נוסחאות ומאפיינים של הפירמידה. דמויות גיאומטריות

מבוא

כשהתחלנו ללמוד דמויות סטריאומטריות, נגענו בנושא "פירמידה". אהבנו את הנושא הזה מכיוון שהפירמידה משמשת לעתים קרובות מאוד באדריכלות. ומכיוון שהמקצוע העתידי שלנו כאדריכלית, בהשראת הדמות הזו, אנחנו חושבים שהיא תוכל לדחוף אותנו לפרויקטים גדולים.

חוזקם של מבנים אדריכליים, האיכות החשובה ביותר שלהם. שיוך חוזק, ראשית, לחומרים מהם הם נוצרים, ושנית, לתכונות של פתרונות עיצוביים, מסתבר שחוזקו של מבנה קשור ישירות לצורה הגיאומטרית הבסיסית עבורו.

במילים אחרות, אנחנו מדברים על הדמות הגיאומטרית שיכולה להיחשב כמודל של הצורה האדריכלית המתאימה. מסתבר שהצורה הגיאומטרית קובעת גם את חוזק המבנה האדריכלי.

הפירמידות המצריות נחשבו זה מכבר למבנה הארכיטקטוני העמיד ביותר. כפי שאתה יודע, יש להם צורה של פירמידות מרובעות רגילות.

צורה גיאומטרית זו היא שמספקת את היציבות הגדולה ביותר בשל שטח הבסיס הגדול. מצד שני, צורת הפירמידה מבטיחה שהמסה יורדת ככל שהגובה מעל פני הקרקע עולה. שתי התכונות הללו הן שהופכות את הפירמידה ליציבה, ולכן חזקה בתנאי הכבידה.

מטרת הפרויקט: ללמוד משהו חדש על הפירמידות, להעמיק את הידע ולמצוא יישומים מעשיים.

כדי להשיג מטרה זו, היה צורך לפתור את המשימות הבאות:

למד מידע היסטורי על הפירמידה

ראה את הפירמידה כדמות גיאומטרית

מצא יישום בחיים ובאדריכלות

מצא קווי דמיון והבדלים בין פירמידות הממוקמות בחלקים שונים של העולם

חלק תיאורטי

מידע היסטורי

תחילתה של הגיאומטריה של הפירמידה הונחה במצרים העתיקה ובבבל, אך היא פותחה באופן פעיל ביוון העתיקה. הראשון שקבע למה שווה נפח הפירמידה היה דמוקריטוס, ואודוקסוס מקנידוס הוכיח זאת. המתמטיקאי היווני הקדום אוקלידס ביצע שיטתיות של ידע על הפירמידה בכרך ה-12 של "התחלות" שלו, והביא גם את ההגדרה הראשונה של הפירמידה: דמות גופנית התחום במישורים המתכנסים ממישור אחד בנקודה אחת.

קברי הפרעונים המצריים. הגדול שבהם - הפירמידות של צ'אופס, ח'פר ומקרין באל גיזה בימי קדם נחשבו לאחד משבעת פלאי תבל. הקמת הפירמידה, בה כבר ראו היוונים והרומאים אנדרטה לגאווה חסרת תקדים של מלכים ואכזריות, אשר דינה את כל עם מצרים לבנייה חסרת טעם, הייתה מעשה הפולחן החשוב ביותר והיה אמור לבטא, ככל הנראה, הזהות המיסטית של המדינה ושליטתה. אוכלוסיית הארץ עבדה על בניית הקבר בחלק של השנה החופשי מעבודות חקלאות. מספר טקסטים מעידים על תשומת הלב והדאגה שהקדישו המלכים עצמם (אם כי בתקופה מאוחרת יותר) לבניית קברם ובוניו. ידוע גם על כבוד הכת המיוחדים שהתבררו כפירמידה עצמה.

מושגי יסוד

פִּירָמִידָהפולידרון נקרא, שבסיסו הוא מצולע, ושאר הפנים הם משולשים בעלי קודקוד משותף.

