Mga sistema ng pagpila. Coursework: Pagmomodelo ng mga sistema ng pagpila

Mga tagapagpahiwatig ng pagganap ng QS

• ganap at kamag-anak na kapasidad ng system;
• load at idle na mga kadahilanan;
• average na oras ng buong boot ng system;
• average na oras na ginugol ng isang kahilingan sa system.

Mga tagapagpahiwatig na nagpapakilala sa sistema mula sa pananaw ng mga mamimili:

• P obs - ang posibilidad ng pagseserbisyo sa aplikasyon,
• Ang t syst ay ang oras na mananatili ang kahilingan sa system.

Mga tagapagpahiwatig na nagpapakilala sa system sa mga tuntunin ng mga katangian ng pagpapatakbo nito:

• λ b ay ang ganap na throughput ng system (ang average na bilang ng mga kahilingang inihatid sa bawat yunit ng oras),
• Ang P obs ay ang relatibong throughput ng system,
• k z - system load factor.

tingnan din ang Mga Parameter ng pagiging epektibo sa gastos ng mga HMO

Isang gawain. Ang computing center para sa kolektibong paggamit sa tatlong computer ay tumatanggap ng mga order mula sa mga negosyo para sa computing work. Kung ang lahat ng tatlong mga computer ay gumagana, pagkatapos ay ang bagong papasok na order ay hindi tinatanggap, at ang enterprise ay napipilitang lumiko sa isa pang computer center. Ang average na oras ng trabaho sa isang order ay 3 oras. Ang intensity ng daloy ng mga aplikasyon ay 0.25 (1/h). Hanapin ang naglilimita sa mga probabilidad ng mga estado at mga tagapagpahiwatig ng pagganap ng sentro ng computer.
Solusyon. Sa pamamagitan ng kundisyon n=3, λ=0.25(1/h), t rev. =3 (h). Ang intensity ng daloy ng mga serbisyo μ=1/t vol. =1/3=0.33. Intensity ng pag-load ng computer ayon sa formula (24) ρ=0.25/0.33=0.75. Hanapin natin ang naglilimita sa mga probabilidad ng mga estado:
ayon sa formula (25) p 0 \u003d (1 + 0.75 + 0.75 2 / 2! + 0.75 3 / 3!) -1 \u003d 0.476;
ayon sa formula (26) p 1 =0.75∙0.476=0.357; p 2 \u003d (0.75 2 / 2!) ∙ 0.476 \u003d 0.134; p 3 \u003d (0.75 3 / 3!) ∙ 0.476 \u003d 0.033 i.e. sa nakatigil na mode ng computer center, sa karaniwan, 47.6% ng oras na walang isang solong aplikasyon, 35.7% - mayroong isang application (isang computer ang inookupahan), 13.4% - dalawang application (dalawang computer), 3.3% ng panahon - tatlong application (tatlong computer ang inookupahan).
Ang posibilidad ng pagkabigo (kapag ang lahat ng tatlong mga computer ay inookupahan), kaya, P otk. \u003d p 3 \u003d 0.033.
Ayon sa formula (28), ang relative throughput ng center ay Q = 1-0.033 = 0.967, i.e. sa karaniwan, sa bawat 100 kahilingan, ang computer center ay naghahatid ng 96.7 kahilingan.
Ayon sa formula (29), ang absolute throughput ng center ay A= 0.25∙0.967 = 0.242, i.e. 0.242 na aplikasyon ang inihahatid sa karaniwan bawat oras.
Ayon sa formula (30), ang average na bilang ng mga may trabahong computer k = 0.242/0.33 = 0.725, i.e. bawat isa sa tatlong mga computer ay okupado sa mga servicing application sa average na 72.5/3 = 24.2%.
Kapag sinusuri ang kahusayan ng sentro ng computer, kinakailangang ihambing ang kita mula sa pagpapatupad ng mga kahilingan sa mga pagkalugi mula sa downtime ng mga mamahaling computer (sa isang banda, mayroon kaming mataas na throughput ng QS, at sa kabilang banda , isang makabuluhang downtime ng mga channel ng serbisyo) at pumili ng solusyon sa kompromiso.

Isang gawain. Ang daungan ay may isang puwesto para sa pagbabawas ng mga barko. Ang intensity ng daloy ng mga sisidlan ay 0.4 (mga sisidlan bawat araw). Ang average na oras para sa pagbabawas ng isang barko ay 2 araw. Ipinapalagay na ang pila ay maaaring walang limitasyong haba. Hanapin ang mga tagapagpahiwatig ng pagganap ng puwesto, pati na rin ang posibilidad na hindi hihigit sa 2 sasakyang-dagat ang naghihintay para sa pagbabawas.
Solusyon. Mayroon kaming ρ = λ/μ = μt vol. =0.4∙2=0.8. Dahil ρ = 0.8 < 1, kung gayon ang pila para sa pagbabawas ay hindi maaaring tumaas nang walang katiyakan at may mga nililimitahan ang mga probabilidad. Hanapin natin sila.
Ang posibilidad na ang berth ay libre, ayon sa (33) p 0 = 1 - 0.8 = 0.2, at ang posibilidad na ito ay inookupahan, P zan. = 1-0.2 = 0.8. Ayon sa formula (34), ang mga posibilidad na ang 1, 2, 3 barko ay nasa puwesto (i.e., 0, 1, 2 barko ang naghihintay para sa pagbabawas) ay katumbas ng p 1 = 0.8 (1-0.8) = 0, 16 ; p 2 \u003d 0.8 2 ∙ (1-0.8) \u003d 0.128; p 3 \u003d 0.8 3 ∙ (1-0.8) \u003d 0.1024.
Ang posibilidad na hindi hihigit sa 2 barko ang naghihintay na mag-ibis ay

Ayon sa formula (40), ang average na bilang ng mga barko na naghihintay para sa pagbabawas

at ang average na oras ng paghihintay para sa pagbabawas ayon sa formula (15.42)
(araw).
Ayon sa formula (36), ang average na bilang ng mga barko sa berth, L syst. = 0.8/(1-0.8) = 4 (araw) (o mas madali ayon sa (37) L syst. = 3.2+0.8 = 4 (araw), at ang average na oras ng pananatili ng barko sa puwesto ayon sa formula ( 41) T syst = 4/0.8 = 5 (araw).
Malinaw, ang kahusayan ng pagbabawas ng mga barko ay mababa. Upang madagdagan ito, ito ay kinakailangan upang bawasan ang average na oras ng pagbabawas ng sasakyang t tungkol sa o dagdagan ang bilang ng mga berths n.

Isang gawain. Sa isang supermarket, dumarating ang daloy ng mga customer sa settlement node na may intensity na λ = 81 tao. sa oras. Ang average na tagal ng serbisyo ng controller-cashier ng isang mamimili t tungkol sa \u003d 2 min. tukuyin:
a. Ang pinakamababang bilang ng mga controllers-cashier p min, kung saan ang pila ay hindi lalago sa infinity, at ang kaukulang mga katangian ng serbisyo para sa n=n min .
b. Ang pinakamainam na bilang ng n opt. controllers-cashier, kung saan ang relatibong halaga ng mga gastos C rel., na nauugnay sa mga gastos sa pagpapanatili ng mga channel ng serbisyo at pananatili sa pila ng mga mamimili, na ibinigay, halimbawa, bilang , ay magiging minimal, at ihambing ang mga katangian ng serbisyo sa n=n min at n=n opt.
sa. Ang posibilidad na hindi hihigit sa tatlong mamimili sa pila.
Solusyon.
a. Sa pamamagitan ng kondisyon l = 81(1/h) = 81/60 = 1.35 (1/min). Ayon sa formula (24) r = l / m = lt rev = 1.35 × 2 = 2.7. Ang pila ay hindi lalago nang walang katiyakan sa ilalim ng kondisyon r/n< 1, т.е. при n >r = 2.7. Kaya, ang pinakamababang bilang ng mga controllers-cashier n min = 3.
Hanapin natin ang mga katangian ng serbisyo ng QS para sa P= 3.
Ang posibilidad na walang mga mamimili sa settlement node, ayon sa formula (45) p 0 = (1+2.7+2.7 2 /2!+2.7 3 /3!+2.7 4 /3!(3 -2.7)) - 1 = 0.025, ibig sabihin. may average na 2.5% magiging idle ang mga time controller-cashier.
Ang posibilidad na magkakaroon ng pila sa node ng pagkalkula, ayon sa (48) P och. = (2.7 4 /3!(3-2.7))0.025 = 0.735
Ang average na bilang ng mga mamimili sa pila, ng (50) L pts. \u003d (2.7 4 / 3 3! (1-2.7 / 3) 2) 0.025 \u003d 7.35.
Average na oras ng paghihintay sa pila ayon sa (42) T pts. = 7.35/1.35 = 5.44 (min).
Ang average na bilang ng mga mamimili sa node ng pagkalkula ayon sa (51) L syst. = 7.35+2.7 = 10.05.
Ang average na oras na ginugol ng mga mamimili sa node ng pagkalkula ayon sa (41) T syst. = 10.05/1.35 = 7.44 (min).
Talahanayan 1

Katangian ng serbisyo	Bilang ng mga controllers-cashier
	3	4	5	6	7
Ang posibilidad ng mga idle cashier p 0	0,025	0,057	0,065	0,067	0,067
Ang average na bilang ng mga mamimili sa pila T och.	5,44	0,60	0,15	0,03	0,01
Kamag-anak na halaga ng mga gastos С rel.	18,54	4,77	4,14	4,53	5,22

