Llogaritet mesatarja aritmetike e numrave. Si të gjeni mesataren aritmetike në Excel

Supozoni se ju duhet të gjeni numrin mesatar të ditëve për të përfunduar detyrat nga punonjës të ndryshëm. Ose dëshironi të llogaritni një interval kohor prej 10 vjetësh Temperatura mesatare në një ditë të caktuar. Llogaritja e mesatares së një serie numrash në disa mënyra.

Mesatarja është një funksion i masës së tendencës qendrore, e cila është qendra e një serie numrash në shpërndarje statistikore. Tre janë kriteret më të zakonshme të tendencës qendrore.

Mesatare Mesatarja aritmetike llogaritet duke shtuar një seri numrash dhe më pas duke pjesëtuar numrin e atyre numrave. Për shembull, mesatarja e 2, 3, 3, 5, 7 dhe 10 është 30 pjesëtuar me 6.5;

mesatare Numri mesatar i një serie numrash. Gjysma e numrave kanë vlera që janë më të mëdha se mediana, dhe gjysma e numrave kanë vlera që janë më të vogla se mediana. Për shembull, mesatarja e 2, 3, 3, 5, 7 dhe 10 është 4.

Modaliteti Numri më i zakonshëm në një grup numrash. Për shembull, modaliteti 2, 3, 3, 5, 7 dhe 10 - 3.

Këto tre masa të tendencës qendrore, shpërndarja simetrike e një serie numrash, janë të njëjta. Në një shpërndarje asimetrike të një numri numrash, ato mund të jenë të ndryshme.

Llogaritni mesataren e qelizave që janë të ngjitura në të njëjtën rresht ose kolonë

Ndiqni këto hapa:

Llogaritja e mesatares së qelizave të rastësishme

Për të kryer këtë detyrë, përdorni funksionin MESATAR. Kopjoni tabelën e mëposhtme në një fletë letre të zbrazët.

Llogaritja e mesatares së ponderuar

SUMPRODUCT Dhe shumat. Shembull vKjo llogarit çmimi mesatar njësitë matëse të paguara për tre blerje, ku çdo blerje është për një numër të ndryshëm njësi matëse me çmime të ndryshme për njësi.

Kopjoni tabelën e mëposhtme në një fletë letre të zbrazët.

Llogaritja e mesatares së numrave, duke përjashtuar vlerat zero

Për të kryer këtë detyrë, përdorni funksionet MESATAR Dhe Nëse. Kopjoni tabelën e mëposhtme dhe mbani në mend se në këtë shembull, për ta bërë më të lehtë për t'u kuptuar, kopjojeni atë në një fletë letre të zbrazët.

Vlera mesatare është më e vlefshme nga pikëpamja analitike dhe një formë universale e shprehjes për treguesit statistikorë. Mesatarja më e zakonshme - mesatarja aritmetike - ka një numër të vetitë matematikore, i cili mund të përdoret në llogaritjen e tij. Në të njëjtën kohë, kur llogaritni një mesatare specifike, këshillohet gjithmonë të mbështeteni në formulën e saj logjike, e cila është raporti i vëllimit të atributit me vëllimin e popullsisë. Për çdo mesatare ekziston vetëm një lidhje e vërtetë fillestare, zbatimi i së cilës, në varësi të të dhënave të disponueshme, mund të kërkojë forma të ndryshme mesatare. Megjithatë, në të gjitha rastet kur natyra e vlerës që mesatarizohet nënkupton praninë e peshave, është e pamundur të përdoren formulat e tyre të paponderuara në vend të formulave mesatare të ponderuara.

Vlera mesatare është vlera më karakteristike e atributit për popullsinë dhe madhësia e atributit të popullsisë e shpërndarë në pjesë të barabarta ndërmjet njësive të popullsisë.

Karakteristika për të cilën llogaritet vlera mesatare quhet mesatare .

Vlera mesatare është një tregues i llogaritur duke krahasuar vlerat absolute ose relative. Vlera mesatare është shënuar

Vlera mesatare pasqyron ndikimin e të gjithë faktorëve që ndikojnë në fenomenin në studim dhe është rezultante për ta. Me fjalë të tjera, duke shtypur variacionet individuale dhe duke eliminuar ndikimin e rasteve, vlera mesatare, duke reflektuar masë e përgjithshme rezultatet e këtij veprimi vepron si një model i përgjithshëm i fenomenit që studiohet.