אפוטם- גובה פני הצד של פירמידה רגילה, נמשך מלמעלה;

פרצופים בצדדים- משולשים המתכנסים בחלק העליון;

צלעות צד- צדדים משותפים של פני הצד;

בראש הפירמידה- נקודה המחברת את הקצוות הצדדיים ואינה שוכבת במישור הבסיס;

גוֹבַה- קטע מאונך שנמשך דרך ראש הפירמידה למישור הבסיס שלה (קצותיו של קטע זה הם החלק העליון של הפירמידה ובסיס הניצב);

חתך אלכסוני של פירמידה- קטע של הפירמידה העובר דרך החלק העליון והאלכסון של הבסיס;

בסיס- מצולע שאינו שייך לראש הפירמידה.

המאפיינים העיקריים של הפירמידה הנכונה

קצוות צד, פני צד ואפוטמים שווים, בהתאמה.

הזוויות הדו-הדרליות בבסיס שוות.

הזוויות הדו-הדרליות בקצוות הצדדיות שוות.

כל נקודת גובה נמצאת במרחק שווה מכל קודקודי הבסיס.

כל נקודת גובה נמצאת במרחק שווה מכל פני הצד.

נוסחאות פירמידה בסיסיות

השטח של פני השטח הרוחביים והמלאים של הפירמידה.

שטח פני השטח הצדדיים של הפירמידה (מלאים וקטועים) הוא סכום השטחים של כל פניה הצדדיים, שטח הפנים הכולל הוא סכום שטחי כל פניה.

משפט: שטח פני השטח הצדדיים של פירמידה רגילה שווה למחצית מכפלת היקף הבסיס ומשפט הפירמידה.

ע- היקף הבסיס;

ח- משפט.

שטח המשטחים הרוחביים והמלאים של פירמידה קטומה.

p1, עמ' 2 - היקפי בסיס;

ח- משפט.

ר- שטח הפנים הכולל של פירמידה קטומה רגילה;

צד S- שטח פני השטח לרוחב של פירמידה קטומה רגילה;

S1 + S2- שטח בסיס

נפח פירמידה

טופס סולם הנפח משמש לפירמידות מכל סוג שהוא.

חהוא גובה הפירמידה.

זוויות הפירמידה

הזוויות שנוצרות על ידי פני הצד ובסיס הפירמידה נקראות זוויות דו-הדרליות בבסיס הפירמידה.

זווית דו-הדרלית נוצרת על ידי שני ניצבים.

כדי לקבוע זווית זו, לעתים קרובות אתה צריך להשתמש במשפט שלושת הניצבים.

הזוויות שנוצרות על ידי קצה צדדי והשלכתו על מישור הבסיס נקראות זוויות בין הקצה הרוחבי למישור הבסיס.

הזווית שנוצרת על ידי שני פני צד נקראת זווית דיהדרלית בקצה הרוחבי של הפירמידה.

הזווית, שנוצרת על ידי שני קצוות צד של פנים אחד של הפירמידה, נקראת פינה בראש הפירמידה.

חלקים מהפירמידה

פני השטח של פירמידה הם פני השטח של פולידרון. כל אחד מהפנים שלו הוא מישור, ולכן הקטע של הפירמידה שניתן על ידי מישור הסקאנט הוא קו שבור המורכב מקווים ישרים נפרדים.

חתך אלכסוני

הקטע של פירמידה על ידי מישור העובר דרך שני קצוות רוחביים שאינם מונחים על אותו פנים נקרא חתך אלכסוניפירמידות.

קטעים מקבילים

מִשׁפָּט:

אם הפירמידה נחצה על ידי מישור מקביל לבסיס, אז הקצוות והגבהים הצדדיים של הפירמידה מחולקים על ידי מישור זה לחלקים פרופורציונליים;

החתך של מישור זה הוא מצולע הדומה לבסיס;

שטחי החתך והבסיס קשורים זה לזה כריבועי המרחקים שלהם מלמעלה.

סוגי פירמידה

פירמידה נכונה- פירמידה שבסיסה הוא מצולע רגיל, וראש הפירמידה מוקרן למרכז הבסיס.

בפירמידה הנכונה:

1. צלעות הצד שוות

2. פני הצד שווים

3. אפוטמים שווים

4. זוויות דיהדרליות בבסיס שוות

5. זוויות דיהדרליות בקצוות הצד שוות

6. כל נקודת גובה נמצאת במרחק שווה מכל קודקודי הבסיס

7. כל נקודת גובה נמצאת במרחק שווה מכל פני הצד

פירמידה קטומה- החלק של הפירמידה הכלוא בין בסיסה למישור חיתוך המקביל לבסיס.

