר בשער גבוה או נמוך יותר. המהות של הממוצע טמונה בעובדה שהוא מבטל את הסטיות של ערכי התכונה של יחידות בודדות של האוכלוסייה, עקב פעולת גורמים אקראיים, ולוקח בחשבון את השינויים הנגרמים כתוצאה מפעולת האוכלוסייה. גורמים עיקריים. זה מאפשר לממוצע לשקף את הרמה האופיינית של התכונה ולהפשט מהמאפיינים האישיים הגלומים ביחידות בודדות.

חישוב הממוצע הוא טכניקת הכללה נפוצה אחת; המדד הממוצע משקף את הכללי האופייני (אופייני) לכל יחידות האוכלוסייה הנחקרת, ובמקביל הוא מתעלם מההבדלים בין יחידות בודדות. בכל תופעה והתפתחותה יש שילוב של סיכוי והכרח.

הממוצע הוא מאפיין סיכום של קביעות התהליך בתנאים שבהם הוא מתקדם.

כל ממוצע מאפיין את האוכלוסייה הנחקרת לפי כל תכונה אחת, אך כדי לאפיין כל אוכלוסייה, לתאר את המאפיינים האופייניים לה ומאפייניה האיכותיים, יש צורך במערכת של מדדי ממוצעים. לכן, בפועל של סטטיסטיקה מקומית לחקר תופעות חברתיות-כלכליות, ככלל, מחושבת מערכת של אינדיקטורים ממוצעים. כך, למשל, מדד השכר הממוצע מוערך יחד עם אינדיקטורים של תפוקה ממוצעת, יחס הון למשקל ויחס כוח למשקל של עבודה, מידת המיכון והאוטומציה של העבודה וכו'.

יש לחשב את הממוצע תוך התחשבות בתוכן הכלכלי של המדד הנבדק. לכן, עבור אינדיקטור מסוים המשמש בניתוח סוציו-אקונומי, ניתן לחשב רק ערך אמיתי אחד של הממוצע בהתבסס על שיטת החישוב המדעית.

הערך הממוצע הוא אחד האינדיקטורים הסטטיסטיים ההכללים החשובים ביותר המאפיינים את המכלול של אותו סוג של תופעות לפי תכונה משתנה כמותית. ממוצעים בסטטיסטיקה הם אינדיקטורים מכלילים, מספרים המבטאים את הממדים האופייניים האופייניים של תופעות חברתיות לפי תכונה אחת המשתנה מבחינה כמותית.

סוגי ממוצעים

סוגי הערכים הממוצעים שונים בעיקר באיזה תכונה, איזה פרמטר של המסה המשתנה הראשונית של ערכים בודדים של התכונה צריך להישמר ללא שינוי.

ממוצע אריתמטי

הממוצע האריתמטי הוא ערך ממוצע כזה של תכונה, שבחישובו הנפח הכולל של התכונה במצטבר נשאר ללא שינוי. אחרת, אנו יכולים לומר שהממוצע האריתמטי הוא הסיכום הממוצע. כאשר הוא מחושב, הנפח הכולל של התכונה מתחלק מבחינה מנטלית באופן שווה בין כל יחידות האוכלוסייה.

הממוצע האריתמטי משמש אם ידועים ערכי התכונה הממוצעת (x) ומספר יחידות האוכלוסייה עם ערך תכונה מסוים (f).

הממוצע האריתמטי יכול להיות פשוט ומשוקלל.

ממוצע אריתמטי פשוט

ערך פשוט משמש אם כל ערך תכונה x מתרחש פעם אחת, כלומר. עבור כל x, ערך התכונה הוא f=1, או אם הנתונים המקוריים אינם מסודרים ולא ידוע לכמה יחידות יש ערכי תכונה מסוימים.

נוסחת הממוצע האריתמטי הפשוטה היא:

איפה הערך הממוצע; x הוא הערך של התכונה הממוצעת (וריאנט), הוא מספר היחידות של האוכלוסייה הנחקרת.