Ang average na bilang ng mga controllers-cashier na nakikibahagi sa customer service, ayon sa (49) k = 2.7.
Ratio (bahagi) ng mga cashier controllers na nagtatrabaho sa servicing
= ρ/n = 2.7/3 = 0.9.
Ganap na throughput ng node ng pagkalkula A = 1.35 (1/min), o 81 (1/h), i.e. 81 mamimili kada oras.
Ang isang pagsusuri ng mga katangian ng serbisyo ay nagpapahiwatig ng isang makabuluhang labis na karga ng settlement node sa pagkakaroon ng tatlong controllers-cashier.
b. Relatibong gastos para sa n = 3
C rel. = = 3/1.35+3∙5.44 = 18.54.
Kalkulahin ang kaugnay na halaga ng mga gastos para sa iba pang mga halaga P(Talahanayan 1).
Tulad ng makikita mula sa Talahanayan. 2, ang pinakamababang gastos ay nakukuha sa n = n opt. = 5 controllers-cashier.
Alamin natin ang mga katangian ng serbisyo ng node ng pagkalkula para sa n = n opt. =5. Nakakakuha kami ng P och. = 0.091; L = 0.198; T och. = 0.146 (min); L sistema = 2.90; T snst. = 2.15 (min); k = 2.7; k 3 \u003d 0.54.
Tulad ng makikita mo, sa n = 5, kumpara sa n = 3, ang posibilidad ng isang queue P och. , haba ng pila L pts. at ang karaniwang oras na ginugol sa pila T och. at, nang naaayon, ang average na bilang ng mga mamimili L system. at ang average na oras na ginugol sa kalkulasyon node T sist., pati na rin ang proporsyon ng mga controllers na nagtatrabaho sa servicing k 3. Ngunit ang average na bilang ng mga controllers-cashier na nagtatrabaho sa servicing k at ang absolute throughput ng kalkulasyon node A ay natural na hindi pagbabago.
sa. Ang posibilidad na hindi hihigit sa 3 customer sa pila ay tinukoy bilang
= 1-P och. + p 5+1 + p 5+2 + p 5+3 , kung saan ang bawat termino ay matatagpuan sa pamamagitan ng mga formula (45) – (48). Nakukuha namin para sa n=5:

(Tandaan na sa kaso ng n=3 controllers-cashier, ang parehong probabilidad ay makabuluhang mas mababa: P(r ≤ 3) =0.464).

Paglalapat ng iba't ibang pamamaraan ng matematika sa pormalisasyon. Pagbibigay-diin sa isang kumplikadong sistema - hindi mahuhulaan. Tagapagdala kawalan ng katiyakan ay ang tao.

Ang karaniwang halimbawa ng mga stochastic (random, probabilistic) na mga problema ay mga modelo ng mga sistema ng pagpila.

Ang mga SMO ay nasa lahat ng dako. Ito ay mga network ng telepono, mga istasyon ng gas, mga serbisyo ng consumer, mga opisina ng tiket, mga kaganapan sa kalakalan, atbp.

Mula sa posisyon ng pagmomodelo ng proseso ng pagpila, ang mga sitwasyon kung kailan ang mga pila ng mga kahilingan (mga kinakailangan) para sa serbisyo ay nabuo bilang mga sumusunod. Sa pagpasok sa sistema ng paghahatid, ang kinakailangan ay sumali sa pila ng iba pang (naunang natanggap) na mga kinakailangan. Ang channel ng serbisyo ay pumipili ng isang kinakailangan mula sa mga nasa pila upang simulan ang pagseserbisyo dito. Matapos makumpleto ang pamamaraan para sa paglilingkod sa susunod na kahilingan, ang channel ng serbisyo ay magsisimulang magsilbi sa susunod na kahilingan, kung mayroong isa sa waiting block. Ang siklo ng paggana ng isang QS ng ganitong uri ay paulit-ulit nang maraming beses sa buong panahon ng pagpapatakbo ng sistema ng paghahatid. Ipinapalagay na ang paglipat ng system sa pagseserbisyo sa susunod na kinakailangan pagkatapos ng pagkumpleto ng pagseserbisyo sa nakaraang kinakailangan ay nangyayari kaagad, sa mga random na oras.

Ang mga halimbawa ng mga SMO ay:

mga post sa pagpapanatili ng kotse;

mga post sa pagkumpuni ng kotse;

mga kumpanya ng pag-audit, atbp.

Ang nagtatag ng teorya ng queuing, sa partikular, ang teorya ng queues, ay ang sikat na Danish na siyentipiko na si A.K. Erlang (1878-1929), na nag-aral ng mga proseso ng serbisyo sa mga palitan ng telepono.

Ang mga sistema kung saan nagaganap ang mga proseso ng serbisyo ay tinatawag na mga queuing system (QS).

Upang ilarawan ang isang queuing system, dapat mong tukuyin ang:

- daloy ng input ng mga application;

- disiplina sa serbisyo;

- oras ng serbisyo

- ang bilang ng mga channel ng serbisyo.

input stream ang mga kinakailangan (mga aplikasyon) ay inilalarawan sa pamamagitan ng pagtukoy sa parehong probabilistic batas sa pamamahagi mga sandali ng pagtanggap ng mga kinakailangan sa system, at bilang ng mga kinakailangan sa bawat entry.

Kapag tinanong mga disiplina sa paglilingkod(DO) kinakailangang ilarawan ang mga patakaran para sa mga kinakailangan sa pagpila at pagseserbisyo sa kanila sa system. Ang haba ng pila ay maaaring parehong limitado at walang limitasyon. Sa kaso ng mga paghihigpit sa haba ng pila, ang aplikasyon na natanggap sa input ng QS ay tinanggihan. Ang pinakakaraniwang ginagamit na mga DO ay tinutukoy ng mga sumusunod na patakaran:

unang dumating - unang nagsilbi;

huling dumating - naunang nagsilbi; (kahon para sa mga bola ng tennis, stack in technique)

random na pagpili ng mga aplikasyon;

pagpili ng mga aplikasyon ayon sa priyoridad na pamantayan.

Oras ng serbisyo Ang mga aplikasyon sa QS ay isang random na variable. Ang pinakakaraniwang batas sa pamamahagi ay ang exponential law.  - bilis ng serbisyo. =bilang ng mga kahilingan/unit ng serbisyo. oras.

Mga channel ng serbisyo, ay maaaring ilagay sa parallel o sa serye. Sa pamamagitan ng sunud-sunod na pag-aayos ng mga channel, ang bawat aplikasyon ay sineserbisyuhan sa lahat ng mga channel nang sunud-sunod. Sa isang magkatulad na pag-aayos ng mga channel, ang serbisyo ay isinasagawa sa lahat ng mga channel nang sabay-sabay habang sila ay libre.

Ang pangkalahatang istraktura ng QS ay ipinapakita sa fig.

Paksa teorya ng pagpila ay ang pagtatatag ng ugnayan sa pagitan ng mga salik na tumutukoy sa paggana ng QS, at ng pagiging epektibo ng paggana nito.

Mga problema sa disenyo ng QS.

Ang mga gawain ng pagtukoy ng mga katangian ng istraktura ng QS ay kinabibilangan ng problema sa pagpili ng bilang ng mga channel ng serbisyo (mga pangunahing elemento (F). i)), ang problema sa pagtukoy ng paraan ng pagkonekta ng mga channel (isang hanay ng mga elemento ng koneksyon (Hj)), pati na rin ang problema sa pagtukoy ng throughput ng mga channel.

isa). Pagpili ng istraktura. Kung ang mga channel ay gumana nang magkatulad, ang problema sa pagpili ng Str ay nabawasan sa pagtukoy ng bilang ng mga channel sa bahagi ng serbisyo batay sa kondisyon para sa pagtiyak ng operability ng QS. (Maliban kung ang pila ay walang katapusan na lumalaki).

Tandaan na kapag tinutukoy ang bilang ng mga channel ng system, sa kaso ng kanilang parallel arrangement, kinakailangan na obserbahan kondisyon ng kalusugan ng system. Tukuyin:  - ang average na bilang ng mga kahilingang natanggap sa bawat yunit ng oras, i.e. intensity ng daloy ng input;  - ang average na bilang ng mga aplikasyon na nasiyahan sa bawat yunit ng oras, i.e. intensity ng serbisyo; S - bilang ng mga channel ng serbisyo. Pagkatapos ay isusulat ang kundisyon para sa operability ng QS

o
. Ang katuparan ng kundisyong ito ay nagpapahintulot sa amin na kalkulahin ang mas mababang hangganan sa bilang ng mga channel.

Kung
, hindi kaya ng system ang pila. Ang pila ay lumalaki nang walang katiyakan.

2). Ito ay kinakailangan upang matukoy ang criterion para sa pagiging epektibo ng paggana QS, na isinasaalang-alang ang gastos ng mga pagkalugi sa oras kapwa sa bahagi ng mga aplikasyon at sa bahagi ng bahagi ng serbisyo.

Ang sumusunod na tatlong pangunahing pangkat ng mga tagapagpahiwatig ay isinasaalang-alang bilang mga tagapagpahiwatig ng pagiging epektibo ng paggana ng QS:

1. Mga tagapagpahiwatig ng pagiging epektibo ng paggamit ng QS.

Ang absolute throughput ng QS ay ang average na bilang ng mga application na maaaring ihatid ng QS sa bawat yunit ng oras.

Ang relatibong throughput ng QS ay ang ratio ng average na bilang ng mga application na inihatid ng QS bawat unit ng oras sa average na bilang ng mga kahilingang natanggap sa panahong ito.

Ang average na tagal ng panahon ng pagtatrabaho ng SMO.

Ang rate ng paggamit ng QS ay ang average na bahagi ng oras kung kailan abala ang QS sa pagseserbisyo ng mga application.

2. Mga tagapagpahiwatig ng kalidad ng mga aplikasyon ng serbisyo.

Average na oras ng paghihintay para sa isang aplikasyon sa pila.

Average na oras ng paninirahan ng isang aplikasyon sa CMO.

Posibilidad ng kahilingan na tanggihan ang serbisyo nang hindi naghihintay.

Ang posibilidad na ang isang papasok na kahilingan ay agad na tatanggapin para sa serbisyo.

Ang batas ng pamamahagi ng oras ng paghihintay para sa isang aplikasyon sa pila.

Ang batas ng pamamahagi ng oras na ginugol ng isang aplikasyon sa QS.

Ang average na bilang ng mga application sa queue.

Ang average na bilang ng mga aplikasyon sa CMO.