הבסיס והקטע המקביל של פירמידה קטומה נקראים בסיסים של פירמידה קטומה.

ניצב המצויר מכל נקודה של בסיס אחד למישור של אחר נקרא גובה הפירמידה הקטומה.

משימות

מס' 1. בפירמידה מרובעת רגילה, נקודה O היא מרכז הבסיס, SO=8 ס"מ, BD=30 ס"מ. מצא את קצה הצד SA.

פתרון בעיות

מס' 1. בפירמידה רגילה, כל הפנים והקצוות שווים.

בואו ניקח בחשבון OSB: OSB-מלבן מלבני, כי.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

פירמידה באדריכלות

פירמידה - מבנה מונומנטלי בצורת פירמידה גיאומטרית רגילה רגילה, בה הצדדים מתכנסים בנקודה אחת. לפי המטרה הפונקציונלית, הפירמידות בימי קדם היו מקום קבורה או פולחן. הבסיס של פירמידה יכול להיות משולש, מרובע או מצולע עם מספר שרירותי של קודקודים, אך הגרסה הנפוצה ביותר היא הבסיס המרובע.

ידוע על מספר לא מבוטל של פירמידות, שנבנו על ידי תרבויות שונות של העולם העתיק, בעיקר כמקדשים או אנדרטאות. הפירמידות הגדולות ביותר הן הפירמידות המצריות.

בכל רחבי כדור הארץ ניתן לראות מבנים ארכיטקטוניים בצורת פירמידות. מבני פירמידה מזכירים את ימי קדם ונראים יפים מאוד.

הפירמידות המצריות הן המונומנטים הארכיטקטוניים הגדולים ביותר של מצרים העתיקה, ביניהם אחד מ"שבעת פלאי תבל" הוא פירמידת צ'אופס. מרגלו לפסגה הוא מגיע ל-137.3 מ', ולפני שאיבד את הפסגה היה גובהו 146.7 מ'.

המבנה של תחנת הרדיו בבירת סלובקיה, הדומה לפירמידה הפוכה, נבנה בשנת 1983. בנוסף למשרדים וחצרי שירות, ישנו אולם קונצרטים מרווח למדי בתוך הכרך, ובו אחד מהעוגבים הגדולים בסלובקיה .

הלובר, ש"שקט ומלכותי כמו פירמידה" עבר שינויים רבים במהלך מאות השנים לפני שהפך למוזיאון הגדול בעולם. הוא נולד כמבצר, שהוקם על ידי פיליפ אוגוסטוס ב-1190, שהפך במהרה לבית מלכותי. בשנת 1793 הפך הארמון למוזיאון. האוספים מועשרים באמצעות עזבונות או רכישות.

תלמידים נתקלים במושג פירמידה הרבה לפני לימודי גיאומטריה. האשימו את פלאי העולם המצריים הגדולים המפורסמים. לכן, מתחילים ללמוד את הפוליהדרון הנפלא הזה, רוב התלמידים כבר מדמיינים אותו בבירור. כל המראות לעיל נמצאים בצורה הנכונה. מה פירמידה ימין, ואיזה תכונות יש לו ויידונו בהמשך.

בקשר עם

הַגדָרָה

יש הרבה הגדרות לפירמידה. מאז ימי קדם, זה היה מאוד פופולרי.

לדוגמא, אוקלידס הגדיר אותה כדמות מוצקה, המורכבת ממישורים, אשר, החל מאחד, מתכנסים בנקודה מסוימת.

הרון סיפק ניסוח מדויק יותר. הוא התעקש שזה דמות ש יש בסיס ומישורים בצורה של משולשים,מתכנסים בנקודה אחת.

בהתבסס על הפרשנות המודרנית, הפירמידה מוצגת כפולידרון מרחבי, המורכב מק-גון מסוים ו-k דמויות משולשות שטוחות, בעלות נקודה משותפת אחת.

בואו נסתכל מקרוב, מאילו אלמנטים הוא מורכב?