Kushtet për përdorimin e vlerave mesatare:

Ø homogjeniteti i popullatës në studim. Nëse disa elementë të një popullate që i nënshtrohen ndikimit të një faktori të rastësishëm kanë vlera të karakteristikës së studiuar që janë dukshëm të ndryshme nga pjesa tjetër, atëherë këta elementë do të ndikojnë në madhësinë e mesatares për këtë popullatë. Në këtë rast, mesatarja nuk do të shprehë vlerën më tipike të atributit për popullatën. Nëse fenomeni në studim është heterogjen, ai kërkon ndarjen e tij në grupe që përmbajnë elementë homogjenë. Në këtë rast, llogariten mesataret e grupeve - mesataret e grupeve, duke shprehur vlerën më karakteristike të fenomenit në secilin grup, dhe më pas llogaritet vlera mesatare e përgjithshme për të gjithë elementët, duke karakterizuar fenomenin në tërësi. Ajo llogaritet si mesatare e mesatareve të grupit, e ponderuar me numrin e elementeve të popullsisë të përfshirë në secilin grup;

Ø sasi të mjaftueshme njësi në agregat;

Ø vlerat maksimale dhe minimale të karakteristikës në popullatën që studiohet.

Vlera mesatare (tregues)është një karakteristikë sasiore e përgjithësuar e një karakteristike në një agregat sistematik në kushte specifike të vendit dhe kohës.

Në statistika, përdoren format (llojet) e mëposhtme të mesatareve, të quajtura fuqi dhe strukturore:

Ø mesatare aritmetike(e thjeshtë dhe e peshuar);

thjeshtë

Në statistika ata përdorin lloje te ndryshme vlerat mesatare, të cilat ndahen në dy klasa të mëdha:

Mjetet e fuqisë (mesatare harmonike, mesatare gjeometrike, mesatare aritmetike, mesatare kuadratike, mesatare kubike);

Mjetet strukturore (mode, mediane).

Për të llogaritur mesataret e fuqisëështë e nevojshme të përdoren të gjitha vlerat karakteristike të disponueshme. Moda Dhe mesatare përcaktohen vetëm nga struktura e shpërndarjes, prandaj quhen mesatare strukturore, pozicionale. Mesatarja dhe modaliteti përdoren shpesh si një karakteristikë mesatare në ato popullata ku llogaritja e mesatares së fuqisë është e pamundur ose jopraktike.

Lloji më i zakonshëm i mesatares është mesatarja aritmetike. Nën mesatare aritmetike kuptohet si vlera e një karakteristike që do të kishte çdo njësi e popullsisë nëse shuma totale e të gjitha vlerave të karakteristikës do të shpërndahej në mënyrë të barabartë midis të gjitha njësive të popullsisë. Llogaritja e kësaj vlere zbret në mbledhjen e të gjitha vlerave të karakteristikës së ndryshme dhe ndarjen e shumës që rezulton me numrin e përgjithshëm të njësive në popullatë. Për shembull, pesë punëtorë kanë përmbushur një porosi për prodhimin e pjesëve, ndërsa i pari ka bërë 5 pjesë, i dyti – 7, i treti – 4, i katërti – 10, i pesti – 12. Meqenëse në të dhënat burimore vlera e secilit opsioni ka ndodhur vetëm një herë, për të përcaktuar

Për të përcaktuar produktin mesatar të një punonjësi, duhet të zbatohet formula e thjeshtë mesatare aritmetike:

dmth në shembullin tonë, prodhimi mesatar i një punëtori është i barabartë me

Së bashku me mesataren e thjeshtë aritmetike, ata studiojnë mesatare aritmetike e ponderuar. Për shembull, le të llogarisim Mosha mesatare studentë në një grup prej 20 personash, moshat e të cilëve variojnë nga 18 deri në 22 vjeç, ku xi- variantet e karakteristikës që mesatarizohet, fi– frekuenca, e cila tregon sa herë ndodh i-të vlera në agregat (Tabela 5.1).