ממוצע משוקלל אריתמטי

בניגוד לממוצע הפשוט, הממוצע המשוקלל האריתמטי מוחל אם כל ערך של התכונה x מופיע מספר פעמים, כלומר. עבור כל ערך תכונה f≠1. ממוצע זה נמצא בשימוש נרחב בחישוב הממוצע המבוסס על סדרת הפצה בדידה:

היכן הוא מספר הקבוצות, x הוא הערך של התכונה הממוצעת, f הוא המשקל של ערך התכונה (תדירות, אם f הוא מספר יחידות האוכלוסייה; תדירות, אם f היא השיעור של היחידות עם אפשרות x ב- כלל האוכלוסיה).

הרמוניה ממוצעת

יחד עם הממוצע האריתמטי, הסטטיסטיקה משתמשת בממוצע ההרמוני, ההדדיות של הממוצע האריתמטי של הערכים ההדדיים של התכונה. כמו הממוצע האריתמטי, הוא יכול להיות פשוט ומשקולל. הוא משמש כאשר המשקלים הדרושים (f i) בנתונים הראשוניים אינם מצוינים ישירות, אלא נכללים כגורם באחד האינדיקטורים הזמינים (כלומר, כאשר המונה של היחס ההתחלתי של הממוצע ידוע, אך המכנה שלו לא ידוע).

משוקלל הרמוני ממוצע

המוצר xf נותן את נפח התכונה הממוצעת x עבור קבוצה של יחידות ומסומן על ידי w. אם הנתונים הראשוניים מכילים את ערכי התכונה הממוצעת x ואת נפח התכונה הממוצעת w, אזי המשוקלל ההרמוני משמש לחישוב הממוצע:

כאשר x הוא הערך של התכונה הממוצעת x (אפשרות); w הוא המשקל של גרסאות x, נפח התכונה הממוצעת.

ממוצע הרמוני ללא משקל (פשוט)

לצורה זו של הממוצע, בשימוש הרבה פחות לעתים קרובות, יש את הצורה הבאה:

כאשר x הוא הערך של התכונה הממוצעת; n הוא מספר ערכי x.

הָהֵן. זה ההדדיות של הממוצע האריתמטי הפשוט של הערכים ההדדיים של התכונה.

בפועל, הממוצע הפשוט ההרמוני משמש לעתים רחוקות, במקרים שבהם ערכי w עבור יחידות אוכלוסייה שווים.

שורש ממוצע ריבוע וממוצע מעוקב

במקרים מסוימים, בפרקטיקה הכלכלית, יש צורך לחשב את הגודל הממוצע של תכונה, המבוטא ביחידות מרובעות או מעוקבות. לאחר מכן נעשה שימוש בריבוע הממוצע (לדוגמה, לחישוב הגודל הממוצע של צד וחתכים מרובעים, הקטרים ​​הממוצעים של צינורות, גזעים וכו') והממוצע המעוקב (לדוגמה, בעת קביעת האורך הממוצע של צלע ו קוביות).

אם, בעת החלפת ערכים בודדים של תכונה בערך ממוצע, יש צורך לשמור על סכום הריבועים של הערכים המקוריים ללא שינוי, אז הממוצע יהיה ממוצע ריבועי, פשוט או משוקלל.

ממוצע ריבוע פשוט

ערך פשוט משמש אם כל ערך של התכונה x מופיע פעם אחת, באופן כללי זה נראה כך:

היכן הוא ריבוע הערכים של התכונה הממוצעת; - מספר יחידות אוכלוסייה.

ריבוע ממוצע משוקלל

הריבוע הממוצע המשוקלל מוחל אם כל ערך של התכונה הממוצעת x מופיע f פעמים:

,

כאשר f הוא משקל האפשרויות x.