• k-gon נחשב לבסיס הדמות;
• דמויות בעלות 3 זוויות בולטות כצדדי החלק הצדדי;
• החלק העליון, שממנו נובעים האלמנטים הצדדיים, נקרא העליון;
• כל הקטעים המחברים את הקודקוד נקראים קצוות;
• אם קו ישר יורדים מלמעלה למישור הדמות בזווית של 90 מעלות, אז החלק שלו הסגור בחלל הפנימי הוא גובה הפירמידה;
• בכל אלמנט צדדי לצד הפוליהדרון שלנו, אתה יכול לצייר ניצב, הנקרא אפוטם.

מספר הקצוות מחושב באמצעות הנוסחה 2*k, כאשר k הוא מספר הצלעות של ה-k-גון. כמה פרצופים יש לפוליהדרון כמו פירמידה ניתן לקבוע על ידי הביטוי k + 1.

חָשׁוּב!פירמידה בצורת רגיל היא דמות סטריאומטרית שמישור הבסיס שלה הוא ק-גון עם צלעות שוות.

מאפיינים בסיסיים

פירמידה נכונה בעל נכסים רביםשייחודיים לה. בואו נרשום אותם:

1. הבסיס הוא דמות של הצורה הנכונה.
2. לקצוות הפירמידה, המגבילים את האלמנטים הצדדיים, יש ערכים מספריים שווים.
3. יסודות הצדדיים הם משולשים שווה שוקיים.
4. בסיס גובה הדמות נופל למרכז המצולע, בעוד הוא בו זמנית הנקודה המרכזית של הכתובה והמתוארת.
5. כל הצלעות הצדדיות נוטות למישור הבסיס באותה זווית.
6. לכל משטחי הצד יש את אותה זווית נטייה ביחס לבסיס.

הודות לכל המאפיינים המפורטים, הביצועים של חישובי אלמנטים מפושטים מאוד. בהתבסס על המאפיינים לעיל, אנו שמים לב שני סימנים:

1. במקרה שבו המצולע משתלב במעגל, פני הצד יהיו בזוויות שוות עם הבסיס.
2. כאשר מתארים מעגל סביב מצולע, כל קצוות הפירמידה הבוקעים מהקודקוד יהיו בעלי אותו אורך וזוויות שוות עם הבסיס.

הכיכר מבוססת

פירמידה מרובעת רגילה - פולידרון המבוסס על ריבוע.

יש לו ארבעה פרצופים צדדיים, שהם שווה שוקיים במראה.

במישור, ריבוע מתואר, אך הם מבוססים על כל המאפיינים של מרובע רגיל.

לדוגמה, אם יש צורך לחבר את הצלע של הריבוע עם האלכסון שלו, אזי משתמשים בנוסחה הבאה: האלכסון שווה למכפלת הצלע של הריבוע ולשורש של שניים.

מבוסס על משולש רגיל

פירמידה משולשת רגילה היא פולידרון שבסיסו הוא 3-גון רגיל.

אם הבסיס הוא משולש רגיל, וקצוות הצדדיים שווים לקצוות הבסיס, אז דמות כזו שנקרא טטרהדרון.

כל הפנים של טטרהדרון הם 3 גונים שווי צלעות. במקרה זה, עליך לדעת כמה נקודות ולא לבזבז עליהן זמן בעת ​​החישוב:

• זווית הנטייה של הצלעות לכל בסיס היא 60 מעלות;
• הערך של כל הפנים הפנימיות הוא גם 60 מעלות;
• כל פנים יכול לשמש בסיס;
• מצוירים בתוך הדמות אלמנטים שווים.

קטעים של פולידרון

בכל פולידרון שיש מספר סוגי קטעיםמָטוֹס. לעתים קרובות בקורס גיאומטריה בבית הספר הם עובדים עם שניים:

• צִירִי;
• בסיס מקביל.

חתך צירי מתקבל על ידי חיתוך רב-הדרון עם מישור העובר דרך הקודקוד, קצוות הצד והציר. במקרה זה, הציר הוא הגובה הנמשך מהקודקוד. מישור החיתוך מוגבל על ידי קווי החיתוך עם כל הפנים, וכתוצאה מכך נוצר משולש.

תשומת הלב!בפירמידה רגילה, החתך הצירי הוא משולש שווה שוקיים.

אם מטוס החיתוך פועל במקביל לבסיס, התוצאה היא האפשרות השנייה. במקרה זה, יש לנו בהקשר של דמות דומה לבסיס.