3. Mga tagapagpahiwatig ng pagiging epektibo ng paggana ng pares na "QS - consumer".

Kapag pumipili ng isang pamantayan para sa kahusayan ng paggana ng QS, kinakailangang isaalang-alang ang dalawahang diskarte sa pagsasaalang-alang ng mga sistema ng pagpila. Halimbawa, ang gawain ng isang supermarket, tulad ng isang CMO, ay maaaring tingnan mula sa magkabilang panig. Sa isang banda, tradisyonal na tinatanggap, ang mamimili, na naghihintay sa linya sa checkout, ay isang kahilingan para sa serbisyo, at ang cashier ay isang channel ng serbisyo. Sa kabilang banda, ang isang cashier na naghihintay para sa mga customer ay maaaring ituring bilang isang kahilingan sa serbisyo, at ang isang customer ay isang aparato ng serbisyo na may kakayahang matugunan ang kahilingan, i.e. pumunta sa cashier at itigil ang sapilitang downtime ng cashier. (tradisyonal - mga mamimili > kaysa sa mga cashier, kung ang mga cashier > kaysa sa mga mamimili, naghihintay sila ng mga mamimili).

MULA SA
Sa pag-iisip na ito, nararapat na bawasan ang parehong bahagi ng QS nang sabay-sabay.

Ang paggamit ng naturang dalawahang diskarte ay nagpapahiwatig ng pangangailangan na isaalang-alang, kapag bumubuo ng pamantayan ng kahusayan, hindi lamang ang mga tagapagpahiwatig sa itaas nang hiwalay, kundi pati na rin ang ilang mga tagapagpahiwatig nang sabay-sabay, na sumasalamin sa mga interes ng parehong paghahatid at serbisyo ng mga subsystem ng QS. Halimbawa, ipinapakita na ang pinakamahalagang pamantayan ng kahusayan sa pag-pila ng mga gawain ay ang kabuuang oras na ginugol ng kliyente sa pila, sa isang banda, at mga idle na channel ng serbisyo, sa kabilang banda.

Pag-uuri ng mga sistema ng pagpila

1. Sa likas na katangian ng serbisyo, ang mga sumusunod na uri ng QS ay nakikilala:

1.1. Mga sistema ng paghihintay o mga sistema ng pagpila. Ang mga kinakailangan na pumasok sa system at hindi agad natanggap para sa serbisyo ay naipon sa isang pila. Kung libre ang mga channel, ibibigay ang kahilingan. Kung ang lahat ng mga channel ay inookupahan sa oras ng pagtanggap ng kahilingan, pagkatapos ay ang susunod na kahilingan ay serbisiyo pagkatapos makumpleto ang pagseserbisyo sa nauna. Ang ganitong sistema ay tinatawag na ganap na naa-access (na may walang limitasyong pila).

May mga system na may autonomous na serbisyo, kapag nagsimula ang serbisyo sa ilang partikular na oras;

Mga system na may limitadong pila. (pag-aayos ng garahe)

Mga sistemang may mga pagkabigo. Lahat ng mga kahilingan na dumating sa oras ng paghahatid ng kahilingan ay tinatanggihan. (GTS)

Mga system na may daloy ng input ng grupo at serbisyo ng grupo. Sa ganitong mga system, dumarating ang mga application sa mga pangkat sa mga punto ng oras, at ang serbisyo ay nangyayari din sa mga pangkat.

2. Ayon sa bilang ng mga channel ng serbisyo, ang mga QS ay nahahati sa mga sumusunod na grupo.

Isang channel QS.

Multichannel QS. Maaaring magsimula ang serbisyo ng susunod na kahilingan bago matapos ang serbisyo ng nakaraang kahilingan. Ang bawat channel ay gumaganap bilang isang independiyenteng server.

3. Ayon sa hanay ng mga bagay na pinaglilingkuran, dalawang uri ang nakikilala.

Isinara ang QS. Ang closed-loop queuing system ay isang queuing system kung saan ang mga customer na naserbisyuhan ay maaaring bumalik sa system at maihatid muli. Ang mga halimbawa ng saradong SMO ay mga repair shop, mga savings bank.

Buksan ang mga CMO.

4. Sa bilang ng mga yugto ng serbisyo, nakikilala ang single-phase at multi-phase QS.

iisang yugto Ang QS ay mga homogenous system na gumaganap ng parehong operasyon ng serbisyo.

Polyphase Ang QS ay mga sistema kung saan ang mga channel ng serbisyo ay nakaayos sa serye at nagsasagawa ng iba't ibang mga operasyon ng serbisyo. Ang isang halimbawa ng isang multi-phase QS ay mga istasyon ng serbisyo ng kotse.

Ang klasipikasyon sa itaas ng QS ay may kondisyon. Sa pagsasagawa, kadalasang kumikilos ang mga QS bilang mga mixed system. Halimbawa, ang mga kahilingan ay naghihintay para sa pagsisimula ng serbisyo hanggang sa isang tiyak na sandali, pagkatapos nito ay magsisimulang gumana ang system bilang isang system na may mga pagkabigo.

Sa pagsasagawa ng aktibidad ng tao, ang isang malaking lugar ay inookupahan ng mga proseso ng pagpila na nagaganap sa mga system na idinisenyo para magamit muli sa paglutas ng mga gawain ng parehong uri. Ang mga ganitong sistema ay tinatawag na queuing system (QS). Ang mga halimbawa ng naturang mga sistema ay mga sistema ng telepono, mga sistema ng kompyuter, sasakyan, aviation, mga sistema ng pagpapanatili, mga tindahan, mga opisina ng tiket, at mga katulad nito.

Ang bawat sistema ay binubuo ng isang tiyak na bilang ng mga yunit ng serbisyo (mga instrumento, aparato, aparato "mga punto, istasyon), na tinatawag na mga channel ng serbisyo. Ayon sa bilang ng mga channel, ang QS ay nahahati sa single-channel at multi-channel. Ang diagram ng isang single-channel queuing system ay ipinapakita sa Fig. 6.2.

Ang mga aplikasyon ay karaniwang hindi pumapasok sa system nang regular, ngunit random, na bumubuo ng isang random na daloy ng mga aplikasyon (mga kinakailangan). Ang serbisyo ng bawat pangangailangan mismo ay maaaring tumagal ng alinman sa isang tiyak na oras, o, mas madalas, isang hindi tiyak na oras. Ang random na kalikasan ay humahantong sa katotohanan na ang QS ay na-load nang hindi pantay: sa ilang mga yugto ng panahon, ang isang napakalaking bilang ng mga application ay naipon (maaaring makapasok sila sa linya o iwanan ang QS na hindi naseserbisyuhan), habang sa ibang mga panahon ang QS ay nagpapatakbo nang may kulang na karga. o ay walang ginagawa.

kanin. 6.2.

Ang layunin ng pag-aaral ng mga sistema ng pagpila ay pag-aralan ang kalidad ng kanilang paggana at tukuyin ang mga pagkakataon para sa pagpapabuti nito. Kasabay nito, ang konsepto ng "kalidad ng paggana" sa bawat indibidwal na kaso ay magkakaroon ng sarili nitong tiyak na kahulugan at maipapahayag ng iba't ibang mga tagapagpahiwatig ng dami. Halimbawa, ang mga naturang quantitative indicator tulad ng laki ng pila para sa serbisyo, ang average na oras ng serbisyo, paghihintay para sa serbisyo o paghahanap ng kinakailangan sa sistema ng serbisyo, idle time ng mga service device; kumpiyansa na lahat ng mga kahilingang natanggap ng system ay maibibigay.

Kaya, ang kalidad ng paggana ng sistema ng queuing ay nauunawaan hindi bilang ang kalidad ng pagganap ng isang partikular na trabaho, ang kahilingan kung saan natanggap, ngunit ang antas ng kasiyahan ng pangangailangan para sa serbisyo.

Ang paksa ng teorya ng queuing ay ang pagbuo ng mga modelo ng matematika na nauugnay sa ibinigay na mga kondisyon ng operating ng QS (ang bilang ng mga channel, ang kanilang pagganap, ang likas na katangian ng daloy ng mga application, atbp.) sa mga tagapagpahiwatig ng pagganap ng QS, na naglalarawan ang kakayahan nitong makayanan ang daloy ng mga aplikasyon.

Pag-uuri ng mga sistema ng pagpila

Ang unang tampok na nagbibigay-daan sa isa na uriin ang mga gawain sa pagpila ay ang pag-uugali ng mga hinihinging natanggap ng sistema ng paghahatid sa sandaling abala ang lahat ng makina.

Sa ilang mga kaso, ang isang paghahabol na pumapasok sa system sa oras na ang lahat ng mga makina ay abala ay hindi makapaghintay na mailabas ang mga ito at iiwan ang system na hindi naihatid, ibig sabihin. nawala ang claim para sa ibinigay na sistema ng paghahatid. Ang ganitong mga sistema ng serbisyo ay tinatawag na mga sistema na may mga pagkalugi, at ang mga problemang nabuo batay sa mga ito ay tinatawag na mga problema sa serbisyo para sa mga sistema na may mga pagkalugi.

Kung, sa kabilang banda, ang isang demand, na pumasok sa system, ay pumasok sa pila at naghihintay na mailabas ang aparato, kung gayon ang mga naturang sistema ay tinatawag na mga system na may paghihintay, at ang mga kaukulang gawain ay tinatawag na mga gawain sa serbisyo sa mga system na may paghihintay. Ang QS na may paghihintay ay nahahati sa iba't ibang uri depende sa kung paano nakaayos ang pila: na may limitado o walang limitasyong haba ng pila, may limitadong oras ng paghihintay, atbp.

Naiiba din ang mga QS sa bilang ng mga kinakailangan na maaaring sabay na nasa sistema ng paghahatid. Ilaan:

• 1) mga sistema na may limitadong daloy ng mga kinakailangan;
• 2) mga sistema na may walang limitasyong daloy ng mga kinakailangan.

Depende sa mga anyo ng panloob na organisasyon ng serbisyo sa system, mayroong:

• 1) mga system na may nakaayos na serbisyo;
• 2) mga sistemang may hindi maayos na serbisyo.