ממוצע מעוקב פשוט ומשוקלל

הממוצע המעוקב הפשוט הוא שורש הקובייה של המנה של חלוקת סכום הקוביות של ערכי תכונה בודדים במספרן:

איפה הערכים של התכונה, n הוא מספרם.

משוקלל מעוקב ממוצע:

,

כאשר f הוא המשקל של x אפשרויות.

ממוצע ריבוע שורש וממוצע מעוקב הם בעלי שימוש מוגבל בתרגול סטטיסטיקה. נתונים סטטיסטיים של ממוצע ריבועי שורש נמצאים בשימוש נרחב, אך לא מהווריאציות x עצמם , ומהסטיות שלהם מהממוצע בעת חישוב מדדי השונות.

ניתן לחשב את הממוצע לא עבור כולם, אלא עבור חלק מיחידות האוכלוסייה. דוגמה לממוצע כזה יכולה להיות ממוצע פרוגרסיבי כאחד מהממוצעים הפרטיים, המחושב לא עבור כולם, אלא רק עבור ה"טובים ביותר" (לדוגמה, עבור אינדיקטורים מעל או מתחת לממוצעים האישיים).

ממוצע גיאומטרי

אם הערכים של התכונה הממוצעת מופרדים זה מזה באופן משמעותי או ניתנים על ידי מקדמים (שיעורי צמיחה, מדדי מחיר), אז הממוצע הגיאומטרי משמש לחישוב.

הממוצע הגיאומטרי מחושב על ידי חילוץ שורש התואר ומהתוצרים של ערכים בודדים - גרסאות של התכונה איקס:

כאשר n הוא מספר האפשרויות; P הוא הסימן של העבודה.

הממוצע הגיאומטרי נמצא בשימוש הנפוץ ביותר לקביעת קצב השינוי הממוצע בסדרת הזמן, כמו גם בסדרת ההתפלגות.

ערכים ממוצעים הם אינדיקטורים מכלילים שבהם באה לידי ביטוי פעולתם של תנאים כלליים, סדירות התופעה הנחקרת. ממוצעים סטטיסטיים מחושבים על בסיס נתוני מסה של תצפית המונית מאורגנת נכונה סטטיסטית (רציפה או מדגם). עם זאת, הממוצע הסטטיסטי יהיה אובייקטיבי ואופייני אם הוא יחושב מנתוני המונים עבור אוכלוסייה הומוגנית איכותית (תופעות מסה). השימוש בממוצעים צריך לצאת מהבנה דיאלקטית של הקטגוריות של הכלל והפרט, המסה והפרט.

השילוב של אמצעים כלליים עם אמצעים קבוצתיים מאפשר להגביל אוכלוסיות הומוגניות מבחינה איכותית. על ידי חלוקת מסת העצמים המרכיבים תופעה מורכבת זו או אחרת לקבוצות הומוגניות פנימיות, אך שונות מבחינה איכותית, המאפיינות כל אחת מהקבוצות עם הממוצע שלה, ניתן לחשוף את הרזרבות של תהליך האיכות החדשה המתהווה. למשל, התפלגות האוכלוסייה לפי הכנסה מאפשרת לזהות היווצרותן של קבוצות חברתיות חדשות. בחלק האנליטי, שקלנו דוגמה מסוימת לשימוש בערך הממוצע. לסיכום, אנו יכולים לומר שההיקף והשימוש בממוצעים בסטטיסטיקה הם די רחבים.

משימה מעשית

משימה 1

קבע את שער הקנייה הממוצע ואת שיעור המכירה הממוצע של אחד ודולר ארה"ב

שיעור רכישה ממוצע

שיעור מכירה ממוצע

משימה מס' 2

הדינמיקה של נפח מוצרי הקייטרינג הציבוריים של אזור צ'ליאבינסק לשנים 1996-2004 מוצגת בטבלה במחירים דומים (מיליון רובל)

בצע את הסגירה של סדרות A ו-B. כדי לנתח את סדרת הדינמיקה בייצור מוצרים מוגמרים, חשב:

1. צמיחה מוחלטת, צמיחה וקצבי צמיחה, שרשרת ובסיסית

2. ייצור שנתי ממוצע של מוצרים מוגמרים

3. קצב הצמיחה השנתי הממוצע והגידול במוצרי החברה

4. בצע יישור אנליטי של סדרת הדינמיקה וחשב את התחזית לשנת 2005

5. מתאר באופן גרפי סדרה של דינמיקה

6. לעשות מסקנה על סמך תוצאות הדינמיקה

1) yi B = yi-y1 yi C = yi-y1

y2 B = 2.175 - 2.04 y2 C = 2.175 - 2.04 = 0.135

y3B = 2.505 - 2.04 y3 C = 2.505 - 2.175 = 0.33

y4 B = 2.73 - 2.04 y4 C = 2.73 - 2.505 = 0.225

y5 B = 1.5 – 2.04 y5 C = 1.5 – 2.73 = 1.23

y6 B = 3.34 - 2.04 y6 C = 3, 34 - 1.5 = 1.84

y7 B = 3.6 3 – 2.04 y7 C = 3.6 3 – 3.34 = 0.29

y8 B = 3.96 - 2.04 y8 C = 3.96 - 3.63 = 0.33

y9 B = 4.41–2.04 y9 C = 4, 41 – 3.96 = 0.45

Tr B2 Tr C2

Tr B3 Tr C3

Tr B4 Tr C4

Tr B5 Tr C5

Tr B6 Tr C6

Tr B7 Tr C7

Tr B8 Tr C8

Tr B9 Tr C9

Tr B = (TprB * 100%) - 100%

Tr B2 \u003d (1.066 * 100%) - 100% \u003d 6.6%

Tr C3 \u003d (1.151 * 100%) - 100% \u003d 15.1%

2) י מיליון רובל - פרודוקטיביות ממוצעת

2,921 + 0,294*(-4) = 2,921-1,176 = 1,745

2,921 + 0,294*(-3) = 2,921-0,882 = 2,039

(yt-y) = (1.745-2.04) = 0.087

(yt-yt) = (1.745-2.921) = 1.382

(y-yt) = (2.04-2.921) = 0.776

תפ

על ידי

y2005=2.921+1.496*4=2.921+5.984=8.905

8,905+2,306*1,496=12,354

8,905-2,306*1,496=5,456

5,456 2005 12,354

משימה מס' 3

נתונים סטטיסטיים על משלוחים סיטונאיים של מזון ומוצרים שאינם מזון ורשת הסחר הקמעונאי של האזור בשנים 2003 ו-2004 מוצגים בתרשימים המקבילים.

על פי טבלאות 1 ו-2, זה נדרש

1. מצא את המדד הכללי של ההיצע הסיטונאי של מוצרי מזון במחירים בפועל;

2. מצא את המדד הכללי של נפח אספקת המזון בפועל;

3. השוו בין אינדקסים נפוצים והסיקו מסקנה הולמת;

4. מצא את המדד הכללי של היצע מוצרים שאינם מזון במחירים בפועל;

5. מצא את המדד הכללי של הנפח הפיזי של אספקת מוצרים שאינם מזון;

6. השוו את המדדים שהתקבלו והסיקו מסקנה על מוצרים שאינם מזון;

7. מצא את מדדי ההיצע הכלליים המאוחדים עבור כל מסת הסחורות במחירים בפועל;

8. מצא מדד כללי מאוחד של נפח פיזי (עבור כל המסה המסחרית של סחורות);

9. השוו את המדדים המרוכבים שהתקבלו והסיקו את המסקנה המתאימה.