לדוגמה, אם הבסיס הוא ריבוע, אז החתך המקביל לבסיס יהיה גם ריבוע, רק בגודל קטן יותר.

בעת פתרון בעיות במצב זה, משתמשים בסימנים ומאפיינים של דמיון של דמויות, מבוסס על משפט תאלס. קודם כל, יש צורך לקבוע את מקדם הדמיון.

אם המטוס נמשך במקביל לבסיס, והוא חותך את החלק העליון של הפוליהדרון, אז מתקבלת פירמידה קטומה רגילה בחלק התחתון. אז אומרים שהבסיסים של הפולידרון הקטום הם מצולעים דומים. במקרה זה, פני הצד הם טרפזים שווה שוקיים. החתך הצירי הוא גם שווה שוקיים.

על מנת לקבוע את גובהו של פולידרון קטום, יש צורך לצייר את הגובה בחתך צירי, כלומר בטרפז.

שטחי פני השטח

הבעיות הגיאומטריות העיקריות שיש לפתור בקורס גיאומטריה בבית הספר הן מציאת שטח הפנים והנפח של פירמידה.

ישנם שני סוגים של שטח פנים:

• שטח של אלמנטים צדדיים;
• כל שטח הפנים.

מהכותרת עצמה ברור על מה מדובר. משטח הצד כולל רק את האלמנטים הצדדיים. מכאן נובע שכדי למצוא אותו, אתה פשוט צריך להוסיף את השטחים של המישורים הרוחביים, כלומר את השטחים של 3 גונים שווה שוקיים. בואו ננסה לגזור את הנוסחה עבור שטח האלמנטים הצדדיים:

1. השטח של 3-גוון שווה שוקיים הוא Str=1/2(aL), כאשר a הוא הצלע של הבסיס, L הוא האפוטם.
2. מספר מישורי הצד תלוי בסוג הק-גון בבסיס. לדוגמה, לפירמידה מרובעת רגילה יש ארבעה מישורים רוחביים. לכן, יש צורך לחבר את השטחים של ארבע דמויות Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . הביטוי מפושט בדרך זו מכיוון שהערך 4a=POS, כאשר POS הוא היקף הבסיס. והביטוי 1/2 * רוסן הוא חצי ההיקף שלו.
3. אז, אנו מסיקים ששטח היסודות הצדדיים של פירמידה רגילה שווה למכפלת חצי ההיקף של הבסיס והמשפט: Sside \u003d Rosn * L.

שטח פני השטח המלא של הפירמידה מורכב מסכום שטחי המישורים הצדדיים והבסיס: Sp.p. = Sside + Sbase.

באשר לשטח הבסיס, כאן משתמשים בנוסחה לפי סוג המצולע.

נפח של פירמידה רגילהשווה למכפלת שטח מישור הבסיס והגובה חלקי שלוש: V=1/3*Sbase*H, כאשר H הוא גובה הפולידרון.

מהי פירמידה רגילה בגיאומטריה

תכונות של פירמידה מרובעת רגילה

פירמידה משולשת היא פירמידה המבוססת על משולש. גובהה של פירמידה זו הוא הניצב, אשר מורד מראש הפירמידה לבסיסיה.

מציאת גובה פירמידה

איך למצוא את גובה הפירמידה? פשוט מאוד! כדי למצוא את הגובה של כל פירמידה משולשת, ניתן להשתמש בנוסחת הנפח: V = (1/3)Sh, כאשר S הוא שטח הבסיס, V הוא נפח הפירמידה, h הוא גובהה. מנוסחה זו, גזר את נוסחת הגובה: כדי למצוא את הגובה של פירמידה משולשת, עליך להכפיל את נפח הפירמידה ב-3, ולאחר מכן לחלק את הערך המתקבל בשטח הבסיס, זה יהיה: h \u003d (3V ) / ש. מכיוון שהבסיס של פירמידה משולשת הוא משולש, אתה יכול להשתמש בנוסחה לחישוב שטח המשולש. אם אנחנו יודעים: שטח המשולש S והצלע שלו z, אז לפי נוסחת השטח S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, כאשר h הוא גובה הפירמידה, γ הוא קצה המשולש; הזווית בין צלעות המשולש לשתי הצלעות עצמן, ולאחר מכן באמצעות הנוסחה הבאה: S = (1/2)γφsinQ, כאשר γ, φ הן צלעות המשולש, נמצא את שטח המשולש. יש לראות את הערך של הסינוס של זווית Q בטבלת הסינוסים שנמצאת באינטרנט. לאחר מכן, נחליף את ערך השטח בנוסחת הגובה: h = (2S)/γ. אם המשימה דורשת חישוב גובה של פירמידה משולשת, אז נפח הפירמידה כבר ידוע.