Tabela 5.1

Mosha mesatare e nxënësve

Duke aplikuar formulën mesatare aritmetike të ponderuar, marrim:

Ekziston një rregull i caktuar për zgjedhjen e një mesatareje aritmetike të ponderuar: nëse ka një seri të dhënash për dy tregues, për njërin prej të cilëve duhet të llogaritni

vlera mesatare, dhe në të njëjtën kohë vlerat numerike të emëruesit të formulës së saj logjike janë të njohura, dhe vlerat e numëruesit janë të panjohura, por mund të gjenden si produkt i këtyre treguesve, atëherë vlera mesatare duhet të të llogaritet duke përdorur formulën mesatare të ponderuar aritmetike.

Në disa raste, natyra e të dhënave fillestare statistikore është e tillë që llogaritja e mesatares aritmetike humbet kuptimin e saj dhe i vetmi tregues përgjithësues mund të jetë vetëm një lloj tjetër i vlerës mesatare - mesatare harmonike. Aktualisht, vetitë llogaritëse të mesatares aritmetike kanë humbur rëndësinë e tyre në llogaritjen e treguesve të përgjithshëm statistikorë për shkak të prezantimit të gjerë të teknologjisë së llogaritjes elektronike. Vlera mesatare harmonike, e cila gjithashtu mund të jetë e thjeshtë dhe e peshuar, ka marrë një rëndësi të madhe praktike. Nëse vlerat numerike të numëruesit të një formule logjike janë të njohura, dhe vlerat e emëruesit janë të panjohura, por mund të gjenden si një ndarje e pjesshme e një treguesi me një tjetër, atëherë vlera mesatare llogaritet duke përdorur harmonikën. formula mesatare e ponderuar.

Për shembull, le të dihet se makina i ka kaluar 210 km të para me një shpejtësi prej 70 km/h, dhe 150 km të mbetura me një shpejtësi prej 75 km/h. Është e pamundur të përcaktohet shpejtësia mesatare e një makine gjatë gjithë udhëtimit prej 360 km duke përdorur formulën mesatare aritmetike. Meqenëse opsionet janë shpejtësi në seksione individuale xj= 70 km/h dhe X2= 75 km/h, dhe peshat (fi) konsiderohen se janë seksionet përkatëse të shtegut, atëherë produktet e opsioneve dhe peshave nuk do të kenë as kuptim fizik dhe as ekonomik. Në këtë rast, koeficientët marrin kuptim nga ndarja e seksioneve të shtegut në shpejtësitë përkatëse (opsionet xi), d.m.th., koha e kaluar për kalimin e seksioneve individuale të shtegut (fi / xi). Nëse pjesët e shtegut shënohen me fi, atëherë e gjithë shtegu do të shprehet si?fi dhe koha e kaluar në të gjithë shtegun do të shprehet si?fi. fi / xi , Atëherë shpejtësia mesatare mund të gjendet si koeficient i pjesëtimit të të gjithë shtegut me kostot totale koha:

Në shembullin tonë marrim:

Nëse, kur përdorni mesataren harmonike, peshat e të gjitha opsioneve (f) janë të barabarta, atëherë në vend të asaj të ponderuar mund të përdorni mesatare harmonike e thjeshtë (e papeshuar):

ku xi janë opsione individuale; n– numri i varianteve të karakteristikës që mesatarizohet. Në shembullin e shpejtësisë, mesatarja e thjeshtë harmonike mund të zbatohet nëse segmentet e rrugës që udhëtohen me shpejtësi të ndryshme janë të barabarta.

Çdo vlerë mesatare duhet të llogaritet në mënyrë që kur zëvendëson çdo variant të karakteristikës mesatare, vlera e ndonjë treguesi përfundimtar, të përgjithshëm që shoqërohet me treguesin mesatar të mos ndryshojë. Kështu, kur zëvendësohen shpejtësitë aktuale në seksione individuale të rrugës me vlerën e tyre mesatare ( Shpejtësia mesatare) distanca totale nuk duhet të ndryshojë.