	תקופת בסיס			תקופת דיווח (2004)			אספקות תקופת הדיווח במחירי תקופת הבסיס
			1,291-0,681=0,61= - 39 סיכום לסיכום, בואו נסכם. ערכים ממוצעים הם אינדיקטורים מכלילים שבהם באה לידי ביטוי פעולתם של תנאים כלליים, סדירות התופעה הנחקרת. ממוצעים סטטיסטיים מחושבים על בסיס נתוני מסה של תצפית המונית מאורגנת נכונה סטטיסטית (רציפה או מדגם). עם זאת, הממוצע הסטטיסטי יהיה אובייקטיבי ואופייני אם הוא יחושב מנתוני המונים עבור אוכלוסייה הומוגנית איכותית (תופעות מסה). השימוש בממוצעים צריך לצאת מהבנה דיאלקטית של הקטגוריות של הכלל והפרט, המסה והפרט. הממוצע משקף את הכלל המתפתח בכל אובייקט בודד, בשל כך, הממוצע מקבל חשיבות רבה לזיהוי דפוסים הטבועים בתופעות חברתיות המוניות ובלתי מורגשות בתופעות בודדות. הסטייה של הפרט מהכלל היא ביטוי לתהליך ההתפתחות. במקרים בודדים בודדים, ניתן להניח אלמנטים של חדש ומתקדם. במקרה זה, הגורם הספציפי, הנלקח על רקע ערכים ממוצעים, הוא המאפיין את תהליך הפיתוח. לכן, הממוצע משקף את הרמה האופיינית, האופיינית, האמיתית של התופעות הנחקרות. המאפיינים של רמות אלו ושינוייהם בזמן ובמרחב היא אחת הבעיות העיקריות של ממוצעים. אז דרך ממוצעים, למשל, זה בא לידי ביטוי שאופייני למפעלים בשלב מסוים של התפתחות כלכלית; השינוי ברווחת האוכלוסייה בא לידי ביטוי בשכר הממוצע, בהכנסה המשפחתית בכללותה ולקבוצות חברתיות בודדות, ברמת הצריכה של מוצרים, סחורות ושירותים. האינדיקטור הממוצע הוא ערך טיפוסי (רגיל, נורמלי, מבוסס כמכלול), אך הוא כזה על ידי העובדה שהוא נוצר בתנאים נורמליים וטבעיים לקיומה של תופעת מסה מסוימת, הנחשבת כמכלול. הממוצע משקף את התכונה האובייקטיבית של התופעה. במציאות קיימות לעיתים קרובות רק תופעות סוטה, ויתכן שהממוצע כתופעה אינו קיים, אם כי מושג האופיניות של תופעה שאול מהמציאות. הערך הממוצע הוא שיקוף של הערך של התכונה הנחקרת, ולכן, הוא נמדד באותו מימד כמו תכונה זו. עם זאת, ישנן דרכים שונות לקבוע בקירוב את רמת התפלגות האוכלוסייה לצורך השוואה בין מאפיינים מרוכבים שאינם ברי השוואה ישירות זה עם זה, למשל, ממוצע האוכלוסייה ביחס לשטח (צפיפות אוכלוסין ממוצעת). בהתאם לגורם שצריך לבטל, יימצא גם תוכן הממוצע. השילוב של אמצעים כלליים עם אמצעים קבוצתיים מאפשר להגביל אוכלוסיות הומוגניות מבחינה איכותית. על ידי חלוקת מסת האובייקטים המרכיבים תופעה מורכבת זו או אחרת לקבוצות הומוגניות פנימיות, אך שונות מבחינה איכותית, המאפיינות כל אחת מהקבוצות עם הממוצע שלה, ניתן לחשוף את הרזרבות של תהליך האיכות החדשה המתהווה. למשל, התפלגות האוכלוסייה לפי הכנסה מאפשרת לזהות היווצרותן של קבוצות חברתיות חדשות. בחלק האנליטי, שקלנו דוגמה מסוימת לשימוש בערך הממוצע. לסיכום, אנו יכולים לומר שההיקף והשימוש בממוצעים בסטטיסטיקה הם די רחבים. בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה 1. גוסארוב, V.M. התיאוריה של סטטיסטיקת איכות [טקסט]: ספר לימוד. קצבה / V.M. מדריך גוסארוב לאוניברסיטאות. - מ', 1998 2. אדרונובה, נ.נ. תיאוריה כללית של סטטיסטיקה [טקסט]: ספר לימוד / אד. נ.נ. אדרונובה - מ.: פיננסים וסטטיסטיקה 2001 - 648 עמ'. 3. Eliseeva I.I., Yuzbashev M.M. תיאוריה כללית של סטטיסטיקה [טקסט]: ספר לימוד / אד. חבר מקביל RAS I.I. Eliseeva. – מהדורה רביעית, מתוקנת. ועוד - מ.: מימון וסטטיסטיקה, 1999. - שנות ה-480: חולה. 4. Efimova M.R., Petrova E.V., Rumyantsev V.N. תיאוריה כללית של סטטיסטיקה: [טקסט]: ספר לימוד. - מ.: INFRA-M, 1996. - 416s. 5. Ryauzova, N.N. תיאוריה כללית של סטטיסטיקה [טקסט]: ספר לימוד / אד. נ.נ. ריאוזובה - מ': מימון וסטטיסטיקה, 1984. גוסרוב V.M. תורת הסטטיסטיקה: ספר לימוד. קצבה לאוניברסיטאות. - מ., 1998.-S.60. Eliseeva I.I., Yuzbashev M.M. תיאוריה כללית של סטטיסטיקה. - מ., 1999.-S.76. גוסרוב V.M. תורת הסטטיסטיקה: ספר לימוד. קצבה לאוניברסיטאות. -מ., 1998.-S.61.