פירמידה משולשת רגילה

מצא את הגובה של פירמידה משולשת רגילה, כלומר פירמידה שבה כל הפנים הם משולשים שווי צלעות, לדעת את גודל הקצה γ. במקרה זה, קצוות הפירמידה הם צלעות של משולשים שווי צלעות. הגובה של פירמידה משולשת רגילה יהיה: h = γ√(2/3), כאשר γ הוא קצה של משולש שווה צלעות, h הוא גובה הפירמידה. אם שטח הבסיס (S) אינו ידוע, ורק אורך הקצה (γ) ונפח (V) של הפוליהדרון ניתנים, יש להחליף את המשתנה הדרוש בנוסחה מהשלב הקודם לפי המקבילה שלו, שמתבטאת במונחים של אורך הקצה. שטחו של משולש (רגיל) שווה ל-1/4 מהמכפלה של אורך הצלע של משולש זה, בריבוע בשורש הריבועי של 3. אנו מחליפים את הנוסחה הזו במקום את שטח הבסיס בנוסחה הקודמת , ואנו מקבלים את הנוסחה הבאה: h \u003d 3V4 / (γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). ניתן לבטא את נפחו של טטרהדרון במונחים של אורך קצהו, לאחר מכן ניתן להסיר את כל המשתנים מהנוסחה לחישוב גובהה של דמות ולהותיר רק את הצד של הפן המשולש של הדמות. ניתן לחשב את הנפח של פירמידה כזו על ידי חלוקה ב-12 מהמוצר את אורך פניה בקוביות בשורש הריבועי של 2.

נחליף את הביטוי הזה בנוסחה הקודמת, נקבל את הנוסחה הבאה לחישוב: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ√(2 /3) = (1/3)γ√6. כמו כן, ניתן לרשום פריזמה משולשת רגילה בכדור, ואם יודעים רק את רדיוס הכדור (R), ניתן למצוא את גובהו של הטטרהדרון. אורך הקצה של הטטרהדרון הוא: γ = 4R/√6. נחליף את המשתנה γ בביטוי זה בנוסחה הקודמת ונקבל את הנוסחה: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. ניתן לקבל את אותה נוסחה על ידי הכרת הרדיוס (R) של מעגל החתום בארבעהדרון. במקרה זה, אורך קצה המשולש יהיה שווה ל-12 יחסים בין השורש הריבועי של 6 לרדיוס. נחליף את הביטוי הזה בנוסחה הקודמת ויש לנו: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

כיצד למצוא את הגובה של פירמידה מרובעת רגילה

כדי לענות על השאלה איך למצוא את אורך גובה הפירמידה, צריך לדעת מהי פירמידה רגילה. פירמידה מרובעת היא פירמידה המבוססת על מרובע. אם בתנאים של הבעיה יש לנו: נפח (V) ושטח הבסיס (S) של הפירמידה, אז הנוסחה לחישוב גובה הפוליהדרון (h) תהיה כדלקמן - חלקו את הנפח כפול 3 בשטח S: h \u003d (3V) / S. עם בסיס ריבועי של פירמידה עם ידוע: נפח נתון (V) ואורך הצלע γ, החלף את השטח (S) בנוסחה הקודמת בריבוע של אורך הצלע: S = γ 2 ; H = 3V/γ 2. גובה הפירמידה הרגילה h = SO עובר רק דרך מרכז המעגל, המוקף ליד הבסיס. מכיוון שבסיס הפירמידה הזו הוא ריבוע, נקודת O היא נקודת החיתוך של האלכסונים AD ו-BC. יש לנו: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. בהמשך, אנו מוצאים במשולש ישר זווית SOC (לפי משפט פיתגורס): SO = √(SC 2 -OC 2). עכשיו אתה יודע איך למצוא את הגובה של פירמידה רגילה.