Ang isang mahalagang hakbang sa pag-aaral ng QS ay ang pagpili ng pamantayang nagpapakilala sa prosesong pinag-aaralan. Ang pagpili ay depende sa uri ng mga problemang pinag-aaralan, sa layunin na hinahabol ng solusyon.

Kadalasan sa pagsasanay mayroong mga sistema kung saan ang daloy ng mga kinakailangan ay malapit sa pinakasimpleng, at ang oras ng serbisyo ay sumusunod sa isang batas sa pamamahagi ng exponential. Ang mga sistemang ito ay pinaka ganap na binuo sa teorya ng pagpila.

Sa mga kondisyon ng isang negosyo, ang mga gawain na may paghihintay, na may limitadong bilang ng mga kagamitan sa serbisyo, na may limitadong daloy ng mga kinakailangan, at may hindi maayos na serbisyo, ay karaniwan.

Sa pagsasaliksik sa pagpapatakbo, madalas na nakakaharap ang isang tao ng mga system na idinisenyo para sa muling paggamit sa paglutas ng parehong uri ng mga problema. Ang mga resultang proseso ay tinatawag mga proseso ng serbisyo, at ang mga sistema mga sistema ng pagpila (QS). Ang mga halimbawa ng naturang mga sistema ay ang mga sistema ng telepono, mga repair shop, mga computer system, mga opisina ng tiket, mga tindahan, tagapag-ayos ng buhok, at mga katulad nito.

Ang bawat QS ay binubuo ng isang tiyak na bilang ng mga yunit ng serbisyo (mga instrumento, aparato, punto, istasyon), na tatawagin namin mga channel ng serbisyo. Ang mga channel ay maaaring mga linya ng komunikasyon, operating point, computer, nagbebenta, atbp. Ayon sa bilang ng mga channel, nahahati ang QS sa single-channel at multichannel.

Ang mga aplikasyon ay karaniwang dumarating sa CMO hindi regular, ngunit random, na bumubuo ng tinatawag na random na daloy ng mga application (mga kinakailangan). Ang mga kahilingan sa paglilingkod, sa pangkalahatan, ay nagpapatuloy din sa ilang random na oras. Ang random na katangian ng daloy ng mga aplikasyon at oras ng serbisyo ay humahantong sa katotohanan na ang QS ay na-load nang hindi pantay: sa ilang mga yugto ng panahon, isang napakalaking bilang ng mga aplikasyon ang naipon (sila ay pumila o iniiwan ang QS na hindi naseserbisyuhan), habang sa iba mga panahong gumagana ang QS na may underload o idle.

Ang paksa ng teorya ng pagpila ay ang pagbuo ng mga mathematical na modelo na nag-uugnay sa ibinigay na mga kondisyon ng pagpapatakbo ng QS (ang bilang ng mga channel, ang kanilang pagganap, ang likas na katangian ng daloy ng mga aplikasyon, atbp.) sa mga tagapagpahiwatig ng pagganap ng QS na naglalarawan sa kakayahan nitong makayanan ang daloy ng mga aplikasyon.

Bilang Mga tagapagpahiwatig ng pagganap ng QS ginamit: ang average na bilang ng mga application na inihatid sa bawat yunit ng oras; ang average na bilang ng mga application sa queue; average na oras ng paghihintay para sa serbisyo; posibilidad ng pagtanggi sa serbisyo nang hindi naghihintay; ang posibilidad na ang bilang ng mga application sa queue ay lalampas sa isang tiyak na halaga, atbp.

Ang QS ay nahahati sa dalawang pangunahing uri (mga klase): CMO na may mga pagkabigo at QS na may paghihintay (pila). Sa isang QS na may mga pagtanggi, ang isang kahilingan na dumarating sa sandaling abala ang lahat ng mga channel ay makakatanggap ng pagtanggi, umalis sa QS at hindi nakikilahok sa karagdagang proseso ng serbisyo (halimbawa, isang kahilingan para sa isang pag-uusap sa telepono sa sandaling ang lahat ng mga channel ay abala ay nakatanggap ng pagtanggi at iniiwan ang QS na hindi pinaglilingkuran). Sa isang QS na may paghihintay, hindi umaalis ang isang claim na dumarating sa oras na abala ang lahat ng channel, ngunit pumila para sa serbisyo.

Ang QS na may paghihintay ay nahahati sa iba't ibang uri depende sa kung paano isinaayos ang pila: na may limitado o walang limitasyong haba ng pila, may limitadong oras ng paghihintay, atbp.

Para sa pag-uuri ng QS, ito ay mahalaga disiplina sa paglilingkod, na tumutukoy sa pagkakasunud-sunod ng pagpili ng mga kahilingan mula sa mga natanggap at ang pagkakasunud-sunod ng kanilang pamamahagi sa mga libreng channel. Sa batayan na ito, ang serbisyo ng isang aplikasyon ay maaaring ayusin ayon sa prinsipyong "first come - first served", "last come - first served" (maaaring gamitin ang order na ito, halimbawa, kapag nag-aalis ng mga item mula sa isang bodega para sa serbisyo, dahil ang huli sa kanila ay kadalasang mas madaling ma-access) o priyoridad na serbisyo (kung saan ang pinakamahahalagang kahilingan ay unang inihain). Ang priyoridad ay maaaring maging ganap, kapag ang isang mas mahalagang aplikasyon ay "inilipat" ang isang regular na aplikasyon mula sa serbisyo (halimbawa, sa kaganapan ng isang emergency, ang nakaplanong gawain ng mga pangkat ng pagkumpuni ay naantala hanggang sa ang aksidente ay maalis), at kamag-anak, kapag ang isang ang mas mahalagang aplikasyon ay tumatanggap lamang ng "pinakamahusay" na pila sa lugar.

Ang konsepto ng isang Markov stochastic na proseso

Ang proseso ng trabaho ng SMO ay random na proseso.

Sa ilalim random (probabilistic o stochastic) na proseso ay tumutukoy sa proseso ng pagbabago ng estado ng isang sistema sa oras alinsunod sa mga probabilistikong pattern.

Ang proseso ay tinatawag discrete na proseso ng estado, kung ang mga posibleng estado nito ay maaaring mabilang nang maaga, at ang paglipat ng system mula sa estado patungo sa estado ay nangyayari kaagad (tumalon). Ang proseso ay tinatawag tuloy-tuloy na proseso ng oras, kung ang mga sandali ng posibleng paglipat ng system mula sa estado patungo sa estado ay hindi naayos nang maaga, ngunit random.

Ang proseso ng pagpapatakbo ng QS ay isang random na proseso na may mga discrete states at tuloy-tuloy na oras. Nangangahulugan ito na ang estado ng QS ay biglang nagbabago sa mga random na sandali ng paglitaw ng ilang mga kaganapan (halimbawa, ang pagdating ng isang bagong kahilingan, ang pagtatapos ng serbisyo, atbp.).

Ang pagsusuri sa matematika ng gawain ng QS ay lubos na pinasimple kung ang proseso ng gawaing ito ay Markov. Ang random na proseso ay tinatawag Markovian o random na proseso nang walang kahihinatnan, kung sa anumang sandali ang mga probabilistikong katangian ng proseso sa hinaharap ay nakasalalay lamang sa estado nito sa sandaling ito at hindi nakadepende sa kung kailan at paano dumating ang sistema sa estadong ito.

Isang halimbawa ng proseso ng Markov: ang system ay isang counter sa isang taxi. Ang estado ng system sa ngayon ay nailalarawan sa bilang ng mga kilometro (sampung kilometro) na nilakbay ng kotse hanggang sa ibinigay na sandali. Hayaan sa sandaling nagpapakita ang counter. Ang posibilidad na sa sandaling ang metro ay magpapakita ng isa o isa pang bilang ng mga kilometro (mas tiyak, ang kaukulang bilang ng mga rubles) ay nakasalalay sa , ngunit hindi nakadepende sa oras kung kailan nagbago ang mga pagbabasa ng metro hanggang sa sandaling ito .

Maraming mga proseso ang maaaring ituring na humigit-kumulang Markovian. Halimbawa, ang proseso ng paglalaro ng chess; sistema - isang pangkat ng mga piraso ng chess. Ang estado ng system ay nailalarawan sa bilang ng mga piraso ng kalaban na natitira sa board sa ngayon . Ang posibilidad na sa sandaling ito ang materyal na kalamangan ay nasa panig ng isa sa mga kalaban ay pangunahing nakasalalay sa estado ng sistema sa sandaling ito, at hindi sa kung kailan at sa anong pagkakasunod-sunod ang mga piraso ay nawala mula sa board hanggang sa sandaling ito.

Sa ilang mga kaso, ang prehistory ng mga prosesong isinasaalang-alang ay maaaring mapabayaan lamang at ang mga modelo ng Markov ay maaaring gamitin upang pag-aralan ang mga ito.

Kapag sinusuri ang mga random na proseso na may mga discrete states, maginhawang gumamit ng geometric scheme - ang tinatawag na graph ng estado. Karaniwan, ang mga estado ng system ay kinakatawan ng mga parihaba (mga bilog), at ang mga posibleng paglipat mula sa estado patungo sa estado ay kinakatawan ng mga arrow (naka-orient na mga arko) na nagkokonekta sa mga estado.

Halimbawa 1 Bumuo ng state graph ng sumusunod na random na proseso: ang device ay binubuo ng dalawang node, na ang bawat isa ay maaaring mabigo sa isang random na sandali ng oras, pagkatapos nito ay agad mong sinisimulan ang pag-aayos ng node, na nagpapatuloy para sa isang dati nang hindi kilalang random na oras.

Solusyon. Mga posibleng estado ng system: - ang parehong mga node ay gumagana; - ang unang node ay inaayos, ang pangalawa ay magagamit; - ang pangalawang node ay inaayos, ang una ay magagamit; Parehong inaayos ang dalawang unit. Ang graph ng system ay ipinapakita sa fig. isa.

Ang arrow na nakadirekta, halimbawa, mula hanggang , ay nangangahulugang ang paglipat ng system sa sandali ng pagkabigo ng unang node, mula sa - ang paglipat sa sandaling nakumpleto ang pag-aayos ng node na ito.