Forma (formula) e vlerës mesatare përcaktohet nga natyra (mekanizmi) i marrëdhënies së këtij treguesi përfundimtar me atë mesatar, prandaj treguesi përfundimtar, vlera e të cilit nuk duhet të ndryshojë kur zëvendësohen opsionet me vlerën e tyre mesatare, është thirrur tregues përcaktues. Për të nxjerrë formulën për mesataren, duhet të krijoni dhe zgjidhni një ekuacion duke përdorur marrëdhënien midis treguesit mesatar dhe atij përcaktues. Ky ekuacion ndërtohet duke zëvendësuar variantet e karakteristikës (treguesit) që mesatarizohet me vlerën mesatare të tyre.

Përveç mesatares aritmetike dhe mesatares harmonike, në statistika përdoren lloje (forma) të tjera të mesatares. Janë të gjitha raste të veçanta fuqia mesatare. Nëse llogarisim të gjitha llojet e mesatareve të fuqisë për të njëjtat të dhëna, atëherë vlerat

do të rezultojnë të njëjta, rregulli vlen këtu norma madhore mesatare. Me rritjen e eksponentit të mesatares, rritet vetë vlera mesatare. Formulat më të përdorura për llogaritjen e llojeve të ndryshme të mesatareve të fuqisë në kërkimin praktik janë paraqitur në Tabelën. 5.2.

Tabela 5.2

Llojet e mjeteve të fuqisë

Mesatarja gjeometrike përdoret kur ka n koeficientët e rritjes, ndërsa vlerat individuale të karakteristikës janë, si rregull, vlera të dinamikës relative, të ndërtuara në formën e vlerave zinxhir, si raport me nivelin e mëparshëm të çdo niveli në serinë e dinamikës. Mesatarja karakterizon kështu normën mesatare të rritjes. Mesatarja e thjeshtë gjeometrike llogaritur me formulë

Formula mesatare gjeometrike e ponderuar Ajo ka pamje tjetër:

Formulat e mësipërme janë identike, por njëra aplikohet për koeficientët aktual ose normat e rritjes dhe e dyta zbatohet për vlerat absolute të niveleve të serisë.

Sheshi mesatar përdoret në llogaritjet me vlerat e funksioneve kuadratike, përdoret për të matur shkallën e luhatjes së vlerave individuale të një karakteristike rreth mesatares aritmetike në serinë e shpërndarjes dhe llogaritet me formulën

Katrori mesatar i ponderuar llogaritet duke përdorur një formulë tjetër:

Kub mesatar përdoret gjatë llogaritjes me vlerat e funksioneve kub dhe llogaritet me formulë

Kub mesatar i peshuar:

Të gjitha vlerat mesatare të diskutuara më sipër mund të paraqiten si një formulë e përgjithshme:

ku është vlera mesatare; – kuptimi individual; n– numri i njësive të popullsisë që studiohet; k– eksponent që përcakton llojin e mesatares.

Kur përdorni të njëjtat të dhëna burimore, aq më shumë k në formulën mesatare të fuqisë së përgjithshme, aq më e madhe është vlera mesatare. Nga kjo rrjedh se ekziston një marrëdhënie e natyrshme midis vlerave të mesatareve të fuqisë:

Vlerat mesatare të përshkruara më sipër japin një ide të përgjithësuar të popullsisë që studiohet dhe nga ky këndvështrim, rëndësia e tyre teorike, aplikative dhe edukative është e padiskutueshme. Por ndodh që vlera e mesatares të mos përputhet me asnjë nga opsionet ekzistuese në të vërtetë, prandaj, përveç mesatareve të konsideruara në analizën statistikore, këshillohet që të përdoren vlerat e opsioneve specifike që zënë mjaft në seritë e renditura (të renditura) të vlerave të atributeve pozicion të caktuar. Ndër këto sasi, më të përdorurat janë strukturore, ose përshkrues, mesatar– modaliteti (Mo) dhe mesatarja (Me).