כאן נאסף מידע בסיסי על הפירמידות ונוסחאות ומושגים קשורים. כולם נלמדים עם מורה למתמטיקה לקראת הבחינה.

חשבו על מישור, מצולע שוכב בו ונקודה ס שאינה שוכבת בו. חבר את S לכל קודקודי המצולע. הפוליהדרון שנוצר נקרא פירמידה. הקטעים נקראים קצוות לרוחב. המצולע נקרא בסיס, והנקודה S נקראת החלק העליון של הפירמידה. בהתאם למספר n, הפירמידה נקראת משולשת (n=3), מרובעת (n=4), מחומשת (n=5) וכן הלאה. שם חלופי לפירמידה המשולשת - אַרְבָּעוֹן. גובה הפירמידה הוא הניצב הנמשך מהקודקוד שלה למישור הבסיס.

פירמידה נקראת נכון אם מצולע רגיל, ובסיס גובה הפירמידה (בסיס הניצב) הוא מרכזה.

הערה של המורה:
אל תבלבלו בין המושג "פירמידה רגילה" ו"טטרהדרון רגיל". בפירמידה רגילה, הקצוות הצדדיים לא בהכרח שווים לקצוות הבסיס, אבל בטטרהדרון רגיל, כל 6 הקצוות של הקצוות שווים. זו ההגדרה שלו. קל להוכיח שהשוויון מרמז שמרכז P של המצולע עם בסיס גובה, אז טטרהדרון רגיל הוא פירמידה רגילה.

מה זה אפוטם?
התפיסה של פירמידה היא גובה פניה הצדדיים. אם הפירמידה רגילה, אז כל המושגים שלה שווים. ההיפך אינו נכון.

מורה למתמטיקה על המינוח שלו: עבודה עם פירמידות בנויה ב-80% באמצעות שני סוגים של משולשים:
1) מכיל משפט SK וגובה SP
2) מכיל את הקצה הרוחבי SA ואת ההשלכה שלו PA

כדי לפשט את ההתייחסויות למשולשים הללו, נוח יותר למורה למתמטיקה לציין את הראשון שבהם אפוטמי, ושנית קוסטאלי. למרבה הצער, את המינוח הזה לא תמצא באף אחד מספרי הלימוד, והמורה צריך להציג אותו באופן חד צדדי.

נוסחת נפח פירמידה:
1) , איפה השטח של בסיס הפירמידה, והוא גובה הפירמידה
2), איפה הרדיוס של הכדור הכתוב, והוא שטח הפנים הכולל של הפירמידה.
3) , כאשר MN הוא המרחק של כל שני קצוות חוצים, והוא שטח המקבילית שנוצרה על ידי נקודות האמצע של ארבעת הקצוות הנותרים.

מאפיין בסיס גובה הפירמידה:

נקודה P (ראה איור) חופפת למרכז המעגל הכתוב בבסיס הפירמידה אם מתקיים אחד מהתנאים הבאים:
1) כל האפוטמים שווים
2) כל פני הצד נוטים באותה מידה לכיוון הבסיס
3) כל האפוטמים נוטים באותה מידה לגובה הפירמידה
4) גובה הפירמידה נוטה באותה מידה לכל פני הצדדים

פרשנות של מורה למתמטיקה: שים לב שכל הנקודות מאוחדות על ידי רכוש משותף אחד: כך או אחרת, פרצופים צדדיים משתתפים בכל מקום (אפוטמים הם האלמנטים שלהם). לכן, המורה יכול להציע ניסוח פחות מדויק, אך נוח יותר לשינון: הנקודה P חופפת למרכז המעגל הכתוב, בסיס הפירמידה, אם יש מידע שווה על פניה הצדדיים. כדי להוכיח זאת, די להראות שכל המשולשים האפוטמיים שווים.

הנקודה P חופפת למרכז המעגל המוקף ליד בסיס הפירמידה, אם אחד משלושת התנאים מתקיים:
1) כל הקצוות הצדדיים שווים
2) כל הצלעות הצדדיות נוטות באותה מידה לכיוון הבסיס
3) כל הצלעות הצדדיות נוטות באותה מידה לגובה