Walang mga arrow mula papunta at mula sa graph. Ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na ang mga pagkabigo ng node ay ipinapalagay na independyente sa isa't isa at, halimbawa, ang posibilidad ng dalawang node na nabigo nang sabay-sabay (transisyon mula sa ) ​​o sabay-sabay na pagkumpleto ng pag-aayos ng dalawang node (transisyon mula sa ) ​​ay maaaring mapabayaan. .

Para sa isang matematikal na paglalarawan ng isang random na proseso ng Markov na may mga discrete states at tuloy-tuloy na oras, na nagaganap sa isang QS, kilalanin natin ang isa sa mga mahahalagang konsepto ng probability theory - ang konsepto ng isang stream ng mga kaganapan.

Mga stream ng kaganapan

Sa ilalim ang daloy ng mga pangyayari ay tumutukoy sa isang pagkakasunud-sunod ng magkakatulad na mga kaganapan na sumusunod sa isa't isa sa ilang random na oras (halimbawa, isang daloy ng mga tawag sa isang palitan ng telepono, isang daloy ng mga pagkabigo sa computer, isang daloy ng mga customer, atbp.).

Nailalarawan ang daloy intensity- ang dalas ng paglitaw ng mga kaganapan o ang average na bilang ng mga kaganapan na pumapasok sa QS bawat yunit ng oras.

Ang daloy ng mga pangyayari ay tinatawag regular, kung sunod-sunod ang mga kaganapan sa ilang partikular na pantay na pagitan ng oras. Halimbawa, ang daloy ng mga produkto sa isang linya ng pagpupulong (sa palaging bilis) ay regular.

Ang daloy ng mga pangyayari ay tinatawag nakatigil, kung ang mga probabilistikong katangian nito ay hindi nakasalalay sa oras. Sa partikular, ang intensity ng isang nakatigil na daloy ay isang pare-parehong halaga: . Halimbawa, ang daloy ng mga sasakyan sa isang city avenue ay hindi nakatigil sa araw, ngunit ang daloy na ito ay maaaring ituring na hindi gumagalaw sa araw, halimbawa, sa mga oras ng peak. Itinuon namin ang pansin sa katotohanan na sa huling kaso, ang aktwal na bilang ng mga dumaraan na sasakyan sa bawat yunit ng oras (halimbawa, sa bawat minuto) ay maaaring magkakaiba sa bawat isa, ngunit ang kanilang average na bilang ay magiging pare-pareho at hindi magdedepende sa oras. .

Ang daloy ng mga pangyayari ay tinatawag dumaloy nang walang epekto, kung para sa alinmang dalawang di-nagsasalubong na mga agwat ng oras at - ang bilang ng mga kaganapan na bumabagsak sa isa sa mga ito ay hindi nakadepende sa bilang ng mga kaganapan na bumabagsak sa iba. Halimbawa, ang daloy ng mga pasaherong pumapasok sa subway ay halos walang epekto. At, sabihin nating, ang daloy ng mga customer na umaalis sa counter kasama ang kanilang mga pagbili ay mayroon nang epekto (kung dahil lang sa pagitan ng mga indibidwal na customer ay hindi maaaring mas mababa sa minimum na oras ng serbisyo para sa bawat isa sa kanila).

Ang daloy ng mga pangyayari ay tinatawag karaniwan, kung ang posibilidad ng dalawa o higit pang mga kaganapan na tumama sa isang maliit (elementarya) na agwat ng oras ay hindi gaanong maliit kumpara sa posibilidad na matamaan ang isang kaganapan. Sa madaling salita, ang isang stream ng mga kaganapan ay karaniwan kung ang mga kaganapan ay lilitaw dito nang paisa-isa, at hindi sa mga pangkat. Halimbawa, ang daloy ng mga tren na papalapit sa istasyon ay karaniwan, ngunit ang daloy ng mga bagon ay hindi karaniwan.

Ang daloy ng mga pangyayari ay tinatawag na pinakasimple (o nakatigil na Poisson) kung ito ay sabay-sabay na nakatigil, karaniwan at walang epekto. Ang pangalang "pinakasimple" ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na ang QS na may pinakasimpleng daloy ay may pinakasimpleng paglalarawan sa matematika. Tandaan na ang isang regular na stream ay hindi ang "pinakasimpleng" stream, dahil ito ay may epekto: ang mga sandali ng paglitaw ng mga kaganapan sa naturang stream ay mahigpit na naayos.

Ang pinakasimpleng daloy bilang isang limitasyon ng daloy ay lumitaw sa teorya ng mga random na proseso tulad ng natural sa probability theory ang isang normal na distribusyon ay nakuha bilang isang limitasyon para sa isang kabuuan ng mga random na variable: kapag nagpapataw (superposisyon) ng isang sapat na malaking bilang ng mga independyente, nakatigil at ordinaryong mga daloy (maihahambing sa bawat isa sa mga intensidad, ang isang daloy ay nakuha na malapit sa pinakasimpleng isa na may intensity na katumbas ng kabuuan ng mga intensity ng mga papasok na daloy, i.e.. Isaalang-alang sa axis ng oras (Fig. 1) ang pinakasimpleng daloy ng mga kaganapan bilang isang walang limitasyong pagkakasunud-sunod ng mga random na puntos.

Maaari itong ipakita na para sa pinakasimpleng daloy, ang bilang ng m ng mga kaganapan (mga puntos) na bumabagsak sa isang arbitrary na agwat ng oras , ay ipinamamahagi sa Batas ni Poisson

kung saan ang mathematical expectation ng isang random variable ay katumbas ng variance nito: .

Sa partikular, ang posibilidad na walang kaganapan na magaganap sa panahon ay katumbas ng

Hanapin natin ang distribusyon ng agwat ng oras sa pagitan ng di-makatwirang dalawang magkalapit na kaganapan ng pinakasimpleng daloy.

Alinsunod sa (2), ang posibilidad na wala sa mga kasunod na kaganapan ang lilitaw sa pagitan ng oras ay katumbas ng

at ang posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan, i.e. distribution function ng isang random variable , ay

Ang probability density ng isang random variable ay ang derivative ng distribution function nito (Fig. 3), i.e.

Ang distribusyon na ibinigay ng probability density (5) o distribution function (4) ay tinatawag nagsisiwalat(o exponential). Kaya, ang agwat ng oras sa pagitan ng dalawang magkatabing arbitrary na mga kaganapan ay may exponential distribution, kung saan ang matematikal na inaasahan ay katumbas ng standard deviation ng random variable.

at vice versa ayon sa magnitude ng intensity ng daloy.

Ang pinakamahalagang pag-aari ng exponential distribution (likas lamang sa exponential distribution) ay ang mga sumusunod: kung ang time interval na ibinahagi ayon sa exponential law ay tumagal na ng ilang panahon, hindi ito makakaapekto sa distribution law ng natitirang bahagi ng ang agwat: ito ay magiging kapareho ng batas sa pamamahagi ng lahat ng agwat .

Sa madaling salita, para sa isang agwat ng oras sa pagitan ng dalawang magkakasunod na magkakalapit na kaganapan ng isang daloy na may exponential distribution, ang anumang impormasyon tungkol sa kung gaano katagal lumipas ang agwat na ito ay hindi makakaapekto sa pamamahagi ng natitira. Ang pag-aari na ito ng exponential law ay, sa esensya, isa pang pagbabalangkas para sa "kakulangan ng aftereffect" - ang pangunahing pag-aari ng pinakasimpleng daloy.

Para sa pinakasimpleng daloy na may intensity, ang posibilidad ng pagtama

(Tandaan na ang tinatayang formula na ito, na nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng function sa unang dalawang termino lamang ng pagpapalawak nito sa isang serye ng kapangyarihan, ay mas tumpak, mas maliit ).

Kadalasan, kapag sinusuri ang mga sistemang pang-ekonomiya, kailangang lutasin ng isang tao ang tinatawag na mga problema sa pagpila na lumitaw sa sumusunod na sitwasyon. Hayaang masuri ang sistema ng pagpapanatili ng kotse na binubuo ng isang tiyak na bilang ng mga istasyon ng iba't ibang kapasidad. Sa bawat istasyon (system element), hindi bababa sa dalawang tipikal na sitwasyon ang maaaring mangyari:

1. ang bilang ng mga aplikasyon ay masyadong mataas para sa istasyong ito, may mga pila, at kailangan mong magbayad para sa mga pagkaantala sa serbisyo;
2. ang istasyon ay nakakatanggap ng masyadong kaunting mga kahilingan at ngayon ay kinakailangan na isaalang-alang ang mga pagkalugi na dulot ng paghinto ng istasyon.

Ito ay malinaw na ang layunin ng system analysis sa kasong ito ay upang matukoy ang ilang relasyon sa pagitan ng mga pagkawala ng kita dahil sa mga pila at pagkalugi dahil sa ako lang mga istasyon.

Teorya ng Pagpila- Ang isang espesyal na seksyon ng teorya ng mga sistema ay isang seksyon ng teorya ng posibilidad kung saan ang mga sistema ng pagpila ay pinag-aaralan gamit ang mga modelong matematikal.

Queueing system (QS)- ito ay isang modelo na kinabibilangan ng: 1) isang random na daloy ng mga kinakailangan, mga tawag o mga customer na nangangailangan ng serbisyo; 2) ang algorithm para sa pagpapatupad ng serbisyong ito; 3) mga channel (mga aparato) para sa pagpapanatili.

Ang mga halimbawa ng CMO ay mga cash desk, gasolinahan, paliparan, vendor, tagapag-ayos ng buhok, doktor, palitan ng telepono at iba pang pasilidad na nagseserbisyo sa ilang partikular na aplikasyon.

Problema sa Teorya ng Pagpila ay binubuo sa pagbuo ng mga rekomendasyon para sa makatwirang pagtatayo ng QS at ang makatwirang organisasyon ng kanilang trabaho upang matiyak ang mataas na kahusayan ng serbisyo sa pinakamainam na gastos.

Ang pangunahing tampok ng mga problema ng klase na ito ay ang halatang pag-asa ng mga resulta ng pagsusuri at ang mga rekomendasyong natanggap sa dalawang panlabas na mga kadahilanan: ang dalas ng pagtanggap at ang pagiging kumplikado ng mga order (at samakatuwid ang oras ng kanilang pagpapatupad).