Moda– vlera e një karakteristike që gjendet më shpesh në një popullatë të caktuar. Në lidhje me një seri variacionale, modaliteti është vlera më e shpeshtë e serisë së renditur, domethënë opsioni me frekuencën më të lartë. Moda mund të përdoret në përcaktimin e dyqaneve që vizitohen më shpesh, çmimi më i zakonshëm për çdo produkt. Ai tregon madhësinë e një veçorie karakteristike për një pjesë të konsiderueshme të popullsisë dhe përcaktohet nga formula

ku x0 është kufiri i poshtëm i intervalit; h– madhësia e intervalit; fm– frekuenca e intervalit; fm_ 1 – frekuenca e intervalit të mëparshëm; fm+ 1 - frekuenca e intervalit të ardhshëm.

mesatare thirret opsioni që ndodhet në qendër të rreshtit të renditur. Medianaja e ndan serinë në dy pjesë të barabarta në mënyrë që të ketë të njëjtin numër njësish popullsie në të dyja anët e saj. Në këtë rast, gjysma e njësive në popullatë ka një vlerë të karakteristikës së ndryshueshme që është më e vogël se mesatarja, ndërsa gjysma tjetër ka një vlerë më të madhe se ajo. Mesatarja përdoret kur studiohet një element vlera e të cilit është më e madhe ose e barabartë, ose në të njëjtën kohë më e vogël ose e barabartë me gjysmën e elementeve të një serie shpërndarjeje. Mediana jep një ide të përgjithshme se ku janë të përqendruara vlerat e atributeve, me fjalë të tjera, ku është qendra e tyre.

Natyra përshkruese e mesatares manifestohet në faktin se karakterizon kufirin sasior të vlerave të një karakteristike të ndryshueshme që zotërojnë gjysma e njësive në popullatë. Problemi i gjetjes së mesatares për një seri variacion diskrete zgjidhet lehtësisht. Nëse të gjitha njësive të serisë u jepen numra serialë, atëherë numri i serisë së opsionit median përcaktohet si (n + 1) / 2 me një numër tek anëtarësh të n-së , atëherë mediana do të jetë vlera mesatare e dy opsioneve që kanë numra serialë n/ 2 dhe n/ 2 + 1.

Kur përcaktoni mesataren në seritë e variacionit të intervalit, së pari përcaktoni intervalin në të cilin ndodhet (intervali mesatar). Ky interval karakterizohet nga fakti se shuma e akumuluar e tij e frekuencave është e barabartë ose tejkalon gjysmën e shumës së të gjitha frekuencave të serisë. Medianaja e një serie variacionesh intervali llogaritet duke përdorur formulën

Ku X0– kufiri i poshtëm i intervalit; h– madhësia e intervalit; fm– frekuenca e intervalit; f– numri i anëtarëve të serisë;

M -1 – shuma e termave të grumbulluar të serisë që i paraprin asaj të dhënë.

Së bashku me mesataren për më shumë karakteristikat e plota strukturat e popullsisë në studim përdorin edhe vlera të tjera opsionesh që zënë një pozicion shumë specifik në seritë e renditura. Kjo perfshin kuartilët Dhe decilat. Kuartilët e ndajnë serinë sipas shumës së frekuencave në 4 pjesë të barabarta, dhe decilat - në 10 pjesë të barabarta. Janë tre kuartilë dhe nëntë decila.

Mesatarja dhe mënyra, ndryshe nga mesatarja aritmetike, nuk eliminojnë dallimet individuale në vlerat e një karakteristike të ndryshueshme dhe për këtë arsye janë karakteristika shtesë dhe shumë të rëndësishme të popullsisë statistikore. Në praktikë, ato shpesh përdoren në vend të mesatares ose së bashku me të. Është veçanërisht e këshillueshme që të llogaritet mesatarja dhe mënyra në rastet kur popullsia në studim përmban një numër të caktuar njësish me një vlerë shumë të madhe ose shumë të vogël të karakteristikës së ndryshme. Këto vlera të opsioneve, të cilat nuk janë shumë karakteristike për popullatën, ndërkohë që ndikojnë në vlerën e mesatares aritmetike, nuk ndikojnë në vlerat e mesatares dhe modës, gjë që e bën këtë të fundit tregues shumë të vlefshëm për ekonominë dhe statistikën. analiza.