ממוצע אריתמטי - אינדיקטור סטטיסטי המראה את הערך הממוצע של מערך נתונים נתון. מחוון כזה מחושב כשבר, שהמונה שלו הוא סכום כל ערכי המערך, והמכנה הוא מספרם. הממוצע האריתמטי הוא מקדם חשוב המשמש בחישובי משק בית.

משמעות המקדם

הממוצע האריתמטי הוא אינדיקטור אלמנטרי להשוואת נתונים וחישוב ערך מקובל. לדוגמה, פחית בירה מיצרן מסוים נמכרת בחנויות שונות. אבל בחנות אחת זה עולה 67 רובל, באחרת - 70 רובל, בשלישית - 65 רובל, ובאחרונה - 62 רובל. יש טווח מחירים די גדול ולכן הקונה יתעניין בעלות ממוצעת של פחית, כך שבקניית מוצר יוכל להשוות את העלויות שלו. בממוצע, לפחית בירה בעיר יש מחיר:

מחיר ממוצע = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 רובל.

לדעת את המחיר הממוצע, קל לקבוע היכן משתלם לקנות סחורה, והיכן תצטרך לשלם יותר מדי.

הממוצע האריתמטי משמש כל העת בחישובים סטטיסטיים במקרים שבהם מנתחים מערך נתונים הומוגני. בדוגמה למעלה, זהו המחיר של פחית בירה מאותו מותג. עם זאת, לא נוכל להשוות את מחיר הבירה מיצרנים שונים או את מחירי הבירה והלימונדה, שכן במקרה זה פיזור הערכים יהיה גדול יותר, המחיר הממוצע יהיה מטושטש ולא אמין, ועצם המשמעות של החישובים. יעוות לקריקטורה "טמפרטורה ממוצעת בבית החולים". כדי לחשב מערכי נתונים הטרוגניים, נעשה שימוש בממוצע המשוקלל האריתמטי, כאשר כל ערך מקבל את גורם הניפוח שלו.

חישוב הממוצע האריתמטי

הנוסחה לחישובים פשוטה ביותר:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

כאשר an הוא הערך של הכמות, n הוא המספר הכולל של הערכים.