Ang paksa ng teorya ng queuing ay upang maitaguyod ang kaugnayan sa pagitan ng likas na katangian ng daloy ng mga aplikasyon, ang pagganap ng isang hiwalay na channel ng serbisyo, ang bilang ng mga channel at ang kahusayan ng serbisyo.

Bilang Mga katangian ng QS isinasaalang-alang:

• ang average na porsyento ng mga kahilingan na tinanggihan at iniiwan ang system na hindi naihatid;
• average na downtime ng mga indibidwal na channel at ang system sa kabuuan;
• average na oras ng paghihintay sa pila;
• ang posibilidad na ang natanggap na aplikasyon ay agad na maserbisyuhan;
• batas sa pamamahagi ng haba ng pila at iba pa.

Idinagdag namin na ang mga kahilingan (mga kinakailangan) ay pumapasok sa QS nang random (sa mga random na oras), na may mga punto ng condensation at rarefaction. Ang oras ng serbisyo para sa bawat kahilingan ay random din, pagkatapos nito ang channel ng serbisyo ay pinalaya at handa nang tuparin ang susunod na kahilingan. Ang bawat QS, depende sa bilang ng mga channel at kanilang pagganap, ay may tiyak na kapasidad. SMO throughput maaaring ganap(average na bilang ng mga application na inihatid sa bawat yunit ng oras) at kamag-anak(average na ratio ng bilang ng mga aplikasyon na inihatid sa bilang ng mga isinumite).

3.1 Mga modelo ng mga sistema ng pagpila.

Ang bawat QS ay maaaring mailalarawan sa pamamagitan ng pagpapahayag: (a / b / c): (d / e / f) , saan

a - pamamahagi ng daloy ng input ng mga aplikasyon;

b - pamamahagi ng daloy ng output ng mga aplikasyon;

c - pagsasaayos ng mekanismo ng serbisyo;

d – disiplina sa pila;

e - naghihintay na bloke;

f ay ang kapasidad ng pinagmulan.

Ngayon tingnan natin ang bawat tampok.

Input stream ng mga application- ang bilang ng mga aplikasyon na natanggap ng system. Nailalarawan sa pamamagitan ng intensity ng daloy ng input l.

Output stream ng mga application– ang bilang ng mga application na inihatid ng system. Nailalarawan sa pamamagitan ng intensity ng daloy ng output m.

pagsasaayos ng system nagpapahiwatig ng kabuuang bilang ng mga channel at mga node ng serbisyo. Maaaring naglalaman ang SMO ng:

1. isang channel mga serbisyo (isang runway, isang vendor);
2. isang channel ng serbisyo, kabilang ang maramihang mga serial node(canteen, klinika, conveyor);
3. ilang katulad na channel mga serbisyong konektado sa parallel (mga istasyon ng gas, information desk, istasyon ng tren).

Kaya, ang single- at multi-channel na QS ay maaaring makilala.

Sa kabilang banda, kung ang lahat ng mga channel ng serbisyo sa QS ay abala, kung gayon ang nilapitan na aplikasyon ay maaaring manatili sa pila, o maaaring umalis sa system (halimbawa, isang savings bank at isang palitan ng telepono). Sa kasong ito, pinag-uusapan natin ang mga system na may pila (naghihintay) at mga system na may mga pagkabigo.

Lumiko ay isang set ng mga application na pumasok sa system para sa serbisyo at naghihintay ng serbisyo. Ang pila ay nailalarawan sa haba ng pila at disiplina nito.

Disiplina sa pila ay ang panuntunan para sa pagseserbisyo ng mga kahilingan mula sa pila. Kabilang sa mga pangunahing uri ng pila ang mga sumusunod:

1. Ang PERPPO (first come, first served) ay ang pinakakaraniwang uri;
2. POSPPO (huling dumating - unang nagsilbi);
3. SOP (random selection of applications) - mula sa data bank.
4. PR - priyoridad na serbisyo.

Haba ng pila maaaring

• walang limitasyon - pagkatapos ay nagsasalita ng isang sistema na may dalisay na pag-asa;
• katumbas ng zero - pagkatapos ay pinag-uusapan nila ang isang sistema na may mga pagkabigo;
• limitado sa haba (mixed type system).

naghihintay block– "kapasidad" ng system - ang kabuuang bilang ng mga application sa system (sa pila at sa serbisyo). Sa ganitong paraan, e=c+d.

Kapasidad ng pinagmulan na bumubuo ng mga kahilingan sa serbisyo ay ang maximum na bilang ng mga kahilingan na maaaring pumasok sa QS. Halimbawa, sa isang paliparan, ang pinagmumulan ng kapasidad ay nililimitahan ng bilang ng lahat ng umiiral na sasakyang panghimpapawid, at ang pinagmumulan ng kapasidad ng isang palitan ng telepono ay katumbas ng bilang ng mga naninirahan sa Earth, i.e. maaari itong ituring na walang limitasyon.

Ang bilang ng mga modelo ng QS ay tumutugma sa bilang ng mga posibleng kumbinasyon ng mga bahaging ito.

3.2 Input stream ng mga kinakailangan.

Sa bawat tagal ng panahon a, a+ T ], iugnay natin ang isang random na variable X, katumbas ng bilang ng mga kahilingang natanggap ng system sa panahong iyon T.

Ang daloy ng mga kahilingan ay tinatawag nakatigil, kung ang batas sa pamamahagi ay hindi nakasalalay sa paunang punto ng pagitan a, ngunit depende lamang sa haba ng ibinigay na pagitan T. Halimbawa, ang daloy ng mga aplikasyon sa palitan ng telepono sa araw ( T\u003d 24 na oras) ay hindi maituturing na nakatigil, ngunit mula 13 hanggang 14 na oras ( T\u003d 60 minuto) - magagawa mo.

Ang daloy ay tinatawag walang epekto, kung ang kasaysayan ng daloy ay hindi makakaapekto sa pagtanggap ng mga kinakailangan sa hinaharap, i.e. ang mga kinakailangan ay independyente sa bawat isa.

Ang daloy ay tinatawag karaniwan, kung hindi hihigit sa isang kahilingan ang maaaring pumasok sa system sa napakaikling panahon. Halimbawa, ang daloy sa tagapag-ayos ng buhok ay karaniwan, ngunit hindi sa opisina ng pagpapatala. Ngunit kung bilang isang random variable X isaalang-alang ang mga pares ng mga aplikasyon na dumarating sa tanggapan ng pagpapatala, kung gayon ang gayong daloy ay magiging karaniwan (ibig sabihin, kung minsan ang isang pambihirang daloy ay maaaring bawasan sa isang ordinaryong).

Ang daloy ay tinatawag ang pinakasimple, kung ito ay nakatigil, walang epekto at karaniwan.

Pangunahing teorama. Kung ang daloy ay ang pinakasimpleng, kung gayon ang r.v. X [a . isang + T] ay ipinamamahagi ayon sa batas ng Poisson, i.e. .

Bunga 1. Ang pinakasimpleng daloy ay tinatawag ding Poisson flow.

Bunga 2. M(X)= M(X [ a , a + T ] )= lT, ibig sabihin. habang T lT mga aplikasyon. Samakatuwid, para sa isang yunit ng oras, ang sistema ay tumatanggap sa karaniwan l mga aplikasyon. Ang halagang ito ay tinatawag intensity input stream.

Isaalang-alang ang EXAMPLE .

Ang studio ay tumatanggap ng average na 3 aplikasyon bawat araw. Ipagpalagay na ang daloy ang pinakasimple, hanapin ang posibilidad na ang bilang ng mga kahilingan ay hindi bababa sa 5 sa loob ng susunod na dalawang araw.

Solusyon.

Ayon sa gawain, l=3, T=2 araw, Poisson input stream, n ³5. kapag ang paglutas, ito ay maginhawa upang ipakilala ang kabaligtaran kaganapan, na binubuo sa ang katunayan na sa panahon T mas mababa sa 5 aplikasyon ang matatanggap. Samakatuwid, ayon sa Poisson formula, nakukuha namin

^

3.3 Katayuan ng system. Matrix at graph ng mga transition.

Sa isang random na sandali sa oras, ang QS ay dumadaan mula sa isang estado patungo sa isa pa: ang bilang ng mga abalang channel, ang bilang ng mga kahilingan at pila, atbp., ay nagbabago. Kaya, ang QS na may n channel at isang haba ng pila na katumbas ng m, ay maaaring nasa isa sa mga sumusunod na estado:

E 0 – lahat ng channel ay libre;

E 1 - isang channel ang inookupahan;

E n- lahat ng mga channel ay inookupahan;

E n +1 – lahat ng mga channel ay inookupahan at isang kahilingan ang nasa pila;

E n + m– lahat ng channel at lahat ng lugar sa pila ay occupied.

Ang isang katulad na sistema na may mga pagkabigo ay maaaring nasa mga estado E 0 – E n .

Para sa isang QS na may purong pag-asa, mayroong isang walang katapusang hanay ng mga estado. Sa ganitong paraan, kundisyon E n QS sa oras t ay ang dami n mga application (mga kinakailangan) na nasa system sa isang partikular na oras, i.e. n= n(t) - random na halaga, E n (t) ay ang mga kinalabasan ng random variable na ito, at P n (t) ay ang posibilidad na ang sistema ay nasa estado E n .

Pamilyar na tayo sa estado ng sistema. Tandaan na hindi lahat ng estado ng system ay katumbas. Ang estado ng sistema ay tinatawag pinagmulan kung ang sistema ay maaaring umalis sa estadong ito ngunit hindi na makabalik dito. Ang estado ng sistema ay tinatawag nakahiwalay, kung ang system ay hindi maaaring lumabas o makapasok sa estadong ito.

Upang mailarawan ang mga imahe ng mga estado ng system, ang mga diagram (ang tinatawag na mga transition graph) ay ginagamit, kung saan ang mga arrow ay nagpapahiwatig ng mga posibleng paglipat ng system mula sa isang estado patungo sa isa pa, pati na rin ang mga posibilidad ng naturang mga paglipat.