Kur fillojnë të flasin për mesataret, njerëzit më shpesh kujtojnë se si mbaruan shkollën dhe hynë në një institucion arsimor. Më pas sipas certifikatës është llogaritur GPA: të gjitha vlerësimet (si të mira ashtu edhe jo aq të mira) u grumbulluan, shuma që rezultoi u nda me numrin e tyre. Kështu llogaritet lloji më i thjeshtë i mesatares, i cili quhet mesatarja e thjeshtë aritmetike. Në praktikë, në statistika përdoren lloje të ndryshme mesataresh: mesatare aritmetike, harmonike, gjeometrike, kuadratike, strukturore. Një ose një lloj tjetër përdoret në varësi të natyrës së të dhënave dhe qëllimeve të studimit.

vlera mesatareështë treguesi statistikor më i zakonshëm, me ndihmën e të cilit jepet një karakteristikë e përgjithësuar e një grupi dukurish të ngjashme sipas një prej karakteristikave të ndryshme. Ai tregon nivelin e një karakteristike për njësi të popullsisë. Me ndihmën e vlerave mesatare krahasohen popullatat e ndryshme sipas karakteristikave të ndryshme dhe studiohen modelet e zhvillimit të dukurive dhe proceseve të jetës shoqërore.

Në statistika përdoren dy klasa mesataresh: fuqie (analitike) dhe strukturore. Këto të fundit përdoren për të karakterizuar strukturën e serive të variacioneve dhe do të diskutohen më tej në kapitull. 8.

Grupi i mesatareve të fuqisë përfshin mesataret aritmetike, harmonike, gjeometrike dhe kuadratike. Formulat individuale për llogaritjen e tyre mund të reduktohen në një formë të përbashkët për të gjitha mesataret e fuqisë, domethënë

ku m është eksponenti i fuqisë mesatare: me m = 1 marrim formulën për llogaritjen e mesatares aritmetike, me m = 0 - mesataren gjeometrike, m = -1 - mesataren harmonike, me m = 2 - mesataren kuadratike. ;

x i - opsionet (vlerat që merr atributi);

f i - frekuencat.

Kushti kryesor në të cilin mesataret e fuqisë mund të përdoren në analizat statistikore është homogjeniteti i popullatës, i cili nuk duhet të përmbajë të dhëna fillestare që ndryshojnë ndjeshëm në vlerën e tyre sasiore (në literaturë ato quhen vëzhgime anormale).

Le të tregojmë rëndësinë e kësaj gjendjeje me shembullin e mëposhtëm.

Shembulli 6.1. Le të llogarisim pagën mesatare të punonjësve të një ndërmarrje të vogël.

Tabela 6.1. Pagat e punonjësve

Nr.	Paga, fshij.	Nr.	Paga, fshij.
1	5 950	11	7 000
2	6 790	12	5 950
3	6 790	13	6 790
4	5 950	14	5 950
5	7 000	5	6 790
6	6 790	16	7 000
7	5 950	17	6 790
8	7 000	18	7 000
9	6 790	19	7 000
10	6 790	20	5 950

Për të llogaritur madhësinë mesatare pagatështë e nevojshme të përmblidhen pagat e grumbulluara për të gjithë punonjësit e ndërmarrjes (d.m.th. të gjesh fondin e pagave) dhe të pjesëtosh me numrin e punonjësve:

Tani le të shtojmë në totalin tonë vetëm një person (drejtorin e kësaj ndërmarrje), por me një pagë prej 50,000 rubla. Në këtë rast, mesatarja e llogaritur do të jetë krejtësisht e ndryshme:

Siç mund ta shohim, ajo kalon 7000 rubla, etj. është më i madh se të gjitha vlerat e atributeve me përjashtim të një vëzhgimi të vetëm.

Për të siguruar që raste të tilla të mos ndodhin në praktikë dhe mesatarja të mos humbasë kuptimin e saj (në shembullin 6.1 nuk luan më rolin e një karakteristike përgjithësuese të popullsisë që duhet të jetë), kur llogaritet mesatarja, anormale, ashpër Vëzhgimet e spikatura duhet të përjashtohen nga analiza dhe temat e bëjnë popullsinë homogjene, ose ndaje popullatën në grupe homogjene dhe llogarit vlerat mesatare për secilin grup dhe analizon jo mesataren e përgjithshme, por vlerat mesatare të grupit.

6.1. Mesatarja aritmetike dhe vetitë e saj

Mesatarja aritmetike llogaritet ose si vlerë e thjeshtë ose e ponderuar.