לשם מה ניתן להשתמש במדד זה? השימוש הראשון והברור בו הוא בסטטיסטיקה. כמעט כל מחקר סטטיסטי משתמש בממוצע האריתמטי. זה יכול להיות גיל הנישואים הממוצע ברוסיה, הציון הממוצע במקצוע לסטודנט או ההוצאה הממוצעת על מצרכים ביום. כפי שהוזכר לעיל, מבלי לקחת בחשבון את המשקולות, חישוב הממוצעים יכול לתת ערכים מוזרים או אבסורדיים.

לדוגמה, נשיא הפדרציה הרוסית הצהיר כי, על פי הסטטיסטיקה, השכר הממוצע של רוסי הוא 27,000 רובל. עבור רוב האנשים ברוסיה, רמת השכר הזו נראתה אבסורדית. אין זה מפתיע אם החישוב מביא בחשבון את הכנסתם של אוליגרכים, ראשי מפעלי תעשייה, בנקאים גדולים מחד, ומשכורות של מורים, מנקים ומוכרים מאידך. אפילו משכורות ממוצעות בהתמחות אחת, למשל, רואה חשבון, יהיו הבדלים רציניים במוסקבה, קוסטרומה ויקטרינבורג.

כיצד לחשב ממוצעים עבור נתונים הטרוגניים

במצבי שכר, חשוב לקחת בחשבון את המשקל של כל ערך. המשמעות היא שלמשכורות האוליגרכים והבנקאים יינתן משקל של, למשל, 0.00001, ומשכורתם של אנשי המכירות תהיה 0.12. אלה מספרים מהתקרה, אבל הם ממחישים בערך את השכיחות של אוליגרכים ואנשי מכירות בחברה הרוסית.

לפיכך, על מנת לחשב את ממוצע הממוצעים או הערך הממוצע במערך נתונים הטרוגני, נדרש להשתמש בממוצע המשוקלל האריתמטי. אחרת, תקבל משכורת ממוצעת ברוסיה ברמה של 27,000 רובל. אם אתה רוצה לדעת את הציון הממוצע שלך במתמטיקה או את מספר השערים הממוצע שהבקיע שחקן הוקי נבחר, אז מחשבון הממוצע האריתמטי יתאים לך.

התוכנית שלנו היא מחשבון פשוט ונוח לחישוב הממוצע האריתמטי. אתה רק צריך להזין ערכי פרמטרים כדי לבצע חישובים.

בואו נסתכל על כמה דוגמאות

חישוב ציון ממוצע

מורים רבים משתמשים בשיטת הממוצע האריתמטי כדי לקבוע ציון שנתי במקצוע. בואו נדמיין שילד מקבל את רבע הציונים הבאים במתמטיקה: 3, 3, 5, 4. איזה ציון שנתי ייתן לו המורה? בוא נשתמש במחשבון ונחשב את הממוצע האריתמטי. ראשית, בחר את מספר השדות המתאים והזן את ערכי הציון בתאים שמופיעים:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

המורה יעגל את הערך לטובת התלמיד, והתלמיד יקבל ארבע מוצקות לשנה.

חישוב ממתקים אכולים

בואו נמחיש קצת אבסורד של הממוצע האריתמטי. תארו לעצמכם שלמאשה ול-Vova היו 10 ממתקים. מאשה אכלה 8 סוכריות, ו-Vova רק 2. כמה סוכריות אכל כל ילד בממוצע? באמצעות מחשבון קל לחשב שבממוצע ילדים אכלו 5 ממתקים כל אחד, וזה לגמרי לא נכון ושכל ישר. דוגמה זו מראה שהממוצע האריתמטי חשוב עבור מערכי נתונים משמעותיים.

סיכום

חישוב הממוצע האריתמטי נמצא בשימוש נרחב בתחומים מדעיים רבים. אינדיקטור זה פופולרי לא רק בחישובים סטטיסטיים, אלא גם בפיזיקה, מכניקה, כלכלה, רפואה או פיננסים. השתמש במחשבונים שלנו כעוזר לפתרון בעיות ממוצע אריתמטי.