Figure 3.1 - transition graph

Comp.	E 0	E 1	E 2
E 0	P 0.0	P 0.1	P 0.2
E 1	P 1.0	R 1.1	R 1.2
E 2	R 2.0	R 2.2	R 2.2

Minsan din ay maginhawang gamitin ang transition matrix. Sa kasong ito, ang unang hanay ay nangangahulugang ang mga paunang estado ng system (kasalukuyan), at pagkatapos ay ibibigay ang mga posibilidad ng paglipat mula sa mga estadong ito patungo sa iba.

Dahil ang sistema ay kinakailangang pumasa mula sa isa

estado sa isa pa, kung gayon ang kabuuan ng mga probabilidad sa bawat hilera ay palaging katumbas ng isa.

3.4 Single-channel QS.

3.4.1 Single-channel na QS na may mga pagkabigo.

Isasaalang-alang namin ang mga system na nakakatugon sa mga kinakailangan:

(P/E/1):(–/1/¥) . Ipagpalagay din natin na ang oras ng serbisyo ng isang customer ay hindi nakadepende sa bilang ng mga customer na pumapasok sa system. Dito at sa ibaba, ang "P" ay nangangahulugan na ang input flow ay ipinamamahagi ayon sa Poisson law, i.e. ang pinakasimpleng, "E" ay nangangahulugan na ang daloy ng output ay ipinamamahagi nang exponentially. Dito rin at sa ibaba, ang mga pangunahing formula ay ibinibigay nang walang patunay.

Para sa gayong sistema, posible ang dalawang estado: E 0 - ang sistema ay libre at E 1 – abala ang sistema. Gumawa tayo ng transition matrix. Kunin natin Dt ay isang napakaliit na dami ng oras. Hayaang ang kaganapan A ay binubuo sa katotohanan na sa system sa panahon Dt nakatanggap ng isang kahilingan. Ang Kaganapang B ay binubuo sa katotohanan na sa panahon Dt isang kahilingan ang naibigay. Kaganapan PERO i , k- habang Dt ang sistema ay pupunta mula sa estado E i sa isang estado E k. kasi l ay ang intensity ng daloy ng input, pagkatapos ay sa panahon Dt pumapasok sa sistema sa karaniwan l*Dt kinakailangan. Iyon ay, ang posibilidad na makatanggap ng isang paghahabol P(A)=l* Dt, at ang posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan Р(А)=1-l*Dt.P(B)=F(Dt)= P(b< D t)=1- e - m D t = m Dt- ang posibilidad na maibigay ang kahilingan sa oras Dt. Pagkatapos A 00 - ang aplikasyon ay hindi matatanggap o matatanggap, ngunit ihahatid. A 00 \u003d Ā + A * V. R 00 \u003d 1 - l*Dt. (Isinasaalang-alang namin iyon (Dt) 2 ay isang infinitesimal na halaga)

A 01 - matatanggap ang aplikasyon, ngunit hindi ihahatid. A 01 = A * . R 01 = l*Dt.

At 10 - ihahatid ang aplikasyon at wala nang bago. A 10 \u003d B * a. R 10 = m*Dt.

At 11 - hindi ihahatid ang aplikasyon o may darating na bago na hindi pa naihahatid. A 11 = +V * A. R 01 = 1- m*Dt.

Kaya, nakukuha namin ang transition matrix:

Comp.	E 0	E 1
E 0	1-l * Dt	l * Dt
E 1	m * Dt	1-m * Dt

Probability ng system downtime at failure.

Hanapin natin ngayon ang posibilidad na ang sistema ay nasa estado E 0 sa anumang punto ng oras t(mga. R 0 ( t) ). Function Graph
ipinapakita sa Figure 3.2.

Ang asymptote ng graph ay isang tuwid na linya
.

Malinaw, mula sa isang punto t,

1

Larawan 3.2

Sa wakas nakuha na natin
at
, saan R 1 (t) ay ang posibilidad na sa oras t abala ang system (i.e. nasa estado E 1 ).

Malinaw na sa simula ng operasyon ng QS, ang patuloy na proseso ay hindi nakatigil: ito ay magiging isang "transitional", non-stationary mode. Pagkaraan ng ilang oras (na nakadepende sa mga intensity ng input at output na daloy), ang prosesong ito ay mamamatay at ang system ay mapupunta sa isang nakatigil, steady na estado ng operasyon, at ang mga probabilistikong katangian ay hindi na magdedepende sa oras.

Stationary operation mode at system load factor.

Kung ang posibilidad ng sistema ay nasa isang estado E k, ibig sabihin. R k (t), hindi nakadepende sa oras t, pagkatapos ay sinasabi nila na ang QS ay itinatag nakatigil na mode trabaho. Kasabay nito, ang halaga
tinawag system load factor(o ang pinababang density ng daloy ng mga aplikasyon). Pagkatapos para sa mga probabilidad R 0 (t) at R 1 (t) nakukuha namin ang mga sumusunod na formula:
,
. Maaari mo ring tapusin: mas malaki ang system load factor, mas malamang na mabigo ang system (ibig sabihin, ang posibilidad na abala ang system).

Ang car wash ay may isang unit para sa maintenance. Dumarating ang mga kotse sa isang Poisson distribution na may rate na 5 kotse/oras. Ang average na oras ng serbisyo para sa isang kotse ay 10 minuto. Hanapin ang posibilidad na ang isang paparating na kotse ay mahanap ang system na abala kung ang QS ay nasa nakatigil na mode.

Solusyon. Ayon sa gawain, l=5, m y =5/6. Kailangan nating hanapin ang posibilidad R 1 ay ang posibilidad ng pagkabigo ng system.
.

3.4.2 Single-channel na QS na may walang limitasyong haba ng pila.

Isasaalang-alang namin ang mga system na nakakatugon sa mga kinakailangan: (Р/Е/1):(d/¥/¥). Ang sistema ay maaaring nasa isa sa mga estado E 0 , …, E k, … Ipinapakita ng pagsusuri na pagkaraan ng ilang oras ang naturang sistema ay magsisimulang gumana sa isang nakatigil na mode, kung ang intensity ng daloy ng output ay lumampas sa intensity ng daloy ng input (ibig sabihin, ang system load factor ay mas mababa sa isa). Isinasaalang-alang ang kundisyong ito, nakukuha natin ang sistema ng mga equation

paglutas na kung saan namin mahanap na . Kaya, sa kondisyon na y<1, получим
Sa wakas,
at
ay ang posibilidad na ang QS ay nasa estado E k sa isang random na punto ng oras.

Average na mga katangian ng system.

Dahil sa hindi pantay na pagtanggap ng mga kinakailangan sa system at pagbabagu-bago sa oras ng serbisyo, isang pila ang nabuo sa system. Para sa ganoong sistema, maaari mong tuklasin ang:

• n – ang bilang ng mga kinakailangan sa QS (sa pila at sa serbisyo);
• v - haba ng pila;
• w – oras ng paghihintay ng pagsisimula ng serbisyo;
• w 0 ay ang kabuuang oras na ginugol sa system.

Magiging interesado tayo karaniwang katangian(ibig sabihin, kinukuha namin ang inaasahan sa matematika ng mga itinuturing na random na variable, at tandaan iyon y<1).

ay ang average na bilang ng mga application sa system.

ay ang average na haba ng pila.

ay ang average na oras ng paghihintay para sa pagsisimula ng serbisyo, i.e. oras ng paghihintay sa pila.

- ang karaniwang oras na ginugugol ng application sa system - sa pila at para sa serbisyo.

Sa car wash, may isang block para sa serbisyo at mayroong isang lugar para sa pila. Dumarating ang mga kotse sa isang Poisson distribution na may rate na 5 kotse/oras. Ang average na oras ng serbisyo para sa isang kotse ay 10 minuto. Hanapin ang lahat ng average na katangian ng QS.

Solusyon. l=5, m=60min/10min = 6. Load factor y =5/6. Pagkatapos ay ang average na bilang ng mga kotse sa system
, average na haba ng pila
, ang average na oras ng paghihintay para sa pagsisimula ng serbisyo
oras = 50 minuto, at panghuli ang average na oras na ginugol sa system
oras.

3.4.3 Single-channel na QS ng magkahalong uri.

Ipagpalagay na ang haba ng pila ay m kinakailangan. Pagkatapos, para sa anumang s£ m, ang posibilidad na mahanap ang QS sa estado E 1+ s, ay kinakalkula ng formula
, ibig sabihin. isang aplikasyon ang inihahatid at isa pa s nasa pila ang mga application.

Ang posibilidad ng system downtime ay
,

at ang posibilidad ng pagkabigo ng system ay
.

Tatlong single-channel system ang ibinibigay, para sa bawat isa l=5, m =6. Ngunit ang unang sistema ay may mga pagkabigo, ang pangalawa ay may purong paghihintay, at ang pangatlo ay may limitadong haba ng pila, m=2. Hanapin at ihambing ang mga probabilidad ng downtime ng tatlong sistemang ito.

Solusyon. Para sa lahat ng system load factor y=5/6. Para sa isang sistema na may mga pagkabigo
. Para sa isang sistemang may puro inaasahan
. Para sa isang system na may limitadong haba ng pila
. Ang konklusyon ay halata: mas maraming mga application ang nasa pila, mas mababa ang posibilidad ng downtime ng system.

3.5 Multichannel QS.

3.5.1 Multichannel QS na may mga pagkabigo.

Isasaalang-alang namin ang mga system (Р/Е/s):(-/s/¥) sa ilalim ng pagpapalagay na ang oras ng serbisyo ay hindi nakadepende sa input stream at lahat ng linya ay gumagana nang hiwalay. Ang mga multichannel system, bilang karagdagan sa load factor, ay maaari ding mailalarawan sa pamamagitan ng coefficient
, saan s– bilang ng mga channel ng serbisyo. Sa paggalugad ng multichannel QS, nakukuha namin ang mga sumusunod na formula (Erlang formula) para sa posibilidad na ang system ay nasa estado E k sa random na oras:

, k=0, 1, …

function ng gastos.