Gjatë llogaritjes së pagës mesatare sipas të dhënave në shembullin e tabelës 6.1, kemi mbledhur të gjitha vlerat e atributit dhe kemi ndarë me numrin e tyre. Ecurinë e llogaritjeve tona do ta shkruajmë në formën e formulës mesatare aritmetike të thjeshtë

ku x i - opsionet (vlerat individuale të karakteristikës);

n është numri i njësive në agregat.

Shembulli 6.2. Tani le të grupojmë të dhënat tona nga tabela në shembullin 6.1, etj. le të ndërtojmë një diskrete seri variacionesh shpërndarja e punëtorëve sipas nivelit të pagës. Rezultatet e grupimit janë paraqitur në tabelë.

Le të shkruajmë shprehjen për llogaritjen e nivelit të pagës mesatare në një formë më kompakte:

Në shembullin 6.2, u zbatua formula mesatare aritmetike e ponderuar

ku f i janë frekuenca që tregojnë se sa herë vlera e atributit x i y shfaqet në njësitë e popullsisë.

Është i përshtatshëm për të llogaritur mesataren e ponderuar aritmetike në një tabelë, siç tregohet më poshtë (Tabela 6.3):

Tabela 6.3. Llogaritja e mesatares aritmetike në një seri diskrete

Të dhënat fillestare	Treguesi i vlerësuar
paga, fshij.	numri i punonjësve, njerëzit	fondi i pagave, fshij.
x i	f i	x i f i
5 950	6	35 760
6 790	8	54 320
7 000	6	42 000
Total	20	132 080

Duhet theksuar se mesatarja e thjeshtë aritmetike përdoret në rastet kur të dhënat nuk janë të grupuara apo të grupuara, por të gjitha frekuencat janë të barabarta.

Shpesh, rezultatet e vëzhgimit paraqiten në formën e një serie shpërndarjeje intervali (shih tabelën në shembullin 6.4). Pastaj, gjatë llogaritjes së mesatares, pikat e mesit të intervaleve merren si x i. Nëse intervali i parë dhe i fundit janë të hapura (nuk kanë një nga kufijtë), atëherë ato janë "të mbyllura" me kusht, duke marrë vlerën e intervalit ngjitur si vlerë të këtij intervali, etj. e para mbyllet në bazë të vlerës së të dytës, dhe e fundit - sipas vlerës së të parafundit.

Shembulli 6.3. Bazuar në rezultatet e një studimi mostër të një prej grupeve të popullsisë, ne do të llogarisim shumën e të ardhurave monetare mesatare për frymë.

Në tabelën e mësipërme, mesi i intervalit të parë është 500. Në të vërtetë, vlera e intervalit të dytë është 1000 (2000-1000); atëherë kufiri i poshtëm i të parit është 0 (1000-1000), kurse mesi i tij është 500. Të njëjtën gjë bëjmë edhe me intervalin e fundit. Ne marrim 25,000 si mesin e tij: vlera e intervalit të parafundit është 10,000 (20,000-10,000), atëherë kufiri i sipërm i tij është 30,000 (20,000 + 10,000), dhe mesi, në përputhje me rrethanat, është 25,000.

Tabela 6.4. Llogaritja e mesatares aritmetike në seri intervali

Të ardhurat mesatare për frymë në para, rubla. në muaj	Popullsia në total, % f i	Pikat e mesit të intervaleve x i	x i f i
Deri në 1000	4,1	500	2 050
1 000-2 000	8,6	1 500	12 900
2 000-4 000	12,9	3 000	38 700
4 000-6 000	13,0	5 000	65 000
6 000-8 000	10,5	7 000	73 500
8 000-10 000	27,8	9 000	250 200
10 000-20 000	12,7	15 000	190 500
20,000 e lart	10,4	25 000	260 000
Total	100,0	-	892 850

Atëherë të ardhurat mesatare mujore për frymë do të jenë

Cila është mesatarja aritmetike

Mesatarja aritmetike e disa sasive është raporti i shumës së këtyre sasive me numrin e tyre.

Mesatarja aritmetike e një serie të caktuar numrash është shuma e të gjithë këtyre numrave pjesëtuar me numrin e termave. Kështu, mesatarja aritmetike është vlera mesatare e një serie numrash.