Tulad ng mga single-channel system, ang pagtaas sa load factor ay humahantong sa pagtaas ng posibilidad ng pagkabigo ng system. Sa kabilang banda, ang pagtaas sa bilang ng mga linya ng serbisyo ay humahantong sa pagtaas ng posibilidad ng downtime ng system o mga indibidwal na channel. Kaya, kinakailangan upang mahanap ang pinakamainam na bilang ng mga channel ng serbisyo para sa QS na ito. Ang average na bilang ng mga libreng linya ng serbisyo ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula
. Ipakilala natin si C( s) – function ng gastos QS depende sa Sa 1 – ang halaga ng isang pagtanggi (multa para sa hindi natupad na aplikasyon) at mula sa Sa 2 - ang halaga ng downtime ng isang linya bawat yunit ng oras.

Upang mahanap ang pinakamainam na opsyon, kailangan mong hanapin (at magagawa ito) ang pinakamababang halaga ng function ng gastos: MULA(s) = kasama 1* l * p s +c 2*, ang graph nito ay ipinapakita sa Figure 3.3:

Larawan 3.3

Ang paghahanap para sa pinakamababang halaga ng function ng gastos ay hinahanap muna natin ang mga halaga nito para sa s =1, pagkatapos ay para sa s =2, pagkatapos ay para sa s =3, atbp. hanggang sa ilang hakbang ang halaga ng function С( s) ay hindi magiging mas malaki kaysa sa nauna. Nangangahulugan ito na ang function ay umabot na sa pinakamababa nito at nagsimulang lumaki. Ang sagot ay ang bilang ng mga channel ng serbisyo (value s) kung saan ang function ng gastos ay minimal.

HALIMBAWA .

Ilang mga linya ng serbisyo ang dapat maglaman ng QS na may mga pagkabigo, kung l\u003d 2reb / ​​oras, m\u003d 1reb / ​​​​oras, ang parusa para sa bawat pagkabigo ay 7 libong rubles, ang halaga ng downtime para sa isang linya ay 2 libong rubles. sa oras?

Solusyon. y = 2/1=2. Sa 1 =7, Sa 2 =2.

Ipagpalagay natin na ang QS ay may dalawang channel ng serbisyo, i.e. s =2. Pagkatapos
. Dahil dito, C(2) = c 1 *l*p 2 +c 2 *(2- y*(1-r 2 )) = =7*2*0.4+2*(2-2*0.6)=7.2.

Magpanggap na tayo s =3. Pagkatapos
, C(3) = c 1 *l*p 3 +c 2 *
=5.79.

Ipagpalagay natin na mayroong apat na channel, i.e. s =4. Pagkatapos
,
, C(4) = c 1 *l*p 4 +c 2 *
=5.71.

Ipagpalagay natin na ang QS ay may limang channel ng serbisyo, i.e. s =5. Pagkatapos
, C(5) = 6.7 - higit pa sa nakaraang halaga. Samakatuwid, ang pinakamainam na bilang ng mga channel ng serbisyo ay apat.

3.5.2 Multi-channel na QS na may pila.

Isasaalang-alang namin ang mga system (Р/Е/s):(d/d+s/¥) sa ilalim ng pagpapalagay na ang oras ng serbisyo ay hindi nakadepende sa daloy ng input at lahat ng linya ay gumagana nang nakapag-iisa. Sasabihin namin na naka-install ang system nakatigil na operasyon, kung ang average na bilang ng mga papasok na claim ay mas mababa sa average na bilang ng mga claim na inihatid sa lahat ng linya ng system, i.e. l

P(w>0) ay ang posibilidad ng paghihintay sa pagsisimula ng serbisyo,
.

Ang huling katangian ay nagbibigay-daan sa paglutas ng problema sa pagtukoy ng pinakamainam na bilang ng mga channel ng serbisyo sa paraang ang posibilidad ng paghihintay para sa pagsisimula ng serbisyo ay mas mababa sa isang naibigay na numero. Upang gawin ito, sapat na upang kalkulahin ang posibilidad ng inaasahan nang sunud-sunod para sa s =1, s =2, s=3 atbp.

HALIMBAWA .

SMO - isang istasyon ng ambulansya ng isang maliit na microdistrict. l=3 tawag kada oras, at m= 4 na tawag kada oras para sa isang team. Gaano karaming mga tauhan ang dapat nasa istasyon upang ang posibilidad na maghintay para sa isang labasan ay mas mababa sa 0.01?

Solusyon. Salik ng pagkarga ng system y =0.75. Ipagpalagay na mayroong dalawang koponan na magagamit. Hanapin natin ang posibilidad ng paghihintay sa pagsisimula ng serbisyo sa s =2.
,
.

Kumbaga may tatlong brigada, i.e. s=3. Ayon sa mga formula, nakukuha namin iyon R 0 =8/17, P(w>0)=0.04>0.01 .

Ipagpalagay natin na may apat na crew sa istasyon, i.e. s=4. Pagkatapos makuha namin iyon R 0 =416/881, P(w>0)=0.0077<0.01 . Samakatuwid, dapat mayroong apat na brigada sa istasyon.

3.6 Mga tanong para sa pagpipigil sa sarili

1. Ang paksa at mga gawain ng teorya ng pagpila.
2. QS, ang kanilang mga modelo at pagtatalaga.
3. Stream ng input ng mga kinakailangan. Ang intensity ng input stream.
4. Estado ng sistema. Matrix at graph ng mga transition.
5. Single-channel na QS na may mga pagkabigo.
6. Single-channel na QS na may pila. Mga katangian.
7. Nakatigil na mode ng operasyon. Salik ng pagkarga ng system.
8. Multichannel QS na may mga pagkabigo.
9. Pag-optimize ng function ng gastos.
10. Multichannel QS na may pila. Mga katangian.

3.7 Mga pagsasanay para sa malayang gawain

1. Ang snack bar sa gas station ay may isang counter. Dumarating ang mga kotse ayon sa pamamahagi ng Poisson, na may average na 2 kotse bawat 5 minuto. Sa karaniwan, sapat na ang 1.5 minuto upang makumpleto ang isang order, kahit na ang tagal ng serbisyo ay ipinamamahagi ayon sa isang exponential na batas. Hanapin: a) ang posibilidad na ang stall ay idle; b) average na pagganap; c) ang posibilidad na ang bilang ng mga paparating na sasakyan ay hindi bababa sa 10.
2. Ang X-ray machine ay nagpapahintulot sa iyo na suriin ang isang average ng 7 tao bawat oras. Ang intensity ng mga bisita ay 5 tao bawat oras. Ipagpalagay na nakatigil na operasyon, tukuyin ang mga karaniwang katangian.
3. Ang oras ng serbisyo sa QS ay sumusunod sa isang exponential na batas,
   m = 7 mga kinakailangan kada oras. Hanapin ang posibilidad na a) ang oras ng serbisyo ay nasa pagitan ng 3 at 30 minuto; b) ang paghahabol ay ihahatid sa loob ng isang oras. Gamitin ang talahanayan ng halaga ng function e X .
4. Mayroong isang puwesto sa daungan ng ilog, ang intensity ng daloy ng input ay 5 sasakyang-dagat bawat araw. Ang intensity ng loading at unloading operations ay 6 vessels kada araw. Isinasaisip ang nakatigil na mode ng pagpapatakbo, tukuyin ang lahat ng karaniwang katangian ng system.
5. l=3, m=2, ang parusa para sa bawat pagkabigo ay 5, at ang downtime na gastos sa bawat linya ay 2?
6. Ano ang pinakamainam na bilang ng mga channel ng serbisyo na dapat magkaroon ng isang QS kung l=3, m =1, ang parusa para sa bawat pagkabigo ay 7, at ang downtime na gastos sa bawat linya ay 3?
7. Ano ang pinakamainam na bilang ng mga channel ng serbisyo na dapat magkaroon ng isang QS kung l=4, m=2, ang parusa para sa bawat pagkabigo ay 5, at ang downtime na gastos sa bawat linya ay 1?
8. Tukuyin ang bilang ng mga runway para sa sasakyang panghimpapawid, napapailalim sa pangangailangan na ang posibilidad ng paghihintay ay dapat na mas mababa sa 0.05. Kasabay nito, ang intensity ng input flow ay 27 aircraft bawat araw, at ang intensity ng kanilang serbisyo ay 30 aircraft bawat araw.
9. Gaano karaming mga katumbas na independiyenteng linya ng conveyor ang dapat magkaroon ng workshop upang matiyak ang ritmo ng trabaho, kung saan ang posibilidad ng paghihintay para sa pagproseso ng mga produkto ay dapat na mas mababa sa 0.03 (bawat produkto ay ginawa ng isang linya). Nabatid na ang intensity ng pagtanggap ng mga order ay 30 produkto kada oras, at ang intensity ng pagproseso ng isang produkto sa isang linya ay 36 na produkto kada oras.
10. Ang isang tuluy-tuloy na random na variable X ay ipinamamahagi ayon sa isang exponential law na may parameter na l=5. Hanapin ang distribution function, mga katangian at posibilidad na matamaan ang r.v. X sa saklaw mula 0.17 hanggang 0.28.
11. Ang average na bilang ng mga tawag na dumarating sa PBX sa isang minuto ay 3. Ipagpalagay na ang daloy ay Poisson, hanapin ang posibilidad na sa loob ng 2 minuto ay magkakaroon ng: a) dalawang tawag; b) mas mababa sa dalawang tawag; c) hindi bababa sa dalawang tawag.
12. Mayroong 17 bahagi sa isang kahon, 4 sa mga ito ay may depekto. Ang assembler ay kumukuha ng 5 piraso nang random. Hanapin ang posibilidad na a) lahat ng nakuhang bahagi ay may mataas na kalidad; b) sa mga nakuhang bahagi 3 may sira.
13. Ilang channel dapat mayroon ang isang QS na may mga pagkabigo kung l\u003d 2reb / ​​oras, m\u003d 1reb / ​​​​oras, ang parusa para sa bawat pagkabigo ay 8 libong rubles, ang gastos ng downtime para sa isang linya ay 2 libong rubles. sa oras?