Cila është mesatarja aritmetike e disa numrave? Dhe ato janë të barabarta me shumën e këtyre numrave, e cila pjesëtohet me numrin e termave në këtë shumë.

Si të gjeni mesataren aritmetike

Nuk ka asgjë të komplikuar në llogaritjen ose gjetjen e mesatares aritmetike të disa numrave, mjafton të mblidhen të gjithë numrat e paraqitur dhe të pjesëtohet shuma që rezulton me numrin e termave. Rezultati i marrë do të jetë mesatarja aritmetike e këtyre numrave.

Le ta shohim këtë proces në më shumë detaje. Çfarë duhet të bëjmë për të llogaritur mesataren aritmetike dhe për të marrë rezultatin përfundimtar të këtij numri.

Së pari, për ta llogaritur atë, duhet të përcaktoni një grup numrash ose numrin e tyre. Ky grup mund të përfshijë numra të mëdhenj dhe të vegjël, dhe numri i tyre mund të jetë çdo gjë.

Së dyti, të gjithë këta numra duhet të shtohen dhe të merret shuma e tyre. Natyrisht, nëse numrat janë të thjeshtë dhe të tyre një sasi të vogël të, atëherë mund të bëhen llogaritjet duke i shkruar me dorë. Por nëse grupi i numrave është mbresëlënës, atëherë është më mirë të përdorni një kalkulator ose fletëllogaritëse.

Dhe së katërti, shuma e marrë nga mbledhja duhet të ndahet me numrin e numrave. Si rezultat, do të marrim një rezultat, i cili do të jetë mesatarja aritmetike e kësaj serie.

Pse keni nevojë për mesataren aritmetike?

Mesatarja aritmetike mund të jetë e dobishme jo vetëm për zgjidhjen e shembujve dhe problemeve në mësimet e matematikës, por edhe për qëllime të tjera të nevojshme në Jeta e përditshme person. Qëllime të tilla mund të jenë llogaritja e mesatares aritmetike për të llogaritur shpenzimet mesatare financiare në muaj, ose për të llogaritur kohën që kaloni në rrugë, gjithashtu për të zbuluar frekuentimin, produktivitetin, shpejtësinë e lëvizjes, rendimentin dhe shumë më tepër.

Kështu, për shembull, le të përpiqemi të llogarisim sa kohë kaloni duke udhëtuar për në shkollë. Kur shkoni në shkollë ose kur ktheheni në shtëpi, çdo herë kaloni kohë të ndryshme në rrugë, sepse kur jeni me nxitim, ecni më shpejt dhe për rrjedhojë rruga kërkon më pak kohë. Por kur ktheheni në shtëpi, mund të ecni ngadalë, duke komunikuar me shokët e klasës, duke admiruar natyrën, dhe për këtë arsye udhëtimi do të marrë më shumë kohë.

Prandaj, nuk do të jeni në gjendje të përcaktoni me saktësi kohën e kaluar në rrugë, por falë mesatares aritmetike, mund të zbuloni afërsisht kohën që kaloni në rrugë.

Le të supozojmë se ditën e parë pas fundjavës keni kaluar pesëmbëdhjetë minuta rrugës nga shtëpia në shkollë, në ditën e dytë udhëtimi juaj zgjati njëzet minuta, të mërkurën e keni kaluar distancën për njëzet e pesë minuta dhe udhëtimi juaj zgjati të njëjtën gjë. shumë kohë të enjten, dhe të premten nuk u nxitove dhe u ktheve për një gjysmë ore të tërë.

Le të gjejmë mesataren aritmetike, duke shtuar kohën, për të pesë ditët. Kështu që,

15 + 20 + 25 + 25 + 30 = 115

Tani pjesëtojeni këtë shumë me numrin e ditëve

Falë kësaj metode, mësuat se udhëtimi nga shtëpia në shkollë kërkon afërsisht njëzet e tre minuta nga koha juaj.

Detyre shtepie

1. Duke përdorur llogaritjet e thjeshta, gjeni mesataren numri aritmetik frekuentimi javor i studentëve në klasën tuaj.

2. Gjeni mesataren aritmetike:

3. Zgjidheni problemin: